Tải bản đầy đủ

vi phân, đạo hàm cấp cao

TỔNG ÔN TOÁN 11

VIP

CHỦ ĐỀ 19. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO
VÀ Ý NGHĨA CỦA HÀM SỐ
VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
• Tích f '( x0 ).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f ( x) tại điểm x0 (ứng với số gia ∆x ) được kí hiệu

( x0 ) f '( x0 )∆x .
là df=
• Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f '( x)∆x được gọi là vi phân hàm số y = f ( x) , kí hiệu là:
df=
( x) f '( x)∆x .

Đặc biệt: dx =x ' ∆x =∆x nên ta viết df ( x) = f '( x)dx .

B – BÀI TẬP
Câu 1. Cho hàm số =
y f ( x=

)

( x − 1)

2

. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f ( x ) ?

dy 2 ( x − 1) dx .
A. =

B. d=
y

dy 2 ( x − 1) .
C. =

dy 2 ( x − 1) dx .
D. =

( x − 1)

2

dx .

y x3 + 2 x 2
Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số =
dy (3 x 2 − 4 x)dx
A. =

dy (3 x 2 + x)dx
B. =

C. =
dy (3 x 2 + 2 x)dx

D. =
dy (3 x 2 + 4 x)dx


Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số=
y

3x + 2

A. dy =

3
dx
3x + 2

B. dy =

1
dx
2 3x + 2

C. dy =

1
dx
3x + 2

D. dy =

3
dx
2 3x + 2

Câu 4. Cho hàm số y =x 3 − 9 x 2 + 12 x − 5 . Vi phân của hàm số là:

( 3x − 18 x + 12 ) dx .
C. dy =
− ( 3 x − 18 x + 12 ) dx .
A. dy =

2

2

B. dy =
( −3x 2 − 18 x + 12 ) dx .
D. dy =
( −3x 2 + 18 x − 12 ) dx .

Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số =
y (3 x + 1)10
A.=
dy 10(3 x + 1)9 dx

B.
=
dy 30(3 x + 1)10 dx

dy 9(3 x + 1)10 dx
C.=

=
dy 30(3 x + 1)9 dx
D.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

1


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

Câu 6. Tìm vi phân của các hàm =
số y sin 2 x + sin 3 x
A. dy
=
C. dy
=

( cos 2 x + 3sin
( 2 cos 2 x + sin

2

x cos x ) dx

B. dy
=

2

x cos x ) dx

D. dy
=

( 2 cos 2 x + 3sin x cos x ) dx
( cos 2 x + sin x cos x ) dx
2

2

Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số y = tan 2 x
A. dy= (1 + tan 2 2 x)dx

B. dy= (1 − tan 2 2 x)dx

C. dy
= 2(1 − tan 2 2 x)dx

D. dy
= 2(1 + tan 2 2 x)dx

Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số =
y
1

A. dy =

( x + 1)

3

2

2

C. dy =

( x + 1)

3

2

3

B. dy =
3

D. dy =

dx

− sin 4 x
2 1 + cos 2 x
2

cos 2 x

C. df ( x) =

x +1

dx

y f ( x=
Câu 9. Xét hàm số =
)
A. df ( x) =

3

1 + cos 2 2 x

( x + 1) 2

dx

1
3 3 ( x + 1) 2

dx

1 + cos 2 2 x . Chọn câu đúng:
− sin 4 x

B. df ( x) =

dx .

D. df ( x) =

dx .

1 + cos 2 2 x

dx .

− sin 2 x
2 1 + cos 2 2 x

dx .

Câu 10. Cho hàm số y = x 3 − 5 x + 6 . Vi phân của hàm số là:
A.=
dy
C.=
dy

( 3x
( 3x

2

− 5 ) dx .

B. dy =
− ( 3 x 2 − 5 ) dx .

2

+ 5 ) dx .

D.=
dy

Câu 11. Cho hàm số y =

A. dy =

B. dy =

C. dy =

dx

( x − 1)
( x − 1)

1
dx .
x4

− 5 ) dx .

C. dy = −

1
dx .
x4

3dx

D. dy = x 4 dx .

x+2
. Vi phân của hàm số là:
x −1

2

.

B. dy =

2

.

D. dy = −

−3dx

2

1
. Vi phân của hàm số là:
3x3

1
A. dy = dx .
4

Câu 12. Cho hàm số y =

( 3x

( x − 1)

2

.

dx

( x − 1)

2

.

x2 + x + 1
Câu 13. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là:
x −1

A. dy = −

2

x2 − 2 x − 2
dx .
( x − 1) 2

B. dy =

2x +1
dx .
( x − 1) 2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
C. dy = −

2x +1
dx .
( x − 1) 2

D. dy =

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

x2 − 2 x − 2
dx .
( x − 1) 2

Câu 14. Cho hàm số=
y sin x − 3cos x . Vi phân của hàm số là:
A. dy =
( − cos x + 3sin x ) dx .

=
dy
C.

B. dy =
( − cos x − 3sin x ) dx .

( cos x + 3sin x ) dx .

− ( cos x + 3sin x ) dx .
D. dy =

Câu 15. Cho hàm số y = sin 2 x . Vi phân của hàm số là:
B. dy = sin 2 x dx .

A. dy = – sin 2 x dx .

Câu 16. Vi phân của hàm số y =

C. dy = sin x dx .

D. dy = 2cosx dx .

tan x
là:
x

A. dy =

2 x
dx .
4 x x cos 2 x

B. dy =

sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x

C. dy =

2 x − sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x

D. dy = −

2 x − sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x

Câu 17. Hàm =
số y x sin x + cos x có vi phân là:
A. dy = ( x cos x – sin x ) dx .

B. dy = ( x cos x ) dx .

C. dy = ( cos x – sin x ) dx ..

D. dy = ( x sin x ) dx .

Câu 18. Hàm số y =

x
. Có vi phân là:
x +1
2

A. dy =

1 − x2
dx
( x 2 + 1) 2

B. dy =

2x
dx
( x + 1)

C. dy =

1 − x2
dx
( x 2 + 1)

D. dy =

1
dx
( x + 1) 2

Câu 19. Cho hàm số
=
y f=
( x)

( x − 1)

2

2

. Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?

dy 2 ( x − 1) dx .
A. =
y
C. d=

2

dy 2 ( x − 1) .
B. =

( x − 1) dx .

D. d=
y

( x − 1)

2

dx .

x ) 3 x 2 − x tại điểm x = 2 , ứng với ∆x =0,1 là:
Câu 20. Vi phân của hàm số f (=
A. −0, 07 .

B. 10 .

D. −0, 4 .

C. 1,1 .

Câu 21. Vi phân của y = cot ( 2017 x ) là:
A. dy = −2017 sin ( 2017 x ) dx.
C. dy = −

2017
dx.
cos ( 2017 x )
2

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

B. dy =

2017
dx.
sin ( 2017 x )

D. dy = −

2

2017
dx.
sin ( 2017 x )
2

3


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

Câu 22. Cho hàm số y =

x2 + x + 1
. Vi phân của hàm số là:
x −1

A. dy = −

x2 − 2 x − 2
dx
( x − 1) 2

B. dy =

2x +1
dx
( x − 1) 2

C. dy = −

2x +1
dx
( x − 1) 2

D. dy =

x2 − 2 x − 2
dx
( x − 1) 2

Câu 23. Cho hàm số y =
A. dy =

x+3
. Vi phân của hàm số tại x = −3 là:
1− 2x

1
dx.
7

B. dy = 7dx.

1
C. dy = − dx.
7

D. dy = −7dx.

Câu 24. Vi phân của y = tan 5 x là :
A. dy =

5x
dx.
cos 2 5 x

B. dy = −

5
dx.
sin 2 5 x

C. dy =

5
dx.
cos 2 5 x

D. dy = −

5
dx.
cos 2 5 x

( x − 1) 2
. Biểu thức 0, 01. f '(0, 01) là số nào?
x
A. 9.
B. -9.
C. 90.
Câu 26. Cho hàm số y = sin(sin x) .Vi phân của hàm số là:
=
y f=
( x)
Câu 25. Hàm số

A. dy = cos(sin x).sin xdx .
C. dy = cos(sin x).cos xdx .

D. -90.

B. dy = sin(cos x)dx .
D. dy = cos(sin x)dx .

 x 2 − x khi x ≥ 0
Câu 27. Cho hàm số f ( x) = 
. Kết quả nào dưới đây đúng?
khi x < 0
2 x

B. f ′ ( 0+ ) =lim+

A. df (0) = −dx .

( )

x →0

(

)

2
+
x 0.
C. f ′ 0= lim+ x −=
x →0

( )

x2 − x
=lim+ ( x − 1) =
−1 .
x →0
x

′ 0−
=
lim
2x 0 .
D. f=

x →0

Câu 28. Cho hàm số y = cos 2 2 x . Vi phân của hàm số là:
A. dy = 4 cos 2 x sin 2 xdx .

B. dy = 2 cos 2 x sin 2 xdx .

C. dy = −2 cos 2 x sin 2 xdx .

D. dy = −2sin 4 xdx .

 x 2 + x khi x ≥ 0
Câu 29. Cho hàm số f ( x) = 
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
khi x < 0
x

4

A. f ′ ( 0+ ) = 1 .

B. f ′ ( 0− ) = 1 .

C. df (0) = dx .

D. Hàm số không có vi phân tại x = 0 .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

y
Câu 30. Cho hàm số =

A. df ( x) =
C. df ( x) =

f ( x=
)

− sin 4 x
2 1 + cos 2 2 x
cos 2 x
1 + cos 2 2 x

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

1 + cos 2 2 x . Chọn kết quả đúng:

B. df ( x) =

dx .

D. df ( x) =

dx .

− sin 4 x

dx .

1 + cos 2 2 x
− sin 2 x
1 + cos 2 2 x

dx .

Câu 31. Cho hàm số y = tan x . Vi phân của hàm số là:
A. dy =
C. dy =

1
2

2 x cos x
1

2 x cos x

D. dy =

dx .

Câu 32. Vi phân của hàm số y =
A. dy = −
C. dy = −

8

( 2 x − 1)

x cos 2 x

dx .

1
2 x cos 2 x

dx .

2x + 3
là :
2x −1

4

2

dx .

B. dy =

2

dx .

D. dy = −

4

( 2 x − 1)

1

B. dy =

dx .

( 2 x − 1)

2

dx .

7

( 2 x − 1)

2

dx .

1 − x2
Câu 33. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là:
1 + x2
A. dy =

−4 x

(1 + x )

2 2

dx .

B. dy =

−4

(1 + x )

2 2

dx .

C. dy =

−4
dx .
1 + x2

D. dy =

− dx

(1 + x )

2 2

.

Câu 34. Cho hàm số f ( x) = cos 2 x . Khi đó
A. d  f ( x )  =
C. d  f ( x )  =

sin 2 x
2 cos 2 x
− sin 2 x
2 cos 2 x

dx .

B. d  f ( x )  =

sin 2 x

dx .

D. d  f ( x )  =

− sin 2 x

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

cos 2 x
cos 2 x

dx .
dx .

5


Tổng ôn Toán 11
Câu 1. Cho hàm số =
y f ( x=
)

HƯỚNG DẪN GIẢI

( x − 1)

2

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f ( x ) ?

dy 2 ( x − 1) dx .
A. =

B. d=
y

dy 2 ( x − 1) .
C. =

dy 2 ( x − 1) dx .
D. =

( x − 1)

2

dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

dy f ′ ( x )=
dx 2 ( x − 1) dx .
Ta có =
Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số =
y x3 + 2 x 2
A. =
dy (3 x 2 − 4 x)dx

B. =
dy (3 x 2 + x)dx

C. =
dy (3 x 2 + 2 x)dx

D. =
dy (3 x 2 + 4 x)dx

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

=
dy (3 x 2 + 4 x)dx
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số=
y

3x + 2

A. dy =

3
dx
3x + 2

B. dy =

1
dx
2 3x + 2

C. dy =

1
dx
3x + 2

D. dy =

3
dx
2 3x + 2

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy =

3
dx
2 3x + 2

Câu 4. Cho hàm số y =x 3 − 9 x 2 + 12 x − 5 . Vi phân của hàm số là:

( 3x − 18 x + 12 ) dx .
C. dy =
− ( 3 x − 18 x + 12 ) dx .
A. dy =

2

2

B. dy =
( −3x 2 − 18 x + 12 ) dx .
D. dy =
( −3x 2 + 18 x − 12 ) dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có dy = ( x3 − 9 x 2 + 12 x − 5 )′ dx = ( 3 x 2 − 18 x + 12 ) dx .
Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số =
y (3 x + 1)10
A.=
dy 10(3 x + 1)9 dx

B.
=
dy 30(3 x + 1)10 dx

C.=
dy 9(3 x + 1)10 dx

D.
=
dy 30(3 x + 1)9 dx

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

=
dy 30(3 x + 1)9 dx .
Câu 6. Tìm vi phân của các hàm =
số y sin 2 x + sin 3 x

( cos 2 x + 3sin
( 2 cos 2 x + sin

A. dy
=
C. dy
=

2

x cos x ) dx

B. dy
=

2

x cos x ) dx

D. dy
=

( 2 cos 2 x + 3sin x cos x ) dx
( cos 2 x + sin x cos x ) dx
2

2

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
dy
=

( 2 cos 2 x + 3sin

2

x cos x ) dx

Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số y = tan 2 x
A. dy= (1 + tan 2 2 x)dx

B. dy= (1 − tan 2 2 x)dx

C. dy
= 2(1 − tan 2 2 x)dx

D. dy
= 2(1 + tan 2 2 x)dx

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

dy
= 2(1 + tan 2 2 x)dx
Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số =
y
1

A. dy =
3

( x + 1) 2
2

C. dy =
3

( x + 1)

2

3

x +1

3

B. dy =

dx

3

D. dy =

dx

( x + 1) 2

dx

1
3 ( x + 1) 2

dx

3

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy =

1
3 3 ( x + 1) 2

dx

y f ( x=
Câu 9. Xét hàm số =
)
A. df ( x) =

− sin 4 x
2 1 + cos 2 x
2

cos 2 x

C. df ( x) =

1 + cos 2 2 x

1 + cos 2 2 x . Chọn câu đúng:
B. df ( x) =

dx .

D. df ( x) =

dx .

− sin 4 x
1 + cos 2 2 x

dx .

− sin 2 x
2 1 + cos 2 2 x

dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có : dy = f ′ ( x ) dx

(1 + cos
=

2

2 x )′

2 1 + cos 2 2 x

dx =

−4 cos 2 x.sin 2 x
2 1 + cos 2 2 x

dx =

− sin 4 x
1 + cos 2 2 x

dx .

Câu 10. Cho hàm số y = x 3 − 5 x + 6 . Vi phân của hàm số là:
A.=
dy

( 3x

2

− 5 ) dx .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

B. dy =
− ( 3 x 2 − 5 ) dx .
7


Tổng ôn Toán 11
C.=
dy

( 3x

2

+ 5 ) dx .

D.=
dy

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

( 3x

2

− 5 ) dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có dy =

(x

3

− 5 x + 6 )′ dx = ( 3 x 2 − 5 ) dx .

Câu 11. Cho hàm số y =

1
. Vi phân của hàm số là:
3x3

1
A. dy = dx .
4
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

B. dy =

1
dx .
x4

C. dy = −

1
dx .
x4

3dx

D. dy = x 4 dx .

1 3x 2
1
 1 ′
Ta có dy =  3  dx = .
= − 4 dx .
2
3 ( x3 )
x
 3x 
Câu 12. Cho hàm số y =
A. dy =
C. dy =

dx

( x − 1)

2

.

B. dy =

2

.

D. dy = −

−3dx

( x − 1)

x+2
. Vi phân của hàm số là:
x −1

( x − 1)

2

.

dx

( x − 1)

2

.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3
 x + 2 ′
Ta có dy = 
dx .
 dx = −
2
 x −1 
( x − 1)
x2 + x + 1
Câu 13. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là:
x −1

A. dy = −

x2 − 2 x − 2
dx .
( x − 1) 2

2x +1
C. dy = −
dx .
( x − 1) 2

B. dy =

2x +1
dx .
( x − 1) 2

x2 − 2 x − 2
D. dy =
dx .
( x − 1) 2

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

( 2 x + 1)( x − 1) − ( x 2 + x + 1)
 x 2 + x + 1 ′
x2 − 2 x − 2
=
dx .
Ta có dy = 
d
x
=
d
x

2
2
( x − 1)
( x − 1)
 x −1 
Câu 14. Cho hàm số=
y sin x − 3cos x . Vi phân của hàm số là:
A. dy =
( − cos x + 3sin x ) dx .

8

B. dy =
( − cos x − 3sin x ) dx .
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

=
dy
C.

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

( cos x + 3sin x ) dx .

− ( cos x + 3sin x ) dx .
D. dy =

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có dy =
( sin x − 3cos x )′ dx =
( cos x + 3sin x ) dx .
Câu 15. Cho hàm số y = sin 2 x . Vi phân của hàm số là:
B. dy = sin 2 x dx .

A. dy = – sin 2 x dx .

C. dy = sin x dx .

D. dy = 2cosx dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta
có dy d=
=
( sin 2 x )

x )′ dx
( sin=
2

Câu 16. Vi phân của hàm số y =

cos x.2sin
=
xdx sin 2 xdx .

tan x
là:
x

A. dy =

2 x
dx .
4 x x cos 2 x

B. dy =

sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x

C. dy =

2 x − sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x

D. dy = −

2 x − sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
1
.
. x − tan x .
2
 tan x ′
2 x cos x
2 x dx
Ta có dy = 
 dx =
x
x 

1
1
sin x 1  1
x − sin x cos x
=  .
.
.dx

 dx =
2
2 x x .cos 2 x
 2 cos x cos x 2 x  x

=

2 x − sin 2 x
.dx
4 x x .cos 2 x

Câu 17. Hàm =
số y x sin x + cos x có vi phân là:
A. dy = ( x cos x – sin x ) dx .

B. dy = ( x cos x ) dx .

C. dy = ( cos x – sin x ) dx ..

D. dy = ( x sin x ) dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có dy =( x sin x + cos x )′ dx =( sin x + x cos x − sin x ) dx =( x cos x ) dx .
Câu 18. Hàm số y =
A. dy =

x
. Có vi phân là:
x +1
2

1 − x2
dx
( x 2 + 1) 2

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

B. dy =

2x
dx
( x + 1)
2

9


Tổng ôn Toán 11
C. dy =

1 − x2
dx
( x 2 + 1)

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

1
dx
( x + 1) 2

D. dy =

2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

x2 + 1 − 2x2
1 − x2
 x ′
=
=
dx
dx .
Ta có dy  =

2
( x 2 + 1) 2
( x 2 + 1) 2
 x +1 
Câu 19. Cho hàm số
y f=
=
( x)

( x − 1)

2

. Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?

dy 2 ( x − 1) dx .
A. =
y
C. d=

dy 2 ( x − 1) .
B. =

( x − 1) dx .

D. d=
y

( x − 1)

2

dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn A
=
y f=
( x)

( x − 1)

2

⇒ y′= 2 ( x − 1) ⇒ dy= 2 ( x − 1) dx

x ) 3 x 2 − x tại điểm x = 2 , ứng với ∆x =0,1 là:
Câu 20. Vi phân của hàm số f (=
A. −0, 07 .

B. 10 .

D. −0, 4 .

C. 1,1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: f ′ ( x ) = 6 x − 1 ⇒ f ′ ( 2 ) = 11

df (=
2 ) f ′ ( 2 )=
∆x 11.0,1
= 1,1
Câu 21. Vi phân của y = cot ( 2017 x ) là:
A. dy = −2017 sin ( 2017 x ) dx.
C. dy = −

2017
dx.
cos ( 2017 x )
2

B. dy =

2017
dx.
sin ( 2017 x )
2

D. dy = −

2017
dx.
sin ( 2017 x )
2

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

2017
2017
− 2
⇒ dy =
− 2
y = cot ( 2017 x ) ⇒ y′ =
dx
sin ( 2017 x )
sin ( 2017 x )

x2 + x + 1
Câu 22. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là:
x −1
A. dy = −

x2 − 2 x − 2
dx
( x − 1) 2

2x +1
C. dy = −
dx
( x − 1) 2

B. dy =

2x +1
dx
( x − 1) 2

x2 − 2x − 2
D. dy =
dx
( x − 1) 2

Hướng dẫn giải:
10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

Chọn D.

 x 2 + x + 1 ′
x2 − 2x − 2
=
dy =
d
x
dx

( x − 1) 2
 x −1 

Câu 23. Cho hàm số y =
A. dy =

x+3
. Vi phân của hàm số tại x = −3 là:
1− 2x

1
dx.
7

B. dy = 7dx.

1
C. dy = − dx.
7

D. dy = −7dx.

Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta =
có y′

7

(1 − 2 x )

2

′ ( −3)
⇒ y=

1
7

1
Do đó dy = dx
7

Câu 24. Vi phân của y = tan 5 x là :
A. dy =

5x
dx.
cos 2 5 x

B. dy = −

5
dx.
sin 2 5 x

C. dy =

5
dx.
cos 2 5 x

D. dy = −

5
dx.
cos 2 5 x

Hướng dẫn giải:
Chọn C
=
y tan 5 x ⇒ y=′

Do đó dy =

5
cos 2 5 x

5
dx
cos 2 5 x

=
y f=
( x)
Câu 25. Hàm số
A. 9.

( x − 1) 2
. Biểu thức 0, 01. f '(0, 01) là số nào?
x
B. -9.
C. 90.

D. -90.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

( x − 1) 2
1
1
y=
f ( x) =
⇒ y′ = − 2 ⇒ y′ ( 0, 01) =
−9000
x
x x x
Do đó 0, 01. f '(0, 01) = −90
Câu 26. Cho hàm số y = sin(sin x) .Vi phân của hàm số là:
A. dy = cos(sin x).sin xdx .
C. dy = cos(sin x).cos xdx .

B. dy = sin(cos x)dx .
D. dy = cos(sin x)dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

11


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

Ta có: y ' (sin
=
=
x) '.cos(sin x) cos x.cos(sin x) nên dy = cos x.cos(sin x)dx

 x 2 − x khi x ≥ 0
Câu 27. Cho hàm số f ( x) = 
. Kết quả nào dưới đây đúng?
khi x < 0
2 x

B. f ′ ( 0+ ) =lim+

A. df (0) = −dx .

( )

x →0

(

( )

)

′ 0−
=
lim
2x 0 .
D. f=


2
+
x 0.
C. f ′ 0= lim+ x −=
x →0

x2 − x
=lim+ ( x − 1) =
−1 .
x →0
x

x →0

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: f ′ ( 0+ ) =lim+
x →0

x2 − x
=lim+ ( x − 1) =
−1 ;
x →0
x

2x
′ ( 0− ) lim
f=
= 2 và hàm số không có vi phân tại x = 0
x → 0− x

Câu 28. Cho hàm số y = cos 2 2 x . Vi phân của hàm số là:
A. dy = 4 cos 2 x sin 2 xdx .

B. dy = 2 cos 2 x sin 2 xdx .

C. dy = −2 cos 2 x sin 2 xdx .

D. dy = −2sin 4 xdx .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có : dy =
d ( cos 2 2 x ) =
2 cos 2 x.(cos 2 x) 'dx =
−4 cos 2 x.sin 2 xdx =
−2sin 4 xdx
 x 2 + x khi x ≥ 0
Câu 29. Cho hàm số f ( x) = 
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
khi x < 0
x

A. f ′ ( 0+ ) = 1 .

B. f ′ ( 0− ) = 1 .

C. df (0) = dx .

D. Hàm số không có vi phân tại x = 0 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
+
Ta có: f ′ ( 0=
) lim+
x →0

x
x2 + x
=
0− ) lim
1 và df (0) = dx
= lim+ ( x +=
1) 1 và f ′=
(

x →0 x
x →0
x

y
Câu 30. Cho hàm số =

A. df ( x) =
C. df ( x) =

f ( x=
)

− sin 4 x
2 1 + cos 2 2 x
cos 2 x
1 + cos 2 2 x

1 + cos 2 2 x . Chọn kết quả đúng:

B. df ( x) =

dx .

D. df ( x) =

dx .

− sin 4 x
1 + cos 2 2 x
− sin 2 x
1 + cos 2 2 x

dx .
dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

(

)

(1 + cos 2 2 x) '
−2.2 cos 2 x.sin 2 x
− sin 4 x
df ( x) =
d 1 + cos 2 2 x =
dx =
dx =
dx
Ta có : dy =
2 1 + cos 2 2 x
2 1 + cos 2 2 x
1 + cos 2 2 x

12

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

Câu 31. Cho hàm số y = tan x . Vi phân của hàm số là:
A. dy =
C. dy =

1
2

2 x cos x
1

2 x cos x

1

B. dy =

dx .

D. dy =

dx .

x cos 2 x

dx .

1
2 x cos 2 x

dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.


1 
1
=
tan x 
.( x ) 'dx
dx
Ta
có : dy d=
=
2
2 x .cos 2 x
 cos x 

(

)

Câu 32. Vi phân của hàm số y =
A. dy = −
C. dy = −

8

( 2 x − 1)

4

2

dx .

B. dy =

2

dx .

D. dy = −

4

( 2 x − 1)

2x + 3
là :
2x −1

( 2 x − 1)

2

dx .

7

( 2 x − 1)

2

dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

−8
 2x + 3 
=
dx
Ta
có : dy d=


2
 2 x − 1  (2 x − 1)
Câu 33. Cho hàm số y =
A. dy =

−4 x

(1 + x )

2 2

1 − x2
. Vi phân của hàm số là:
1 + x2
B. dy =

dx .

−4

(1 + x )

2 2

dx .

C. dy =

−4
dx .
1 + x2

D. dy =

− dx

(1 + x )

2 2

.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
 1 − x2 
−4 x
Ta

:
=
dy d=
dx

2 
2 2
 1 + x  (1 + x )

Câu 34. Cho hàm số f ( x) = cos 2 x . Khi đó
A. d  f ( x )  =
C. d  f ( x )  =

sin 2 x
2 cos 2 x
− sin 2 x
2 cos 2 x

dx .

B. d  f ( x )  =

sin 2 x

dx .

D. d  f ( x )  =

− sin 2 x

cos 2 x
cos 2 x

dx .
dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

(

)

cos 2 x
Ta=
có : df ( x) d=

(cos 2 x) '
− sin 2 x
dx
dx
=
2 cos 2 x
cos 2 x

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

13


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

• Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' . Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được
gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '' , tức là: f '' = ( f ') ' .

• Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n − 1 (với n ∈ , n ≥ 2 ) là f ( n −1) . Nếu f ( n −1) cũng có
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f ( n ) , tức là:

f ( n ) = ( f ( n −1) ) ' .
Để tính đạo hàm cấp n:
• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
• Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.

B – BÀI TẬP
x
có đạo hàm cấp hai là:
x−2

Câu 1. Hàm số y =
A. y′′ = 0 .

B. y′′ =

( x + 1)
12 ( x + 1) .
24 ( 5 x + 3) .

y
Câu 2. Hàm số =
A.
=
y′′′

2

3

1

( x − 2)

2

C. y′′ = −

.

2

( x − 2)

2

.

D. y′′ =

4

( x − 2)

3

.

có đạo hàm cấp ba là:
B.
y′′′
=

2

C. y′′′
=

4

24 ( x 2 + 1) .

–12 ( x 2 + 1) .

D. y′′′
=

Câu 3. Hàm số y = 2 x + 5 có đạo hàm cấp hai bằng:
A. y′′ =

1
.
(2 x + 5) 2 x + 5

C. y′′ = −

1
.
(2 x + 5) 2 x + 5

Câu 4. Hàm số y =
A. y (5) = −
C. y (5) =

1
.
( x + 1)6

A. y (5) = −

14

1
.
2x + 5

B. y (5) =

120
.
( x + 1)6

D. y (5) = −

1
.
( x + 1)6

B. y (5) =

120

x2 + x + 1
có đạo hàm cấp 5 bằng :
x +1

120

( x + 1)

D. y′′ = −

x2 + x + 1
có đạo hàm cấp 5 bằng:
x +1

120
.
( x + 1)6

Câu 5. Hàm số y =

1
.
2x + 5

B. y′′ =

6

.

( x + 1)

5

.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
C. y (5) =

1

( x + 1)

5

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

D. y (5) = −

.

1

( x + 1)

5

.

Câu 6. Hàm số
=
y x x 2 + 1 có đạo hàm cấp 2 bằng :
A. y′′ = −
C. y′′ =

2 x3 + 3x

(1 + x )

1 + x2

2

2 x3 + 3x

(1 + x 2 ) 1 + x 2

Câu 7. Hàm số=
y

B. y′′ =

.

1 + x2

D. y′′ = −

.

( 2 x + 5)

2x2 + 1

5

.

2x2 + 1
1 + x2

.

có đạo hàm cấp 3 bằng :

A.
=
y′′′ 80 ( 2 x + 5 ) .

B. y′′′ 480 ( 2 x + 5 ) .
=
2

3

C. y′′′ =
−480 ( 2 x + 5 ) .

D. y′′′ =
−80 ( 2 x + 5 ) .
3

2

Câu 8. Hàm số y = tan x có đạo hàm cấp 2 bằng :
2sin x
1
.
B. y′′ =
.
3
cos x
cos 2 x
Câu 9. Cho hàm số y = sinx . Chọn câu sai.

1
.
cos 2 x

A. y′′ = −

C. y′′ = −

π

A.
=
y′ sin  x +  .
2


=
y′′ sin ( x + π ) .
B.



C.=
y′′′ sin  x +
2


D.
y ( 4) sin ( 2π − x ) .
=


.


D. y′′ =

2sin x
.
cos3 x

D. y′′ =

2

−2 x 2 + 3 x
Câu 10. Hàm số y =
có đạo hàm cấp 2 bằng :
1− x

A. y′′= 2 +

1

(1 − x )

2

.

B. y′′ =

2

(1 − x )

3

C. y′′ =

.

−2

(1 − x )

3

.

(1 − x )

4

.

π
π
Câu 11. Hàm số
=
y f=
( x ) cos  2 x −  . Phương trình f ( 4) ( x ) = −8 có nghiệm x ∈ 0;  là:
3

 2
A. x =

π
2

B. x = 0 và x =

.

C. x = 0 và x =

π

.

3
Câu 12. Cho hàm số y = sin2x . Chọn khẳng định đúng

A. 4 y − y′ =
0.

D. x = 0 và x =

π
6

π

C. y = y′ tan 2 x .

B. 4 y + y′′ =
0.

2

.
.

D.=
y2

y′ )
(=
2

4.

1
Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) = − . Xét hai mệnh đề :
x
2
.
x3
Mệnh đề nào đúng?

( I=
) : y′′

′′ ( x )
f=

( II ) : y′′′ =

f ′′′ ( x ) = −

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

6
.
x4

15


Tổng ôn Toán 11

A. Chỉ ( I ) đúng.

Câu 14. Nếu f ′′ ( x ) =
A.

B. Chỉ ( II ) đúng.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

C. cot x .

D. tan x .

2sin x
thì f ( x ) bằng
cos3 x

1
.
cos x

B. −

Câu 15. Cho hàm số
=
y f=
( x)

( I ) : y′ = f ′ ( x ) =−1 −

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

1
.
cos x

− x2 + x + 2
. Xét hai mệnh đề :
x −1

2
< 0, ∀x ≠ 1 .
( x − 1) 2

( II ) : y′′ =

′′ ( x )
f=

4
> 0, ∀x ≠ 1 .
( x − 1) 2

Mệnh đề nào đúng?
B. Chỉ ( II ) đúng.

A. Chỉ ( I ) đúng.
Câu 16. Cho hàm số f ( x=
)
A. 3 .

( x + 1)

3

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

. Giá trị f ′′ ( 0 ) bằng

B. 6 .

C. 12 .

D. 24 .

π
Câu 17. Cho hàm số f=
( x ) sin 3 x + x 2 . Giá trị f ′′   bằng
2
A. 0 .

C. −2 .

B. −1 .

D. 5 .

Câu 18. Cho hàm số f ( x ) = 5 ( x + 1) + 4 ( x + 1) . Tập nghiệm của phương trình f ′′ ( x ) = 0 là
3

A. [ −1; 2] .
Câu 19. Cho hàm số y =
3
A. y′′′ (1) = .
8

Câu 20. Cho hàm số=
y
A. y (10) (1) = 0 .

B. ( −∞;0] .

C. {−1} .

D. ∅ .

3
C. y′′′ (1) = − .
8

1
D. y′′′ (1) = − .
4

1
. Khi đó :
x −3
1
B. y′′′ (1) = .
8

( ax + b )

5

với a , b là tham số. Khi đó :

B. y (10) (=
1) 10a + b .

C. y (10) (1) = 5a .

D. y (10) (1) = 10a .

C. 64 3 .

D. −64 3 .

π 
Câu 21. Cho hàm số y = sin 2 2x . Tính y ( 4)   bằng:
6

A. 64 .

B. −64 .

Câu 22. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y ''
A. y '' = − sin 2 x

B. y '' = −4sin x

C. y '' = sin 2 x

D. y '' = −4sin 2 x

π

π

Câu 23. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y '''( ) , y (4) ( )
4
3
A. 4 và 16
B. 5 và 17
C. 6 và 18

16

D. 7 và 19

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

Câu 24. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y ( n )

π

π

B. y ( n ) 2n sin(2 x + )
=
2

A. y ( n ) 2n sin(2 x + n )
=
3

π

π

C.
y ( n ) 2n sin( x + )
=
2
Câu 25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
A. y

(n)

D. y ( n ) 2n sin(2 x + n )
=
2
2x +1
x+2

(1) n −1.3.n !
=
( x + 2) n +1

C. y ( n ) =

B. y

(−1) n −1.3.n !
( x − 2) n +1

Câu 26. Tính đạo hàm cấp n của hàm
số y
=

(n)

(−1) n −1.n !
=
( x + 2) n +1

D. y ( n ) =

(−1) n −1.3.n !
( x + 2) n +1

1
,a ≠ 0
ax + b

A. y ( n ) =

(2) n .a n .n !
(ax + b) n +1

B. y ( n ) =

(−1) n .a n .n !
( x + 1) n +1

C. y ( n ) =

(−1) n .n !
(ax + b) n +1

D. y ( n ) =

(−1) n .a n .n !
(ax + b) n +1

Câu 27. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =

2x +1
x − 5x + 6
2

(−1) n +1.7.n ! (−1) n +1.5.n !
B. y
=

( x − 2) n +1
( x − 3) n +1

(2) n .7.n ! (1) n .5.n !
A. y
=

( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1

(n)

(n)

(−1) n .7.n ! (−1) n .5.n !

( x − 2) n
( x − 3) n

C. y ( n )
=

(−1) n .7.n ! (−1) n .5.n !

( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1

D. y ( n )
=

Câu 28. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 2 x

π

B. y ( n ) 2n cos  2 x + 
=
2


π
n
A. y ( n ) =
( −1) cos  2 x + n 
2


π

D. y ( n ) 2n cos  2 x + n 
=
2


π

C. y ( n ) 2n +1 cos  2 x + n 
=
2

Câu 29. Tính đạo hàm cấp n của hàm số=
y
A. y

(n)

C. y

(n)

=

=

(−1) n +1.3.5...(3n − 1)
(2 x + 1) 2 n −1

(−1) n +1.3.5...(2n − 1)
(2 x + 1) 2 n +1

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

2x +1

B. y

(n)

D. y

(n)

=

=

(−1) n −1.3.5...(2n − 1)
(2 x + 1) 2 n −1

(−1) n +1.3.5...(2n − 1)
(2 x + 1) 2 n −1

17


Tổng ôn Toán 11

Câu 30. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
A. y ( n )
=
C. y ( n ) =

2x +1
x − 3x + 2
2

5.(−1) n .n ! 3.(−1) n .n !
+
( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1

B. y ( n )
=

5.(−1) n .n ! 3.(−1) n .n !

( x + 2) n +1 ( x − 1) n +1

5.(−1) n .n ! 3.(−1) n .n !
:
( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1

D. y ( n )
=

5.(−1) n .n ! 3.(−1) n .n !

( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1

Câu 31. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =

x
x + 5x + 6
2

(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n !
B. y
=

( x + 3) n
( x + 2) n

(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n !
A. y
=
+
( x + 3) n +1 ( x + 2) n +1
(n)

C. y ( n )
=

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

(n)

(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n !

( x + 3) n −1 ( x + 2) n −1

D. y ( n )
=

(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n !

( x + 3) n +1 ( x + 2) n +1

Câu 32. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 2 x

π

A. y ( n ) 2n +1 cos  2 x + n 
=
2


π

B. y ( n ) 2n −1 cos  2 x + n 
=
2


π

D. y ( n ) 2n cos  2 x + n 
=
2


π

C. y ( n ) 2n cos  2 x + 
=
2


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Hàm số y =

x
có đạo hàm cấp hai là:
x−2

A. y′′ = 0 .

B. y′′ =

1

( x − 2)

2

C. y′′ = −

.

4

( x − 2)

2

.

D. y′′ =

4

( x − 2)

3

.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 x ′
Ta
có y′ =
=

 x−2

( x + 1)
12 ( x + 1) .
24 ( 5 x + 3) .

y
Câu 2. Hàm số =
A.
=
y′′′
C. y′′′
=

−2
; y′′
=
2
( x − 2)
2

3

 −2 ′
2 ( x − 2)
=
 2.=
2
4
 ( x − 2) 
( x − 2)



4

( x − 2)

3

có đạo hàm cấp ba là:
B.
=
y′′′

2

2

D. y′′′
=

24 ( x 2 + 1) .
–12 ( x 2 + 1) .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có y =x 6 + 3 x 4 + 3 x 2 + 1 ; y′ =6 x5 + 12 x3 + 6 x

y′′ = 30 x 4 + 36 x 2 + 6 ; y′′′= 120 x3 + 72 x= 24 ( 5 x 2 + 3) .

18

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

Câu 3. Hàm số y = 2 x + 5 có đạo hàm cấp hai bằng:
A. y′′ =

1
.
(2 x + 5) 2 x + 5

C. y′′ = −

1
.
2x + 5

B. y′′ =

1
.
(2 x + 5) 2 x + 5

D. y′′ = −

1
.
2x + 5

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có y′=

(

)


2x + 5 =

(

2x + 5
y′′ =

2x + 5

)



2
=
2 2x + 5

1
2x + 5

2
1
.
=
− 2 2x + 5 =

2x + 5
( 2 x + 5) 2 x + 5

x2 + x + 1
có đạo hàm cấp 5 bằng:
Câu 4. Hàm số y =
x +1

A. y (5) = −
C. y (5) =

120
.
( x + 1)6

B. y (5) =

1
.
( x + 1)6

120
.
( x + 1)6

D. y (5) = −

1
.
( x + 1)6

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có y= x +

1
1
.
⇒ y′ =1 −
2
x +1
( x + 1)

2
24
−6
120
3
4
.
⇒ y′′ = 3 ⇒ y ( ) = 4 ⇒ y ( ) = 5 ⇒ y (5) =

( x + 1)6
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
x2 + x + 1
có đạo hàm cấp 5 bằng :
x +1

Câu 5. Hàm số y =
A. y (5) = −
C. y (5) =

120

( x + 1)
1

( x + 1)

5

6

B. y (5) =

.

120

( x + 1)

D. y (5) = −

.

5

.

1

( x + 1)

5

.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: y=
⇒ y′ =1 −

x2 + x + 1
1
.
= x+
x +1
x +1

1

( x + 1)

2

; y′′ =

2

( x + 1)

3

; y′′′ = −

6

( x + 1)

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

4

; y ( 4) =

24

( x + 1)

5

; y ( 5) = −

120

( x + 1)

6

.

19


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

Câu 6. Hàm số
=
y x x 2 + 1 có đạo hàm cấp 2 bằng :
A. y′′ = −
C. y′′ =

2 x3 + 3x

(1 + x )

1 + x2

2

2 x3 + 3x

(1 + x )
2

1 + x2

B. y′′ =

.

2x2 + 1

D. y′′ = −

.

1 + x2

.

2x2 + 1
1 + x2

.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: y=′

x
4 x x 2 + 1 − ( 2 x 2 + 1)
2
x
2x +1
x +1
; y′′ =
x 2 +=
1+ x
=
2
2
2
+
1
x
x +1
x +1

Câu 7. Hàm số=
y

2

( 2 x + 5)

5

2 x3 + 3x

(1 + x )
2

1 + x2

có đạo hàm cấp 3 bằng :

A.
=
y′′′ 80 ( 2 x + 5 ) .

B. y′′′ 480 ( 2 x + 5 ) .
=
2

3

D. y′′′ =
−80 ( 2 x + 5 ) .

C. y′′′ =
−480 ( 2 x + 5 ) .

3

2

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y′= 5 ( 2 x + 5=
; y′′ 80 ( 2 x + 5=
) ⋅ 2 10 ( 2 x + 5)=
) ; y′′ 480 ( 2 x + 5) .
4

4

2

3

Câu 8. Hàm số y = tan x có đạo hàm cấp 2 bằng :
2sin x
.
cos3 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

A. y′′ = −

B. y′′ =

1
.
cos 2 x

C. y′′ = −

1
.
cos 2 x

D. y′′ =

2sin x
.
cos3 x

2cosx ( −sinx ) 2sinx
1
. y′′ =

=
2
cos x
cos 4 x
cos3 x
Câu 9. Cho hàm số y = sinx . Chọn câu sai.

Ta có: y′ =

π

A.
=
y′ sin  x +  .
2


=
y′′ sin ( x + π ) .
B.



C.=
y′′′ sin  x +
2


D.
=
y ( 4) sin ( 2π − x ) .


.


Hướng dẫn giải:
Chọn D.

π
π


′′ cos  + x=
Ta có:=
=
y′ cos
x sin  + x  ; y=
 sin (π + x ) .
2

2


 3π

( 4)
′′′ cos (π + x=
cos 
x  sin ( 2π + x ) .
+=
y=
) sin  + x  ; y=
 2

 2


20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

−2 x 2 + 3 x
có đạo hàm cấp 2 bằng :
1− x

Câu 10. Hàm số y =
A. y′′= 2 +

1

(1 − x )

2

.

B. y′′ =

2

(1 − x )

3

C. y′′ =

.

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
−2

(1 − x )

3

D. y′′ =

.

2

(1 − x )

4

.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y= 2 x − 1 +

1
1
2
; y′′ =
.
⇒ y′ =2 +
2
1− x
(1 − x)3
(1 − x )

π
π
Câu 11. Hàm số
y f=
=
( x ) cos  2 x −  . Phương trình f ( 4) ( x ) = −8 có nghiệm x ∈ 0;  là:
3

 2
A. x =

π
2

B. x = 0 và x =

.

C. x = 0 và x =

π
3

D. x = 0 và x =

.

π
6

π
2

.
.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

π
π
π
π  ( 4)




Ta có: y′ =
16cos  2 x − 
−2sin  2 x −  . y′′ =
−4cos  2 x − =
 . y′′′ 8sin  2 x − =
. y
3
3
3
3





π
π
1


4
Khi đó : f ( ) ( x ) = −8 ⇔ 16cos  2 x −  =
−8 ⇔ cos  2 x −  =

3
3
2



π 2π
π


 π
 2 x − 3 = 3 + k 2π
 x= 2 + kπ
x∈0; 
π
 2

→ x=
⇔
⇔
.
π

2
2 x − π =

− + kπ
x=

+ k 2π


6
3
3
Câu 12. Cho hàm số y = sin2x . Chọn khẳng định đúng
A. 4 y − y′ =
0.

B. 4 y + y′′ =
0.

C. y = y′ tan 2 x .

D.=
y2

y′ )
(=
2

4.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y′ = 2cos2x ; y′′ = −4sin2x . ⇒ 4 y + y′′ =
0.
1
Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) = − . Xét hai mệnh đề :
x

2
.
x3
Mệnh đề nào đúng?

( I=
) : y′′

′′ ( x )
f=

A. Chỉ ( I ) đúng.

( II ) : y′′′ =

f ′′′ ( x ) = −

B. Chỉ ( II ) đúng.

6
.
x4

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

21


Tổng ôn Toán 11
Ta có: y′ =

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

1
2
6
; y′′ = − 3 ; y′′′ = 4 .
2
x
x
x

Câu 14. Nếu f ′′ ( x ) =

2sin x
thì f ( x ) bằng
cos3 x

1
.
cos x
Hướng dẫn giải:

B. −

A.

1
.
cos x

C. cot x .

D. tan x .

Chọn D.

 1 ′ −2cosx ⋅ ( −sinx ) 2sinx
Vì: ( tan x )′′ = 
.
=
=
2 
cos3 x
cos 4 x
 cos x 
Câu 15. Cho hàm số
=
y f=
( x)

( I ) : y′ = f ′ ( x ) =−1 −

− x2 + x + 2
. Xét hai mệnh đề :
x −1

2
< 0, ∀x ≠ 1 .
( x − 1) 2

( II ) : y′′ =

′′ ( x )
f=

4
> 0, ∀x ≠ 1 .
( x − 1) 2

Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ ( I ) đúng.

B. Chỉ ( II ) đúng.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: y = f ( x ) =

2
2
4
− x2 + x + 2
; y′′ =
.
=− x +
⇒ y′ =−1 −
2
3
x −1
x −1
( x − 1)
( x − 1)

Câu 16. Cho hàm số f ( x=
)
A. 3 .

( x + 1)

3

. Giá trị f ′′ ( 0 ) bằng

B. 6 .

C. 12 .

D. 24 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

x ) 6 ( x + 1) ⇒ f ′′ ( 0 ) =
6.
Vì: f ′ (=
x ) 3 ( x + 1) ; f ′′ (=
2

π
Câu 17. Cho hàm số f=
( x ) sin 3 x + x 2 . Giá trị f ′′   bằng
2
A. 0 .

B. −1 .

C. −2 .

D. 5 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
π 
=
f ′ ( x ) 3sin 2 xcosx + 2 x ; f ′′ (=
x ) 6sinxcos 2 x − 3sin 3 x + 2 ⇒ f ′′   =
Vì:
−1 .
2

Câu 18. Cho hàm số f ( x ) = 5 ( x + 1) + 4 ( x + 1) . Tập nghiệm của phương trình f ′′ ( x ) = 0 là
3

A. [ −1; 2] .

B. ( −∞;0] .

C. {−1} .

D. ∅ .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
22

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

Vì: f ′ ( x )= 15 ( x + 1) + 4 ; f ′′=
( x ) 30 ( x + 1) ⇒ f ′′ ( x ) =0 ⇔ x =−1 .
2

Câu 19. Cho hàm số y =
3
A. y′′′ (1) = .
8
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

Vì: y′ = −

1

( x − 3)

2

1
. Khi đó :
x −3
1
B. y′′′ (1) = .
8

; y′′ =

Câu 20. Cho hàm số=
y

2

( x − 3)

; y′′′ = −

3

( ax + b )

5

3
C. y′′′ (1) = − .
8

6

( x − 3)

4

3
⇒ y′′′ (1) =
− .
8

với a , b là tham số. Khi đó :

B. y (10) (=
1) 10a + b .

A. y (10) (1) = 0 .

1
D. y′′′ (1) = − .
4

C. y (10) (1) = 5a .

D. y (10) (1) = 10a .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
; y′′′ 60a 3 ( ax + b )=
; y ( 4) 120a 4 ( ax + b ) ; y (5) = 120a 5 ;
Vì:
=
y′ 5a ( ax + b =
) ; y′′ 20a 2 ( ax + b )=
4

y( ) = 0 ⇒ y(
6

10 )

3

10 )

=
0 . Do đó y (

2

(1) = 0

π 
Câu 21. Cho hàm số y = sin 2 2x . Tính y ( 4)   bằng:
6

A. 64 .

B. −64 .

C. 64 3 .

D. −64 3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

=
=
x ( 2cos2x ) 2sin4x ; y′′ = 8cos4x ; y′′′ = −32sin4x ;
Vì: y′ 2sin2
4 π 
y ( 4) = −128cos4x ⇒ y ( )   =
64 3 .
6

Câu 22. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y ''
A. y '' = − sin 2 x

B. y '' = −4sin x

C. y '' = sin 2 x

D. y '' = −4sin 2 x

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có y ' =
2 cos 2 x ⇒ y '' =
−4sin 2 x

π

π

Câu 23. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y '''( ) , y (4) ( )
3
4
A. 4 và 16
B. 5 và 17
C. 6 và 18

D. 7 và 19

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

−8cos 2 x, y (4) =
16sin 2 x
Ta có y ''' =
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

23


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao


π
π
π
Suy ra y '''( ) =
4; y (4) ( ) =
16sin =
16 .
−8cos
=
3
3
4
2

Câu 24. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y ( n )

π

π

A. y ( n ) 2n sin(2 x + n )
=
3

B. y ( n ) 2n sin(2 x + )
=
2

π

π

C.
=
y ( n ) 2n sin( x + )
2
Hướng dẫn giải:

D. y ( n ) 2n sin(2 x + n )
=
2

Chọn D.

π

π

π

Ta có y ' = 2sin(2 x + ), y '' = 22 sin(2 x + 2=
) , y ''' 23 sin(2 x + 3 )
2
2
2

π

Bằng quy nạp ta chứng minh
=
y ( n ) 2n sin(2 x + n )
2

π

Với n =1 ⇒ y ' =21 sin(2 x + ) đúng
2
Giả=
sử y ( k ) 2k sin(2 x + k
+1)
suy ra y ( k=

(y =
)'
(k )

π
2

),

π
π

2k +1 cos(2 x + k =
) 2k +1 sin  2 x + (k + 1) 
2
2


Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Câu 25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =

2x +1
x+2

A. y ( n ) =

(1) n −1.3.n !
( x + 2) n +1

B. y ( n ) =

(−1) n −1.n !
( x + 2) n +1

C. y ( n ) =

(−1) n −1.3.n !
( x − 2) n +1

D. y ( n ) =

(−1) n −1.3.n !
( x + 2) n +1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
'

3 ( x + 2) 
−3.2
3
Ta có y ' ==

=
,
y
''
2
4
( x + 2)
( x + 2)
( x + 2)3
2

y ''' =

(−1) n −1.3.n !
3.2.3
(n)
.
Ta
chứng
minh
y
=
( x + 2) n +1
( x + 2) 4

(−1)0 .3
3
đúng
=
• Với n =1 ⇒ y ' =
2
( x + 2)
( x + 2) 2

• Giả sử y ( k ) =

24

(−1) k −1.3.k !
( x + 2) k +1

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

⇒y

( k +1)

(−1) k −1.3.k !. ( x + 2) k +1  ' (−1) k .3.(k + 1)!
=

=
( y )' =
( x + 2) 2 k + 2
( x + 2) k + 2
(k )

Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Câu 26. Tính đạo hàm cấp n của hàm
số y
=

1
,a ≠ 0
ax + b

A. y ( n ) =

(2) n .a n .n !
(ax + b) n +1

B. y ( n ) =

(−1) n .a n .n !
( x + 1) n +1

C. y ( n ) =

(−1) n .n !
(ax + b) n +1

D. y ( n ) =

(−1) n .a n .n !
(ax + b) n +1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có y '
=

−a
a 2 .2
−a 3 .2.3
=
,
y
''
=
,
y
'''
(ax + b) 2
(ax + b)3
(ax + b) 4

Ta chứng minh: y ( n ) =

(−1) n .a n .n !
(ax + b) n +1

(−1)1.a1.1!
a
đúng
1⇒ y ' =
=

• Với n =
2
(ax + b)
(ax + b) 2

• Giả sử y ( k ) =

⇒y

( k +1)

(−1) k .a k .k !
(ax + b) k +1

(−1) k .a k .k !. (ax + b) k +1  ' (−1) k +1.a k +1.(k + 1)!
=

=
( y )' =
(ax + b) 2 k + 2
( x + 2) k + 2
(k )

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Câu 27. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
A. y ( n )
=

(2) n .7.n ! (1) n .5.n !

( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1

C. y ( n )
=

(−1) n .7.n ! (−1) n .5.n !

( x − 2) n
( x − 3) n

2x +1
x − 5x + 6
2

B. y ( n )
=
D. y ( n )
=

(−1) n +1.7.n ! (−1) n +1.5.n !

( x − 2) n +1
( x − 3) n +1
(−1) n .7.n ! (−1) n .5.n !

( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: 2 x + 1= 7( x − 2) − 5( x − 3) ; x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2)( x − 3)
Suy ra
=
y

7
5
.

x −3 x −2

(−1) n .1n.n ! (−1) n .n !  1 
(−1) n .n !
 1 
Mà =
=
, =


( x − 2) n +1 ( x − 2) n +1  x − 2 
( x − 3) n +1
 x−2
(n)

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

(n)

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×