Tải bản đầy đủ

nhị thức newton 12 siêu hay

TỔNG ÔN TOÁN 11

VIP

CHỦ ĐỀ 7. NHỊ THỨC NEWTON
A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n∈N và với mọi cặp số a, b ta có:
n

( a + b) =
∑ Cnk a n−k bk
n

k =0

2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a n − k b k ( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cnk = Cnn − k
Cnk −1 + Cnk =

Cnk+1

0
n
5) C=
C=
1,
n
n

* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ
thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ... + Cnn ⇒ Cn0 + Cn1 + ... + Cnn =
2n
(x–1)n = Cn0 x n − Cn1 x n −1 + ... + (−1) n Cnn ⇒ Cn0 − Cn1 + ... + (−1) n Cnn =0
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
* Cn0 + Cn1 + ... + Cnn =
2n
* Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + (−1) n Cnn =0

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ
THỨC NEWTON
Phương pháp:
=
( ax p + bx q )
n

p
=
) ( bx q )
∑ Cnk ( ax
n

n−k

k

n


∑C a

=
k 0=
k 0

k
n

n−k

b k x np − pk + qk

m.
Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa: np − pk + qk =
Từ đó tìm k =

m − np
p−q

Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: Cnk a n − k .b k với giá trị k đã tìm được ở trên.
Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

1


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

P ( x ) =( a + bx p + cx q ) được viết dưới dạng a0 + a1 x + ... + a2 n x 2 n .
n

Ta làm như sau:
* Viết P ( x ) =( a + bx p + cx q ) =∑ Cnk a n − k ( bx p + cx q ) ;
n

n

k

k =0

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng ( bx p + cx q ) thành một đa thức theo luỹ thừa
k

của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số ak theo k và n ;
* Giải bất phương trình ak −1 ≤ ak với ẩn số k ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
Câu 1: Trong khai triển ( 2a − b ) , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
5

A. −80 .

C. −10 .

B. 80 .

Câu 2: Trong khai triển nhị thức ( a + 2 )
A. 17 .

n+6

D. 10 .

, ( n ∈  ) . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:

B. 11.

C. 10 .

D. 12 .

Câu 3: Trong khai triển ( 3 x 2 − y ) , hệ số của số hạng chính giữa là:
10

B. −34.C104 .

A. 34.C104 .

C. 35.C105 .

D. −35.C105 .

Câu 4: Trong khai triển ( 2 x − 5 y ) , hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là:
8

A. −22400 .

B. −40000 .

C. −8960 .

D. −4000 .

6

2 

3
Câu 5: Trong khai triển  x +
 , hệ số của x , ( x > 0 ) là:
x

A. 60 .

B. 80 .

C. 160 .

D. 240 .

C. 35.a 4 .b −5 .

D. −35.a 4 .b .

7

1

Câu 6: Trong khai triển  a 2 +  , số hạng thứ 5 là:
b


B. −35.a 6 .b −4 .

A. 35.a 6 .b −4 .

Câu 7: Trong khai triển ( 2a − 1) , tổng ba số hạng đầu là:
6

A. 2a 6 − 6a 5 + 15a 4 .

B. 2a 6 − 15a 5 + 30a 4 .

C. 64a 6 − 192a 5 + 480a 4 .

D. 64a 6 − 192a 5 + 240a 4 .

(

Câu 8: Trong khai triển x − y
A. −16 x y15 + y 8 .

)

16

, tổng hai số hạng cuối là:

B. −16 x y15 + y 4 .

C. 16 xy15 + y 4 .

D. 16 xy15 + y 8 .

6

1 

Câu 9: Trong khai triển  8a 2 − b  , hệ số của số hạng chứa a 9b3 là:
2 


A. −80a 9 .b3 .
2

B. −64a 9 .b3 .

C. −1280a 9 .b3 .

D. 60a 6 .b 4 .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

9

8 

Câu 10: Trong khai triển  x + 2  , số hạng không chứa x là:
x 


A. 4308 .

B. 86016 .

C. 84 .

D. 43008 .

Câu 11: Trong khai triển ( 2 x − 1) , hệ số của số hạng chứa x8 là:
10

A. −11520 .

B. 45 .

C. 256 .

D. 11520 .

Câu 12: Trong khai triển ( a − 2b ) , hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là:
8

A. 1120 .

B. 560 .

C. 140 .

D. 70 .

Câu 13: Trong khai triển ( 3 x − y ) , số hạng chứa x 4 y 3 là:
7

A. −2835 x 4 y 3 .

B. 2835x 4 y 3 .

D. −945 x 4 y 3 .

C. 945x 4 y 3 .

Câu 14: Trong khai triển ( 0,2 + 0,8 ) , số hạng thứ tư là:
5

A. 0, 0064 .

B. 0, 4096 .

C. 0, 0512 .

D. 0, 2048 .

Câu 15: Hệ số của x3 y 3 trong khai triển (1 + x ) (1 + y ) là:
6

A. 20 .

6

C. 36 .

B. 800 .

D. 400 .

Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển ( 3 x + 2 y ) là:
4

B. 6 ( 3 x ) ( 2 y )
2

A. C42 x 2 y 2 .

2

.

C. 6C42 x 2 y 2 .

D. 36C42 x 2 y 2 .

Câu 17: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là
11

3
B. − C11
.

A. C113 .

C. −C115 .

D. C118 .

Câu 18: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x)= (1 − 2 x)10
A. −15360

B. 15360

C. −15363

D. 15363

Câu 19: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: h(=
x) x(2 + 3 x)9
B. 489887

A. 489889

C. −489888

D. 489888

Câu 20: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) = (1 + x)7 + (1 − x)8 + (2 + x)9
A. 29

B. 30

C. 31

D. 32

Câu 21: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x=
) (3 + 2 x)10
A. 103680

B. 1301323

C. 131393

D. 1031831

) x(1 − 2 x)
Câu 22: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: h( x=
7

A. −4608

B. 4608

9

C. −4618

D. 4618

Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f =
( x) (3 x + 1)
8

A. 17010

B. 21303

2

10

C. 20123

2

Câu 24: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x=
)  − 5 x3 
x


A. 1312317

B. 76424

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. 427700

D. 21313
8

D. 700000

3


Tổng ôn Toán 11

12

3 x
Câu 25: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x=
)  + 
 x 2

A.

8

297
512

B.

29
51

C.

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

27
52

D.

97
12

Câu 26: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) = (1 + x + 2 x 2 )10
A. 37845

B. 14131

C. 324234

D. 131239

Câu 27: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) = 8(1 + 8 x) − 9(1 + 9 x)9 + 10(1 + 10 x)10
8

8

A. 8.C80 .88 − C91.98 + 10.C108 .108

B. C80 .88 − C91.98 + C108 .108

C. C80 .88 − 9.C91.98 + 10.C108 .108

D. 8.C80 .88 − 9.C91.98 + 10.C108 .108

Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) = 8(1 + x)8 + 9(1 + 2 x)9 + 10(1 + 3 x)10
A. 22094

B. 139131

C. 130282

D. 21031

Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển ( x3 + xy ) là:
15

A. 2080 .

B. 3003 .

C. 2800 .

D.  3200 .

18

1 

Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển  x 3 + 3  là:
x 


A. C189 .

B. C10
18 .

C. C188 .

D. C183 .

C. –72 .

D. –792 .

Câu 31: Khai triển (1 − x ) , hệ số đứng trước x 7 là:
12

A. 330 .

B. – 33 .

2
( x − )12
Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f ( x) =
x
A. 59136
B. 213012
C. 12373

(x ≠ 0)
D. 139412

1
4 3 17
Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: g ( x) =+
(
x )
3 2
x
A. 24310

B. 213012

C. 12373

( x > 0)

D. 139412
n

 1

Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của  3 + x 5  biết
x

Cnn++41 − Cnn+3 = 7 ( n + 3) .

A. 495

B. 313

C. 1303

D. 13129
n

1

Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức  − ( x + x 2 )  với n là số
x


nguyên dương thoả mãn
Cn3 + 2n =
An2+1 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử).

A. −98

C. −96

B. 98

D. 96

40

1
Câu 36: Trong khai triển f ( x=
)  x + 2  , hãy tìm hệ số của x31
x 


A. 9880

4

B. 1313

C. 14940

D. 1147

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

18

1

Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức  x3 + 3  số hạng độc lập đối với x
x 


A. 9880

B. 1313

C. 14940

D. 48620
12

 x 3
Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển  − 
3 x

A.

55
9

B.

13
2

C.

621
113

D.

1412
3123

Câu 39: Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển ( x3 + xy )

15

A. 300123

B. 121148

C. 3003

D. 1303

Câu 40: Cho đa thức P ( x ) = (1 + x ) + 2 (1 + x ) + ... + 20 (1 + x ) có dạng khai triển là
2

20

P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a20 x 20 .

Hãy tính hệ số a15 .
A. 400995

B. 130414

Câu 41: Tìm số hạng của khai triển
A. 8 và 4536

(

3+ 3 2

B. 1 và 4184

C. 511313

)

D. 412674

9

là một số nguyên
C. 414 và 12

D. 1313

1
x) (2 x + ) 20
Câu 42: Xét khai triển f (=
x
1. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển
A. Tk +1 = C20k .220− k .x 20− k

B. Tk +1 = C10k .220− k .x 20− 2 k

C. Tk +1 = C20k .220− 4 k .x 20− 2 k

D. Tk +1 = C20k .220− k .x 20− 2 k

2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x
1
A. C20
.210

10 10
B. A20
.2

10 4
C. C20
.2

10 10
D. C20
.2

Câu 43: Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f ( x)= (3 x 2 + 2 x + 1)10 .
A. 8089

B. 8085

C. 1303

D. 11312

Câu 44: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển thành đa thức của (2 − 3 x) 2 n , biết n là số nguyên dương thỏa
mãn : C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 =
1024 .
A. 2099529

B. −2099520

C. −2099529

D. 2099520

Câu 45: Tìm hệ số của x 9 trong khai triển f ( x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + ... + (1 + x)14
A. 8089

B. 8085

C. 3003

D. 11312

Câu 46: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển đa thức của: x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3 x )
5

A. 3320

B. 2130

C. 3210

2
Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức f ( x) =
1 + x (1 − x ) 

A. 213

10

B. 230

C. 238

D. 1313
8

D. 214

Câu 48: Đa thức P ( x ) = (1 + 3 x + 2 x 2 ) = a0 + a1 x + ... + a20 x 20 . Tìm a15
10

A. a15 = C1010 .C105 .35 + C109 .C96 .33 + C108 .C87 .3.
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

5


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

B. a15 = C1010 .C105 .25 + C109 .C96 .26 + C108 .C87 .27

C. a15 = C1010 .C105 .35.25 + C109 .C96 .33.26 + C108 .C87 .27
D. a15 = C1010 .C105 .35.25 + C109 .C96 .33.26 + C108 .C87 .3.27

2
Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ( x3 − ) n , biết rằng Cnn −1 + Cnn − 2 =
78 với
x

x>0
A. −112640

C. −112643

B. 112640

D. 112643

Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n −3 là hệ số của x 3n −3 trong khai triển thành đa thức của

( x 2 + 1) n ( x + 2) n . Tìm n để a3n −3 = 26n
A. n=5

B. n=4

C. n=3

D. n=2
n

 1

Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của  4 + x 7  , biết
x


C21n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1 .

A. 210

B. 213

C. 414

D. 213

Câu 52: Cho n ∈  * và (1 + x) n = a0 + a1 x + ... + an x n . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) sao

ak −1 ak ak +1
= =
. Tính n = ? .
2
9
24
A. 10
B. 11

cho

C. 20

D. 22

1 2
Câu 53: Trong khai triển của ( + x)10 thành đa thức
3 3
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a9 x 9 + a10 x10 , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 ≤ k ≤ 10 ).

A. a10 = 3003

210
315

B. a5 = 3003

210
315

C. a4 = 3003

210
315

D. a9 = 3003

210
315

729 . Tìm n và số lớn
Câu 54: Giả sử (1 + 2 x) n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n , biết rằng a0 + a1 + ... + an =
nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .
A. n=6, max {ak=
} a=4 240

B. n=6, max {ak=
} a=6 240

C. n=4, max {ak=
} a=4 240

D. n=4, max {ak=
} a=6 240

Câu 55: Cho khai triển (1 + 2 x) n = a0 + a1 x + ... + an x n , trong đó n ∈  * . Tìm số lớn nhất trong các số

a
a1
+ ... + nn =
4096 .
2
2
C. 130272
D. 130127

a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0 +
A. 126720

6

B. 213013

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

n

∑a C b
k =0

k

k
n

k

.

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
n
Cn0 a n + a n −1bCn1 + a n − 2b 2Cn2 + ... + b nCnn .
(a + b)=

Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
* Cnk = Cnn − k
* Cn0 + Cn1 + ... + Cnn =
2n
n

*

∑ (−1) C
k

k =0

n

*=
∑ C22nk

k
n

0
=

n

=
k 0=
k 0
n

*

∑C
k =0

k
n

1 2n k
∑ C2 n
2k 0
=

C22nk −1
∑=

a k= (1 + a ) n .

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và
biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
Câu 1: Tổng T =   Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + ... + Cnn bằng:
A. T = 2n .

B. T = 2n – 1 .

C. T=

2n + 1 .

D. T = 4n .

Câu 2: Tính giá trị của tổng S = C60 + C61 + .. + C66 bằng:
A. 64 .

B. 48 .

C. 72 .

D. 100 .

Câu 3: Khai triển ( x + y ) rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S = C50 + C51 + ... + C55
5

A.  32 .

B. 64 .

C. 1 .

D. 12 .

Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ... + 2n Cnn =
243
A. 4

B. 11

C. 12

D. 5

Câu 5: Khai triển ( x + y ) rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S = C50 + C51 + ... + C55
5

A.  32 .

B. 64 .

C. 1 .

D. 12 .

Câu 6: Khai triển (1 + x + x 2 + x3 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a15 x15
5

a) Hãy tính hệ số a10 .
A. a10 = C50 . + C54 + C54C53

B. a10 = C50 .C55 + C52C54 + C54C53

C. a10 = C50 .C55 + C52C54 − C54C53

D. a10 = C50 .C55 − C52C54 + C54C53

b) Tính tổng T = a0 + a1 + ... + a15 và S = a0 − a1 + a2 − ... − a15
A. 131

B. 147614

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. 0

D. 1

7


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

Câu 7: Khai triển (1 + 2 x + 3 x 2 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a20 x 20
10

a) Hãy tính hệ số a4
A. a4 = C100 .24

B. a4 = 24 C104

C. a4 = C100 C104

D. a4 = C100 .24 C104

C. S = 17 20

D. S = 710

b) Tính tổng S = a1 + 2a2 + 4a3 + ... + 220 a20
A. S = 1710

B. S = 1510

1 0 1 1 1 3 1 4
(−1) n n
Cn − Cn + Cn − Cn + ... +
Cn
Câu 8: Tính tổng sau: S=
2
4
6
8
2(n + 1)
A.

1
2(n + 1)

B. 1

C. 2

D.

1
(n + 1)

Câu 9: Tính tổng sau:=
S Cn1 3n −1 + 2Cn2 3n − 2 + 3Cn3 3n −3 + ... + nCnn
A. n.4n −1

B. 0

D. 4n −1

C. 1

1
1
1
Câu 10: Tính các tổng sau: S1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... +
Cnn
n +1
2
3
2n +1 + 1
A.
n +1

2n +1 − 1
B.
n +1

2n +1 − 1
+1
C.
n +1

2n +1 − 1
−1
D.
n +1

C. 2n.2n +1

D. n.2n −1

Câu 11: Tính các tổng sau: S 2 = Cn1 + 2Cn2 + ... + nCnn
A. 2n.2n −1

B. n.2n +1

Câu 12: Tính các tổng sau:=
S3 2.1.Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + ... + n(n − 1)Cnn .
A. n(n − 1)2n − 2
Câu 13: Tính tổng S = Cn0 +

B. n(n + 2)2n − 2

A. S =

4n +1 + 2n +1
=
−1
B. S
n +1

4n +1 − 2n +1
+1
n +1

Câu 14: Tính tổng S = Cn0 +

3n +1 − 2n +1
n +1

D. n(n − 1)2n + 2

32 − 1 1
3n +1 − 1 n
Cn + ... +
Cn
2
n +1

4n +1 − 2n +1
A. S =
n +1
=
C. S

C. n(n − 1)2n −3

=
D. S

4n +1 − 2n +1
−1
n +1

22 − 1 1
2n +1 − 1 n
Cn + ... +
Cn
2
n +1
B. S =

3n − 2n +1
n +1

C. S =

3n +1 − 2n
n +1

D. S =

3n +1 + 2n +1
n +1

Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − ... + (2n + 1)2n C22nn++11 =
2005
A. n = 1001

B. n = 1002

C. n = 1114

D. n = 102

Câu 16: Tính tổng 1.30.5n −1 Cnn −1 + 2.31.5n − 2 Cnn − 2 + ... + n.3n −150 Cn0
A. n.8n −1

B. (n + 1).8n −1

C. (n − 1).8n

D. n.8n

Câu 17: Tính tổng =
S 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + ... + n(n − 1)Cnn
A. n(n + 1)2n − 2

8

B. n(n − 1)2n − 2

C. n(n − 1)2n

D. (n − 1)2n − 2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Câu 18: Tính tổng ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + ... + ( Cnn )
2

2

2

B. C2nn−1

A. C2nn

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

2

C. 2C2nn

D. C2nn−−11

Câu 19: Tính tổng sau: S=
5n Cn0 + 5n −1.3.Cnn −1 + 32.5n − 2 Cnn − 2 + ... + 3n Cn0
1
B. 1 + 8n

A. 28n

C. 8n −1

D. 8n

0
2
2010
Câu 20: S=
C2011
+ 22 C2011
+ ... + 22010 C2011
2

A.

32011 + 1
2

B.

3211 − 1
2

C.

32011 + 12
2

D.

32011 − 1
2

Tài liệu này thuộc Series Tổng ôn Toán 11
DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP

VIP
KYS






Nhận toàn bộ tài liệu tự động qua email
Nhận toàn bộ các Series giải chi tiết 100%
Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K
Được nhận những tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP

Đăng kí VIP tại bit.ly/vipkys

Contact us:
Hotline: 099.75.76.756
Admin: fb.com/khactridg
Email: tailieukys@gmail.com
Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys
Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

9


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ
THỨC NEWTON

Phương pháp:
=
( ax p + bx q )

=
) ( bx ) ∑ C a
∑ C ( ax

n
k
p n−k
q k
n
=
k 0=
k 0
n

n

k
n

n−k

b k x np − pk + qk

Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa: np − pk + qk =
m.
Từ đó tìm k =

m − np
p−q

Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: Cnk a n − k .b k với giá trị k đã tìm được ở trên.
Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển
P ( x ) =( a + bx p + cx q ) được viết dưới dạng a0 + a1 x + ... + a2 n x 2 n .
n

Ta làm như sau:
* Viết P ( x ) =( a + bx p + cx q ) =∑ Cnk a n − k ( bx p + cx q ) ;
n

n

k

k =0

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng ( bx p + cx q ) thành một đa thức theo luỹ thừa
k

của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số ak theo k và n ;
* Giải bất phương trình ak −1 ≤ ak với ẩn số k ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
Câu 1: Trong khai triển ( 2a − b ) , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
5

A. −80 .

C. −10 .

B. 80 .

D. 10 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: ( 2a −=
b ) C50 ( 2a ) − C51 ( 2a ) b + C52 ( 2a ) b 2 + ...
5

5

4

3

Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng C52 .8 = 80 .
Câu 2: Trong khai triển nhị thức ( a + 2 )
A. 17 .

B. 11.

n+6

, ( n ∈  ) . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:

C. 10 .

D. 12 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Trong khai triển ( a + 2 )
10

n+6

, ( n ∈  ) có tất cả n + 7 số hạng.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

Do đó n + 7 = 17 ⇔ n = 10 .
Câu 3: Trong khai triển ( 3 x 2 − y ) , hệ số của số hạng chính giữa là:
10

B. −34.C104 .

A. 34.C104 .

C. 35.C105 .

D. −35.C105 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Trong khai triển ( 3 x 2 − y ) có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 .
10

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là −35.C105 .
Câu 4: Trong khai triển ( 2 x − 5 y ) , hệ số của số hạng chứa x 5 . y 3 là:
8

A. −22400 .

B. −40000 .

C. −8960 .

D. −4000 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 =
(−1) k C8k .(2 x)8− k (5 y ) k =
(−1) k C8k .28− k 5k .x8− k . y k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 3 . Khi đó hệ số của số hạng chứa x 5 . y 3 là: −22400 .
6

2 

3
Câu 5: Trong khai triển  x +
 , hệ số của x , ( x > 0 ) là:
x

A. 60 .

B. 80 .

C. 160 .

D. 240 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C6k .x 6− k 2k .x

1
− k
2

1
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 − k − k = 3 ⇔ k = 3 .
2
Khi đó hệ số của x3 là: C63 .23 = 160 .
7

1

Câu 6: Trong khai triển  a 2 +  , số hạng thứ 5 là:
b


A. 35.a 6 .b −4 .

B. −35.a 6 .b −4 .

C. 35.a 4 .b −5 .

D. −35.a 4 .b .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C7k .a14− 2 k .b − k
4 6 −4
Vậy số hạng thứ=
5 là T5 C=
35.a 6 .b −4
7 .a .b

Câu 7: Trong khai triển ( 2a − 1) , tổng ba số hạng đầu là:
6

A. 2a 6 − 6a 5 + 15a 4 .

B. 2a 6 − 15a 5 + 30a 4 .

C. 64a 6 − 192a 5 + 480a 4 .

D. 64a 6 − 192a 5 + 240a 4 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: ( 2a −=
1) C60 .26 a 6 − C61 .25 a 5 + C62 .24 a 4 − ...
6

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

11


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a 6 − 192a 5 + 240a 4 .

(

Câu 8: Trong khai triển x − y
A. −16 x y15 + y 8 .

)

16

, tổng hai số hạng cuối là:
C. 16 xy15 + y 4 .

B. −16 x y15 + y 4 .

D. 16 xy15 + y 8 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

(

)

16

Ta có: x − y = C160 x16 − C161 x15 . y + ... − C1615 x

( y)

15

+ C1616

( y)

16

6

1 

Câu 9: Trong khai triển  8a 2 − b  , hệ số của số hạng chứa a 9b3 là:
2 


A. −80a 9 .b3 .

B. −64a 9 .b3 .

C. −1280a 9 .b3 .

D. 60a 6 .b 4 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 =

( −1)

k

C6k .86− k a12− 2 k .2− k b k

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa a 9b3 là: −1280a 9 .b3 .
9

8 

Câu 10: Trong khai triển  x + 2  , số hạng không chứa x là:
x 


A. 4308 .

B. 86016 .

C. 84 .

D. 43008 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C9k .x9− k 8k .x −2 k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9 − k − 2k = 0 ⇔ k = 3 .
Khi đó số hạng không chứa x là: C93 .83 = 43008 .
Câu 11: Trong khai triển ( 2 x − 1) , hệ số của số hạng chứa x8 là:
10

A. −11520 .

B. 45 .

C. 256 .

D. 11520 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Số hạng tổng quát trong khai triển
trên là Tk +1 C10k .210− k .x10− k . ( −1)
=

k

Yêu cầu bài toán xảy ra khi 10 − k = 8 ⇔ k = 2 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C102 .28 = 11520 .
Câu 12: Trong khai triển ( a − 2b ) , hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là:
8

A. 1120 .

B. 560 .

C. 140 .

D. 70 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên=
là Tk +1 C8k .a8− k . ( −2 ) .b k
k

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 4 .

12

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

Khi đó hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là: C84 .24 = 1120 .
Câu 13: Trong khai triển ( 3 x − y ) , số hạng chứa x 4 y 3 là:
7

A. −2835 x 4 y 3 .

B. 2835x 4 y 3 .

D. −945 x 4 y 3 .

C. 945x 4 y 3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Số hạng tổng quát trong khai triển=
trên là Tk +1 C7k .37 − k x 7 − k . ( −1) . y k
k

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x 4 . y 3 là: −C73 .34.x 4 . y 3 =
−2835.x 4 . y .
Câu 14: Trong khai triển ( 0,2 + 0,8 ) , số hạng thứ tư là:
5

A. 0, 0064 .

B. 0, 4096 .

C. 0, 0512 .

D. 0, 2048 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C5k .(0, 2)5− k .(0,8) k
3
2
3
Vậy số hạng
thứ tư là T4 C=
=
0, 2028
5 .(0, 2) .(0,8)

Câu 15: Hệ số của x3 y 3 trong khai triển (1 + x ) (1 + y ) là:
6

A. 20 .

6

C. 36 .

B. 800 .

D. 400 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C6k .x k .C6m . y m
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k= m= 3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x3 y 3 là: C63 .C63 = 400 .
Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển ( 3 x + 2 y ) là:
4

A. C42 x 2 y 2 .

B. 6 ( 3 x ) ( 2 y )
2

2

.

C. 6C42 x 2 y 2 .

D. 36C42 x 2 y 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: C42 ( 3 x ) ( 2 y ) = 6 ( 3 x ) ( 2 y ) .
2

2

2

2

Câu 17: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là
11

A. C113 .

3
B. − C11
.

C. −C115 .

D. C118 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên
là Tk +1 C11k .x11− k . ( −1) . y k
=
k

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là: −C113 .
Câu 18: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x)= (1 − 2 x)10

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

13


Tổng ôn Toán 11
A. −15360

C. −15363

B. 15360

Chủ đề 7. Nhị thức Newton
D. 15363

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10

10
k 10 − k
k
n
=
k 0=
k 0

∑C 1

Ta có f ( x)=

(−2 x) =

∑C

k
10

(−2) k x k

Số hạng chứa x 7 ứng với giá trị k = 7
Vậy hệ số của x 7 là: C107 (−2)7 =
−15360 .

x) x(2 + 3 x)9
Câu 19: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: h(=
A. 489889

C. −489888

B. 489887

D. 489888

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có =
(2 + 3 x)9

9

9− k
(3 x) k
∑ C9k 2=

9

∑C

k
9

=
k 0=
k 0

29− k 3k .x k

9

⇒ h( x ) =
∑ C9k 29−k 3k x k +1 .
k =0

Số hạng chứa x 7 ứng với giá trị k thỏa k + 1 = 7 ⇔ k = 6
Vậy hệ số chứa x 7 là: C96 2336 = 489888 .
Câu 20: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) = (1 + x)7 + (1 − x)8 + (2 + x)9
A. 29

B. 30

C. 31

D. 32

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
7

Hệ số của x 7 trong khai triển (1 + x)7 =
∑ C7k x k là : C77 = 1
k =0

8
Hệ số của x 7 trong khai triển (1 − x)=

8

∑C
k =0

k
8

−8
(−1) k x k là : C87 (−1)7 =

9

Hệ số của x trong khai triển (1 + x) =
∑ C9k x k là : C79 = 36 .
7

9

k =0

Vậy hệ số chứa x 7 trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 29 .
Chú ý:
* Với a ≠ 0 ta có: a − n =
* Với a ≥ 0 ta có:

1
với n ∈  .
an
m

n

a m = a n với m, n ∈ ; n ≥ 1 .

) (3 + 2 x)10
Câu 21: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x=
A. 103680

B. 1301323

C. 131393

D. 1031831

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10
k 10 − k
k
n
=
k 0=
k 0

Ta
có f ( x)
=

14

10

3 (2 x) ∑ C
∑C =

k 10 − k
10

3

(−2) k x k

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k = 8
Vậy hệ số của x8 là: C108 .32.(−2)8 =
103680 .

) x(1 − 2 x)9
Câu 22: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x=
A. −4608

C. −4618

B. 4608

D. 4618

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
9

∑ C9k 19−k (−2 x)k=

Ta có (1 − 2 x)9=

9

∑C

=
k 0=
k 0

⇒ h( x ) =

9

∑C

k
9

k =0

k
9

(−2) k .x k

(−2) k x k +1 .

Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k thỏa k + 1 = 8 ⇔ k = 7
Vậy hệ số chứa x8 là: C97 (−2)7 =
−4608 .
Câu 23: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f =
( x) (3 x 2 + 1)10
A. 17010

B. 21303

C. 20123

D. 21313

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10

Ta có: f ( x) = ∑ C10k 3k x 2 k , số hạng chứa x8 ứng với k = 4 nên hệ số x8 là: C104 .34 = 17010 .
k =0

2

Câu 24: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x=
)  − 5 x3 
x


8

8

A. 1312317

B. 76424

C. 427700

D. 700000

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta =
có: f ( x)

8

∑C
k =0

k
8

28− k (−5) k x 4 k −8 , số hạng chứa x8 ứng với k = 4 nên hệ số của x8 là:

700000 .
C84 .24.(−5) 4 =
12

3 x
Câu 25: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x=
)  + 
 x 2
8

297
512
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A.

B.

29
51

C.

27
52

D.

97
12

12

Ta có: f ( x) = ∑ C12k 312− k .2− k .x 2 k −12 , số hạng chứa x8 ứng với k = 10 nên hệ số của x8 là:
k =0

C1210 .32.2−10 =

297
.
512

Câu 26: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) = (1 + x + 2 x 2 )10
A. 37845

B. 14131

C. 324234

D. 131239

Hướng dẫn giải:
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

15


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

Chọn A.

=
Ta
có: f ( x)

10

∑C

=
k 0

k
10

(2 x 2 =
)10− k (1 + x) k

10

k

∑∑ C

k
10

=
k 0=j 0

Ckj .210− k x 20− 2 k + j

0 ≤ j ≤ k ≤ 10
Số hạng chứa x8 ứng với cặp (k , j ) thỏa: 
j 2k − 12
=
Nên hệ số của x8 là:
37845
C106 C60 .24 + C107 C72 23 + C108 C84 22 + C109 C96 2 + C1010C108 =

Câu 27: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) = 8(1 + 8 x)8 − 9(1 + 9 x)9 + 10(1 + 10 x)10
A. 8.C80 .88 − C91.98 + 10.C108 .108

B. C80 .88 − C91.98 + C108 .108

C. C80 .88 − 9.C91.98 + 10.C108 .108

D. 8.C80 .88 − 9.C91.98 + 10.C108 .108

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
8

Ta có: (1 + 8 x)8 =
∑ C8k 88−k x8−k
k =0

9

(1 + 9 x)9 =
∑ C9k 99−k x9−k
k =0

10

(1 + 10 x)10 =
∑ C10k 1010−k x10−k
k =0

Nên hệ số chứa x8 là: 8.C80 .88 − 9.C91.98 + 10.C108 .108
Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) = 8(1 + x)8 + 9(1 + 2 x)9 + 10(1 + 3 x)10
A. 22094

B. 139131

C. 130282

D. 21031

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n

Ta có: (1 + ax ) =
∑ Cnk a k x k nên ta suy ra hệ số của x k trong khai triển (1 + ax)n là Cnk a k . Do đó:
n

i =0

Hệ số của x8 trong khai triển (1 + x)8 là : C88
Hệ số của x8 trong khai triển (1 + 2 x)9 là : C98 .28
Hệ số của x8 trong khai triển (1 + 3 x)10 là : C108 .38 .
Vậy hệ số chứa x8 trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C88 + 9.28.C98 + 10.38.C108 =
22094 .
Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển ( x3 + xy ) là:
15

A. 2080 .

B. 3003 .

C. 2800 .

D.  3200 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C15k .x 45−3k .x k . y k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 10 .

(

Vậy hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển x 3 + xy
16

)

15

là: C1510 = 3003 .
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

18

1 

Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển  x 3 + 3  là:
x 


A. C189 .

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

C. C188 .

B. C10
18 .

D. C183 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk +1 = C18k .x 54−3k .x −3k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54 − 3k − 3k = 0 ⇔ k = 9 .
Khi đó số hạng không chứa là: C189 .
Câu 31: Khai triển (1 − x ) , hệ số đứng trước x 7 là:
12

A. 330 .

B. – 33 .

C. –72 .

D. –792 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T=
C12k . ( −1) .x k
k +1
k

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 7 .
−792 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x 7 là: −C127 =

2
( x − )12
Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f ( x) =
x
A. 59136
B. 213012
C. 12373

(x ≠ 0)
D. 139412

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
12

Ta có: f ( x) =
( x − 2.x −1 )12 =
∑ C12k x12−k .(−2 x −1 )k
k =0

12

∑C
k =0

k
12

(−2) k x12− 2 k

0
Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 − 2k =
⇔ k = 6 ⇒ số hạng không chứa x là: C126 .26 = 59136 .
1
4 3 17
Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: g ( x) =+
(
x )
3 2
x

A. 24310

B. 213012

C. 12373

( x > 0)

D. 139412

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
3

1
3

=
x=
; 4 x3 x 4 nên ta có
3 2
x
2 17 − k
3 k
17

k
3
4
17
k 0=
k 0



 
C  x  . x 
∑=
 


17

f ( x)

∑ C17k .x

17 k −136
12

Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17 k − 136 = 0 ⇔ k = 8
Vậy hệ số không chứa x là: C178 = 24310 .
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

17


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton
n

 1

Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của  3 + x5  biết
x

8

Cnn++41 − Cnn+3 = 7 ( n + 3) .

A. 495

B. 313

C. 1303

D. 13129

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: Cnn++41 − Cnn+3 = 7 ( n + 3) ⇔ ( Cnn+3 + Cnn++31 ) − Cnn+3 = 7 ( n + 3)

⇔ Cnn++31 = 7 ( n + 3) ⇔

( n + 2 )( n + 3) =

2!
⇔ n + 2 = 7.2! = 14 ⇔ n = 12 .

7 ( n + 3)

12 − k

5
60 −11k
12
12
1
5 
−3 k  2 
k
k
2
+
=
.
x
C
x
x
C
x
.
Khi đó:=

12
 3
 ∑ 12 ( )  
x
 k 0=
=
k 0
 
n

Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa:

60 − 11k
=8 ⇔ k = 4 .
2

x8 là: C124
Do đó hệ số của số hạng chứa =

12!
= 495 .
4!(12 − 4 ) !
n

1

Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức  − ( x + x 2 )  với n là số
x


nguyên dương thoả mãn
Cn3 + 2n =
An2+1 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
A. −98

B. 98

C. −96

D. 96

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: C + 2n = A
3
n

2
n +1

n ≥ 3

⇔  n ( n − 1)( n − 2 )
+ 2n = ( n + 1) n

6


n ≥ 3
8.
⇔ 2
⇔n=
0
 n − 9n + 8 =
Theo nhị thức Newton ta có:
8

8

1
1

2 
0 1
1 1
 x − ( x + x )  =  x − x (1 + x )  = C8 x8 − C8 x 6 (1 + x ) +

1
1
2
3
4
8
1 + x ) − C83 2 (1 + x ) + C84 (1 + x ) − ... + C88 x8 (1 + x )
4 (
x
x
Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức
+C82

−C83

1
3
4
1 + x ) và C84 (1+ x ) .
2 (
x

Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: −C83 .C32 và C84 .C40
Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: −C83 .C32 + C84 .C40 =
−98 .
18

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton
40

1
Câu 36: Trong khai triển f ( x=
)  x + 2  , hãy tìm hệ số của x31
x 


A. 9880

B. 1313

C. 14940

D. 1147

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
18

1

Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức  x3 + 3  số hạng độc lập đối với x
x 


A. 9880

B. 1313

C. 14940

D. 48620

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
C189 = 48620
12

 x 3
Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển  − 
3 x

55
9
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A.

B.

13
2

C.

621
113

D.

1412
3123

1
55
(−3) 4 C124 =
8
3
9
Câu 39: Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển ( x 3 + xy )

15

A. 300123

B. 121148

C. 3003

D. 1303

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
C1510 = 3003

Câu 40: Cho đa thức P ( x ) = (1 + x ) + 2 (1 + x ) + ... + 20 (1 + x ) có dạng khai triển là
2

20

P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a20 x 20 .

Hãy tính hệ số a15 .
A. 400995

B. 130414

C. 511313

D. 412674

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
=
a15

20

=
kC


k =15

15
k

400995

Câu 41: Tìm số hạng của khai triển
A. 8 và 4536

(

3+ 3 2

B. 1 và 4184

)

9

là một số nguyên
C. 414 và 12

D. 1313

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

19


Tổng ôn Toán 11
Ta có

(

3+ 3 2

)

9

( 3) ( 2 )

9

=
∑ C9k

k

k =0

3

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

9− k

Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa:
 k = 2m

9 − k = 3n ⇔ k = 0, k = 6
k = 0,...,9


Các số hạng là số nguyên: C90

( 2)
3

9

= 8 và C96

( 3) ( 2 )
6

3

3

1
x) (2 x + ) 20
Câu 42: Xét khai triển f (=
x
1. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển
A. Tk +1 = C20k .220− k .x 20− k

B. Tk +1 = C10k .220− k .x 20− 2 k

C. Tk +1 = C20k .220− 4 k .x 20− 2 k

D. Tk +1 = C20k .220− k .x 20− 2 k

2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x
1
A. C20
.210

10 10
B. A20
.2

10 4
C. C20
.2

10 10
D. C20
.2

Hướng dẫn giải:
20 − k 1
k
=
C20k .220− k .x 20− 2 k
1. Ta có: Tk +1 C=
20 (2 x )
k
x
2. Số hạng không chứa x ứng với k: 20 − 2k = 0 ⇔ k = 10
10 10
Số hạng không chứa x: C20
.2

Câu 43: Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f ( x)= (3 x 2 + 2 x + 1)10 .
A. 8089

B. 8085

C. 1303

D. 11312

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
f ( x ) =(1 + 2 x + 3 x 2 ) =∑ C10k ( 2 x + 3 x 2 )
10

10

k

k =0

10

k
k
10
=
k 0=i 0

10

k
k
10
=
k 0=i 0

C ∑ C (2 x) .(3 x ) ∑ C ∑ C 2
∑=
i
k

k −i

2 i

i
k

k −i

.3i x k +i

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10 .
Do đó k + i =4 với các trường hợp=
i 0,=
k 4 hoặc=
i 1,=
k 3 hoặc i= k= 2 .
Vậy hệ số chứa x 4 : 24 C104 .C40 + 2231 C103 .C31 + 32 C102 .C22 =
8085 .
Câu 44: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển thành đa thức của (2 − 3 x) 2 n , biết n là số nguyên dương thỏa
mãn : C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 =
1024 .
A. 2099529

B. −2099520

C. −2099529

D. 2099520

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

 2 n +1 k
2 n +1
 ∑ C2 n +1 = 2
n

Ta có:  kn=0

C22ni ++11 = 22 n = 1024 ⇒ n = 5

n
i =0
 C 2i +1 = C 2i


2 n +1
2 n +1

=
 i 0=i 0
10

∑C

Suy ra (2 − 3=
x) 2 n

k =0

k
10

210− k .(−3) k x k

Hệ số của x là C .23.(−3)7 =
−2099520 .
7

7
10

Câu 45: Tìm hệ số của x 9 trong khai triển f ( x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + ... + (1 + x)14
A. 8089

B. 8085

C. 3003

D. 11312

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Hệ số của x 9 : C99 + C109 + C119 + C129 + C139 + C149 =
3003 .
Câu 46: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển đa thức của: x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3 x )
5

A. 3320

B. 2130

10

C. 3210

D. 1313

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt f ( x) =x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3 x )
5

5

10

10

Ta có : f ( x)= x ∑ C5k ( −2 ) .x k + x 2 ∑ C10i ( 3 x )
k

i

k 0=i 0
=
5

10

=∑ C5k ( −2 ) .x k +1 + ∑ C10i 3i.x i + 2
k

=
k 0=i 0

Vậy hệ số của x 5 trong khai triển đa thức của f ( x) ứng với k = 4 và i = 3 là:
C54 ( −2 ) + C103 .33 =
3320 .
4

1 + x 2 (1 − x ) 
Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức f ( x) =

A. 213

B. 230

C. 238

8

D. 214

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Cách 1
1 + x 2 (1 − x )  = C80 + C81 x 2 (1 − x ) + C82 x 4 (1 − x ) + C83 x 6 (1 − x )
8

2

3

+C84 x8 (1 − x ) + C85 x10 (1 − x ) ... + C88 x16 (1 − x )
4

5

8

Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối
lớn hơn 8. Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C83 .C32 , C84 .C40 .
Vậy hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức 1 + x 2 (1 − x )  là:
8

a8 =C83 .C32 + C84 .C40 = 238 .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

21


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

Cách 2: Ta có:

1 + x 2 (1 −=
x ) 
8

8

∑C

n 0
=

n
8

n
n
8
n 0=
k 0
=

x 2 n (1=
− x)
n

8

∑ C ∑ C ( −1)
k
n

k

x 2n+ k

với 0 ≤ k ≤ n ≤ 8 .
Số hạng chứa x8 ứng với 2n + k = 8 ⇒ k = 8 − 2n là một số chẵn.

k 2,=
n 3.
k 0;=
n 4 và=
Thử trực tiếp ta được=
Vậy hệ số của x8 là C83 .C32 + C84 .C40 =
238 .
Câu 48: Đa thức P ( x ) = (1 + 3 x + 2 x 2 ) = a0 + a1 x + ... + a20 x 20 . Tìm a15
10

A. a15 = C1010 .C105 .35 + C109 .C96 .33 + C108 .C87 .3.
B. a15 = C1010 .C105 .25 + C109 .C96 .26 + C108 .C87 .27
C. a15 = C1010 .C105 .35.25 + C109 .C96 .33.26 + C108 .C87 .27
D. a15 = C1010 .C105 .35.25 + C109 .C96 .33.26 + C108 .C87 .3.27
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: P ( x ) =(1 + 3 x + 2 x 2 ) =∑ C10k ( 3 x + 2 x 2 )
10

10

k

k =0

10

k

C10k ∑ Cki (3 x) k −i .(2 x 2 )i
∑=

k 0=i 0
=

10

k

∑ C10k ∑ Cki .3k −i.2i x k +i

k 0=i 0
=

15 với các trường hợp
với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10 . Do đó k + i =

=
k 10,
=
i 5 hoặc =
k 9,=
i 6 hoặc =
k 8,=
i 7
Vậy a15 = C1010 .C105 .35.25 + C109 .C96 .33.26 + C108 .C87 .3.27 .

2
Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ( x3 − ) n , biết rằng Cnn −1 + Cnn − 2 =
78 với
x

x>0
A. −112640

B. 112640

C. −112643

D. 112643

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

78 ⇔
Ta có: Cnn −1 + Cnn − 2 =
⇔ n+

n!
n!
78
+
=
(n − 1)!1! (n − 2)!2!

n(n − 1)
= 78 ⇔ n 2 + n − 156 = 0 ⇔ n = 12 .
2
12

12
2

Khi đó: f ( x) = x3 −  =∑ C12k (−2) k x 36− 4 k
x

k =0

Số hạng không chứa x ứng với k : 36 − 4k = 0 ⇒ k = 9
Số hạng không chứa x là: (−2)9 C129 =
−112640
Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n −3 là hệ số của x 3n −3 trong khai triển thành đa thức của

( x 2 + 1) n ( x + 2) n . Tìm n để a3n −3 = 26n
22

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
A. n=5

B. n=4

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

C. n=3

D. n=2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Cách 1:Ta có :

(x

2

+ 1=
) Cn0 x 2n + Cn1 x 2n−2 + Cn2 x 2n−4 + ... + Cnn
n

( x + 2 )=
n

Cn0 x n + 2Cn1 x n −1 + 22 Cn2 x n − 2 + ... + 2n Cnn

Dễ dàng kiểm tra n = 1 , n = 2 không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với n ≥ 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích
2 n n −3
=
.x
x3n −3 x=
x 2 n − 2 .x n −1

Do đó hệ số của x 3n −3 trong khai triển thành đa thức của

(x

2

: a3n −3 23.Cn0 .Cn3 + 2.Cn1 .Cn1 .
+ 1) ( x + 2 ) là=
n

n

2n ( 2n 2 − 3n + 4 )
7
Suy ra a3n −3= 26n ⇔
= 26n ⇔ n= − hoặc n = 5
3
2
Vậy n = 5 là giá trị cần tìm.
Cách 2:
n

n
1   2
n

Ta có: ( x 2 + 1) ( x + 2 ) = x3n 1 + 2  1 + 
 x   x

i

n

k

n
 n

 1  n
2
x=
C  2  ∑ Cnk   x3n  ∑ Cni x −2i ∑ Cnk 2k x − k 

 x  k 0  x=
=i 0
=
 i 0=k 0

n

3n

i
n

Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 3n − 3 khi

−2i − k =−3 ⇔ 2i + k =3 .
i 0,=
k 3 hoặc
Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là=
=
i 1,=
k 1 (vì i, k nguyên).
Hệ số của x 3n −3 trong khai triển thành đa thức của ( x 2 + 1) ( x + 2 )
n

n


: a3n −3 Cn0 .Cn3 .23 + Cn1 .Cn1 .2 .
=
2n ( 2n 2 − 3n + 4 )
7
Do đó a3n −3= 26n ⇔
= 26n ⇔ n= − hoặc n = 5
3
2
Vậy n = 5 là giá trị cần tìm.
n

 1

Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  4 + x 7  , biết
x

26

C21n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1 .

A. 210

B. 213

C. 414

D. 213

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
Do C
=
C22nn++11− k=
∀k 0,1, 2,..., 2n + 1
2 n +1

⇒ C20n +1 + C21n +1 + ... + C2nn +=
C2nn++11 + C2nn++21 + ... + C22nn++11
1

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

23


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

Mặt khác: C21n +1 + C22n +1 + ... + C22nn++11 =
22 n +1
⇒ 2(C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 ) =
22 n +1
⇒ C21n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 =22 n − C20n +1 =22 n − 1

⇒ 22 n − 1= 220 − 1 ⇒ n= 10 .
10

10
10
10
 1

Khi đó:  4 + x 7  =( x −4 + x 7 ) =∑ C10k ( x −4 )10− k .x 7 k = ∑ C10k x11k − 40
x

k =0
k =0

Hệ số chứa x 26 ứng với giá trị k : 11k − 40 = 26 ⇒ k = 6 .
Vậy hệ số chứa x 26 là: C106 = 210 .
Câu 52: Cho n ∈  * và (1 + x) n = a0 + a1 x + ... + an x n . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) sao

ak −1 ak ak +1
= =
. Tính n = ? .
2
9
24
A. 10
B. 11

cho

C. 20

D. 22

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n!
1
n!
1
 2 (k − 1)!(n − k + 1)! = 9 (n − k )!k !

Ta có: ak = Cnk , suy ra hệ 
n!
1
n!
1
=
 9 (n − k )!k ! 24 (n − k − 1)!(k + 1)!
9k =2(n − k + 1)
2n − 11k =−2
⇔
⇔
⇔ n= 10, k= 2 .
24(k + 1) = 9(n − k )
9n − 33k = 24

1 2
Câu 53: Trong khai triển của ( + x)10 thành đa thức
3 3
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a9 x9 + a10 x10 , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 ≤ k ≤ 10 ).

210
315
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A. a10 = 3003

15

B. a5 = 3003

15 − k

210
315

C. a4 = 3003

210
315

D. a9 = 3003

210
315

k

k
15
15
1 2 
2 
k 1
k 2
k
Ta có:=
x
C
x
C
+
=

15  



 ∑ 15 15 x
3
3
3
3
3


  

k 0=
k 0
=

Hệ số của x k trong khai triển ak =

1
15

3

C15k 2k

Ta có: ak −1 < ak ⇔ C15k −1 2k −1 < C15k 2k ⇔ C15k −1 < 2C15k

32
⇒ k ≤ 10. Từ đó: a0 < a1 < ... < a10
3
Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:
⇔k<

ak −1 < ak ⇔ k >

32
⇒ a10 > a11 > ... > a15
3

=
a10
Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là:
24

210 10
210
=
C
3003
.
15
315
315
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 7. Nhị thức Newton

729 . Tìm n và số lớn
Câu 54: Giả sử (1 + 2 x) n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n , biết rằng a0 + a1 + ... + an =
nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .
A. n=6, max {ak=
} a=4 240

B. n=6, max {ak=
} a=6 240

C. n=4, max {ak=
} a=4 240

D. n=4, max {ak=
} a=6 240

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: a0 + a1 + ... + an = (1 + 2.1) n = 3n = 729 ⇒ n = 6
ak = C6k 2k suy ra max {ak=
} a=4 240 .

Câu 55: Cho khai triển (1 + 2 x) n = a0 + a1 x + ... + an x n , trong đó n ∈  * . Tìm số lớn nhất trong các số

a
a1
+ ... + nn =
4096 .
2
2
C. 130272
D. 130127

a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0 +
A. 126720

B. 213013

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt f ( x) = (1 + 2 x) n = a0 + a1 x + ... + an x n
⇒ a0 +

an
a1
1
n
n
n 12
+ ... + =
f =
 2 ⇒ 2= 4096 ⇔ =
n
2
2
2

k
Với mọi k ∈ {0,1, 2,...,11}=
ta có: ak 2=
C12k , ak +1 2k +1 C12k +1



ak
2k C k
23
k +1
< 1 ⇔ k +1 12k +1 < 1 ⇔
<1⇔ k <
ak +1
2 C12
2(12 − k )
3

Mà k ∈ Z ⇒ k ≤ 7 . Do đó a0 < a1 < ... < a8
Tương tự:

ak
> 1 ⇔ k > 7 ⇒ a8 > a9 > ... > a12
ak +1

8 8
là a8 2=
Số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., a12 =
C12 126720 .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×