Tải bản đầy đủ

TỔNG hợp KIẾN THỨC lớp 11

GV: Cô Lê Thùy Trang

TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11

cos a
cot a =
( a ≠ kπ )
sin a

A. LƯỢNG GIÁC
1. Bảng giá trị lượng giác của một số cung (góc) đặc biệt
00

Độ
Rad

300

π
6


0

cos

tan

π
4

1
2

0

sin

45 0

2
2

600

900

π
3

π
2



2. Đổi đơn vị

1800

π

tan ( a − b ) =




7. Công thức nhân đôi, nhân ba

− 1800

8. Công thức hạ bậc

sin 2a = 2sin a.cos a

π



1



0

3
2

2
2

1
2

0

0

3
3

1

3

P

P

1

3

3
3

2 tan a
tan 2a =
1 − tan 2 a


0

3. Cung liên kết “Cos đối – sin bù – phụ chéo – khác
Cung
−a

Đối

tan”

sin

cos

tan

cot

− sin a

cos a

− tan a

− cot a

sin a

cot a

tan a

π
+a
2

cos a

− sin a

− cot a

− tan a

π −a

sin a

− cos a

− tan a

− cot a

π

π +a

− sin a

− cos a

tan a

cot a

k 2π

k 2π + a

sin a

cos a

tan a

cot a

Hơn kém


tan
cot

5. Công thức cơ bản

+
+





cos a.cos b =

1
cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 
2


+



+



+



sin a.sin b =

−1
cos ( a + b ) − cos ( a − b ) 
2 



π

sin a + cos a = 2 sin  a + ÷
4


a+b
a−b
.cos
2
2


π

sin a − cos a = 2 sin  a − ÷
4



π

cos a + sin a = 2 cos  a − ÷
4


a+b
a −b
cos a + cos b = 2cos
.cos
2
2




π

cos a − sin a = 2 cos  a + ÷
4


a+b
a−b
cos a − cos b = −2sin
.sin
2
2




11. Các biến đổi thường gặp
sin 3 a + cos 3 a = ( sin a + cos a ) ( 1 − sin a.cos a )

t = tan

x
2

sin 3 a − cos 3 a = ( sin a − cos a ) ( 1 + sin a.cos a )

sin x =

2t
1+ t2

cos x =

1− t2
1+ t2



6. Công thức cộng



sin ( a + b ) = sin a.cos b + cos a.sin b



1
3 1
sin a + cos a = 1 − 2sin a.cos a = 1 − sin 2 2a = + cos 4 a
2
4 4
4



3
5 3
sin 6 a + cos 6 a = 1 − 3sin 2 a.cos 2 a = 1 − sin 2 2a = + cos 4 a
4
8 8





cos ( a − b ) = cos a.cos b + sin a.sin b

sin 6 a − cos 6 a = −2 cos 2a ( 1 − sin 2 a.cos 2 a )





sin a 
π

tan a =
 a ≠ + kπ ÷
cos a 
2


2



cos ( a + b ) = cos a.cos b − sin a.sin b

1
1 + cot a =
( a ≠ kπ )
sin 2 a

2

sin 4 a − cos 4 a = sin 2 a − cos 2 a = − cos 2a



2

4



sin ( a − b ) = sin a.cos b − cos a.sin b

1 
π

1 + tan a =
 a ≠ + kπ ÷
cos 2 a 
2




1
sin ( a + b ) − sin ( a − b ) 
2

a+b
a−b
sin a − sin b = 2cos
.sin
2
2

+



2



cos a.sin b =







3sin a − sin 3a
4



sin a + sin b = 2sin



+

π

tan a.cot a = 1 a ≠ k ÷
2




1
sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 
2



+

2



sin 3 a =

10. Công thức biến đổi tổng thành tích

sin a + cos a = 1
2

sin a.cos b =



Hơn kém
4. Bảng dấu HSLG “Nhất TỨ - Nhị SIN – Tam TAN – Tứ COS”
I
II
III
IV
cos

3cos a + cos 3a
4





Hơn kém

sin

cos3 a =



cos a

π
2

1 − cos 2a
1 + cos 2a

9. Công thức biến đổi tích thành tổng

π
−a
2

Phụ

tan 2 a =

cos 3a = 4cos3 a − 3cos a

π

Loại

1 − cos 2a
2





P

0

sin 2 a =



−1

sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a

cot

1 + cos 2a
2



= 2 cos2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a

1

cos 2 a =


cos 2a = cos 2 a − sin 2 a

3
2

tan a − tan b
1 + tan a.tan b

1 + sin 2a = ( sin a + cos a )

tan a + tan b
tan ( a + b ) =
1 − tan a.tan b

2



1 − sin 2a = ( sin a − cos a )




1

2


1. Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hslg

Dạng:

sin x = m

 x = y + k 2π
sin x = sin y ⇔ 
 x = π − y + k 2π

 x = arcsin m + k 2π

( −1 ≤ m ≤ 1)  x = π − arcsin m + k 2π





 x = arccos m + k 2π

( −1 ≤ m ≤ 1)  x = − arccos m + k 2π




π

t = sin x − cos x = 2 sin  x − ÷
4


tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ

( cos x ≠ 0 )




π
sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π
2

sin x = 1 ⇔ x =



cos x = 0 ⇔ x =

cos x = 1 ⇔ x = k 2π





tập hợp X. Số hoán vị của tập hợp X có n phần tử, ký hiệu

π
+ kπ
2

3. Chỉnh hợp





a.cos 2 x + b.cos x + c = 0


(1)

t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1)

Đặt
⇔ at 2 + bt + c = 0


(2)

a.tan 2 x + b.tan x + c = 0





(1)

Đặt
⇔ at 2 + bt + c = 0

(2)

t = cot x ( sin x ≠ 0 )



(2)

hiệu

a sin x + b cos x = c



Tính chất: ①



Công thức: Với
a
a 2 + b2

Bài giải: Chia pt cho


a

2
a
+ b2


b
a 2 + b2

2

 
b
+
÷
÷  2
a
+ b2
 

cos x =

c
a2 + b2

2

nên đặt:
c

sin x.cos u + cos x.sin u =

a 2 + b2

⇔ sin ( x + u ) =

c

Đặc biệt: ①

TH2:

(

a tan 2 x + b tan x + c =

: chia pt cho

⇔ a tan 2 x + b tan x + c = d 1 + tan 2 x

)

.

( a = 1, b = −1)



n

.

6. Xác suất của biến cố
Phép thử: Một phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử), ký hiệu T, là một thí nghiệm
hay một hành động mà:
- Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau.
- Kết quả của nó không dự đoán trước được.
- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là

không gian mẫu của phép thử, ký hiệu
.


Biến cố: Cho phép thử T không gian mẫu
. Một tập con A của không gian mẫu




: kiểm tra pt có thỏa mãn không.
cos 2 x

k =0

.
k

(1)

π
cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ
2

n

∑ Cnk a n − k bk
n

0 = Cn0 − C1n + Cn2 + ... + ( −1) Cnk + ... + ( −1) Cnn

a 2 + b2

cos x = 0 sin 2 x = 1
Bài giải: TH1:

=

( a = b = 1)

2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d

)

là một số nguyên dương bất kỳ ta có:

a, b

④ Số hạng thứ (k + 1) là

3. Phương trình thuần nhất bậc 2 theo sinx, cosx (pt đẳng cấp)

(

là hai số thực bất kỳ và

Tính chất: ① Có
số hạng ② Tổng số mũ của
trong mỗi số hạng bằng
③ Các hệ số cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau
Tk +1 = Cnk a n − k bk ( k = 0,1,..., n ) .

(1)

Dạng:

n

( n + 1)

a

cos u =
a 2 + b2


b
sin u =
2

a + b2


=1
÷
÷




( a + b ) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1 b + Cn2 a n − 2 b 2 + ... + Cnn −1 a b n −1 + Cnn b n

:




sin x +

Cnk+1 = Cnk + Cnk −1



a, b

đồng thời khác 0)

Điều kiện có nghiệm:
a 2 + b2

Cnk = Cnn − k

5. Nhị thức Newton

b

a

(1) (
a 2 + b2 ≥ c2

:
Cn0 = Cnn = 1

3. Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx (pt cổ điển)
Dạng:

( k ∈ ¥, 0 ≤ k ≤ n)

Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của tập hợp X
được gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử của tập hợp X. Số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử, ký
Ak
n!
Cnk = n ==
k
Cn ( k ∈ ¥ , 0 ≤ k ≤ n )
k!
k !( n − k ) !

Đặt
⇔ at 2 + bt + c = 0

(1)

:

4. Tổ hợp

a.cot 2 x + b.cot x + c = 0

t = tan x ( cos x ≠ 0 )

( k ∈ ¥ *,1 ≤ k ≤ n )

phần tử, ký hiệu

Đặt
⇔ at 2 + bt + c = 0

(1)


(2)

t = cos x ( −1 ≤ t ≤ 1)

:

Mỗi cách sắp thứ tự k phần tử của tập hợp X
được gọi là một chỉnh
hợp chập k của n phần tử của tập hợp X. Số chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n
n!
Ank = n. ( n − 1) . ( n − 2 ) ... ( n − k + 1) =
Ank ( 1 ≤ k ≤ n )
( n −k)!

2. Phương trình bậc hai theo một hslg
a.sin 2 x + b.sin x + c = 0

1− t2
2

Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp X được gọi là một hoán vị của n phần tử của
Pn Pn = 1.2... ( n − 1) .n = n !

sin x = 0 ⇔ x = kπ


cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π

)

2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x.cos x =

2. Hoán vị

π
+ k 2π
2



(−

- Khi thực hiện một công việc, có nhiều phương án, mỗi phương án ta đều hoàn thành
xong công việc. Khi đó ta dùng quy tắc cộng (cộng tất cả số cách thực hiện của từng
phương án) ta được số cách thực hiện công việc.
- Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua nhiều bước mới xong thì ta dùng quy tắc
nhân (nhân tất cả số cách của từng bước) ta được số cách thực hiện công việc.

( sin x ≠ 0 )



t2 −1
2

1. Quy tắc đếm

cot x = m ⇔ x = arc cot m + kπ

( sin x ≠ 0 )

)

2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x.cos x =

C. TỔ HỢP & XÁC SUẤT

( cos x ≠ 0 )

cot x = cot y ⇔ x = y + kπ

(−

Bài giải: Đặt

cos x = m

tan x = tan y ⇔ x = y + kπ

(1)

π

t = sin x + cos x = 2 sin  x + ÷
4




 x = y + k 2π
cos x = cos y ⇔ 
 x = − y + k 2π

GV: Cô Lê Thùy Trang

a ( sin x ± cos x ) + b sin x cos x + c = 0

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

d
cos 2 x

:

⇔ ( a − d ) tan 2 x + b tan x + c − d = 0

một biến cố, gọi là biến cố A.(

4. Phương trình đối xứng, phản đối xứng

2

là biến cố không thể xảy ra.,

là biến cố chắc chắn)


P ( A)

Xỏc sut ca bin c A, ký hiu
,
xy ra bin c A c tớnh bi cụng thc:
A
n ( A)
P ( A) =
=
n ( A) , n ( )
n ( )

:

A
Nu
A
Nu

:

Sn = u1.

E. GII HN LIấN TC
lim un = L lim ( un L ) = 0 lim un =

nh ngha:

,
un

nh lớ v s tn ti gii hn: Nu dóy
un
hn). Nu dóy

n

u : Ơ* Ă

(

*

n Ơ : un < u n +1

un

)

Bi gii: Xột

H > 0 un
:

u
T = n +1
un

T > 1 un
:

Dóy b chn:

(

( un > 0 )

(

(

*

)

M , m : m un M n Ơ *

)

Tớnh cht:

.

un =

2 k +1

L lim un = L ( L 0) lim ( C . un ) = C .L

ử L
un ữ

lim ỗ

ữ= ( M ạ 0)



ốvn ứ M

( ) + ( ) =

( + ) ( + ) = +

( ) ( ) = +


a ( + ) =
a < 0:

a ( ) = +

1
= +
un

lim

lim un = +

Bi gii: Dng

: rỳt t v mu vi s m (c s) ln nht t nhõn t chung


rỳt gn. Dng
tc vụ cc.

: nhõn liờn hp/nhõn t chung, dựng quy tc hu hn, quy

2. Gii hn hm s

lim f ( x ) = L ( )

lim f ( x ) = L ( )

x x0

Sn = u1 + u2 + ... + un =

n ( u1 + un ) n 2u1 + ( n 1) d
=
2
2

nh ngha:

Tng n s hng u tiờn:

x

(GH ti mt im),
lim f ( x) = lim h ( x) = L
f ( x) Ê g ( x ) Ê h ( x ) x đ x0
x đ x0

nh lớ kp: Nu

3. Cp s nhõn

( un )

un +1 = u n .q, n Ơ *

nh ngha:
l cp s nhõn
un 1 , un , un +1

1
=0
un

thỡ

d

( : cụng sai)
un 1 + un +1
u =
( n 2, n Ơ )
n
2

S hng tng quỏt:

( + ) ( ) =




lp thnh cp s cng
un = u1 + ( n 1) d ( n 2, n Ơ )

Tớnh cht:



thỡ

un +1 = un + d , n Ơ *

un 1 , un , un +1

lim

lim un = 0

b chn

l cp s cng

.

vụ nh

a ( + ) = +
a > 0:

a ( ) =

2. Cp s cng

( un )

lim C = C

lim ( un . vn ) = L.M

Quy tc gii hn vụ cc:
( + ) + ( ) =

)

b chn di

un

hi t v
+ , q > 1

lim q n = 1 , q = 1
0 , 1 < q < 1


( + ) + ( + ) = +

l dóy s gim)

m : m u n n Ơ

un

lim

lim un = L

2 k +1

l dóy s gim)

M : un M n Ơ *

b chn trờn

thỡ



lim ( un vn ) = L M

T < 1 un
l dóy s tng (

un

nh ngha:

,

Quy tc gii hn hu hn: Cho

H < 0 un
l dóy s tng (

lim vn = L

n

l dóy s tng

)

hi t (cú gii

lim un = L, lim vn = M

l dóy s gim

H = un +1 un

n

Cụng thc:

un

(

tng v b chn trờn thỡ
un

0 , k > 0
1
lim k = 1 , k = 0
n
+, k < 0


n a un

n Ơ : u n > u n +1

n

nh lớ kp: Nu

1. Dóy s: l mt hm s

un

gim v b chn di thỡ
hi t (cú gii hn).
lim
u
=
lim
wn = L
n
u Ê v Ê w ,"n
(v )

D. CP S CNG CP S NHN

*

1
( q < 1)
1 q

1. Gii hn ca dóy s

l hai bin c c lp thỡ:

Tớnh cht: Dóy n iu:

,q =1

Tng cp s nhõn lựi vụ hn:

P ( A.B ) = P ( A ) .P ( B )

B
v



P ( A B ) = P ( A) + P ( B )

xung khc thỡ:

,q 1

Tng n s hng u tiờn:

( )

B
v

, xỏc nh kh nng khỏch quan

P A = 1 P ( A)

A
Vi mi bin c

1 qn
u
Sn = u1 + u2 + ... + un = 1 1 q
n.u
1

ln lt l s phn t ca A v
P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) P ( A.B )

A, B
Vi mi bin c

GV: Cụ Lờ Thựy Trang

0 P ( A) 1

,

q

x x0

x x0

( : cụng bi)
2
un = un 1. u n +1 ( n 2, n Ơ )

lp thnh cp s nhõn
un = u1.q n 1 ( n 2, n Ơ )

Cụng thc:
+ , k = 2n
lim x k =
x
, l = 2n + 1







thỡ

)

lim x = +

x +

lim C = C

lim

x

C
=0
xk



x đ x0 ( Ơ )

Quy tc gii hn hu hn: Cho

.
k

x

S hng tng quỏt:

x x0



lim

3

(

lim x k = x0k k  +

lim C = C

(GH ti vụ cc).
lim g ( x ) = L

f ( x ) = L, lim

x đ x0 ( Ơ )

g ( x) = M
.


lim  f ( x ) ± g ( x )  = L ± M
x → x ( ∞) 

lim  f ( x ) . g ( x )  = L.M
x→ x ( ∞) 

o

o

 f ( x)  L
lim 
 = ( M ≠ 0)
 g ( x )  M

lim

x → xo ( ∞ )

2 k +1

f ( x) =

2 k +1

x → xo ( ∞ )

x → xo ( ∞ )

x → xo ( ∞ )

Dấu của L

lim



o

+∞

g ( x ) = 0 ( g ( x ) ≠ 0∀x ≠ x0 )
lim  f ( x ) / g ( x ) 



+







+∞

−∞



+

Bài giải: ① Thay

: ổn ② Dạng

: đặt nhân tử chung dạng



thức), nhân liên hơp (hàm vô tỉ). ③ Dạng
0.∞
∞−∞
⑤ Dạng

( u ≠ 0)

( sin u ) ' = u '.cos u
( cos u ) ' = −u '.sin u

⑧’

( tan u ) ' =

(

u'
= u '. 1 + tan 2 u
cos 2u

)

⑨’

(e )'=e

)

( cot u ) ' = −
⑩’

(

u'
= −u '. 1 + cot 2 u
sin 2 u

)

( e ) ' = e .u '

x

u

u

⑪’

( )

( a ) ' = a .ln a.u '
u

( a > 0)

u

( a > 0)

⑫’

+

lim f ( x ) , x → x0



x → x0 +

( ln x ) ' =

 x → x0
⇔
 x > x0

x → x0

( a, b )

( u > 0)

( log a u ) ' =

u'
u.ln a ( 1 ≠ a > 0, u > 0 )

⑭’

( u.v ) ' = u '.v + u.v '

x0 ∈ ( a, b )

u'
u

( u ± v ± ... ± w ) ' = u '± v '± ... ± w '

2. Quy tắc tính đạo hàm

xác định trên khoảng
và điểm
lim f ( x ) = f ( x0 )
x0
x → x0

liên tục tại điểm

1
x.ln a ( 1 ≠ a > 0, x > 0 )



Định lý:

f

( ln u ) ' =

( x > 0)
⑬’

( log a x ) ' =

 x → x0
⇔
 x < x0

x → x0

4. Hàm số liên tục tại một điểm

1
x



Giới hạn bên trái:
lim + f ( x ) = lim− f ( x ) = L ⇔ lim f ( x ) = L

f

⑦’

( cos x ) ' = − sin x

a x ' = a x .ln a

Định nghĩa: Giới hạn bên phải:

Hàm số

⑥’



.

lim f ( x ) , x → x0

f

;

nu '
 1 
 n ÷' = − n +1
u
u 

( x ≠ 0)

ku '
k
 ÷' = − 2
u
u

( u ≠ 0)

⑤’

( sin x ) ' = cos x

x

: rút tử và mẫu với số mũ (cơ số) lớn nhất.

x → x0 +

Định nghĩa: Hàm số

u'
1
 ÷' = − 2
u
u

;



3. Giới hạn một bên

x → x0

( x ≠ 0)

(

(hàm phân

( u > 0)

④’

 k  −k
 ÷' = 2
 x x

1
( cot x ) ' = − 2 = − 1 + cot 2 x
sin x

( x − x0 )

.u '

( u ) ' = 2u 'u

( x > 0)

x



0
0

−1

③’

1

1
( tan x ) ' = 2 = 1 + tan 2 x
cos x

+∞

( uα ) ' = α .uα

)



−∞

x = x0

④ Dạng



x → xo ( ∞ )

+



(α ∈¡

n
 1 
 n ÷' = − n +1
x
x 

Dấu của

+

( x) ' = 1

)
−1



.
g ( x)

(

( xα ) ' = α .xα

 1  −1
 ÷' = 2
 x x

Quy tắc 2: Cho
Dấu của L

có ít

.



+∞

lim

. Nếu hàm
f ( x) = 0
thì phương trình

c = const

( x) ' = 2

−∞

x → xo ( ∞ )





−∞



f ( x ) = L;

, nghĩa là tồn tại:
f ( a ) . f ( b) < 0
[ a, b ]

liên tục trên
( a; b )

( c) ' = 0

lim  f ( x ) .g ( x ) 
x→ x ( ∞) 

+

−∞

[ a ; b]

F. ĐẠO HÀM



−∞

thì
đạt giá trị lớn nhất và
m = min f ( x ) , M = max f ( x )

1. Bảng tóm tắt công thức đạo hàm

+

+∞

y = f ( x)

[ a;b]

nhất một nghiệm thuộc

g ( x) = L ≠ 0

x → xo ( ∞ )

+∞

x → xo ( ∞ )

giá trị nhỏ nhất trên
y = f ( x)
số

lim

liên tục trên

[ a, b ]

f ( x) = L ( L ≥ 0)

.

f ( x)

lim

lim

x → xo ( ∞ )

Định lý: Nếu hàm số

L ( f ( x ) ≥ 0)

Quy tắc giới hạn vô cực:
lim f ( x ) = ∞;
Quy tắc 1: Cho

f ( x) = L

lim

x → xo ( ∞ )

o

GV: Cô Lê Thùy Trang

[ a, b ]

y = f ( x)

lim C . f ( x )  = CL
x → x ( ∞) 





 u  u ' v − uv '
 ÷' =
v2
v

( u.v.w ) ' = u ' vw + uv ' w+uvw'




ad − cb
 ax + b 

÷' =
 cx + d  ( cx + d ) 2

.

3. Cách tính nhanh đạo hàm ①

nếu
x0

x0
 ax 2 + bx + c 

÷
÷' =
 dx + e 

Hàm số
không liên tục tại điểm
gọi là gián đoạn tại
Nhận xét:
- Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên
tục tại điểm đó. (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
- Hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác cơ bản liên tục trên tập xác
định của nó.

adx 2 + 2aex +

( dx + e )

b c
d e

2



 ax 2 + bx + c
 2
 dx + ex + f

a b 2
a c
b
x +2
x+

d e
d f
e
÷
2
÷' =

dx 2 + ex + f

M ( x0 ; y0 )

y = f ' ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0

( C)

4

)



4. Ứng dụng của đạo hàm:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

(

tại điểm

:

c
f


GV: Cô Lê Thùy Trang
M

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có phương cho trước:
M ( x0 , y0 )
Cách 1: Gọi

là tiếp điểm.

Định nghĩa: Phép đối xứng trục d là một phép biến hình biến mỗi điểm
(đường thẳng

f ' ( x0 ) = k ⇒ x0 ⇒ y0

d tiếp xúc (C)

: Gọi

là một phép dời hình.

.(

M
⇒ x ⇒ k ⇒(d)

M'

I
(

MM '
là trung điểm

M

Lưu ý: ① Nếu

M
) đối xứng với điểm

ĐI ( M ) = M

M ≡I

thì

)

 x ' = 2a − x
ĐI ( M ) = M ' ⇔ 
 y ' = 2b − y

6. Phép quay

sao cho

r
u

, kí hiệu
T0r ( M ) = M

Lưu ý: ①

Biểu thức tọa độ: Cho

T−ur ( M ' ) = M
thì

M
là phép biến hình biến mỗi điểm

thành

V( I , k )

, kí hiệu

: phép đồng nhất.

① Hai đường tròn không đồng tâm:

:
Tur

Tính chất: Phép tịnh tiến

: phép đối xứng tâm I.

V( I , −1)

: phép đối xứng tâm I.



lần lượt thành
thì
. ②
Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ
tự của ba điểm thẳng hàng đó.
Tâm vị tự của hai đường tròn
( I , R ) ; ( I ', R ')

x ' = x + a
Tur ( M ) = M ' ⇔ 
y' = y + b

r
u = ( a; b )

, kí hiệu

Tính chất: ① Nếu phép vị tự tỉ số
biến hai điểm
uuuuuur
uuuu
r
M,N
M ', N '
M ' N ' = k .MN

thành điểm

: phép đồng nhất. ② Nếu

thành

k

một
M'

Tur ( M ) = M '

I

khác
Q( I ,α )

k ≠0

sao cho
V( I ,1)

Lưu ý: ①

.

và góc lượng giác
Q( I ,( 2 k +1) π )

Định nghĩa: Phép vị tự tâm I tỉ số
uuuu
r
uuur
IM ' = k.IM
M'
điểm

phép biến hình biến điểm
uuuuur r
Tur
MM ' = u

sao cho
Q( I , k 2π )

7. Phép vị tự

.



( IM , IM ' ) = α

Lưu ý: ①
: phép đồng nhất. ②
Tính chất: Phép quay là một phép dời hình.

là hai tam giác bằng nhau thì tồn tại một phép dời hình

Định nghĩa: Phép tịnh tiến theo vectơ
M

) =H

M
là phép biến hình biến mỗi điểm

IM = IM '

M'
điểm

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu tồn tại một phép dời hình biến hình này thành
hình kia.
ABC
A' B 'C '

3. Phép tịnh tiến:

α

Định nghĩa: Phép quay tâm I góc

Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

∆A ' B ' C '

ĐI ( H

H

Tâm đối xứng của một hình: Điểm là tâm đối xứng của hình
nếu
(Một đa giác có tâm đối xứng thì mỗi đỉnh của nó biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi
cạnh của nó phải biến thành chính nó hoặc thành một cạnh song song và bằng cạnh ấy
của đa giác).

Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

thành

ĐI ( M ' ) = M

thì

I

Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

∆ABC

, kí hiệu

ĐI ( M ) = M '

Biểu thức tọa độ: Cho
:
Tính chất: Phép đối xứng tâm là một phép dời hình.

cách giữa hai điểm bất kì. (
)
Tính chất: Phép dời hình:
 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm,
ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
 Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia.

biến

qua

thành điểm

ĐI

I

② Nếu

I ( a; b )

Định nghĩa: Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi (bảo toàn) khoảng
 f ( M ) = M '
⇒ MN = M ' N '

 f ( N ) = N '



) =H

nếu

Định nghĩa: Phép đối xứng tâm I là một phép biến hình biến mỗi điểm

2. Phép dời hình:

Định lý: Nếu

Đd ( H

H

5. Phép đối xứng tâm

là một quy tắc, để mỗi với mỗi điểm
của
M'
M'
mặt phẳng xác định được duy nhất điểm
của mặt phẳng. Điểm
được gọi là ảnh
f (M) =M'
f
M






x ' = −x
ĐOy ( M ' ) = M ⇔ 
y' = y

Trục đối xứng của một hình:
là trục đối xứng của hình
(Một đa giác có trục đối xứng thì mỗi đỉnh của nó biến thành
một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của nó phải biến thành một
cạnh bằng cạnh ấy).

là hệ số góc của tiếp tuyến

có nghiệm
G. PHÉP BIẾN HÌNH
f

qua phép biến hình

thì

d

1. Phép biến hình: Phép biến hình

của

② Nếu
x ' = x
ĐOx ( M ') = M ⇔ 
y' = −y

Tính chất: Phép đối xứng trục

k

(*)
 f ( x ) = k ( x − x0 ) + y0 ( 1)
⇔
( 2)
 f ' ( x ) = k

d tiếp xúc (C)

thì

Biểu thức tọa độ:

⇒ m ⇒( d)

có nghiệm
M ( x0 ; y0 )

( C)

là trung trực
) đối xứng với qua , kí hiệu
.
Đd ( M ) = M
Đd ( M ) = M '
Đd ( M ') = M

Đd

Tiếp tuyến của đồ thị
đi qua điểm
y = k ( x − x0 ) + y0
d
qua M:

Lưu ý: ① Nếu

⇒ d : y = kx + m

Cách 2: Từ giả thiết, tìm được hệ số góc k
 f ( x ) = kx + m
⇔
 f ' ( x ) = k

thành điểm
Đd

d

MM '

M ∈d

Từ giả thiết, tìm được hệ số góc k. Giải
y = f ' ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0
Viết phương trình tiếp tuyến:

d

M'

là một phép dời hình.

4. Phép đối xứng trục

5


O

R = R'



: Phép vị tự tâm

(trung điểm

) tỉ số

( I , R)

( I ', R ')

xứng tâm O) là phép vị tự biến

thành

(cũng chính là phép đối

.
 uuuur R ' uuur 
O1  O1I ' = O1I ÷
R



R ≠ R'



GV: Cô Lê Thùy Trang

k = −1

II '

: Có hai phép vị tự: Phép vị tự tâm
r
R ' uuuu
 uuuur
R'
O2  O2 I ' = − O2 I ÷
k2 = −
R
R


phép vị tự tâm
O1

tỉ số

biến

( I ', R ')
thành



được gọi là tâm vị tự ngoài.
được gọi là tâm vị tự trong.
( I , R ) ; ( I ', R ' )

Có hai phép vị tự cùng tâm I, tỉ số



R'
R

( I , R)
biến

( I ', R ')
thành

8. Phép đồng dạng

 a, b ⊂ ( P )

⇒ ( P) / / ( Q)
a ∩ b = { M }

a / / ( Q ) , b / / ( Q )

( k > 0)

F

điểm
bất kỳ và ảnh
của chúng, ta luôn luôn có
Nhận xét: Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
k
Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số
( k > 0)
F
Tính chất: Mọi phép đồng dạng
V
k



tỉ số k



.

.



đều là hợp thành của một phép vị tự

0
( P ) , ( Q )  = 90 ⇒ ( P ) ⊥ ( Q )



7. Góc giữa hai đường thẳng

(· a; b ) = (·a '; b ')

1. Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song

8. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

a / /b
⇒ b / /c

a / / c
, cặp cạnh tỉ lệ (Thales), …
a / / ( P )

⇒ a / /b
a / / ( Q )

( P ) ∩ ( Q ) = u


d ' = hc( P ) d ⇒ ∠  d , ( P )  = ∠ ( d , d ' )

a ⊥ ( P )
⇒ a / /b

a ⊥ ( Q )

9. Góc giữa hai mặt phẳng



( P) ∩ ( Q) = u 

a ⊂ ( P ) , a ⊥ u  ⇒ ∠ ( P ) , ( Q )  = ∠ ( a, b )

b ⊂ ( Q) ,b ⊥ u 

2. Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc
a / /b
⇒ b/ ⊥ c

a ⊥ c

① Hình học phẳng:
a ⊥ ( P )
⇒a⊥b

b ⊂ ( P )


r r
rr
a ⊥ b ⇔ a.b = 0
,…



a ⊂ ( P )
⇒a⊥b

a ⊥ b ' = hc( P ) b





a ⊥ ( P )
⇒ ( P) ⊥ ( Q)


a ⊂ ( Q )

Phép đồng dạng tỉ số k biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính
Hình đồng dạng: Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình
này thành hình kia.
H. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN



 a ⊥ ( P )
⇒ ( P) / / ( Q)

 a ⊥ ( Q )

6. Bài toán chứng minh mặt phẳng vuông góc mặt
phẳng



a / / ( P )

⇒ a / /b
a ⊂ ( Q )

( P ) ∩ ( Q ) = b



( P ) ≠ ( Q )

( P ) / / ( R ) ⇒ ( P ) / / ( Q )

( Q ) / / ( R )

tỉ số
và một phép dời hình.
Phép đồng dạng biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng (không làm thay đổi
thứ tự). Biến đường thẳng thành đường thẳng.
Phép đồng dạng tỉ số k biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho có
tỉ số đồng dạng bằng k; biến góc thành góc của nó.
k .R

① Hình học phẳng:

 a / / ( P )
⇒a⊥b

b ⊥ ( P )

10. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
MH ⊥ d ⇒ d[ M , d ] = MH



3. Bài toán chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng
( P ) / / ( Q )
⇒ a / / ( P)

a ⊂ ( P )

 a / /b
⇒ a / / ( P)

 a ⊄ ( P ) , b ⊂ ( P )





11. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
MH ⊥ ( P ) ⇒ d  M , ( P )  = MH



a ⊄ ( P )
⇒ a / / ( P)

b ⊥ a, b ⊥ ( P )



5. Bài toán chứng minh mặt phẳng song song mặt phẳng

.

Định nghĩa: Phép biến hình gọi là phép đồng dạng với tỉ số k
nếu với hai
M,N
M ', N '
M ' N ' = k .MN





( P ) ⊥ ( R )

⇒ a ⊥ ( R)
( Q ) ⊥ ( R )

P

Q
=
a
( ) ( )

② Hai đường tròn đồng tâm:



( P ) / / ( Q )
⇒ a ⊥ ( P)

 a ⊥ ( Q )

a / / b
⇒ a ⊥ ( P)

b ⊥ ( P )

.

O2

R'
R



( P ) ⊥ ( Q )

( P ) ∩ ( Q ) = b ⇒ a ⊥ ( Q )

a ⊂ ( P ) , a ⊥ b



( I , R)

tỉ số



R'
k1 =
R

a ⊥ b, a ⊥ c

b ∩ c = M ⇒ a ⊥ ( P )
b, c ⊂ P
( )




a ⊄ ( P )
⇒ a / / ( P)

( Q ) ⊥ a, ( Q ) ⊥ ( P )



( Q)
Bài giải: + Tìm/Dựng



4. Bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

6

( P)

M
qua

và vuông góc

.


GV: Cô Lê Thùy Trang

d = ( P) ∩ ( Q)

+ Tìm

( Q)

+ Trong

MH ⊥ d

, vẽ

H
tại

.

12. Khoảng cách giữa đường thẳng song song mặt phẳng
d / / ( P ) ⇒ d d ,( P )  = d  M , ( P ) 








13. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

( P ) / / ( Q ) ⇒ d ( P ) ,( Q )  = d M ,( P ) 

14. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (đoạn vuông góc chung)

( P)

a ⊥b

Bài giải: ①

: Tìm

( P)

②- Tìm

vẽ

, cắt

( P) ⊥ a

O

tại
//a

H
, vẽ

tại

, cắt

. - Từ
dựng //
b ' = hc( P ) b

. - Dựng
b
B
tại

. - Từ

. Dựng
MH ⊥ ( P )

, dựng
a
, cắt

, vẽ

, cắt

.

.
H

tại
A
tại

H

A

tại

a

B
tại

tại

OH ⊥ b '

. - Dựng
/ / OH

B

AB ⊥ b

A
tại

M ∈a

a

b

③ - Dựng

- Từ

và vuông góc với

chứa và song song với . - Chọn
a '/ / a
b
B
B
MH

H
- Từ

a

b

chứa

.
.

7



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×