Tải bản đầy đủ

lý thuyết giới hạn hàm số

TỔNG ƠN TỐN 11

VIP

CHỦ ĐỀ 14. GIỚI HẠN HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT
Giới hạn hữu hạn

Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực

1. Giới hạn đặc biệt:

1. Giới hạn đặc biệt:

lim x = x0 ;

lim c = c

x → x0

x → x0


(c: hằng số)
a) Nếu lim f ( x ) = L và lim g( x ) = M
x → x0

x → x0

thì: lim [ f ( x ) + g( x )] =
L+M
x → x0

lim [ f ( x ) − g( x )] =
L−M

x → x0

lim [ f ( x ).g( x )] = L.M

x → x0

x → x0

lim

lim c = c ;

2. Định lí:

lim

+∞ nếu k chẵn
lim x k = +∞ ; lim x k = 
x →+∞
x →−∞
−∞ nếu k lẻ

f (x) L
(nếu M ≠ 0)
=
g( x ) M



b) Nếu f(x) ≥ 0 và lim f ( x ) = L
x → x0

thì L ≥ 0 và lim

x → x0

f (x) = L

c) Nếu lim f ( x ) = L thì lim f ( x ) = L
x → x0

x → x0

3. Giới hạn một bên:

x →±∞

x →±∞

lim−

1
= −∞ ;
x

lim−

1
1
= lim+ = +∞
x x →0 x

x →0

x →0

lim

x →0+

c
xk

=0

1
= +∞
x

2. Định lí:
Nếu lim f ( x ) = L ≠ 0 và lim g( x ) = ±∞ thì:
x → x0

x → x0

+∞ nếu L và lim g( x ) cùng dấu

x → x0
lim f ( x )g( x ) = 
g( x ) trái dấu
x → x0
−∞ nếu L và xlim
→ x0

0 nếu lim g( x ) = ±∞
x → x0
f ( x ) 
lim
= +∞ nếu lim g( x )= 0 và L.g( x ) > 0
x → x0 g( x ) 
x → x0

lim g( x ) 0 và L.g( x ) < 0
−∞ nếu=
x → x0


lim f ( x ) = L ⇔

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định:

=
lim f ( x )


, ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử dạng vơ định.


x → x0

x → x0 −

=
lim f ( x ) L

x → x0 +

lim f ( x )
⇔ =

x → x0

0
,
0

=
lim f ( x ) L

x → x0 +

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

1


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM
Phương pháp:
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
+ Nếu f ( x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f ( x0 )
+ Nếu f ( x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn
trái bằng giới hạn phải).
x3 + 2 x 2 + 1
là:
x →−1
2 x5 + 1

Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
A. −2 .

1
B. − .
2

C.

1
.
2

D. 2 .

C.

11
..
4

D. +∞.

4 x3 − 1
bằng:
x →−2 3 x 2 + x + 2

Câu 2. lim
A −∞. .

B. −

Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim
x →1

A. +∞

11
..
4

x +1
bằng định nghĩa.
x−2

B. −∞

C. −2

(

D. 1

)

Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim x 3 + 1 bằng định nghĩa.
x→2

A. +∞

B. −∞

D. 1

x+3 −2
bằng định nghĩa.
x −1

Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim
x →1

A. +∞

C. 9

B. −∞

C. −2

D.

1
4

x+3
bằng định nghĩa.
x →+∞ x − 2
B. −∞
C. −2

D. 1

2x − x +1
bằng định nghĩa.
x+2
B. −∞
C. −2

D. 1

3x + 2
bằng định nghĩa.
x →1 2 x − 1
B. −∞
C. 5

D. 1

Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim
A. +∞

2

Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim

x →−∞

A. +∞

Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim
A. +∞
Câu 9. Cho hàm số f ( x) =

A.

2

5
.
9

4 x 2 − 3x
. Chọn kết quả đúng của lim f ( x) :
x→2
( 2 x − 1) ( x3 − 2 )

B.

5
.
3

C.

5
.
9

D.

2
.
9

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

x+4 −2
bằng định nghĩa.
2x

Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim
x →0

A. +∞

1
8

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

C. −2

D. 1

4x − 3
bằng định nghĩa.
x →1
x −1
B. −∞
C. −2

D. 1

3x − 1
bằng định nghĩa.
x→2 x − 2
B. −∞
C. −2

D. 1

B.

Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim+
A. +∞

Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim−
A. +∞

2x2 + x − 3
bằng định nghĩa.
x →1
x −1

Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim
A. +∞

Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim
x→2

A. +∞

C. −2

B. 5
x +1

(2 − x)

4

D. 1

bằng định nghĩa.

B. −∞

C. −2

D. 1

2

Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim

x →+∞

A. +∞

3x
bằng định nghĩa.
2x2 + 1

B. −∞

C.

(

3
2

D. 1

)

Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x 2 + x − 1 bằng định nghĩa.
x →−∞

A. +∞

B. −∞
x2 − 4

Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim−

( x 4 + 1) ( 2 − x )

x→2

A. +∞

B. −∞
x →−1

B. −∞

C.

x→

π

6

x →0

1
2

D. 1

2 tan x + 1
bằng định nghĩa.
sin x + 1

B. −∞

Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C = lim

D. −1

x2 − x + 1
bằng định nghĩa.
x +1

B. −∞

Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B = lim

A. +∞

D. 1

C. −2

x →1

A. +∞

bằng định nghĩa.
C. 0

Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A = lim
A. +∞

D. 1

x 2 + 3x + 2
bằng định nghĩa.
x +1

Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim−
A. +∞

C. −2

C.
3

4 3+6
9

D. 1

x + 2 − x +1
bằng định nghĩa.
3x + 1

B. −∞

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C.

3

2 +1

D. 1
3


Tổng ôn Toán 11

Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D = lim

3

x →1

A. +∞

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

7x +1 +1
bằng định nghĩa.
x−2

B. −∞

D. −3

C. −2

x +1
bằng định nghĩa.
x →−2 x + x + 4

Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A = lim
A. +∞

B. −∞

C. −

Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B = limπ
x→

A. +∞

6

B. −∞

C.

x →1

D. 1

C.

x →1 3

3 3 9

4
2

D. 1

2x2 − x + 1 − 3 2x + 3
bằng định nghĩa.
3x 2 − 2

B. −∞

Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D = lim
A. +∞

1
6

sin 2 2x − 3cos x
bằng định nghĩa.
tan x

Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C = lim
A. +∞

2

3 3 9

4
2

2−35

D.

3x + 1 − 2
bằng định nghĩa.
3x + 1 − 2

B. −∞

C. −

1
6

D. 0

 x 2 − 3 khi x ≥ 2
Câu 27. Cho hàm số f ( x ) = 
. Chọn kết quả đúng của lim f ( x ) :
x→2
 x − 1 khi x < 2
A. −1 .

B. 0 .

C. 1 .

D. Không tồn tại.


 x + ax + 1 khi x > 2
Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x → 2 f ( x) =  2
.

2 x − x + 1 khi x ≤ 2
2

A. +∞

B. −∞

C.

1
2

D. 1

2
5ax + 3 x + 2a + 1
Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x = 0 f ( x) = 
2
1 + x + x + x + 2

A. +∞

B. −∞

2
5ax + 3 x + 2a + 1
Câu 30. Tìm a để hàm số. f ( x) = 
2
1 + x + x + x + 2

A. +∞

B. −∞

C.

2
2

khi x ≥ 0
khi x < 0

C.

2
2

khi x ≥ 0
khi x < 0

.

D. 1
có giới hạn tại x → 0

D. 1

2

 x + ax + 1 khi x > 1
Câu 31. Tìm a để hàm số. f ( x) =  2
có giới hạn khi x → 1 .
2
3
khi
1
x

x
+
a
x




A. +∞

4

B. −∞

C. −

1
6

D. 1

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

0
0

P( x)
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
x → x0 Q ( x )

1. L = lim

Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Chú ý:
+ Nếu tam thức bậc hai ax 2 + bx+c có hai nghiệm x1 , x2 thì ta luôn có sự phân tích
ax 2 + bx + c= a ( x − x1 )( x − x2 ) .

+ a n − b n = (a − b)(a n −1 + a n − 2b + ... + ab n − 2 + b n −1 )
P( x)
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
x → x0 Q ( x )

2. L = lim

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Các lượng liên hợp:
a b
+ ( a − b )( a + b ) =−
3 2
3 2
3
3
3
a −b
+ ( a ± b )( a  ab + b ) =

+ ( n a − n b )( n a n −1 + n a n − 2b + ... + n b n −1 ) = a − b
3. L = lim

x → x0

P( x)
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
Q( x)

Giả sử: P(x) =

m

n v( x ) =
u ( x) − n v( x) vôùi m u ( x0 ) =
a.
0

Ta phân tích P(x) =

(

m

u ( x) − a ) + ( a − n v( x) ) .

Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như
sau:

n

u ( x) − m v( x) = ( n u ( x) − m( x)) − ( m v( x) − m( x)) , trong đó m( x) → c .

x2 + 2x + 1
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
là:
x →−1 2 x 3 + 2

A. −∞ .

B. 0 .

C.

1
.
2

D. +∞ .

C.

3
2

D. 1

x3 − 3x 2 + 2
Câu 2. Tìm giới hạn A = lim 2
:
x →1 x − 4 x + 3

A. +∞

B. −∞

x4 − 5x2 + 4
Câu 3. Tìm giới hạn B = lim
:
x→2
x3 − 8

A. +∞

B. −∞

C. −

1
6

D. 1

C. −

1
6

D. 25

(1 + 3 x)3 − (1 − 4 x) 4
Câu 4. Tìm giới hạn C = lim
:
x →0
x

A. +∞

B. −∞

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

5


Tổng ôn Toán 11

x −3

Câu 5. Cho hàm số f ( x ) =

x2 − 9

A. −∞. .

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

. Giá trị đúng của lim+ f ( x ) là:
x →3

B. 0. .

C.

6. .

D. +∞.

C. −

1
6

D. 6

(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3 x) − 1
:
x →0
x

Câu 6. Tìm giới hạn D = lim
A. +∞

B. −∞

Câu 7. Tìm
giới hạn A lim
=
x →0

A. +∞

xn −1
(m, n ∈ *) :
xm −1

B. −∞

Câu 8. Tìm giới
hạn B lim
=

n

x →0

A. +∞

n

x →0

A. +∞

1 + ax − 1
với ab ≠ 0
1 + bx − 1

B. −∞

C.

a
n

D. 1−

n
a

C.

am
bn

D. 1+

am
bn

:

1+ α x 3 1+ β x 4 1+ γ x −1
với αβγ ≠ 0 . :
x

Câu 9. Tìm giới hạn B = lim
x →0

A. +∞

D. m − n

1 + ax − 1
(n ∈ *, a ≠ 0) :
x

B. −∞

Câu 8. Tìm giới hạn A = lim m

n
m

C.

B. −∞

C. B =

γ
4



β
3

+

α
2

γ

β

α

D. B = + +
4 3 2

2 x2 − 5x + 2
:
x→2 x3 − 3x − 2

Câu 10. Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

B. −∞

Câu 11. Tìm giới hạn B = lim
x →1

A. +∞

B. −∞

x →3

3

x →0 4

6

D. 1

C.

1
5

D. 1

2x + 3 − x
:
x2 − 4 x + 3

B. −∞

Câu 13. Tìm giới hạn D = lim
A. +∞

1
3

x 4 − 3x + 2
:
x3 + 2 x − 3

Câu 12. Tìm giới hạn C = lim
A. +∞

C.

C. −

1
3

D. 1

x +1 −1
:
2x +1 −1

B. −∞

C.

2
3

D. 1

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

3

Câu 14. Tìm giới hạn E = lim
x →7

A. +∞

B. −∞

x →0

B. −∞

Câu 17. Tìm giới hạn N = lim

m

x →0

m

x →0

A. +∞

A. +∞

C.

9
2

D. 1

C.

1
3

D. 0

C.

a b

m n

D.

a b
+
m n

C.

a b

m n

D.

a b
+
m n

C.

mn ( n − m )
2

D.

mn ( n + m )
2

1 + ax n 1 + bx − 1
:
x

B. −∞

(1 + mx ) − (1 + nx )
Tìm giới hạn V = lim
n

Câu 19.

D. 1

1 + ax − n 1 + bx
:
x

B. −∞

Câu 18. Tìm giới hạn G = lim

−8
27

1+ 4x − 3 1+ 6x
:
x2

Câu 16. Tìm giới hạn M = lim

A. +∞

C.

(2 x + 1)(3 x + 1)(4 x + 1) − 1
:
x

x →0

A. +∞

4x −1 − x + 2
:
4
2x + 2 − 2

B. −∞

Câu 15. Tìm giới hạn F = lim
A. +∞

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

x2

x →0

m

:

B. −∞

(1 − x )(1 − x ) ...(1 − x ) :
Câu 20. Tìm giới hạn K = lim
3

(1 − x )

x →1

A. +∞

n −1

B. −∞

Câu 21. Tìm giới hạn L = lim

(

C.

) (
n

1 + x2 + x −

x →0

A. +∞

n

1 + x2 − x

)

1
n!
n

:

x

B. −∞

D. 0

C. 2n

D. 0

2 x2 − 5x + 2
:
x→2
x3 − 8

Câu 22. Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

B. −∞

Câu 23. Tìm giới hạn B = lim
x →1

A. +∞

C.

1
4

D. 0

x 4 − 3x 2 + 2
:
x3 + 2 x − 3

B. −∞

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. −

2
5

D. 0

7


Tổng ôn Toán 11

2x + 3 − 3
:
x − 4x + 3

Câu 24. Tìm giới hạn C = lim

2

x →3

A. +∞

B. −∞
3

Câu 25. Tìm giới hạn D = lim
x →0

A. +∞

n

x →0

x →0

A. +∞

m

x →0

A. +∞

(1 + mx ) − (1 + nx )
Câu 29. Tìm giới hạn V = lim
n

A. +∞

C.

1
3

D. 0

C.

9
n

D. 0

C.

4
9

D. 0

C.

2 ( an − bm )
mn

D. 0

C.

2 ( an − bm )
mn

D. mn ( n − m )

1 + ax − n 1 + bx
:
1+ x −1

B. −∞
m

1 + 2 x − 3 1 + 3x

x →0

D. 0

1+ 4x − 3 1+ 6x
:
1 − cos 3 x

B. −∞

Câu 28. Tìm giới hạn N = lim

1
6

(2 x + 1)(3 x + 1)(4 x + 1) − 1
:
x

B. −∞

Câu 27. Tìm giới hạn M = lim

C.

x +1 −1
:
2x +1 −1

B. −∞

Câu 26. Tìm giới hạn F = lim
A. +∞

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

:

B. −∞

(1 − x )(1 − x ) ...(1 − x ) :
Câu 30. Tìm giới hạn K = lim
n

3

(1 − x )

2 n −1

x →1

A. +∞

B. −∞

x →0

B. −∞

Câu 32. Tìm giới hạn B = lim

x →1 3

A. +∞

x →−1

A. +∞
8

D. 0

C.

4
3

D. 0

C.

4
3

D.

C.

4
3

D. 3

4x + 5 − 3
:
5x + 3 − 2

B. −∞

Câu 33. Tìm giới hạn C = lim

1
n!

4x +1 − 3 2x +1
:
x

Câu 31. Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

C.

4

2
5

2 x + 3 + 3 2 + 3x
:
x + 2 −1

B. −∞

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Câu 34. Tìm giới hạn D = lim
x→2

A. +∞

x →0

A. +∞

x →−1

C.

4
3

D. 1

C.

1
2

D. 0

C.

4
3

D. −1

1 + 2 x − 3 1 + 3x
:
x2

B. −∞

Câu 36. Tìm giới hạn B = lim
A. +∞

x− x+2
:
x − 3 3x + 2

B. −∞

Câu 35. Tìm giới hạn A = lim

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

5 + 4x − 3 7 + 6x
:
x3 + x 2 − x − 1

B. −∞

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

9


Tổng ôn Toán 11

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH




Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

Phương pháp:

P( x)
trong đó P( x), Q( x) → ∞ , dạng này ta còn gọi là dạng vô định .
x →±∞ Q ( x )


L = lim

với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân
lượng liên hợp.
Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:
+ lim x 2 k = +∞
x →+∞
( x →−∞ )

lim x 2 k +1 = +∞ (−∞) .

;

x →+∞
( x →−∞ )

k
= 0 (n > 0; k ≠ 0) .
x →+∞ x n
( x →−∞ )

+ lim

+ lim f ( x) = +∞ (−∞) ⇔ lim
x → x0

x → x0

k
= 0 (k ≠ 0) .
f ( x)

5
bằng:
x →∞ 3 x + 2

Câu 1. lim
A. 0 .

B. 1 .

5
.
3

D. +∞ .

C. 7. .

D. +∞.

C.

x4 + 7
là:
x →+∞ x 4 + 1

Câu 2. Giá trị đúng của lim
A. −1.

B. 1. .

Câu 3. Tìm giới hạn C = lim

x →+∞

A. +∞

2 x − 3x 2 + 2
5x + x2 + 1

:

B. −∞

C.

2− 3
6

D. 0

1
B. − .
3

C.

1
.
3

D. 2 .

2x2 −1
bằng:
x →∞ 3 − x 2

Câu 4. lim
A. −2 .

x2 + 1
Câu 5. Cho hàm số f ( x) =
. Chọn kết quả đúng của lim f ( x) :
x →+∞
2x4 + x2 − 3
A.

1
.
2

Câu 6. lim

x →−∞

A. −

10

3 2
.
2

1 + 3x
2x2 + 3

B.

2
.
2

C. 0 .

B.

2
.
2

C.

D. +∞ .

bằng:
3 2
.
2

D. −

2
.
2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Câu 7. Tìm giới hạn D = lim

1 + x4 + x6

3

1 + x3 + x 4

x →−∞

Câu 8. Cho hàm số f ( x=
)

( x + 2)

A. 0 .

x →1

A. 3 .

:

B. −∞

A. +∞

Câu 9. lim+

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

C.

4
3

D. 1

x −1
. Chọn kết quả đúng của lim f ( x ) :
x →+∞
x + x2 + 1
4

B.

1
.
2

C. 1 .

D. Không tồn tại.

B.

1
.
2

C. 1 .

D. +∞ .

x2 − x + 3
bằng:
2 x −1

x4 + 8x
là:
x →+∞ x 3 + 2 x 2 + x + 2

Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
A. −

21
.
5

B.

21
.
5

C. −

24
.
5

D.

24
.
5

C. −

1
2

D. 0

Câu 12. Tìm giới =
hạn E lim ( x 2 − x + 1 − x) :
x →+∞

A. +∞

B. −∞

Câu 13. Tìm giới
hạn F lim x( 4 x 2 + 1 − x) :
=
x →−∞

A. +∞

B. −∞

C.

4
3

(

D. 0

)

Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim 4 x 5 − 3 x3 + x + 1 là:
x →−∞

A. −∞ .

B. 0 .

C. 4 .

Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim

x →+∞

A. −∞ .

B. 0 .

(

x 4 − x3 + x 2 − x là:

C. 1 .

)

D. +∞ .

D. +∞ .

Câu 16. Tìm giới hạn=
B lim x − x 2 + x + 1 :
x →−∞

A. +∞

B. −∞

C.

4
3

D. 0

Câu 17. Tìm giới hạn
=
M lim ( x 2 + 3 x + 1 − x 2 − x + 1) :
x →±∞

A. +∞

B. −∞

Câu 18. Tìm giới hạn
=
N lim

x →+∞

A. +∞

(

3

C.

4
3

D. Đáp án khác

C.

4
3

D. 0

)

8x 3 + 2x − 2x :

B. −∞

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

11


Tổng ôn Toán 11

Câu 19. Tìm giới
hạn H lim
=

x →+∞

A. +∞

4

)

16 x 4 + 3 x + 1 − 4 x 2 + 2 :

B. −∞

Câu 20. Tìm giới =
hạn K lim

x →+∞

A. +∞

(
(

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

C.

)

4
3

D. 0

x2 + 1 + x2 − x − 2x :

B. −∞

C. −

1
2

D. 0

3x 2 + 5 x + 1
:
x →+∞ 2 x 2 + x + 1

Câu 21. Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

B. −∞

C.

3
2

D. 0

a0 x n + ... + an −1 x + an
(a0b0 ≠ 0) :
x →+∞ b x m + ... + b
m −1 x + bm
0

Câu 22. Tìm giới hạn B lim
=
A. +∞

B. −∞

Câu 23. Tìm giới hạn A = lim

3

3x3 + 1 − 2 x 2 + x + 1

x →−∞

A. +∞

4

4 x4 + 2

B. −∞

Câu 24. Tìm giới hạn B = lim

3

4
3

2 x3 − 2 + 1

D. Đáp án khác

:
C. −

x x2 + 1 − 2x + 1

x →+∞

A. +∞

C.

3

3+ 2
2

D. 0

:

B. −∞

C.

4
3

D. 0

(2 x + 1)3 ( x + 2) 4
:
x →+∞
(3 − 2 x)7

Câu 25.Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

B. −∞

4 x 2 − 3x + 4 − 2 x

Câu 26. Tìm giới hạn B = lim

x2 + x + 1 − x

x →−∞

A. +∞

B. −∞

Câu 27. Tìm giới hạn C = lim

x →+∞

A. +∞

x →−∞

12

2 x + 3x 2 + 2
5x − x2 + 1

3

1 + x4 + x6
1 + x3 + x 4

B. −∞

1
16

D. 0

:
C. 2

B. −∞

Câu 28. Tìm giới hạn D = lim
A. +∞

C. −

D. 0

:
C.

2+ 3
4

D. 0

C.

4
3

D. −1

:

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Câu 29. Tìm giới =
hạn A lim

x →+∞

A. +∞

4
3

D. 0

B. −∞

C.

D. 0

(

)

1
2

)

(

Câu 31. Tìm giới =
hạn D lim

x →−∞

4x2 + x + 1 − 2x :

3

x3 + x 2 + 1 + x 2 + x + 1 :

B. −∞

Câu 32. Tìm giới =
hạn A lim

x →+∞

A. +∞

x 2 + x + 1 − 3 2 x3 + x − 1 :

C.

x →+∞

A. +∞

)

(

B. −∞

Câu 30.Tìm giới=
hạn C lim
A. +∞

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

(

C. −

)

1
6

D. 0

x2 + x + 1 − 2 x2 − x + x :

B. −∞

C.

3
2

D. 0

Câu 33.Tìm giới=
hạn B lim x( x 2 + 2 x − 2 x 2 + x + x) :
x →+∞

A. +∞

B. −∞

C. −

1
4

D. 0

a0 x n + ... + an −1 x + an
Câu 34. Tìm giới hạn A lim
=
, (a0b0 ≠ 0) :
x →+∞ b x m + ... + b
0
m −1 x + bm
A. +∞

B. −∞

4 x 2 + x + 3 8 x3 + x − 1

Câu 35. Tìm giới hạn B = lim

x →+∞

A. +∞

4

4 x 2 − 2 + 3 x3 + 1
x2 + 1 − x

x →−∞

A. +∞

B. −∞

Câu 37. Tìm giới hạn D = lim

x x2 + 1 + 2x + 1

x →+∞ 3

A. +∞

x4 + 3

B. −∞

Câu 36. Tìm giới hạn C = lim

4
3

D. Đáp án khác

C.

4
3

D. 4

C.

3
2

D. 0

C.

4
3

D. 0

C.

2 x3 + x + 1 + x

B. −∞

:

:

:

Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x 2 cos
x →0

A. Không tồn tại.

B. 0 .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. 1 .

2
là:
nx

D. +∞ .

13


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘT BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC
Phương pháp:
1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..
2. Dạng ∞ – ∞: Giới hạn này thường có chứa căn

Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đưa
về dạng


.


3. Dạng 0.∞:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
 1 2
Câu 1. Chọn kết quả đúng của lim−  2 − 3  :
x →0  x
x 

A. −∞ .
Câu 2. lim+
x →1

x →1

D. Không tồn tại.

B. 0 .

C. 1 .

D. +∞ .

B. –1.

C. 1.

D. +∞.

C. 1 .

D. +∞ .

x3 − x 2
bằng:
x −1 +1− x

A. −1 .
Câu 3. lim+

C. +∞ .

B. 0 .

x2 − x + 1
bằng:
x2 −1

A. –∞.
Câu 4. Giá tri đúng của lim
x →3

x −3
x −3

B. 0 .

A. Không tồn tại.
Câu 5. Tìm giới =
hạn A lim

x →+∞

(

)

x2 − x + 1 − x :

B. −∞

A. +∞

(

C. −

)

1
2

D. 0

Câu 6. Tìm giới hạn
=
B lim 2 x + 4 x 2 − x + 1 :
x →−∞

B. −∞

A. +∞
Câu 7. Cho hàm số f ( x) =
A. −∞ .

C.

1
4

D. 0

1
1

. Chọn kết quả đúng của lim+ f ( x ) :
x →1
x −1 x −1
3

2
B. − .
3

C.

2
.
3

D. +∞ .

C lim [ n ( x + a1 )( x + a2 )...( x + an ) − x] :
Câu 8. Tìm giới hạn=
x →+∞

A. +∞

B. −∞

C.

a1 + a2 + ... + an
n

D.

a1 + a2 + ... + an
2n

Câu 9. Tìm giới =
hạn A lim ( x 2 − x + 1 − x) :
x →+∞

A. +∞

14

B. −∞

C. −

1
2

D. 0

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

Câu 10. Tìm giới
hạn B lim x( 4 x 2 + 1 − x) :
=
x →−∞

A. +∞

B. −∞

1
4

D. 0

C.

1
4

D. Đáp án khác

C.

1
4

D. 0

C.

Câu 11. Tìm giới hạn
=
C lim ( x 2 − x + 1 − x 2 + x + 1) :
x →±∞

A. +∞

B. −∞

Câu 12. Tìm giới hạn
=
D lim ( 3 8x 3 + 2x − 2x) :
x →+∞

A. +∞

B. −∞

Câu 13. Tìm giới
hạn E lim ( 4 16 x 4 + 3 x + 1 − 4 x 2 + 2) :
=
x →+∞

A. +∞

B. −∞

C.

1
4

D. 0

C.

1
4

D. 0

Câu 14. Tìm giới hạn =
F lim ( x − 3 1 − x 3 ) :
x →−∞

A. +∞

B. −∞

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

15


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC
Phương pháp:
Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau:
sin x
x
tan x
x
= lim
= 1 , từ đây suy ra lim
= lim
= 1.
• lim
0
0
0
x →0
x

x

x

sin x
x
x
tan x
sin u ( x)
tan u ( x)
• Nếu lim u ( x) =
=
= 1.
0 ⇒ lim
1 và lim
x → x0
x → x0
x → x0
u ( x)
u ( x)

Câu 1. Tìm giới hạn A = lim
x →0

1 − cos ax
:
x2

C.

a
2

D. 0

B. −∞

C.

m
n

D. 0

1 − cos x.cos 2 x.cos 3 x
:
x2
B. −∞

C. 3

D. 0

C. 1

D. 0

5
2

D. 0

C. 6

D. 0

C.

7
2

D. 0

C.

n
m

D. 0

B. −∞

A. +∞

1 + sin mx − cos mx
:
x → 0 1 + sin nx − cos nx

Câu 2. Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

Câu 3. Tìm giới hạn B = lim
x →0

A. +∞

1 − cos 2 x
:
x →0
3x
2sin
2
B. −∞

Câu 4.Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

Câu 5. Tìm giới hạn B = lim
x →0

cos 2 x − cos 3 x
:
x(sin 3 x − sin 4 x)

B. −∞

A. +∞

C.

tan 2 2 x
:
x → 0 1 − 3 cos 2 x

Câu 6. Tìm giới hạn C = lim

B. −∞

A. +∞
Câu 7. Tìm giới hạn D = lim
x →0

B. −∞

A. +∞
Câu 8.Tìm giới hạn A = lim.
x →1

A. +∞

16

x2
:
1 + x sin 3 x − cos 2 x

sin(π x m )
:
sin(π x n )
B. −∞

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

π
Câu 9. Tìm giới hạn
B lim( − x) tan x :
=
π 2
x→
2

A. +∞

B. −∞

Câu 10. Tìm
giới hạn C lim xα sin
=
x →0

A. +∞

C.

5
2

D. 1

C.

5
2

D. 0

C.

5
2

D. 0

C.

7
11

D. 0

1
(α > 0) :
x

B. −∞

=
Câu 11.Tìm giới
hạn D lim (sin x + 1 − sin x ) :
x →+∞

A. +∞

B. −∞

Câu 12. Tìm giới hạn A = lim
x →0

A. +∞

cos 3 x − cos 4 x
:
cos 5 x − cos 6 x

B. −∞
1 − 3 1 + 2sin 2 x
:
x →0
sin 3 x

Câu 13. Tìm giới hạn B = lim
A. +∞

B. −∞

4
9

D. 0

C. −96

D. 0

C. −

sin 2 2 x
:
Câu 14.Tìm giới hạn C = lim 3
x →0
cos x − 4 cos x
A. +∞

B. −∞
sin 4 2 x
:
x → 0 sin 4 3 x

Câu 15.Tìm giới hạn D = lim
A. +∞

B. −∞

C.

16
81

D. 0

C.

5
2

D. 0

C.

5
2

D. 0

C.

b
a

2n 2m

D. 0

π

1 − sin( cos x)
2
Câu 16.Tìm giới hạn E = lim
:
x →0
sin(tan x)

A. +∞

B. −∞
3sin x + 2 cos x
:
x →+∞
x +1 + x

Câu 17. Tìm giới hạn F = lim
A. +∞

B. −∞

Câu 18. Tìm giới hạn H = lim
x →0

A. +∞

m

cos ax − m cos bx
:
sin 2 x

B. −∞

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

17


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

1 − n cos ax
:
x →0
x2

Câu 19.Tìm giới hạn M = lim
A. +∞

B. −∞

C.

a
2n

D. 0

C.

7
11

D. 0

cos 3 x − cos 4 x
:
x → 0 cos 5 x − cos 6 x

Câu 20.Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

B. −∞
1 − 3 1 + 2sin 2 x
:
x →0
sin 3 x

Câu 21.Tìm giới hạn B = lim
A. +∞

B. −∞

Câu 22. Tìm giới hạn C = lim
x →0

A. +∞

4
9

D. 0

C. −96

D. 0

C. −

sin 2 2 x
:
3
cos x − 4 cos x

B. −∞
sin 4 2 x
:
x → 0 sin 4 3 x

Câu 23. Tìm giới hạn D = lim
A. +∞

B. −∞

C.

16
81

D. 0

π

1 − sin( cos x)
2
Câu 24. Tìm giới hạn E = lim
:
x →0
sin(tan x)

A. +∞

B. −∞

Câu 25.Tìm giới hạn F = lim

x →+∞

A. +∞

m

x →0

A. +∞

x →0

A. +∞

C.

5
2

D. 0

C.

b
a

2n 2m

D. 0

cos ax − m cos bx
:
sin 2 x

B. −∞

Câu 27. Tìm giới hạn M = lim

D. 0

3sin x + 2 cos x
:
x +1 + x

B. −∞

Câu 26. Tìm giới hạn H = lim

C. 1

3

1 + 3x − 1 + 2 x
:
1 − cos 2 x

B. −∞

C. −

1
4

D. 0

3 x − 5sin 2 x + cos 2 x
bằng:
x →+∞
x2 + 2

Câu 28. lim
A. −∞ .

18

B. 0 .

C. 3 .

D. +∞ .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

HƯỚNG DẪN GIẢI

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM
Phương pháp:
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
+ Nếu f ( x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f ( x0 )
+ Nếu f ( x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn
trái bằng giới hạn phải).
x3 + 2 x 2 + 1
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
là:
x →−1
2 x5 + 1

A. −2 .

1
B. − .
2

C.

1
.
2

D. 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x3 + 2 x 2 + 1 ( −1) + 2. ( −1) + 1
Cách 1: lim
=
= −2
5
x →−1
2 x5 + 1
2 ( −1) + 1
3

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

2

x3 + 2 x 2 + 1
+ CACL + x =−1 + 10−9 và so đáp án.
2 x5 + 1

x3 + 2 x 2 + 1
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim
và so đáp án.
2 x5 + 1 x → −1 + 10−9
4 x3 − 1
bằng:
x →−2 3 x 2 + x + 2

Câu 2. lim
A −∞. .

B. −

11
..
4

C.

11
..
4

D. +∞.

Hướng dẫn giải:
Chọn B
4 x3 − 1
11
= − .
2
x →−2 3 x + x + 2
4
lim

Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim
x →1

A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

x +1
bằng định nghĩa.
x−2
C. −2

B. −∞

Với mọi dãy ( xn ) : lim xn = 1 ta có: lim

(

D. 1

xn + 1
x +1
= −2 Vậy lim
= −2 .
x

1
xn − 2
x−2

)

Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim x 3 + 1 bằng định nghĩa.
x→2

A. +∞

B. −∞

C. 9

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

19


Tổng ôn Toán 11

Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim
x →1

A. +∞

x+3 −2
bằng định nghĩa.
x −1

B. −∞

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

C. −2

D.

1
4

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

lim
x →1

x+3 −2 1
=
4
x −1
x+3
bằng định nghĩa.
x →+∞ x − 2

Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim
A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

B. −∞

C. −2

D. 1

2x2 − x + 1
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x →−∞
x+2

A. +∞
Hướng dẫn giải:

B. −∞

C. −2

D. 1

Chọn B.
2x2 − x + 1
= −∞
x →−∞
x+2
lim

3x + 2
bằng định nghĩa.
x →1 2 x − 1
B. −∞
C. 5

Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim
A. +∞

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

3 xn + 2 3.1 + 2
3x + 2
= 5
Với mọi dãy ( xn ) : lim xn = 2 ta có: lim = lim =
x →1 2 x − 1
2 xn − 1 2.1 − 1
Câu 9. Cho hàm số f ( x) =
5
.
9
Hướng dẫn giải:

A.

4 x 2 − 3x
. Chọn kết quả đúng của lim f ( x) :
x→2
( 2 x − 1) ( x3 − 2 )

B.

5
.
3

C.

5
.
9

D.

2
.
9

Chọn B.
4 x 2 − 3x
Cách 1: lim =
x→2
( 2 x − 1) ( x3 − 2 )

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

20

4.22 − 3.2
=
( 2.2 − 1) ( 23 − 2 )

5
3

4 x 2 − 3x
+ CACL + x= 2 + 10−9 và so đáp án.
3
( 2 x − 1) ( x − 2 )

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

4 x 2 − 3x
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim
( 2 x − 1) ( x3 − 2 )

và so đáp

x → 2 + 10

−9

án.
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad +

cos 5 x
+ CACL + x = −109 và so đáp án.
2x

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + lim

cos 5 x

2 x x → −109

so đáp án.

x+4 −2
bằng định nghĩa.
2x

Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim
x →0

A. +∞

B.

1
8

C. −2

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với mọi dãy ( xn ) : lim xn = 0 ta có:

xn + 4 − 2
xn
x+4 −2
1
1
lim
lim
lim=
=
=
lim
= .
x →0
2x
2 xn
2 xn xn + 4 + 2
2 xn + 4 + 2 8

(

Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim+
x →1

A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

)

C. −2

Với mọi dãy ( xn ) : xn > 1, ∀n và lim xn = 1 ta có: lim+
x →1

x→2

A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

)

4x − 3
bằng định nghĩa.
x −1

B. −∞

Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim−

(

D. 1

4x − 3
4x − 3
= lim n
= +∞ .
x −1
xn − 1

3x − 1
bằng định nghĩa.
x−2

C. −2

B. −∞

Với mọi dãy ( xn ) : xn < 2, ∀n và lim xn = 2 ta có: lim−
x→2

D. 1

3x − 1
3x − 1
= lim n
= −∞ .
x−2
xn − 2

2x2 + x − 3
bằng định nghĩa.
x →1
x −1

Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim
A. +∞

C. −2

B. 5

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2 x 2 + xn − 3
2x2 + x − 3
= lim n
= lim ( 2 xn =
+ 3) 5 .
x →1
x −1
xn − 1

Với mọi dãy ( xn ) : lim xn = 1 ta có: lim

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

21


Tổng ôn Toán 11

Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim
x→2

A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

x +1

(2 − x)

4

bằng định nghĩa.
C. −2

B. −∞

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số
D. 1

3x 2
bằng định nghĩa.
x →+∞ 2 x 2 + 1

Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim

B. −∞

A. +∞

C.

3
2

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3x 2
3
=
2
x →+∞ 2 x + 1
2

Đáp số: lim

(

)

Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x 2 + x − 1 bằng định nghĩa.
x →−∞

A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

x2 − 4

Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim−

(x

x→2

A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

4

+ 1) ( 2 − x )

B. −∞

x →−1

bằng định nghĩa.
C. 0

C. −2

B. −∞

Do x → −1− ⇒ x + 1 = −( x + 1) . Đáp số: lim−
x →−1

Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A = lim
x →1

B. −∞

A. +∞

D. 1

D. 1

x 2 + 3x + 2
bằng định nghĩa.
x +1

Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim−
A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

C. −2

B. −∞

D. −1

x 2 + 3x + 2
= −1 .
x +1

x2 − x + 1
bằng định nghĩa.
x +1

C.

1
2

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta=
có: A lim
x →1

x2 − x + 1 1 −1 + 1 1
.
= =
x +1
1+1
2

Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B = lim
x→

22

π

6

2 tan x + 1
bằng định nghĩa.
sin x + 1

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

B. −∞

A. +∞

C.

4 3+6
9

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số
D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

2 tan x + 1
=
Ta có B limπ =
sin x + 1
x→
6

π

2 tan + 1
4 3+6
6
=
.
π
9
sin + 1
6

Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C = lim

3

x →0

x + 2 − x +1
bằng định nghĩa.
3x + 1

B. −∞

A. +∞

C.

3

2 +1

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

C lim
Ta có: =

3

x →0

x + 2 − x +1
=
3x + 1

3

2 +1.

Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D = lim
x →1

B. −∞

A. +∞

3

7x +1 +1
bằng định nghĩa.
x−2
C. −2

D. −3

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: D = lim
x →1

3

7x +1 +1 3 8 +1
=
= −3 .
x−2
1− 2
x +1
bằng định nghĩa.
x →−2 x + x + 4

Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A = lim
A. +∞

2

B. −∞

C. −

1
6

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B = limπ
x→

A. +∞

6

sin 2 2x − 3cos x
bằng định nghĩa.
tan x

B. −∞

C.

3 3 9

4
2

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C = lim
x →1

A. +∞

2x2 − x + 1 − 3 2x + 3
bằng định nghĩa.
3x 2 − 2

B. −∞

C.

3 3 9

4
2

D.

2−35

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

23


Tổng ôn Toán 11

Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D = lim

x →1 3

3x + 1 − 2
bằng định nghĩa.
3x + 1 − 2

B. −∞

A. +∞

C. −

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

1
6

D. 0

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 x 2 − 3 khi x ≥ 2
Câu 27. Cho hàm số f ( x ) = 
. Chọn kết quả đúng của lim f ( x ) :
x→2
x
x

<
1
khi
2


A. −1 .

C. 1 .

B. 0 .

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

(

)

3 1
Ta có lim+ f =
( x ) lim+ x 2 −=
x→2

x→2

lim f (=
x ) lim− ( x −=
1) 1

x → 2−

x→2

Vì lim
=
=
f ( x ) lim
f ( x ) 1 nên lim f ( x ) = 1 .
+

x→2

x→2

x→2

 x 2 + ax + 1 khi x > 2
.
Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x → 2 f ( x) =  2
2 x − x + 1 khi x ≤ 2
B. −∞

A. +∞

C.

1
2

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: lim+ f ( x) = lim+ ( x 2 + ax + 2) = 2a + 6 . lim−=
f ( x) lim− (2 x 2 − =
x + 1) 7 .
x→2

x→2

x→2

x→2

Hàm số có giới hạn khi x → 2 ⇔ lim+ f ( x) =
lim− f ( x) ⇔ 2a + 6 = 7 ⇔ a =
x→2

x→2

1
1
. Vậy a = là giá trị cần
2
2

tìm.
5ax 2 + 3 x + 2a + 1
Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x = 0 f ( x) = 
2
1 + x + x + x + 2

A. +∞

B. −∞

C.

2
2

khi x ≥ 0
khi x < 0

.

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có lim+ f ( x) = 2a + 1 = 1 + 2 = lim− f ( x) ⇒ a =
x →0

x →0

2
.
2

5ax 2 + 3 x + 2a + 1
Câu 30. Tìm a để hàm số. f ( x) = 
2
1 + x + x + x + 2

A. +∞

24

B. −∞

khi x ≥ 0
khi x < 0

C.

2
2

có giới hạn tại x → 0

D. 1

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 14. Giới hạn hàm số

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

(

)

Ta có: lim+ f ( x) = lim+ 5ax 2 + 3 x + 2a + 1 = 2a + 1
x →0

x →0

)

(

lim f ( x) = lim− 1 + x + x 2 + x + 2 =1 + 2

x → 0−

x →0

Vậy 2a + 1 = 1 + 2 ⇔ a =

2
.
2

 x 2 + ax + 1 khi x > 1
Câu 31. Tìm a để hàm số. f ( x) =  2
có giới hạn khi x → 1 .
2 x − x + 3a khi x ≤ 1
B. −∞

A. +∞

C. −

1
6

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: lim+ f ( x) =lim(
x 2 + ax + 2) =a + 3 .
+
x →1

x →1

lim f ( x) = lim(2
x 2 − x + 3a ) = 3a + 1 .


x →1−

x →1

Hàm số có giới hạn khi x → 1 ⇔ lim+ f ( x) =lim− f ( x)
x →1

x →1

⇔ a + 3 = 3a + 1 ⇔ a = 1 . Vậy a = 1 là giá trị cần tìm.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×