Tải bản đầy đủ

KHAI THÁC hệ THỐNG bài tập TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNG NÂNG CAO NĂNG lực SÁNG tạo CHO học SINH THÔNG QUA dạy học đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
***

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI: KHAI THÁC HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN
THEO ĐỊNH HƯỚNG NÂNG CAO NĂNG LỰC SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC ĐẠI SỐ

Giảng viên hướng dẫn: Phan Trọng Tiến
Họ và tên sinh viên : Nguyễn Quang Hiếu
Lớp: Đại học Sư phạm Toán K56
Khoa: Khoa học Tự nhiên

Quảng Bình, năm 2018
i


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp, với tình cảm chân thành em xin chân
thành cảm ơn Ban Giám hiệu, cán bộ giảng viên Trường Đại học Quảng Bình,
giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên đã tận tình giảng dạy, động viên, khích lệ,

giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Phan Trọng Tiến, người đã tận tình hướng dẫn, giúp
đỡ em về kiến thức và phương pháp trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn luôn lo lắng, động viên và ủng hộ em
trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Do điều kiện về thời gian cũng như năng lực nghiên cứu của bản thân còn
hạn chế, khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự
góp ý của quý thầy, cô giáo để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng em xin chúc quý thầy, cô giáo sức khỏe và thành công trong sự
nghiệp cao quý.
Em xin chân thành cảm ơn!
TÁC GIẢ

ii


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong các chương
trình khác. Nếu không đúng như đã nêu trên, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm
về đề tài của mình.

Người cam đoan

Nguyễn Quang Hiếu

iii


MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài: .............................................................................................. 1
2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu: ............................................................................... 2
3. Mục tiêu nghiên cứu:......................................................................................... 2
4. Nội dung nghiên cứu: ........................................................................................ 2
5. Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu: ................................................ 2
6. Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu đề tài: ................. 2
B. NỘI DUNG....................................................................................................... 4
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN ............................................................................... 4
I.1. Sáng tạo ........................................................................................................... 4


I.1.1. Sáng tạo:....................................................................................................... 4
I.1.2. Tư duy sáng tạo ........................................................................................... 4
I.2. Năng lực sáng tạo............................................................................................ 7
I.2.1.Năng lực ........................................................................................................ 7
I.2.2. Năng lực sáng tạo......................................................................................... 7
I.3. Năng lực sáng tạo trong học tập của học sinh THPT ..................................... 8
I.3.1. Quan niệm .................................................................................................... 8
I.3.2. Những đặc điểm và biểu hiện đặc trưng về NLST của học sinh trong học tập.. 8
I.4. Các yếu tố cần thiết để bồi dưỡng NLST cho học sinh trong học tập. ......... 10
I.5. Các khả năng bồi dưỡng NLST trong quá trình dạy học môn Toán THPT. 12
I.6. Một số biện pháp nâng cao năng lực sáng tạo toán cho học sinh trung học
phổ thông. ............................................................................................................ 13
I.7. Vai trò của dạy học giải bài tập trong ren luyện năng lực sáng tạo cho học
sinh. ..................................................................................................................... 14
KẾT LUẬN CHƯƠNG I .................................................................................... 15
Chương II. BIỆN PHÁP KHAI THÁC HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO ĐỊNH
HƯỚNG NÂNG CAO NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG
QUA DẠY HỌC ĐẠI SỐ ................................................................................... 16
II.1. Định hướng chung ....................................................................................... 16
iv


II.2. Đề xuất một số phương pháp cụ thể ........................................................... 17
II.2.1.Phương pháp tạo ra hệ thống bài tập mới từ những kiến thức đã học, bài
tập đã có............................................................................................................... 17
II.2.1.1.Đề xuất các bài toán mới từ áp dụng định nghĩa, định lý, tính chất....... 17
II.2.1.2. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp tương tự, phương pháp
khái quát hóa dựa trên các định lý, bài tập đã có. ............................................... 18
II.2.1.3. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp dựa trên các bài tập đã có,
sử dụng định lý về sự tương đương của hai mệnh đề. ........................................ 19
II.2.1.4. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp kết hợp hai hay nhiều vấn
đề kiến thức thể hiện trong một bài tập. .............................................................. 20
II.2.1. 5. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp sử dụng sự không tương
đương của hai mệnh đề A => B và B => A hoặc xây dựng bài tập phản ví dụ.20
II.2.1.6. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp thay đổi hay thêm giả
thiết tạo ra bài toán mới....................................................................................... 21
II.2.1.7. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp :Đặc biệt hóa từ bài toán
giải. ...................................................................................................................... 21
II.2.1.8. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp: Quy quen về lạ làm mới
nội dung hoặc hình thức chuyển ngôn ngữ. ........................................................ 22
II.2.1.9. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp: Từ một số yếu tố đặc
trưng, tạo ra bài toán không mẫu mực. ............................................................... 23
II.2.2.Khai thác phương pháp gải ........................................................................ 23
II.2.2.1.Khai thác bài toán có nhiều cách giải khác nhau ................................... 23
II.2.2.2.Khai thác bài toán có cách giải đặc thù ................................................. 26
II.2.2.3.Khai thác bài toán chuyển hóa hình thức bài toán. ................................ 27
II.2.2.4.Khai thác bài toán chuyển hóa nội dung bài toán .................................. 28
KẾT LUẬN CHƯƠNG II ................................................................................... 31
C. KẾT LUẬN CHUNG ..................................................................................... 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 33

v


A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Rèn luyện tư duy sáng tạo (TDST) cho học sinh là một trong những mục
tiêu cơ bản dạy học sáng tạo môn toán ở trường phổ thông. Nâng cao tư duy
sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện
vấn đề mới, rèn luyện, nâng cao một số yếu tố tư duy sáng tạo và khơi dậy
những ý tưởng mới cho học sinh. Nâng cao năng lực sáng tạo (NLST) cho học
sinh trung học phổ thông là một vấn đề khó đòi hỏi phải kết hợp nhiều phương
pháp khác nhau, phải phù hợp với đối tượng học sinh, có tính lâu dài liên tục.
Do đó người dạy phải nắm vững một số biện pháp rèn luyện năng lực sáng tạo
toán cho học sinh và vận dụng chúng một cách linh hoạt trong dạy học.
Trong dạy học sáng tạo toán phổ thông, vấn đề thực hành giải toán đóng
vai trò trọng tâm. Nó vừa là mục tiêu, vừa là phương tiện trong dạy học sáng tạo
ở trường phổ thông. Có thể gọi là tư duy có hiệu quả nếu dẫn đến lời giải bài tập
cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu như tư duy đó tạo ra những tư liệu,
phương tiện để giải bài tập. Qua các bài tập người dạy làm phương tiện cài đặt
dụng ý sư phạm của mình, giúp giáo viên có vai trò chỉ đạo định hướng như gợi
động cơ trung gian, hướng đích trong vấn đề rèn luyện năng lực sáng tạo cho
học sinh.
Về thực hành giải toán, để bồi dưỡng các yếu tố của tư duy sáng tạo cho
học sinh, cần coi trọng các các bài tập trong đó chưa nêu rõ điều phải chứng
minh. Học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn
đề. Trong quá trình dạy học, người dạy cần chú ý đưa ra các loại bài tập bồi
dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính
độc đáo. Ngoài ra, người dạy cần đề xuất các câu hỏi, bài tập thông minh nhằm
giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm
thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh lối học thuộc lòng máy
móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo.
Như vậy, muốn bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh có hiệu quả người
dạy cần nắm vững phương pháp, đồng thời khai thác tốt hệ thống câu hỏi bài tập
1


phục vụ quá trình dạy học.
Được sự gợi ý của giảng viên hướng dẫn và lòng say mê tìm hiểu về các
phương pháp sáng tạo chúng tôi đã quyết định chọn đề tài : “Khai thác hệ thống
bài tập toán theo định hướng nâng cao năng lực sáng tạo cho học sinh thông qua
dạy học đại số”.
2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu:
Thế giới: Một số nghiên cứu về lý luận sáng tạo chưa có những nghiên
cứu cụ thể.
Trong nước:
- Về “Khai thác hệ thống bài tập toán theo định hướng nâng cao năng lực
sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học đại số” đã được đưa ra trong một số tài
liệu tham khảo dưới dạng bài toán đơn lẻ.
- Trong một số danh mục đề tài khoa học của sinh viên ở các trường đại
học khác chưa thấy đề tài nào tương tự.
3. Mục tiêu nghiên cứu:
- Trình bày các kiến thức về sáng tạo, một số biện pháp nâng cao năng lực
sáng tạo toán cho học sinh trung học phổ thông.
- Khai thác hệ thống bài tập toán theo định hướng nâng cao năng lực sáng
tạo cho học sinh thông qua dạy học đại số.
- Đề xuất một số phương pháp cụ thể.
4. Nội dung nghiên cứu:
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Khai thác hệ thống bài tập toán theo định hướng nâng cao năng
lực sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học đại số.
5. Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu:
Trình bày các kiến thức về sáng tạo, một số biện pháp nâng cao năng lực
sáng tạo toán cho học sinh trung học phổ thông.
6. Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu đề tài:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài liệu làm rõ
nội dung lý thuyết. Sau đó trình bày lại các tính chất theo một hệ thống có lôgic.
2


- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân,
của các bạn học, anh chị xung quanh để tổng hợp và hệ thống hóa kiến thức, vấn
đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học kết hợp đưa ra các ví dụ cụ thể để minh họa
chi tiết.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xemina, lấy ý kiến của giảng viên
hướng dẫn để hoàn thành về mặt nội dung cũng như hình thức đề tài nghiên cứu.

3


B. NỘI DUNG
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
I.1. Sáng tạo
I.1.1. Sáng tạo:
Theo Từ điểntiếng Việt “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới,
không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có”.
Sáng tạo luôn xuất hiện ở mọi người, ở mọi lĩnh vực, do đó cũng có nhiều
loại sáng tạo khác nhau tùy, theo cách tiếp cận, tùy theo mục đích nghiên cứu
mà có các quan điểm khác nhau về sáng tạo.
Xét trên quan điểm năng lực thì “Sáng tạo là năng lực đáp ứng một cách
thích đáng nhu cầu tồn tại theo lối mới, năng lực gây ra cái gì đấy mới mẻ” với
quan điểm ấy, Henry Gleitman định nghĩa “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra
những giải pháp mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích”, Karen
Huffman cho rằng "người có tính sáng tạo là người tạo ra được giải pháp mới
mẻ và thích hợp để giải quyết vấn đề".
Xét trên quan điểm tư duy thì “những giải pháp sáng tạo thường nảy sinh
trong quá trình nỗ lực giải quyết các vấn đề đặt ra, tức đó là sản phẩm của tư duy
có ý thức”. Nhưng sáng tạo lại là sản phẩm của tư duy phân kỳ (là khả năng nảy
sinh nhiều ý tưởng khác nhau xuất phát từ một nguồn thông tin đã cho, khả năng
tạo ra nhiều câu trả lời khác nhau cho một vấn đề đặt ra), nghĩa là trong quá
trình sáng tạo, phần lớn các sản phẩm tư duy nằm trong phạm vi tư duy phân kỳ.
Có thể nói: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ những hiểu biết đã có đến
những hiểu biết mới” .
Từ góc độ nhân cách, Pippig cho rằng: Tính sáng tạo trở thành một thuộc
tính nhân cách tồn tại như một tiềm năng ở con người. Tiềm năng sáng tạo có ở
mọi người bình thường và được huy động trong từng hoàn cảnh sống cụ thể .
I.1.2. Tư duy sáng tạo
Theo Cruchetxki V.A, ông quan niệm TDST là sự kết hợp cao nhất, hoàn
thiện nhất của tư duy độc lập và tư duy tích cực.

4


Nhà tâm lý học Đức G. Mehlhorn nêu lên vai trò, tầm quan trọng của tư
duy sáng tạo trong sáng tạo và trong giáo dục: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của
sự sáng tạo cá nhân đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”. J.Danton (1985)
cho rằng TDST đòi hỏi năng lực nhận thức nhiều hơn. TDST đòi hỏi sự tích hợp
các chức năng của tư duy, cảm giác, cảm xúc và trực giác. Một số nhà khoa học
lại đưa ra những nhận định khác: TDST đó là năng lực tìm thấy ý nghĩa mới, tìm
thấy những mối quan hệ mới; là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và
sự đánh giá, chứa đựng những điều như sự khám phá, sự phát minh, sự đổi mới,
trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm. Rubinstein X.I chỉ ra sự xuất hiện
của TDST là "TDST luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề".
Trong luận án này chúng tôi nhất trí với quan niệm về TDST là " Tư duy
sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả
giải quyết vấn đề cao".
Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về cấu trúc của TDST, ta có thể thấy nổi
lên 5 thành phần cơ bản:
- Tính mềm dẻo là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang
hoạt động trí tuệ khác. Tính mềm dẻo còn làm thay đổi một cách dễ dàng thái độ
cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người. Tính mềm dẻo có các đặc trưng
như: thứ nhất là dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ
khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng
hóa; thứ hai là suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc
kinh nghiệm, kiến thức kỹ năng vào hoàn cảnh mới. Nhận ra vấn đề mới trong
điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
Ví dụ: Giải phương trình 3x(2x - 1) = 1- 2x
Nhiều học sinh giải 6x2 - 3x + 2x - 1 = 0, 6x2 - x - 1 = 0,  = 1+24 = 25,
nghiệm x1 =

1
, x2
2

=

1
.
3

5


Nhưng nếu học sinh nhận xét 2x - 1 và 1- 2x ở hai vế là hai đa thức đối
nhau sẽ có cách giải đơn giản hơn 3x(2x-1) + 2x - 1 = 0, (3x + 1)(2x-1) = 0
1

x  3
3 x  1  0


1
2 x  1  0
 x
2


Như vậy cách giải thứ nhất cứng nhắc, cách giải thứ hai thể hiện tính mềm
dẻo trong tư duy.
- Tính nhuần nhuyễn là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc
độ và tình huống khác nhau. Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng tổ hợp
giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh. Nó đựơc đặc trưng bởi : Tính
đa dạng của các cách xử lý khi giải toán; khả năng tìm được nhiều giải pháp trên
nhiều góc độ và tình huống khác nhau; khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều
khía cạnh khác nhau; khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải
pháp khác.
- Tính độc đáo là khả năng tìm kiếm và quyết định phương thức giải quyết
lạ hoặc duy nhất nó được đặc trưng bởi khả năng tìm ra những liên tưởng và sự
kết hợp mới; khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp
khác.
- Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành
động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
- Tính nhạy cảm vấn đề là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, mâu
thuẫn, sai lầm, sự thiếu logic, chưa tối ưu do đó nảy sinh ý muốn cấu trúc lại hợp
lý, tạo ra cái mới.
Các tính chất trên không tách rời nhau mà có quan hệ mật thiết, hỗ trợ và
bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt
động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải
pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó
đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm ra những giải pháp lạ
(tính độc đáo).

6


Tóm lại: Có thể nói TDST là nguồn gốc của mọi thành quả sáng tạo, không
có nó thì không thể có sáng tạo. Mặt khác TDST là một loại hình tư duy có thể
bồi dưỡng để hình thành và phát triển qua con đường giáo dục.
I.2. Năng lực sáng tạo
I.2.1.Năng lực
Trong nhiều thập kỷ gần đây, năng lực đang được nhìn nhận dưới cách tiếp
cận tích hợp. Theo tậm lý học: “Năng lực là tổng hợp các thuộc tính độc đáo của
cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định,
nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động ấy”.
I.2.2. Năng lực sáng tạo
Guilford cho rằng "NLST là thuộc tính của cá nhân, có thể được sử dụng
trong những lĩnh vực khác nhau mà không nhất thiết phải gắn liền với một bộ
môn xác định nào đó. Nhưng năng lực chung đó biểu hiện rõ nét nhất ở khả
năng TDST". Như vậy NLST có quan hệ mật thiết với TDST, cùng quan điểm
đó phát biểu NLST biểu hiện rõ nét nhất ở khả năngTDST, là đỉnh cao nhất của
các quá trình hoạt động trí tuệ của con người. Quan điểm dựa trên tính mới, tính
giá trị ,... cho rằng "NLST của mỗi cá nhân thể hiện cá nhân có thể mang lại
những giá trị mới, những sản phẩm mới quý giá đối với nhân loại". Qua những
phân tích ở trên, cho thấy còn có những quan điểm khác nhau về NLST là do
cách tiếp cận, mục đích nghiên cứu khác nhau của các tác giả. Nhưng có thể
thấy, xu hướng nghiên cứu về NLST trong giáo dục hiện nay thường dựa trên
quan điểm của Guilford. Trong đó NLST được xem là thuộc tính cá nhân, dạng
năng lực chung, có tính độc lập tương đối và có đặc điểm biểu hiện mức độ qua
khả năng TDST.
Theo chúng tôi, NLST là năng lực của cá nhân có tính độc lập, là đỉnh cao
nhất của các quá trình hoạt động trí tuệ của con người, biểu hiện rõ nét nhất ở
khả năng TDST. Hoạt động sáng tạo là hoạt động mà trong đó NLST được thể
hiện rõ để đạt được hiệu quả mong muốn, là môi trường để con người thể hiện
được NLST. Vì vậy bồi dưỡng NLST cho học sinh thì trước hết và chủ yếu là

7


rèn luyện và phát triển TDST (mặc dù sáng tạo không đồng nhất với sáng tạo
trong tư duy mà còn nhiều yếu tố khác).
I.3. Năng lực sáng tạo trong học tập của học sinh THPT
I.3.1. Quan niệm
Các vấn đề về khái niệm cũng như cấu trúc NLST của học sinh rất phức tạp
và chưa có sự thống nhất cao. Bằng các loại trắc nghiệm, cùng với những nghiên
cứu thực nghiệm khác, một số nhà tâm lí học đã cho kết luận: Sáng tạo là một
tiềm năng vốn có trong mỗi con người, khi gặp dịp thì bộc lộ, cần tạo cho học
sinh có những cơ hội đó. Mỗi người có thể luyện tập để phát triển óc sáng tạo
trong lĩnh vực hoạt động của mình. NLST của học sinh trong học tập chính là
năng lực biết giải quyết vấn đề học tập để tìm ra cái mới ở mức độ nào đó, thể
hiện được khuynh hướng, năng lực, kinh nghiệm của cá nhân hoc sinh. Cấu trúc
NLST của học sinh và việc giáo dục phát triển chúng bao gồm ba thành phần
động cơ, xúc cảm và trí tuệ, còn NLST của học sinh trong học toán là đặc điểm
tâm lý cá nhân đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hội, cải biến các kiến thức, kỹ năng
toán học, các thủ pháp nhận thức, cách thức giải bài toán hướng tới việc tạo ra
các sản phẩm tư duy có tính mới và giá trị đối với bản thân.
Qua phân tích ở trên, theo cách hiểu của chúng tôi: NLST của học sinh
trong học tập là năng lực tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, năng lực phát hiện
và giải quyết có hiệu quả cao về các vấn đề đặt ra trong học tập.

I.3.2. Những đặc điểm và biểu hiện đặc trưng về NLST của học sinh trong học
tập
* Về đặc điểm:
Từ quan niệm về NLST của học sinh trong học tập chúng tôi thấy nổi lên
mấy đặc điểm sau: NLST của học sinh trong học tập là một dạng năng lực
chung; năng lực đó giúp cho học sinh có khả năng tìm ra cái mới, cách giải
quyết có tính hiệu quả cao và biểu hiện rõ nét qua khả năng TDST .
Trong đó, đặc điểm biểu hiện qua khả năng TDST là đặc điểm được quan
tâm nhiều trong việc giáo dục sáng tạo cho học sinh. Tính hai măt của mối quan
hệ này được thể hiện như sau: muốn biết học sinh có NLST ở mức độ nào trong
8


học tập có nhiều tiêu chí để kiểm chứng nhưng dễ nhận vẫn là TDST, mặt khác
khi ta rèn luyện phát triển TDST cho học sinh sẽ góp phần bồi dưỡng NLST.
Theo các nhà tâm lý giáo dục thì TDST trong học tập nói chung và học tập toán
nói riêng có thể rèn luyện được vì bất cứ một người bình thường nào cũng c*ó
khả năng sáng tạo, rèn luyện TDST chính là biết khơi dậy được khả năng đó.
Trong học tập toán cũng vậy, TDST là dạng tư duy nên thông qua giáo dục có
thể rèn luyện được, phát triển được vì thế mà NLST có thể bồi dưỡng được
trong dạy học toán.
NLST của học sinh trong học tập chỉ được biểu hiện qua hành động thực tế:
trong chiếm lĩnh kiến thức toán học, vận dụng kiến thức để giải bài tập toán, ứng
dung toán học vào các lĩnh vực khác. Chúng tôi xin nêu những biểu hiện đặc
trưng về NLST của học sinh trong học tập như sau :
1. Năng lực tự chuyển tải tri thức và kỹ năng từ lĩnh vực quen biết sang tình
huống mới hoặc gần hoặc xa bên trong hay bên ngoài hay giữa các hệ thống kiến
thức.
Ví dụ: Học sinh thấy tính chất phép toán cộng trên Q giống như trên Z, kỹ
năng chứng minh chia hết trên N chuyển sang chứng minh chia hết trên Z.
2. Năng lực nhận thấy nội dung mới trong tình huống bình thường.
Ví dụ: Khi học sinh học công thức nghiệm khi giải phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 ( a  0 ) khi   0 thì phương trình có hai nghiệm
x1,2 

b  
, học sinh nhận thấy các nghiệm chỉ phụ thuộc hệ số a, b, c. Từ đó
2a

có thể thấy x1  x2 , x1 .x2 chỉ phụ thuộc hệ số a, b, c đó là nội dung mới định lý
Viet
3. Năng lực nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
Ví dụ: Khi xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a  0 ) số a có chức
năng mới tham gia vào quyết định dấu của f(x) = ax2 + bx + c ( a  0 )
4. Năng lực nhìn thấy cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu.
Ví dụ: Trên tập số nguyên Z nếu với phép cộng trở thành nhóm giao hoán,
nhưng với phép nhân thì không trở thành nhóm.
9


5. Năng lực đề xuất các giải pháp khác nhau và tiến trình giải theo từng
cách và lựa chọn cách giải quyết tối ưu.
6. Năng lực nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm kiếm
lời giải (xem xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau).
7. Năng lực xây dựng phương pháp mới về nguyên tắc khác với phương
pháp quen thuộc.
Trên cơ sở biểu hiện NLST của học sinh trong học toán chúng tôi xin cụ
thể hóa những biểu hiện NLST của học sinh THPT trong học toán như sau:
Học sinh có các năng lực đặc trưng như: năng lực hệ thống hoá và trừu tượng
hoá toán học;năng lực khái quát hóa tư liệu toán học ( tách cái chính và bỏ qua
những cái không cơ bản, nhìn thấy cái chung trong sự khác nhau bên ngoài);
năng lực tư duy thuận nghịch (học sinh có thể chuyển dễ dàng từ tư duy thuận
sang tư duy nghịch). Trên cơ sở nắm được đặc điểm, biểu hiện của năng lực
sáng tạo của học sinh, giáo viên mới đánh giá được NLST của học sinh, từ đó
tìm ra con đường, cách thức bồi dưỡng NLST phù hợp.
I.4. Các yếu tố cần thiết để bồi dưỡng NLST cho học sinh trong học tập.
Bồi dưỡng NLST được hiểu là tạo ra môi trường xung quanh, điều kiện
thích hợp để khả năng sáng tạo của cá nhân có thể phát triển đầy đủ ở mức cao
nhất. Năng lực sáng tạo có cấu trúc phức hợp nhiều thành phần, trong đó một số
thành phần có thể bồi dưỡng được và thông qua bồi dưỡng những thành phần
này để bồi dưỡng NLST cho học sinh.
Trước hết phải nói tới một yếu tố quan trọng để nảy sinh sáng tạo là “hứng
thú”. Trong nhà trường, muốn rèn cho học sinh tính sáng tạo thì trước tiên giáo
viên phải giảng dạy, ra bài tập sao cho học sinh hứng thú học tập. Hứng thú gây
ra sáng tạo và sáng tạo lại thúc đẩy hứng thú mới. Học sinh có hứng thú thì nhận
thức mới cao, mới có sự khao khát nhận thức cái mới và vận dụng cái mới vào
thực tế.
Yếu tố thứ hai cần thiết để sáng tạo là “Phải có kiến thức cơ bản vững
chắc”. Một quá trình sáng tạo bất kỳ đều bắt đầu từ sự tái hiện những cái đã
biết, do đó cần có kiến thức cơ bản vững chắc mới sáng tạo được. Tâm lý học
10


hiện đại không phủ nhận vai trò của trí nhớ. Dĩ nhiên, chỉ ghi nhớ đơn thuần,
không suy nghĩ vận dụng sáng tạo đó là kiến thức chết, vô dụng. Người học sinh
phải biết vận dụng tri thức đã biết vào tình huống mới, vào giải bài tập, chứng
minh định lý, các quá trình học toán trong các trường hợp khác nhau.
L.X. Vưgôtxki đã phê phán những quan điểm không đúng cho rằng sáng
tạo là mảnh đất riêng của những người có tài năng, thiên tài, còn con người bình
thường thì tuyệt nhiên không có khả năng đó. Vưgôtxki cho rằng ở những nơi
con người biết phối kết hợp cái cũ, tạo ra cái mới đều là sáng tạo. Vì vậy, kiến
thức cơ bản vững chắc phải là yếu tố cần thiết cho bồi dưỡng NLST. Trong dạy
toán giáo viên phải trang bị tốt cho học sinh về tri thức như tri thức sự vật, tri
thức phương pháp, tri thức chuẩn, tri thức giá trị. Trong những dạng tri thức nêu
trên, tri thức phương pháp đóng một vài đặc biệt quan trọng vì chúng là cơ sở
định hướng trực tiếp cho hoạt động. Những tri thức phương pháp thường gặp là:
những tri thức tiên hành những hoạt động toán học cụ thể (như cộng hai số hữu
tỉ, giải phương trinh bậc 2,v..v..), hoặc những hoạt động toán học phức tạp (như
định nghĩa, chứng minh,v..v..), những tri thức tiến hành các hoạt động trí tuệ
phổ biến trong môn toán (như so sánh, khái quát hoá ,trừu tượng hoá ,v..v...),
trong hoạt động ngôn ngữ -lôgic (như thiết lập mệnh đề đảo của mệnh đề đã
cho, liên kết hai mệnh đề thành tuyển hoặc hội của chúng ,v...v...).
Giáo viên nên truyền thụ tường minh những tri thức phương pháp quy định
trong chương trinh, còn đối với các tri thức phương pháp không quy định trong
chương trình có thể thông báo trong quá trình tiến hành hoạt động.
Yếu tố thứ ba để sáng tạo là phải có tính “nghi ngờ khoa học”. Học sinh
phải luônluôn đặt câu hỏi: cách làm này hay lời giải này đã tối ưu chưa? Có còn
cách giải quyết nào nữa không?. Ở đây nhấn mạnh vai trò của tư duy phê phán.
Bồi dưỡng NLST chú trọng là rèn luyện, bồi dưỡng TDST. Muốn bồi dưỡng
TDST thì phải bồi dưỡng tư duy phê phán vì tư duy sáng tạo và tư duy phê phán
như hai mặt của một đồng tiền mà theo W. Edgr Moore thì "không thể có mặt
này mà lại thiếu mặt kia ".

11


Trong dạy học, vấn đề bồi dưỡng NLST cho học sinh là mục tiêu trọng tâm
của dạy học nhưng cần phải lưu ý rằng: cái mới, cái thu hoạch chính đối với học
sinh không phải là kiến thức mới mà học sinh tìm ra, vì các kiến thức này đã có
trong sách. Cái đáng quý là lao động tìm tòi, sáng tạo giúp học sinh tự tin vào
khả năng sáng tạo của mình. Các kiến thức mới đáng quý ở chỗ chính học sinh
tìm ra, chứ không phải do ai khác tìm được mang đến cho họ. Vì vậy giáo viên
luôn có ý thức về bồi dưỡng NLST cho học sinh trong mọi khâu của quá trình
dạy học. Ví dụ : khi ra đề kiểm tra, giáo viên cần soạn theo yêu cầu kiểm tra
được TDST của học sinh. Học sinh có thể làm hoàn chỉnh đề kiểm tra đó trên cơ
sở bộc lộ rõ những năng lực TDST của học sinh với các dạng bài tập, câu hỏi
nhằm bồi dưỡng TDST Trong quá trình nghiên cứu, học sinh sử dụng bất cứ nội
lực nào của mình, bất cứ phương pháp nào, bất cứ kiến thức nào, miễn sao phát
hiện và giải quyết được vấn đề. Nhưng để đi đến cái mới trong toán học thì học
sinh phải biết kết hợp các loại tư duy bao gồm tư duy phê phán, tư duy logic, tư
duy hình tượng và các tư duy khác. Trong việc phát hiện và định hướng cho
cách giải quyết vấn đề thì tư duy phê phán đóng vai trò chủ đạo. Khi hướng giải
quyết vấn đề đã có thì tư duy logic đóng vai trò chính. Do vậy mà tư duy phê
phán đóng vai trò quyết định trong sáng tạo ra cái mới.
Theo chúng tôi, để bồi dưỡng NLST cho học sinh trong học tập chúng ta
phải làm cho học sinh có sự hứng thú; trang bị cho họ kiến thức cơ bản vững
chắc. Ngoài ra bồi dưỡng tư duy lôgic, thường xuyên bồi dưỡng tư duy phê
phán, tư duy sáng tạo và phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề cho học
sinh. Tuy nhiên, đối với học sinh THPT việc bồi dưỡng NLST chỉ dừng lại mức
độ vừa phải, đảm bảo tính vừa sức, phù hợp đối tượng dạy học vì họ còn được
bồi dưỡng tiếp tục trong quá trình học tập sau này.
I.5.Các khả năng bồi dưỡng NLST trong quá trình dạy học môn Toán THPT.
Chúng ta đều biết môn Toán có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiển phổ
dụng, vừa có tính lôgic và tính thực nghiệm cao. Tính trừu tượng trong toán là
tách khỏi mọi vật liệu của đối tượng, chỉ giữ lại quan hệ ở dạng cấu trúc mà thôi.
Tính thực tiển phổ dụng của Toán học thể hiện ở chổ toán học có nguồn gốc
12


thực tế và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực. Môn Toán có tính lôgic và tính
thực nghiệm cao: Khi xây dựng toán học người ta thường dùng suy diễn lô gíc.
Môn Toán tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng, ngoài
ra góp phần phát triển năng lực trí tụê chung như: Phân tích, tổng hợp, khái quát
hóa, rèn luyện tính cẩn thận và tính sáng tạo. Môn Toán trở thành công cụ giúp
cho việc dạy và học các môn học khác như: hình thành phát triển phương pháp,
phương thức tư duy, toán học hoá tình huống thực tế, xây dựng thuật giải, phát
hiện và giải quyết vấn đề. Như vậy Toán học cung cấp cho học sinh một hệ
thống tri thức kỹ năng cơ bản, là môn học công cụ cho các môn học khác.
Trong dạy học toán có thể bồi dưỡng NLST cho học sinh qua những tình
huống điển hình như: dạy học khái niệm Toán học, dạy học định lý, dạy học quy
tắc phương pháp, dạy học giải bài tập toán. Để bồi dưỡng NLST trong dạy học
khái niệm toán, giáo viên hướng dẫn, tổ chức cho học sinh phát hiện ra nội hàm
và ngoại diên của khái niệm, giáo viên tạo tình huống học tập, tạo ra nhu cầu tìm
hiểu kiến thức mới. Giáo viên hướng dẫn để học sinh giải quyết vấn đề đưa ra
kiến thức mới. Trong dạy học định lý, giáo viên có thể: Gợi động cơ học tập làm
nảy sinh nhu cầu cho học sinh, khuyến khích suy đoán, tìm tòi phát hiện vấn đề,
khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ như phân tích tổng hợp, trừu tượng hoá,
khái quát hoá. Trong dạy học giải bài tập, vấn đề bồi dưỡng NLST cho học sinh
đã được đề cập khá sâu sắc, đầy đủ. Khi giải bài tập, học sinh phải vận dụng các
thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp để phát hiện và giải quyết vấn đề, qua đó
rèn luyện được một số thành tố cơ bản của TDST như tính nhuần nhuyễn, tính
linh hoạt, tính độc đáo.
I.6. Một số biện pháp nâng cao năng lực sáng tạo toán cho học sinh trung
học phổ thông.
Sau đây là một số phương pháp thường dùng để nâng cao năng lực sáng tạo
cho học sinh trung học phổ thông:
Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh có thói quen dự đoán, mò mẫm, phân
tích, tổng hợp.
Biện pháp này thể hiện con đường biện chứng nhận thức chân lư vận dụng
vào bộ môn toán. Nội dung là từ trực quan, hình tượng cụ thể mò mẫm nêu dự
13


đoán rồi dùng phương pháp phân tích, tổng hợp để kiểm tra tính đúng đắn. Yêu
cầu học sinh có kiến thức cơ bản như khái niệm, định nghĩa, định lý, công thức,
suy luận lôgic để rèn luyện nó.
Trong khi tìm tòi lời giải cho bài toán, nhiều khi sẽ cho ta những gợi ý để
giải quyết trong trường hợp tổng quát. Việc này cũng là nội dung của phương
pháp “đặc biệt hoá” nhưng ở đây được sử dụng để gợi ý (chứ không phải để
kiểm nghiệm), để tìm tòi lời giải và phương pháp đi tới kết quả.
Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh biết nhìn tình huống đặt ra dưới nhiều
góc độ khác nhau. Có thể đưa vào loại: Bài tập có nhiều cách giải, bài toán dựng
hình, bài toán biện luận.
Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều
phương pháp khác nhau và lựa chọn cách giải quyết tối ưu.
Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh biết vận dụng các thao tác: khái quát
hóa, đặc biệt hóa, tương tự.
Biện pháp 5: Rèn luyện cho học sinh biết hệ thống hoá kiến thức và
phương pháp giải toán.
Biện pháp 6: Rèn luyện cho học sinh biết vận dụng kiến thức toán học vào thực
tiễn.
Biện pháp 7: Quan tâm đến những sai lầm của học sinh, tìm nguyên nhân
và cách khắc phục.
Biện pháp 8: Chú trọng câu hỏi gợi ý học sinh phát hiện và giải quyết vấn
đề. Trong học toán hệ thống câu hỏi bài tập là một trong những công cụ hữu
hiệu cho việc tìm ra cách giải bài toán, cách chứng minh định lý, cách xây dựng
khái niệm mới.
I.7. Vai trò của dạy học giải bài tập trong ren luyện năng lực sáng tạo cho
học sinh.
- Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo.
- Phát triển năng lực trí tuệ.
- Bồi dưỡng thế giới quan, hình thành phẩm chất của người lao động mới.
- Là phương tiện cài đặt nội dung hoàn chỉnh bổ sung kiến thức trình bày ở
phần lý thuyết.
- Về phương pháp bài tập là giá mang hoạt dộngđể người học kiến tạo tri thức.
14


KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Chương I của đề tài nghiên cứu chúng tôi đã thu được các kết quả chính sau
đây: Một là, Chương I của đề tài đã làm sáng tỏ vai trò của vai trò của năng lực
sáng tạo trong quá trình dạy và học ở trường phổ thông. Hai là Chương I của đề
tài thông qua khác thác hệ thống câu hỏi bài tập toán có ý nghĩa của việc rèn
luyện năng lực sáng tạo . Ba là, Chương I đề tài đưa ra một số cơ sở lý luận và
thực tiển cho việc đưa ra những biện pháp khai thác hệ thống câu hỏi bài tập
toán. nhằm giúp nâng cao năng lực sáng tạo cho học sinh thông qua môn đại số.

15


Chương II.
BIỆN PHÁP KHAI THÁC HỆ THỐNG BÀI TẬP
THEO ĐỊNH HƯỚNG NÂNG CAO NĂNG LỰC SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC ĐẠI SỐ
II.1. Định hướng chung
Khai thác hệ thống bài tập toán theo định hướng nâng cao năng lực sáng
tạo cho học sinh thông qua dạy học đại số.
Một là sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố tư duy
sáng tạo như: Bài tập có cách giải riêng không phụ thuộc vào việc áp dụng công
thức tổng quát để khắc phục tính ý của tư duy. Những bài tập có lời giải khác
nhau đòi hỏi học sinh biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác.
Bài tập có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau, giúp
cho việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc xảy ra các
liên tưởng thuận, những bài toán không mẫu mực...
Hai là đề kiểm tra, đề thi cần soạn theo yêu cầu kiểm tra được tư duy sáng
tạo của học sinh. Học sinh có thể làm hoàn chỉnh đề kiểm tra đó trên cơ sở bộc
lộ rõ những năng lực tư duy sáng tạo của học sinh. Các dạng bài tập, câu hỏi
nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo như bài tập bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy
sáng tạo (bài tập có nhiều cách giải, bài tập có nội dung biến đổi, bài tập khác
kiểu, bài tập thuận nghịch, bài tập có tính chất đặc thù, bài tập “mở”); các bài
tập bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo (bài tập có nhiều kết quả,
bài tập “câm”); các bài tập bồi dưỡng tính độc đáo (bài tập không theo mẫu, toán
vui, toán ngụy biện, câu đố).
Ba là người dạy phải có phương pháp, thủ thuật nhằm tạo ra được những
bài toán, câu hỏi đáp ứng các yêu cầu ở trên. Công việc này thường được tiến
hành theo một số bước như sau:
Bước 1: Người dạy phải xác định được trình độ của đối tượng học sinh để
ra bài tập phù hợp.
16


Bước 2: Xem xét bài toán hoặc vấn đề đang học có khả năng bồi dưỡng
được những yếu tố nào của tư duy.
Bước 3: Tập trung khai thác các cơ sở gợi động cơ ra bài tập, câu hỏi. Quan
tâm khai thác các ứng dụng khái niệm, định lý kèm theo mỗi dạng ứng dụng một
chuỗi các bài toán các dạng khác nhau nâng cao dần mức độ khó. Từ các ví dụ,
bài tập có sẵn dùng các phương pháp, thủ thuật tạo ra những câu hỏi bài tập
tương tự hoặc mới hơn.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày theo hai hướng chính để nhằm khai
thác hệ thống bài tập toán theo định hướng nâng cao năng lực sáng tạo cho học
sinh: Một là tạo ra hệ thống bài tập mới từ những kiến thức đã học, bài tập đã có.
Hai là khai thác cách giải từ các bài tập.
II.2. Đề xuất một số phương pháp cụ thể
II.2.1.Phương pháp tạo ra hệ thống bài tập mới từ những kiến thức đã học, bài
tập đã có.
II.2.1.1.Đề xuất các bài toán mới từ áp dụng định nghĩa, định lý, tính chất.
Trong loại bài tập này thường có hai loại: áp dụng trực tiếp và áp dụng gián
tiếp.
Ví dụ 1:Từ bất đẳng thức cô sy : a, b  R, a, b  0 ta có: a  b  2 ab
Ta có thể đề xuất các bài toán mới:
1/Chứng minh rằng với mọi a, b  R, a, b  0 ta có: a  b  2 (1)
b

a

Lời giải
a
b

b
a

Ta có:   2

a b
a b
.  2 Vậy   2 (đpcm)
b a
b a
;

2/.Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam
a
b

b
c

c
a

giác ABC đều     3
Ví dụ 2: Từ tính chất a12  a22  ...  an2  0; ai 
Ta có thể đề xuất các bài toán mới:
1: Tìm GTNN của biểu thức M  x2  2 y2  2 xy  2 x  10 y.

17


Lời giải. Giải bài toán này bằng cách đưa các biến vào các bình phương
của tổng, cụ thể dựa vào hằng đẳng thức:

a 2  2ab  b2  (a  b)2 .

M  ( x2  xy  y2 )  (2 x  2 y)  1  ( y2  8y  16)  17
 ( x  y)2  2( x  y)  1  ( y  4)2  17  ( x  y  1)2  ( y  4)2  17  17
Khi x  3 và y  4 thì M  17 . Vậy, GTNN của M bằng -17.
2/ Tìm GTNN của biểu thức

A  ( x  1)2  ( x  3)2
Lời giải. Ta có

A  ( x2  2 x  1)  ( x2  6 x  9)  2 x2  4 x  10  2( x2  2 x  1)  8  2( x  1)2  8  8
 MinA  8  x  1  0  x  1
3/. Tìm GTNN của biểu thức B  x3  y3  x2  y2 , trong đó hai số x, y thỏa
mãn điều kiện x  y  1.
Lời giải.
Do ( x  y)3  x3  y3  3xy( x  y) và ( x  y)2  x2  y2  2 xy nên ta có:

B  ( x  y)3  3xy( x  y)  ( x  y)2  2 xy  2  5 xy  2  5 x(1  x)  5 x2  5 x  2
2

1 3
1 3 3


 5  x2  x     5  x    
4 4
2 4 4


Khi x  y 

1
3
3
; Vậy, MinB 
thì B 
2
4
4

II.2.1.2. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp tương tự, phương pháp
khái quát hóa dựa trên các định lý, bài tập đã có.
Có thể sử dụng tính tương tự về hình thức, hoặc tương tự về nội dung, hoặc
tương tự trong chứng minh.
x2 1
x3  1
Ví dụ 1:Từ bài toán :Giải phương trình:
5 2
 3x  1  0 (2)
x 1
x  x 1

Lời giải:(2) 

( x  1)( x  1)
( x  1)( x 2  x  1)
5
 3x  1  0
x 1
x2  x  1

 x  1  5( x 1)  3x  1  0  9 x  3  0  x 

18

1
3


Nhận xét: Nếu quy đồng và khử mẫu, ta sẽ phải làm việc với phương trình
bậc cao, phức tạp hơn. Việc làm giảm bậc của x bằng cách rút gọn các phân thức
có mặt ở vế trái làm cách giải đơn giản hơn.
Dùng phương pháp tương tự và tổng quát hóa ta sẽ có những bài tập như:
1/Giải phương trình:
x3  1
x5  1
5 4
 4x  7  0
x 1
x  x3  x 2  x  1

2/ Với m, n là các số tự nhiên lẻ, m, n > 1, k là tham số, giải phương trình:
xm 1
xn 1

k
 k  1x  1  0.
x m1  x m 2  ...  x  1
x n 1  x n 2  ...  x  1

Ví dụ 2: Từ bài toán: Cho  x  y   x3  y3 . Chứng minh  x  y   x5  y5 .
5

3

Xuất phát từ lời giải  x  y   x3  y3  x3  3x2 y  3xy 2  y3  x3  y3
3

 x0
  y  0
 x   y

 3xy x  y   0

Dùng phương pháp tương tự và tổng quát hóa ta sẽ có những bài tập như:
1/Cho  x  y   x3  y3 , chứng minh  x  y   x7  y 7 .
3

7

2/  x  y   x3  y3 , chứng minh  x  y 
3

2005

 x 2005  y 2005 .

3/Bài toán tổng quát :Chứng minh rằng nếu  x  y   x3  y3 thì với mọi số
3

tự nhiên n lẻ ta có (x+y)n = xn+yn.
II.2.1.3. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp dựa trên các bài tập
đã có, sử dụng định lý về sự tương đương của hai mệnh đề.

A  B  B  A.
Ví dụ 1: Từ nhận xét nếu A là số chính phương, A chia hết cho số nguyên
tố p thì A chia hết cho số nguyên tố p2 hay nếu A là số chính phương thì A chia
cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1, ta lập các bài toán:
1/ Chứng minh a = 5 + 52 +53+...+5100 không phải là số chính phương.
2/ Chứng minh tổng S =12 +22+32...+302 không phải là số chính phương.

19


II.2.1.4. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp kết hợp hai hay nhiều vấn
đề kiến thức thể hiện trong một bài tập.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi a, b ,c  R ta có:
a2 + b2 +c2 ≥ ab +bc +ac

(1)

Phân tích:
Ta thấy ở hai vế xuất hiện a2 , b2, c2 và ab, bc ac. Vì vậy chúng ta nghĩ đến
việc tách thành tổng các bình phương để xét dấu.
Lời giải:
(1)  2 (a2 + b2 +c2)  2ab + 2ac +2bc  2a2+2b2+2c2  2ab + 2ac +2bc
 2a + 2b + 2c - 2ab - 2ac - 2bc  0
2

2

 (a - b) + (b - c) + (c - a)  0

2

2

2

2

Chú ý: Phương pháp biến đổi tương đươngA ≥ B  A - B ≥ 0.
Đề xuất bài toán mới:
1/Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam
giác ABC đều  a2 + b2 + c2 = ab +ac +bc.
2/ Trong bất đẳng thức (1), nếu cho c= 1 ta có bài toán. Chứng minh rằng
với mọi a,b  R ta có:
a2 +b2 + 1 ≥ ab + a+b.
Ví dụ 2 : Xuất phát từ M =
Với S =

1
1
1
 2  ...  2
2
2
3
n

=

1
1
1

 ... 
2.2 3.3
(n  1).n

1
1
1
1
= 1- .

 ... 
n
1.2 2.3
(n  1)n

Đề xuất bài toán mới:
Chứng minh:

M=

1
1
1
 2  ...  2 1 (n  N ; n  2)
2
2
3
n

II.2.1. 5. Đề xuất các bài toán mới bằng phương pháp sử dụng sự không tương
đương của hai mệnh đề A => B và B => A hoặc xây dựng bài tập phản ví dụ.
Ví dụ 1: Chỉ ra chổ sai trong các cách lập luận sau:
1/ Từ 6:6 = 7:7

 6(1:1)

2/ Từ 32  8 và 32  16

=7(1:1)

 32 

 6.1

16.8

20



=7.1

6

= 7.

32  128.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×