Tải bản đầy đủ

GIẢI CHI TIẾT tọa độ trong không gian

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS
CHỦ ĐỀ 26. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Câu 1.

Câu 2.

HƯỚNG DẪN GIẢI





Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos ϕ bằng



 
a
.b
−a.b

a.b
a+b
A.   .
B.   .
C.   .
D.   .
a.b
a.b
a.b
a.b


Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a = (1; 2;0 ) và
=
b ( 2;0; −1) , khi đó cos ϕ bằng
A. 0.

Câu 3.

Câu 4.
Câu 5.

Câu 7.

B.

2
.
5

C.

2
.
5

2
D. − .
5





Cho vectơ a = (1;3; 4 ) , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a




A. b =( −2; −6; −8 ) .
B. b =( −2; −6;8 ) .
C. b = ( −2;6;8 ) .
D. b = ( 2; −6; −8 ) .


Tích vô hướng của hai vectơ a =
( −2; 2;5) , b =
( 0;1; 2 ) trong không gian bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
Trong không gian cho hai điểm A ( −1; 2;3) , B ( 0;1;1) , độ dài đoạn AB bằng
8.
C. 10.
D. 12.

 
Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M ( x; y; z ) thì OM bằng
  
  
  
  
A. − xi − y j − zk .
B. xi − y j − zk .
C. x j + yi + zk .
D. xi + y j + zk .


 
Tích có hướng của hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu  a , b  , được
xác định bằng tọa độ
A. ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .
B. ( a2b3 + a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 + a2b1 ) .
A.

Câu 6.

VIP

6.

B.

D. ( a2b2 − a3b3 ; a3b3 − a1b1 ; a1b1 − a2b2 ) .
( a2b3 − a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .



Cho các vectơ u = ( u1 ; u2 ; u3 ) và v = ( v1 ; v2 ; v3 ) , u.v = 0 khi và chỉ khi
C.

Câu 8.

Câu 9.

A. u1v1 + u2 v2 + u3v3 =
1.

B. u1 + v1 + u2 + v2 + u3 + v3 =
0.

C. u1v1 + u2 v2 + u3v3 =
0.


Cho vectơ a= (1; −1; 2 ) , độ dài vectơ a là

D. u1v2 + u2 v3 + u3v1 =
−1 .

A. 6 .
B. 2.
C. − 6 .
D. 4.
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M ( a;0;0 ) , a ≠ 0 . B. M ( 0; b;0 ) , b ≠ 0 . C. M ( 0;0; c ) , c ≠ 0 . D. M ( a;1;1) , a ≠ 0 .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng ( Oxy ) sao cho M không trùng với
gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c ≠ 0 )
A. ( 0; b; a ) .
B. ( a; b;0 ) .
C. ( 0;0; c ) .
D. ( a;1;1)




Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a = ( 0;3; 4 ) và b = 2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
C. ( 2;0;1) .
 


Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó u , v  bằng
A. ( 0;3; 4 ) .

B. ( 4;0;3) .

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

D. ( −8;0; −6 ) .

1


 
 
A. u . v .sin u , v .

 
 

 

 
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u , v .
D. u.v.sin u , v .



Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a =−
(1; 1; 2 ) , b =
( 3;0; −1) , c =
( −2;5;1) , vectơ
   
m = a + b − c có tọa độ là
B. ( −6;6;0 ) .
C. ( 6; −6;0 ) .
D. ( 0;6; −6 ) .
A. ( 6;0; −6 ) .

( )

( )

( )

( )

Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Độ dài các cạnh
AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A.

21, 13, 37 .

B. 11, 14, 37 .

C.

21, 14, 37 .

D.

21, 13, 35 .

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là
5 2 4
A.  ; ; −  .
3 3 3

5 2 4
B.  ; ;  .
3 3 3

5

D.  ;1; −2  .
2


C. ( 5; 2; 4 ) .

Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1; 2;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 0; −2;5 ) . Để 4 điểm A, B, C , D
đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
B. D (1; 2;3) .
C. D (1; −1;6 ) .
D. D ( 0;0; 2 ) .
A. D ( −2;5;0 ) .
Hướng dẫn giải
  
Cách 1:Tính  AB, AC  . AD = 0

Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm được.







Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a =
(1; 2; 3), b =
(−2; 0;1), c =
(−1; 0;1) . Tìm tọa độ của











vectơ n = a + b + 2c − 3i


=
n
B.
A. n = ( 6; 2;6 ) .

( 6; 2; −6 ) .


C. n = ( 0; 2;6 ) .


D. n =

( −6; 2;6 ) .

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC
2

 1 
A. G  ;1;3  .
B. G ( 2;3;9 ) .
C. G ( −6;0; 24 ) .
D. G  2; ;3  .
3

 3 
Câu 20. Cho 3 điểm M ( 2;0;0 ) , 
N ( 0; −3;0 ) , 0;0;4
P(
) . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của
điểm Q là
A. Q ( −2; −3; 4 )

B. Q ( 2;3; 4 )

C. Q ( 3; 4; 2 )

D. Q ( −2; −3; −4 )

Hướng dẫn giải

 x=2
 

Gọi Q ( x; y; z ) , MNPQ là hình bình hành thì MN = QP ⇔  y = 3
z − 4 =
0

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M (1;1;1) , N ( 2;3; 4 ) , P ( 7;7;5 ) . Để tứ giác MNPQ

là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q ( −6;5; 2 ) .
B. Q ( 6;5; 2 ) .

C. Q ( 6; −5; 2 ) .

D. Q ( −6; −5; −2 ) .

Hướng dẫn giải

Điểm Q ( x; y; z )


MN = (1; 2;3) , QP =( 7 − x;7 − y;5 − z )
 
= QP ⇒ Q ( 6;5; 2 )
Vì MNPQ là hình bình hành nên MN

Câu 22. Cho 3 điểm A (1;2;0 ) , 1;0;
B(
−1) , 0;
C ( −1;2 ) . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


C. tam giác vuông đỉnh A .

D. tam giác đều.
Hướng dẫn giải
 


AB = (0; −2; −1); AC = ( −1; −3;2) . Ta thấy AB. AC ≠ 0 ⇒ ∆ABC không vuông.
 
AB ≠ AC ⇒ ∆ABC không cân.
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( −1; 2; 2 ) , B ( 0;1;3) , C ( −3; 4;0 ) . Để tứ giác

ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D ( −4;5; −1) .
B. D ( 4;5; −1) .
C. D ( −4; −5; −1) .
D. D ( 4; −5;1) .
Hướng dẫn giải
Điểm D ( x; y; z )


AB= (1; −1;1) , DC = ( −3 − x; 4 − y; − z )
 
Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC ⇒ D ( −4;5; −1)




 
Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và=
a 2;=
b 4 . Khi đó a + b bằng
A.

8 3 + 20.

B. 2 7.

C. 2 5.
D. 2 .
Hướng dẫn giải
 2 2 2
 
 
 
Ta có a + b = a + b + 2 a b .cos a, b = 4 + 16 + 8 = 28 ⇒ a + b = 2 7.

( )

Câu 25. Cho điểm M (1; 2; −3) , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( Oxy ) bằng
B. −3 .

A. 2.

C. 1.
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ d ( M , ( Oxy ) ) =
c

D. 3.

Câu 26. Cho điểm M ( −2;5;0 ) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm
A. M ′ ( 2;5;0 ) .

B. M ′ ( 0; −5;0 ) .

C. M ′ ( 0;5;0 ) .

D. M ′ ( −2;0;0 ) .

Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy là M 1 ( 0; b;0 )
Câu 27. Cho điểm M (1; 2; −3) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ (1; 2;0 ) .

B. M ′ (1;0; −3) .

C. M ′ ( 0; 2; −3) .

D. M ′ (1; 2;3) .

Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( Oxy ) là M 1 ( a; b;0 )
Câu 28. Cho điểm M ( −2;5;1) , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
A.

29 .

B.

5.

C. 2.
Hướng dẫn giải

D.

26 .

Với M ( a; b; c ) ⇒ d ( M , Ox ) =
b2 + c2
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
   
   
  
   
A. IA
B. IA + IB + CI =
C. IA + BI + IC =
= IB + IC.
0.
0. D. IA + IB + IC =
0.


Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a =
đề sau, mệnh đề nào sai:

 
A. b ⊥ c.
B. a = 2.


Vì b.c= 2 ≠ 0.
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

( −1;1;0 ) ;





b = (1;1;0 ) ; c = (1;1;1) . Trong các mệnh


C. c = 3.

 
D. a ⊥ b.

Hướng dẫn giải

3


Câu 31. Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ ( 3; −2;1) .

B. M ′ ( 3; −2; −1) .
C. M ′ ( 3; 2;1) .
D. M ′ ( 3; 2;0 ) .
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( Oxy ) là M ( a; b; −c )
Câu 32.

Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm M ′ ( a; b; c ) đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a + b + c bằng
A. 6.
B. 4.
C. 0.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ điểm đối xứng của M qua trục Oy là M ′ ( −a; b; −c )

⇒ M ′ ( −3; 2;1) ⇒ a + b + c =
0.


 
Câu 33. Cho u = (1;1;1) và v = ( 0;1; m ) . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450 thì m bằng
A. ± 3 .
cos ϕ=

1.0 + 1.1 + 1.m
=
3. m 2 + 1

B. 2 ± 3 .

C. 1 ± 3 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
m ≥ −1
1
⇔ 2 ( m + 1)= 3 m 2 + 1 ⇔ 
2
2
2
3 ( m + 1)= 2 ( m + 1)
⇔ m =2 ± 3

Cho A (1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Hướng dẫn giải



Tính AB =
( 2;5;1)
( −2; 4; 2 ) , AD =
( 2;5; 2 ) , AC =
1   
 AB, AC  . AD 3
=
V =

6
Sử dụng Casio

w 8 1 1 (nhập vectơ AB )

q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )

q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính V )
Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD
cho bởi công thức nào sau đây:
  
  



,
.
AB
AC
AD
1 
1  AB, AC  . AD

A. h =
B. h =
.
.
 
 
3  AB. AC 
3
AB. AC


  
  
 AB, AC  . AD
 AB, AC  . AD




C. h =
D. h =
.
..
 
 
 AB. AC 
AB. AC


Hướng dẫn giải
  

AB, AC  . AD







1 1
1
 AB, AC  . AD nên h =   
Vì VABCD =
.
=
h.  AB. AC 

3 2
6
 AB. AC 


Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Độ
Câu 34.

dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) là
A.

4

9
7 2

.

B.

9
.
7

9
.
2
Hướng dẫn giải
C.

D.

9
.
14

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦





Tính AB ( 2;5; 2 ) , AC ( −2; 4; 2 ) , AD ( 2;5;1)
1   
 AB, AC  . AD 3
V =
=

6
1
1  
 AB, AC
 7 2 , h = d ( D, ( ABC ) )
B S=
V = B.h , với
=
=
∆ABC

2
3
3V
3.3
9
⇒ h=
=
=
B 7 2 7 2
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; −5) . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
18
14 



A. G  −9; ; −30  .
B. G ( 8;12; 4 ) .
C. G  3;3;  .
D. G ( 2;3;1) .
4
4



Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (2; −1; 2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
1

3

 1 3
1 1 3
A. M  ; ;  .
B. M  ;0;0  .
C. M  ;0;0  .
D. M  0; ;  .
2

2

 2 2
2 2 2
Hướng dẫn giải
M ∈ Ox ⇒ M ( a;0;0 )
M cách đều hai điểm A, B nên MA2 = MB 2 ⇔ (1 − a ) + 22 + 12 = ( 2 − a ) + 22 + 12
2

2

3
2
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (3; −1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
3
3 1 3

A. M ( 0;0; 4 ) .
B. M ( 0;0; −4 ) .
C. M  0;0;  .
D. M  ; ;  .
2
2 2 2

 là
Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(−1; −2;3), B (0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC
⇔ 2a = 3 ⇔ a =

9
9
9
9
.
B.
.
C. −
.
D. −
.
2 35
2 35
35
35



Câu 41. Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a =
(2; −1; 2), b =−
(3; 2;1) là




A. n = ( 3; 4;1) .
B.
C. n =
D. n = ( 3; −4; −1) .
=
n ( 3; 4; −1) .
( −3; 4; −1) .





   

2π 
Câu 42. Cho=
, u=
a 2;=
b 5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
k a − b; v =
a + 2b. Để u vuông
3

góc với v thì k bằng
6
45
45
6
A. − .
B.
C.
D. − .
.
.
45
6
6
45
Hướng dẫn giải

  

 

u.v = k a − b a + 2b = 4k − 50 + ( 2k − 1) a b cos
3
=
−6k − 45



Câu 43. Cho u =
( 2; −1;1) , v =( m;3; −1) , w =(1; 2;1) . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
A.

(

A.

3
.
8

)(

)

3
B. − .
8

 
Ta có: u , v  =
( −2; m + 2; m + 6 ) ,

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

8
.
3
Hướng dẫn giải
  
u , v  .w =
3m + 8
 

C.

8
D. − .
3

5


  
  
8
0
m=

u , v, w đồng phẳng ⇔ u , v  .w =⇔
3


 
Câu 44. Cho
hai vectơ a (1;log
=
=
( 3;log5 3; 4 ) . Với giá trị nào của m thì a ⊥ b
3 5; m ) , b

B. m = 1 .
C. m = −1 .
D. m = 2; m = −2 .
A. m = 1; m = −1 .
Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm
A, B, C thẳng hàng là
B. x =
C. x =
D.
A.=
−5; y =
−11; y =
−5 .
x 5;=
y 11 .
11 .
=
x 11;
=
y 5.
Hướng dẫn giải


AB =(1; 2;1) , AC =( x − 2; y − 5;3)
 
x −2 y −5 3
=
= ⇔ x = 5; y = 11
A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương ⇔
1
2
1
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Hướng dẫn giải



BA = (1;0; −1) , CA = ( −1; −1; −1) , CB = ( −2; −1;0 )
 
BA.CA= 0 ⇒ tam giác vuông tại A , AB ≠ AC .
Câu 47. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có
diện tích bằng
6
6
1
A. 6 .
B.
.
C.
.
D. .
3
2
2
Hướng dẫn giải


1  
6
 AB. AC 
AB =
=
( −1;0;1) , AC =
(1;1;1
) . S∆ABC =


2
2
Câu 48. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (1;1;1) , ( 2;3; 4 ) , ( 7;7;5 ) . Diện tích của hình bình
hành đó bằng
83
B. 83 .
C. 83 .
D.
.
A. 2 83 .
2
Hướng dẫn giải
Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là A, B, C


=
=
AB (1;
2;3) , AC ( 6;6; 4 )
 
2
2
S hbh =  AB, AC  = ( −10 ) + 142 + ( −6 ) = 2 83



  
Câu 49. Cho 3 vecto a = (1; 2;1) ; b = ( −1;1; 2=
) và c ( x;3x; x + 2 ) . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng
phẳng
A. 2.
B. −1.
C. −2.
D. 1.
Hướng dẫn giải

  
  
a, b, c đồng phẳng thì  a, b  .c = 0 ⇒ x = 2.
 




a ( 3; −2; 4 ) , b = ( 5;1;6 ) , c = ( −3;0; 2 ) . Tìm vectơ x
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ =

  
sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A. (1;0;0 ) .
B. ( 0;0;1) .
C. ( 0;1;0 ) .
D. ( 0;0;0 ) .
Hướng dẫn giải
  

Dễ thấy chỉ có x = (0;0;0) thỏa mãn x=
.a x=
.b x=
.c 0.

6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B(1; 2; −3) , C (7; 4; −2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng


thức CE = 2 EB thì tọa độ điểm E là
8
1
 8 8

 8 8

A.  3; ; −  .
B.  3; ;  .
C.  3;3; −  .
D. 1; 2;  .
3
3
 3 3

 3 3

Hướng dẫn giải

x = 3

 
8
.
E ( x; y; z ) , từ CE = 2 EB ⇒  y =
3

8

 z = − 3
Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; −1) , B(2; −1;3) , C (−2;3;3) .
Điểm M ( a; b; c ) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P = a 2 + b 2 − c 2 có giá trị
bằng
A. 43. .
B. 44. .
C. 42. .
D. 45.
Hướng dẫn giải
M ( x; y; z ) , ABCM là hình bình hành thì
 x − 1 =−2 − 2
  
AM = BC ⇒  y − 2 = 3 + 1 ⇒ M (−3;6; −1) ⇒ P = 44. .
z +1 = 3 − 3


Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; −1) , B(2; −1;3) , C (−2;3;3) . Tìm
tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D(0;1;3) .
B. D(0;3;1) .
C. D(0; −3;1) .
D. D(0;3; −1) .
Hướng dẫn giải
Ta có =
26, =
26 ⇒ tam giác ABC cân ở A nên D là trung điểm BC
AB
AC
⇒ D(0;1;3).
Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(−1;3;5) , B(−4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa
độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5 8 8
5 8 8
8 8 5
8 5 8
A. I ( ; ; ) .
B. I ( ; ; ) .
C. I (− ; ; ).
D. I ( ; ; ) .
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
Hướng dẫn giải
= BC
= CA
= 3 2 ⇒ ∆ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Ta có: AB
 5 8 8
là trọng tâm của nó. Kết luận: I  − ; ;  .
 3 3 3



a=
b=
c=
Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ  
( −1;1;0 ) , 1;1;0
( ) , 1;1;1
( ) . Cho hình hộp
     
OA a=

OB b , '
=
OC c . Thể tích của hình hộp nói trên
OABC.O′A′B′C ′ thỏa mãn điều kiện=
bằng:
1
2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3
Hướng dẫn giải
 
 
 
OA =a , 
⇒ A( −1;1;0), OB =b ⇒ B(1;1;0), '
OC =c ⇒ C '(1;1;1)
  
 


OA, OB  OO '
AB =
OC ⇒ C (2;0;0) ⇒ CC ' =
( −1;1;1) =
OO ' ⇒ VOABC .O ' A ' B ' C ' =


B(
Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A ( 2; −1;1) , 1;0;0
),

C ( 3;1;0 ) , 0;2;1
D(
) . Cho các mệnh đề sau:
1) Độ dài AB = 2 .
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

7


2) Tam giác BCD vuông tại B .
3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).
C. 1); 3).
D. 2), 1)



Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a =
(1,1, 0); c =
( −1,1, 0 ) ; b =
(1,1,1) . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng:
   
 
6
B. a + b + c =
A. cos b, c =
0.
.
3

  
A. a, b, c đồng phẳng.
D. a.b = 1.
Hướng dẫn giải

 
b.c
cos(b, c) =  
b.c

( )

Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) , B(−1;1; 2) , C (−1;1;0)
, D(2; −1; −2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
A.

2
.
13

13
.
2
Hướng dẫn giải
  
 AB, AC  . AD
1


.
=
 
13
AB. AC

B.

Sử dụn=
g công thức h

1
.
13

C.

D.

3 13
.
13

Câu 59. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
 1   
 1   
B. SI=
A. SI=
SA + SB + SC .
SA + SB + SC .
3
2
   
    
C. SI = SA + SB + SC.
D. SI + SA + SB + SC =
0.
Hướng dẫn giải
  
SI
= SA + AI 
   
      
SI = SB + BI  ⇒ 3SI = SA + SB + SB + AI + BI + CI
   
SI
= SC + CI 
     1   
Vì I là trọng tâm tam giác ABC ⇒ AI + BI + CI =0 ⇒ SI = SA + SB + SC .
3
Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D(−2;1; −1) . Thể
tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1 .
D. .
2
2
Hướng dẫn giải
1     
Thể tích tứ diện: VABCD =   
AB,  
AC  . AD
6


Câu 61. Cho hình chóp S . ABC có SA
= SB
= a, SC
= 3a, 
ASB
= CSB
= 600 , CSA
= 900 . Gọi G là trọng

(

)

(

(

)

)

(

)

tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 7
a 5
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tổng quát: Cho hình chóp S . ABC có=
, SB b=
, SC c và có
SA a=

 β=
 γ . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó
=
ASB α=
, BSC
, CSA
8

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


1 2
a + b 2 + c 2 + 2ab cos α + 2ac cos γ + 2bcβ
3
Chứng minh:
 1   
Ta có: SG=
SA + SB + SC
3
   2  2  2  2
     
SA + SB + SC = SA + SB + SC + 2 SA.SB + 2 SA.SC + 2 SB.SC
SG
=

(

(
)

)

1 2
a + b 2 + c 2 + 2ab cos α + 2ac cos γ + 2bcβ
3
a 15
Áp dụng công thức trên ta tính được SG =
3
Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm
 
M ( m; m; m ) , để MB − 2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

Khi đó SG
=

A. 2.

B. 3 .

C. 1.
D. 4.
Hướng dẫn giải


AC ( −1; −3; −2 ) , MB ( −2 − m; − 6 − m; 2 − m )
 
2
2
MB − 2 AC = m 2 + m 2 + ( m − 6 ) = 3m 2 − 12m + 36 = 3 ( m − 2 ) + 24
 
Để MB − 2 AC nhỏ nhất thì m = 2
Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm

M ( m; m; m ) , để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải



MA = ( 2 − m;5 − m;1 − m ) , MB = ( −2 − m; −6 − m; 2 − m ) , MC = (1 − m; 2 − m; −1 − m )
MA2 − MB 2 − MC 2 =
−3m 2 − 24m − 20 =
28 − 3 ( m − 4 ) ≤ 28
2

Để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m = 4
Câu 64. Cho hình chóp S . ABCD biết A ( −2; 2;6 ) , B ( −3;1;8 ) , C ( −1;0;7 ) , D (1; 2;3) . Gọi H là trung
điểm của CD, SH ⊥ ( ABCD ) . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng

27
(đvtt) thì có hai
2

điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. I ( 0; −1; −3) .

B. I (1;0;3)

C. I ( 0;1;3) .

D. I ( −1;0; −3) .

Hướng dẫn giải


1  
3 3
Ta có AB = ( −1; −1; 2 ) , AC = (1; −2;1) ⇒ S ABC =  AB, AC  =
2



2
DC = ( −2; −2; 4 ) , AB = ( −1; −1; 2 ) ⇒ DC = 2. AB ⇒ ABCD là hình thang và
S=
3=
S ABC
ABCD

9 3
2

1
SH .S ABCD ⇒
=
SH 3 3
3
Lại có H là trung điểm của CD ⇒ H ( 0;1;5 )


 
Gọi S ( a; b; c ) ⇒ SH =
k  AB, AC  =
k ( 3;3;3) =
( −a;1 − b;5 − c ) ⇒ SH =
( 3k ;3k ;3k )

Vì V=
S . ABCD

±1
Suy ra 3 3 = 9k 2 + 9k 2 + 9k 2 ⇒ k =

+) Với k =1 ⇒ SH = ( 3;3;3) ⇒ S ( −3; −2; 2 )
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

9



+) Với k =−1 ⇒ SH =−
( 3; −3; −3) ⇒ S ( 3; 4;8)
Suy ra I ( 0;1;3)
Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; −1;7), B(4;5; −2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng
(Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
1
1
2
A. .
B. 2 .
C. .
D. .
2
3
3
Hướng dẫn giải
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M ⇒ M (0; y; z )


⇒ MA= (2; −1 − y;7 − z ), MB= (4;5 − y; −2 − z )

2 = k .4



1
Từ MA = k MB ta có hệ −1 − =
y k (5 − y ) ⇒ =
k
2


=


7
z
k
2
z
)
(

Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; −1), B(3;0;1), C(2; −1;3) và D thuộc
trục Oy . Biết VABCD = 5 và có hai điểm D1 ( 0; y1 ;0 ) , D2 ( 0; y2 ;0 ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi đó y1 + y2 bằng
A. 0.

B. 1 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

D ∈ Oy ⇒ D(0; y;0)



Ta có: AB =
( 0; −2; 4 )
( −2; y − 1;1) , AC =
(1; −1; 2 ) , AD =
 
  
⇒  AB. AC  =( 0; −4; −2 ) ⇒  AB. AC  . AD =−4 y + 2
1
1
VABCD = 5 ⇔ −4 y + 2 = 5 ⇔ y =−7; y = 8 ⇒ D1 ( 0; −7;0 ) , D2 ( 0;8;0 ) ⇒ y1 + y2 =
6
Câu 67. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(−1; 2; 4), B(3;0; −2), C(1;3;7) . Gọi D là

chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .

A.

207
.
3

Gọi D ( x; y; z )

B.

203
3

201
.
3
Hướng dẫn giải
C.

D.

205
.
3

DB AB 2 14
= =
= 2
DC AC
14
5

3 − x =−2 (1 − x )
x = 3




Vì D nằm giữa B, C (phân giác trong) nên DB =−2 DC ⇔ − y =−2 ( 3 − y ) ⇔  y =2

z = 4
−2 − z =−2 ( 7 − z )



205
5

Suy ra D  ; 2; 4  ⇒ OD =
3
3

Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B (5;1; −2) , C (7;9;1) .
Tính độ dài phân giác trong AD của góc A
2 74
3 74
A.
B.
C. 2 74.
D. 3 74.
.
.
3
2
Hướng dẫn giải
D( x; y; z ) là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC .
10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦




DB AB 1
17 11
2 74
= = ⇒ DC =−2 DB ⇒ D( ; ; −1) ⇒ AD =
.
DC AC 2
3 3
3
Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; −1) , B(1; 4; −1) , C (2; 4;3) D(2; 2; −1)
. Biết M ( x; y; z ) , để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng

Ta có

A. 7.

B. 8.

C. 9.
D. 6.
Hướng dẫn giải
 7 14 
Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G  ; ;0  .
3 3 
2
2
2
2
Ta có: MA + MB + MC + MD = 4 MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2
 7 14 
7.
≥ GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M ≡ G  ; ;0  ⇒ x + y + z =
3 3 
Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B(−1; 2;0) , C (1;1; −2) . H là
trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
870
870
870
870
B.
C.
D.
A.
.
.
.
.
12
14
16
15
Hướng dẫn giải
H ( x; y; z ) là trực tâm của ∆ABC ⇔ BH ⊥ AC , CH ⊥ AB, H ∈ ( ABC )
 
 BH . AC = 0
  
870
2
29
1
 2 29 1 

⇔ CH . AB =
⇔ x =; y = ; z =
− ⇒ H  ; ; −  ⇒ OH = .
0
15
15
15
3
 15 15 3 

   


AB
,
AC
.
AH
=
0

 
Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt
phẳng (Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác
ABC . Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
 −3 + 177 17 − 177  
3 − 177 
A. B 
;
;0  , C  0;0;
.

4
2
 
4

 −3 − 177 17 + 177  
3 + 177 
B. B 
;
;0  , C  0;0;
.

 

4
2
4
 −3 + 177 17 − 177  
3 + 177 
C. B 
;
;0  , C  0;0;
.

 

4
2
4
 −3 + 177 17 + 177  
3 − 177 
D. B 
;
;0  , C  0;0;
.

 

4
2
4
Hướng dẫn giải
Giả sử B( x; y;0) ∈ (Oxy ), C (0;0; z ) ∈ Oz .
 
 
 AH .BC = 0
 AH ⊥ BC
  
  
⇔ CH . AB = 0
H là trực tâm của tam giác ABC ⇔ CH ⊥ AB
   
   
  AB, AH  . AC = 0
 AB, AC , AH ñoàng phaúng
0
x + z =
17 + 177
3 + 177
−3 − 177

⇔ 2x + y − 7 =
⇔ x
=
;y =
;z
0=
4
2
4
3x − 3 y + yz − z =
0

 −3 − 177 17 + 177  
3 + 177 
⇒ B
;
;0  , C  0;0;
.

4
2
 
4


Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

11


Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B(3;0;8) , D(−5; −4;0) . Biết
 
đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA + CB bằng:
A. 5 10.

B. 6 10.

C. 10 6.
D. 10 5.
Hướng dẫn giải
Ta có trung điểm BD là I (−1; −2; 4) , BD = 12 và điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên A(a; b;0)
.
 AB 2 = AD 2
(a − 3) 2 + b 2 + 82 = (a + 5) 2 + (b + 4) 2

2 ⇔
ABCD là hình vuông ⇒ 

1

2
2
2
2
36
(a + 1) + (b + 2) + 4 =
 AI =  BD 
2


17

a=

a
=
1
b= 4 − 2a


 17 −14 
5
hoặc 
⇔
⇔
⇒ A(1; 2; 0) hoặc A  ;
;0 
2
2
20
 5 5

b = 2
(a + 1) + (6 − 2a ) =
b = −14

5
(loại). Với A(1; 2;0) ⇒ C (−3; −6;8) .
Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; −1) , B(2;3; −4) ,
C (3;1; −2) . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A. 9 − 2 6.

B. 9 − 3 6.

C. 9 + 3 6.
D. 9 + 2 6.
Hướng dẫn giải
2
2
2
Ta có AC + BC = 9 + 9 = AB ⇒ tam giác ABC vuông tại C .
1
CA.CB
S ABC
3.3 2
2
Suy ra: r=
=
=
= 9−3 6
1
p
+
+
3
2
3
3
AB
+
BC
+
CA
(
)
2
Câu 74. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( 3;0;0 ) , N ( m, n, 0 ) , P ( 0;0; p ) . Biết
 600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A =m + 2n 2 + p 2
=
MN =
13, MON
bằng
A. 29.

C. 28.
D. 30.
Hướng dẫn giải


 
OM = ( 3;0;0 ) , ON = ( m; n;0 ) ⇒ OM .ON = 3m
 
   
OM .ON
1
m
1
0
OM .ON =
OM . ON cos 60 ⇒   =

=
2
2
2
OM . ON 2
m +n

MN =

B. 27.

( m − 3)

2

+ n2 =

13

Suy ra m = 2; n = ±2 3
  
1
OM , ON  .OP =
6 3 p ⇒ V = 6 3 p =⇒
3
p=
± 3


6
Vậy A = 2 + 2.12 + 3 = 29.
Câu 75. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B(−1; 2;0) , C (1;1; −2) . Gọi
I ( a; b; c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính giá trị biểu thức
P = 15a + 30b + 75c
A. 48.

C. 52.
D. 46.
Hướng dẫn giải
I ( x; y; z ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇔ AI
= BI
= CI , I ∈ ( ABC )

12

B. 50.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


 AI 2 = BI 2

14
61
1

 14 61 1 
⇔ CI 2 =
BI 2
⇔  x = ; y = ; z =− ⇒ I  ; ; −  ⇒ P =50.
15
30
3

 15 30 3 
   


=
AB
AC
AI
,
0




Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

13



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×