Tải bản đầy đủ

lý thuyết giới hạn dãy số

TỔNG ÔN TOÁN 11

VIP

CHỦ ĐỀ 13. GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIỚI HẠN HỮU HẠN
1. Giới hạn đặc biệt:
1
= 0;
n→+∞ n
lim

1. Giới hạn đặc biệt:

1
lim = 0 (k ∈  + )
n→+∞ n k

n


lim C = C

lim=
0 ( q < 1) ;
q

n→+∞

n→+∞

2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì

lim n = +∞
lim q n = +∞ (q > 1)
2. Định lí:

1
=0
un

b) Nếu lim un = a, lim vn = ±∞ thì lim

• lim (un – vn) = a – b
• lim (un.vn) = a.b

a
• lim =
(nếu b ≠ 0)
vn b

thì

b) Nếu un ≥ 0, ∀n và lim un= a

vn

=0

lim



un

+∞
= 
vn
−∞

neáu a.vn > 0
neáu a.vn < 0

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a

un = a

thì

c) Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un = a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u1
1− q

un

c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim vn = 0

un

S = u1 + u1q + u1q2 + … =

lim n k = +∞ (k ∈  + )

a) Nếu lim un = +∞ thì lim

• lim (un + vn) = a + b

thì a ≥ 0 và lim

GIỚI HẠN VÔ CỰC

( q < 1)

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

+∞
lim(un.vn) = 
−∞

neáu a > 0
neáu a < 0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
định:

0 ∞
, , ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử
0 ∞

dạng vô định.

1


Tổng ôn Toán 11

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

Phương pháp:

• Để chứng minh lim un = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao
cho un < a ∀n > na .

0.
• Để chứng minh lim un = l ta chứng minh lim(un − l ) =
• Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên

nM sao cho un > M ∀n > nM .
• Để chứng minh lim un = −∞ ta chứng minh lim(−un ) = +∞ .
• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu lim un = +∞ , thì lim un = +∞ .

B. Nếu lim un = +∞ , thì lim un = −∞ .

C. Nếu lim un = 0 , thì lim un = 0 .

D. Nếu lim un = −a , thì lim un = a .

Câu 2. Giá trị của lim
A. 0
Câu 3. Giá trị của lim
A. 0
Câu 4. Giá trị của lim
A. 0

1
bằng:
n +1
B. 1

C. 2

D. 3

1
(k ∈ *) bằng:
nk
B. 2

C. 4

D. 5

sin 2 n
bằng:
n+2
B. 3

C. 5

D. 8

B. −∞

C. 0

D. 1

1− n
bằng:
n
B. −∞

C. 0

D. 1

2
bằng:
n +1
B. −∞

C. 0

D. 1

cos n + sin n
bằng:
n2 + 1
B. −∞

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

Câu 5. Giá trị của lim(2n + 1) bằng:
A. +∞
2

Câu 6. Giá trị của lim
A. +∞
Câu 7. Giá trị của lim
A. +∞
Câu 8. Giá trị của lim
A. +∞
Câu 9. Giá trị của lim
A. +∞

2

n +1
bằng:
n+2
B. −∞

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Câu 10. Giá trị của lim
A. +∞
Câu 11. Giá trị của lim

3n3 + n
bằng:
n2
B. −∞

A. +∞
Câu 13. Giá trị của B = lim
A. +∞
Câu 14. Giá trị của C = lim
A. +∞
Câu 15. Giá trị của A = lim

C. 0

D. 1

2n + 1
bằng:
n−2
B. −∞

C. 2

D. 1

2n + 3
bằng:
n2 + 1
B. −∞

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

1
2

D. 1

n2 + 1
bằng:
n +1
B. −∞
n−2 n
bằng:
2n

B. −∞

A. +∞
Câu 16. Giá trị của B = lim

C.

n sin n − 3n 2
bằng:
n2

B. −∞

A. +∞
Câu 17. Giá trị của C = lim

Câu 18. Giá trị của D = lim

C. −3

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 4

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

1
bằng:
n +2 n +7
2

B. −∞

A. +∞

A. +∞

D. 1

B. −∞

Câu 12. Giá trị của A = lim

Câu 19. Giá trị của lim

C. 0

2−n
bằng:
n +1

A. +∞

A. +∞

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

4n + 1
n + 3n + 2
2

bằng:

B. −∞
an
= 0 bằng:
n!
B. −∞

Câu 20. Giá trị của lim n a với a > 0 bằng:
A. +∞

B. −∞

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

3


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC
GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:

• Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
• Khi tìm lim

f ( n)
ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và
g ( n)

mẫu.

• Khi tìm lim  k f (n) − m g (n)  trong đó lim f (n) = lim g (n) = +∞ ta thường tách và sử dụng
phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:

(

( 3 a − 3 b ) ( 3 a2 + 3 ab + 3 b2 ) =
a−b

a − b )( a + b ) =
a − b;

• Dùng định lí kẹp: Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
• Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
• Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa
cao nhất của tử và của mẫu.
• Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của
tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Câu 1. Cho dãy số ( un ) với un =
A.

1
.
4

B.

n
u
1
và n +1 < . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau:
n
4
2
un

1
.
2

C. 0 .

D. 1 .

C. –4.

D.

n cos 2n 

Câu 2. Kết quả đúng của lim  5 − 2
 là:
n +1 


A. 4.

B. 5.

Câu 3. Giá trị của. A = lim

1
.
4

2n + 1
bằng:
1 − 3n

A. +∞

B. −∞

C. −

2
3

D. 1

4n 2 + 3n + 1
Câu 4. Giá trị của. B = lim
bằng:
(3n − 1) 2
A. +∞
Câu 5. Kết quả đúng của lim
A. −
4

3
.
3

B. −∞
− n 2 + 2n + 1
3n 4 + 2
2
B. − .
3

C.

4
9

D. 1


1
C. − .
2

D.

1
.
2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Câu 6. Giới hạn dãy số ( un ) với un =
A. −∞ .

A. 5 .
Câu 8. Giá trị của A = lim

3
.
4

D. 0 .

n 3 − 2n + 5
:
3 + 5n
C. −∞ .

D. +∞ .

2n 2 + 3n + 1
bằng:
3n 2 − n + 2

B. −∞

C.

n 2 + 2n
n − 3n 2 + 1

A. +∞

A. +∞
Câu 11. Giá trị của D = lim
A. +∞
Câu 12. Giá trị của C = lim
A. +∞
Câu 13. Giá trị của. F = lim
A. +∞
Câu 14. Giá trị của. C = lim
A. +∞
Câu 15. Giá trị của. D = lim
A. +∞
Câu 16. Giá trị của. E = lim

2

+ 1) ( n + 2 )
4

1
1− 3

C. 0

D.

C. 16

D. 1

bằng:

n 2 + 1 − 3 3n3 + 2
2n 4 + n + 2 − n

bằng:

B. −∞
4

D. 1

9

n17 + 1
B. −∞
4

2
3

bằng:

B. −∞

( 2n
Câu 10. Giá trị của C = lim

A. +∞

C.

2
.
5

B.

A. +∞
Câu 9. Giá trị của B = lim

3n − n 4
là:
4n − 5

B. +∞ .

Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

3n3 + 1 − n

2n 4 + 3n + 1 + n
B. −∞

C.

1− 3 3
4
2 −1

D. 1

bằng:
C. 0

D. 1

C. 8

D. 1

(n − 2)7 (2n + 1)3
bằng:
(n 2 + 2)5
B. −∞

n3 + 1
bằng:
n(2n + 1) 2
B. −∞

C.

1
4

D. 1

n3 − 3n 2 + 2
bằng:
n 4 + 4n 3 + 1
B. −∞

C. 0

D. 1

n 3 + 2n + 1
bằng:
n+2
B. −∞

C. 0

D. 1

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

5


Tổng ôn Toán 11

Câu 17. Giá trị của. F = lim

4

n 4 − 2n + 1 + 2n
3

3n3 + n − n

Câu 18. Cho dãy số un với u=
n
A. −∞ .

C.

( n − 1)

10
n4 + n2 + 1

D. 1

2n + 2
. Chọn kết quả đúng của lim un là:
n + n2 − 1

B. 10 .

Câu 20. Tính giới hạn: lim

C. 1 .

D. +∞ .

C. 0 .

D. −∞ .

C. −1

1
D. .
2

2
C. .
3

D. 1 .

C. 2 .

D.

n +1 − 4
n +1 + n
B. 0 .

A. 1 .

1 + 3 + 5 + .... + ( 2n + 1)
3n 2 + 4

1
B. .
3

A. 0 .

Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3 +

n2 − 1 1
.

3 + n 2 2n

B. 3 .

A. 4 .
Câu 23. Giá trị của D = lim
bằng:
A. +∞

C. Đáp án khác

B. −∞

5
A. − .
2

1
.
2

ak n k + ... + a1n + a0
(Trong đó k , p là các số nguyên dương; ak bp ≠ 0 ).
bp n p + ... + b1n + b0

Câu 24. Kết quả đúng của lim

D. 1

n−2

2−5
là:
3n + 2.5n

B. −

1
.
50

5
.
2

D. −

C. 0 .

D. 1 .

1
3

D. 1

C.

25
.
2

3n − 4.2n −1 − 3
bằng:
3.2n + 4n

A. +∞ .
Câu 26. Giá trị của C = lim
A. +∞

3
3 −1

bằng :

A. +∞ .

Câu 21. Tính giới hạn: lim

3

4

B. 0 .

Câu 19. lim

Câu 25. lim

bằng:

B. −∞

A. +∞

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

B. −∞ .
3.2n − 3n
bằng:
2n +1 + 3n +1

B. −∞

C. −

Câu 27. Giá trị đúng của lim ( 3n − 5n ) là:
A. −∞ .

6

B. +∞ .

C. 2 .

D. −2 .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

3.2n − 3n
bằng:
2n +1 + 3n +1

Câu 28. Giá trị của. K = lim
A. −

1
3

Câu 29. lim

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

B. −∞

C. 2

D. 1

B. 1 .

C. 0

D. −∞ .

1
C. .
4

D. +∞ .

C. 0

D. 1

5n − 1
bằng :
3n + 1

A. +∞ .

4n + 2n +1
bằng :
Câu 30. lim n
3 + 4n + 2
4

1
B. .
2

A. 0 .

3.3n + 4n
bằng:
3n +1 + 4n +1

Câu 31. Giá trị của. C = lim
A. +∞

B.

1
2

Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a < 1; b < 1 . Tìm giới hạn I = lim
B. −∞

A. +∞

C.

Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A = lim

1− b
1− a

D. 1

ak .n k + ak −1n k −1 + ... + a1n + a0
với ak bp ≠ 0
bp .n p + bp −1n p −1 + ... + b1n + b0

B. −∞

A. +∞

1 + a + a 2 + ... + a n
.
1 + b + b 2 + ... + b n

.:

C. Đáp án khác

D. 1

C. −2 .

D. −∞ .

C. 3

D. 1

1
2

D. 1

C. 0

D. 1

1
2

D. 1




Câu 34. lim  n 2 sin
− 2n3  bằng:
5



A. +∞ .

B. 0 .

Câu 35. Giá trị của.=
M lim

(

Câu 36. Giá trị của.
=
H lim

)

n 2 + n + 1 − n bằng:

B. −∞

A. +∞

Bài 40. Giá trị=
của K lim n

C.

)

(

A. +∞

2n 2 + 1 − n bằng:

B. −∞

(

A. +∞
Câu 38. Giá trị đúng của lim
A. +∞ .

)

n 2 + 6n − n bằng:

B. −∞

A. +∞

Câu 37. Giá trị=
của B lim

(

)

n 2 + 1 − n bằng:

B. −∞

(

C.

)

n 2 − 1 − 3n 2 + 2 là:

B. −∞ .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. 0 .

D. 1 .
7


Tổng ôn Toán 11
A. +∞

Câu 40. Giá trị của=
B lim

)

(

Câu 39. Giá trị của
=
A lim

n 2 + 6n − n bằng:

B. −∞

(

A. +∞
Câu 41. Giá trị của=
D lim

B. −∞
n 2 + 2n − 3 n 3 + 2n 2

1
12

(

3

Câu 44. Giá trị của.
=
K lim

Câu 45. Giá trị của.
=
N lim

(

3

C. 0

3

C. −

Câu 47. Giá trị =
của. H lim n

(

)

(

A. +∞

5
12

D. 1

3

C. 0

D. 1

C. 1 .

D. +∞ .

)

n + 1 − n − 1  là:


)

8n3 + n − 4n 2 + 3 bằng:

B. −∞

(

)

D. 1

n3 + 3n 2 + 1 − n bằng:

B. 0 .

A. +∞

D. 1

n3 + n 2 − 1 − 3 4n 2 + n + 1 + 5n bằng:

Câu 46. Giá trị đúng của lim  n

A. −1 .

C. 0

4n 2 + 1 − 3 8n3 + n bằng:

B. −∞

A. +∞

D. 1

)

B. −∞

A. +∞

1
3

)

(
(

D. 3

1 − n 2 − 8n3 + 2n bằng:

B. −∞

A. +∞

C. 0

C.

B. −∞

Câu 43. Giá trị của.
=
N lim

D. 1

) bằng:

B. −∞

Câu 42. Giá trị của. =
M lim

Câu 48. Giá trị của
=
A lim

)

C. 3

n3 + 9n 2 − n bằng:

3

(

A. +∞

A. −

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

C. −

)

2
3

D. 1

n 2 + 2n + 2 + n bằng:

B. −∞

C. 2

D. 1

B. 1 .

C. +∞ .

D. −∞ .

2n3 + sin 2n − 1
bằng:
n3 + 1
B. −∞

C. 2

D. 1

C. 0

D. 1

Câu 49. lim 5 200 − 3n5 + 2n 2 bằng :
A. 0 .
Câu 50. Giá trị của. A = lim
A. +∞
Câu 51. Giá trị của. B = lim
A. +∞

8

n

n!

n 3 + 2n

B. −∞

bằng:

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Câu 52. Giá trị của. D = lim
A. +∞

n +1
n 2 ( 3n 2 + 2 − 3n 2 − 1)
B. −∞

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

bằng:
2
3

C.

D. 1

Câu 53. Giá trị của.
=
E lim( n 2 + n + 1 − 2n) bằng:
A. +∞

=
F lim
Câu 54. Giá trị của.
A. +∞

B. −∞

(

)

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. Đáp án khác

D. 1

n + 1 + n bằng:

B. −∞

Câu 55. Giá trị của.
=
H lim( k n 2 + 1 − n 2 − 1) bằng:
p

A. +∞

B. −∞

Câu 56. Tính giới hạn của dãy=
số un
A. +∞

B. −∞

Câu 57. Tính giới hạn của dãy số un =
A. +∞

1
1
1
:
+
+ ... +
2 1+ 2 3 2 +2 3
(n + 1) n + n n + 1

C. 0

(n + 1) 13 + 23 + ... + n3
:
3n3 + n + 2

B. −∞

C.

B. −∞

Câu 59. Tính giới hạn của dãy số un =
A. +∞

1
9

D. 1

n(n + 1)
1
1
1
.:
)(1 − )...(1 − ) trong đó Tn =
2
T1
T2
Tn

Câu 58. Tính giới hạn của dãy số un =−
(1
A. +∞

D. 1

C.

1
3

D. 1

23 − 1 33 − 1 n3 − 1
.
....
23 + 1 33 + 1 n3 + 1

B. −∞

2
3

D. 1

C. 3

D. 1

C.
2k − 1
2k
k =1
n

Câu 60. Tính giới hạn của dãy số un = ∑
A. +∞

B. −∞

Câu 61. Tính giới hạn của dãy số un = q + 2q 2 + ... + nq n với q < 1
A. +∞

B. −∞

C.

q

(1− q )

2

.:
D.

q

(1+ q )

2

n

n
k =1 n + k

Câu 62. Tính giới hạn của dãy số un = ∑
A. +∞

B. −∞

Câu 63. Tính giới hạn của dãy số B = lim
A. +∞

2

C. 3
3

B. −∞

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

D. 1

n 6 + n + 1 − 4 n 4 + 2n − 1
(2n + 3) 2

C. 3

D.

−3
4

9


Tổng ôn Toán 11

Câu 64. Tính giới hạn của dãy
số C lim
=

4n 2 + n + 1 − 2n

B. −∞

A. +∞

Câu 65. Tính giới hạn của dãy=
số D lim

Câu 66. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1 =

(

D.

n 2 + n + 1 − 2 3 n3 + n 2 − 1 + n

C. −

)

1
6

1
4

D. 1

1
, xn +1 = xn2 + xn ,∀n ≥ 1
2

1
1
1
. Tính lim S n .
+
+ +
x1 + 1 x2 + 1
xn + 1

B. −∞

A. +∞

Câu 67. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk =
Tìm lim un với un=
A. +∞

)

C. 3

B. −∞

A. +∞

Đặt S=
n

(

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

n

C. 2

D. 1

k
1 2
+ + ... +
2! 3!
(k + 1)!

n
x1n + x2n + ... + x2011
.

B. −∞

C. 1 −

1
2012!

D. 1 +

1
2012!

u0 = 2011
u3

Câu 68. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 
1 . Tìm lim n .
un + 2
n
1
un +=
un

A. +∞

B. −∞

Câu 69. Cho dãy x > 0 xác định như sau: f ( x) =
A. +∞

B. −∞

Câu 70. Tìm lim un biết un =
A. +∞

C. 3
x +1 −1
. Tìm ( 0; +∞ ) .
x
C. 2010

D. 1

D. 1

n. 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
2n 2 + 1

B. −∞

C.

1
2

D. 1

 3 x − 2 + 2x −1
khi x ≠ 1

Câu 71. Tìm lim un biết f ( x) = 
x −1
3m − 2
khi x =
1

A. +∞

B. −∞

3

C. 2

D.

6
2

 x +1 −1
khi x > 0

Câu 72. Tìm lim un biết f ( x) = 
x
2 x 2 + 3m + 1 khi x ≤ 0

A. +∞

10

B. −∞

C. 2

D. 1

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

 2x − 4 + 3
khi x ≥ 2

Câu 73. Tìm lim un biết f ( x) = 
trong đó x ≠ 1 .
x +1
khi x < 2
 2
 x − 2mx + 3m + 2
B. −∞

A. +∞

n

D. 1

C. 3

D. 1

C. 2

D. 1

1

Câu 74. Tìm lim un biết un = ∑

n +k
2

k =1

B. −∞

A. +∞

1
3

C.

Câu 75. Tìm lim un biết un = 2 2... 2

n dau can

B. −∞

A. +∞

f ( x) lim+
Câu 76. Gọi g ( x) ≠ 0, ∀x ≤ 2 là dãy số xác định bởi • . Tìm lim=
+
x→2

B. −∞

A. +∞

C.
2

4
3

x→2

(

)

2 x −=
4 + 3 3.
D. 1

2

1

 1
 1
Câu 77. Cho dãy số A=  x12 + x1 x2  +  x1 x2 + x22  + x12 x22 + 3 > 0 được xác định như sau
2

 4
 2

⇔ x1 =
x2 .
Đặt x ≤

3
0.
. Tìm ⇔ x3 + 2 x − 3 3 − 2 x − 4 =
2

B. −∞

A. +∞

C.

1
2

D. 1

Câu 78. Cho a, b ∈   , (a, b) =1; n ∈ {ab + 1, ab + 2,...} . Kí hiệu rn là số cặp số (u , v) ∈   ×   sao cho

=
n au + bv . Tìm lim

n →∞

A. +∞

rn
1
.
=
n ab

B. −∞

C.

1
ab

D. ab − 1

1

u1 = 2
Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi : 
. Tìm kết quả đúng của lim un .
1
un +1
, n ≥1
=
2 − un


A. 0 .

Câu 80. Tìm giá trị đúng của=
S
A. 2 + 1 .

C. −1 .

B. 1 .

D.

1
2

D.

1
.
2

1
 1 1 1

2 1 + + + + ... + n + .......  .
2
 2 4 8


B. 2 .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. 2 2 .

11


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

 1
1
1 
Câu 81. Tính giới hạn: lim 
+
+ .... +

n ( n + 1) 
1.2 2.3

A. 0

3
C. .
2

B. 1 .

D. Không có giới hạn.

 1

1
1
Câu 82. Tính giới hạn: lim  +
+ .... +

n ( 2n + 1) 
1.3 3.5

B. 0 .

A. 1 .

2
C. .
3

D. 2 .

C. 0 .

2
D. .
3

C. 1 .

D.

3
.
2

D.

3
.
2

 1

1
1
Câu 83. Tính giới hạn: lim  +
+ .... +

n ( n + 2) 
1.3 2.4

3
A. .
4

B. 1 .

 1
1
1 
Câu 84. Tính giới hạn: lim  +
.
+ ... +
n(n + 3) 
1.4 2.5
A.

11
.
18

B. 2 .

1 
1 
1 

Câu 85. Tính giới hạn: lim 1 − 2  1 − 2  ... 1 − 2   .
 2   3   n  
A. 1 .

B.

1
.
2

C.

1
.
4

Tài liệu này thuộc Series Tổng ôn Toán 11
DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP

VIP
KYS






Nhận toàn bộ tài liệu tự động qua email
Nhận toàn bộ các Series giải chi tiết 100%
Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K
Được nhận những tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP

Đăng kí VIP tại bit.ly/vipkys

Contact us:
Hotline: 099.75.76.756
Admin: fb.com/khactridg
Email: tailieukys@gmail.com
Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys
Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser
12

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

HƯỚNG DẪN GIẢI

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp:

• Để chứng minh lim un = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao
cho un < a ∀n > na .

0.
• Để chứng minh lim un = l ta chứng minh lim(un − l ) =
• Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên

nM sao cho un > M ∀n > nM .
• Để chứng minh lim un = −∞ ta chứng minh lim(−un ) = +∞ .
• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu lim un = +∞ , thì lim un = +∞ .

B. Nếu lim un = +∞ , thì lim un = −∞ .

C. Nếu lim un = 0 , thì lim un = 0 .

D. Nếu lim un = −a , thì lim un = a .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Theo nội dung định lý.
Câu 2. Giá trị của lim
A. 0

1
bằng:
n +1
B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na >
Câu 3. Giá trị của lim
A. 0

1
1
1
1
− 1 ta có
= 0.
<
< a ∀n > na nên có lim
a
n +1
n + 1 na + 1

1
(k ∈ *) bằng:
nk
B. 2

C. 4

D. 5

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na >
Câu 4. Giá trị của lim
A. 0

k

1
1
1
1
ta có k < k < a ∀n > na nên có lim k = 0 .
a
n
n
na

sin 2 n
bằng:
n+2
B. 3

C. 5

D. 8

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

13


Tổng ôn Toán 11

Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na >
lim

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

sin 2 n
1
1
1
<
<
< a ∀n > na nên có
− 2 ta có
n + 2 n + 2 na + 2
a

sin 2 n
= 0.
n+2

Câu 5. Giá trị của lim(2n + 1) bằng:
B. −∞

A. +∞

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM >

M −1
2

Ta có: 2n + 1 > 2nM + 1 > M ∀n > nM ⇒ lim(2n + 1) =+∞ .
Câu 6. Giá trị của lim
A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

1 − n2
bằng:
n
B. −∞

Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa

⇔ nM >
Ta có:

C. 0

D. 1

nM2 − 1
>M
nM

M + M2 +4
.
2

n2 − 1
n2 − 1
> M ∀n > nM ⇒ lim
= +∞
n
n

Vậy lim

1 − n2
= −∞ .
n

Câu 7. Giá trị của lim
A. +∞

2
bằng:
n +1
B. −∞

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
2 
Với mọi a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na =  − 1 + 1
a 

Suy ra

2
2
< a ∀n > na ⇒ lim
=
0.
n +1
n +1

Câu 8. Giá trị của lim
A. +∞

cos n + sin n
bằng:
n2 + 1
B. −∞

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có

14

cos n + sin n
1
cos n + sin n
2
0 ⇒ lim
=
0
< 2 mà lim 2 =
2
n
n2 + 1
n
n

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Câu 9. Giá trị của lim
A. +∞

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

n +1
bằng:
n+2
B. −∞

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1

Với mọi số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na =  2 − 1 + 1
a


Ta có:

n +1
n +1
1
<
< a ∀n > na ⇒ lim
=
0.
n+2
n+2
n +1

Câu 10. Giá trị của lim
A. +∞
Hướng dẫn giải:

3n3 + n
bằng:
n2
B. −∞

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

Chọn A.
M 
Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn=
nM   + 1
3

Ta có:

3n3 + n
1
= 3n + > M ∀n > nM
2
n
n

Vậy lim

3n3 + n
= +∞ .
n2

Câu 11. Giá trị của lim

2−n
bằng:
n +1

B. −∞

A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

2

1

Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn nM >  + 3  − 1
a


Ta có:

n−2
=
1+ n

Suy ra lim

n +1 −

3
> 1 + n − 3 > M ∀n > nM
n +1

2−n
= −∞ .
n +1

Câu 12. Giá trị của A = lim
A. +∞

2n + 1
bằng:
n−2
B. −∞

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na >
Ta có:

2n + 1
−=
2
n−2

5
+2>2
a

5
5
<
< a ∀n > na
n − 2 na − 2

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

15


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

Vậy A = 2 .

Câu 13. Giá trị của B = lim
A. +∞

2n + 3
bằng:
n2 + 1
B. −∞

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa

⇔ na >
Ta có:

2na + 3
na2 + 1

1 + a 2 − 4a + 13
a

2n + 3
< a ∀n > na ⇒ B =
0.
n2 + 1

n2 + 1
bằng:
Câu 14. Giá trị của C = lim
n +1
A. +∞
B. −∞

C. 0

D. 1

1
2

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na >
Ta có:

1
−1
a

1
n2 + 1
n+2
−1 <
−1 <
< a ∀n > na
n +1
n +1
na + 1

Vậy C = 1 .
Câu 15. Giá trị của A = lim
A. +∞

n−2 n
bằng:
2n

B. −∞

C.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 16. Giá trị của B = lim
A. +∞

n sin n − 3n 2
bằng:
n2

B. −∞

C. −3

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 4

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 17. Giá trị của C = lim
A. +∞

1
bằng:
n +2 n +7
2

B. −∞

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 18. Giá trị của D = lim
A. +∞
16

4n + 1
n 2 + 3n + 2

B. −∞

bằng:

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Câu 19. Giá trị của lim
A. +∞

an
= 0 bằng:
n!
B. −∞

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi m là số tự nhiên thỏa: m + 1 > a . Khi đó với mọi n > m + 1

an
Ta có: 0 <
=
n!
 a 
Mà lim 

 m +1 

a a a
a
a a  a 
. ... .
... <
.

1 2 m m +1 n
m!  m + 1 
m

n−m

= 0 . Từ đó suy ra: lim

n−m

an
= 0.
n!

Câu 20. Giá trị của lim n a với a > 0 bằng:
A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Nếu a = 1 thì ta có đpcm

B. −∞

1 +
• Giả sử a > 1 . Khi đó: a =


(

n

C. 0

)

n

a −1  > n


(

n

D. 1

)

a −1

Suy ra: 0 < n a − 1 <

a
→ 0 nên lim n a = 1
n

• Với 0 < a < 1 thì

1
1
> 1 ⇒ lim n = 1 ⇒ lim n a = 1 .
a
a

Tóm lại ta luôn có: lim n a = 1 với a > 0 .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

17


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC
GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:

• Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

• Khi tìm lim

f ( n)
ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và
g ( n)

mẫu.

• Khi tìm lim  k f (n) − m g (n)  trong đó lim f (n) = lim g (n) = +∞ ta thường tách và sử dụng
phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:

(

a − b )( a + b ) =
a − b;

( 3 a − 3 b ) ( 3 a2 + 3 ab + 3 b2 ) =
a−b

• Dùng định lí kẹp: Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
• Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
• Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa
cao nhất của tử và của mẫu.
• Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của
tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Câu 1. Cho dãy số ( un ) với un =
1
.
4
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

A.

B.

n
u
1
và n +1 < . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau:
n
4
2
un

1
.
2

C. 0 .

D. 1 .

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có n ≤ 2n , ∀n ∈ 
1
n
n
n 1
Nên ta có : n ≤ 2 ⇔ n ≤ 1 ⇔ n n ≤ n ⇔ n ≤  
2
2 .2
2
4 2

n

n

n

n

1
1
Suy ra : 0 < un ≤   , mà lim   =
0 ⇒ lim un =
0.
2
2
n cos 2n 

Câu 2. Kết quả đúng của lim  5 − 2
 là:
n +1 


A. 4.

B. 5.

C. –4.

D.

1
.
4

Hướng dẫn giải:
Chọn B.


n
n cos 2n
n
≤ 2
≤ 2
n +1
n +1
n +1

18

2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
Ta có lim −

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

n
1
1
n
=
0 ⇒
lim − .
0 ; lim − 2
=
=
2
n +1
n +1
n 1+1/ n
2

n cos 2n 
 n cos 2n 

⇒ lim  2
0 ⇒ lim  5 − 2
5.
=
=
n +1 
 n +1 


Câu 3. Giá trị của. A = lim

2n + 1
bằng:
1 − 3n
B. −∞

A. +∞

C. −

2
3

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 4. Giá trị của. B = lim

4n 2 + 3n + 1
bằng:
(3n − 1) 2
B. −∞

A. +∞

C.

4
9

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 5. Kết quả đúng của lim
A. −

− n 2 + 2n + 1
3n 4 + 2



2
B. − .
3

3
.
3

1
C. − .
2

D.

1
.
2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

lim

− n 2 + 2n + 1
3n 4 + 2

( −1 + 2 / n + 1/ n ) =
= lim
2

3 + 2 / n2

Câu 6. Giới hạn dãy số ( un ) với un =
A. −∞ .

−1 + 0 + 0
3
= −
.
3
3+ 0

3n − n 4
là:
4n − 5

B. +∞ .

C.

3
.
4

D. 0 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
lim un = lim

3n − n 4
3 / n3 − 1
= lim n3
= −∞ .
4n − 5
4−5/ n

Vì lim n3 = +∞;lim

3 / n3 − 1
1
=− .
4−5/ n
4

Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim
A. 5 .

B.

n 3 − 2n + 5
:
3 + 5n

2
.
5

C. −∞ .

D. +∞ .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

19


Tổng ôn Toán 11

(1 − 2 / n

n 3 − 2n + 5
lim
= lim n .
3 + 5n

Vì lim n = +∞;lim

2

+ 5 / n3 )

3/ n+5

(1 − 2 / n

2

+ 5 / n3 )

=

3/ n+5

Câu 8. Giá trị của A = lim

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số
= +∞ .

1
.
5

2n 2 + 3n + 1
bằng:
3n 2 − n + 2

B. −∞

A. +∞

C.

2
3

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

3 1
2+ + 2
2
n n
=
=
Ta có: A lim
.
1 2
3− + 2 3
n n
Câu 9. Giá trị của B = lim

n 2 + 2n
n − 3n 2 + 1

bằng:

B. −∞

A. +∞

1
1− 3

C. 0

D.

C. 16

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
n2 + n
1+
1
n
n
Ta có: B lim=
=
lim
=
2
1 1− 3
n − 3n + 1
1− 3 + 2
n
n

( 2n
Câu 10. Giá trị của C = lim

2

+ 1) ( n + 2 )
4

9

n17 + 1
B. −∞

A. +∞

bằng:

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: C

1
2
1
2
(2 + 2 ) 4 .(1 + )9
n8 (2 + 2 ) 4 .n9 (1 + )9
n
n
n
n
lim =
lim
16
=
1
1
17
1 + 17
n (1 + 17 )
n
n

Câu 11. Giá trị của D = lim
A. +∞

n 2 + 1 − 3 3n3 + 2
4

2n 4 + n + 2 − n

B. −∞

bằng:

C.

1− 3 3
4
2 −1

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
Ta có: D

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số


1
2 
n  1+ 2 − 3 3 + 3 
n
n  1− 3 3

=
.
lim
4


2 −1
1
2
n  4 2 + 3 + 4 − 1
n n



Câu 12. Giá trị của C = lim

4

3n3 + 1 − n

2n 4 + 3n + 1 + n

bằng:

B. −∞

A. +∞

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

3 1 1
+ −
n 5 n8 n
Chia cả tử và mẫu cho
=
=
0.
n 2 ta có được C lim
3 1 1
2+ 3 + 4 +
n n
n
4

(n − 2)7 (2n + 1)3
Câu 13. Giá trị của. F = lim
bằng:
(n 2 + 2)5
B. −∞

A. +∞

C. 8

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
7

3

1
 2 
1 −   2 + 
n
 n 
Ta có: F lim
8
=
=
5
5 

1 + 2 
 n 

Câu 14. Giá trị của. C = lim
A. +∞

n3 + 1
bằng:
n(2n + 1) 2
B. −∞

C.

1
4

D. 1

n3 − 3n 2 + 2
bằng:
n 4 + 4n 3 + 1
B. −∞

C. 0

D. 1

n 3 + 2n + 1
bằng:
n+2
B. −∞

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 15. Giá trị của. D = lim
A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 16. Giá trị của. E = lim
A. +∞
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

21


Tổng ôn Toán 11

4

Câu 17. Giá trị của. F = lim

n 4 − 2n + 1 + 2n
3

3n3 + n − n

B. −∞

A. +∞

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

bằng:
C.

3

3
3 −1

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 18. Cho dãy số un với u=
n
A. −∞ .

( n − 1)

2n + 2
. Chọn kết quả đúng của lim un là:
n + n2 − 1
4

B. 0 .

C. 1 .

D. +∞ .

C. 0 .

D. −∞ .

C. −1

1
D. .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

2n + 2
n + n2 − 1

un lim ( n − 1)
=
Ta có: lim

4

( n − 1) ( 2n + 2 )
2

= lim
= lim

n4 + n2 − 1
2n 3 − 2n 2 − 2n + 2
n4 + n2 − 1

`
2 2 2 2
− − +
n n 2 n3 n 4 0.
=
lim
1 1
1+ 2 − 4
n n

Câu 19. lim

10
n4 + n2 + 1

bằng :

A. +∞ .

B. 10 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: lim

10
n4 + n2 + 1

Nhưng lim 1 +
Nên lim

= lim
n2

10
1
1
1+ 2 + 4
n
n

1 1
10
+ 4 =
1 và lim 2 = 0
2
n n
n

10
n4 + n2 + 1

= 0.

Câu 20. Tính giới hạn: lim
A. 1 .

n +1 − 4
n +1 + n
B. 0 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
22

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

1 1 4
+ 2 −
n +1 − 4
n
n
n= 0= 0 .
= lim
Ta có: lim
1
1 1
n +1 + n
+ 2 +1
n n
Câu 21. Tính giới hạn: lim

1 + 3 + 5 + .... + ( 2n + 1)
3n 2 + 4

1
B. .
3

A. 0 .

2
C. .
3

D. 1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: lim

1 + 3 + 5 + .... + ( 2n + 1)
1
1
n2
=
lim
=
lim
= .
2
2
4
3n + 4
3n + 4
3+ 2 3
n

Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3 +
A. 4 .

n2 − 1 1

.
3 + n 2 2n

B. 3 .

C. 2 .

D.

1
.
2

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
1− 2
n2 − 1 1
n − 1 =
lim 3 +
− n = lim 3 +
2
3
3+ n 2
2n
1
+
n2

1
3+ −0= 2
1

ak n k + ... + a1n + a0
(Trong đó k , p là các số nguyên dương; ak bp ≠ 0 ).
Câu 23. Giá trị của D = lim
bp n p + ... + b1n + b0

bằng:
A. +∞

B. −∞

C. Đáp án khác

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta xét ba trường hợp sau

a
a
ak + k −1 + ... + 0k
n
n
=
mẫu cho n k ta có: D lim
• k > p . Chia cả tử và =
bp
b
+ ... + 0k
p−k
n
n
a
a
ak + k −1 + ... + 0k
n
n
=
mẫu cho n k ta có: D lim
• k = p . Chia cả tử và =
b
bk + ... + 0k
n

+∞ if ak bp > 0
.

−∞ if ak bp < 0

ak
.
bk

ak
a
+ ... + 0p
p−k
n
n
=
0.
mẫu cho n p : D lim
• k < p . Chia cả tử và =
b0
bp + ... + p
n

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

23


Tổng ôn Toán 11

Câu 24. Kết quả đúng của lim
5
A. − .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

2 − 5n − 2
là:
3n + 2.5n

B. −

1
.
50

5
.
2

D. −

C. 0 .

D. 1 .

C.

25
.
2

2 1
1

0−
n
2 − 5n − 2
25 = − 1 .
= lim 5 n 25 =
lim n
n
3 + 2.5
0+2
50
3
  + 2.
5
3n − 4.2n −1 − 3
Câu 25. lim
bằng:
3.2n + 4n

A. +∞ .

B. −∞ .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
n
n

2
1 
3 1 − 4.   − 3.   

3
 3  
3n − 4.2n −1 − 3
3n − 2.2n − 3

=
lim=
lim
lim
3.2n + 4n
3.2n + 4n
  2 n 
n
4  3.   + 1
 4



n

n
n

2
1 


1
4.
3.
 
  
n 

3
3 
3 
=
lim
0.
 
n
 2

4
 3.   + 1
 4


3.2n − 3n
Câu 26. Giá trị của C = lim n +1 n +1 bằng:
2 +3

A. +∞

B. −∞

C. −

1
3

D. 1

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
n

2
3.   − 1
n
n
3.2 − 3
1
3
Ta có: C = lim n +1 n +1 = lim  n
= −
2 +3
3
2
2.   + 3
3

Câu 27. Giá trị đúng của lim ( 3n − 5n ) là:
A. −∞ .

B. +∞ .

C. 2 .

D. −2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
  3 n 
lim ( 3n − 5n ) = lim 5n    − 1 = −∞ .
 5 




24

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 13. Giới hạn dãy số

  3 n 
Vì lim 5 = +∞;lim    − 1 = −1 .
 5 



n

Câu 28. Giá trị của. K = lim
1
3
Hướng dẫn giải:

A. −

3.2n − 3n
bằng:
2n +1 + 3n +1

B. −∞

C. 2

D. 1

B. 1 .

C. 0

D. −∞ .

Chọn A.
n

2
3  −1
1
3
K = lim  n
= −
3
2
2  + 3
3
5n − 1
Câu 29. lim n
bằng :
3 +1

A. +∞ .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

n

1
1−  
n
5 −1
5
Ta có: lim n
= lim
n
n
3 +1
3 1
+
   
5 5
n
n
n
n
  1 n 
3 1
3 1
Nhưng lim 1 −    =
0 và   +   > 0 ∀n ∈ *
1 > 0 , lim   +   =
 5 
5 5
5 5



Nên lim

5n − 1
= +∞ .
3n + 1

4n + 2n +1
Câu 30. lim n
bằng :
3 + 4n + 2
4

1
B. .
2

A. 0 .

1
C. .
4

D. +∞ .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
n

Ta có: lim 4

n

4n + 2n +1
3n + 4n + 2

1
1 + 2.  
1− n
1
1+ 2
2
=
lim
=
. = lim
4
n
n
2
4 3
3
2
2
  +4
  +4
4
4
n

1
3
Vì=
lim   0;=
lim   0.
2
4

Câu 31. Giá trị của. C = lim

3.3n + 4n
bằng:
3n +1 + 4n +1

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×