Tải bản đầy đủ

Phương pháp và bài tập quan hệ vuông góc

WWW.DAYHOCTOAN.VN

fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn

PHƢƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC
(ÔN TẬP CHƢƠNG III)


Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau :

















a  b  
a ; b   900 .

b / / c
 a  b.

a  c
 
 
a  b  a  b  0 .Nếu a , b lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b
Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất
đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vuông góc .

a  ( ) 
 a b ;
b  ( ) 
a / / 
b  a
b 

a '  hch  a  
a '  hch  a  


b    b  a' ;
b  b  a .
b  a 
b  a ' 

ABC ; a  AB 
  a  BC
a  AC 
Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ
quả sau :
 a    a  b  







a  b  

a  c    a   .
b  c  O

a / /b    a   .
 / /  a  a   .
AB     M | MA  MB (  là mặt phẳng trung trực của AB).
ABC   







MA  MB  MC   MO    .
OA  OB  OC 

 P   Q  

a   P    a  Q 

a  c   P    Q 

WWW.DAYHOCTOAN.VN

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn


WWW.DAYHOCTOAN.VN





 P   R

 Q    R   a   R 
 P    Q   a 

Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả
sau :








fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn

P  ,  Q    900
 P    Q    

 P   a 
   P   Q 
a   Q  
 R    Q  
   P   Q  .
 P  / /  R 

Tính góc giữa hai đƣờng thẳng

Phương pháp :Có thể sử dụng một trong các cách sau:




Cách 1:(theo phương pháp hình học)

Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó vẽ các đường thẳng
lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho

Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O .

Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính .
Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ)

 

Tìm u1 , u2 lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng  1  và   2 



 
u1  u2
 
Khi đó cos  1 ,  2   cos u1 , u2    .
u1  u2









Tính góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng

Phương pháp :


 

a     a
,  900 ;

 a / /
0

a     a ,   0 ;

a    
 

  a ,   a , a ' 
a '  hch a 
o Để tìm a '  hch a ta lấy tùy ý điểm M  a , dựng MH    tại H , suy ra

,  MAH
hch a  a '  AH ,  A  a      a


 





 

Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp :


Cách 1 : Dùng định nghĩa :

P  ,  Q     a
, b  trong đó :


WWW.DAYHOCTOAN.VN

a   P  

b   Q  

Q

q

p
Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn
R

P


WWW.DAYHOCTOAN.VN
fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn
 Cách 2 : Dùng nhận xét :

 R        P    Q 

P  , Q    
p,q .
 R    P   p    
 R    Q   q 



Cách 3 : Dùng hệ quả :

M  Q 



 
H  hch P  M
   P  ,  Q   MNH .

HN  m   P    Q  







Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng

Phương pháp :Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ
điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :


Cách 1 :
 Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .
 Xác định m   P    Q  .
Dựng MH  m   P    Q  ,



 MH   P 

suy ra MH là đoạn cần tìm .
Cách 2:Dựng MH / /  d    
o Chú ý :
 Nếu MA / /    d M ,    d A ,   .








Nếu MA     I 



d  M ,   
d  A ,   







IM
IA

Khoảng cách từ một đƣờng thẳng đến một mặt phẳng:




a   P 

Khi 

 a   P 
Khi a / /  P 

 d  a , P   0 .

 d  a ,  P    d  A ,  P   với A   P  .


Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :






 P    Q 

 d  P  , Q   0 .
P

Q





Khi  P  / /  Q 
 d  P  , Q   d  M , Q 
với A   P  .
Khi 

Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng
WWW.DAYHOCTOAN.VN

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn


WWW.DAYHOCTOAN.VN

      ' 

 d     ,   '   0 .



Khi 



Khi    / /   '  d



       '

fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn

   ,   '  d  M ,   '  d  N ,    với M     , N    ' .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
 Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
   và   ' là đường thẳng  a  cắt    ở M và cắt

  ' ở N




đồng thời vuông góc với cả    và   ' .

(a)


M

Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau    và   ' .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đườngthẳng đó .

'

N

Phương pháp :
Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến
mp(P) .
 Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm .
 Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .
Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau :
 Cách 1:Khi a  b
 Dựng một mp  P   b ,  P   a tại H .


Trong (P) dựng HK  b tại K .
Đoạn HK là đoạn vuông góc
chung của a và b .
Cách 2:
 Dựng  P   b ,  P  / / a .









Dựng a '  hch P  a , bằng cách lấy M  a
dựng đoạn MN    , lúc đó a’ là
đường thẳng đi qua N và song song a .
Gọi H  a ' b , dựng HK / / MN
 HK là đoạn vuông góc chung cần tìm .

WWW.DAYHOCTOAN.VN

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn


WWW.DAYHOCTOAN.VN

fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn



Một số bài tập ôn tập chƣơng

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB  BC  a , AD  2a , các mặt phẳng

 SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  .
a) Chứng minh SA   ABCD  .
b) Chứng minh  SAC    ABCD  .
c) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S. ABCD đều là các tam giác vuông .

d) Khi SA  a 6 . Tính góc giữa SD với mặt phẳng  ABCD  và góc giữa hai mặt phẳng  ABCD  và

 SCD  .









d) Tính các khoảng cách : d A ,  SCD  ; d CD ,  SAB  ; d  SD , AC  .
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a.
a) Tính đường cao của hình chóp .
b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy .
c) Tính d(O, (SCD)) .
d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC .
e)Gọi () là mặt phẳng chứa AB và () vuông góc với (SCD) , () cắt SC, SD lần lượt C’ và D’. Tứ giác ABC’D’ là
hình gì? Tính diện tích của thiết diện .
Cho hình chữ nhật ABCD có AD  6, AB  3 3 . Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho MB  2MB và N là trung
điểm của AD . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại M lấy điểm S sao cho SM  2 6 .
a) Chứng minh AD   SAB  ;  SBC    SAB  ;
b) Chứng minh  SBN    SMC  ;
c) Tính góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng  SMC  :





d) Xác định vị trí điểm P SM sao cho 
PNC  ,  SMC   600 .
(Thi Học kì 2 Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM) .
(*) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC đều cạnh a . I là trung điểm của BC, SA vuông góc với (ABC) .
a) Chứng minh (SAI) vuông góc với (SBC) .
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần lượt là đường cao của SBC. Chứng minh (MBE) vuông
góc với (SAC) và (NFC) vuông góc với (SBC) .
c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của SBC và ABC . Chứng minh OH vuông góc với (SBC) .
d) Cho () qua A và song song với BC và () vuông góc với (SBC). Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi ()
khi SA = 2a .
e) Gọi K là giao điểm của SA và OH .Chứng minh AK.AS không đổi . Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất .
a. Khi SA = a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC) .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông SAB đều cạnh a, (SAB) vuông góc với (ABCD) .
a) Chứng minh SCD cân .
b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) .
c) Tính đoạn vuông góc với chung giữa AB và SC .

AOB  1200 . Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuông góc với (OAB) về cùng
Cho OAB cân tại O . OA = OB = a , 
một phía , lấy M , N sao cho AM  x , BN  y .
a) Tính các cạnh của OMN theo a, x, y . Tìm hệ thức giữa x, y để OMN vuông tại O .
b) Cho OMN vuông tại O và x + y =

WWW.DAYHOCTOAN.VN

3a
.Tính x, y ( x < y ) .
2

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn


WWW.DAYHOCTOAN.VN

fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn

, OAB .
c) Với kết quả câu b) . Tính góc OMN





d) Giả sử M , N lưu động sao cho y  2 x . Chứng minh (OMN) quay quanh một đường thẳng cố định.
(*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt AI  x ,  0  x  a  .





a) Chứng minh khi x  4  15 a thì góc giữa DI và AC’ bằng 600 .
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) . Tìm x để diện tích ấy
nhỏ nhất .
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo a và x .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  a , SA  a 2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SA, SB , CD . Chứng minh rằng đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP . Tính khoảng cáh từ P đến

 SAB 

(CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009) .

Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng tại B , AB  a , AA '  2a , A ' C  3a . Gọi
M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A ' C . Tính theo a khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng  IBC  .
(KHỐI D NĂM 2009) .
Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB '  a , góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng  ABC  bằng 600 ;

  600 . Hình chiếu vng góc của điểm B’ lên mặt phẳng  ABC  trùng
ABC là tam giác vng tại C và BAC
với trọng tâm của tam giác ABC . Tính khoảng cách ttừ A ' đến mặt phẳng  ABC  và diện tích của tam giác ABC
.
(KHỐI B NĂM 2009).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D , AB  AD  2a , CD  a , ; góc giữa hai
mặt phẳng  SBC  và

 ABCD  bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh
 SCI  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , tính khoảng cách từ S

AD . Biết hai mặt phẳng  SBI  và
đến mặt phẳng  ABCD  và diện tích

của hình thang ABCD .
(KHỐI A NĂM 2009).
Cho hiǹ h chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vng góc của đỉnh S trên

AC
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh
4
M là trung điểm của SA và tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SBC  theo a.
mă ̣t phẳ ng (ABCD) là điểm H th ̣c đoa ̣n AC, AH 

(KHỐI D NĂM 2010) .
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB  a , góc giữa hai mặt phẳng  A ' BC  và  ABC  bằng 600.
Gọi G là trọng tâm tam giác A ' BC . Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng  ABC  và  A ' B ' C '  . Tìm điểm M
cách đều bốn điểm G , A , B , C tính khoảng cách từ M đến các điểm đó theo a .
(KHỐI B NĂM 2010) .
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vng góc với mặt phẳng  ABCD  và SH  a 3 .

Tính diện tích của CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a .
(KHỐI A NĂM 2010) .
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng , AB  BC  a , AA '  a 2 . Gọi M là
trung điểm của đoạn thẳng BC . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B ' C .
(KHỐI D NĂM 2008) .
Trong mặt phẳng  P  cho nửa đường tròn đường kính AB  2 R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho





SAB ,  SBC   60 0 . Gọi H , K
AC  R . Trên đường thẳng vng góc với  P  tại A lấy điểm S sao cho 

lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC .Chứng minh tam giác AHK vng và tính diện ABC và khoảng
cách từ S đến

 P .

WWW.DAYHOCTOAN.VN

(KHỐI A NĂM 2007) .

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn


WWW.DAYHOCTOAN.VN

fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn



WWW.DAYHOCTOAN.VN

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×