Tải bản đầy đủ

Một số phương pháp tính lũy thừa bậc cao của ma trận vuông

A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn học cơ bản mang tính trừu tượng, khái quát,
nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời
sống xã hội, trong khoa học và ứng dụng.
Bộ môn đại số tuyến tính nâng cao được xuất phát từ môn đại số tuyến tính, là
một trong những môn khó của chương trình giảng dạy chuyên ngành toán, và là
một môn học có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng
sáng tạo cho người học.
Đại số tuyến tính nâng cao là môn học quan trọng đối với sinh viên ngành
Toán cũng như sinh viên ngành kỹ thuật khác. Nó có ứng dụng to lớn vào đời sống
xã hội. Chính vì lẽ đó mà môn Đại số tuyến tính trở thành một môn thi quan trọng
trong các kì thi Olympic Toán hằng năm ở nước ta và một số nước trên thế giới.
Đại số tuyến tính nâng cao là học phần tạo cho tôi nhiều hứng thú khi học. Đại số
tuyến tính nâng cao gồm nhiều vấn đề nhưng tôi đặc biệt quan tâm đến các vấn đề
liên quan đến ma trận. Được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn tôi đã chọn đề tài:
“Một số phương pháp tính lũy thừa bậc cao của ma trận vuông.”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết về ma trận
Nghiên cứu một số phương pháp tính lũy thừa bậc cao của ma trận vuông
3. Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu từ giáo trình, sách, vở, các trang web online.
Phân tích, tổng hợp, sắp xếp lại một cách thích hợp.
Trao đổi với Giáo viên hướng dẫn.
4. Nội dung nghiên cứu
Đề tài gồm 2 chương
Chương 1: Các kiến thức cơ sở áp dụng khi thực hiện các phép toán trên ma
trận được nhắc đến trong đề tài.

1


Chương 2: Nội dung của chương cũng là nội dung chính của đề tài. Trong
chương này chúng tôi phân loại được một cách tương đối phương pháp tính lũy
thừa bậc cao của ma trận vuông.
2.1 Phương pháp tính trực tiếp
2.2 Phương pháp quy nạp toán học
2.3 Sử dụng nhị thức Newton
2.4 Chéo hóa ma trận
2.5 Sử dụng định lí Caley-Hamilton
2.6 Đưa về dạng chuẩn Jordan

2


B. PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ
1.1. Định nghĩa ma trận
1.1.1 Định nghĩa
Một bảng gồm mn số aij thuộc trường K viết như sau

a11 a12

a 21 a 22


K
K


a m1 a m 2




a
a

K
K
K
K



2n �
K �

a mn �

1n

được gọi là một ma trận kiểu (m, n). Mỗi số aij được gọi là một thành phần của ma
trận. Các số ai1 , ai 2 ,…, ain lập thành dòng thứ i; các số a1 j , a2 j ,…, amj lập thành
cột thứ j của ma trận.
Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A, B,…

  m�n

Hay kí hiệu đơn giản bởi A = aij

trong đó i=1,2,…,m chỉ số dòng và

j=1,2,…,n chỉ số cột.
Ma trận vuông
Trong trường hợp số dòng và số cột của hai ma trận bằng nhau thì ta có khái
niệm ma trận vuông. Ký hiệu tập các ma trận vuông là M(n; K), với n là cấp của
ma trận vuông.

a11 a12

a 21 a 22
A= �

K
K


a n1 a n 2


K
K
K
K

a
a



2n �
K �

a nn �

1n

Trong ma trận vuông các phần tử a11, a22 ,..., ann là các phần tử nằm trên
đường chéo chính, các phần tử an1, a(n1)2 ,..., a1n là các phần tử nằm trên đường
chéo phụ.
Ví dụ

3


1 2�

A  � �là ma trận vuông cấp hai
3 4�


1


B�
4

7


2 3�

5 7 �là một ma trận vuông cấp 3.

8 9�

Phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là 1; 4. Phần tử nằm trên
đường chó chính của ma trận B là 1, 5, 9.
Ma trận dòng, ma trận cột
Nếu m = 1 thì ma trận chỉ có một dòng, được gọi là ma trận dòng. Tương tự,
nếu n = 1 thì ta có ma trận chỉ có một cột, được gọi là ma trận cột.
Ma trận dòng và ma trận cột thường được gọi là vectơ dòng và vectơ cột.
Một số thuộc trường K được gọi là ma trận một dòng, một cột.
Ví dụ

1 2 3 4�
Ma trận dòng: A  �


1
��
��
5
Ma trận cột B  ��
��
7
��
1.1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt
a) Ma trận không
Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. Ta dùng
số  để biểu thị cho mọi ma trận không cấp m x n.
Ví dụ
0 0 0�


Ma trận  cấp 2x3: �

0 0 0�



b) Ma trận chéo
Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và các phần
tử trên đường chéo chính khác không được gọi là ma trận chéo (hay ma trận
đường chéo). Ma trận chéo cấp n có dạng

4


a11


�0
A= �
�K
�0


0 K
a22 K
K

K

0

K

0 �

0 �


K �
ann �


 aii �0, i :1, n 

Ví dụ
1


0

C�
0


0


0

0 0�


1 0 0 �

0 1 0�
0

0 4�


Nhận xét. Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi diag(a1, a2 ,..., an ) với
các phần tử trên đường chéo chính là a1 , a2 ,..., an
c) Ma trận đơn vị
Trong Matn ( K ) , ma trận
�1
�0
I �

K

�0

0
1
K
0

0
0
K
K

0�
0�
0 khi i �j
� (a )    �
ij
ij

K�
1 khi i  j


1�

có tính chất:
IA = A = AI, với mọi A �Matn ( K ) .
Ma trận I được gọi là ma trận đơn vị.
Ở đây  ij được gọi là kí hiệu Kronecker nó bằng 0 khi i �j và bằng 1 khi i = j.
d) Ma trận bậc thang
Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang nếu dòng k bằng 0 thì dòng k + 1
cũng bằng 0 hoặc phần tử khác 0 đầu tiên ở cột h và phần tử đầu tiên ở cột k thì h <
k
Ví dụ

5


0


0

Ma trận B  �
0


0


3 12 1 7 0 �

0 1 2 3 4�
�là ma trận bậc thang có ba dòng khác 0.
0 0 0 4 5�
0 0 0 0 0�


e) Ma trận tam giác
Ma trận có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0 được gọi
là ma trận tam giác nghĩa là aij = 0 với mọi j < i hoặc với mọi i < j, tức có dạng:
a11


�0
A= �
�...
�0


a12

... a1n �


a22 ... a2n �
...

...

0

...

�trong đó aij  0 khi i > j được gọi là ma trận tam
... �
ann �


giác trên.
Ví dụ
1


0

A�
0


0


2 3 4�

4 3 2�
�là ma trận tam giác trên
0 1 2�
0 0 5�


b11 0 ...


b21 b22 ...

B =�
�M M O

bn1 bn 2 ...


0�

0�
�trong đó bij  0 khi i < j được gọi là ma trận tam giác
M�
bnn �


dưới.
Ví dụ
3


B�
1

0


0 0�

2 0 �là ma trận tam giác dưới.

1 1�

Nhận xét. Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là
ma trận tam giác.
f) Ma trận chuyển vị
Định nghĩa. Giả sử ta có ma trận
6


�a11

�a21
A= �
�...

am1

�a11

�a12
thì ma trận �
�...
�a
�1n

a21
a22
...
a2n

a12
a22
...
am 2

... a1n �

... a2 n �

... ... �
... amn �


... am1 �

... am2 �
�được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A
... ... �
... amn �


được kí hiệu bởi AT . AT là ma trận kiểu (n, m)
Như vậy, AT là ma trận nhận được bằng cách đổi dòng của ma trận A thành
cột
Ví dụ
Ma trận

�1

2
T �
A �
�3
�4


5
6
7
8

�1 2 3 4 �


A  �5 6 7 8 � thì ma trận chuyển vị của ma trận A là


�9 1 2 3 �

9�

1�

2�
3�


Định lý. Cho các ma trận A, B �M mxn ( K ) . Khi đó ta có các khẳng định
sau:

 AT 

T

 A.

AT  BT � A  B
g) Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng
Nếu ma trận vuông A thỏa AT  A thì ta nói A là ma trận đối xứng.
Nếu A là ma trận đối xứng thì aij  a ji , i, j  1, n
Ví dụ

7


1


2
Ma trận A  �

3


2 3�

1 0 �là một ma trận đối xứng cấp 3.

0 1�

1


2

Ma trận A  �
3


4


2
0

3 4�

1 2 �
�là ma trận đối xứng cấp 4.
1  1 0 �
2

0

3�


Nếu ma trận vuông A thỏa AT   A thì A ma trận phản đối xứng.
Nếu A là ma trận phản xứng thì aij  a ji , i, j  1, n , từ đây suy ra aii  0 (các
phần tử trên đường chéo chính bằng 0).
Ví dụ
�0

2

Ma trận B  �
3

�4


2 3 4 �

0 5 1 �
�là ma trận phản đối xứng.
5 0 3�
1 3 0 �


Nếu A là ma trận đối xứng thì aij  a ji , i, j  1, n
1.2. Các tính chất của các phép toán trên ma trận
Với A, B, C �M mxn ( K ) và  ,  �K ta có:
A+B=B+A
(A + B) +C = A + (B + C)

  A A  A
A + (-A) = (-A) + A = 

8


( A  B)T  AT  BT
 ( A  B)  A   B
(   )A   A   A
A(B  C)  AB  AC
A(BC)  ( AB)C
( AB)T  BT AT
 ( AB)  ( A)B A( B)
( AT )T  A
AT  BT � A B
(aA)T  a(A)T
1.3. Ma trận bậc cao
Định nghĩa. Cho ma trận A, lũy thừa bậc k của ma trận A là:

Ak  1
A.2
A...3A
k l�
n

Cụ thể, A0  I n ; A1  A; A2  A. A; ...; Ak  Ak 1. A
Nhận xét. Có những ma trận khác ma trận không nhưng lũy thừa k lần với
k ��sẽ thành ma trận không.
Một ma trận A�M(n, K ) thỏa tính chất tồn tại một số k�� , sao cho Ak  0
thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy linh.
2
Một ma trận A �M (n; K ) thỏa tính chất A  0 thì khi đó ma trận A được gọi

là ma trận lũy đẳng.
Tính chất
Cho A �M (n; K ) và r , s ��, khi đó:

 0

r

 0;

 In 

r

 In

Ar  s  A r . A s

Ars   Ar 

s

1.4. Chéo hóa ma trận
9


Định nghĩa. Ma trận vuông A = (aij ) cấp n được gọi là ma trận chéo nếu aij  0
với i �j; tức có dạng
a11 0 0 0 �

�0 a

0
0
22


�... ... ... ... �


0 0 ann �
�0
Ta nói ma trận A chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo.
Nhận xét. Ma trận vuông A chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P và
một ma trận đường chéo B để A = PB P 1
Định lí 1. Ma trận vuông A chéo hóa được khi và chỉ khi A là ma trận của
một phép biến đổi tuyến tính có một hệ vectơ riêng là cơ sở của không gian
Chứng minh
Coi A như ma trận của một phép biến đổi tuyến tính f : V � V đối với một cơ
sở (  ) nào đó. A chéo hóa được khi và chỉ khi có một ma trận P sao cho
k1 0 0 0 �

�0 k 0 0 �
2
1

B  P AP  �

... ... ... ... �


�0 0 0 kn �
Điều này xảy ra khi và chỉ khi có một cơ sở (  ' ) của V mà P là ma trận
chuyển từ (  ) sang (  ' ) và B là ma trận của f đối với cơ sở (  ' ). Khi đó mọi vectơ
uur
 i ' của cơ sở (  ' ) đều thỏa mãn đẳng thức
uuu
r
uur
f ( i ')  ki  i ', i  1,..., n ;
tức là hệ cơ sở (  ' ) gồm những vectơ riêng của f
Hệ quả. Nếu đa thức đặc trưng A  kI có n nghiệm phân biệt thì ma trận A
chéo hóa được.
Định lí 2. Cho A là ma trận vuông cấp n trên K. Giả sử 1, 2 ,..., n là các giá
trị riêng phân biệt của A và Si là cơ sở của không gian vecto riêng E A  i  với mọi
i=1,2,…,n. khi đó S  S1 �S2 �... �Sr độc lập tuyến tính trong K n và A chéo hóa
được nếu và chỉ nếu S chứa n vecto
10


Chứng minh
Giả sử Si   ui1, ui 2 ,..., uik  với k i  dimk E A  i  ( i  1, n )
Muốn chứng minh S độc lập tuyến tính, ta giả sử:
a1 u1  a1 u1  ...  aik uik  ...  ar ur  ar ur  ...  ark urk  0
1 14 14 4 42 422 4 4 4 4r 4 3r

2 2
2 4 4 4 41431
1 14 14 4 44

ur

u1

Chú ý rằng ui  ai1ui1  ai2ui2  ...  aiki uiki �E A (i ) do đó ui là vector riêng của
ma trận A ứng với giá trị riêng i hoặc ui  0 .
Do tập các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt là độc lập tuyến tính
nên từ đẳng thức u1  u2  ...  ur  0 ta suy ra ui  0 với mọi i = 1, 2, …, r.
Do đó, ai1ui1  ai 2ui 2  ...  aiki uiki  0 .
Vì Si là cơ sở của E A (i ) nên aij  0 với mọi i = 1, 2, …r và j = 1, 2, …, ki .
Vậy S  S1 �S2 �... �Sr độc lập tuyến tính trong K n .
Nếu S chứa n vector riêng độc lập tuyến tính. Nhóm các vectơ riêng ứng với
giá trị riêng i vào Si .
Chú ý rằng Si �S j  �, i �j .
Từ đó suy ra, S  S1 �S2 �... �Sr chứa n vectơ riêng của ma trận A.
1.5. Dạng chuẩn tắc Jordan
Dạng chuẩn Jordan có thể được xem là dạng ma trận biểu diễn đơn giản nhất
của một toán tử tuyến tính.
Định nghĩa. Ma trận đồng hành của đa thức
g  t m  cm 1t m 1  ...  c1t  c0
là ma trận

11


0


1

0
Jg �

...


0


0
0
1
...
0

...
...
...
...
...

0
0
0
...
1

c0 �
c1 �

c2 �

...

cm 1 �


Ta cũng gọi nó là ô Jordan.
Nếu g là một đa thức bất khả qui bậc m và p là một số tự nhiên, thì ta nói ma
trận vuông cấp mp có dạng ma trận khối sau đây là khối Jordan liên kết với g p :
�J g 0

O1m J g


0
O1m
J g p �
...
...


0
0


0
0


...
...
...
...

0
0 �
0
0 �

0
0 �

...
... �
... J g 0 �

... O1m J g �


trong đó 0 là các ma trận vuông  cấp m và O1m là ma trận vuông cấp m chỉ
có phần tử (1, m) bằng 1, còn lại là toàn 0.
Định nghĩa. Ta nói ma trận vuông A là ma trận Jordan nếu nó là ma trận
đường chéo khối A  diag ( A1 , A2 ,..., As ) , trong đó mỗi ma trận vuông Ai trên
đường chéo là một khối Jordan liên kết với lũy thừa của một đa thức bất khả qui.
Định nghĩa. Ta gọi ma trận Jordan đồng dạng với ma trận vuông A là dạng
chuẩn tắc Jordan của A
Định lí. Cho f là toán tử tuyến tính tùy ý. Giả sử đa thức cực tiểu của nó có
p
p
dạng gf  g1 1 ...gr r trong đó p1,..., pr �1 và g1,...,gr là những đa thức bất khả qui

khác nhau. Khi đó, f có ma trận biểu diễn là ma trận Jordan. Hơn nữa, mọi ma trận
vuông A đều có dạng chuẩn tắc Jordan và dạng chuẩn tắc Jordan xác định duy nhất,
nếu không kể thứ tự các khôi Jordan. Cụ thể nếu kí hiệu Sik là số các khối Jordan

12


của đa thức gik (i 1.r,1�k�pi ) xuất hiện trong dạng chuẩn Jordan thì:
Sik 

1

rankgik1( A) 2rankgik ( A) rankgik1( A)�


deggi
Ví dụ
Các ma trận chéo (nói riêng: ma trận không, ma trận đơn vị) đều là các ma

trận chuẩn tắc Jordan.
Ma trận
1


0


0

0
A�

0

0


0


0


1
1
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
1
0
0
0
0
0

0
0
0
0
2
0
0
0

0
0
0
0
0
3
0
0

0
0
0
0
0
1
3
0

0 �
0 �

0 �

0 �
là một ma trận chuẩn tắc Jordan.
0 �

0 �
1 �

3 �


13


CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA BẬC CAO
CỦA MA TRẬN VUÔNG
2.1. Phương pháp tính trực tiếp
Phân tích ma trận về các ma trận đặc biệt như ma trận đơn vị, ma trận không
Cho ma trận A �M (m, K )
Mệnh đề. Với 2 số n, k nguyên dương thì tồn tại duy nhất 2 số nguyên dương
q và r sao cho n  kq  r ,  0 �r �k 
Tính An  ( Ak )q Ar
�Ak  0
Tìm k sao cho � k

�A  �I

� 0
� An  ( Ak ) q Ar  � q r
(�I ) A

2014

�0 1 �
Ví dụ 1. Tính �

�1 0 �
Giải

1�
�0 1 �
4 �0
A



Đặt A  �
Ta
thấy
�1 0 �

�1 0 �





Lại có 2014 = 4.503 + 2
�1 0 �
� A2014  ( A4 )503 A2  ( I )503 A2  A2  �
�0 1�





1 0�
2014

(

)
A



Ví dụ 2. Trong 2 3 cho
�2 1 �, tính A



Giải

1 0�
3
A



Ta có


0
1



�1 0 �
� A2014  ( A3 )671 A  A  �

�2 1 �
14


a b�

an

n
Ví dụ 3. Tìm tất cả ma trận A  �
� sao cho A  �n
�c d �
�c
a, b, c, d ��, n ��
Giải
0 0�

Ta thấy A  � �là một ma trận cần tìm.
0 0�


an
Vì A  �n
�c
n


bn �
an
n

�đúng với  n �� � A  �n
dn �
�c

�a 2  bc b(a  d ) � �
a2

Khi đó ta có: A  �
2 � �2
c
(
a

d
)
bc

d

� �c
2

bn �
�đúng với n = 2
dn �

b2 �

d2 �

�a 2  bc  a 2
� bc  0

b( a  d )  b 2 �

��
��
b( a  d  b)  0
2
c
(
a

d
)

c

�c( a  d  c)  0

2
2

�bc  d  d
Trường hợp 1: c �0
� b0
Từ hệ phương trình ta có: �
ad c  0

Từ đẳng thức
a 0� �
� a2
0 ��
a3
A  A A �

� �
2� �
c
d
c
(
a

d
)
d
ac (a  d )  d 2c
� �

��
� c3  ac (a  d )  d 2c
3

2

0 �

d3 �

Từ a  d  c  0 ta có c  a  d thay vào phương trình trên ta được:
(a  d )3  a (a  d )  d 2 (a  d ) � ad  0
0 0�
�b0

� A � �
, c �0
Nếu a  0 ta có �
d

c

0
c
c

� �
bd 0
c


� A �
Nếu d  0 ta có �
c
�a  c �0

Trường hợp 2: b �0
0

Tương tự trường hợp 1 ta có: A  �
0


0�
, c �0

0�
b�
b b�

, b �0 hoặc A  � �
, b �0

b�
0
0
� �
15

bn �
� với
dn �


Trường hợp 3: b  c  0
a 0�

� A�

�0 d �
Thử lại 5 trường hợp đều thỏa
Vậy các ma trận cần tìm là
0 0�
c 0�
0



A  � �, A  � �, A  �
c c�
c 0�
0



Ví dụ 4. Cho ma trận
0 1


0 0
A �

0 0

0 0

Tính An,n ��
Giải
0


0
4
Ta thấy A  �

0

0


0



0




0


0


n �
Vậy A  �
�0




0



0



0



0
0
0
0

b�
b b�
a 0�


, A  � �, A  �


b�
0 0�

�0 d �
0
1
0
0

0�

0�
1�

0�

0�

0�
nên � An  0, n�4
0�

0�
0 1 0�

0 0 0�
, n 2
0 0 1�

0 0 0�
0, n �4
0
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0
0

1�

0�
, n 3
0�

0�

2.2. Phương pháp quy nạp toán học
Bước 1: Tính các lũy thừa A2 , A3 , A4 ,…
Bước 2: Dự đoán công thức tổng quát An
Bước 3: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đã
dự đoán ở bước 2.

16


�a b �
n
Ví dụ 1. Cho A  �
�0 c �
�, tính A



Giải

ab  bc � �a 2
� �
c2 �
� �
�0


�a 2
2

A

Ta có
�0



�a n
n
Dự đoán A  �

�0



�

b a2  c2 �
a c
c2






b  an  cn  �

ac �

cn


Chứng minh công thức bằng quy nạp toán học
�a 2
2

A

Với n = 2, ta có
�0




ab  bc � �a 2
� �
c2 �
� �
�0






b a2  c2 �

a  c �, (đúng)


c2



ak
k �
*
A


Giả sử công thức đúng với n = k, ( k �N ), tức là

�0




ac
ck

Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1, ( k �� ), nghĩa là:

� k 1
Ak 1  �a

�0




�

b a k 1  c k 1 �
ac
c k 1






Thật vậy, ta có:

�k
Ak 1  Ak A  �a

�0


an
n �
A

Vậy


�0






b ak  ck �

�a b � �aa k

a  c ��
�0 c �
� �


� �

�0
ck



b  a n  cn  �

ac �

cn


17

k

a b



�

bc a k  c k �
cc

ac

k

�

b ak  ck �












�2

0

Ví dụ 2. Cho A  �
0


0


0
2
0
0

3 7 �

8 4�
n
*
�. Tính A , n ��
2 0�
0 2�


Giải
3 7 �


Đặt B  �

8 4�


�2 I
� A�
�0

1 0�
0 0�


I �
0






0 1�
0 0�





B�

2I �
�22 I
A2  �
�0


Ta thấy:

�2n I
n

A

Dự đoán:
�0


�23 I
A3  �
�0


2.2 B �

22 I �


22.3B �

23 I �


2n1.nB �

2n I �


Ta chứng minh công thức dự đoán bằng quy nạp toán học
�2 I
Với n = 1. Ta có A  �
�0


B�
�, (đúng)
2I �

* ),

Giả sừ công thức đúng với n = k ( k ��

�2k I
k

A

tức
�0


2k 1.kB �

2k I �


Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1, ( k ��* ), nghĩa là:
k 1

A

�2k 1 I
�
� 0


2k (k  1) B �

2k 1 I �


Thật vậy, ta có
k 1

A

�2k I
 A A�
�0

k

�2n I
n

A

Vậy
�0


2k 1kB ��2 I


�0
2k I �



B � �2k 1 I
� �

2I �
� � 0

2n1.nB �
�, n ��*
2n I �


18

2k (k  1) B �

2k 1 I �



�2n

n �0
Hay A  �
�0

�0

0 3n2n1 7n2n1 �

2n 8n2n1 4n2n1 �

0
2n
0 �

0
0
2n �

cos x  sinx �

2014
Ví dụ 3. Cho A  �
�, tính A
sinx
cos
x



Giải
cos 2 x  sin2x �

2
Ta có A  �

�sin2x cos2x �
cos3 x  sin3x �

A3  �

�sin3x cos3x �

cos 4 x  sin4x �

A4  �

�sin4x cos4x �

cos nx  sinnx �

n
Dự đoán A  �
, n ��

�sinnx cosnx �

Chứng minh bằng quy nạp
cos x  sinx �

Với n = 1 � A  �
�(đúng)
�sinx cosx �

Giả sử công thức đúng với n = k, ( k �� )
cos kx  sinkx �

k
Tức là A  �
sinkx coskx �



Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1 ( k �� )
cos( k  1) x  sin(k+1)x �

k 1
Nghĩa là A  �

�sin(k+1)x cos(k+1)x �
cos kx  sinkx �
cos x  sinx �


k 1
k
Thật vậy A  A A  �
�sinx cosx �
sinkx coskx �




cos kx.cos x  sin kx.sinx coskx.sinx-sinkx.cosx �

�

�sin kx.cosx+coskx.sinx coskx.cosx  sin kx sinx �
cos(k  1) x  sin(k+1)x �

�

�sin(k+1)x cos(k+1)x �

19


cos nx  sinnx �

n
Vậy A  �

�sinnx cosnx �

Ví dụ 4. Cho ma trận
1 1 1�


n
A�
0 1 1�
�, tính A với n nguyên dương

0 0 1�


Giải
1 2 3�
1 3 6�
1 4 10 �






3 �
4 �
0 1 2�
, A �
0 1 3�
, A �
0 1 4�
Ta tính được A  �







0
0
1
0
0
1
0
0
1






2


1 n

n �
0 1
Dự đoán A  �

0 0



n (n 1) �
2 �

n �
1 �



Chứng minh công thức dự đoán bằng quy nạp toán học
n  1 , công thức đúng
Giả sử công thức đúng với n  k , k �� , tức là

1 k


k
0 1
Ta có A  �

0 0



k (k 1) �
2 �

k �
1 �



Chứng minh công thức củng đúng với n  k  1 , tức là chứng minh

1 k 1


Ak  1  �
0 1

0 0


Thật vậy

20

( k 1)( k  2) �

2

k 1


1




k (k 1) �

1 k 1

1
1
1

��
2


� �
k �
0
1
1
0 1

��


1 �
0 0 1�
0 0

��





1 k


Ak 1  Ak A  �
0 1

0 0



1 n

n �
0 1
Vậy A  �

0 0



(k 1)(k  2) �

2

k 1


1



n ( n 1) �
2 �

n �
, n��
1 �



2.3. Sử dụng nhị thức Newton
Giả sử A là ma trận vuông cấp k, tính lũy thừa bậc n của ma trận A với n
nguyên dương.
Bước 1 : Phân tích A = B + C, trong đó BC = CB
(B, C là các ma trận tính lũy thừa dễ dàng)
n

n
n
k n k k
Bước 2: Sử dụng công thức A  ( B  C )  �Cn B C
k 0

a


0

Chú ý. Ma trận �
.


0


0
a
.
0

0
0
.
0

... 0 �

... 0 �
� aI n , giao hoán với mọi ma trận vuông

K

...

. �
a�


cùng cấp.
a �
�1 a


Ví dụ 1. Tìm vết của ma trận An , n �� , biết A  �1 1 0 �


1�
�1 0
Giải
Ta thấy A   I 3  B
0 a


1 0
Với B  �

�1 0

a�

0�

0�

21


Ta có

0


B 2  �0

0


0
0 �

a
a �

a  a �

0 0 0�

B3  �
0 0 0�



0 0 0�



Nên B k  0, k �3
Khi đó An  ( I3  B)n  Cno (1)n I3  Cn1 (1)n1 B  Cn2 (1)n2 B 2  ...  Cnn B n
 Cno (1)n I 3  Cn1 (1)n1 B  Cn2 (1)n 2 B 2

�1
na

n(n 1)a

 (1)n �n 1 
2


n(n  1)a
�n
2





n(n 1)a �

2

n(n 1)a �
1

2


na

� tr ( A)  3(1)n

Ví dụ 2. Tìm tổng các phần tử trên đường chéo phụ của ma trận An , biết
�1

A  �2

�2

1 1�

4 1�

3 4 �

Giải
�2

Ta có A  3I3  B với B  �2

�2

Ta có

�4

B 2  �4

�4

4 0 �

4 0 �

4 0 �

1 1�

1 1�

3 1 �
0 0 0�

B3  �
0 0 0�



0 0 0�



Nên B k  0, k �3
Khi đó An  (3I3  B)n  Cno 3n I3  Cn1 3n1 B  Cn2 3n2 B 2  ...  Cnn B n
 Cno 3n I 3  Cn1 3n1 B  Cn2 3n2 B 2

22



3n  2.3n1Cn1  4.3n2 Cn2

� An  � 2.3n1Cn1  4.3n 2 Cn2

� 2.3n1Cn1  4.3n2 Cn2


3n 1Cn1  4.3n2 Cn2
3n 1C1n �

3n  3n1Cn1  4.3n2 Cn2
3n1Cn1 �

3n1C1n  4.3n2 Cn2
3n1C1n  3n �


� Tổng các phần tử trên đường chéo phụ là 4.3n1Cn1  3n

1 1 0�


n

0 1 1�
Ví dụ 3. Cho ma trận A  �
�, tính A , n��

0 0 1�


Giải
0 1 0�


0 0 1�
ta có A  I 3  B với B  �



0
0
0


0 0 1�
0 0 0�


2 �
0 0 0�
B3  �
0 0 0�
ta có B  �






0 0 0�
0 0 0�



k
nên B  0, k �3
Khi đó An  ( I 3  B ) n  Cb0 1n I3  Cn11n 1 B  Cn21n  2 B 2  ...  Cnn B n

1 Cn1 Cn2 �


 Cn0I 3  Cn1B  Cn2B2  �
0 1 Cn1 �

0 0 1�


Ví dụ 4. Cho ma trận
2006 1 2006�



A  �2005 2 2006�, xác định tổng các phần tử trên đường chéo chính của
�2005 1 2005�


ma trận S I  A  A2  ... A2006 .
Giải
2005 1 2006�



2005 1 2006�
Ta có A  I 3  B với B �

2005 1 2006�


0 0 0�
0 0 0�






2
0 0 0�nên � Bk  �
0 0 0�
, k�2
Ta tính được B  �


0 0 0�
0 0 0�




An  ( I 3  B)n  I 3  Cn1B I 3  nB, n��
Khi đó S I  A  A2  ... A2006
23


 I  (I  B)  (I  2B)  ...  (I  2006B)
 2007I  (1  2  ...  2006)B  2007I  Tr(1003.2007B)
 2007Tr(I )  1003.2007Tr(B)  3.2007  0 6021
2.4. Chéo hóa ma trận
Lý thuyết chéo hóa ma trận được ứng dụng khá nhiều trong việc giải quyết
các bài toán liên quan đến ma trận.
Chú ý: Phương pháp này được dùng khi A là ma trận chéo hóa được hoặc A
có thể tách thành A  PBP 1 (B là ma trận tính lũy thừa dễ dàng).
Phương pháp
Bước 1: Chéo hóa ma trận A.

A  PBP 1 trong đó B là ma trận dạng chéo và P là ma trận làm chéo hóa A
Bước 2 : Tính lũy thừa của A theo công thức

An  PB n P 1
Thuật toán chéo hóa ma trận A cấp n
Cho ma trận A�Mn ( ) . Để chéo hóa ma trận A (nếu có thể) ta có thuật toán
chéo hóa như sau
Bước 1: Lập và giải phương trình đặc trưng của A

f     A   I n  0 (1)
(1) Vô nghiệm thì A không chéo hóa được
(1) Có nghiệm 1, 2 ,..., r với số bội tương ứng k1, k2 ,..., kr
Bước 2: Nếu k1  k2  ...  kr �n thì A không chéo hóa được
Nếu k1  k2  ...  kr  n thì chuyển sang bước 3
Bước 3: Với mỗi giá trị riêng i ta tính được r ( A   I n )  ri (lúc đó
dimE(i )  n ri với mọi i 1,2,...,r )
+ Nếu tồn tại ít nhất i mà dimE(i ) ni thì A không chéo hóa được.
+ Nếu dimE(i )  ni với mọi i 1,2,...,r thì A chéo hóa được.
Với mọi i , tìm một cơ sở của không gian con riêng E(i ) , với mọi
i 1,2,...,r . Sau đó lập ma trận P mà các cột lần lượt là các vectơ cơ sở của không
gian con riêng E(i ) thì P là ma trận làm chéo hóa. Khi đó B P 1AP là ma trận
24


chéo mà các phần tử trên đường chéo chính lần lượt là các giá trị riêng của A (giá
trị riêng i sẽ xuất hiện ni lần, i 1,2,...,r )
Ma trận dạng chéo (hay ma trận đồng dạng) của A là:

1


0


B  �0

M


0


0 0
2 0
0 3
M M
0 0

... 0 �

... 0 �

... 0 �, i (i  1, n)
O M�

... n �


Hiển nhiên, ta được: A  PBP 1
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh

An  PB n P 1 , ( n �N  )

1n

0

n �
Dễ thấy, B  �0

M


0


0
0
2n 0
0
3n
M M
0
0

... 0 �

... 0 �

... 0 �, ( n �N  )
O M �

n�
... n �

�1 0 �
Ví dụ 1. Cho ma trận A  �
1 2 �


Tính Ak , k ��
Giải
Gọi  là giá trị riêng của A và   ( x1 , x2 ) là vectơ riêng tương ứng với  , 
thỏa: A   I  0


1 
1

0
�  1
0� �
2
2


� A chéo hóa được

1

� Ma trận dạng chéo B  �

0


0�

2�


�x1 �
Thay lần lượt 1 , 2 vào  A   I  � � 0
x2 �


25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×