Tải bản đầy đủ

PT bậc 2 và quy về bậc hai với một số hàm số lượng giác

TNG ễN TON 11

VIP

CH 4. PHNG TRèNH BC HAI
PHNG TRèNH BC HAI V QUY V BC HAI VI MT HM S LNG GIC
A Lí THUYT V PHNG PHP
1. Phng trỡnh bc hai vi mt hm s lng giỏc
Dng

t

iu kin

asin2 x + b sin x + c =
0

t = sinx

1 t 1


a cos2 x + b cos x + c =
0

t = cosx

1 t 1

a tan2 x + b tan x + c =
0

t = tanx

x

0
a cot 2 x + b cot x + c =

t = cotx

x k (k Z )


2

+ k (k Z )

2
Nu t: t sin=
=
x hoaởc t sin x thỡ ủieu kieọn : 0 t 1.

B BI TP
Cõu 1: Trong cỏc phng trỡnh sau, phng trỡnh no l phng trỡnh bc 2 theo 1 hm s lng giỏc
A. 2sin 2 x + sin 2 x 1 =0.

0.
B. 2sin 2 2 x sin 2 x =

0.
C. cos 2 x + cos2 x 7 =



0.
D. tan 2 x + cot x 5 =

Cõu 2: Nghim ca phng trỡnh sin 2 x sin x = 0 tha iu kin: 0 < x < .




.
2
2

0 tha iu kin 0 x < l:
Cõu 3: Nghim ca phng trỡnh lng giỏc: 2sin 2 x 3sin x + 1 =
2

5


A. x =
B. x =
C. x =
D. x =
3
6
6
2
A. x =

.

B. x = .

C. x = 0 .

D. x =

0 cú nghim l:
Cõu 4: Phng trỡnh sin 2 x + 3sin x 4 =



A. x =
+ k 2 , k
2

+ k 2 , k
B. x =

=
x k , k
C.

D. x =+ k , k
2



Cõu 5: Nghim ca phng trỡnh sin 2 x + sin x =
0 tha iu kin:
A. x = 0 .

B. x = .

Ti liu KYS Chun mc ca ti liu t hc

C. x =


3

.


2



2

.
D. x =


2

.

1


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

Câu 6: Trong [ 0; 2π ) , phương trình sin x = 1 − cos 2 x có tập nghiệm là
π

A.  ; π ; 2π  .
2


 π

D. 0; ; π ; 2π  .
 2


 π 
C. 0; ; π  .
 2 

B. {0; π } .

2 có nghiệm là:
Câu 7: Phương trình: 2sin 2 x + 3 sin 2 x =

 x=
A. 
 x=


π
6

π
2


 x=
B. 
 x=


+ k 2π
+ k 2π

,k ∈

π
6

π
2

+ kπ
+ kπ

,k ∈

π

π

D. x =
+ k 2π , k ∈ 
2

C. x =+ kπ , k ∈ 
2

0 là :
Câu 8: Nghiệm của phương trình sin 2 x − 4sin x + 3 =
A. x =


π
2

+ k 2π , k ∈ 

B. x =
±

π

π
2

+ k 2π , k ∈ 

=
D. x k 2π , k ∈ 

C. x =
+ k 2π , k ∈ 
2

0 là
Câu 9: Nghiệm của phương trình 5 − 5sin x − 2cos 2 x =
A. kπ , k ∈  .

B. k 2π , k ∈  .

C.

π
2

+ k 2π , k ∈  .

Câu 10: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin 2 x − 2sin x +

π

D.

π

+ k 2π , k ∈  .

6

3
=
0.
4

A. x =
+ k 2π (k ∈ ) .
6

π

B. x =+ kπ ; x = + kπ (k ∈ ) .
6
6

π

C. x =
+ k 2π ; x =+ k 2π (k ∈ ) .
6
6

D. x = + kπ ; x =
− + kπ ( k ∈  ) .
6
6

π

π

0 có nghiệm là:
Câu 11: Phương trình 2sin 2 x + sin x − 3 =
A. kπ , k ∈  .

B.

π

+ kπ , k ∈  .

C.

π

+ k 2π , k ∈  .

2
2
0 là
Câu 12: Các họ nghiệm của phương trình cos 2 x − sin x =

A.
C.

π
6

π
6

D. −

π
6

+k

2π π
; + k 2π ; k ∈  .
3 2

B.

2π −π
−π
;
+k
+ k 2π ; k ∈  .
6
3 2

+k

2π −π
;
+ k 2π ; k ∈  .
3 2

D.

2π π
−π
+k
; + k 2π ; k ∈  .
6
3 2

Câu 13: Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 3sin x + 1 =
0 thỏa điều kiện: 0 ≤ x <
A. x =

π
6

.

B. x =

π
4

C. x =

.

π
2

.

π
2

+ k 2π , k ∈ 

.

D. x = −

π
.
2

Câu 14: Nghiệm của phương trình 2sin x – 5sin x – 3 = 0 là:
2

A. x =


π

π


+ k 2π ; x = + k 2π .
6
6

C. x =+ kπ ; x =
π + k 2π .
2
2

π

B. x =
+ k 2π ; x =+ k 2π .
3
6
π

D. x =
+ k 2π ; x =+ k 2π .
4
4
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

2
Câu 15: Nghiêm của pt sin
=
x – sinx + 2 là:

π
+ k 2π .
2

π

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

−π
+ k 2π .
D. x = kπ .
2
2
3
Câu 16: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin 2 x − 2sin x + =
0.
4
π

π
A. x =
B. x =+ kπ ; x = + kπ (k ∈ ) .
+ k 2π (k ∈ ) .
6
6
6

π
π
π
C. x =
D. x = + kπ ; x =
− + kπ ( k ∈  ) .
+ k 2π ; x =+ k 2π (k ∈ ) .
6
6
6
6
A. x=

B. x=

+ kπ .

x
C.=

0 là
Câu 17: Nghiệm của phương trình cos 2 x + sin x + 1 =

π

A. x =
+ k 2π , k ∈  .
2
C. x =


π
2

B. x =


π
2

+ kπ , k ∈  .

π

+ k 2π , k ∈  .

D. x =
 + k 2π , k ∈  .
2

− sin x + 2 là
Câu 18: Nghiêm của phương trình sin 2 x =

π

=
x kπ , k ∈  .
A.
C. x =


π
2

+ k 2π , k ∈  .
B. x =
2

π

+ k 2π , k ∈  .

D. x =+ kπ , k ∈  .
2

0 có nghiệm là
Câu 19: Phương trình 2sin 2 x + 3sin x − 2 =
A. kπ , k ∈  .
C.

π
2

B.

+ k 2π , k ∈  .

D.

π
2

π
6

+ kπ , k ∈  .
+ k 2π ;


+ k 2π , k ∈  .
6

0 thõa điều kiện 0 < x <
Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2 cos 2 x + 3sin x − 3 =
A. x =

π
3

.

B. x =

π
2

C. x =

.

π
6

.

D. x =

π
2

là:


.
6

0 là
Câu 21: Nghiệm của phương trình 1 − 5sin x + 2 cos x =
2

π

 x= 6 + k 2π
A. 
,k ∈ .
π
x =
− + k 2π

6

π

 x= 6 + k 2π
B. 
,k ∈ .
π
5
=
+ k 2π
x

6

π

 x= 3 + k 2π
C. 
,k ∈ .
π
x =
− + k 2π

3

π

 x= 3 + k 2π
D. 
,k ∈ .

=
+ k 2π
x

3

0 là:
Câu 22: Nghiệm của phương trình 5 − 5sin x − 2 cos 2 x =
A. kπ , k ∈  .

B. k 2π , k ∈  .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C.

π
2

+ k 2π , k ∈  .

D.

π
6

+ k 2π , k ∈  .

3


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

0 là :
Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin 2 2 x − 2s in2x + 1 =
A. −

π

+ kπ .

4

B.

π

+ kπ .

4

C.

π

+ k 2π .

4

D. −

π
4

+ k 2π .

Câu 24: Một họ nghiệm của phương trình cos 2 2 x + sin 2x − 1 =0 là
A.

π

+ kπ .

B. k

π

C. −

.

π

+k

π

2
2
2
3
Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2 cos 2 x + 3sin x − 1 =0 là

D. k

π
2

.

 1
B. π − arcsin  −  + k 2π .
 4

 1
A. π + arcsin  −  + k 2π .
 4

C.

.

π

1
 1
− arcsin  −  + kπ .
2 2
 4

D.

π

 1
− arcsin  −  + kπ .
2
 4

Câu 26: Nghiệm của phương trình sin 2 2 x + 2sin 2 x + 1 =
0 trong khoảng ( −π ; π ) là :
 π 3π 
A. − ; −  .
4 
 4

 π 3π 
C.  ;  .
4 4 

 π 3π 
B. − ;  .
 4 4 

 π 3π 
D.  ; −  .
4 
4

Câu 27: Giải phương trình: sin 2 x + 2sin x − 3 =
0.
A. kπ .

B. −

π
2

+ kπ .

C.

π
2

+ k 2π .

D. −

π
2

+ k 2π .

Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4sin 4 x + 12 cos 2  7
0 có nghiệm là:
x− =
A. x =
±

π
4

+ k 2π .

B. x=

π
4

+k

π
2

.

C. x=

π
4

+ kπ .

π

D. x =
− + kπ .
4

π

π
 5
Câu 29: Phương trình cos 2  x +  + 4 cos  − x  =có nghiệm là:
3

6
 2
π

− + k 2π
x =
6
A. 
.
π
 x=
+ k 2π

2

π

 x= 6 + k 2π
B. 
.

=
+ k 2π
x

2

π

− + k 2π
x =
3
C. 
.
π
5
=
+ k 2π
x

6


 x=
D. 
 x=


π
3

π
4

+ k 2π
.
+ k 2π

 π 
Câu 30: Tìm m để phương trình 2 sin 2 x − ( 2m + 1) sinx + m =
0 có nghiệm x ∈  − ;0  .
 2 

A. −1 < m < 0.

B. 1 < m < 2.

C. −1 < m < 0.

D. 0 < m < 1.

Câu 31: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: cos 2 x − 4 cos x + 3 =
0.
A. x =
π + k 2π (k ∈ ) .
C. x k 2π (k ∈ ) .
=

π

B. x =
+ k 2π (k ∈ ) .
2
D. x kπ (k ∈ ) .
=

0
Câu 32: Giải phương trình 2cos 2 x − 3cos x + 1 =
A. x =


π

π
3

+ k 2π , k ∈  .

C. x =
+ k 2π , k ∈  .
3

4

π


B. k 2π , ± + k 2π , k ∈   .
3


=
D. x k 2π , k ∈  .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

Câu 33: Phương trình cos 2 x + 2cos x − 11 =
0 có tập nghiệm là:

A.
, x arccos ( −2 ) + k 2π , k ∈  .
=
x arccos ( −3) + k 2π , k ∈ =
B. ∅ .
C.
=
x arccos ( −2 ) + k 2π , k ∈  .
D.
x arccos ( −3) + k 2π , k ∈  .
=
Câu 34: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x + 3 =
0.

B. 2 cos 2 x − cos x − 1 =0 .

C. tan x + 3 =
0.

D. 3sin x − 2 =
0.

Câu 35: Phương trình: sin 2

x kπ , k ∈ 
=
A.

x
x
− 2 cos + 2 =
0 có nghiệm là:
3
3

=
B. x k 3π , k ∈ 

Câu 36: Phương trình : cos 2 2 x + cos 2 x −

π
6

=
D. x k 6π , k ∈ 

3
=
0 có nghiệm là
4


A. x =
±
+ kπ , k ∈  .
3
C. x =
±

=
C. x k 2π , k ∈ 

B. x =
±

+ kπ , k ∈  .

π
3

+ kπ , k ∈  .

π

D. x =
±

6

+ k 2π , k ∈  .

Câu 37: Nghiệm của phương trình cos 2 x – cosx = 0 thỏa điều kiện 0 < x < π :
A. x =

π
6

B. x =

.

π
2

.

C. x =

π
4

.

Câu 38: Nghiệm của phương trình cos 2 x + cos x =
0 thỏa điều kiện:
A. x = π .

B. x =

π
3

.

C. x =

π
2



.
2

D. x = −

π
.
2

D. x = −


.
2


.
2

Câu 39: Nghiệm của phương trình 3cos 2 x = – 8cos x – 5 là:
A. x = kπ .

B. x= π + k 2π .

C. x = k 2π .

D. x =
±

π
2

+ k 2π .

0
Câu 40: Nghiệm của pt 2 cos 2 x + 2 cos x – 2 =
±
A. x =

π
+ k 2π
4

±
B. x =

π
+ kπ
4

±
C. x =

π
+ k 2π
3

±
D. x =

π
+ kπ
3

0 có nghiệm là
Câu 41: Phương trình 2 cos 2 x + 3cos x − 2 =
A. ±
C. ±

π
6

+ k 2π , k ∈  .

B. ±


+ k 2π , k ∈  .
3

D.

π
3

π
3

+ k 2π , k ∈  .

+ k 2π , k ∈  .

0 có nghiệm là
Câu 42: Phương trình lượng giác: sin 2 x − 3cos x − 4 =
A. x =


π
2

+ k 2π , k ∈ 

B. x =−π + k 2π , k ∈ 

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

π

C. x =+ kπ , k ∈ 
6

D. Vô nghiệm

5


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

0 có nghiệm là
Câu 43: Phương trình lượng giác: cos 2 x + 2 cos x − 3 =

=
A. x k 2π , k ∈ 

π

C. x =
+ k 2π , k ∈ 
2

B. x = 0

Câu 44: Phương trình sin 2 2 x − 2 cos 2 x +
A. x =
±
C. x =
±

π
π
3

3
0 có nghiệm là
=
4

π

+ kπ , k ∈  .

+ kπ , k ∈  .

B. x =
±

+ kπ ,, k ∈  .


D. x =
±
+ kπ , k ∈  .
3

6

D. Vô nghiệm

4

0 là
Câu 45: Họ nghiệm của phương trình cos 2 2 x − cos 2x − 2 =

π

π


.
2

−π
+ k 2π .
2
2
2
Câu 46: Họ nghiệm của phương trình 3cos 4 x + 2 cos 2 x − 5 =
0 là

A.

+ kπ .

B. −

A. k 2π .

B.

π
3

+

+ k 2π .

π

C.

D.

C. kπ .

D. −

2

+ k 2π .

π
3

+ k 2π .

0 là
Câu 47: Các họ nghiệm của phương trình 3sin 2 2 x + 3cos 2 x − 3 =
A. kπ ;

π
4

+k

π
2

.

B. kπ ; −

π
4

+k

π
2

.

C. kπ ;

π
4

+ kπ .

D. kπ ; −

π
4

+ kπ .

 3π 3π 
− ; 
π
π

2
Câu 48: Nghiệm của phương trình 2 cos  2 x +  + 3cos  2 x +  − 5 =
0 trong khoảng  2 2 
3
3



là:
 7π π 5π 
A. −
; ; .
 6 6 6 

 7π π 5π 
B.  ; − ;  .
6 6 
 6

 7π π 5π 
C. −
;− ;−  .
6
6 
 6

 7π π 5π 
D. −
;− ; 
6 6 
 6

2
0.
Câu 49: Giải phương trình 3cos x + 2 cos x − 5 =

A. x = kπ .

π

B. x =
− + kπ .
2

C. x=

π
2

+ k 2π .

D. x = k 2π .

Câu 50: Phương trình sin 2 x + sin 2 2 x =
1 có nghiệm là:

π

 x= 2 + kπ
A. 
(k ∈ ) .
π
x =
± + kπ

6

π
π

 x= 3 + k 2
B. 
.
π
x =
− + kπ

4

π
π

x
+k
=
12
3
C. 
.
π
x =
− + kπ

3

D. Vô nghiệm.

0 có nghiệm là:
Câu 51: Phương trình tan 2 x + 5 tan x − 6 =
A. x =
C. x =

6

π
4

π
4

x = arctan(−6) + kπ 
+ kπ ; 
( k ∈  )

+ k 2π ;
x = arctan(−6) + k 2π 
( k ∈  )
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11
B. x =


π

4

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

arctan(−6) + k 2π 
x=
+ kπ ; 
(k ∈ )

D. =
x kπ ;=
x arctan(−6) + kπ 

( k ∈ ).
Câu 52: Giải phương trình

π

(

)

3 tan 2 x − 1 + 3 tan x + 1 =
0

π

π

π

π

B. x =
+ k 2π , x =
+ k 2π , k ∈  .
3
4

A. x =+ kπ , x =+ kπ , k ∈  .
4
6

π

π

C. x =
+ k 2π , x =
+ k 2π , k ∈  .
4
6

π

D. x =+ kπ , x =+ kπ , k ∈  .
3
6

Câu 53: Phương trình tan x + 3cot x =
4 (với. k ∈  .) có nghiệm là:
A.

π
4

+ k 2π , arctan 3 + k 2π .

B.

C. arctan 4 + kπ .

π
4

+ kπ .

π

+ kπ , arctan 3 + kπ .
4
Câu 54: Phương trình tan x + 3cot x =
4 (với k ∈  ) có nghiệm là

A.

π
4

D.

+ k 2π , arctan 3 + k 2π .

B.

C. arctan 4 + kπ .
Câu 55: Phương trình

π


 x=
A. 
 x=


4

π

3

+ kπ
.
+ kπ

D.

π
4

π
4

+ kπ .

+ kπ , arctan 3 + kπ .

3 tan 2 x − ( 3 + 3 ) tan x + 3 =
0 có nghiệm là

π

− + kπ
 x =
4
B. 
.
π
 x=
+ kπ

3

π

 x= 4 + kπ
C. 
.
π
x =
− − kπ

3

π

− + kπ
x =
4
D. 
.
π
x =
− + kπ

3

Câu 56: Phương trình 2 tan 2 x + 3 tan x + 1 =
0 có nghiệm là
A. kπ (k ∈ ) .
C.

B.

π

1
+ k 2π , arctan(− ) (k ∈ ) .
2
2

π

1
+ kπ ; arctan(− ) (k ∈ ) .
4
2

D. −

π

1
+ kπ ; arctan(− ) + kπ (k ∈ ) .
4
2

0 là
Câu 57: Một họ nghiệm của phương trình tan 2 2 x − 3 tan 2x + 2 =
A. −

π

+ kπ .

B.

π

+ kπ .

C. −

π

+k

π

8
8
8
2
Câu 58: Họ nghiệm của phương trình 3 tan 2 x + 2 cot 2 x − 5 =
0 là

A. −

π
4

+k

π
2

.

B.

π
4

+k

π
2

.

.

1
2
π
C. − arctan + k .
2
3
2

D.

D.

π

+k

8

π
2

.

1
2
π
arctan + k .
2
3
2

Câu 59: Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 tan 2 x + 5 tan x + 3 =
0 là :
A. −

π
3

.

B. −

π
4

.

C. −

π
6

.

D. −


.
6

 π 
0 trong khoảng  − ; π  là :
Câu 60: Số nghiệm của phương trình 2 tan x − 2 cot x − 3 =
 2 

A. 2 .

B. 1 .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. 4 .

D. 3 .

7


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

2
0.
Câu 61: Giải phương trình : tan x + 2 tan x + 1 =

A.

π

π

+k

B. −

.

π

+ kπ .

4
2
4
Câu 62: Nghiệm của phương trình tan x + cot x =
−2 là

π
2

D. kπ .

+ k 2π .

π

−π
B. x = + k 2π , k ∈  .
4

π

−π
D. x = + kπ , k ∈  .
4

A. x =
+ k 2π , k ∈  .
4
C. x =+ kπ , k ∈  .
4
Câu 63: Phương trình
A. x=

C.

tan x
1
π

cot  x +  có nghiệm là:
=
2
1 − tan x 2
4


π
+ kπ .
3

B. x=

π
π
+k .
6
2

C. x=

π
π
+k .
8
4

x
D. =

π
π
+k .
12
3

Câu 64: Phương trình 2 2 ( sin x + cos x ) .cos x =
3 + cos 2 x có nghiệm là:

π
+ kπ , k ∈  .
6
π
+ k 2π , k ∈  .
C. x=
3
A. x=

π
+ kπ , k ∈  .
6


B. x =

D. Vô nghiệm.

sin 3 x + cos 3 x 

Câu 65: Giải phương trình 5  sin x +
cos 2 x + 3 .
=
1 + 2sin 2 x 


A.=
x ±
C.=
x ±

π
3

π
3

+ k 2π , k ∈  .

B.=
x ±

+ kπ , k ∈  .

D.=
x ±

Câu 66: Cho phương trình

π

+ k 2π , k ∈  .

6

π
6

+ kπ , k ∈  .

1
4 tan x
cos 4 x +
=
m . Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m
2
1 + tan 2 x

phải thỏa mãn điều kiện:
A. −

5
≤ m ≤ 0.
2

C. 1 < m ≤

B. 0 < m ≤ 1 .

3
.
2

5
3
D. m < − hay m > .
2
2

Câu 67: Phương trình: 48 −
A. =
x
C. x=

π
16

π
8

+k

+k

π
4

π
4

1
2
− 2 (1 + cot 2 x.cot x ) =
0 có các nghiệm là
4
cos x sin x

, k ∈ .

B. =
x

, k ∈ .

D. x=

π
12

π
4

+k

+k

π
4

π
4

, k ∈ .
, k ∈ .

Câu 68: Phương trình cos 2 x + sin 2 x + 2 cos x + 1 =0 có nghiệm là
 x = k 2π
A. 
, k ∈ .
 x= π + k 2π
3


8

B. x= π + k 2π , k ∈  .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

π

C. x=

3

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

π

 x= 3 + kπ
D. 
, k ∈ .
π
x =
− + kπ

3

+ k 2π , k ∈  .

π
π 3


Câu 69: Phương trình: cos 4 x + sin 4 x + cos  x −  .sin  3 x −  − =
0 có nghiệm là:
4
4 2


=
A. x k 2π ( k ∈  ) .

=
B. x k 3π ( k ∈  ) .

π

D. x =+ kπ ( k ∈  ) .
4

=
C. x k 4π ( k ∈  ) .

Câu 70: Phương trình sin 3 x + cos 2 x =
1 + 2sin x cos 2 x tương đương với phương trình:
sin x = 0
.
A. 
sin x = 1

sin x = 0
C. 
.
sin x = 1
2


sin x = 0
B. 
.
sin x = −1

sin x = 0
D. 
.
sin x = − 1

2

0 trên [ 0; 2π ] là
Câu 71: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 5 x + cos 2 x + 2sin 3 x sin 2 x =
A. 3π .

C. 5π .

B. 4π .

Câu 72: Số nghiệm của phương trình

cos 4 x
= tan 2 x trong khoảng
cos 2 x

Câu 73: Nghiệm phương trình
A. x =
±
C. x =


π
4

 π
 0;  là :
 2

C. 5 .

B. 4 .

A. 2 .

D. 6π .

D. 3 .

(

cos x ( cos x + 2sin x ) + 3sin x sin x + 2
sin 2 x − 1

+ k 2π . k ∈  .

B. x =



− + k 2π , k ∈  .
+ k 2π , x =
4
4

π

D. x =


π
4

π
4

) =1

+ kπ , k ∈  .

+ k 2π , k ∈  .

=
x cos 4 x cos 2 x + 3cos2 x + 1 . Các nghiệm thuộc khoảng ( −π ;π )
Câu 74: Cho phương trình cos5 x cos
của phương trình là:

π π
π 2π
,
.
C. − , .
2 4
3 3
π
π 5


Câu 75: Phương trình: sin 4 x + sin 4  x +  + sin 4  x −  =
có nghiệm là:
A. −

2π π
, .
3 3

B. −



A. x=

π
π
+k .
8
4

B. x=

4

π
π
+k .
4
2



4

C. x=

D. −

π π

, .
2 2

4

π
+ kπ .
2

D. x= π + k 2π .

π
π


Câu 76: Phương trình: cos  2 x +  + cos  2 x −  + 4sin x =2 + 2 (1 − sin x ) có nghiệm là:
4
4



π

x
+ k 2π
=
12
A. 
.
11
π
x
=
+ k 2π

12

π

x
=
+ k 2π

6
B. 
.
5
π
=
x
+ k 2π

6

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

π

x
=
+ k 2π

3
C. 
.
2
π
=
x
+ k 2π

3

π

 x= 4 + k 2π
D. 
.
3
π
=
x
+ k 2π
4


9


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

sin 3x + cos 3x  3 + cos 2 x

Câu 77: Cho phương trình:  sin x +
. Các nghiệm của phương trình thuộc
=
1 + 2sin 2 x 
5


khoảng ( 0;2π ) là:
A.

π 5π
,

12 12

.

B.

π 5π
, .
6 6

C.

π 5π
, .
4 4

D.

π 5π
, .
3 3

Câu 78: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin 2 x − 2 ( m − 1) sin x cos x − ( m − 1) cos 2 x =
m có
nghiệm?
A. 0 ≤ m ≤ 1 .

B. m > 1 .

C. 0 < m < 1 .

D. m ≤ 0 .

Câu 79: Để phương trình: sin x + 2 ( m + 1) sin x − 3m ( m − 2 ) =
0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của
2

tham số m là:
1
 1
− ≤m<

A.
2
2.

1 ≤ m ≤ 2

1
 1
− ≤m≤

B.
3
3.

1 ≤ m ≤ 3

 − 2 ≤ m ≤ −1
C. 
.
0 ≤ m ≤ 1

 −1 ≤ m ≤ 1
D. 
.
3 ≤ m ≤ 4

a | sin 2 x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:
Câu 80: Để phương trình sin 6 x + cos6 x =
1
A. 0 ≤ a < .
8

B.

1
3
8
8

(

C. a <

1
.
4

) (

D. a ≥

1
.
4

)

m trong đó m là tham
Câu 81: Cho phương trình: 4 sin 4 x + cos4 x − 8 sin 6 x + cos6 x − 4sin 2 4 x =
số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

3
≤ m ≤ −1 .
2

A. −1 ≤ m ≤ 0 .

B. −

3
C. −2 ≤ m ≤ − .
2

D. m < −2 hay m > 0 .

Câu 82: Cho phương trình:

sin 6 x + cos 6 x
= 2m.tan 2 x , trong đó m là tham số. Để phương trình có
cos 2 x − sin 2 x

nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

10

A. m ≤ −

1
1
hay m ≥ .
8
8

B. m ≤ −

1
1
hay m ≥ .
4
4

C. m < −

1
1
hay m > .
8
8

D. m < −

1
1
hay m > .
4
4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

+ Là phương trình có dạng f (sin x ,cos x) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng
lẻ.
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cos k x ≠ 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là
tan x .

Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?

π
Lưu ý: cosx = 0 ⇔ x = + kπ ⇔ sin2 x =
1 ⇔ sin x =
± 1.
2
• Khi cos x ≠ 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ 0 ta được:
a.tan2 x + b.tan x + c = d (1 + tan 2 x )

• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
(a − d )t 2 + b.t + c − d =0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
(1) ⇔ a.

1 − cos 2 x
sin 2 x
1 + cos 2 x
+ b.
+ c.
=
d
2
2
2

⇔ b.sin 2 x + (c − a).cos 2 x = 2d − a − c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)

B– BÀI TẬP

6 có các nghiệm là:
Câu 1: Phương trình 6sin 2 x + 7 3 sin 2 x − 8cos 2 x =

 x=
A. 
 x=


π


 x=
C. 
=
x


π

2

π

6
8


 x=
B. 
 x=


+ kπ
+ kπ

, k ∈ .

12

+ kπ

, k ∈ .

Câu 2: Phương trình

(

4

π

3

+ kπ
+ kπ

, k ∈ .



x
+ kπ
=
4
D. 
, k ∈ .

=
x
+ kπ

3

+ kπ

π

π

)

3 + 1 sin 2 x − 2 3 sin x cos x +

(

)

3 − 1 cos 2 x =
0 có các nghiệm là:

π

x
=

+ kπ
vôùi tanα =−2 + 3 , k ∈  .
A. 
4

 x= α + kπ

π

x
=
+ kπ
B. 
4

 x= α + kπ

( vôùi tan α=

2 − 3 , k ∈ .

π

x=
− + kπ

vôùi tan α =−1 + 3 , k ∈  .
C.
8

 x= α + kπ

π

x=
+ kπ

D.
8

 x= α + kπ

( vôùi tan α =

1− 3 , k ∈  .

(

(

Câu 3:

=
A. x

)

)

)

)

2.
Giải phương trình 3sin 2 2 x − 2sin 2 x cos 2 x − 4 cos 2 2 x =
1

1

arctan 3 + =
,x
arctan(−2) +
, k ∈ .
2
2
2
2

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

11


Tổng ôn Toán 11
B. x arctan
=

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

1 + 73 kπ
1 − 73 kπ
, x arctan
, k ∈ .
+=
+
12
2
12
2

1
1 + 73 kπ
1
1 − 73 kπ
arctan
,x
arctan
, k ∈ .
=
+
+
2
6
2
2
6
2

C. x
=

3 kπ

x arctan + =
, x arctan(−1) +
, k ∈ .
D.=
2 2
2

0 có nghiệm là:
Câu 4: Phương trình 2sin 2 x + sin x cos x − cos 2 x =
A.

π
+ kπ , k ∈  .
4

C. −

π

1
+ kπ , arctan   + kπ , k ∈  .
4
2

π
6

π

1
+ kπ , arctan   + kπ , k ∈  .
4
2

D. −

π

1
+ k 2π , arctan   + k 2π , k ∈  .
4
2

Một họ nghiệm của phương trình 2sin 2 x − 5sin x cos x − cos 2 x =
−2 là

Câu 5:
A.

B.

+ kπ , k ∈  .

B. −

π
4

+ kπ , k ∈  .

C.

π
4

+ kπ , k ∈  .

D. −

π
6

+ kπ , k ∈ 

.

3 + 3 là
Câu 6: Một họ nghiệm của phương trình 2 3 cos 2 x + 6sin x cos x =

+ k 2π , v k ∈  .
4
k ∈ .

A.

B.

π
4

+ kπ , k ∈  .

C. −

π
4

+ kπ , k ∈  .

D. −

π
4

+ k 2π ,

Câu 7: Một họ nghiệm của phương trình −3sin x cos x + sin 2 x =
2 là
1
π
arctan ( −2 ) + k , k ∈  .
2
2

A. arctan ( −2 ) + kπ , k ∈  .

B.

1
π
C. − arctan ( −2 ) + k , k ∈  .
2
2

D. arctan ( 2 ) + kπ , k ∈  .

0 là
Câu 8: Một họ nghiệm của phương trình 2sin 2 x + sin x cos x − 3cos 2 x =
 3
A. arctan  −  + kπ , k ∈  .
 2

 3
B. − arctan  −  + kπ , k ∈  .
 2

3
C. arctan   + kπ , k ∈  .
2

3
D. − arctan   + kπ , k ∈  .
2

2 là
Câu 9: Một họ nghiệm của phương trình 3sin 2 x − 4sin x cos x + 5cos 2 x =
A. −

π
+ k 2π , k ∈  .
4

B.

π
+ kπ , k ∈  .
4

C. −

π
4

+ kπ , k ∈  .

D.


+ k 2π ,
4

k ∈ .
Câu 10: Phương trình : sin 2 x − ( 3 + 1) sin x cos x + 3 cos 2 x =
0 có họ nghiệm là
A. −
C. ±

12

π

+ kπ , k ∈  .

B.


+ kπ , k ∈  .
4

π
+ kπ , k ∈  .
3

D.

π
π
+ kπ , + kπ , k ∈  .
3
4

4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

2 − 2 3 sin 4 x cos 4 x có nghiệm là:
Câu 11: Phương trình 3cos 2 4 x + 5sin 2 4 x =

π
+ kπ , k ∈  .
6
π
π
− + k , k ∈ .
C. x =
18
3

A. x =

π

π

π

π

− + k , k ∈ .
B. x =
12
2
− + k , k ∈ .
D. x =
24
4

 π
0 có:
Câu 12: Trong khoảng  0 ;  , phương trình sin 2 4 x + 3.sin 4 x.cos 4 x − 4.cos2 4 x =
 2

A. Ba nghiệm.

B. Một nghiệm.

C. Hai nghiệm.

D. Bốn nghiệm.

−4 có họ nghiệm là
Câu 13: Phương trình 2 cos 2 x − 3 3 sin 2 x − 4sin 2 x =

 x=
A. 
 x=

C. x=

π

+ kπ
, k ∈ .

B. x=

π
+ k 2π , k ∈  .
2

π
+ kπ , k ∈  .
6

D. x=

π
+ kπ , k ∈  .
2

2

π

6

+ kπ

2
2
0 (với k ∈  ) có nghiệm là:
Câu 14: Phương trình 2sin x + sin x cos x − cos x =

π
+ kπ .
4
1
π
D. − + kπ ,arctan( ) + kπ .
4
2

π
1
+ k 2π ,arctan( ) + k 2π .
4
2
π
1
C. + kπ ,arctan( ) + kπ .
4
2
A. −

B.

Câu 15: Giải phương trình cos3 x + sin 3 x= 2 ( cos5 x + sin 5 x )
A. x =
±

π
4

+ k 2π

B. x =
±

π

1
+k π
4
2

C. x =
±

π

1
+k π
4
3

D. x =
±

π
4

+ kπ

=
x cos x ( 4sin x − cos x )
Câu 16: Giải phương trình sin 2 x + 3 tan
A. x =
C. x =

π
4

(

)

+ k 2π , x = arctan −1 ± 2 + k 2π

π

(

)

2
2
+ k π , x = arctan −1 ± 2 + k π
4
3
3

B. ⇔ x =
D. ⇔ x =

π

(

)

1
1
+ k π , x = arctan −1 ± 2 + k π
4
2
2

π
4

(

)

+ kπ , x = arctan −1 ± 2 + kπ

=
x + 1) 3sin x ( cos x − sin x ) + 3
Câu 17: Giải phương trình sin 2 x ( tan

π

− + k 2π
x =
4
A. 
π
x =
± + k 2π

3

π
1

− +k π
x =
4
2
B. 
π
1
x =
± +k π

3
2

π
2

− +k π
x =
4
3
C. 
π
2
x =
± +k π

3
3

π

− + kπ
x =
4
D. 
π
x =
± + kπ

3

Câu 18: Giải phương trình 4sin 3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x =
0

π

π

A. x = + k 2π , x =
± + k 2π
4
3

1
1
π
π
B. x = + k π , x =
± +k π
4
2
3
2

π
1
π
1
C. x = + k π , x =
± +k π
4
3
3
3

D. x = + kπ , x =
± + kπ
4
3

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

π

π

13


Tổng ôn Toán 11

Câu 19: Giải phương trình 2 cos3 x = sin 3 x

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

=
 x arctan(−2) + k 2π
A. 
 x= π + k 2π

4

1

=
 x arctan(−2) + k 2 π
B. 
 x= π + k 1 π

4
2

2

=
 x arctan(−2) + k 3 π
C. 
 x= π + k 2 π

4
3

=
 x arctan(−2) + kπ
D. 
 x= π + kπ

4

1 + sin 2 x
Câu 20: Giải phương trình cos 2 x − 3 sin 2 x =
 x = k 2π
A. 
 x= π + k 2π
3


1

x = k 2 π
B. 
 x= π + k 1 π

3
2

2

x = k 3 π
C. 
 x= π + k 2 π

3
3

 x = kπ
D. 
 x= π + kπ
3


Câu 21: Giải phương trình 2 cos 2 x + 6sin x cos x + 6sin 2 x =
1
A. x =

C. x =


14

π

 1
arctan  −  + k 2π
+ k 2π ; x =
4
 5

π

1
1
 1
+ k π;x =
arctan  −  + k π
4
4
4
 5

B. x =

D. x =


π

2
2
 1
+ k π;x =
arctan  −  + k π
4
3
3
 5

π

 1
+ kπ ; x =
arctan  −  + kπ
4
 5

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
Dạng 1: Là phương trình có dạng:
0 (3)
a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c =

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ
Đặt: t = cos x + sin x =


π
2.cos  x +  ; t ≤ 2.
4


1
⇒ t 2 =1 + 2 sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = (t 2 − 1).
2
Thay và (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c =
0
(3’)
Để giải phương trình này ta cũng đặt t= sin x − cos x=

t ∈  − 2; 2 


π  
2 sin  x −  ⇒ 
2
4  sin x cos x = 1 − t


2

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.
Lưu ý:

=
x
• cos x + sin


π
2 cos  x −=

4



π
2 sin  x + 
4




π
π
− 2 sin  x − 
• cos x − sin x =2 cos  x +  =
4
4


Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
• Đặt:=
t

cos x ± sin=
x


π
2. cos  x   ; Ñk : 0 ≤ t ≤ 2.
4


1
⇒ sin x.cos x =
± (t 2 − 1).
2

• Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
B– BÀI TẬP

1
1 − sin 2 x có nghiệm là:
Câu 1: Phương trình sin x + cos x =
2

π
π

 x= 6 + k 2
A. 
, k ∈ .
x = k π

4

π

 x= 8 + kπ
B. 
, k ∈ .
x = k π

2

π

x=
+ kπ

C.
, k ∈ .
4

 x = kπ

π

+ k 2π
x=

D.
, k ∈ .
2

 x = k 2π

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

15


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

1
1 − sin 2 x có nghiệm là:
Câu 2: Phương trình sin 3 x + cos3 x =
2

π

x=
+ kπ

A.
, k ∈ .
4

 x = kπ

π

+ k 2π
x=

B.
, k ∈ .
2

 x = k 2π



x
+ kπ
=
4
C. 
, k ∈ .
x = k π

2



=
+ kπ
x
2
D. 
, k ∈ .

=
 x ( 2k + 1) π

0
Câu 3: Giải phương trình 2sin 2 x − ( sin x + cos x ) + 1 =
A. x= kπ , x=

π
1 

+ kπ hoặc x =± arccos  −
 + kπ
4
2
 2 2

π

π
1 
1
π
1
1

B. x= k π , x=
+k π
+ k π hoặc x =± arccos  −

3
2
3
4
3
 2 2

π
1 
2
2
π
2

C. x= k π , x=
+k π
+ k π hoặc x =± arccos  −

4
3
3
2
3
 2 2
D. x= k 2π , x=

π
1 

+ k 2π hoặc x =± arccos  −
 + k 2π
4
2
 2 2

π

0
Câu 4: Giải phương trình sin 2 x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 =
A. x = + kπ , x =−π + k 2π
2

π
2
B. x = + k 2π , x =−π + k π
2
3

π
1
2
C. x = + k π , x =−π + k π
2
3
3

D. x = + k 2π , x =−π + k 2π
2

π

π

π

Câu 5: Giải phương trình sin 2 x + 2 sin  x −  =
1
4

A. x =+ kπ , x =+ kπ , x =
π + k 2π
4
2

π
1
π
1
1
B. x =
+ k π,x =
+ k π,x =
π +k π
4
2
2
2
2

π
2
π
2
C. x =
+ k π,x =
+ k π,x =
π + k 2π
4
3
2
3

D. x =+ kπ , x =+ k 2π , x =
π + k 2π
4
2

π

π

π

π

Câu 6: Giải phương trình 1 + tan x =
2 2 sin x
11π

π
A. x =
+ kπ , x =+ kπ , x =

+ kπ
4
12
12

π
2
11π
2

2
B. x =
+ k π,x =
+ k π,x =

+k π
4
3
12
3
12
3
π
11π
1

C. x =+ k 2π , x = + k π , x =

+ k 2π
4
12
4
12
11π

π
D. x =+ k 2π , x = + k 2π x =
,x =

+ k 2π
4
12
12

16

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

1
Câu 7: Giải phương trình cos x − sin x + 2sin 2 x =
A. x =

k 3π
2

B. x =

k 5π
2

C. x =

k 7π
2

D. x =


2

Câu 8: Giải phương trình cos3 x + sin 3 x =
cos 2 x
A. x =

C. x =


π
4

+ k 2π , x =


π
2


+ kπ , x =

π

1
2
π
+ k π,x =
− + k π,x =
k 2π
4
3
2
3

B. x =

D. x =


π

2
π
+ k π,x =
− + kπ , x =

4
3
2

π
4

+ kπ , x =


π
2

+ k 2π , x =
k 2π

Câu 9: Giải phương trình cos3 x + sin 3 x= 2sin 2 x + sin x + cos x
A. x =

k 3π
2

B. x =

k 5π
2

Câu 10: Giải phương trình cosx +

C. x = kπ

D. x =


2

1
1
10
+ sinx +
=
cos x
sin x 3

2 + 19
π
A. x =
± arccos
+ k 2π
4
3 2

2 + 19
π
B. x =
± arccos
+ k 2π
4
2

π
2 + 19
C. x =
± arccos
+ kπ
4
2

π
2 − 19
D. x =
± arccos
+ k 2π
4
3 2

Câu 11: Cho phương trình sin x cos x − sin x − cos x + m =
0 , trong đó m là tham số thực. Để phương
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

1
A. −2 ≤ m ≤ − − 2 .
2

1
B. − − 2 ≤ m ≤ 1 .
2

C. 1 ≤ m ≤

1
+ 2.
2

D.

1
+ 2 ≤ m≤ 2.
2

Câu 12: Phương trình 2sin 2 x − 3 6 sin x + cos x + 8 =
0 có nghiệm là

π

 x= 3 + kπ
A. 
, k ∈ .
5
π
=
+ kπ
x

3

π

=
+ kπ
x
B. 
, k ∈ .
4

x 5π + kπ
=

π

 x= 6 + kπ
C. 
, k ∈ .

=
+ kπ
x

4


x
=
D. 
=
x


Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

π

+ kπ
12
, k ∈ .

+ kπ
12

17


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

HƯỚNG DẪN GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác
A. 2sin 2 x + sin 2 x − 1 =0.

0.
B. 2sin 2 2 x − sin 2 x =

0.
C. cos 2 x + cos2 x − 7 =

0.
D. tan 2 x + cot x − 5 =

Hướng dẫn giải:.
Chọn B.
Câu 2: Nghiệm của phương trình sin 2 x – sin x = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < π .
A. x =

π

B. x = π .

.

2
Hướng dẫn giải::
Chọn A.

C. x = 0 .

D. x = −

π
.
2

 x = kπ
sin x = 0
⇔
sin x – sin x =
0⇔
(k ∈ )
 x= π + k 2π
sin x = 1

2
2

Vì 0 < x < π nên nghiệm của phương trình là x =

π
2

.

0 thỏa điều kiện 0 ≤ x <
Câu 3: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin 2 x − 3sin x + 1 =
A. x =

π

B. x =

3
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

π

C. x =

2

π
6

D. x =

π
2

là:


6

t = 1
Đặt
=
t sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) , phương trình trở thành: 2t − 3t + 1 = 0 ⇔  1
t =
 2
2

π

Với t = 1 , ta có: sin x =1 ⇔ x = + k 2π ( k ∈  ) .
2
Do 0 ≤ x <

π
2

nên 0 ≤

π
2

+ k 2π <

π
2



−1
≤ k < 0. Vì k ∈  nên không tồn tại k.
4

π

x=
+ k 2π

π
1
1
6
Với t = , ta có: sin x= = sin ⇔ 
.

2
6
2
=
x
+ k 2π

6
Do 0 ≤ x <

π
2

nên x =

π
.
6

Vậy phương trình có nghiệm x =

π
6

thỏa điều kiện 0 ≤ x <

π
2

.

0 có nghiệm là:
Câu 4: Phương trình sin 2 x + 3sin x − 4 =

π

A. x =
+ k 2π , k ∈ 
2

18

π + k 2π , k ∈ 
B. x =

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

π

=
x kπ , k ∈ 
C.

D. x =+ kπ , k ∈ 
2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
t = 1
2
0⇔
.
Đặt
=
t sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) , phương trình trở thành: t + 3t − 4 =
t = −4 (l )
Với t = 1 , ta có: sin x = 1 ⇔ x =

π
2

+ k 2π

( k ∈ ).

Câu 5: Nghiệm của phương trình sin 2 x + sin x =
0 thỏa điều kiện: −
B. x = π .

A. x = 0 .

C. x =

π
3

π
2


π
2

.
D. x =

.

π
2

.

Hướng dẫn giải::
Chọn A.

 x = kπ
sin x = 0
⇔
sin x + sin x =
0⇔
(k ∈ )
π
− + k 2π
sin x = −1  x =
2

2

Vì −

π
2


π
2

nên nghiệm của phương trình là x = 0 .

Câu 6: Trong [ 0; 2π ) , phương trình sin x = 1 − cos 2 x có tập nghiệm là
π

A.  ; π ; 2π  .
2


B. {0; π } .

 π

D. 0; ; π ; 2π  .
 2


 π 
C. 0; ; π  .
 2 

Hướng dẫn giải::
Chọn C.

 x = kπ
sin x = 0
⇔
sin x =
1 − cos x ⇔ sin x =
sin x ⇔ 
(k ∈ ) .
 x= π + k 2π
=
x
sin
1


2
2

2

 π 
Mà x ∈ [ 0; 2π ) ⇔ x ∈ 0; ; π  .
 2 

2 có nghiệm là:
Câu 7: Phương trình: 2sin 2 x + 3 sin 2 x =

 x=
A. 
 x=


π
6

π
2

+ k 2π
+ k 2π

,k ∈

π

C. x =+ kπ , k ∈ 
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có :


 x=
B. 
 x=


π
6

π
2

+ kπ
+ kπ

,k ∈

π

D. x =
+ k 2π , k ∈ 
2

1 − cos 2 x
π
π

2sin 2 x + 3 sin 2 x =
2 ⇔ 2.
1 ⇔ sin  2 x −  =
+ 3 sin 2 x =
2 ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x =
sin
2
6
6


Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

19


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

π π


π

 2 x − 6 = 6 + k 2π
 x=
x
k
π
=
+
2
2


⇔
⇔
3

 2 x − π = 5π + k 2π
 x=
 2 x= π + k 2π


6
6

π

6

π
2

+ kπ
+ kπ

( k ∈ ).

0 là :
Câu 8: Nghiệm của phương trình sin 2 x − 4sin x + 3 =
A. x =


π
2

+ k 2π , k ∈ 

B. x =
±

π

π
2

+ k 2π , k ∈ 

=
D. x k 2π , k ∈ 

C. x =
+ k 2π , k ∈ 
2
Hướng dẫn giải::
Chọn C
sin x = 1
sin 2 x − 4sin x + 3 =
0⇔
sin x = 3
π
Với sin x = 1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ 
2
Phương trình sin x= 3 > 1 vô nghiêm.

0 là
Câu 9: Nghiệm của phương trình 5 − 5sin x − 2cos 2 x =
B. kπ , k ∈  .

B. k 2π , k ∈  .

C.

π
2

+ k 2π , k ∈  .

D.

π
6

+ k 2π , k ∈  .

Hướng dẫn giải::
Chọn C.
sin x = 1
2
2

5

5sin
x
+
2
1

sin
x
=
0
5 − 5sin x − 2cos x =
0
(
) ⇔ −2sin x − 5sin x + 7 =0 ⇔ sin x = − 7

2
π
Với sin x =1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ 
2
7
Phương trình sin x = − < −1 vô nghiêm.
2
3
Câu 10: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin 2 x − 2sin x + =
0.
4
π

π
A. x =
B. x =+ kπ ; x = + kπ (k ∈ ) .
+ k 2π (k ∈ ) .
6
6
6
π

π
π
C. x =
D. x = + kπ ; x =
+ k 2π ; x =+ k 2π (k ∈ ) .
− + kπ ( k ∈  ) .
6
6
6
6
Hướng dẫn giải::
Chọn C.
2

1

sin x =

3
2
sin 2 x − 2sin x + =
0⇔
4
sin x = 3

2

20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

π

+ k 2π
x=

1
6
Với sin x = ⇔ 
k ∈

2
=
+ k 2π
x

6
Phương trình sin x=

3
> 1 vô nghiêm.
2

0 có nghiệm là:
Câu 11: Phương trình 2sin 2 x + sin x − 3 =
A. kπ , k ∈  .

B.

π
2

+ kπ , k ∈  .

C.

π
2

+ k 2π , k ∈  .

D. −

π
6

+ k 2π , k ∈ 

.
Hướng dẫn giải::
Chọn C.
sin x = 1
2sin x + sin x − 3 =
0⇔
sin x = −3

2
2

Với sin x = 1 ⇔ x =

π
2

+ k 2π , k ∈ 

3
Phương trình sin x = − < −1 vô nghiêm.
2
Câu 12: Các họ nghiệm của phương trình cos 2 x − sin x =
0 là

A.

π
6

2π π
; + k 2π ; k ∈  .
3 2

2π −π
+ k 2π ; k ∈  .
;
6
3 2
Hướng dẫn giải:

C.

π

+k
+k

B.

−π
2π −π
+k
;
+ k 2π ; k ∈  .
6
3 2

D.

−π
2π π
+k
; + k 2π ; k ∈  .
6
3 2

Chọn C.

π

− + k 2π
x =
2
sin x = −1 
π
Ta có cos 2 x − sin x =
0 ⇔ 1 − 2sin 2 x − sin x ⇔ 
⇔  x =+ k 2π ( k ∈  ) .
1

sin x =
6

2


=
x
+ k 2π

6
Câu 13: Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 3sin x + 1 =
0 thỏa điều kiện: 0 ≤ x <
A. x =

π

.

6
Hướng dẫn giải::

B. x =

π
4

.

C. x =

π
2

.

π
2

.

D. x = −

π
.
2

Chọn A.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

21


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

π

 x= 2 + k 2π

sin x = 1
π
2

⇔  x = + k 2π ( k ∈  )
2sin x – 3sin x + 1 =
0⇔
1

sin x =
6


2

=
+ k 2π
x

6

Vì 0 ≤ x <

π
2

nên nghiệm của phương trình là x =

π
.
6

Câu 14: Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 5sin x – 3 = 0 là:
A. x =


π

B. x =
+ k 2π ; x =+ k 2π .
3
6

π


+ k 2π ; x = + k 2π .
6
6


π
D. x =
+ k 2π ; x =+ k 2π .
4
4

π

C. x =+ kπ ; x =
π + k 2π .
2
Hướng dẫn giải::
Chọn A.

π

− + k 2π
sin x= 3 > 1  x =
6
⇔
2sin 2 x – 5sin x – 3 = 0 ⇔ 
(k ∈ ) .
sin x = − 1
7
π
=
x
+ k 2π
2


6
2
Câu 15: Nghiêm của pt sin
=
x – sinx + 2 là:

A. x=

π
+ k 2π .
2

B. x=

π
2

+ kπ .

x
C.=

−π
+ k 2π .
2

D. x = kπ .

Hướng dẫn giải::
ChọnA.
Đặt t = sin x . Điều kiện t ≤ 1

t = 1 ( TM)
Phương trình trở thành: t 2 =−t + 2 ⇔ t 2 + t − 2 =0 ⇔ 
t = −2 (L)
Với t =1 ⇒ sin x =1 ⇔ x =

π
+ k 2π (k ∈ Z).
2

Câu 16: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin 2 x − 2sin x +

π

A. x =
+ k 2π (k ∈ ) .
6

π

C. x =
+ k 2π ; x =+ k 2π (k ∈ ) .
6
6
Hướng dẫn giải::

3
=.
0
4

π

B. x =+ kπ ; x = + kπ (k ∈ ) .
6
6

π

π

D. x = + kπ ; x =
− + kπ ( k ∈  ) .
6
6

Chọn C.
3

sin x =

3
2.
sin 2 x − 2sin x + = 0 ⇔ 
4
sin x = 1

2
22

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

3
3
⇒ vô nghiệm vì > 1 .
2
2

+ sin x=

π

+ k 2π
x=

π
1
6
+ sin x =⇔ sin x =
sin ⇔ 
,(k ∈ ) .

2
6
=
+ k 2π
x

6
0 là
Câu 17: Nghiệm của phương trình cos 2 x + sin x + 1 =

π

A. x =
+ k 2π , k ∈  .
2
C. x =


π
2

B. x =


π
2

+ kπ , k ∈  .

π

+ k 2π , k ∈  .

D. x =
 + k 2π , k ∈  .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn C

 cos 2 x + sin x + 1 =0 ⇔ 1 − sin 2 x + sin x + 1 =0 ⇔ − sin 2 x + sin x + 2 =0
sin x = −1
π
⇔
⇔x=
− + k 2π , k ∈ 
2
sin x = 2(vn)

− sin x + 2 là
Câu 18: Nghiêm của phương trình sin 2 x =

π

=
x kπ , k ∈  .
A.
C. x =


π
2

+ k 2π , k ∈  .
B. x =
2

π

+ k 2π , k ∈  .

D. x =+ kπ , k ∈  .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn B
sin x = 1
π
sin 2 x =
− sin x + 2 ⇔ sin 2 x + sin x − 2 =
0⇔
⇔ x = + k 2π , k ∈ 
2
sin x = −2(vn)

0 có nghiệm là
Câu 19: Phương trình 2sin 2 x + 3sin x − 2 =
A. kπ , k ∈  .
C.

π
2

B.

+ k 2π , k ∈  .

D.

π
2

π
6

+ kπ , k ∈  .

+ k 2π ;


+ k 2π , k ∈  .
6

Hướng dẫn giải:
Chọn D

π

x=
+ k 2π
1


sin x =
6
2

2sin x + 3sin x − 2 =
0⇔
,k ∈
⇔
2



=
x
+ k 2π
sin x = −2(vn)

6
0 thõa điều kiện 0 < x <
Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2 cos 2 x + 3sin x − 3 =
A. x =

π

.

3
Hướng dẫn giải::

B. x =

π
2

.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. x =

π
6

.

D. x =

π
2

là:


.
6

23


Tổng ôn Toán 11

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

Chọn C .

0
2 cos 2 x + 3sin x − 3 = 0 ⇔ 2 (1 − sin 2 x ) + 3sin x − 3 =


 x = kπ
sin x = 1

π
2

⇔ 2sin x − 3sin x + 1 =0 ⇔
⇔  x = + k 2π , k ∈  .
1
sin x =

6

2


=
+ k 2π
x
6


Do 0 < x <

π
2

nên ta chọn x =

π
6

.

0 là
Câu 21: Nghiệm của phương trình 1 − 5sin x + 2 cos 2 x =

π

 x= 6 + k 2π
A. 
,k ∈ .
π
x =
− + k 2π

6

π

 x= 6 + k 2π
B. 
,k ∈ .

=
x
+ k 2π

6

π

 x= 3 + k 2π
C. 
,k ∈ .
π
x =
− + k 2π

3

π

 x= 3 + k 2π
D. 
,k ∈ .

=
+ k 2π
x
3


Hướng dẫn giải::
Chọn B .

1 − 5sin x + 2 cos 2 x =
0 ⇔ 1 − 5sin x + 2 (1 − sin 2 x ) =0 ⇔ 2sin 2 x + 5sin x − 3 =
0

π

1

x
=
+ k 2π

sin x =
π
6

2

, k ∈ .
sin ⇔ 
⇔ sin x =


6

x
=
+ k 2π
sin x = −3 ( VN )

6
0 là:
Câu 22: Nghiệm của phương trình 5 − 5sin x − 2 cos 2 x =
A. kπ , k ∈  .

B. k 2π , k ∈  .

C.

π
2

+ k 2π , k ∈  .

D.

π
6

+ k 2π , k ∈  .

Hướng dẫn giải::
Chọn C .

0 ⇔ 2sin 2 x − 5sin x + 3 =
5 − 5sin x − 2 cos 2 x =
0 ⇔ 5 − 5sin x − 2 (1 − sin 2 x ) =
0.
sin x = 1
π
⇔ x = + k 2π , k ∈  .
⇔
3
sin x = ( VN )
2

2

0 là :
Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin 2 2 x − 2s in2x + 1 =
A. −

π

+ kπ .

4
Hướng dẫn giải::

B.

π
4

+ kπ .

C.

π
4

+ k 2π .

D. −

π
4

+ k 2π .

Chọn B.

24

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

sin 2 2 x − 2sin 2 x + 1 = 0 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ 2 x =

Chuyên đề 4. Phương trình bậc 2 với hàm số lượng giác

π

2

π

+ k 2π ⇔ x =

4

+ kπ ( k ∈  ) .

Câu 24: Một họ nghiệm của phương trình cos 2 2 x + sin 2x − 1 =0 là
A.

π

+ kπ .

B. k

2
Hướng dẫn giải::

π
3

C. −

.

π
2

+k

π
2

.

D. k

π
2

.

Chọn D.

sin 2 x = 1
cos 2 2 x + sin 2x − 1= 0 ⇔ − sin 2 2 x + sin 2x = 0 ⇔ 
.
sin 2 x = 0
+) sin 2 x = 1 ⇔ 2 x =

π
2

π

+ k 2π ⇔ x =

4

+ kπ ( k ∈  ) .


(k ∈ ) .
2
Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2 cos 2 x + 3sin x − 1 =0 là

+) sin 2 x = 0 ⇔ 2 x = kπ ⇔ x =

 1
B. π − arcsin  −  + k 2π .
 4

 1
A. π + arcsin  −  + k 2π .
 4

C.

π

1
 1
− arcsin  −  + kπ .
2 2
 4

D.

π

 1
− arcsin  −  + kπ .
2
 4

Hướng dẫn giải::
Chọn B.

sin x = 1
2 cos 2 x + 3sin x − 1 =
0 ⇔ 2 (1 − 2sin x ) + 3sin x − 1 =
0 ⇔ −4sin x + 3sin x + 1 ⇔ 
.
sin x = − 1

4
2

2

π

+) sin x =1 ⇔ x = + k 2π ( k ∈  ) .
2


 1
=
x arcsin  −  + k 2π

1
 4
(k ∈ ) .
− ⇔
+) sin x =
4

 1
 x =π − arcsin  − 4  + k 2π
Câu 26: Nghiệm của phương trình sin 2 2 x + 2sin 2 x + 1 =
0 trong khoảng ( −π ; π ) là :
 π 3π 
A. − ; −  .
4 
 4

 π 3π 
C.  ;  .
4 4 

 π 3π 
B. − ;  .
 4 4 

 π 3π 
D.  ; −  .
4 
4

Hướng dẫn giải::
Chọn B.

sin 2 2 x + sin 2 x + 1 =0 ⇔ sin 2 x =−1
⇔ 2x =


π
2

+ k 2π

Theo đề ra −π < x =


⇔x=


π
4

+ kπ ( k ∈  )

π

.

k
3
5
+ kπ < π ⇔ − < k < ⇒ 
4
4
4 k

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

π

x= −

=0
4.
⇒
=1
 x = 3π

4
25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×