Tải bản đầy đủ

Một số phương pháp giải bài tập toán cực trị của hàm số và ứng dụng (tt)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC
TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Chung
Sinh viên: Nguyễn Thị Hoài Thương
Lớp: Đại học sư phạm Toán K56

Quảng Bình - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này là do chính bản thân tôi thực hiện,
dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thành Chung. Các kết quả
trong khóa luận này hoàn toàn trung thực.

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoài Thương

i


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp, ngoài sự nỗ lực
của bản thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy
giáo, cô giáo trong Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn
Thành Chung. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn
tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tôi
lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong
nghiên cứu khoa học.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo
trong Khoa Khoa học Tự nhiên, tới gia đình, bạn bè và những người luôn
sát cánh bên tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong quá
trình học tập cũng như thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận này.
Mặc dù đề tài đã được chuẩn bị và nghiên cứu một cách kĩ lưỡng về
thời gian cũng như nội dung nhưng không khỏi có những thiếu sót. Vì vậy,
tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo để khóa luận
được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018
Sinh viên
Nguyễn Thị Hoài Thương

ii


Bảng ký hiệu, chữ viết tắt
CĐ: Cực đại.
CT: Cực tiểu.
GTLN: Giá trị lớn nhất.
GTNN: Giá trị nhỏ nhất.
TXĐ: Tập xác định.

1



Mục lục
Bảng ký hiệu, chữ viết tắt

1

MỞ ĐẦU

4

1 CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG
1.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị . . . . . . . . .
1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị . . . . . . . . . .
1.2 Bài toán cực trị của hàm một biến số và ứng dụng . . . . .
1.2.1 Bài toán tìm cực trị của hàm một biến số . . . . . .
1.2.2 Bài toán cực trị hàm một biến số phụ thuộc tham số
1.2.3 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Bài toán cực trị hàm một biến số trong hình học . .
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG
2.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Quy tắc tìm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bài toán cực trị của hàm nhiều biến số và ứng dụng . . . .
2.2.1 Bài toán cực trị không có điều kiện . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài toán cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến
số trong một miền đóng bị chặn . . . . . . . . . . .
2.2.4 Bài toán cực trị hàm nhiều biến số phụ thuộc tham số
2.2.5 Bài toán cực trị hàm nhiều biến số trong hình học .
2

6
6
6
7
8
9
9
13
17
20
24
27
27
27
28
30
31
31
34
37
41
44


2.3

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

KẾT LUẬN

50

TÀI LIỆU THAM KHẢO

51

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cực trị của hàm số là một khái niệm rất quen thuộc trong toán học.
Nhắc đến cực trị là nói đến những phương pháp giải các bài toán liên quan
và ứng dụng của nó. Cực trị của hàm số là một dạng toán khó lại hay
thường gặp trong các kì thi của Giáo viên và học sinh. Mặc dù vậy, chúng
ta vẫn chưa có một tài liệu nào có thể cung cấp cho ta đầy đủ những
phương pháp, những dạng toán cơ bản thường gặp và cũng chưa có một
phương pháp giải các bài toán cực trị nào tối ưu cho mọi dạng toán.
Với những lí do như vậy, tôi đã tìm hiểu, nghiên cứu đề tài :" Một số
phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số và ứng dụng". Rất mong sự
đóng góp chân thành để đề tài được pháp huy hiệu quả.

2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến cực trị của hàm số
để rút ra phương pháp giải cho một số dạng toán về cực trị của hàm số và
ứng dụng.

3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan
tới phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng để phân loại và hệ thống
hóa các kiến thức.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo
trình rút ra được kinh nghiệm để giải các bài toán cực trị.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng
4


dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình
thức của khóa luận.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận này có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên
ngành Toán có mong muốn tìm hiểu về phương pháp giải bài toán cực trị
của hàm số và ứng dụng. Với bản thân tôi, nghiên cứu về phương pháp
giải các bài toán cực trị của hàm số và ứng dụng giúp tôi hiểu rõ hơn các
khái niệm cực trị, các phương pháp giải toán cực trị và ứng dụng.

5. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của
khóa luận gồm 2 chương.
Chương 1: Cực trị của hàm số một biến và ứng dụng.
Trong chương này, nhắc lại các kiến thức cơ bản về cực trị , các quy
tắc tìm cực trị của hàm số một biến nhằm củng cố kiến thức, tạo nền tảng
để tìm cực trị của hàm số một biến. Đồng thời chương này cũng đưa ra hệ
thống, phân loại các dạng bài tập gồm: Bài toán tìm cực trị của hàm một
biến số, bài toán cực trị có tham số, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất; bài toán cực trị trong hình học. Việc phân loại các dạng bài tập
giúp cho việc giải quyết các bài tập một cách thuận lợi hơn và là cơ sở để
giúp cho việc nghiên cứu hàm nhiều biến ở chương sau.
Chương 2: Cực trị của hàm nhiều biến số và ứng dụng.
Ở chương này, hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về cực trị của hàm
nhiều biến số mà cụ thể là hàm hai biến số. Đồng thời giải quyết các dạng
bài toán sau:
- Bài toán cực trị không điều kiện.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm nhiều biến số trong một miền
đóng bị chặn.
- Bài toán cực trị có điều kiện.
- Bài toán cực trị hàm nhiều biến số phụ thuộc tham số.
- Bài toán cực trị hàm nhiều biến số trong hình học.
Các dạng bài tập này bám sát kiến thức, các quy tắc được trình bày,
giúp người đọc dễ hiểu sâu sắc hơn các kiến thức đã học.
5


Chương 1
CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN
SỐ VÀ ỨNG DỤNG
1.1
1.1.1

Một số kiến thức cơ bản
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Giả sử hàm số f (x) xác định trên tập hợp D(D ⊂ R)
và x0 ∈ D. Khi đó:
i) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f (x) nếu tồn tại một
khoảng (a, b) chứa điểm x0 sao cho (a, b) ⊂ D và f (x) < f (x0 ) với
mọi x ∈ (a, b)\{x0 }. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm
số f (x).
ii) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) nếu tồn tại một
khoảng (a, b) chứa điểm x0 sao cho (a, b) ⊂ D và f (x) > f (x0 ) với
mọi x ∈ (a, b)\{x0 }. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của
hàm số f (x).
iii) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị
cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f (x) thì người ta nói rằng hàm
số f (x) đạt cực trị tại điểm x0 .
Nhận xét 1.1. Giá trị cực đại (cực tiểu) f (x0 ) của hàm số f nói chung
không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D;
f (x0 ) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng
(a; b) nào đó chứa điểm x0 .
6


1.1.2

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1.1. Giả sử hàm số f (x) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu
f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì f (x0 ) = 0.
Chứng minh.
Giả sử hàm số f có cực đại tại x0 ∈ (a; b). Khi đó, tồn tại δ > 0
đủ nhỏ sao cho (x0 − δ; x0 + δ) ⊂ (a; b) và f (x) ≤ f (x0 ) với mọi
x ∈ (x0 − δ; x0 + δ).
Với x0 − δ < x < x0 , ta có

f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0
Do đó

f (x0 ) = lim−
x→x0

f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0

Với x0 < x < x0 + δ , ta có

f (x) − f (x0 )
≤ 0.
x − x0
Do đó

f (x0 ) = lim+
x→x0

f (x) − f (x0 )
≤ 0.
x − x0

Vậy f (x0 ) = 0.
Trường hợp f có cực tiểu tại x0 được chứng minh tương tự.

Nhận xét 1.2.
1) Đạo hàm f có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực
trị tại điểm x0 .
Chẳng hạn, xét hàm số f (x) = x3 , ta có f (x) = 3x2 và f (0) = 0.
Tuy nhiên, hàm số f không đạt cực trị tại điểm x = 0. Thật vậy, vì
f (x) > 0 với mọi x = 0 nên hàm số đồng biến trên R.

7


2) Hàm số f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có
đạo hàm.
Chẳng hạn, hàm số y = f (x) = |x| xác định trên R. Vì f (0) = 0
và f (x) > 0 với mọi x = 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0.
Dễ thấy hàm số y = |x| không có đạo hàm tại điểm x = 0.
3) Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó
đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại điểm đó hàm số không có đạo
hàm.

1.1.3

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 1.2. Giả sử hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a, b) chứa điểm x0
và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b). Khi đó:
1) Nếu

f (x) < 0, x ∈ (a; x0 )
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 .
f (x) > 0, x ∈ (x0 ; b)

2) Nếu

f (x) > 0, x ∈ (a; x0 )
thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 .
f (x) < 0, x ∈ (x0 ; b)

Chứng minh.
1) Vì hàm số f liên tục trên nửa khoảng (a; x0 ] và f (x0 ) < 0 với mọi
x ∈ (a; x0 ) nên hàm số f nghong miền

D = {(x; y) : x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3}.
b) z = sin x sin y sin(x + y) trong hình vuông

0 ≤ x ≤ π; 0 ≤ y ≤ π.
Giải:
a ) Miền D đã cho là tam giác OAB với O(0; 0), A(−3; 0); B(0; −3).
Tìm điểm dừng qua việc giải hệ phương trình

∂f


=0
∂x

∂f


=0
∂y

2x − y + 1 = 0

2y − x + 1 = 0

x=1
y = −1

Vậy ta có điểm dừng M (−1; 1).
Tại điểm M (−1; 1), ta có

f (A) = 1; A = 2; B = −1; C = 2; B 2 − AC = −3 < 0.
39


Do đó tại điểm M (−1; 1) hàm có cực trị địa phương và fmin = −1.
Khảo sát hàm trên biên của miền D.
Khi x = 0, ta có
f = y 2 + y.
Đối với hàm một biến f = y 2 + y, −3 ≤ y ≤ 0, ta có
−1
−1
tại điểm 0;
.
fmax = 6 tại điểm (0; -3); fmin =
4
2
Khi y= 0, ta có f = x2 + x.
Đối với hàm một biến f = x2 + x, −3 ≤ x ≤ 0, ta có
−1
−1
tại điểm
;0 .
fmax = 6 tại điểm (-3; 0); fmin =
4
2
Khi x + y = −3 ⇒ y = −3 − x, ta có f = 3x2 + 9x + 6 và tương tự ta
−3
−3 −3
tại điểm
;
.
có fmax = 3 tại điểm (-3; 0) và (0; -3), fmin =
4
2 2
So sánh các giá trị ta thu được đối với f ta có kết luận
fmax = 6 tại điểm (−3; 0) và (0; −3).
fmin = −1 tại điểm M (−1; 1).
b) z = sin x sin y sin(x + y).
Tìm điểm dừng qua việc giải hệ phương trình:

∂f


=0
∂x

∂f


=0
∂y

sin y(cos x sin(x + y) + sin x cos(x + y)) = 0
sin x(cos y sin(x + y) + sin y cos(x + y)) = 0


sin y sin(2x + y) = 0
sin x sin(2x + y) = 0

Từ hệ phương trình trên kết hợp với điều kiện trong hình vuông

0 ≤ x ≤ π; 0 ≤ y ≤ π
π π
2π 2π
;
; M2
;
.
3 3
3 3
Giá trị của hàm số trên biên của hình vuông đều bằng 0 và


3 3
3 3
z(M1 ) =
; z(M2 ) = −
.
8
8

ta có các điểm dừng M1

40



3 3
tại
Vậy trong hình vuông trên hàm số có giá trị lớn nhất là
8

3 3
π π
2π 2π
;
, giá trị nhỏ nhất là −
tại M2
;
.
M1
3 3
8
3 3
2.2.4

Bài toán cực trị hàm nhiều biến số phụ thuộc tham số

Nhận xét 2.7. Khi gặp các bài toán cực trị hàm nhiều biến số có chứa
tham số thì ta sử dụng quy tắc tìm cực trị, kết hợp với việc biện luận các
trường hợp xảy ra của tham số để tìm lời giải cho bài toán. Trong trường
hợp ∆ = 0 (tức là chưa cho ta kết luận gì về sự tồn tại cực trị tại các điểm
giới hạn) thì ta phải sử dụng định nghĩa để tìm cực trị của hàm số đó. Cụ
thể, ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 2.10. Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x2 + λy 2 , λ = 0.
Giải:
Miền xác định của hàm số là toàn mặt phẳng R2 .
Tìm các điểm dừng qua việc giải hệ phương trình:

∂f


=0
∂x

∂f


=0
∂y

2x = 0

2λy = 0

x=0
y=0

Vậy M(0, 0) là điểm dừng duy nhất của hàm số.
Các đạo hàm cấp hai:

∂ 2f
A=
= 2;
∂x2
∂ 2f
B=
= 0;
∂x∂y
∂ 2f
C = 2 = 2λ.
∂y
Xét tại điểm M(0, 0) ta có B 2 − AC = −4λ và có A = 2 > 0, do đó:

• Nếu B 2 − AC = −4λ < 0 thì λ > 0, khi đó hàm số đạt cực tiểu tại
điểm M(0, 0), đồng thời fmin = 0.
• Nếu B 2 − AC = −4λ > 0 thì λ < 0, khi đó hàm số không có cực trị
tại điểm M(0, 0).
41


Ví dụ 2.11. Tìm cực trị của hàm số

f (x, y) = λx2 y 2 , λ = 0.
Giải:
Miền xác định của hàm số là toàn mặt phẳng R2 .
Tìm các điểm dừng qua việc giải hệ phương trình

∂f


=0
2λxy 2 = 0
x=0
∂x


2
∂f

2λx y = 0
y=0

=0
∂y
Vậy các điểm (0, y) và (x, 0), x, y ∈ R là các điểm dừng của hàm số.
Tính các đạo hàm cấp hai

∂ 2f
= 2λy 2 ;
2
∂x
∂ 2f
B=
= 4λxy ;
∂x∂y
∂ 2f
C = 2 = 2λx2 .
∂y
A=

Xét tại điểm (0, y) và (x, 0), x, y ∈ R, ta có B 2 − AC = 0 nên chưa thể
nói gì về sự tồn tại cực trị của hàm số tại điểm (0, y) và (x, 0). Tuy nhiên,
vì f (x, y) = λx2 y 2 , λ = 0 nên ta xét các trường hợp sau đây:

• Nếu λ > 0 thì f (x, y) ≥ 0 = f (x0 , 0) với ∀(x, y) ∈ R2 và
f (x, y) ≥ 0 = f (0, y0 )
với mọi (x, y) ∈ R2 là những số thực cho trước bất kì.
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (x0 , 0) và (0, y0 ) với ∀x0 , y0 ∈ R,
đồng thời fmin = 0.

• Nếu λ < 0 thì f (x, y) ≤ 0 = f (x0 , 0), ∀(x, y) ∈ R2 và
f (x, y) ≤ 0 = f (0, y0 )
với mọi (x, y) ∈ R2 là những số thực cho trước bất kì.
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm (x0 , 0) và (0, y0 ) với ∀x0 , y0 ∈ R,
đồng thời fmax = 0.
42


Ví dụ 2.12. Tìm cực trị của hàm số

f (x, y) =

ax + by + c 2
(a + b2 + c2 = 0).
2
2
x +y +1

Giải:
Miền xác định của hàm số là toàn mặt phẳng R2 .
Tìm điểm dừng qua việc giải hệ phương trình:


a(x2 + y 2 + 1) − x(ax + by + c)
∂f



=0


=0
(x2 + y 2 + 1)3/2
∂x

∂f
b(x2 + y 2 + 1) − y(ax + by + c)




=0

=0
∂y
(x2 + y 2 + 1)3/2
a(x2 + y 2 + 1) − x(ax + by + c) = 0

b(x2 + y 2 + 1) − y(ax + by + c) = 0
−ab(x2 + y 2 + 1) − bx(ax + by + c) = 0

ab(x2 + y 2 + 1) − ay(ax + by + c) = 0
(bx − ay)(ax + by + c) = 0

a(x2 + y 2 + 1) − x(ax + by + c) = 0

 bx = ay
ax + by + c = 0


a(x2 + y 2 + 1) − x(ax + by + c) = 0(∗)

b
Với bx = ay ⇔ y = x thay vào (*) được
a
a
b
x = ,y = ,c = 0
c
c
(nếu c = 0 thì khi a2 + b2 + c2 = 0 hàm không có điểm dừng).
ax + c
(b = 0) thay vào (*), ta được
Với ax + by + c = 0 ⇔ y = −
b
a 2
[(a + b2 )x2 + 2acx + b2 + c2 = 0] = 0
2
b
a=0

⇔ a = 0.
(a2 + b2 )x2 + 2acx + b2 + c2 = 0
(Vì phương trình: (a2 + b2 )x2 + 2acx + b2 + c2 = 0 vô nghiệm).
Với a = 0 thì khi a2 + b2 + c2 = 0 hàm số không có điểm dừng.
Với b = 0 thì khi a2 + b2 + c2 = 0 hàm số không có điểm dừng.
43


Vậy hàm số có điểm dừng duy nhất là M0

a b
; .
c c

Các đạo hàm cấp hai:

∂ 2f
by + c
3x[a(x2 + y 2 + 1) − x(ax + by + c)]
A=
=− 2

;
∂x2
(x + y 2 + 1)3/2
(x2 + y 2 + 1)3/2
ay + bx
∂ 2f
3xy(ax + by + c)
=− 2
B=

;
∂x∂y
(x + y 2 + 1)3/2
(x2 + y 2 + 1)3/2
ax + c
3y[a(x2 + y 2 + 1) − x(ax + by + c)]
∂ 2f

.
C= 2 =− 2
∂y
(x + y 2 + 1)3/2
(x2 + y 2 + 1)3/2
Xét tại điểm M0

a b
,
c c

là điểm cực đại của hàm số và

fmax =
2.2.5



a2 + b2 + c2 .

Bài toán cực trị hàm nhiều biến số trong hình học

Ví dụ 2.13. Cho tam giác OAB với O(0; 0); A(0; 1); B(1; 0), tìm các
điểm M(x; y) thuộc tam giác sao cho tổng bình phương khoảng cách từ M
đến các đỉnh là lớn nhất, bé nhất.
Giải:
Điểm M(x; y) thuộc tam giác OAB nên hoành độ và tung độ thỏa

x > 0; y > 0; x + y ≤ 1.
Ta có

OM 2 = x2 + y 2 .
AM 2 = x2 + (y − 1)2 .
BM 2 = (x − 1)2 + y 2 .
Đặt z = OM 2 + AM 2 + BM 2 , ta có

z = f (x; y) = 3x2 + 3y 2 − 2x − 2y + 2.
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z trên

D = {x > 0; y > 0; x + y ≤ 1}.
Điểm dừng của z = f (x; y) trên miền mở của D là nghiệm của hệ
44



∂f


=0

 ∂x
1
∂f

x
=
y
=
.
=0

3


 ∂y
x > 0; y > 0; x + y < 1

4
1 1
;
; f (M0 ) = .
3 3
3
Bây giờ, ta tìm các điểm tới hạn trên biên.
- Khi x = 0; 0 < y < 1, ta có
Điểm dừng M0

1
z = 3y 2 − 2y + 2; z (y) = 6y − 2 ⇔ y = .
3
5
Suy ra điểm dừng M1 0; 13 ; f (M1 ) = .
3
- Khi y = 0; 0 < x < 1, ta có
1
z = 3x2 − 2x + 2; z (x) = 6x − 2 ⇔ x = .
3
1
5
; 0 ; f (M2 ) = .
Suy ra điểm dừng M2
3
3
- Khi y = 1 − x; 0 < x < 1, ta có
1
z = 6x2 − 6x + 3; z (x) = 12x − 6 ⇔ x = .
2
1 1
3
Suy ra điểm dừng M3
;
; f (M3 ) = .
2 2
2
Giao của các phần biên là
M4 (0; 0); M5 (1; 0); M6 (0; 1).
Khi đó

f (M4 ) = 2; f (M5 ) = f (M6 ) = 3.
Vậy

1 1
4
;
= .
3 3
3
= f (1; 0) = f (0; 1) = 3.

fmin = f
fmax

1 1
;
thì tổng bình phương tới các đỉnh là bé nhất.
3 3
M(0; 1) hoặc M(1; 0) thì tổng bình phương tới các đỉnh là lớn nhất.

Kết luận: M

45


Nhận xét 2.8. Ở ví dụ này, chúng ta đã đưa bài toán hình học về bài
toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hai biến từ đó
tìm ra kết quả cho bài toán.
Ví dụ 2.14. Trong các tam giác nội tiếp một đường tròn cho trước, hãy
tìm tam giác có diện tích lớn nhất.
Giải:
Không mất tính tổng quát, ta xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn đơn
vị với A(1; 0) cố định và B(x1 ; y1 ); C(x2 ; y2 ), trong đó

x21 + y12 = 1; x22 + y22 = 1.
Ta có

S
Lại có

ABC

1
= AB.AC. sin BAC.
2

−→
AB = (x1 − 1; y1 ) = (xi ; yi ) ⇒ AB =

x2i + yi2 ;

−→
AC = (x2 − 1; y2 ) = (xj ; yj ) ⇒ AC =

x2j + yj2 ;

−→ −→
cos BAC = cos(AB, AC) =

xi xj + yi yj
x2i

+

yi2

x2j

.

+

yj2

Do sin BAC > 0 nên

sin BAC =

1 − cos2 BAC =

xi yj − xj yi
x2i

+

yi2

x2j

+

.
yj2

Vì vậy

1
1
= AB.AC. sin BAC = |xi yj − xj yi |.
2
2
Từ đó ta có công thức
S

ABC

S

ABC

1
= |(x1 − 1)y2 − (x2 − 1)y1 |.
2

Từ đây ta có bài toán cực trị sau

1


 |(x1 − 1)y2 − (x2 − 1)y1 | → max
2
.
2
2
x

1 + y1 = 1

 x2 + y 2 = 1
2
2
46


Bài toán cực trị có điều kiện bốn biến này có thể chuyển thành bài toán
cực trị hai biến bằng cách tham số hóa đường tròn đơn vị, cụ thể đặt

x1 = cos α; y1 = sin α; x2 = cos β; y2 = sin β
ta quy bài toán về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (α; β) = sin α − sin β + sin(α − β).
Giữ α cố định, xét f (α; β) như một hàm số theo β thì

fβ (α; β) = − cos β + cos(β − α).
α
+ kπ .
2
Từ đó, để tìm GTLN của f (α; β) ta chỉ cần tìm GTLN của hàm số
α
α
sin α − sin
+ kπ + sin
+ kπ − α .
2
2

Từ đây ta tìm được các điểm dừng là β =

Tức là tìm GTLN của hàm số

f1 (α) = sin α − 2 sin

α
α
; f2 (α) = sin α + 2 sin
.
2
2

Giải các bài toán một biến này, ta tìm được đáp số bài toán là

3 3
max =
f (α;β)
2



;β =
.
3
3
Đây chính là trường hợp khi tam giác ABC đều.
chẳng hạn khi α =

Nhận xét 2.9. Tương tự như ví dụ trên, chúng ta cũng sử dụng phương
pháp tìm cực trị của hàm số nhiều biến để giải bài toán này.

2.3

Bài tập

Bài tập 2.1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a. f (x; y) = x2 + 2y 2 − xy − 7x + 10.
1 1
b. f (x; y) = − − xy .
x y
c. f (x; y) = e2xy − 1.
d. f (x; y) = ey cos 2x − 5.
47


Bài tập 2.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f trên một tập
D cho trước

f (x; y) = x2 + y 2 + xy 2 + 3, D = {(x; y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}.
Bài tập 2.3. Cho p > 1, q > 1,
số

1 1
+ = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm
p q

1
1
f (x; y) = xp + y q
p
q

trên tập hợp

D = {(x; y) ∈ R2 : xy = 1, x > 0, y > 0}.
Hướng dẫn
Với ∀(x; y) ∈ D; y =

1
, x > 0.
x

Do đó

lim y = 0; lim f (x; y) = lim f x;

x→∞

x→∞

x→∞

1
x

= +∞.

Vì vậy hàm số f không đạt cực đại trên D. Ta tìm cực tiểu của hàm số f
với ràng buộc

g(x; y) = xy − 1 = 0, x > 0, y > 0(1).
∂f ∂f
;
= (y; x) = (0; 0), ∀x > 0; y > 0 nên để cực tiểu có điều kiện
∂x ∂y
của hàm số f với ràng buộc (1) thỏa mãn hệ phương trình

∂g
∂f



=
λ


∂x
∂x

 ∂f
∂g

∂y
∂y




g(x; y) = 0


 x > 0; y > 0



Giải hệ ta được x = y = 1.

min f (x; y) = f (1; 1) =
(x;y)∈D

1 1
+ = 1.
p q

Bài tập 2.4. Tìm cực trị của hàm số f (x; y) = x + 2y với điều kiện x và
y liên hệ với nhau bởi phương trình x2 + y 2 = 5.
48


Bài tập 2.5. Tìm cực trị của hàm số: f (x; y) = xy 2 với điều kiện x và y
liên hệ với nhau bởi phương trình x + y + 3 = 0.
Bài tập 2.6. Trong các hình chữ nhật có chu vi 40cm, hãy xác định hình
chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn
Gọi x; y là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Chu vi hình chữ nhật là

P =

x+y
= 40 ⇔ x + y = 20.
2

Diện tích hình chữ nhật là

S = xy.
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của hàm số S(x; y) = xy với điều kiện

P (x; y) = x + y = 20.

49


KẾT LUẬN
Qua các nội dung nghiên cứu ở trên, khóa luận " Một số phương
pháp giải bài toán cực trị của hàm số và ứng dụng" đã giải quyết
về cơ bản những mục đã đặt ra.
Theo hướng nghiên cứu chi tiết về phương pháp giải bài toán cực trị
của hàm số ta thu được một số kết quả sau:
1) Hệ thống các kiến thức cơ bản về cực trị của hàm một biến số, hai
biến số và các quy tắc tìm cực trị của hàm số.
2) Hệ thống các dạng toán cực trị của hàm một biến số thường gặp, cụ
thể:
- Bài toán tìm cực trị của hàm một biến số.
- Bài toán cực trị hàm một biến số phụ thuộc tham số tham số.
- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến
số.
- Bài toán cực trị hàm một biến số trong hình học.
3) Trình bày hệ thống các dạng bài toán cực trị hàm nhiều biến số:
- Bài toán cực trị không điều kiện.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm nhiều biến số trong một
miền đóng bị chặn.
- Bài toán cực trị có điều kiện.
- Bài toán cực trị hàm nhiều biến số phụ thuộc tham số.
- Bài toán cực trị hàm nhiều biến số trong hình học.
Hy vọng rằng, với các nội dung đã được trình bày trong khóa luận sẽ
là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên và các giáo viên
mới ra trường, góp phần giúp cho việc học, nghiên cứu các bài toán về cực
trị của hàm số sẽ được thuận lợi.

50


Tài liệu tham khảo
[1] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Trần
Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm - Đặng Hùng Thắng, Giải tích
nâng cao 12, Nhà xuất bản Giáo dục.
[2] Nguyễn Bá Kim (chủ biên) - Vũ Dương Thụy (2006), Phương pháp
dạy học môn toán, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh (2006),
Toán học cao cấp tập 3, Nhà xuất bản Giáo dục.
[4] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh (2006),
Bài tập toán học cao cấp tập 3, NNhà xuất bản Giáo dục.
[5] Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân
Liêm - Phạm Thị Bạch Ngọc - Đoàn Quỳnh - Đặng Hùng Thắng, Bài
tập giải tích nâng cao 12, Nhà xuất bản Giáo dục.
[6] Phan Đức Chính (1997), Một số phương pháp giải toán sơ cấp, tập 2,
Nhà xuất bản Giáo dục.
[7] Trần Văn Kí (2002), Toán chọn lọc giải tích 12, Nhà xuất bản Đại
học Quốc gia TP.HCM.

51



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×