Tải bản đầy đủ

Tài liệu ôn thi toán rời rạc

TOÁN RỜI RẠC

Bài tập chương 2: PHÉP ĐẾM
Bài 1: CÁC NUYÊN LÝ
1. Chia 10 viên kẹo cho 3 bé sao cho:
10
a) Tuỳ ý có: 𝐾310 = 𝐶12
= 66 (𝑐á𝑐ℎ)
b) Bé nào cũng có ít nhất 1 viên:𝐾37 = 𝐶97 = 36 (𝑐á𝑐ℎ)
2. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 21 (*)
21
a) Số nghiệm nguyên dương:𝐾521 = 𝐶25
= 12650 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚)
b) Số nghiệm nguyên dương thoả 𝑥1 > 2, 𝑥5 < 4(1):
Ta có: x1 > 2 <=> x1 ≥ 3 , x5 < 4 => x5≥ 5
Ta xét các điều kiện:
.𝑥1 ≥ 3, 𝑥5 ≥ 0 (2)
.𝑥1 ≥ 3, 𝑥5 ≥ 5 (3)
Số nghiệm thoả (1) = (2) - (3)
- Tìm số nghiệm thoả (2):
Đặt a = x1- 3 ≥ 0 => x1 = a + 3 (4)

Thay (4) vào (*) ta đươc: a + x2 +x3 + x4 + x5 =18
18
=>Số nghiệm thoả (2) =𝐾518 = 𝐶22
= 7315 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚)

- Tìm nghiệm thoả (3):
Đặt b = x5 – 5 ≥ 0 => x5=b+5 (5)
Thay (4), (5) vào (*) ta được: a + x2 + x3 + x4 + b = 13
13
=>Số nghiệm thoả (3) =𝐾513 = 𝐶17
= 2380 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚)

+=> Số nghiệm thoả (1) = 7315 – 2380 = 4935 (nghiệm).

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

1

BT Chương 2: PHÉP ĐẾM


TOÁN RỜI RẠC

Bài 2: HỆ THỨC ĐỆ QUY
𝑎𝑛 = 4 𝑎𝑛−1 − 4𝑎𝑛−2 + 4
𝑎0 = 1
1. Giaỉ HTĐQ : {
𝑎1 = 2

(∗)

Ta có (*)  𝑎𝑛 − 4 𝑎𝑛−1 + 4𝑎𝑛−2 = 4
Bước 1: Đặt (K): 𝑎𝑛 − 4 𝑎𝑛−1 + 4𝑎𝑛−2 = 0
Ta thấy (*) có dạng 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 = 𝐶
Nên NTQ của (*) là an = ak+ C.
=>Nghiệm của (*) = ak +4
- Tìm nghiệm của (K):
Bước 2: Giaỉ PTĐT của (K):
Ta có PTĐT là: 𝛿 2 − 4𝛿 + 4 = 0
PTĐT có 1 nghiệm kép: 𝛿 = 2


=>𝑎𝑘 = (𝐶1 + 𝑛𝐶2 ). 2𝑛
Bước 3: Công thức NTQ: 𝑎𝑛 = (𝐶1 + 𝑛𝐶2 ). 2𝑛 + 4 (5)
Bước 4: Tìm C1,C2 và KL nghiệm
Thay a0=1, a1=2 vào (5) ta được:
𝐶1 + 4 = 1
𝐶 = −3
.{
{ 1
𝐶2 = 2
(𝐶1 + 𝐶2 ).2 + 4 = 2
CTN cần tìm là :𝑎𝑛 = (−3 + 2𝑛). 2𝑛 + 4.
10. Dân số VN năm 2018 là 96 triệu dân, giả sử tỷ lệ gia tăng dân số qua các
năm là 0,2%/năm và không đổi. Gọi Dn là số dân sau n năm.
a) Xây dựng công thức cho Dn
b) Tính số dân của VN vào năm 2030.
Giaỉ:
a)
Gọi
SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

2

BT Chương 2: PHÉP ĐẾM


TOÁN RỜI RẠC

-D0 là số dân năm 2018
-D1 là số dân năm 2019, D1 = D0 ( 1 + 0,2%)
-D2 là số dân năm 2020, D2 = D1( 1 + 0,2%)=D0 ( 1 + 0,2%)2
….
Với n>2, số dân sau n năm là: Dn = D0 ( 1 + 02%)n
b) Số dân năm 2030: D12 = D0 (1+0,2%)12 = 96.(1,002)12 = 98,33 triệu dân.

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

3

BT Chương 2: PHÉP ĐẾM


TOÁN RỜI RẠC

CHƯƠNG 3 QUAN HỆ
BÀI 1: Quan hệ - Tính chất quan hệ - Quan hệ tương đương
1, Xác định quan hệ, xác định miền và vùng kiểm tra tính chất, tìm ma trận
a)
-Xác định quan hệ:
R={(1,2);(2,2);(2,4);(3,2);(3,4);(4,1);(4,3)}
-kiểm tra tính chất: ta thấy:
+(1,1)∈R=>R không phản xạ.
+(1,2)∈R, nhưng (2,1)∈R=>R không đối xứng.
+(1,2),(2,4) ∈R, nhưng (1,4)∈R=> không bắc cầu.
-Xác định miền và vùng:
DomR={1,2,3,4}
RangeR={1,2,3,4}
-Ma trận:
1
2
3
4
b)

1
0

2
1

3
0

4
0

0
0
1

1
1
0

0
0
1

1
1
0

-Xác định quan hệ:
R={(1,1);(1,4);(1,2);(2,2);(2,6);(2,4);(3,3);(3,6);(4,4)}
-Kiểm tra tính chất:
+ ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑡ℎì (𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅 => R có tính phản xạ

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

1

BT Chương 3: QUAN HỆ


TOÁN RỜI RẠC

+ (1,2)∈R, nhưng (2,1)∈R => R không có tính đối xứng
+(1,2)∈R, (2,6)∈R, nhưng (1,6)∈R => R không bắc cầu
-Xác định vùng và miền:
+DomR={1,2,3,4,6}
+RangeR={1,2,3,4,6}
-Xây dựng ma trận:
1
2
3

1
1
0
0

2
1
1
0

3
0
0
1

4
1
1
0

6
0
1
1

4
6

0
0

0
0

0
0

1
0

0
1

2, Cho A={-2,-1,0,1,2,3,4,5,7,9} , xRy  x-y chia hết cho 3
a) Chứng minh R là QHTĐ
b) Tìm lớp tương đương [3]
c) Trong các lớp [-2];[-1];[2] có bao nhiêu lớp đôi một phân biệt?
Giải

-2
-1
0
1
2
3
4
5
7
9

-2
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0

-1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0

0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1

1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0

2
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0

3
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

4
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0

5
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
2

7
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0

9
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
BT Chương 3: QUAN HỆ


TOÁN RỜI RẠC

R={(-2,-2); (-2,1); (-2,4); (-2,7); (-1,-1); (-1,2); (-1,5); (0,0); (0,3); (0,9); (1,-2);
(1,1); (1,4); (1,7); (2,-1); (2,2); (2,5); (3,0); (3,3); (3,9); (4,-2); (4,1); (4,4); (4,7);
(5,-1); (5,2); (5,5); (7,-2); (7,1); (7,4); (7,7); (9,0); (9,3); (9,9)}
Nhận xét:
+ R phản xạ, ∀𝑖 ∈ 𝐴 → (𝑖, 𝑖) ∈ 𝑅
+ R đối xứng, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴, (𝑖, 𝑗) ∈ 𝑅 => (𝑗, 𝑖) ∈ 𝑅
+ R bắc cầu, ∀𝑖, 𝑗, 𝑙 ∈ 𝐴, (𝑖, 𝑗) ∈ 𝑅 𝑣à (𝑗, 𝑙) ∈ 𝑅 => (𝑖, 𝑙) ∈ 𝑅
 R là QHTĐ.
Lớp tương đương [3]={0,3,9}
Lớp tương đương:
[-2]={2,1,4,7}
[-1]={-1,2,5}
[2]={-1,2,5}
Các lớp đôi 1 phân biệt: [-2] và [-1]; [-2] và [2]

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

3

BT Chương 3: QUAN HỆ


TOÁN RỜI RẠC

Bài 2: QUAN HỆ THỨ TỰ
1) Vẽ biểu đồ Hasse, tìm tập tối thiểu tối đại
a) U={n∈N|n là ước số của 40}
Ta có 40 = 23.5=2k.5l
Các ước :
l=0
l=1

k=0
1
5

k=1
2
10

k=2
4
20

K=3
8
40

Biểu đồ hasse:

-Tập tối thiểu: m={1}
-Tập tối đại: M={40}

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

4

BT Chương 3: QUAN HỆ


TOÁN RỜI RẠC

2) Cho hasse: tìm tối thiểu Inf và tối đại Sup

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

Inf(b,c) = a
Inf(b,t) = a
Inf(e,x) = c
Sup(c,b) = e
Sup(d,v) = z
Sup(c,e) = z
Sup(a,v) = y

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

5

BT Chương 3: QUAN HỆ


TOÁN RỜI RẠC
CHƯƠNG 4: ĐẠI SỐ BOOL
BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA – PHƯƠNG PHÁP BIỂU ĐỒ KARNAUGH
1) Vẽ Karnaugh
a) f=𝑧̅𝑡̅ 𝑣 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑣 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ 𝑣 𝑥̅ 𝑦̅𝑧𝑡̅ 𝑣 𝑥𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑣 ̅𝑦𝑧𝑡
x
z

x



1


2



4

t

z

3



5



7

8

9

10



y

y



x

x





1

2



4

t

z
z

3



5



6

6

7

9


y

y

t


8

t

10





2) Vẽ Karnaugh
a) f=𝑥̅ 𝑧 𝑉 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑉 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑉 𝑦̅𝑧̅𝑡̅ 𝑉 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑉 𝑥̅ 𝑦̅
x
z

x





1

2

3



4

5

t

7

t

10



z


6



8

9



y

y



SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

1

BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL


TOÁN RỜI RẠC

e) f= 𝑥𝑦𝑧𝑡 𝑉 𝑥̅ 𝑦̅ 𝑉 𝑥𝑧̅𝑡 𝑉 𝑦𝑧̅𝑡
x

x





z
z


2
4

5

6



1



3

t

7

t


8


y

y



SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

2

BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL


TOÁN RỜI RẠC
Bài 2: PHƯƠNG PHÁP BIỄU ĐỐ KARNOUGH
Xác định công thức đa thức tồi thiểu, tối đại:
1,

Bước 1: Tím các tế bào lớn của f
-Tế bào 4 ô: 7,8,9,10 → 𝑧̅𝑡̅
- Tế bào 2 ô: 1,8 → 𝑥𝑦𝑡̅
2,4 →𝑥̅ 𝑦̅𝑧
2,10 → 𝑥̅ 𝑦̅𝑡̅
3,4 → 𝑦̅𝑧𝑡
3,5 → 𝑥𝑦̅𝑡
5,7 →𝑥𝑦̅𝑧̅
6,9 →𝑥̅ 𝑦𝑧̅
Bước 2: Biều diễn trên cây:
-L={7,8,9,10}
1,8
2,4
3,4
3,5

5.7

6.9

6,9

2,10
3,5

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

6,9

3,4

3,5

3,5

5,7

2,4

3,4

6,9

6,9

6,9

6,9

3

BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL


TOÁN RỜI RẠC
Bước 3: Xác định các công thức đa thức
f1 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅
f2 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑧̅ v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅
f3 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅
f4 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑡̅ v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅
f5 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑡̅ v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑧̅v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅
f6 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅
f7 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅
Bước 4: Xác định công thức đa thức tối tiểu
f3 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

4

BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL


TOÁN RỜI RẠC

Bước 1 Tím các tế bào lớn của f
-Tế bào 4 ô: 5,6,7,8→ 𝑧̅𝑡
- Tế bào 2 ô: 1,2 → 𝑦𝑧𝑡̅
1,9 → 𝑥𝑦𝑡̅
2,4 → 𝑥̅ 𝑦𝑧
3,5 → 𝑥𝑦̅𝑡
4,7 → 𝑥̅ 𝑦𝑡
6,9 → 𝑥𝑦𝑧̅
8,10 →𝑥𝑦𝑡̅
Bước 2: Biều diễn trên cây:
L={5,6,7,8}
1,2
.

1,9

3,5

2,4

1,2
4,7

2,4

3.5

3,5

1,9

6,9

1,9

6,9

2.4

4,7

8,10

8,10

8,10

8,10

8,10

8,10

8.10

Bước 3: Xác định các công thức đa thức
f1 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

5

BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL


TOÁN RỜI RẠC
f2 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑧̅ v 𝑥𝑦𝑡̅
f3 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅
f4 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑡 v 𝑥𝑦𝑧̅ v 𝑥𝑦𝑡̅
f5 = 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑡̅
f6 = 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅
f7 = 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑡̅
Bước 4: Xác định công thức đa thức tối tiểu
f7 = 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑡̅

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

6

BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL


TOÁN RỜI RẠC
2,

Bước 1 Tím các tế bào lớn của f
-Tế bào 4 ô: 2,3,4,5 → 𝑥̅ 𝑧
3,5,7,10 → 𝑥̅ 𝑦̅
6,7,8,10 → 𝑦̅𝑧̅
- Tế bào 2 ô: 1,2 → 𝑦𝑧𝑡̅
1,9 → 𝑥𝑦𝑡̅
8,9 → 𝑥𝑧̅𝑡̅
Bước 2: Biều diễn trên cây:
L={2,3,4,5 ; 3,5,7,10 ; 6,7,8,10}
1,2
1,9

1,9

8,9

Bước 3: Xác định các công thức đa thức
f1 = 𝑥̅ 𝑧 v 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑦̅𝑧̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅
f2 = 𝑥̅ 𝑧 v 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑦̅𝑧̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑧̅𝑡̅
f3 = 𝑥̅ 𝑧 v 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑦̅𝑧̅ v 𝑥𝑦𝑡̅
Bước 4: Xác định công thức đa thức tối tiểu
f3 = 𝑥̅ 𝑧 v 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑦̅𝑧̅ v 𝑥𝑦𝑡̅

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

7

BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL


TOÁN RỜI RẠC

Bước 1 Tím các tế bào lớn của f
-Tế bào 4 ô: 1,3,7,8 →𝑥̅ 𝑦̅
4,5,6,7 → 𝑧̅𝑡
- Tế bào 2 ô: 2,5 → 𝑥𝑦𝑡
Bước 2: Biều diễn trên cây:
L={1,3,7,8 ; 4,5,6,7,8}
2,5
Bước 3: Xác định các công thức đa thức
f = 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡
Bước 4: Xác định công thức đa thức tối tiểu
f = 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

8

BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL


TOÁN RỜI RẠC
CHƯƠNG 5: ĐỒ THỊ
BÀI 1: ĐỒ THỊ - MA TRẬN KỀ
Tìm bậc của đỉnh, xác định ma trận kề, ma trận trọng số của các đồ thị sau

-Tìm bậc của đỉnh:
+deg+(x1) = 2 ; deg-(x1) = 0 → deg(x1) = 2
+deg+(x2) = 1 ; deg-(x2) = 1 → deg(x2) = 2
+deg+(x3) = 1 ; deg-(x3) = 2 → deg(x3) = 3
+deg+(x4) = 0 ; deg-(x4) = 2 → deg(x4) = 2
+deg+(x5) = 0 ; deg-(x5) = 0 → deg(x5) = 0
+deg+(x6) = 1 ; deg-(x6) = 0 → deg(x6) = 1
-Ma trận kề:
x1
x2
x3
x4
x5
x6

x1
0
0
0
0
0
0

x2
1
0
0
0
0
0

x3
1
0
0
0
0
1

x4
0
1
1
0
0
0

x5
0
0
0
0
0
0

x6
0
0
0
0
0
0

c)

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

1

BT Chương 5: ĐỒ THỊ


TOÁN RỜI RẠC
- Tìm bậc của đỉnh:
+deg(1) = 2
+deg(2) = 4
+deg(3) = 4
+deg(4) = 4
+deg(5) = 4
+deg(6) = 3
+deg(7) = 3
- Ma trận kề:
1

2

3

4

5

6

7

1

0

1

0

1

0

0

0

2

1

0

1

1

1

0

0

3

0

1

0

1

0

1

1

4

1

1

1

0

1

0

0

5

0

1

0

1

0

1

1

6

0

0

1

0

1

0

1

7

0

0

1

0

1

1

0

f)

Bậc của đỉnh:

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

2

BT Chương 5: ĐỒ THỊ


TOÁN RỜI RẠC
+deg(a)=3
+deg(b)=3
+deg(c)=3
+deg(d)=3
+deg(e)=4
+deg(f)=4
+deg(g)=4
+deg(h)=3
+deg(k)=3
+deg(l)=3
+deg(m)=3
Ma trận trọng số
a

b

c

d

e

f

g

h

k

l

m

a



5





4







6





b

5



5



4













c



5



1



2











d





1





3



10







e

4

4







10





8





f





2



10



3





6



g







3



3



6





5

h







10





6







11

k

6







8









7



l









6







7



5

m













5

11



5



SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

3

BT Chương 5: ĐỒ THỊ


TOÁN RỜI RẠC
Bài 2: BÀI TOÁN TÌM ĐUÒNG ĐI NGẮN NHẤT
Tìm đường đi ngắn nhất từ a đến các điểm còn lại:

a
b
c
d
e
f
g
h
k
l
m
0 0* ∞ −
∞−
∞−
∞−
∞−
∞−
∞−
∞−
∞−
∞−
1 5,a
6,a
∞−
∞ − (4,a)* ∞ −
∞−
∞−
∞−
∞−
2 - (5,a)* ∞ −
14,e
6,a
∞−
∞−
∞−
∞−
∞−
3 10,b
14,e
∞−
∞−
∞ − (6,a)* ∞ −
∞−
4 (10,b)* ∞ −
14,e
13,k
∞−
∞−
∞−
5 (11,c)*
12,c
13,k
∞−
∞−
∞−
6 (12,c)* 14,d
21,d
13,k
∞−
7 14,d
21,d
(13,k)* ∞ −
8 (14,d)* 21,d
18,l
9 20,g
(18,l)*
10 (20,g)*
11 -

SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254

4

BT Chương 5: ĐỒ THỊ



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×