Tải bản đầy đủ

𝑇𝑈𝑌Ể𝑁 𝑇Ậ𝑃 𝐶Á𝐶 𝐵À𝐼 𝐻𝑃𝑇 + 𝑃𝑇 𝐻𝐴𝑌
Mở đầu chủ đề: Chào các bạn hôm nay chúng ta cùng quay lại chủ đề quen thuộc đó là hpt+pt nó gần như
là chủ đề không thể thiếu trong các kì thi hsg quốc gia +thành phố+tình+… và hôm nay chúng ta cùng
quay lại với nó những bài hệ hay +những ý tưởng quen tthuộc qua các năm nha ^^!

𝑏à𝑖 1: 9𝑥 2 + 2𝑥 + 15 − 4√𝑥 + 3 − 6𝑥√𝑥 + 8 = 0(𝑝𝑝 đư𝑎 𝑣ề 𝑑ạ𝑛𝑔 𝐴2 = 𝐵2 )
𝒈𝒊ả𝒊
𝐶á𝑐ℎ 1: 𝑡𝑎 𝑐ó đ𝑘 {

𝑥 ≥ −3
=> 𝑥 ≥ −3(∗)
𝑥 ≥ −8

để ý 𝑟ằ𝑛𝑔 ∶ 9𝑥 2 + 2𝑥 + 15 − 4√𝑥 + 3 − 6𝑥√𝑥 + 8 = 0
[(𝑥 + 3) − 4√𝑥 + 3 + 4] + [9𝑥 2 − 6𝑥√𝑥 + 8 + (𝑥 + 8)] = 0
2
2
𝑥+3−2=0
=> 𝑥 =
[√𝑥 + 3 − 2] + [3𝑥 − √𝑥 + 8] = 0 => { √
3𝑥 − √𝑥 + 8 = 0

1(𝑠𝑜 𝑣𝑠 (∗)𝑡𝑎 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡ℎõ𝑎)

𝑣ậ𝑦 ∶ 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑙à 𝑥 = 1
𝐶á𝑐ℎ 2: 𝑣ì 𝑝𝑡 𝑛à𝑦 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑥 = 1 𝑛ê𝑛 𝑡𝑎 𝑡ℎử 𝑙𝑖ê𝑛 ℎợ𝑝 𝑥𝑒𝑚 𝑠𝑎𝑜 ?
đặ𝑡 𝑓(𝑥) = 4√𝑥 + 3 + 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑣ì 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝 𝑥 = 1 𝑛ê𝑛 {

4 √1 + 3 + 𝑎 + 𝑏 = 0
𝑓(𝑥) = 0
=>
=>
{
2
+𝑎 =0
𝑓 ′ (𝑥) = 0
√1+3

𝑎 = −1
{
𝑏 = −7
𝑐ũ𝑛𝑔 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự đặ𝑡 𝑓(𝑥) = 6𝑥√𝑥 + 8 + 𝑎′ 𝑥 + 𝑏
6 √1 + 8 + 𝑎 ′ + 𝑏 ′ = 0
𝑓(𝑥) = 0
𝑣ì 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝 𝑥 = 1 𝑛ê𝑛 { ′
=> { 3.(3.12+16.1)
=>

𝑓 (𝑥) = 0
+
𝑎
=
0
3
2
𝑎′ = −19
{ ′
𝑏 =1

√1 +8.1


9𝑥 2 − 18𝑥 + 9 = [4√𝑥 + 3 − (𝑥 + 7)] + [6𝑥√𝑥 + 8 − (19𝑥 − 1)]


9(𝑥 − 1)2 =
9(𝑥 − 1)2 =

16(𝑥+3)−(𝑥 2 +14𝑥+49)
4√𝑥+3+𝑥+7
−(𝑥−1)2
4√𝑥+3+𝑥+7

𝑣ậ𝑦 𝑥 = 1 ℎ𝑎𝑦 9 =

+

36𝑥 2 (𝑥+8)−(361𝑥 2 −38𝑥+1)
6𝑥 √𝑥+8+19𝑥−1

(𝑥−1)2 (36𝑥−1)

+

6𝑥 √𝑥+8+19𝑥−1

−1
4√𝑥+3+𝑥+7

𝑏à𝑖 2: 𝑥 2 + 2𝑥√𝑥 −

+

36𝑥−1
6𝑥 √𝑥+8+19𝑥−1

( 𝑣à 𝑝𝑡 𝑛à𝑦 𝑡ℎì 𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚)

1
= 3𝑥 + 1(𝑝𝑝 đư𝑎 𝑣ề 𝑘𝑡 𝑛𝑔ℎị𝑐ℎ đả𝑜)
𝑥
𝒈𝒊ả𝒊

1

𝑥 2 −1

𝑥

𝑥

đ𝑘 𝑙à: 𝑥 − ≥ 0 =>

≥ 0 => −1 ≤ 𝑥 < 0 , 𝑥 ≥ 1(∗)
1

1

𝑑𝑜 (∗)𝑛ê𝑛 𝑡𝑎 𝑐ó 𝑡ℎể 𝑐ℎ𝑖𝑎 2 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 𝑥 ≠ 0 ∶ (𝑥 − ) + 2√𝑥 − = 3
𝑥
𝑥
1
𝑥

√𝑥− =1(𝑛ℎậ𝑛)

[

1
√𝑥− =−3(𝑙𝑜ạ𝑖)
𝑥

1

=> √𝑥 − = 1 => 𝑥 =
𝑥

𝑣ậ𝑦 ∶ 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 =

1±√5
(𝑛ℎậ𝑛)
2

1±√5
2
3

𝑏à𝑖 3: 𝑥 2 + √𝑥 4 − 𝑥 2 = 2𝑥 + 1(𝑝𝑝 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự)
𝒈𝒊ả𝒊
3

𝑥 2 + √𝑥 4 − 𝑥 2 = 2𝑥 + 1 => 𝑥é𝑡 𝑥 = 0 𝑣ậ𝑦 𝑡ℎì 0 = 1 (𝑣ô 𝑙ý)
1

3

1

𝑥é𝑡 𝑥 ≠ 0 𝑐ℎ𝑖𝑎 2 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 𝑥: (𝑥 − ) + √𝑥 − = 2 => 𝑥 =
𝑥
𝑥
𝑣ậ𝑦 ∶ 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 =

1±√5
2

1±√5
2

𝑏à𝑖 4: 𝑥 2 − 3𝑥 + 1 =

√3 4
√𝑥 + 𝑥 2 + 1(𝑝𝑝 𝑏𝑖ể𝑢 𝑡ℎị 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ)
3


𝐠𝐢ả𝐢
𝑡á𝑐ℎ: 𝑥 4 + 𝑥 2 + 1 = (𝑥 2 − 𝑥 + 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1)
đặ𝑡 ℎệ 𝑠ố 𝑏ấ𝑡 đị𝑛ℎ 𝑎(𝑥 2 − 𝑥 + 1) + 𝑏(𝑥 2 + 𝑥 + 1) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 1 =>
𝑎+𝑏 =1
𝑎=2
{−𝑎 + 𝑏 = −3 => {
𝑏 = −1
𝑎+𝑏 =1
𝑝𝑡 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ: 2(𝑥 2 − 𝑥 + 1) − (𝑥 2 + 𝑥 + 1) =
=> √

𝑥 2 −𝑥+1
𝑥 2 +𝑥+1

=

1
√3

√3
√(𝑥 2
3

− 𝑥 + 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1)

=> 3𝑥 2 − 3𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 𝑥 + 1 => 2(𝑥 − 1)2 = 0

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑡𝑟ê𝑛 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 1
𝑏à𝑖 5: 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2 = 4√2(𝑥 3 − 21𝑥 − 20)(𝑝𝑝 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự)
𝒈𝒊ả𝒊
𝑡á𝑐ℎ 𝑥 3 − 21𝑥 − 20 = (𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 − 20) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 5)(𝑥 + 4)
đặ𝑡 ℎệ 𝑠ố 𝑏ấ𝑡 đị𝑛ℎ: 𝑎(𝑥 2 − 4𝑥 − 5) + 𝑏(𝑥 + 4) = 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2
𝑎=2
𝑎=2
=> 𝑡ℎà𝑛ℎ 2(𝑥 2 − 4𝑥 − 5) + 3(𝑥 + 4)
{−4𝑎 + 𝑏 = −5 => {
𝑏=3
−5𝑎 + 4𝑏 = 2
2(𝑥 2 − 4𝑥 + 5) + 3(𝑥 + 4) = 4√2(𝑥 2 − 4𝑥 − 5)(𝑥 + 4)


𝑥 2 −4𝑥−5
𝑥+4

𝑣ớ𝑖 √
𝑣ớ𝑖 √

=

3√2
2

𝑥 2 −4𝑥−5
𝑥+4
𝑥 2 −4𝑥−5
𝑥+4

ℎ𝑎𝑦 √

=

3√2
2

=

√2
2

𝑥 2 −4𝑥−5
𝑥+4

=

√2
2

𝑡ℎì 𝑡𝑎 đượ𝑐 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚: 𝑥 =

𝑡ℎì 𝑡𝑎 đượ𝑐 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚: 𝑥 =

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 =

17+3√73
3

ℎ𝑎𝑦 𝑥 =

17+3√73
(𝑡ℎõ𝑎)
3

9+√193

9+√193
4

4

(𝑡ℎõ𝑎)


𝑏à𝑖 6: 1 + √1 − 𝑥 2 = 2𝑥 2 (𝑝𝑝 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑔𝑖á𝑐 ℎó𝑎)
𝐠𝐢ả𝐢
đ𝑘 ∶ 1 − 𝑥 2 ≥ 0 => −1 ≤ 𝑥 ≤ 1(∗)
𝑣ì 𝑥 ∈ [−1,1] 𝑛ê𝑛 đặ𝑡 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 => 1 + √1 − cos 2 𝑡 =
2𝑐𝑜𝑠𝑡(đế𝑛 đâ𝑦 𝑐ℎú𝑛𝑔 𝑡𝑎 𝑔𝑖ả𝑖 𝑝𝑡 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑔𝑖á𝑐 𝑏ì𝑛ℎ 𝑡ℎườ𝑛𝑔)
[

𝑠𝑖𝑛𝑡=−1(𝑙𝑜ạ𝑖)
1
𝑠𝑖𝑛𝑡= (𝑛ℎậ𝑛)

=> 𝑣ớ𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑡 =

2

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 =

1
2

𝑣à 𝑡 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 [0, 𝑝𝑖] 𝑡ℎì 𝑥 =

±√3
2

±√3
2

𝐶á𝑐ℎ 2: đặ𝑡 ẩ𝑛 𝑝ℎụ 𝑘ℎô𝑛𝑔 ℎ𝑜à𝑛 𝑡𝑜à𝑛
đặ𝑡 𝑡 2 = 1 − 𝑥 2 (𝑣ớ𝑖 𝑡 ≥ 0 𝑣à 𝑛ℎâ𝑛 1 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑚 ≠ 0 𝑣à𝑜 2 𝑣ế)
𝑚𝑡 2 − 𝑚 + 𝑚𝑥 2 = 0
𝑡𝑎 đượ𝑐 ℎệ: { 2
𝑚𝑡 + 𝑡 − 𝑚 + 𝑚𝑥 2 − 2𝑥 2 + 1 = 0(∗∗)
𝑡𝑎 𝑐ℎ𝑜: 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚, 𝑥 𝑐ủ𝑎 𝑡) = 0
1 − 4𝑚(−𝑚 + 𝑚𝑥 2 − 2𝑥 2 + 1) = 0 => 1 + 4𝑚2 − 4𝑚2 𝑥 2 + 8𝑚𝑥 2 − 4𝑚 = 0
𝑥 2 (−4𝑚2 + 8𝑚) + 1 − 4𝑚 + 4𝑚2 = 0(𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑥)
1

𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎( 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚) = 0 − 4(1 − 4𝑚 + 4𝑚2 )(−4𝑚2 + 8𝑚) = 0 => 𝑚 = , 𝑚 = 2
2

𝑣ớ𝑖 𝑚 =
𝑡2
2

+𝑡−

1
2

𝑡ℎì 𝑡𝑎 𝑐ó 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢:

3𝑥 2
2

1

𝑡2
2

1

𝑥2

2

2

+𝑡− +
4

+ = 0 [𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 1 − (−
2
2

3𝑥 2
2

√1−𝑥 2 =−1+𝑥√3(𝑛ℎậ𝑛)

− 2𝑥 2 + 1 = 0
1

+ ) = 3𝑥 2 ≥ 0]
2

[ √1−𝑥 2=−1−3𝑥 2(𝑙𝑜ạ𝑖) => 1 − 𝑥 2 = 3𝑥 2 − 2𝑥√3 + 1 => 4𝑥 2 − 2𝑥√3 = 0 =>
[

𝑥=0(𝑙𝑜ạ𝑖)
𝑥=

√3
(𝑛ℎậ𝑛)
2

𝑥é𝑡 𝑚 = 2 𝑣ậ𝑦 𝑡ℎì 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑡ì𝑚 đượ𝑐 𝑥 =

−√3
2


𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 =

±√3
2

Lời bình:theo như cách này là 1 cách cực kì mạnh ở pt vô tỷ kể cả denta xấu hay
đẹp nhưng có 1 trở ngại lớn là cực kì dài và vô cùng khó kiểm soát ở các bước theo
denta theo(m,x) và denta theo (m) bởi vì chúng ta còn phải tìm chính xác m thật sự
bằng bao nhiêu bằng cách hoocne
𝑏à𝑖 7: √1 − 4𝑥 2 + 6𝑥 = 32𝑥 3 (𝑝𝑝 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự)
𝒈𝒊ả𝒊
1

1

2

2

đk ∶ 1 − 4x 2 ≥ 0 => − ≤ x ≤ (∗)
𝑡ừ (∗)𝑛ê𝑛 𝑡𝑎 đặ𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 2𝑥 => √1 − cos 2 𝑡 + 3𝑐𝑜𝑠𝑡 = 4 cos 3 𝑡
|𝑠𝑖𝑛𝑡| = 𝑐𝑜𝑠3𝑡 (𝑣ì 𝑡 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐[0, 𝑝𝑖]𝑛ê𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑡 ≥ 0) => 𝑠𝑖𝑛𝑡 = 𝑐𝑜𝑠3𝑡
𝑑𝑜 𝑡 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 [0, 𝑝𝑖]√𝑛ê𝑛 𝑡 =
𝑣ớ𝑖 𝑡 =
𝑣ớ𝑖 𝑡 =
𝑣ớ𝑖 𝑡 =

𝑝𝑖
8

=> 𝑥 =

5𝑝𝑖
8
3𝑝𝑖
4

𝑝𝑖
8

,𝑡 =

5𝑝𝑖
8

,𝑡 =

3𝑝𝑖
4

√2+√2

=> 𝑥 =
=> 𝑥 =

4
√2−√2
4
−√2
4

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 =

√2+√2
4

,𝑥 =

√2−√2
4

,𝑥 =

−√2
4

𝑏à𝑖 8: 𝑥 2 + (3 − √𝑥 2 + 2) 𝑥 = 1 + 2√𝑥 2 + 2(𝑝𝑝 đặ𝑡 ẩ𝑛 𝑝ℎụ 𝑘ℎô𝑛𝑔 ℎ𝑜à𝑛 𝑡𝑜à𝑛)
𝒈𝒊ả𝒊
𝑥 2 + 3𝑥 − 𝑥√𝑥 2 + 2 = 1 + 2√𝑥 2 + 2
𝑥 2 + 3𝑥 − 1 − (2 + 𝑥)√𝑥 2 + 2 = 0


đặ𝑡 𝑡 2 = 𝑥 2 + 2(đ𝑘 𝑡 ≥ 0) => 𝑥 2 = 𝑡 2 − 2 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡 𝑡𝑟ê𝑛:
(𝑡 2 − 2) + 3𝑥 − 1 − (2 + 𝑥)𝑡 = 0 => 𝑡 2 − (2 + 𝑥)𝑡 + 3𝑥 − 3 = 0
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑥) = (2 + 𝑥)2 − 4(3𝑥 − 3) = 4 + 4𝑥 + 𝑥 2 − 12𝑥 + 12 =
(𝑥 − 4)2 ≥ 0
[

(𝑥+2)−(𝑥−4)
=3=>𝑥=±√7
2
(𝑥+2)+(𝑥−4)
2𝑥−2
1
√𝑥 2 +2=
=
=𝑥−1=>𝑥=− (𝑙𝑜ạ𝑖)
2
2
2

√𝑥 2 +2=

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = −√7 ℎ𝑎𝑦 𝑥 = √7
𝑏à𝑖 9: (𝑥 − 1)√𝑥 2 + 2 = 𝑥 2 − 𝑥 − 2(𝑝𝑝 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự)
𝒈𝒊ả𝒊
𝑐ũ𝑛𝑔 𝑛ℎư 𝑡𝑟ê𝑛 𝑡𝑎 đặ𝑡 𝑡 2 = 𝑥 2 + 2(𝑡 ≥ 0)
𝑥 2 = 𝑡 2 − 2 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡 𝑡𝑟ê𝑛: (𝑥 − 1)𝑡 = 𝑡 2 − 𝑥 − 4
𝑡 2 − (𝑥 − 1)𝑡 − 𝑥 − 4 = 0 => 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑥 2 + 2𝑥 +
17 (? ? ? đế𝑛 đâ𝑦 𝑡𝑎 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎể đư𝑎 𝑣ề 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 đượ𝑐 𝑟ồ𝑖 ‼!)
𝑣ậ𝑦 𝑡ℎì 𝑏â𝑦 𝑔𝑖ờ 𝑡𝑎 𝑝ℎả𝑖 đặ𝑡 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑚 𝑡𝑟ướ𝑐 ẩ𝑛 𝑔𝑖ố𝑛𝑔 𝑛ℎư 𝑏à𝑖 6
𝑣ấ𝑛 đề đặ𝑡 𝑟𝑎 𝑏â𝑦 𝑔𝑖ờ 𝑙à 𝑝ℎả𝑖 𝑡ì𝑚 𝑚 ? ? ? 𝑂𝐾 𝑐ℎ𝑖ế𝑛 𝑡ℎô𝑖
𝑛ℎâ𝑛 1 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑚 ≠ 0 𝑣à𝑜 2 𝑣ế => 𝑚𝑡 2 − 𝑚𝑥 2 − 2𝑚 = 0
𝑚𝑡 2 − 𝑚𝑥 2 − 2𝑚 = 0
𝑡𝑎 đượ𝑐 ℎệ: {
(𝑥 − 1)𝑡 − 𝑥 2 + 𝑥 + 2 + 𝑚𝑡 2 − 𝑚𝑥 2 − 2𝑚 = 0(∗∗)
(∗∗): 𝑚𝑡 2 + (𝑥 − 1)𝑡 − 𝑥 2 + 𝑥 + 2 − 𝑚𝑥 2 − 2𝑚 = 0
𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚, 𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 − 4𝑚(−𝑥 2 + 𝑥 + 2 − 𝑚𝑥 2 − 2𝑚)
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚, 𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 4𝑚𝑥 2 − 4𝑚𝑥 − 8𝑚 + 4𝑚2 𝑥 2 + 8𝑚2
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚, 𝑥) = 𝑥 2 (1 + 4𝑚 + 4𝑚2 ) + 𝑥(−2 − 4𝑚) + 1 − 8𝑚 + 8𝑚2
𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 0 => 𝑡𝑖ế𝑝 𝑡ụ𝑐 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 (𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚)


(−2 − 4𝑚)2 − 4(1 + 4𝑚 + 4𝑚2 )(1 − 8𝑚 + 8𝑚2 ) = 0 => 𝑚 = 1, 𝑚 = −

1
2

𝑣ớ𝑖 𝑚 = 1 𝑡ℎì 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡 𝑡𝑟ê𝑛: 𝑡 2 + (𝑥 − 1)𝑡 − 2𝑥 2 + 𝑥 = 0
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 − 4(−2𝑥 2 + 𝑥) = 9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = (3𝑥 − 1)2 ≥ 0
[

1−𝑥−3𝑥+1
2−√7
=1−2𝑥=>𝑥=
2
3
1−𝑥+3𝑥−1
√𝑥 2 +2=
=𝑥=>(𝑣𝑛)
2

√𝑥 2 +2=

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 =

2−√7
3

𝑏à𝑖 10:

1
√𝑥 2 − 1

=

2
−1
𝑥

𝒈𝒊ả𝒊
Theo tôi nghĩ đây là 1 cách giải cũng phù hợp cho nó và cũng khá rõ ràng do
chính tôi đề xuất ra, nó thuần nhất hoàn toàn về denta mong rằng sẽ làm cho bạn
đọc dễ hiểu hơn
đ𝑘: 𝑥 2 − 1 > 0 => 𝑥 < −1, 𝑥 > 1
1=

2√𝑥 2 −1
𝑥

− √𝑥 2 − 1 => 𝑥 = 2√𝑥 2 − 1 − 𝑥√𝑥 2 − 1

𝑥 = (2 − 𝑥)√𝑥 2 − 1 => ý 𝑡ưở𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑒𝑛 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 đặ𝑡 𝑡 2 = 𝑥 2 − 1(𝑡 ≥ 0)
𝑚𝑡 2 − 𝑚𝑥 2 + 𝑚 = 0
𝑛ℎâ𝑛 1 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑚 ≠ 0 𝑣à𝑜 2 𝑣ế 𝑐ủ𝑎 ẩ𝑛 đó 𝑡𝑎 đượ𝑐 ℎệ: {
𝑥 − (2 − 𝑥)𝑡 = 0
𝑥 − (2 − 𝑥)𝑡 + 𝑚𝑡 2 − 𝑚𝑥 2 + 𝑚 = 0 => 𝑚𝑡 2 − (2 − 𝑥)𝑡 + 𝑥 − 𝑚𝑥 2 + 𝑚 = 0
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑥, 𝑚) = 4 − 4𝑥 + 𝑥 2 − 4𝑚(𝑥 − 𝑚𝑥 2 + 𝑚) = 0
4 − 4𝑥 + 𝑥 2 − 4𝑚𝑥 + 4𝑚2 𝑥 2 − 4𝑚2 = 0 => 𝑥 2 (1 + 4𝑚2 ) + 𝑥(−4𝑚 − 4) +
4 − 4𝑚2 = 0

𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚) = (−4𝑚 − 4)2 − 4(1 + 4𝑚2 )(4 − 4𝑚2 ) = 0 => 𝑚 = −1


𝑣ớ𝑖 𝑚 = −1 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡 𝑡𝑟ê𝑛: −𝑡 2 − (2 − 𝑥) + 𝑥 + 𝑥 2 − 1 = 0
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 4 − 4𝑥 + 𝑥 2 + 4(𝑥 + 𝑥 2 − 1) = 5𝑥 2 ≥ 0
[

2−𝑥−𝑥√5 2−𝑥(1+√5)
=
−2
−2
2−𝑥+𝑥√5 2+𝑥(√5−1)
2
√𝑥 −1=
=
−2
−2

√𝑥 2 −1=

2

𝑣ớ𝑖 𝑥 − 1 =

4−4(1+√5)𝑥+𝑥 2 (1+√5)

2

4

4𝑥 2 − 4 = 4 − 4(1 + √5)𝑥 + 𝑥 2 (6 + 2√5)
𝑥 < −1, 𝑥 > 1
𝑥 (2 + 2√5) − (4 + 4√5)𝑥 + 8 = 0 (đ𝑘 𝑙à { 2−𝑥(1+√5)
)
≥0
2

−2

𝑣ớ𝑖 4𝑥 2 − 4 = 4 + 4(√5 − 1)𝑥 + 𝑥 2 (6 − 2√5)
𝑥 < −1, 𝑥 > 1
𝑥 (−2 + 2√5) − 4(√5 − 1)𝑥 − 8 = 0(đ𝑘 𝑙à { 2+𝑥(√5−1)
)
≥0
2

−2

Lời bình: đây là 1 bài khó đoán nghiệm, nghiệm cực xấu như các bạn đã thấy tôi
giải
2

𝑏à𝑖 11: √82 − 𝑥 2 = (4 − √𝑥) (𝑝𝑝 đặ𝑡 ẩ𝑛 đư𝑎 𝑣ề ℎệ 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ)
𝒈𝒊ả𝒊
2
đ𝑘 ∶ {82 − 𝑥 ≥ 0 => 0 ≤ 𝑥 ≤ √82(∗)
𝑥≥0
2
4
𝑎 = √𝑥
đặ𝑡 {
=> 𝑎 + 𝑏 = 4 => 𝑡ừ đó 𝑡𝑎 𝑐ó ℎệ ∶ {√82 − 𝑎 = 𝑏
𝑎+𝑏 =4
𝑏 = 4 − √𝑥
4
4
𝑎+𝑏 =4
𝑎=1
𝑎=3
=> {
ℎ𝑎𝑦 {
{82 − 𝑎 = 𝑏 => { 2
2
2
2
(𝑎 + 𝑏 ) − 2(𝑎𝑏) = 82
𝑏=3
𝑏=1
𝑎+𝑏 =4

𝑣ớ𝑖 {

𝑎=1
=> 𝑥 = 1 (𝑡ℎõ𝑎 𝑚ã𝑛 đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛 (∗))
𝑏=3


𝑣ớ𝑖 {

𝑎=3
=> 𝑥 = 9 (𝑡ℎõ𝑎 𝑚ã𝑛 đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛(∗))
𝑏=1

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 1 ℎ𝑎𝑦 𝑥 = 9
𝐶á𝑐ℎ 2: 𝑝𝑝 𝑙𝑖ê𝑛 ℎợ𝑝 𝑣ớ𝑖 2 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 1, 𝑥 = 9
√82 − 𝑥 2 + 8√𝑥 = 16 + 𝑥
1 + 9𝑎 + 𝑏 = 0
𝑎=1
đặ𝑡 𝑡ℎử √82 − 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 => {
=> {
9+𝑎+𝑏 =0
𝑏 = −10
𝑐ũ𝑛𝑔 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự đặ𝑡 8√𝑥 + 𝑎′ 𝑥 + 𝑏 ′ = 0 => {

8 + 𝑎′ + 𝑏 ′ = 0
𝑎′ = −2
=>
{
24 + 9𝑎′ + 𝑏 ′ = 0
𝑏 ′ = −6

√82 − 𝑥 2 − (10 − 𝑥) + 8√𝑥 − (2𝑥 + 6) = 0
82−𝑥 2 −100+20𝑥−𝑥 2
√82−𝑥 2 +10−𝑥

+

2(16𝑥−𝑥 2 −6𝑥−9)

= 0 =>

4√𝑥+(𝑥+3)

𝑣ậ𝑦 𝑥 2 − 10𝑥 + 9 = 0 ℎ𝑎𝑦

−2
√82−𝑥 2 +10−𝑥

+

−2𝑥 2 +20𝑥−18
√82−𝑥 2 +10−𝑥
−2

4√𝑥+𝑥+3

+

2(−𝑥 2 +10𝑥−9)
4√𝑥+(𝑥+3)

=0

=

0(𝑝𝑡 𝑛à𝑦 𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑑𝑜 𝑉𝑇 > 𝑉𝑃)
𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 1, 𝑥 = 9
𝑏à𝑖 12: 𝑥 2 + √𝑥 + 1 = 1(𝑝𝑝 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự)
𝐠𝐢ả𝐢
đ𝑘: 𝑥 + 1 ≥ 0 => 𝑥 ≥ −1
2
𝑥2 + 𝑡 = 1
đặ𝑡 𝑡 = √𝑥 + 1(đ𝑘 𝑡 ≥ 0) => 𝑡𝑎 đượ𝑐 ℎệ ∶ {
=> {𝑥2 + 𝑡 = 1
𝑡 −𝑥 =1
𝑡 = √𝑥 + 1
𝑥+𝑡=0
(𝑥 − 𝑡)(𝑥 + 𝑡) + 𝑡 + 𝑥 = 0 => (𝑥 − 𝑡 + 1)(𝑥 + 𝑡) = 0 => [𝑥−𝑡+1=0

=> {

𝑡=

−1−√5

𝑥=

2
(𝑙𝑜ạ𝑖) ℎ𝑎𝑦
1+√5
2

𝑡=

{
𝑥=

√5−1
2
1−√5

ℎ𝑎𝑦 {

𝑡=1
𝑡=0
ℎ𝑎𝑦 {
𝑥=0
𝑥 = −1

2

𝑣ậ𝑦 ∶ 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 =

1−√5
2


𝐶á𝑐ℎ 2: 𝑏𝑖ế𝑛 đổ𝑖 𝑡ươ𝑛𝑔 đươ𝑛𝑔
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + √𝑥 + 1 = 0 => [(𝑥 − 1)√𝑥 + 1 + 1]√𝑥 + 1 = 0
𝑣ậ𝑦 𝑥 = −1 ℎ𝑎𝑦 (𝑥 − 1)√𝑥 + 1 + 1 = 0 => (1 − 2𝑥 + 𝑥 2 )(𝑥 + 1) = 1
𝑥 + 1 − 2𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑥 3 + 𝑥 2 − 1 = 0 => 𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 = 0 =>
[

𝑥=0
1±√5
1−√5
𝑥=
(𝑛ℎậ𝑛 𝑥=
)
2
2

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 0 ℎ𝑎𝑦 𝑥 = −1 ℎ𝑎𝑦 𝑥 =

𝑏à𝑖

13: √2𝑥 2

1−√5
2

𝑥2 − 1
− 3𝑥 + 1 =
(𝑝𝑝 đặ𝑡 ẩ𝑛 𝑙𝑖ê𝑛 ℎợ𝑝)
2𝑥 − 3
𝒈𝒊ả𝒊
1

𝑥 ≤ ,𝑥 ≥ 1
2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 ≥ 0
1
3
2
2
đ𝑘: {
=>
=> −1 ≤ 𝑥 ≤ , 𝑥 = 1, 𝑥 >
{
𝑥 −1
3
2
2
≥0
−1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 >
2𝑥−3

2

Đến đây ta sẽ sử dụng casio thần thánh nè ^^!
Nhập nguyên cái pt vào ta SHIFT,SOLVE 3 lần sẽ tìm ra được 3 nghiệm gồm:
𝑥 = 1, 𝑥 = 0.3819660113, 𝑥 = 2.618033989
Bây giờ ta chỉ để ý 2 nghiệm vô tỷ thôi, lưu 2 nghiệm lần lượt vào A,B
Theo viet ta có được nhân tử là:{

𝐴. 𝐵 = 1
=> 𝑛ℎâ𝑛 𝑡ử 𝑙à: 𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0
𝐴+𝐵 =3

Ta sẽ xử lý nó như sau:đặt √2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 − 𝑚𝑥 =
2𝑥 2 −3𝑥+1−𝑚2 𝑥 2
√2𝑥 2 −3𝑥+1+𝑚𝑥

=

𝑥 2 −1−𝑚𝑥(2𝑥−3)
2𝑥−3

𝑥 2 −1
2𝑥−3

− 𝑚𝑥

=> (2 − 𝑚2 )𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 𝑘[(1 − 2𝑚)𝑥 2 +

3𝑚𝑥 − 1]
2 − 𝑚2 = 𝑘(1 − 2𝑚)
=> {
=> 𝑚 = 1 => 𝑡𝑎 𝑐ộ𝑛𝑔 𝑡ℎê𝑚 2 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 − 𝑥
−3 = 3𝑚𝑘
1 = −𝑘


𝑥 2 −1

√2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 − 𝑥 = 2𝑥−3 − 𝑥 =>
𝑣ậ𝑦 𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0 ℎ𝑎𝑦

𝑥 2 −3𝑥+1
√2𝑥 2 −3𝑥+1+𝑥

1
√2𝑥 2 −3𝑥+1+𝑥

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 1, 𝑥 =

=−

1
2𝑥−3

=−

𝑥 2 −3𝑥+1

=> [

2𝑥−3
𝑥=1(𝑡ℎõ𝑎)
8
7

𝑥= (𝑙𝑜ạ𝑖)

3±√5
2

𝑏à𝑖 14: √2(𝑥 2 + 8) = 5√𝑥 3 + 8(𝑝𝑝 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự)
𝒈𝒊ả𝒊
đ𝑘 ∶ 𝑥 3 + 8 => 𝑥 > −2
𝑥 2 +8
5(𝑥+2)

−2=√

𝑥 2 −2𝑥+4
2𝑥+4

− 2 =>

𝑣ậ𝑦 𝑥 2 − 10𝑥 − 12 = 0 ℎ𝑎𝑦

𝑥 2 −10𝑥−12
5(𝑥+2)

1
5(𝑥+2)

=

𝑥2 −2𝑥+4
−4
2𝑥+4
𝑥2 −2𝑥+4



2𝑥+4

+2

1

=
(2𝑥+4)[√

𝑥2 −2𝑥+4
+2]
2𝑥+4

(𝑝𝑡𝑣𝑛)

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 5 ± √37

 OK!!!!chúng ta cùng đến với những câu trong đề thi hsg nào ^^! 
2018𝑥 4 + 𝑥 4 √𝑥 2 + 2018 + 𝑥 2
𝑏à𝑖 15:
= 2018
2017
(Đề thi hsg lớp 12 tỉnh Tiền Giang năm 2017-2018)
𝑔𝑖ả𝑖
2018𝑥 4 + 𝑥 4 √𝑥 2 + 2018 + 𝑥 2 = 20182 − 2018
𝑥 4 (2018 + √𝑥 2 + 2018) + (√𝑥 2 + 2018 − 2018)(√𝑥 2 + 2018 + 2018) = 0
𝑣ậ𝑦 2018 + √𝑥 2 + 2018 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖)ℎ𝑎𝑦 𝑥 4 − 2018 + √𝑥 2 + 2018 = 0
𝑡 2 = 𝑥 2 + 2018(𝑡 ≥ 0)
2018 = 𝑡 2 − 𝑥 2 => [𝑥 2+𝑡=0(𝑝𝑡𝑣𝑛)
đặ𝑡 {
=>
{
𝑥 2 −𝑡+1=0
𝑥4 + 𝑡 − 𝑡2 + 𝑥2 = 0
𝑥 4 + 𝑡 − 2018 = 0


𝑥 2 − 𝑡 + 1 = 0 => 𝑥 2 − √𝑥 2 + 2018 + 1 = 0 => 𝑥 2 + 2018 = 𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1
𝑥 4 + 𝑥 2 − 2017 = 0 => 𝑥 = ±√
𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = ±√

√8069−1
(𝑛ℎậ𝑛)
2

√8069−1
2
3

𝑏à𝑖 16: √2𝑥 2 − 5 + (2𝑥 2 − 5) + √4𝑥 4 − 29𝑥 2 + 25 = √3𝑥 + √12𝑥 3 − 9𝑥 2 − 30𝑥

(đề thi trong gr “Học Toán cùng thầy Hồng Trí Quang”)
𝒈𝒊ả𝒊
5

𝑥 ≤ −√ , 𝑥 ≥ √

2

5

2𝑥 − 5 ≥ 0
2
2
đ𝑘: 12𝑥 3 − 9𝑥 2 − 30𝑥 ≥ 0 =>
5
𝑥 ≥ 2, − ≤ 𝑥 ≤ 0
3𝑥 ≥ 0
4
𝑥≥0
{
{
3

√2𝑥 2 − 5 + (2𝑥 2 − 5) + √(2𝑥 2 − 5)2 − 9𝑥 2 = √3𝑥 + √6𝑥(2𝑥 2 − 5) − 9𝑥 2
2𝑥 2 −5−3𝑥
√2𝑥 2 −5+√3𝑥

[ 3√(2𝑥2−3𝑥−5)2
√2𝑥2 −5+√3𝑥

+

[(2𝑥 2 −5)−3𝑥]2

3

2𝑥 2 −5+√6𝑥(2𝑥 2 −5)−9𝑥

+ √[2𝑥 2 − 5 − 3𝑥][2𝑥 2 − 5 + 3𝑥] = 0
2

2𝑥 2 −3𝑥−5=0
+

3
√(2𝑥2 −3𝑥−5)5

2𝑥2 −5+√6𝑥(2𝑥2 −5)−9𝑥2

3

+ √2𝑥 2 +3𝑥−5=0(𝑝𝑡𝑣𝑛 𝑑𝑜 𝑉𝑇>0)(để ý 𝑟ằ𝑛𝑔 3𝑥(2(2𝑥 2 −5)−3𝑥)≥0)

𝑚à 3𝑥 ≥ 0 𝑣ậ𝑦 𝑡ℎì 2(2𝑥 2 − 5) − 3𝑥 ≥ 0 => 2𝑥 2 − 5 − 3𝑥 ≥ 0
𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 =

5
2

(𝑛ℎậ𝑛 𝑑𝑜 𝑙𝑜ạ𝑖 𝑥 = −1)

𝑏à𝑖 17: 𝑥(3 − √3𝑥 − 1) = √3𝑥 3 + 2𝑥 − 1 − 𝑥√𝑥 + 1 + 1
(anh Nguyễn Hữu Thành Đạt ra đề cho 2k3)
𝒈𝒊ả𝒊


𝑥≥

1

3
3𝑥 − 1 ≥ 0
3
2
Đk {3𝑥 3 + 2𝑥 − 1 ≥ 0 => 𝑥 ≥ 1 ( 3√9+√113 − 2√
)
3
2
9+√113
𝑥+1≥0
{
𝑥 ≥ −1

3𝑥 − 𝑥 √3𝑥 − 1 = √3𝑥 3 + 2𝑥 − 1 − 𝑥 √𝑥 + 1 + 1
(3𝑥 − 1) − √3𝑥 3 + 2𝑥 − 1 = 𝑥 √3𝑥 − 1 − 𝑥√𝑥 + 1
9𝑥 2 −6𝑥+1−3𝑥 3 −2𝑥+1
3𝑥−1+√3𝑥 3 +2𝑥−1

=> [

=

𝑥(3𝑥−1−𝑥−1)
√3𝑥−1+√𝑥+1

−(𝑥−1)(3𝑥 2 −6𝑥+2)

=>

3𝑥−1+√3𝑥 3 +2𝑥−1

=

2𝑥(𝑥−1)
√3𝑥−1+√𝑥+1

𝑥=1

3𝑥2 −6𝑥+2
2𝑥

=
(𝑝𝑡𝑣𝑛
3𝑥−1+√3𝑥3 +2𝑥−1 √3𝑥−1+√𝑥+1

𝑑𝑜 𝑉𝑇<𝑉𝑃)

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 1
𝑏à𝑖 18: 𝑥 = √2 − 𝑥√3 − 𝑥 + √3 − 𝑥√5 − 𝑥 + √2 − 𝑥√5 − 𝑥
(đề của bạn Nguyễn Đức Minh, Thái Bình)
𝒈𝒊ả𝒊
2−𝑥 ≥0
đ𝑘: {3 − 𝑥 ≥ 0 => 𝑥 ≤ 2
5−𝑥 ≥0
Cách giải do bạn có tên facebook “Uí Dời Ơi” đề xuất
√2 − 𝑥 = 𝑎
𝑎2 + 𝑥 = 2
đặ𝑡 𝑙ầ𝑛 𝑙ượ𝑡 ∶ {√3 − 𝑥 = 𝑏 => {𝑏 2 + 𝑥 = 3(đ𝑘 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0)
𝑐2 + 𝑥 = 5
√5 − 𝑥 = 𝑐
𝑝𝑡 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ ∶ 𝑥 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐(∗∗)
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐) = 2
𝑡ℎế 𝑙ầ𝑛 𝑙ượ𝑡 𝑐á𝑐 𝑝𝑡 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℎệ 𝑡𝑟ê𝑛 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(∗∗) => {(𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏) = 3
(𝑎 + 𝑐)(𝑐 + 𝑏) = 5


𝑡. 𝑘 = 2
𝑔𝑖ả𝑖 ℎệ đặ𝑡 𝑡, 𝑘, 𝑙 𝑙ầ𝑛 𝑙ượ𝑡 𝑙à ∶ (𝑎 + 𝑏), (𝑎 + 𝑐), (𝑏 + 𝑐) => { 𝑙. 𝑡 = 3
𝑘. 𝑙 = 5
3𝑘
𝑙

=2

{ 𝑡 = 3 => {
𝑙

𝑘. 𝑙 = 5
𝑣ớ𝑖 𝑘 =

3𝑘

𝑙=

√30
3

𝑣ớ𝑖 𝑘 = −
𝑎+𝑏 =
𝑎+𝑐 =
{𝑏 + 𝑐 =

√30
5
√30
3
√30
2

𝑥 =2−

{𝑥 = 5 − (

𝑎+𝑐 =
{𝑏 + 𝑐 =

√30
2

=> 𝑡 =

=> 𝑙 = −

√30
2

√30
3

√30
5

=> 𝑡 = −

√30
5

−2√30

𝑐=

−2√30

60

19√30
60

239

) => 𝑥 = 120

60

2

)

−√30
5
−√30
3
−√30
2

19√30

𝑏−𝑐 =
𝑏=
+𝑐
11 30
15
15
=> {
=> {
=> 𝑏 = √
−2
30
30
30



60
+ 2𝑐 =
𝑏+𝑐 =
√30
15
2
2
{ 𝑎 = 60

2
√30
( 60 )
2
11√30

𝑥 =3−(

𝑎+𝑏 =

3𝑘

𝑘. ( ) = 5 => 𝑘 = ±
2

=> 𝑙 =

√30
3

2

𝑏−𝑐 =

=>

𝑏+𝑐 =
{

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 =

2√30
15
−√30
2

=>

𝑏−𝑐
𝑏=
{

2√30
=
15
19√30

𝑐=
=>

60

𝑏

11√30

60
19√30
(𝑙𝑜ạ𝑖)
=
60
−31√30

{𝑎 =

60

239
120

𝑏à𝑖 19: {

𝑥 2 𝑦 2 + 4 = 2𝑦 2 (1)
(𝑥𝑦 + 2)(𝑦 − 𝑥) = 𝑥 3 𝑦 2 (2)

(đề thi tuyển sinh 10 chuyên Bắc Giang năm 2017-2018)


𝒈𝒊ả𝒊
𝑝𝑡(2): (2𝑥𝑦 + 4)(𝑦 − 𝑥) = 2𝑥 3 𝑦 2
𝑙ấ𝑦 𝑝𝑡(1): 4 = 2𝑦 2 − 𝑥 2 𝑦 2 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(2): (2𝑥𝑦 + 2𝑦 2 − 𝑥 2 𝑦 2 )(𝑦 − 𝑥) =
2𝑥 3 𝑦 2
𝑣ậ𝑦 𝑦 = 0 ℎ𝑎𝑦 (2𝑥 + 2𝑦 − 𝑥 2 𝑦)(𝑦 − 𝑥) = 2𝑥 3 𝑦
𝑣ớ𝑖 𝑦 = 0 => 𝑝𝑡 𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚
𝑣ớ𝑖 2𝑦 2 − 2𝑥 2 − 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 3 𝑦 = 2𝑥 3 𝑦
2𝑦 2 − 2𝑥 2 − 𝑥 2 𝑦 2 = 𝑥 3 𝑦 => 2(𝑦 − 𝑥)(𝑦 + 𝑥) = 𝑥 2 𝑦(𝑦 − 𝑥)
𝑣ậ𝑦 𝑥 = 𝑦 ℎ𝑎𝑦 2(𝑦 + 𝑥) = 𝑥 2 𝑦
𝑣ớ𝑖 {

𝑥=𝑦
𝑥=𝑦
2
2 => { 4
𝑥 − 2𝑥 + 4 = 0(𝑝𝑡𝑣𝑛)
𝑥 𝑦 + 4 = 2𝑦
2 2

𝑥=

2𝑦 2 −4

−𝑦
2
2(𝑦 + 𝑥) = 𝑥 𝑦
2𝑦 2 −4
2𝑦 2 −4
2𝑦
𝑣ớ𝑖 { 2 2
=>
=>

𝑦)
=
{
(
2
2𝑦 −4
2𝑦
𝑦2
𝑥 𝑦 + 4 − 2𝑦 2 = 0
𝑥2 = 2
2

𝑦

𝑥 = 2 ℎ𝑎𝑦 𝑥 = −1
𝑥 = −2 ℎ𝑎𝑦 𝑥 = 1
(𝑛ℎớ 𝑥é𝑡 𝑦 = 0)
=> {
𝑣à {
𝑦=2
𝑦 = −2
𝑣ậ𝑦 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (2,2); (−1,2); (−2, −2); (1, −2)
𝑏à𝑖 20: √(1 + √1 − 𝑥 2 ) (𝑥 + 1)3 = √(1 + √1 − 𝑥 2 ) (1 − 𝑥)3 + √1 − 𝑥 2 + 2
(đề của bạn Minh Đăng)
𝒈𝒊ả𝒊
1 − 𝑥2 ≥ 0
đ𝑘: { 𝑥 + 1 ≥ 0 => −1 ≤ 𝑥 ≤ 1
1−𝑥 ≥0
Một cách giải do anh Nguyễn Anh Tú đề xuất:


3

3

√1 + √1 − 𝑥 2 [(√𝑥 + 1) − (√1 − 𝑥) ] = √1 − 𝑥 2 + 2
√1 + √1 − 𝑥 2 [2 + √1 − 𝑥 2 ][√𝑥 + 1 − √1 − 𝑥] = √1 − 𝑥 2 + 2
√1 + √1 − 𝑥 2 [√𝑥 + 1 − √1 − 𝑥] = 1
đặ𝑡 𝑡 = √𝑥 + 1 − √1 − 𝑥 => 𝑡 2 = 2 − 2√1 − 𝑥 2 (đ𝑘 𝑡 ≥ 0)
𝑡ℎế 𝑣à𝑜 ∶ 𝑡√1 +
[

2−𝑡 2
2

= 1 => 𝑡 2 +

2𝑡 2 −𝑡 4
2

= 1 => −

𝑡4
2

+ 2𝑡 2 − 1 = 0 =>

𝑡=±√2+√2
𝑡=±√2−√2

𝑣ớ𝑖 𝑡 = √2 + √2 = √𝑥 + 1 − √1 − 𝑥
2 + √2 = 2 − 2√1 − 𝑥 2 => 2√1 − 𝑥 2 = −√2(𝑙𝑜ạ𝑖)
𝑣ớ𝑖 𝑡 = −√2 + √2(𝑙𝑜ạ𝑖)𝑑𝑜 𝑡 < 0
𝑣ớ𝑖 𝑡 = √2 − √2 = √𝑥 + 1 − √1 − 𝑥
1

2 − √2 = 2 − 2√1 − 𝑥 2 => 2√1 − 𝑥 2 = √2 => 2 − 2𝑥 2 = 1 => 𝑥 = ±√
2
𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = ±√

1
2

𝑏à𝑖 21: √1 − 𝑥 2 (16𝑥 4 − 12𝑥 2 + 1) = 4𝑥 3 − 3𝑥
(đề thi hsg cấp tỉnh Tiền Giang năm 2017-2018)
𝒈𝒊ả𝒊
Đ𝑘: 1 − 𝑥 2 ≥ 0 => −1 ≤ 𝑥 ≤ 1
đặ𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑥 => √1 − cos 2 𝑡 (16 cos 4 𝑡 − 12 cos 2 𝑡 + 1) = 4 cos 3 𝑡 − 3𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑡𝑎 đư𝑎 𝑣ề 𝑔𝑖ả𝑖 𝑝𝑡𝑙𝑔 𝑏ì𝑛ℎ 𝑡ℎườ𝑛𝑔: |𝑠𝑖𝑛𝑡|(4cost. cos3t + 1) = cos3t


𝑣ì 𝑡 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 [0, 𝑝𝑖]𝑛ê𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑡 ≥ 0 => 2𝑠𝑖𝑛2𝑡. 𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 𝑠𝑖𝑛𝑡 = 𝑐𝑜𝑠3𝑡
5𝑡= −3𝑡+𝑘2𝑝𝑖

2

5𝑡=𝑝𝑖− +3𝑡+𝑘2𝑝𝑖

𝑠𝑖𝑛5𝑡 = 𝑐𝑜𝑠3𝑡 => 𝑠𝑖𝑛5𝑡 = sin ( − 3𝑡) => [
𝑡=

𝑝𝑖
16

+

𝑘𝑝𝑖
4

=> 0 ≤

𝑝𝑖
16

+

𝑘𝑝𝑖
4

𝑝𝑖
2

𝑝𝑖

≤ 𝑝𝑖 => −

𝑝𝑖
16



𝑝𝑖
2

𝑘𝑝𝑖
4



15𝑝𝑖
16

1

15

4

4

=> − ≤ 𝑘 ≤

𝑣ì 𝑘 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑁 => 𝑘 = 0,1,2,3
𝑡=

𝑝𝑖
4

+ 𝑘𝑝𝑖 => 0 ≤

𝑝𝑖
4

1

1

3

4

4

4

+ 𝑘𝑝𝑖 ≤ 𝑝𝑖 => 0 ≤ + 𝑘 ≤ 1 => − ≤ 𝑘 ≤

𝑣ì 𝑘 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑁 => 𝑘 = 0
𝑣ậ𝑦 𝑐ó 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 (𝑡 =

𝑝𝑖 5𝑝𝑖 9𝑝𝑖 13𝑝𝑖 𝑝𝑖

,

16 16

,

16

,

16

, )
4

3√𝑦 + 1 + 𝑦 2 + 2𝑦 = 𝑥(1)

𝑏à𝑖 22𝑎): { 3
3√4(𝑥 2 + 5𝑥 + 6) + 2√2𝑦 2 + 7𝑦 + 6 = 3(𝑥 + 𝑦) + 14(2)
𝑏)4√𝑥 + 1 + 2√2𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 − 2)
(đề thi hsg lớp 12 tỉnh Bình Dương năm 2017-2018)
𝒈𝒊ả𝒊
𝑦 ≥ −1
𝑎) đ𝑘: { 2
=> 𝑦 ≥ −1
2𝑦 + 7𝑦 + 6 ≥ 0
3

để ý 𝑝𝑡(2): 3√4(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) + 2√(2𝑦 + 3)(𝑦 + 2) = 3(𝑥 + 𝑦) + 14
3

3√2(2𝑥 + 4)(𝑥 + 3) ≤ 3𝑥 + 9
𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑏ấ𝑡 đẳ𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝑐𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦: {
2√(2𝑦 + 3)(𝑦 + 2) ≤ 3𝑦 + 5
2 = 2𝑥 + 4 = 𝑥 + 3
𝑣ậ𝑦 𝑉𝑇 ≤ 𝑉𝑃 𝑑ấ𝑢 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 𝑘ℎ𝑖: {
=> 𝑥 = 𝑦 = −1
2𝑦 + 3 = 𝑦 + 2
𝑡ℎế 𝑥 = 𝑦 = −1 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(2) 𝑡ℎì 𝑡ℎấ𝑦 𝑡ℎõ𝑎
𝑣ậ𝑦: ℎ𝑝𝑡 𝑎) 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (−1, −1)


𝑏)4√𝑥 + 1 + 2√2𝑥 + 3 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥 + 2
đ𝑘 ∶ 𝑥 ≥ −1
−𝑎 + 𝑏 = 0
𝑎 = −2
đặ𝑡 4√𝑥 + 1 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 => {
=> {
3𝑎 + 𝑏 = −8
𝑏 = −2
6 + 3𝑎′ + 𝑏 ′ = 0
𝑎′ = −1
2√2𝑥 + 3 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 0 => {
=>
{
2 − 𝑎′ + 𝑏 ′ = 0
𝑏 ′ = −3




[4√𝑥 + 1 − (2𝑥 + 2)] + [2√2𝑥 + 3 − (𝑥 + 3)] = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 5𝑥 − 3
2(4𝑥+4−𝑥 2 −2𝑥−1)
2√𝑥+1+𝑥+1
2(−𝑥 2 +2𝑥+3)
2√𝑥+1+𝑥+1

+

+

8𝑥+12−𝑥 2 −6𝑥−9
2√2𝑥+3+𝑥+3

−𝑥 2 +2𝑥+3
2√2𝑥+3+𝑥+3

= (𝑥 − 3)(𝑥 + 1)2

𝑣ậ𝑦 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 ℎ𝑎𝑦


2
2√𝑥+1+𝑥+1

+

= (𝑥 − 3)(𝑥 + 1)2

−1
2√2𝑥+3+𝑥+3

−2
2√𝑥+1+𝑥+1

+

−1
2√2𝑥+3+𝑥+3

=𝑥+1

= 𝑥 + 1(𝑝𝑡𝑣𝑛 𝑑𝑜 𝑉𝑇 < 𝑉𝑃)

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 3, 𝑥 = −1
3

3

3
𝑏à𝑖 23𝑎)√7𝑥 + 1 − √𝑥 2 − 𝑥 − 8 + √𝑥 2 − 8𝑥 − 1 = 2

1

1

√1 + 2𝑦 2

=

2

(1)
1 + 2𝑥𝑦

𝑏)
2
√𝑥(1 − 2𝑥) + √𝑦(1 − 2𝑦) = (2)
9
{
√1 + 2𝑥 2

+

(đề thi hsg lớp 11 cấp tỉnh Trà Vinh năm 2017-2018)
𝒈𝒊ả𝒊
3

3

3

𝑎) √7𝑥 + 1 − √𝑥 2 − 𝑥 − 8 = 2 − √𝑥 2 − 8𝑥 − 1(∗)
𝑙ậ𝑝 𝑝ℎươ𝑛𝑔 2 𝑣ế 𝑙ê𝑛 𝑡𝑎 đượ𝑐:


23

2

3

3
3
−3(√7𝑥 + 1) √𝑥 2 − 𝑥 − 8 + 3√7𝑥 + 1 ( √𝑥 2 − 𝑥 − 8)
3

2

3

= −12 √𝑥 2 − 8𝑥 − 1 + 6 ( √𝑥 2 − 8𝑥 − 1) (∗∗)
3

3

𝑙ấ𝑦 (∗)𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(∗∗): −3√(7𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 − 8)(2 − √𝑥 2 − 8𝑥 − 1) =
3

3

−6(2 − √𝑥 2 − 8𝑥 − 1)√𝑥 2 − 8𝑥 − 1
3

𝑥=9
𝑣ậ𝑦 2 − √𝑥 2 − 8𝑥 − 1 = 0 => 𝑥 2 − 8𝑥 − 9 = 0 => [𝑥=−1

(7𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 − 8) = 8(𝑥 2 − 8𝑥 − 1) => [𝑥=0
𝑥=1
𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 9, 𝑥 = ±1, 𝑥 = 0
𝑏)𝐶á𝑐ℎ 1: đ𝑘 {

để ý 𝑝𝑡(1):

0≤𝑥≤
0≤𝑦≤

1
2
1
2

√1+2𝑥𝑦−√1+2𝑥 2
√(1+2𝑥𝑦)(1+2𝑥 2 )

2𝑥(𝑦−𝑥)

=

(√1+2𝑥𝑦+√1+2𝑥 2 )√1+2𝑥 2

=

√1+2𝑦 2 −√1+2𝑥𝑦
√(1+2𝑦 2 )(1+2𝑥𝑦)
2𝑦(𝑦−𝑥)

(√1+2𝑦 2 +√1+2𝑥𝑦)√1+2𝑦 2

𝑣ậ𝑦 (𝑥 − 𝑦)2 = 0 ℎ𝑎𝑦 1 − 2𝑥𝑦 +

𝑥+𝑦
𝑥√1+2𝑦 2 +𝑦√1+2𝑥 2

1

1

2

2

𝑑𝑜 đ𝑘 => 0 ≤ 2𝑥𝑦 ≤ => 1 ≥ 1 − 2𝑥𝑦 ≥
𝑥=𝑦
{2√𝑥 − 2𝑥 2 = 2 => 𝑥 = 𝑦 =
9

√1 + 2𝑥𝑦 = 0(𝑝𝑡𝑣𝑛)

9±√73
36

𝐶á𝑐ℎ 2: 𝑣ớ𝑖 𝑏ấ𝑡 đẳ𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝑞𝑢𝑒𝑛 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑛ê𝑛 𝑡𝑎 𝑐ó đượ𝑐 ∶
1
√1+2𝑥

+
2

1
√1+2𝑦 2



2
√1+2𝑥𝑦

( 𝑑ấ𝑢 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 𝑦)

9±√73 9±√73
,
)
36
36

𝑣ậ𝑦: ℎ𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (


𝑏à𝑖 24: 5𝑥 2 − (3𝑥 + 1)√2𝑥 2 + 3 −

𝑥
+3=0
2

(đề của bạn có tên facebook “Hall Vic”)

𝒈𝒊ả𝒊
𝐶á𝑐ℎ 1: 𝑙𝑖ê𝑛 ℎợ𝑝
Cách này ta nhập pt vào máy tính tìm ra được nghiệm x=0.2752551286 lưu nghiệm
3

3

2

2

này vào A thế A vào √2𝐴2 + 3 − 𝐴 = vậy nhân tử chung của căn là : 𝐴 +
3

3

𝑥

5𝑥 2 + (3𝑥 + 1) (𝑥 + ) − (3𝑥 + 1)√2𝑥 2 + 3 − (3𝑥 + 1) (𝑥 + ) − + 3 = 0
2
2
2
3
4

(3𝑥+1)(−𝑥 2 +3𝑥− )
3
𝑥+ +√2𝑥 2 +3
2

3

+ 2𝑥 2 − 6𝑥 + = 0
2

3

3𝑥+1

4

3
𝑥+ +√2𝑥 2 +3
2

𝑣ậ𝑦 𝑥 2 − 3𝑥 + = 0 ℎ𝑎𝑦

=2

3𝑥 + 1 = 2𝑥 + 3 + 2√2𝑥 2 + 3 => −7𝑥 2 − 4𝑥 − 8 = 0(𝑝𝑡𝑣𝑛)(đ𝑘 𝑥 ≥ 2)
𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 =

3±√6
2

𝐶á𝑐ℎ 2: đặ𝑡 ẩ𝑛 𝑝ℎụ 𝑘ℎô𝑛𝑔 ℎ𝑜à𝑛 𝑡𝑜à𝑛 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚
10𝑥 2 − 𝑥 + 6 − (6𝑥 + 2)√2𝑥 2 + 3 = 0
Đặ𝑡 𝑡 2 = 2𝑥 2 + 3(đ𝑘 𝑡 ≥ 0)𝑛ℎâ𝑛 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑚 ≠
0 𝑣à𝑜 𝑐ả 2 𝑣ế 𝑐ủ𝑎 𝑝𝑡 𝑡𝑟ê𝑛 𝑡𝑎 đượ𝑐 ℎ𝑝𝑡 ∶
𝑚𝑡 2 − 2𝑚𝑥 2 − 3𝑚 = 0
{
10𝑥 2 − 𝑥 + 6 + 𝑚𝑡 2 − 2𝑚𝑥 2 − 3𝑚 − (6𝑥 + 2)𝑡 = 0
𝑚𝑡 2 − (6𝑥 + 2)𝑡 + 𝑥 2 (10 − 2𝑚) − 𝑥 + 6 − 3𝑚 = 0
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 36𝑥 2 + 24𝑥 + 4 − 4𝑚[𝑥 2 (10 − 2𝑚) − 𝑥 + 6 − 3𝑚]
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 36𝑥 2 + 24𝑥 + 4 − 4𝑚𝑥 2 (10 − 2𝑚) + 4𝑚𝑥 − 24𝑚 + 12𝑚2


𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑥 2 (36 − 40𝑚 + 8𝑚2 ) + 𝑥(24 + 4𝑚) + 4 − 24𝑚 + 12𝑚2
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚) = (24 + 4𝑚)2 − 4(36 − 40𝑚 + 8𝑚2 )(4 − 24𝑚 + 12𝑚2 ) = 0
𝑡𝑎 𝑡ì𝑚 đượ𝑐 𝑚 = 4 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 ∶ 4𝑡 2 − (6𝑥 + 2)𝑡 + 2𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 36𝑥 2 + 24𝑥 + 4 − 16(2𝑥 2 − 𝑥 − 6) = 4(𝑥 + 5)2 ≥ 0
[

6𝑥+2−2(𝑥+5) 𝑥−2
=
8
2
6𝑥+2+2(𝑥+5) 2𝑥+3
2
√2𝑥 +3=
=
8
2

√2𝑥 2 +3=

𝑣ậ𝑦 ∶ 𝑝𝑡 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 =

3±√6
2

5𝑥 2 𝑦 − 4𝑥𝑦 2 + 3𝑦 3 − 2(𝑥 + 𝑦) = 0(1)
𝑏à𝑖 25: {
𝑥𝑦(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 2 = (𝑥 + 𝑦)2 (2)
(đề của 1 bạn trên gr “học toán cùng thầy Hồng Trí Quang”)
𝒈𝒊ả𝒊
để ý 𝑝𝑡(2): 𝑥𝑦((𝑥 + 𝑦)2 − 2𝑥𝑦) + 2 = (𝑥 + 𝑦)2
(𝑥𝑦 − 1)(𝑥 + 𝑦)2 − 2(𝑥𝑦 − 1)(1 + 𝑥𝑦) = 0
(𝑥𝑦 − 1)[𝑥 2 + 𝑦 2 − 2] = 0
1

𝑥 = (𝑦 ≠ 0)
𝑣ớ𝑖 𝑥𝑦 = 1 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(1): {5
𝑦

𝑦

1

− 4𝑦 + 3𝑦 3 − 2 ( + 𝑦) = 0
𝑦

=> 𝑥 = 𝑦 = ±1
𝑥2 + 𝑦2 − 2 = 0
𝑣ớ𝑖 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 𝑡𝑎 𝑐ó ℎệ 𝑠𝑎𝑢: {
5𝑦𝑥 2 + 𝑥(−4𝑦 2 − 2) + 3𝑦 3 − 2𝑦 = 0
2

2

𝑡 = 2 − 𝑦2
đặ𝑡 𝑡 = 𝑥 => {
5𝑦(2 − 𝑦 2 ) + 𝑥(−4𝑦 2 − 2) + 3𝑦 3 − 2𝑦 = 0
2

𝑥(−4𝑦 2 − 2) + 8𝑦 − 2𝑦 3 = 0 => 𝑥 =

2𝑦 3 −8𝑦
−4𝑦 2 −2


2𝑦 3 −8𝑦

2

) = 2 − 𝑦 2 (𝑑𝑜 𝑡 = 𝑥 2 )
−4𝑦 2 −2

=> (

𝑦 = ±√

2

𝑦 = −1
𝑦=1
5
=> {
ℎ𝑎𝑦 {
ℎ𝑎𝑦 {
𝑥 = ±1
𝑥 = ±1
2√ 2
𝑥=±
√5

𝑣ậ𝑦: ℎ𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (±1, ±1); (±

2√2
2
, ±√ )
5
√5

𝑥 2 − 𝑦 2 − 6𝑥 − 2𝑦 − 4𝑥𝑦 + 2𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 2 + 8 = 0(1)
𝑏à𝑖 26: {
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0(2)
(đề của bạn Phan Tiến Mạnh)
𝒈𝒊ả𝒊
𝐶á𝑐ℎ 1: để ý 𝑝𝑡(1): (1 + 2𝑦)𝑥 2 + 𝑥(−6 − 4𝑦 + 2𝑦 2 ) − 𝑦 2 − 2𝑦 + 8 = 0
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = (−6 − 4𝑦 + 2𝑦 2 )2 − 4(1 + 2𝑦)(−𝑦 2 − 2𝑦 + 8)
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 4(𝑦 2 − 𝑦 + 1)2 ≥ 0
=> [

𝑥=

6+4𝑦−2𝑦2 −2(𝑦2 −𝑦+1) −4𝑦2 +6𝑦+4
=
=2−𝑦
2+4𝑦
2+4𝑦
6+4𝑦−2𝑦2 +2𝑦2 −2𝑦+2 𝑦+4

𝑥=

2+4𝑦

=

1+2𝑦

𝑥 = 2−𝑦
𝑣ớ𝑖 𝑥 = 2 − 𝑦 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(2): { 2
𝑥 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0
(2 − 𝑦)2 + 𝑦 2 − 2(2 − 𝑦) + 2𝑦 − 2 = 0 => 𝑦 = ±1
=> {

𝑦=1
𝑦 = −1
𝑣à {
𝑥=1
𝑥=3

𝑣ớ𝑖 𝑥 =
𝑦+4 2

𝑦+4
1+2𝑦

𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(2): {
𝑦+4

𝑥=

𝑦+4
1+2𝑦

𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑦 − 2𝑥 − 2 = 0
√7±1
)
2

(1+2𝑦) + 𝑦 2 + 2𝑦 − 2 (1+2𝑦) − 2 = 0 => 𝑦 = −(1 ± √2)ℎ𝑎𝑦 𝑦 = − (


−√7−1

−√7+1

2

2

𝑦=
𝑦=
𝑦 = −1 − √2
𝑦 = −1 + √2
2
2
=> {
ℎ𝑎𝑦 {
ℎ𝑎𝑦 {
ℎ𝑎𝑦 {
3−√7
3+√7
𝑥 = 3 + √2
𝑥 = 3 − √2
𝑥=
𝑥=
3∓√7 −√7∓1

𝑣ậ𝑦: ℎ𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (3 ± √2, −1 ∓ √2) ; (

2

,

2

) ; (1,1); (3, −1)

(1 + 2𝑦)𝑥 2 + 𝑥(−6 − 4𝑦 + 2𝑦 2 ) − 𝑦 2 − 2𝑦 + 8 = 0(1)
𝐶á𝑐ℎ 2: 𝑟ú𝑡 𝑔ọ𝑛 𝑙ạ𝑖 𝑡ℎà𝑛ℎ: {
𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 + 2𝑦 − 2 = 0(2)
(1 + 2𝑦)𝑡 + 𝑥(2𝑦 2 − 4𝑦 − 6) − 𝑦 2 − 2𝑦 + 8 = 0(1)
đặ𝑡 𝑡 = 𝑥 => {
𝑡 − 2𝑥 + (𝑦 2 + 2𝑦 − 2) = 0(2)
2

𝑝𝑡(2)𝑡 = 2 − 2𝑦 − 𝑦 2 + 2𝑥 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(1):
(1 + 2𝑦)(2 − 2𝑦 − 𝑦 2 + 2𝑥) + 𝑥(2𝑦 2 − 4𝑦 − 6) − 𝑦 2 − 2𝑦 + 8 = 0
(1 + 2𝑦)(2 − 2𝑦 − 𝑦 2 ) + 𝑥(2 + 4𝑦) + 𝑥(2𝑦 2 − 4𝑦 − 6) − 𝑦 2 − 2𝑦 + 8 = 0
𝑥(2𝑦 2 − 4) − 2𝑦 3 − 6𝑦 2 + 10 = 0
𝑥=

2𝑦 3 +6𝑦 2 −10
2𝑦 2 −4

2𝑦 3 +6𝑦 2 −10

𝑡ℎế 𝑣à𝑜 => 𝑡 = 2 − 2𝑦 − 𝑦 2 + 2 (
2

2𝑦 3 +6𝑦 2 −10

2𝑦 3 +6𝑦 2 −10

2𝑦 2 −4

2𝑦 2 −4

=> 2 − 2𝑦 − 𝑦 + 2 (

)=(

=> 𝑦 = ±1, 𝑦 = −(1 ± √2), 𝑦 =

2𝑦 2 −4

)

2

) (𝑑𝑜 𝑡 = 𝑥 2 )

−1±√7
2

3 ∓ √7 −√7 ∓ 1
𝑣ậ𝑦: ℎ𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (3 ± √2, −1 ∓ √2) ; (
,
) ; (1,1); (3, −1)
2
2

𝑥 9 − 18𝑦 − 27𝑥 − 29

− √𝑥 − 𝑦 − 1 = 2𝑥 + √𝑥 2 + 𝑥 + 1(1)
𝑏à𝑖 27:
3
3

3

3
2
{ 𝑥(𝑥 + 2𝑥𝑦 − 2𝑥 + 2) + (𝑦 − 2) + 7 = 6√4(𝑥 − 𝑦 + 1)(2)

(đề của anh Nguyễn Minh Tuấn)


𝒈𝒊ả𝒊
Ban đầu nhìn pt này khá kinh dị hichic bậc 9 ở pt(1)+ căn bậc 3 của cả 2 pt nhưng
để ý rằng pt(2) khá gọn !!! OK vậy ta sẽ “chơi” pt(2)
3
𝑥 4 + 2𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 11 = 6√4(𝑥
− 𝑦 + 1)

𝑡á𝑐ℎ 𝑡ℎà𝑛ℎ ∶ (𝑥 4 + 2𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2 ) − 2𝑥 2 − 4𝑦 + 2𝑥 + 11 = (𝑥 2 + 𝑦)2 −
2(𝑥 2 + 𝑦) + 2𝑥 − 2𝑦 + 11 = (𝑥 2 + 𝑦)2 − 2(𝑥 2 + 𝑦) + 1 + 2𝑥 − 2𝑦 + 10
3
(𝑥 2 + 𝑦 − 1)2 + 2𝑥 − 2𝑦 + 10 = 6√4(𝑥
− 𝑦 + 1)

𝑥−𝑦 ≥1
để ý 𝑟ằ𝑛𝑔 đ𝑘 ∶ { 2
𝑥 + 𝑥 + 1 ≥ 0(𝑙𝑢ô𝑛 đú𝑛𝑔)
𝑣ậ𝑦 (𝑥 2 + 𝑦 − 1)2 + 2(𝑥 − 𝑦) + 10 ≥ 2𝑥 − 2𝑦 + 10
3

𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦 𝑡𝑎 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó: 3√(2𝑥 − 2𝑦 + 2). 4.4 ≤ 2𝑥 − 2𝑦 + 10
(𝑥 2 + 𝑦 − 1)2 + 2(𝑥 − 𝑦) + 10 ≥ 2𝑥 − 2𝑦 + 10
{
3
3√(2𝑥 − 2𝑦 + 2). 4.4 ≤ 2𝑥 − 2𝑦 + 10
(𝑥 2 + 𝑦 − 1)2 + 2(𝑥 − 𝑦) + 10 = 2𝑥 − 2𝑦 + 10
𝑣ậ𝑦 𝑑ấ𝑢 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 𝑘ℎ𝑖: {
2𝑥 − 2𝑦 + 2 = 4
𝑦(𝑦 + 3) = 0
𝑥2 + 𝑦 − 1 = 0
𝑥2 + 𝑦 − 1 = 0
=> {
=> {
=>
{
𝑥 =1+𝑦
2𝑥 − 2𝑦 + 2 = 4
𝑥−𝑦=1
𝑦=0
𝑦 = −3
ℎ𝑎𝑦 {
{
𝑥=1
𝑥 = −2
𝑥=1
𝑡ℎế {
𝑣à𝑜 𝑝𝑡(1) 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎõ𝑎
𝑦=0
𝑣ậ𝑦: ℎ𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (−2, −3)
1 + 2𝑥√1 − 𝑥 2

𝑏à𝑖 28:
= 1 − 2𝑥 2
2
(đề thi hsg cấp tỉnh lớp 12, Bình Định, 22/10/2017)


𝑔𝑖ả𝑖
−1 ≤ 𝑥 ≤ 1
1 − 𝑥2 ≥ 0
2
đ𝑘: {
=>
{
(√1 − 𝑥 2 + 𝑥) ≥ 0(𝑙𝑢ô𝑛 đú𝑛𝑔)
1 − 𝑥 2 + 2𝑥√1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 ≥ 0
√(√1−𝑥

2
2 +𝑥)

2

= 1 − 2𝑥 2 => √1 − 𝑥 2 + 𝑥 = (1 − 2𝑥 2 )√2

đặ𝑡 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 => √1 − cos 2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 = −𝑐𝑜𝑠2𝑡√2
𝑑𝑜 𝑡 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 [0, 𝑝𝑖] => 𝑠𝑖𝑛𝑡 ≥ 0 =>

𝑠𝑖𝑛𝑡+𝑐𝑜𝑠𝑡
√2

= −𝑐𝑜𝑠2𝑡

𝑝𝑖

cos (𝑡 − ) = cos(𝑝𝑖 − 2𝑡)
4
=> [

𝑝𝑖
4
𝑝𝑖
𝑡− =−𝑝𝑖+2𝑡+𝑘2𝑝𝑖
4

𝑡− =𝑝𝑖−2𝑡+𝑘2𝑝𝑖

=> [

5𝑝𝑖 𝑘2𝑝𝑖
+
12
3
3𝑝𝑖
𝑡= −𝑘2𝑝𝑖
4

𝑡=

𝑏à𝑖 29: {

(đế𝑛 đâ𝑦 𝑐á𝑐 𝑏ạ𝑛 𝑡ự 𝑥ử ℎ𝑒𝑛 )

2𝑥(𝑥 + 1)(𝑦 + 1) + 𝑥𝑦 = −6(1)
2𝑦(𝑥 + 1)(𝑦 + 1) + 𝑥𝑦 = 6(2)
(đề bạn “Thiên Di”)
𝑔𝑖ả𝑖

𝐶á𝑐ℎ 1:do bạn “Mimiko Tú Anh” đề xuất
𝑙ấ𝑦 𝑝𝑡(1) + 𝑝𝑡(2): (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 1)(𝑦 + 1) + 𝑥𝑦 = 0
(𝑥 + 𝑦)(𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + 1) + 𝑥𝑦 = 0
đặ𝑡 𝑎 = 𝑥 + 𝑦, 𝑏 = 𝑥𝑦 => 𝑎(𝑏 + 𝑎 + 1) + 𝑏 = 0
𝑏(𝑎 + 1) + 𝑎(𝑎 + 1) = 0 => (𝑎 + 1)(𝑎 + 𝑏) = 0
𝑣ậ𝑦 𝑎 = −1 ℎ𝑎𝑦 𝑎 + 𝑏 = 0


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×