Tải bản đầy đủ

lý thuyết hay nguyên hàm

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS

VIP

CHỦ ĐỀ 14. NGUYÊN HÀM
KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F ( x )
được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu F ' ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K .
Định lí:
1) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G=
( x ) F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .
2) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x ) trên K
đều có dạng F ( x ) + C , với C là một hằng số.

F ( x ) + C, C ∈ 

Do đó


) dx
∫ f ( x=

là họ tất cả các nguyên hàm của

f ( x)

trên

K . Ký hiệu

F ( x) + C .

2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:

) dx
( ∫ f ( x ) dx )′ = f ( x ) và ∫ f ' ( x=

f ( x) + C

Tính chất 2: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3: ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx =

∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp ( u = u ( x ) )

∫ dx=

∫ du=

x+C


α
=
∫ x dx

1

1 α+1
x + C ( α ≠ −1)
α +1

u +C

α
=
∫ u du

1

1 α+1
u + C ( α ≠ −1)
α +1

dx
∫ x=

ln x + C

du
∫ u=

ln u + C

∫ e dx=

ex + C

∫ e du=

eu + C

x

u

ax
∫ a dx = ln a + C ( a > 0, a ≠ 1)

au
∫ a du = ln a + C ( a > 0, a ≠ 1)

− cos x + C
∫ sin xdx =
xdx sin x + C
∫ cos =

− cos u + C
∫ sin udu =
= sin u + C
∫ cos udu

x

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

u

1


Tán đổ Toán Plus
1

∫ cos

2

1

∫ sin

2

1

∫ cos

dx tan x + C
=
x

x

2

du tan u + C
=
u

1

∫ sin

dx =
− cot x + C

2

u

Chủ đề 14. Nguyên hàm

du =
− cot u + C

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu

) du
∫ f ( u=

F ( u ) + C và u = u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

' ( x ) dx
∫ f ( u ( x ) ) u=

Hệ quả: Nếu u =ax + b ( a ≠ 0 ) thì ta có ∫ f ( ax + b =
) dx

F (u ( x )) + C

1
F ( ax + b ) + C
a

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u ( x ) và v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì
v ' ( x ) dx u ( x ) v ( x ) − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx
∫ u ( x )=

Hay

∫ udv=

uv − ∫ vdu

KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

LƯU Ý:
Phần này vì lỗi kĩ thuật nên tất cả đáp án đều là A.
Các bạn làm và xem cách giải để hiểu là chính.
Xin lỗi vì sự cố này!

2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus
Câu 1.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau?
x 4 3x 2
+
+ 2x + C .
4
2

A. F ( x ) =

B. F ( x ) =

x4 x2
+ + 2x + C .
4 2
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
C. F ( x ) =

Câu 2.

Chủ đề 14. Nguyên hàm
x4
+ 3x 2 + 2 x + C .
3

D. F ( x ) = 3 x 2 + 3 x + C .

Hàm số F ( x ) = 5 x3 + 4 x 2 − 7 x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f ( x )= 15 x 2 + 8 x − 7 .
C. f ( x ) =

B. f ( x ) = 5 x 2 + 4 x + 7 .

5 x 2 4 x3 7 x 2
.
+

4
3
2

D. f ( x ) = 5 x 2 + 4 x − 7 .

Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F ( x ) ta được kết quả.
Câu 3.

Họ nguyên hàm của hàm số: y = x 2 − 3 x +

1

x

x3 3
A. F ( x ) = − x 2 + ln x + C .
3 2

B. F ( x ) =

x3 3 2
+ x + ln x + C .
3 2
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

D. F ( x ) = 2 x − 3 −

C. F ( x ) =

Câu 4.

x3 3 2
− x + ln x + C .
3 2
1
+C .
x2

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
( x + 1)( x + 2 )
A. F ( x ) =

x3 3 2
+ x + 2x + C .
3 2

B. F ( x ) =

x3 2 2
+ x + 2x + C .
3 3

x3 2 2
D. F ( x ) =
− x + 2x + C .
3 3

C. F ( x ) = 2 x + 3 + C .

Hướng dẫn giải: f ( x ) = ( x + 1)( x + 2 ) = x 2 + 3 x + 2 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 5.

Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f (=
x)

2
2 3
+ + 2 là hàm số nào?
5 − 2x x x

3
A. F ( x ) =
− ln 5 − 2 x + 2 ln x − + C .
x

B. F ( x ) =
− ln 5 − 2 x + 2 ln x +

3
+C.
x

3
C. F ( x )= ln 5 − 2 x + 2 ln x − + C .
x
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

D. F ( x ) =
− ln 5 − 2 x − 2 ln x +

3
+C .
x

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x
1
A. ∫ sin 2 xdx =
− cos 2 x + C .
2

B. ∫ sin
=
2 xdx

2 xdx cos 2 x + C .
C. ∫ sin =

− cos 2 x + C .
D. ∫ sin 2 xdx =

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

1
cos 2 x + C .
2

3


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

1
1
− cos 2 x + C .
sin 2 xd (2 x) =
Hướng dẫn giải ∫ sin 2 xdx =

2
2

Câu 7.

π

Tìm nguyên hàm của hàm số=
f ( x) cos  3 x +  .
6

1 
π
sin  3 x +  + C .
3 
6

A.

)dx
∫ f ( x=

C.

− sin  3 x +  + C .
∫ f ( x)dx =
3 
6

Hướng dẫn giải:
Câu 8.

π



1

)dx
∫ f ( x=

B.

∫ f ( x).dx=

π

sin  3 x +  + C .
6


D.

)dx
∫ f ( x=

1
π

sin  3 x +  + C .
6
6


1
π 
π 1 
π

cos  3 x +  d  3 x + =
sin  3 x +  + C .


3
6 
6 3 
6


Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 + tan 2

x
.
2
x
+C .
2

A.

( x)dx
∫ f=

2 tan

x
+C .
2

B.

)dx
∫ f ( x=

C.

( x)dx
∫ f=

1
x
tan + C .
2
2

D.

−2 tan + C .
∫ f ( x)dx =
2

tan

x

x
d 
x
1
dx
 2  2 tan x + C .
Hướng dẫn giải: f ( x) =
1 + tan 2 = nên ∫ = 2 ∫ =
x
x
2 cos 2 x
2
cos 2
cos 2
2
2
2

Câu 9.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

1

π

sin  x + 
3


.

2



π

A.

− cot  x +  + C .
∫ f ( x)dx =
3


C.

∫ f ( x)dx=

π

cot  x +  + C .
3


Hướng dẫn giải:



dx
π

sin 2  x + 
3


1



π

B.

− cot  x +  + C .
∫ f ( x)dx =
3
3


D.

dx
∫ f ( x)=

1
π

cot  x +  + C .
3
3


π

dx+ 
π
3


=
− cot  x +  + C .
∫ 2 π  =
3

sin  x + 
3


Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3 x.cos x .
A.
C.

sin 4 x
+C .
4



f (=
x)dx



sin 2 x
f (=
x)dx
+C .
2

Hướng dẫn giải ∫ sin 3 x.cos=
x.dx

4

B.
D.
3
=
x)
∫ sin x.d (sin



sin 4 x
f ( x)dx =

+C .
4



sin 2 x
f ( x)dx =

+C .
2

sin 4 x
+C.
4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x=
) e x − e− x .

∫ f ( x ) dx =e
C. ∫ f ( x ) dx =e
A.

x

+ e− x + C .

x

− e− x + C .

Hướng dẫn giải:

∫ (e

x

∫ f ( x ) dx =−e
D. ∫ f ( x ) dx =
−e
B.

x

+ e− x + C .

x

− e− x + C .

− e − x ) dx =e x + e − x + C .

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x.3−2 x .
x

1
9
B. ∫ f ( x ) dx   .
=
+C .
 2  ln 2 − ln 9

x

1
2
D. ∫ f ( x ) dx   .
=
+C .
 9  ln 2 + ln 9

x

1
2
A. ∫ f ( x ) dx   .
=
+C .
 9  ln 2 − ln 9

x

1
2
C. ∫ f ( x ) dx   .
=
+C .
 3  ln 2 − ln 9
x

x

1
2
2
Hướng dẫn giải: ∫ 2=
.3 dx ∫=
+C
  dx   .
9
 9  ln 2 − ln 9
x

−2 x

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f =
( x) e x (3 + e − x ) là
A. F ( x)= 3e x + x + C .
C. F ( x) = 3e x −

B. F ( x) =
3e x + e x ln e x + C .

1
+C .
ex

Hướng dẫn giải: F(=
x)

D. F ( x)= 3e x − x + C .

∫ e (3 + e
x

−x

)=
dx

∫ (3e

x

dx 3e x + x + C
+ 1)=

Câu 14. Hàm số F (=
x ) 7e x − tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?


e− x 
A. f =
( x ) ex  7 − 2  .
cos x 


B. f (=
x ) 7e x +

7e x + tan 2 x − 1 .
C. f ( x ) =

1
D. f =
( x ) 7  e x − 2  .
cos x 


Hướng dẫn giải: Ta có g '( x) =
7e x −

1
.
cos 2 x

1
e− x
x
=
e

f ( x)
(7
)=
cos 2 x
cos 2 x

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 4 x − 2 .
A.

x ) dx
∫ f (=

1 2 x −1
e +C .
2

B.

dx
∫ f ( x )=

e 2 x −1 + C .

C.

x ) dx
∫ f (=

1 4 x−2
e
+C .
2

D.

( x ) dx
∫ f=

1 2 x −1
e
+C .
2

Hướng dẫn giải:



x−2
e 4=
dx

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

dx
∫ e=
2 x −1

1 2 x −1
e +C .
2

5


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f ( x) =

1

2x −1

A.

∫ f ( x ) dx=

2x −1 + C .

B.

dx
∫ f ( x )=

C.

( x ) dx
∫ f=

2x −1
+C .
2

D.

∫ f ( x ) dx =−2

Hướng dẫn giải:



1
1 d ( 2 x − 1)
dx
=
=
2 ∫ 2x −1
2x −1

∫ f ( x ) dx =−2 3 − x + C .
C. ∫ f ( x ) dx= 2 3 − x + C .

B.

d (3 − x )
1
=−2 3 − x + C .
dx =− ∫
3− x
3− x

Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f =
( x)
A.

1
dx
( 2 x + 1)
∫ f ( x)=
3

C.

∫ f ( x ) dx =− 3

1

2x −1 + C .

∫ f ( x ) dx =− 3 − x + C .
D. ∫ f ( x ) dx =−3 3 − x + C .

A.



2x −1 + C .

1
.
3− x

Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

Hướng dẫn giải:

2 2x −1 + C .

2x +1 .

2x +1 + C .

2x +1 + C .

Hướng dẫn giải: Đặt =
t
⇒ ∫ 2 x + 1dx=∫ t 2 dt =

B.

dx
∫ f ( x )=

2
( 2 x + 1) 2 x + 1 + C .
3

D.

dx
∫ f ( x )=

1
2x +1 + C .
2

2 x + 1 ⇒ dx
= tdt
t3
1
+ C = ( 2 x + 1) 2 x + 1 + C .
3
3

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x=
)
2

A.

− ( 5 − 3x )
∫ f ( x ) dx =
9

C.

∫ f ( x ) dx =9 ( 5 − 3x )

2

5 − 3x .

5 − 3x + C .
5 − 3x .

2

B.

− ( 5 − 3x )
∫ f ( x ) dx =
3

D.


∫ f ( x ) dx =
3

2

5 − 3x .

5 − 3x + C .

2tdt
Hướng dẫn giải: Đặt t =5 − 3 x ⇒ dx =

3



2
5 − 3 xdx =
− ( 5 − 3x ) 5 − 3x + C .
9

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( =
x)
A.
C.

∫ f ( x ) dx=


3
( x − 2) 3 x − 2 + C .
4

2
f ( x ) dx = ( x − 2 ) x − 2 .
3

Hướng dẫn giải: Đặt t =

6

3

3

x−2 .

B.
D.

3

∫ f ( x ) dx =− 4 ( x − 2 )


f ( x ) dx =

x − 2 ⇒ dx = 3t 2 dt . Khi đó



3

3

x−2 +C .

2
1

2
x

(
) 3 +C .
3

x − 2dx=

3
( x − 2) 3 x − 2 + C
4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x=
)
A.
C.

1

− (1 − 3 x )
∫ f ( x ) dx =
4



3

3

1 − 3x .

1 − 3x + C .

1
(1 − 3x ) 3 1 − 3x + C .
4

f ( x ) dx =

Chủ đề 14. Nguyên hàm
3

B.

− (1 − 3 x )
∫ f ( x ) dx =
4

D.

f ( x ) dx =
− (1 − 3 x )



3
Hướng dẫn giải: Đặt t =
1 − 3 x ⇒ dx =
−t 2 dt . Khi đó



3



2
3

3

1 − 3x + C .

+C .

1
1 − 3 xdx =
− (1 − 3 x ) 3 1 − 3 x + C
4

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3 x .
A.

2 e3 x
+C
3



f (=
x ) dx



3 e3 x
f (=
x ) dx
+C
2

B.

x ) dx
∫ f (=

3
2 e3 x

+C

3x+2

C.

Hướng dẫn giải:
Câu 23. Hàm số F ( x ) =



D.



2e 2
f (=
x ) dx
+C
3x + 2

2 32x  3 x  2 32x
2 e3 x
=
=
+C
e dx
e .d  =
.e + C

3∫
3
 2  3
3x

( x + 1)

2

x + 1 + 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. f ( x ) =

5
( x + 1) x + 1
2

B. f ( x=
)

5
( x + 1) x + 1 + C
2

C. f ( x ) =

2
( x + 1) x + 1
5

D. f ( x ) =

( x + 1)

Hướng dẫn giải: F ' ( x ) =

x +1 + C

5
( x + 1) x + 1
2

Câu 24. Biết một nguyên hàm của hàm số =
f ( x)

1
+ 1 là hàm số F ( x ) thỏa mãn
1 − 3x

2
F ( −1) =. Khi đó F ( x ) là hàm số nào sau đây?
3

2
1 − 3x + 3
3

B. F ( x ) =x −

2
1 − 3x − 3
3

2
1 − 3x + 1
3
Hướng dẫn giải

D. F ( x ) =
4−

2
1 − 3x
3

A. F ( x ) =x −
C. F ( x ) =x −

1 d (1 − 3 x )
2
 1

F ( x ) =∫ 
+ 1dx =− ∫
+ x =x −
1 − 3x + C
3
3
1 − 3x
 1 − 3x 
2
2
F ( −1) = ⇒ C = 3 ⇒ F ( x ) = x −
1 − 3x + 3
3
3

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

7


Tán đổ Toán Plus

Câu 25. Biết F (=
x) 6 1 − x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =

Chủ đề 14. Nguyên hàm

a
. Khi đó giá trị của a
1− x

bằng
A. −3 .

B. 3 .

(6

Hướng dẫn giải: F '( x) =

C. 6 .

)


1− x =

D.

1
.
6

−3
⇒a=
−3
1− x

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 26. Tính F ( x) = ∫ x sin xdx bằng
A. F ( x) =
sin x − x cos x + C .

B. F ( x) = x sin x − cos x + C .

C. F ( x) =
sin x + x cos x + C .

D. F ( x) = x sin x + cos x + C .

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập

d
( F ( x) ) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại
dx

một số điểm x0 thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của dv và nguyên hàm của
+ v
u
x

sin x

-

1

− cos x
− sin x

0
Vậy F ( x) =
sin x − x cos x + C .
Câu 27. Tính
A.

∫ x ln

2

xdx . Chọn kết quả đúng:

(

)

(

)

1 2
x 2 ln 2 x − 2 ln x + 1 + C .
4

B.

(

)

(

)

1 2
x 2 ln 2 x − 2 ln x + 1 + C .
2

1 2
1
D. x 2 2 ln 2 x + 2 ln x + 1 + C .
x 2 ln 2 x + 2 ln x + 1 + C .
4
2
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.

C.

Phương pháp trắc nghiệm
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .
d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác
dx
định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Nhập máy tính

8

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:
u và đạo hàm của u
2

ln x

dv và nguyên hàm của v

x

+

2 ln x
x
ln x (chuyển

2
qua dv )
x
-

x2
2

x (nhận

1
x

1 (chuyển

Do đó

∫ x ln

2

xdx
=

1
qua dv )
x
+
0

2
từ u )
x

x2
2
1
x
(nhận
từ u )
2
x

x2
4

(

)

1
1 2 2
1
1
x ln x − x 2 ln x + x 2 + C = x 2 2 ln 2 x − 2 ln x + 1 + C .
4
2
2
4

Câu 28. Tính F ( x) = ∫ x sin x cos xdx . Chọn kết quả đúng:
1
x
A. F ( x) = sin 2 x − cos 2 x + C .
8
4

B. F ( x) =

1
x
cos 2 x − sin 2 x + C .
4
2

1
x
C. F ( x) = sin 2 x + cos 2 x + C .
4
8
Hướng dẫn giải:

D. F ( x) =

−1
x
sin 2 x − cos 2 x + C .
4
8

1
Phương pháp tự luận: Biến đổi sin x cos x = sin 2 x rồi sử dụng phương pháp nguyên hàm
2
từng phần.

Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác
dx
định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Nhập máy tính

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
x

Câu 29. Tính F ( x) = ∫ xe 3 dx . Chọn kết quả đúng
x

x

A. F ( x) =3( x − 3)e 3 + C

B. F ( x) =
( x + 3)e 3 + C

x − 3 3x
C.=
F ( x)
e +C
3
Hướng dẫn giải:

x + 3 3x
D.=
F ( x)
e +C
3
x
3

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
=
u x=
, dv e dx .
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

9


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác
dx
định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Nhập máy tính

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
x
dx . Chọn kết quả đúng
cos 2 x
A. F ( x) =
x tan x + ln | cos x | +C .

B. F ( x) =
− x cot x + ln | cos x | +C .

C. F ( x) =
− x tan x + ln | cos x | +C .

D. F ( x) =
− x cot x − ln | cos x | +C .

Câu 30. Tính F ( x) = ∫

Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
1
dx
cos 2 x
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .
=
u x=
, dv

d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác
dx
định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Nhập máy tính

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Câu 31. Tính F ( x) = ∫ x 2 cos xdx . Chọn kết quả đúng
A. F ( x) =
( x 2 − 2) sin x + 2 x cos x + C .

B. F (=
x) 2 x 2 sin x − x cos x + sin x + C .

C. F ( x) = x 2 sin x − 2 x cos x + 2sin x + C .

D. F ( x) =
(2 x + x 2 ) cos x − x sin x + C .

Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần với
2
=
u1 x=
; dv1 sin xdx .
=
u x=
; dv cos xdx , sau đó

Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác
dx
định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Nhập máy tính

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Câu 32. Tính F ( x) = ∫ x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng
1
A. F ( x) =
− (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C .
4

B. F=
( x)

1
(2 x cos 2 x − sin 2 x) + C .
4

1
1
C. F ( x) =
D. F=
( x)
(2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
− (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
4
4
Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
=
u x=
; dv sin 2 xdx
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng máy tính: Nhập
d
( F ( x)) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm x0 bất kỳ, nếu kết quả xấp xỉ
dx
bằng 0 thì chọn đáp án đó.

10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

Câu 33. Hàm số F ( x) = x sin x + cos x + 2017 là một nguyên hàm của hàm số nào?
A. f ( x) = x cos x .

B. f ( x) = x sin x .

C. f ( x) = − x cos x .

D. f ( x) = − x sin x .

Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Tính F '( x) có kết quả trùng với đáp án chọn.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác
dx
định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.

Nhập máy tính

Câu 34. Tính
A.



1 + ln( x + 1)
dx . Khẳng định nào sau đây là sai?
x2

−1 + ln( x + 1)
x
+ ln
+C
x
x +1

B. −

1 + ln( x + 1)
x
+ ln
+C
x
x +1

x +1
1 + ln( x + 1)
D. −
− ln x + 1 + ln x + C
(1 + ln( x + 1) ) + ln | x | +C
x
x
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với

C. −

1
1
ln( x + 1); dv =
=
− 2 dx .
− 2 dx hoặc biến đổi rồi đặt u =
u=
1 + ln( x + 1); dv =
x
x
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra bằng định nghĩa.

ÔN TẬP
Câu 35. Hãy chọn mệnh đề đúng
A. ∫ a x dx=

ax
+ C ( 0 < a ≠ 1) .
ln a

C. ∫ f ( x).g ( x)dx = ∫ f ( x)dx.∫ g( x)dx .

B. ∫ xα dx
=
D. ∫

xα +1
+ C , ∀α ∈ R .
α +1

f ( x)
∫ f ( x)dx .
dx =
g ( x)
∫ g( x)dx

Hướng dẫn giải: A đúng. B sai vì thiếu điều kiện α =/ −1 ; C, D sai vì không có tính chất.
Câu 36. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. ∫ sin =
xdx cos x + C .
D. ∫ a x dx=

B.

ax
+ C , (0 < a ≠ 1) .
ln a

1

∫ xdx = ln x + C , x ≠ 0 .

C. ∫ e x dx= e x + C .

Hướng dẫn giải: ∫ sin xdx =
− cos x + C
Câu 37. Hàm số f ( x) = x3 − x 2 + 3 +

1
có nguyên hàm là
x

x 4 x3
A. F ( x) =
− + 3 x + ln x + C .
4 3
C. F ( x) = 3 x 2 − 2 x −

1
+C .
x2

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

x3
B. F ( x) = x − + 3 x + ln x + C .
3
4

D. F ( x) = x 4 − x3 + 3 x + ln x + C .
11


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

x 4 x3
1
3
2

+
+
=
− + 3 x + ln x + C
x
x
dx
(
3
)

x
4 3

Hướng dẫn giải: F ( x) =

Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan 2 x là
A. F ( x=
) tan x − x + C .

B. F ( x ) =− tan x + x + C .

C. F ( x=
) tan x + x + C .

D. F ( x ) =− tan x − x + C .

Hướng dẫn giải:



1

∫ f ( x)dx= ∫  cos

2


− 1 dx
= tan x − x + C
x 

Câu 39. Hàm số F ( x) = 7 sin x − cos x + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f =
( x ) sin x + 7 cos x .

B. f ( x ) =
− sin x + 7 cos x .

C. f =
( x ) sin x − 7 cos x .

D. f ( x ) =
− sin x − 7 cos x .

Hướng dẫn giải: =
F '( x) 7 cos x + sin x
1
dx là
x cos 2 x
A. tan x − cot x + C .

B. cot 2x + C .

C. tan 2x − x + C .

D. − tan x + cot x + C .

Câu 40. Kết quả tính

∫ sin

Hướng dẫn giải:

2

∫ sin

Câu 41. Hàm số F ( x) = 3 x 2 −

2

1
1 
 1
dx = ∫ 
+ 2  dx = tan x − cot x + C
2
2
x cos x
 cos x sin x 

1
1
+ 2 − 1 có một nguyên hàm là
x x

1
A. f ( x) = x3 − 2 x − − x .
x

1
B. f ( x) = x3 − x − − x .
x

1
C. f ( x) =
x3 − 2 x + .
x

D. f ( x) = x3 −

Hướng dẫn giải: Ta có
Câu 42. Hàm số f ( x) =
A. −



∫ F ( x)dx = ∫  3x

2



1
1
x − −x.
2
x

1
1
1

+ 2 − 1dx = x 3 − 2 x − 2 − x + C
x
x x


cos x
có một nguyên hàm F ( x) bằng
sin 5 x

1
.
4sin 4 x

B.

Hướng dẫn giải:

1
.
4sin 4 x
cos x

C.

4
.
sin 4 x

D.

1

−4
.
sin 4 x

1


+C
∫ f ( x)dx =
∫ sin xdx =
∫ sin x d (sin x) =
4sin x
5

5

4

Câu 43. Kết quả tính ∫ 2 x 5 − 4 x 2 dx bằng
A. −
C.

1
6

1
6

(5 − 4x )

2 3

(5 − 4x )

2 3

+C .

+C.

B. −

3
8

(5 − 4x ) + C

D. −

1
12

(5 − 4x )

2

2 3

.

+C.

Hướng dẫn giải: Đặt t =5 − 4 x 2 ⇒ tdt =
−4 xdx
Ta có ∫ 2 x 5 − 4 x 2 dx =

12

1 2
1
1
t dt =
− t3 + C =


2
6
6

(5 − 4x )

2 3

+C

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

Câu 44. Kết quả ∫ esin x cos xdx bằng
B. cos x.esin x + C .

A. esin x + C .

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ esin x cos xdx
=
Câu 45. Tính

∫e

sin x

C. ecos x + C .

D. e − sin x + C .

d (sin =
x) esin x + C

∫ tan xdx bằng

A. − ln cos x + C .

B. ln cos x + C .

C.

1
+C.
cos 2 x

D.

−1
+C.
cos 2 x

D.

1
−C .
sin 2 x

1
Hướng dẫn giải: Ta có ∫ tan xdx =
−∫
d (cos x) =
− ln cos x + C
cos x

Câu 46. Tính ∫ cot xdx bằng
A. ln sin x + C .

B. − ln sin x + C .

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cot
=
xdx

C.

−1
+C .
sin 2 x

1

(sin x)
∫ sin x d=

ln sin x + C

x3

Câu 47. Nguyên hàm của hàm số y =
x −1
A.

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C .
3
2

B.

1 3 1 2
x + x + x + ln x + 1 + C .
3
2

C.

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C .
6
2

D.

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C .
3
4

x3
1
Hướng dẫn giải: Ta có
. Sử dụng bảng nguyên hàm suy ra đáp án.
= x2 + x + 1 +
x −1
x −1
Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

x2 − 2 x + 3

x +1

A.

x2
− 3 x + 6 ln x + 1 .
2

B.

x2
+ 3 x + 6 ln x + 1 .
2

C.

x2
+ 3 x − 6 ln x + 1 .
2

D.

x2
− 3 x + 6 ln ( x + 1) .
2

6
x2 − 2 x + 3
Hướng dẫn giải: f ( x ) =
. Sử dụng bảng nguyên hàm.
= x −3+
x +1
x +1
Câu 49.

Kết quả tính

1

∫ x ( x + 3) dx bằng

A.

1
x
ln
+C.
3 x+3

1
x
B. − ln
+C .
3 x+3

C.

2 x+3
ln
+C .
3
x

D.

Hướng dẫn giải:
Câu 50. Kết quả tính

1

2
x
ln
+C .
3 x+3

1
1 1
1 
=  −
 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
x ( x + 3) 3  x x + 3 

∫ x ( x − 3) dx

bằng

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

13


Tán đổ Toán Plus
A.

1 x −3
+C .
ln
x
3

B.

1 x+3
ln
+C.
3
x

C.

x
1
+C.
ln
3 x+3

D.

1
x
ln
+C .
3 x −3

Chủ đề 14. Nguyên hàm

1
1 1
1
Hướng dẫn giải: = 
−  . Sử dụng bảng nguyên hàm.
x ( x + 3) 3  x − 3 x 
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1

x + x−2
2

1 x −1
ln
+C .
3 x+2

A. F ( x )
=

C.=
F ( x ) ln

x −1
+C.
x+2

Hướng dẫn giải:=
f ( x)

1 x+2
ln
+C .
3 x −1

B. F ( x )
=

D. F ( x=
) ln x 2 + x − 2 + C .
1
1 1
1 
= 

 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
x + x − 2 3  x −1 x + 2 
2

 1− x 
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 
 là
 x 
2

1
B. F ( x ) =− − 2 ln x + x + C .
x

1
A. F ( x ) =− − 2 ln x + x + C .
x

C. F ( x ) =

1
− 2 ln x + x + C .
x

1
D. F ( x ) =− − 2 ln x − x + C .
x

2
1 2
 1− x  1− 2x + x
Hướng dẫn giải: f ( x ) = 
=
= 2 − + 1 . Sử dụng bảng nguyên hàm.

2
x
x
x
 x 
2

Câu 53. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
với a ≠ 0 là
x − a2
2

A.

x−a
1
+C .
ln
2a x + a

B.

1
x+a
ln
+C .
2a x − a

C.

1 x−a
ln
+C .
a x+a

D.

1 x+a
ln
+C .
a x−a

1
1  1
1 
Hướng dẫn giải:=


 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
2
2
x −a
2a  x − a x + a 

Câu 54. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

x
8 − x2

thoả mãn F ( 2 ) = 0 . Khi đó

phương trình F ( x ) = x có nghiệm là
A. x = 1 − 3 .

B. x = 1 .

Hướng dẫn giải: Đặt t =

8 − x 2 ⇒ t 2 = 8 − x 2 ⇒ −tdt = xdx



x
8− x

2

dx =− ∫

C. x = −1 .

D. x = 0 .

tdt
=−t + C =− 8 − x 2 + C .
t

Vì F ( 2 ) = 0 nên C = 2 . Ta có phương trình − 8 − x 2 + 2 = x ⇔ x =1 − 3

14

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Câu 55. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. ln 2 + 1 .

B. ln

Hướng dẫn giải:

1

Chủ đề 14. Nguyên hàm

1
và F ( 2 ) = 1 thì F ( 3) bằng
x −1

3
.
2

C. ln 2 .

D.

1
.
2

ln x − 1 + C , vì F ( 2 ) = 1 nên C = 1 . F ( x=
) ln x − 1 + 1 , thay

∫ x − 1 dx=

x = 3 ta có đáp án.

Câu 56. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số =
f ( x)

ln 2 x + 1.

ln x
1
thoả mãn F (1) = . Giá
x
3

trị của F 2 ( e ) là
A.

8
.
9

B.

Hướng dẫn giải: Đặt
=
t



ln 2 x + 1.

1
.
9

C.

ln 2 x + 1 ⇒=
tdt
3

ln x
t
dx = ∫ t 2 dt = + C =
x
3

(

8
.
3

D.

1
.
3

ln x
dx
x

ln 2 x + 1
3

)

3

+ C . Vì F (1) =

1
nên C = 0
3

8
Vậy F 2 ( e ) = .
9

Câu 57. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x=
) 2x +
A. − cot x + x 2 −

π2
16

.

C. − cot x + x 2 .

1
π 
thỏa mãn F   = −1 là
2
sin x
4

B. cot x − x 2 +
D. cot x − x 2 −

π2
16

π2
16

.
.

π2
1 

π 
2
Hướng dẫn giải: ∫  2 x + 2 dx =
.
x − cot x + C . F   = −1 nên C = −
16
sin x 

4

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

15


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

VẬN DỤNG CAO

1. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC.
Câu 58. Kết quả tính
A.

− x3 + 5 x + 2
∫ 4 − x 2 dx bằng

x2
− ln 2 − x + C .
2

x3
− ln 2 − x + C .
3
Hướng dẫn giải
C.

− x3 + 5 x + 2 x3 − 5 x − 2
=
=
4 − x2
x2 − 4

B.

x2
+ ln 2 − x + C .
2

D.

x3
+ ln x − 2 + C .
3

( x + 2 ) ( x 2 − 2 x − 1)
=
( x + 2 )( x − 2 )

1
. Sử dụng bảng nguyên hàm.
x−2

x−

Câu 59. Họ nguyên hàm của =
f ( x ) x 2 ( x3 + 1) là
5

A. F ( x=
)

6
1 3
x + 1) + C .
(
18

B. F ( x=
) 18 ( x3 + 1) + C .
6

C. F ( x ) = ( x3 + 1) + C .

D. F ( x )=

6

6
1 3
x + 1) + C .
(
9

Hướng dẫn giải: Đặt t = x3 + 1 ⇒ dt = 3 x 2 dx . Khi đó

∫ x (x
2

3

+ 1) dx=
5

6
1 5
1 6
1 3
t dt=
t + C=
x + 1) + C .
(

3
18
18

Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

x 2 + x + x3 + 1
là hàm số nào?
x3

1
1
A. F ( x=
) ln x − + x − 2 + C .
2x
x

B. F ( x=
) ln x +

x3 3x 2
C. F ( x ) = −
+ ln x + C .
3
2

D. F ( x ) =

1
1
+ x− 2 +C.
2x
x

x3 3x 2
+
+ ln x + C .
3
2

x 2 + x + x3 + 1 1 1
1
Hướng dẫn giải: f ( x ) =
= + 2 + 1 + 3 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
3
x
x x
x
Câu 61. Giá trị m để hàm số F ( x ) = mx3 + ( 3m + 2 ) x 2 − 4 x + 3 là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 3 x 2 + 10 x − 4 là:
A. m = 1 .

B. m = 0 .

Hướng dẫn giải:

∫ ( 3x

2

C. m = 2 .

D. m = 3 .

+ 10 x − 4 ) dx = x + 5 x − 4 x + C , nên m = 1 .
3

2

3
Câu 62. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 4 ( 2 x ) thoả mãn F ( 0 ) = . Khi đó F ( x )
8
là:

A. F ( x )=

3
1
1
( x + 1) − sin 4 x + sin 8 x .
8
8
64

3
1
1
3
C. F ( x ) =−
x
sin 2 x + sin 4 x + .
8
8
64
8

16

3
1
1
B. F ( x ) =−
x
sin 4 x + sin 8 x .
8
8
64
3
D. F ( x ) =
x − sin 4 x + sin 6 x + .
8

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

Hướng dẫn giải

1
1 + cos8 x 
 1 − cos 4 x  1
sin 4 ( 2 x ) =
1 − 2 cos 4 x + cos 2 4 x ) =
(

 =
1 − 2 cos 4 x +

2
4
4
2



3 cos 4 x cos8 x
=

+
8
2
8
2

3
sin 4 x sin 8 x
 3 cos 4 x cos8 x 
Nên ∫ sin 4 ( 2 x )dx =
x−
+
+C.
∫  8 − 2 + 8  dx =
8
8
64

Vì F ( 0 ) =

3
nên suy ra đáp án.
8

Câu 63. Biết hàm số f (=
x) (6 x + 1) 2 có một nguyên hàm là F ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d thoả mãn điều
kiện F (−1) =
20. Tính tổng a + b + c + d .
A. 46 .

B. 44 .

C. 36 .

D. 54 .

Hướng dẫn giải

∫ ( 6 x + 1)

2

dx
=

∫ ( 36 x

2

+ 12 x + 1) dx
= 12 x 3 + 6 x 2 + x + C nên=
a 12;=
b 6;=
c 1

Thay F (−1) =
20. d = 27 , cộng lại và chọn đáp án.
Câu 64. Hàm số f =
( x ) x x + 1 có một nguyên hàm là F ( x ) . Nếu F ( 0 ) = 2 thì F ( 3) bằng
A.

146
.
15

B.

Hướng dẫn giải: Đặt t=

∫x

x + 1dx=

∫ ( 2t

4

C.

886
.
105

D.

105
.
886

x + 1 ⇒ 2tdt= dx

− 2t 2 ) dt =

Vì F ( 0 ) = 2 nên C =

116
.
15

2 5 2 3
2
t − t + C=
5
3
5

(

)

5

x +1 −

2
3

(

)

3

x +1 + C

34
. Thay x = 3 ta được đáp án.
15

Câu 65. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x cos x thỏa mãn F ( 0 ) = 1 . Khi đó phát
biểu nào sau đây đúng?
A. F ( x ) là hàm số chẵn.
B. F ( x ) là hàm số lẻ.
C. Hàm số F ( x ) tuần hoàn với chu kì là 2π .
D. Hàm số F ( x ) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Hướng dẫn giải

∫ x cos xdx =

x sin x + cos x + C

F ( 0 ) = 1 nên C = 0 . Do đó F ( x ) là hàm số chẵn.
Câu 66. Một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x) =

sin 2 x
A. ln 1 +
.
3

B. ln 1 + sin x .
2

sin 2 x
thỏa mãn F ( 0 ) = 0 là
sin 2 x + 3
C.

ln 2 + sin 2 x
3

.

D. ln cos 2 x .

Hướng dẫn giải: Đặt=
t sin 2 x + 3 ⇒=
dt 2sin x cos xdx
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

17


Tán đổ Toán Plus

sin 2 x
dx=
2
x+3

∫ sin



Chủ đề 14. Nguyên hàm

dt
= ln t + C= ln sin 2 x + 3 + C
t

vì F ( 0 ) = 0 nên C = − ln 3 . Chọn đáp án.
Câu 67. Cho f (=
x)

4m

π

+ sin 2 x . Tìm m để nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) thỏa mãn

π  π
F ( 0 ) = 1 và F   = .
4 8
3
A. − .
4

B.

3
.
4

C. −

4
3

D.

4
.
3

x sin 2 x
4m
 4m

Hướng dẫn giải: ∫ 
+ sin 2 x dx
=
+ C vì F ( 0 ) = 1 nên C = 1
x+ −
π
2
4
 π

3
π  π
F   = nên tính được m = −
4
4 8

2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

1
.
sin x.cos x

A.

∫ f ( x)dx=

1
ln sin x − ln 1 − sin 2 x + C .
2

B.

C.

dx
∫ f ( x)=

1
1
ln sin x − ln 1 − sin 2 x + C .
2
2

D.

1

− ln sin x − ln 1 − sin
∫ f ( x)dx =
2

2

∫ f ( x)dx=

1
ln sin x + ln 1 − sin 2 x + C .
2

x +C .

Hướng dẫn giải
dx
=
∫ sin x.cos x
=

cos xdx

d ( sin x )

=
∫=
sin x.cos x ∫ sin x. (1 − sin x )
2

2

d ( sin x ) 1 d ( sin x )
1 d ( sin x )
+∫
− ∫

2 1 − sin x
sin x
2 1 + sin x

1
1
−1
ln 1 − sin x + ln sin x − ln 1 + sin x + C = ln sin x − ln 1 − sin 2 x + C
2
2
2

2sin 3 x
Câu 69. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
1 + cos x
A.

∫ f ( x)dx = cos

C.

∫ f ( x)dx =

2

x − 2 cos x + C .

cos 2 x + cos x + C .

B.

∫ f ( x)dx =

1
cos 2 x − 2 cos x + C .
2

D.

∫ f ( x)dx =

1
cos 2 x + 2 cos x + C .
2

Hướng dẫn giải
2sin 3 x
2sin 2 x
2 cos 2 x − 2
=
dx
=
.sin
xdx
∫ 1 + cos x ∫ 1 + cos x
∫ 1 + cos x d ( cos x )
= ∫ 2 ( cos x − 1) d ( cos x ) = cos 2 x − 2 cos x + C

18

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Câu 70. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A.



− cot 4 x
f=
+C .
( x).dx
4

C.



f (=
x).dx

cos3 x
.
sin 5 x

cot 2 x
+C .
2

Hướng dẫn giải

Chủ đề 14. Nguyên hàm

B.



cot 4 x
f (=
x).dx
+C .
4

D.



f (=
x).dx

tan 4 x
+C .
4

− cot 4 x
dx
cos3 xdx
3
3
=
=

=
+C
x
x
d
x
cot
.
cot
.
cot
(
)
∫ sin 5 x ∫

sin 2 x
4

Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm
số: f ( x) cos 2 x ( sin 4 x + cos 4 x ) .
=
1

1

A.

∫ f ( x).dx =2 sin 2 x − 12 sin

C.

sin 2 x − sin
∫ f ( x).dx =
4

1

3

3

2x + C .

2x + C .

1

1

1

1

B.

∫ f ( x).dx =2 sin 2 x + 12 sin

D.

∫ f ( x).dx =2 sin 2 x − 4 sin

3

3

2x + C .

2x + C .

Hướng dẫn giải

∫ cos 2 x ( sin

4

4
x + cos=
x ) dx

∫ cos 2 x ( sin

2

x + cos 2 x ) − 2sin 2 x.cos 2 x  dx

1
 1 2 
2
=
∫ cos 2 x 1 − 2 sin 2 x  dx =
∫ cos 2 xdx − 2 ∫ sin 2 x.cos 2 xdx
1
1
1
=∫ cos 2 xdx − ∫ sin 2 2 x.d ( sin 2 x ) = sin 2 x − sin 3 2 x + C
4
2
12
Câu 72. Tìm nguyên hàm của hàm số =
f ( x)
1

A.

− cos x + e
∫ f ( x)dx =
2

C.

− cos x + e
∫ f ( x)dx =

2sin x

2sin x

( tan x + e

+C .

+C.

2sin x

) cos x .
1

B.

∫ f ( x)dx =cos x + 2 e

D.

− cos x − e
∫ f ( x)dx =
2

2sin x

1

+C .
+C .

2sin x

Hướng dẫn giải

∫ ( tan x + e

2sin x

) cos xdx =
∫ sin xdx + ∫ e

Câu 73. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

2sin x

1
d ( sin x ) =
− cos x + e 2sin x + C
2

1
.
sin x + cos x + 2

1

x


8


+C .


B.

)dx
∫ f ( x=

1

x

3π 
+C .
4 

D.

cot  −

∫ f ( x)dx =
2
2

A.

cot  +

∫ f ( x)dx =
2
2

C.


cot  +
∫ f ( x)dx =
2
2

1
 x 3π
cot  +
2
2 8
1

x


+C .


3π 
+C .
8 

Hướng dẫn giải
dx
=
∫ sin x + cos x + 2

dx

∫=
π

2 sin  x +  + 2
4


1
dx

2 sin  x + π  + 1


4


1
dx
1
dx
1
 x 3π
=∫
=∫
=

cot  +
2
2  x π
2 2sin 2  x + 3π 
2
2 8
 x π 


sin
cos
+
+
+



 
2 8 
 2 8 
 2 8
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ


+C


19


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.
Câu 74. Hàm số=
F ( x) ln sin x − cos x là một nguyên hàm của hàm số
A. f ( x) =

sin x + cos x
.
sin x − cos x

B. f ( x) =

sin x − cos x
.
sin x + cos x

C. f ( x) =

1
.
sin x + cos x

D. f ( x) =

1
.
sin x − cos x

(sin x − cos x) ' cos x + sin x
=
sin x − cos x
sin x − cos x

Hướng dẫn
giải: F '( x)
=

Câu 75. Kết quả tính ∫ 2 x ln( x − 1)dx bằng:
A. ( x 2 − 1) ln( x − 1) −

x2
− x+C.
2

B. x 2 ln( x − 1) −

x2
C. ( x + 1) ln( x − 1) − − x + C .
2
Hướng dẫn giải

x2
− x+C .
2

x2
D. ( x − 1) ln( x − 1) − + x + C .
2

2

2

1

dx
=
u ln( x − 1) du =
Đặt 
⇒
x −1
2
dv = 2 xdx
=
v x − 1

Ta có ∫ 2 x ln( x − 1)dx = ( x 2 − 1) ln( x − 1) − ∫ ( x + 1)dx = ( x 2 − 1) ln( x − 1) −

x2
− x+C
2

e tan x
Câu 76. Kết quả tính ∫
dx bằng:
cos 2 x
B. tan x.e tan x + C .

A. e tan x + C .
Hướng dẫn giải:

e tan x
dx
∫ cos2 x=

∫e

tan x

C. e − tan x + C .

D. −e tan x + C .

d (tan=
x) e tan x + C .

Câu 77. Tính ∫ ecos x sin 2 xdx bằng:
2

C. e −2sin x + C .

B. e − sin 2 x + C .

A. −ecos x + C .
2

D. −esin 2 x + C .

Hướng dẫn giải: ∫ ecos x sin 2 xdx =
− ∫ ecos x d (cos 2 x) =
− ecos x + C .
2

2

2

Câu 78. Tính ∫ esin x sin 2 xdx bằng:
2

A. esin x + C .

B. esin 2 x + C .

2

Hướng dẫn giải: ∫ esin x sin 2 xdx
=
2

∫e

sin 2 x

C. ecos x + C .
2

D. e 2sin x + C .

d (sin 2=
x) esin x + C .
2

Câu 79. Kết quả ∫ ecos x sin xdx bằng:
A. −ecos x + C .

B. ecos x + C .

C. −e − cos x + C .

D. e − sin x + C .

Hướng dẫn giải: ∫ ecos x sin xdx =
− ∫ ecos x d (cos x) =
−ecos x + C .

20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 80. Biết hàm số F ( x) =
− x 1 − 2 x + 2017 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =

ax + b
. Khi
1− 2x

đó tổng của a và b là
B. −2 .

A. 2 .

C. 0 .

D. 1 .

3x − 1
Hướng dẫn giải: F '( x) =− x 1 − 2 x + 2017 ' =
1− 2x

(

)

⇒ a + b = 3 + ( −1) = 2
Câu 81. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

x3 − 2 x
x2 + 1

.

A. F ( =
x)

1 2
x − 8) x 2 + 1 + C .
(
3

B. F ( =
x)

1 2
x 1 + x2 + 8 1 + x2 + C .
3

C. F ( x=
)

1
(8 − x 2 ) x 2 + 1 + C .
3

D. F ( x =
)

2 2
( x − 8) 1 + x 2 + C .
3



Hướng dẫn giải:

x3 − 2 x

(

=

x2 + 1

dx = ∫

(x

2

− 2 ) xdx
x2 + 1

x 2 + 1 ⇒ x 2 = t 2 − 1 ⇒ xdx = tdt . Khi đó

Đặt t =



x3 − 2 x

x2 + 1

dx =

x2 + 1
3

)



(t

2

− 3) ( tdt )
t

=

∫ (t

2

− 3) dt =

t3
− 3t + C
3

3

− 3 x 2 + 1 +=
C

Câu 82. Tính F ( x ) = ∫

1 2
x − 8) x 2 + 1 + C
(
3

sin 2 x
4sin 2 x + 2 cos 2 x + 3

dx . Hãy chọn đáp án đúng.

A. F ( x ) =6 − cos 2 x + C .

B. F ( x ) =6 − sin 2 x + C .

C. F ( x ) =6 + cos 2 x + C .

D. F ( x ) =
− 6 − sin 2 x + C .

Hướng dẫn giải



sin 2 x
4sin 2 x + 2 cos 2 x + 3

dx =


d ( 6 − cos 2 x )
sin 2 x
dx=∫
=6 − cos 2 x + C
6 − cos 2 x
2 6 − cos 2 x

Câu 83. Biết hàm số F ( x) =
( mx + n ) 2 x − 1 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =

1− x
. Khi
2x −1

đó tích của m và n là
2
A. − .
9
Hướng dẫn giải

Cách 1: Tính



B. −2 .

2
C. − .
3

D. 0 .

1
2
2
1− x
2
 1
− ;n =
⇒ m.n =

dx =  − x +  2x − 1 + C . Suy ra m =
3
3
9
3
2x − 1
 3

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

21


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

1

m= −

3m = −1
2
3mx − m + n

3
Cách 2: Tính F ' ( x ) =
. Suy ra 
⇒
⇒ m.n =

1 
2
9
2x −1
n − m =
n=

3

Câu 84. Biết hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =

ln x
x ln 2 x + 3

có đồ thị đi qua điểm

( e; 2016 ) . Khi đó hàm số F (1) là
A.

3 + 2014 .

B.

C. 2 3 + 2014 .

3 + 2016 .

D. 2 3 + 2016 .

Hướng dẫn giải: =
Đặt t

x)
ln 2 x + 3 và tính được F (=

F ( e=
C 2014 ⇒ F ( x=
) 2016 ⇒ =
)

ln 2 x + 3 + C .

ln 2 x + 3 + 2014 ⇒ F (1=
)

3 + 2014

5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 85. Tính

dx
∫x e =

e x (ax3 + bx 2 + cx + d ) + C . Giá trị của a + b + c + d bằng

3 x

A. −2 .

B. 10 .

D. −9 .

C. 2 .

Hướng dẫn giải:
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
Kết quả:

∫ x e dx=

x 3e x − 3 x 2 e x + 6 xe x − 6e x + C= e x ( x 3 − 3 x 2 + 6 x − 6) + C .

3 x

Vậy a + b + c + d =−2 .
Câu 86. Tính F ( x=
)

∫ x ln( x

2

+ 3)dx= A( x 2 + 3) ln( x 2 + 3) + Bx 2 + C . Giá trị của biểu thức A + B

bằng
A. 0 .

C. −1 .

B. 1 .

D. 2 .

Hướng dẫn giải
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u
ln( x 2 + 3)

x2 + 3
2

1

x

2x
qua dv )
x +3
2

0

∫ x ln( x

2

x

+

2x
2
x +3

(Chuyển

Do đó F ( x=
)

dv và nguyên hàm của v

+ 3)dx
=

(Nhận

2x
từ u )
x +3
2

x2
2

1 2
1
( x + 3) ln( x 2 + 3) − x 2 + C .
2
2

Vậy A + B =
0.

22

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus
Câu 87. Tính

∫x

2

Chủ đề 14. Nguyên hàm

cos 2 xdx
= ax 2 sin 2 x + bx cos 2 x + c sin x + C . Giá trị của a + b + 4c bằng

A. 0 .

B.

3
.
4

C.

−3
.
4

D.

1
.
2

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
Kết quả:

∫x

2

cos 2 xdx=

1 2
1
1
x sin 2 x + x cos 2 x − sin 2 x + C .
2
2
4

Vậy a + b + 4c =
0.
Câu 88. Tính

∫x

3

ln=
2 xdx x 4 ( A ln 2 x + B ) + C . Giá trị của 5 A + 4 B bằng:

A. 1 .

B.

−1
.
4

C.

1
.
4

D. −1 .

Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
=
u ln=
2 x, dv x3 dx .
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
Kết quả:

∫x

3

ln=
2 xdx

1 4
1 4
1
1
x ln 2 x − x=
+ C x 4  ln 2 x −  + C .
4
16
16 
4

Vậy 5 A + 4 B =
1.
Câu 89. Tính F ( x) = ∫ x ln
A. F ( x)
=

1+ x
dx . Chọn kết quả đúng:
1− x

x2 −1 1 + x
ln
+ x+C
2
1− x

B. F ( x)
=

x2 + 1 1 + x
ln
+ x+C
2
1− x

x2 + 1 1 + x
x2 −1 1 + x
D. F ( x)
ln
− x+C
ln
=
− x+C
2
1− x
2
1− x
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và nguyên hàm của
hàm số hữu tỉ.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

C. F ( x)
=

Kết quả:

1+ x
x2 −1 1 + x
x
=
ln
dx
ln
+ x+C .
∫ 1− x
2
1− x

Câu 90. Cho hàm số F=
( x)

∫ x(1 − x) dx . Biết F (0) = 1 , khi đó F (1) bằng:
3

19
−21
21
−19
.
B.
.
C.
.
D.
.
20
20
20
20
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp đổi biến số với u = 1 − x .

A.

Sử dụng phương pháp từng phần với u= x; dv= (1 − x)3 dx .
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng với u= x; dv= (1 − x)3 dx

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

23


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 14. Nguyên hàm

− x(1 − x) 4 (1 − x)5
Kết quả F ( x) =∫ x(1 − x)3 dx =

+C
4
20
21
21
. Do đó F (1) =
.
20
20

F (0) = 1 suy ra C =

Câu 91. Tính ∫ (2 x + 1) sin xdx= a x cos x + b cos x + c sin x + C . Giá trị của biểu thức a + b + c bằng
A. −1 .

B. 1 .

D. −5 .

C. 5 .

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng.
Kết quả F ( x) =
−2 x cos x − cos x + 2sin x + C nên a + b + c =−1 .
∫ (2 x + 1) sin xdx =
Câu 92. Cho hàm số=
F ( x)

∫ x ln( x + 1)dx có F (1) = 0 . Khi đó giá trị của F (0) bằng

−1
.
4
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự

A.

B.

1
.
4

luận:

C.
Sử

dụng

−1
.
2

phương

pháp

D.
nguyên

1
.
2

hàm

từng

phần

với u =ln( x + 1), dv =xdx
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
Kết quả=
F ( x)

∫ x ln( x + 1)dx=

Từ F (1) = 0 suy ra C =
Câu 93. Hàm số F=
( x)
A.

∫ (x

2

1 2
1
( x − 1) ln( x + 1) − ( x 2 − 2 x) + C .
2
4

−1
−1
. Vậy F (0) =
.
4
4

+ 1) ln xdx thỏa mãn F (1) =

1 3
x3 x
( x + 3 x) ln x − − .
6
18 2

−5

9

B.

1 3
x3 x
( x + 3 x) ln x − − − 1 .
6
18 2

1
x3 x
1 3
x3 x 10
D. ( x3 + 3 x) ln x − − + 1 .
( x + 3 x) ln x − − + .
6
18 2
6
18 2 9
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp từng phần.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
C.

Kết quả F ( x=
)
Với F (1) =

2
∫ ( x + 1) ln xdx=

1 3
x3 x
( x + 3 x) ln x − − + C
6
18 2

1 3
x3 x
−5
suy ra C = 0 nên F ( x)=
( x + 3 x) ln x − − .
9
6
18 2

Câu 94. Hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) =

xe x
và có đồ thị đi qua điểm A(0;1) . Chọn kết quả
( x + 1) 2

đúng
ex
A. f ( x) =
x +1

24

ex
B. f=
( x)
+1
x +1

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

C. f=
( x)

ex
−1
x +1

D. f=
( x)

Chủ đề 14. Nguyên hàm

ex
+2
x +1

x
Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp từng phần =
với u xe
=
, dv

u và đạo hàm của u
xe

dv và nguyên hàm của v

x

1
( x + 1) 2

+
( x + 1)e x
(Chuyển ( x + 1)e qua dv )

−1
x +1

1

−e x

x

-

(nhận ( x + 1)e x từ u )
−e x

0
Kết quả f=
( x)

1
dx
( x + 1) 2

ex
xe x
ex
.
Với
suy
ra
.
Vậy
f
x
=
(
)
0
C
=
=
+
dx
C
f
(0)
=
1
∫ ( x + 1)2
x +1
x +1

(

)

Câu 95. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ln x + x 2 + 1 thỏa mãn F (0) = 1 . Chọn kết quả
đúng

(
x ln ( x +

)
x + 1) −

(
x ln ( x +

)
x + 1) −

A. F=
( x) x ln x + x 2 + 1 − x 2 + 1 + 2 .

B. F=
( x) x ln x + x 2 + 1 − x 2 + 1 − 2 .

C. F=
( x)

D. F (=
x)

Hướng dẫn giải:

(

2

x2 + 1 + 1 .

2

x2 + 1 .

)

Đặt u = ln x + x 2 + 1 , dv = dx ta được

)

(

( x) x ln x + x 2 + 1 − x 2 + 1 + C . Vì F (0) = 1 nên C = 2
F=

(

)

Vậy F=
( x) x ln x + x 2 + 1 − x 2 + 1 + 2 .
Câu 96. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

x
thỏa mãn F (π ) = 2017 . Khi đó F ( x ) là
cos 2 x

hàm số nào dưới đây?
A. F ( x) =
x tan x + ln | cos x | +2017 .

B. F ( x) =
x tan x − ln | cos x | +2018 .

C. F ( x) =
x tan x + ln | cos x | +2016 .

D. F ( x) =
x tan x − ln | cos x | +2017 .

Hướng dẫn giải: Đặt
=
u x=
, dv

1
dx ta được=
du dx
=
, v tan x
cos 2 x

x
dx =
x tan x − ∫ tan xdx =
x tan x + ln | cos x | +C .
cos 2 x
Vì F (π ) = 2017 nên C = 2017 . Vậy F ( x) =
x tan x + ln | cos x | +2017 .

Kết quả F ( x) =


Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×