Tải bản đầy đủ

Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11

BÀI TẬP VECTƠ
TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh
rằng:
   
a) AC  BD  AD  BC;
   
b) AB  BD  AC  CD.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và
G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng
minh rằng:
 

a) AB  DC  2MN ;
  

b) AB  AC  AD  3 AG.
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

   
Chứng minh: AC '  AB  AD  AA';
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có AB = c; CD =
c’; AC = b; BD = b’; BC = a; AD = a’. Tính
cosin của góc giữa các vectơ
 
BC, DA.
Bài 5. Trên đoạn thẳng AB ta lấy một điểm
CA m
 . Chứng minh rằng:
C sao cho
CB n

n 
m 
SC 
SA 
SB.
mn
mn
Bài 6. Cho hình hộp ABCD.EFGH (AE //
BF // CG // DH). Chứng minh rằng:
    
a) AB  FG  CH  GB  0;
   
b) AB  AH  EF  EH ;





Bài 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Chứng minh rằng:
   
a) AA'  AC '  AB '  AD ';
    
b) AB  BC  C ' D '  D ' A '  0;
    
c) AB  AD  AA '  A ' C '  A ' A;
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD.


a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình
   
bình hành thì SB  SD  SA  SC;
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình
hành
khi

chỉ
khi
   

SA  SB  SC  SD  4SO;
Bài 9. Cho tứ diện SABC; M là trung điểm
của SA; G là trọng tâm tam giác ABC. Hãy

www.dayhoctoan.vn
  
phân
tích
theo
SM , SG, MG
     
a  SA; b  SB; c  SC.
Bài 10. Cho tứ diện SABC. I là trung điểm
của AB; E là trung điểm của SI; G là trọng
tâm của tam giác ABC; K trung điểm của

CG. Hãy phân tích EK theo các vectơ
     
a  SA; b  SB; c  SC.
Bài 11. Cho tứ diện S.ABC; M là trung điểm


của AB; điểm K thỏa mãn KC  2 KB và

N là trung điểm của SK. Hãy phân tích MN
     
theo a  SA; b  SB; c  SC.
Bài 12. Cho tứ diện ABCD; I và J lần lượt
là trung điểm của AB và CD. Các điểm M,
N lần lượt thuộc BC và AD sao cho BM =
2MC; AN = 2ND. Chứng minh rằng bốn
điểm I, J, M, N cùng nằm trong một phẳng.
Bài 13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và
  
hai điểm M, N thỏa mãn MB '  3MC '  0;
  
3 NA '  2 NB '  0. Gọi K là trung điểm của
CC’. Chứng minh bốn điểm A, M, N, K
đồng phẳng.
Bài 14. Trong không gian cho hai bình hành
ABCD và A’B’C’D’ chỉ có chung nhau đỉnh
  
A. chứng minh rằng ba vectơ BB '; CC ';DD'
đồng phẳng.
Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các
AM BN

 k  k  0 .
điểm M, N sao cho
AC BD
  
Chứng minh rằng ba vectơ PQ; PM ; PN
đồng phẳng.
Bài 16. Cho hình lăng trụ tam giác
     
ABC.A’B’C’. Đặt AA'  a; AB  b; AC  c.
 
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ B ' C, BC '
 
qua các vectơ a; b; c.
b) Gọi G’ là trọng tâm tam giác

A’B’C’. Hãy biểu thị vectơ AG' qua
 
các vectơ a; b; c.
Bài 17. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
hai đoạn thẳng AB và CD trong không gian.
  
a) Chứng minh 2IJ  AC  BD;

www.dayhoctoan.vn


Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11

IJ
b) Tính
theo
các
vectơ
     
a  AB; b  AC; c  AD.
Bài 18. Cho tứ diện ABCD và G là trọng
tâm tam giác ABC và hai điểm M, N thỏa


 

mãn ND  2 NA; MC  2MD. Tính GM và

     
MN theo các vectơ a  AB; b  AC; c  AD.
Bài 19. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ tâm


O và điểm M thỏa mãn MD '  3MC '. Tính

OM
theo
các
vectơ
     
a  AB; b  AD; c  AA '.
Bài 20. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và
hai
điểm
M,
N
thỏa
mãn
     
MB '  2MB  0, NA '  2 NC '  0. Hãy phân

MN
tích
theo
các
vectơ
     
a  AB; b  AC; c  AA '.
Bài 21. Cho tứ diện SABC và điểm M thỏa

 

mãn
với
SM  mSA  nSB  pSC
m  n  p  1. Chứng minh M thuộc mặt
phẳng (ABC).
Bài 22. Cho tứ diện SABC và điểm M thỏa

  
mãn SM  3SA  SB  SC . Chứng minh M
thuộc mặt phẳng (ABC).
Bài 23. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm
tam giác ACD, I là trung điểm của BC. Vẽ
hình bình hành ABDK. Chứng minh ba
điểm I, G, K thẳng hàng.
Bài 24. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, với
I là tâm của hình bình hành AA’B’B, G, G’
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và
A’B’C’. Chứng minh GI // CG’.
Bài 25. Cho hình lập phương ABCD.
A’B’C’D’ với ba điểm I, M, Q lần lượt là
trung điểm của AA’, DD’, MD và điểm P


thỏa mãn PC  2 PD. Chứng minh BM
song song với mặt phẳng (IPQ).
Bài 26. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD


lấy điểm M sao cho AM  2MD và trên


cạnh BC lấy điểm N sao cho BN  2 NC.
  
Chứng minh rằng ba vectơ AB; DC; MN
đồng phẳng.
 1  2 
HD: Chứng minh: MN  AB  DC.
3
3

www.dayhoctoan.vn

BÀI TẬP HAI ĐƯỜNG
THẲNG VUÔNG GÓC
Bài 27. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,
OB, OC đôi một vuông góc và có độ dài OA
= OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của

cạnh AB. Hãy tính góc giữa hai vectơ OM

và BC.
ĐS: 1200.
Bài 28. Cho hình chóp tam giác S.ABC có
SA = SB = SC = AB = AC = a và
BC  a 2. Tính góc giữa hai đường thẳng
AB và SC.
ĐS: 600.
Bài 29. Cho tứ diện ABCD có AB  AC và
AB  BD. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB
và MN là hai đường thẳng vuông góc với
nhau.
 
HD: c/m: MN . AB  0.
Bài 30. Cho tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng
     
AB.CD  AC.DB  AD.BC  0.
b) Từ đẳng thức trên hãy chứng
minh rằng nếu tứ diện ABCD có AC 
CD và AC  DB thì AD  BC.
Bài
31.
Cho
hình
lập
phương
ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Tính độ dài đường chéo AC’.
b) Chứng minh AC’  BD.
Bài 32. Hai tam giác đều ABC và ABD có
chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng
khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung
điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA.
a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là
hình chữ nhật.
b) Tìm vị trí của hai đỉnh C và D để tứ
giác MNPQ là hình vuông.


Bài 33. Gọi u và v lần lượt là hai vectơ chỉ
phương của hai đường thẳng a và b trong
không gian. Chứng minh rằng điều kiện cần
   
và đủ để a  b là : u  v  u  v .
Bài 34. Cho tứ diện ABCD có DA = DB và
CA = CB. Chứng minh rằng DC  AB.
Bài 35. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =
 B  BSC
  CSA
 . Chứng minh rằng
SC và AS
SA  BC, SB  AC, SC  AB.

www.dayhoctoan.vn


Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11
www.dayhoctoan.vn
Bài 36. Cho hình tứ diện ABCD có AB =
Bài 44. Cho tứ diện ABCD có AB  AC,
AC
=
AD
=
a


AB  BD và hai điểm P, Q lần lượt thuộc
0
0
hai
cạnh
AB,
CD
sao
cho



BAC
 BAD
 60 ; CAD
 90 . Chứng minh

 

PA  k PB, QC  kQD  k  1 . Chứng minh
rằng:
a) AB  CD;
AB  PQ.
b) Nếu M và N lần lượt là trung điểm
Bài 45. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =
của AB và CD thì MN  AB và MN
 B  AS
 C. Chứng minh BC  SA.
SC và AS
 CD.
Bài 46. Cho tứ diện SABC có SA = SB =
Bài 37. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N,



SC = a và BAC
 BAD
 600 , CAD
 900.
P, Q, R lần lượt là trung điểm của các cạnh
a) Chứng minh AB  CD.
AB, CD, BC, AC. Chứng minh rằng MN 
b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của
RP và MN  RQ.
AB và CD. Chứng minh IJ  AB và
Bài
38.
Cho
hình
lập
phương
IJ  CD.
ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng đường
Bài 46. Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh
thẳng AC’ vuông góc với các đường thẳng
đối bằng nhau từng đôi một: AC = BD = a,
B’D’, B’C.
Bài 39. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA
AB = CD = 2a, AD = BC = a 6. Tính góc
= a và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng
giữa cặp đường thẳng AD và BC.
1.
Bài 47. Cho tứ diện ABCD có OABC có
0


a) Chứng minh góc ASC  90 và tính
AOB  
AOC  1800. Chứng minh OA vuông
độ dài đoạn AC.
 .
góc với đường phân giác của góc BOC
b) Tính diện tích ABCD.
Bài 48. Cho tứ diện ABCD có
Bài 40. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi
AB 2  CD2  BC 2  AD2 . Chứng minh
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AC  BD.
AB, CD của tứ diện.
a) Tính độ dài đoạn MN theo a.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng MN
và BC.
c) Chứng minh rằng đường thẳng MN
vuông góc với các đường thẳng AB
và CD.
Bài 41. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có
tất cả các cạnh đều có độ dài bằng a và có

' BA  B
' BC  600.
B
góc ABC
a) Chứng minh tú giác A’B’CD là hình
thoi.
 
b) Chứng minh CB '.CD  0, từ đó
chứng minh tứ giác A’B’CD là hình
vuông.
Bài 42. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có
tất cả các cạnh bằng a ( gọi là hình hộp thoi)
 '  600.
ABC  
ABB '  CBB
và 
Tứ giác A’B’CD là hình gì? Tính diện tích
tứ giác đó. ĐS: a2.
Bài 43. Cho tứ diện ABCD có AB vuông
góc với CD và AC vuông góc với BD.
Chứng minh BC vuông góc với AD.

BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG
VUÔNG GÓC VỚI MẶT
PHẲNG
Bài 49. Cho tứ diện ABCD có các cạnh DA,
DB, DC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H
là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh
rằng:
a) DH vuông góc với mặt phẳng
(ABC).
1
1
1
1



.
b)
2
2
2
DH
DA DB
DC 2
Bài 50. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có
đáy là hình vuông ABCD và có cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi
H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của
đỉnh A trên các cạnh SB, SC, SD.
Chứng minh rằng:
a) BC  (SAB); CD  (SAD); BD 
(SAC).
b) SC  (AHK) và điểm I cũng thuộc
mặt phẳng (AHK).

www.dayhoctoan.vn


Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11
c) HK  (SAC) và HK  AI.
Bài 51. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có
đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA =
SC, SB = SD.
a) Chứng minh SO vuông góc với mặt
phẳng (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC. Chứng minh rằng
IK vuông góc với mặt phẳng (SBD)
và IK  SD.
c) Gọi   là mặt phẳng chứa IK và
song song với SO. Hãy xác định thiết
diện của hình chóp đã cho cắt bởi
mặt phẳng   và chứng minh

  

BD.
Bài 52. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng
minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này
vuông góc với nhau từng đôi một.

Bài 53. Cho góc xOy
nằm trong   . Trên
đường thẳng Oz vuông góc với mặt phẳng
  tại O lấy một điểm C. Gọi A và B là hai
điểm lần lượt trên tia Ox và Oy.
a) Chứng minh tứ diện OABC có ba
cạnh đối diện vuông góc với nhau.
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O
trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh
H là trực tâm của tam giác ABC.
Bài 54. Cho mặt phẳng   và tam giác
AOB vuông tại O có cạnh OA //   , cạnh
OB không vuông góc với   . Gọi tam giác
A’O’B’ là hình chiếu vuông góc của tam
giác AOB trên   . Chứng minh tam giác
A’O’B’ vuông tại O’.
Bài 55. Hai tam giác cân ABC và DBC có
chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau. Gọi I là trung điểm của
cạnh BC và AH là đường cao của tam giác
AID. Chứng minh rằng:
a) BC  AD.
b) AH  (BCD).
Bài 56. Hình chóp tam giác S.ABC có cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC).
Tam giác ABC có ba góc nhọn và có H là
trực tâm. Tam giác SBC có K là trực tâm.
Chứng minh rằng:

www.dayhoctoan.vn
a) Ba đường thẳng AH, SK, BC đồng
quy.
b) Cạnh SC vuông góc với mặt phẳng
(BHK).
c) Đường thẳng HK vuông góc với mặt
phẳng (SBC).
Bài 57. Cho tam giác ABC. Gọi   là mặt
phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A
và    là mặt phẳng vuông góc với đường
thẳng CB tại B.
a) Chứng minh hai mặt phẳng   và

 

không trùng nhau và không
song song với nhau.
b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt
phẳng   và    . Chứng minh d
 (ABC).
Bài 58. Hình chóp S.ABCD có cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và tứ
giác ABCD là một hình thang vuông tại A
AB
. Gọi I là trung
và D với AD  DC 
2
điểm của đoạn AB. Chứng minh rằng:
a) SB  CI ; SC  DI .
b) Các mặt bên của hình chóp S.ABCD là
các tam giác vuông.
Bài 59. Chứng minh rằng tập hợp những
điểm cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác
ABC là đường thẳng d vuông góc với
(ABC) tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp
tam giác đó.
Bài 60. Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA
vuông góc với (ABC) và SA = a 2. Tam
giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a.
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB và SC.
a) Chứng minh EF  (SAD).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của
đỉnh A lên đường thẳng EF. Chứng
minh AH nằm trong mặt phẳng
(SAD) và tính độ dài đoạn AH.
c) Tính diện tích tam giác AEF theo a.
Bài 61. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh
rằng nếu AC = AD và BC = BD thì AB 
CD.
Bài 62. Cho hình chóp S.ABC. Gọi O là
hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC).

www.dayhoctoan.vn


Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11
Chứng
minh
rằng:
SA  SB  SC  OA  OB  OC.
Bài 63. Cho tứ diện SABC có đáy là tam
giác ABC vuông tại B và SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC).
a) Chứng minh BC  (SAB).
b) Kẻ đường cao AH trong tam giác
SAB. Chứng minh AH  (SBC).
c) Kẻ đường cao AK trong tam giác
SAC. Chứng minh SC  (AHK).
d) Đường thẳng HK cắt BC tại I. Chứng
minh IA  (SAC).
Bài 64. Hai đoạn thẳng AB và CD nằm chắn
giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) có
độ dài AB =1, CD = 3 . Biết góc giữa AB
và (P) gấp đôi góc giữa CD và (P). Tính số
đo của hai góc này.
Bài 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình chữ nhật, SA  (ABCD). Hãy xác
định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng
(P) qua A, vuông góc với SC.
Bài 66. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD.
a) Chứng minh SO  (ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
AB, BC. Chứng minh IJ  (SBD).
Bài 67. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi
O là tâm đường tròn (BCD).
a) Chứng minh AO  (BCD) và tính
AO theo a.
b) Gọi I là trung điểm của AO. Tính độ
dài các đoạn IB, IC, ID theo a. Từ đó
chứng minh chúng vuông góc với
nhau từng đôi một.
Bài 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi I và K lần
lượt là trung điểm của AB và SC.
Chứng minh IS = IC = ID, từ đó chứng minh
IK  (SDC).
Bài 69. Cho hình chóp S. ABCD có SA =
 B  900 ; BSC
  600 và
SB = SC = a, AS
  1200. Gọi I là trung điểm của cạnh
ASC
AC. Chứng minh SI vuông góc với (ABC).
Bài 70. Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB,
BC, CD đôi một vuông góc và AB =a, BC =
b, CD = c.
a) Tính độ dài AD.

www.dayhoctoan.vn
b) Xác định điểm I biết rằng I cách đều
A, B, C, D.
Bài 71. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,
OB, OC đôi một vuông góc.
a) Chứng minh tam giác ABC có ba
góc nhọn.
b) Chứng minh rằng hình chiếu H của
O lên mặt phẳng (ABC) trùng với
trực tâm tam giác ABC.
c) Chứng
minh
rằng
1
1
1
1



.
OH 2 OA2 OB 2 OC 2
Bài 72. a) Cho tứ diện ABCD có AB  CD,
AC  BD. Chứng minh AD  BC. (Tứ
diện trên có các cạnh đối vuông góc với
nhau, ta gọi đó là tứ diện trực tâm).
b) Chứng minh các mệnh đề sau là tương
đương:
(i) ABCD là tứ diện trực tâm.
(ii) Chân đường cao hạ từ một đỉnh trùng
với trực tâm của mặt đối diện.
(iii)
AB2  CD2  AC 2  BD2  AD2  BC 2 .
c) Chứng minh rằng 4 đường cao của tứ diện
trực tâm đồng quy tại một điểm. (Điểm này
gọi là trực tâm của tứ diện nói trên).
Bài 73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình vuông cạnh a; SA  (ABCD). Gọi M,
N lần lượt là hình chiếu của A lên SB và
SD.
Chứng minh MN // BD và SC  (AMN).
Gọi K là giao điểm của SC với (AMN).
Chứng minh tứ giác AKMN có hai
đường chéo vuông góc với nhau.
Nếu SA = AB = a, tính góc  giữa SC
và mặt phẳng (ABCD); góc  giữa
BD và (SBC).
Bài 74. Cho tứ diện OABC có OA = OB =

   . Gọi H là
AOB  BOC
 COA
OC và 
hình chiếu của O lên (ABC). Chứng minh
OH tạo với các mặt bên những góc bằng
nhau, bằng  . Tính góc  theo  .
Bài 75. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam
giác ABC vuông tại B, SA  (ABC). Gọi
(P) là mặt phẳng qua điểm I thuộc cạnh AB
và vuông góc với SB. Hãy xác định thiết
diện do (P) cắt hình chóp. Thiết diện là hình
gì? Thiết diện có thể là hình chữ nhật
không?
www.dayhoctoan.vn


Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11
Bài 76. Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân,
AB = AC = a, AA’= a 2 . Hai điểm I và K
lần lượt là trung điểm của BC và CC’; M và
N lần lượt là trung điểm của AC và BI.
Chứng minh B’C  (AIK).
Xác định thiết diện do (P) chứa MN và
 với (AIK) cắt hình lăng trụ.
Bài
77.
Cho
hình
lập
phương
ABCD.A’B’C’D’ tâm O. Chứng minh rằng
một mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với
đường chéo AC’ của hình lập phương, cắt
hình lập phương theo một thiết diện là một
lục giác đều.
Bài 78. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình thang vuông tại A và D, AB = 2a; AD
= DC = a; SA vuông góc với đáy, SA =
a 2 . Gọi M là trung điểm của CD.
a) Chứng minh BC  (SAC).
b) Tính diện tích thiết diện do mặt
phẳng (P) chứa SM và vuông góc với
(SAC) cắt hình chóp.
Bài 79. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam
giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi
G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh SG  (ABC). Tính SG.
b) Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông
góc với đường thẳng SC. Tìm hệ
thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC
tại C1 nằm giữa S và C. Khi đó hãy
tính diện tích thiết diện của hình
chóp S.ABC khi cắt bới (P).
Bài 80. Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm O
cách đều bốn đỉnh của tứ diện.

BÀI TẬP HAI MẶT
PHẲNG VUÔNG GÓC
Bài 81. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a.
a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD).
b) Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
Chứng minh (BMD)  (SAC).
Bài 82. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình chữ nhật ABCD và có cạnh SA 
(ABCD).

www.dayhoctoan.vn
a) Chứng minh các mặt phẳng (SAB),
(SAC), (SAD) đều vuông góc với
(ABCD).
b) Chứng minh (SCD)  (SAD),
(SBC)  (SAB).
Bài 83. Cho hình chóp tứ giác đều có mặt
bên là các tam giác đều có cạnh bằng a.
a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD)
và tính độ dài đường cao của hình
chóp.
b) Gọi M là trung điểm của cạnh SC,
chứng minh (MBD)  (SAC).
c) Hãy xét xem hai mặt phẳng (SBC)
và (SDC) có vuông góc với nhau
không?
Bài 84. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác
vuông cân tại B và có cạnh SA  (ABC).
Gọi E là trung điểm của cạnh SC và M là
một điểm nằm trên cạnh AB.
a) Hãy xác định mặt phẳng   chứa
đường thẳng EM và vuông góc với
mặt phẳng (SAB).
b) Mặt phẳng   cắt hình chóp
S.ABC theo thiết diện là hình gì? Xét
dạng của thiết diện khi M là trung
điểm của đoạn AB?
Bài 85. Hình chóp S.ABCD có cạnh SA 
(ABCD). Tứ giác ABCD là hình thang
vuông tại A và D, có AD = DC = a, AB =
2a.
a) Chứng minh (SAD)  (SDC) và
(SBC)  (SAC).
b) Hãy xác định mặt phẳng   chứa
SD và  (SAC). Thiết diện của hình
chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng
  là hình gì?
Bài 86. Hình chóp S.ABC có cạnh SB 
(ABC), có AB  AC và SB = AB = AC =
a. Gọi   là mặt phẳng đi qua điểm A và
vuông góc với SC. Xác định thiết diện của
hình chóp cắt bởi mặt phẳng   và tính
diện tích thiết diện đó.
Bài 87. Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc
mặt phẳng   , còn hai đỉnh B và C có
hình chiếu vuông góc trên   lần lượt là
B’ và C’ sao cho AB’C’ là tam giác đều.

www.dayhoctoan.vn


Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11
a) Gọi I là giao điểm của BC và B’C’.
Chứng minh IA  AC.
b) Giả sử CC’ = AC’ = a và BB’ = a/2.
Hãy tính diện tích của tam giác ABC
và của tam giác AB’C’ rồi suy ra giá
trị góc  giữa hai mặt phẳng   và
(ABC).
Bài 88. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông ABCD và có cạnh SA  (ABCD).
Gọi   là mặt phẳng chứa cạnh AB và
vuông góc với (SCD). Hãy xác định mặt
phẳng   và thiết diện cắt bởi   đối với
hình chóp S.ABCD đã cho.
Bài 89. Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
có AB = a, BC = b, CC’ =c.
a) Chứng minh tứ giác BDD’B’ là hình
chữ nhật.
b) Chứng minh các đường chéo của
hình hộp chữ nhật đều bằng nhau và

www.dayhoctoan.vn
(A’B’C’) trùng với trung điểm I của cạnh
B’C’.
a) Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ
bởi   chứa cạnh AA’ và 
(A’B’C’) của hình lăng trụ.
b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ của
hình lăng trụ là một hình vuông.
Bài 94. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a,
AD = 2a, SA  (ABCD) và SA = a 2 . Gọi
I là trung điểm của SC.
a) Chứng minh AI  (SCD).
b) Tính góc   giữa hai mặt phẳng

(ABCD) và (SCD), góc  giữa hai
mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Bài 95. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam
giác vuông cân tại B và BA = BC = a, SA 
(ABC), SA = a. Tính góc  giữa hai mặt
phẳng (SAC) và (SBC).
2
2
2
Bài 96. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
bằng a  b  c . Từ đó hãy tìm
hình thoi tâm O. Các tam giác SAC và SBD
công thức tính đường chéo của hình
cân tại S.
lập phương có cạnh bằng a.
a) Chứng minh SO  (ABCD).
Bài 90. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình
b) Chứng minh (SAC)  (SBD).
thoi ABCD cạnh a và có ba cạnh bên SA =
Bài 97. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam
SB = SC = a. Chứng minh:
giác vuông cân tại B, SA  (ABC).
a) (SBD)  (ABCD).
a) Chứng minh (SBC)  (SAB).
b) Tam giác SBD là tam giác vuông tại
b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng
S.
minh (SBM)  (SAC).
Bài
91.
Cho
hình
lập
phương
Bài 98. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh:
hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA =
a) (ACC’A’)  (BDA’) và (ACC’A’)
a 3 . Gọi   là mặt phẳng chứa AB và
 (CB’D’).
b) Đường chéo AC’ cắt và vuông góc
 (SDC).
với mặt phẳng (BDA’) tại trọng tâm
a) Mặt phẳng   cắt hình chóp theo
G của tam giác BDA’.
thiết diện là hình gì?
Bài
92.
Cho
hình
lập
phương
b) Tính diện tích của thiết diện.
ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
Bài
99. Cho hình thoi ABCD có đỉnh A
a) Xác định thiết diện cắt hình lập
thuộc (P), các đỉnh khác không thuộc (P).
phương bởi mặt phẳng trung trực
Hình chiếu của hình thoi lên (P) là hình
  của đoạn AC’.
vuông AB’C’D’. Cho BD = a, AC = a 2 .
b) Tính diện tích của thiết diện nói trên.
Tính diện tích của hình thoi ABCD và hình
Bài 93. Cho hình lăng trụ tam giác
vuông AB’C’D’. Từ đó tính góc giữa hai
ABC.A’B’C’ có các cạnh bên và cạnh đáy
mặt phẳng (ABCD) và (P).
đều bằng a. Các cạnh bên của hình lăng trụ
Bài 100. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Hình chiếu
hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA =
vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng
a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng:
a) (SBC) và (ABC).
www.dayhoctoan.vn


Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11
www.dayhoctoan.vn
b) (SBD) và (ABD).
M là điểm di động trên cạnh SA. Hãy xác
Bài 101. Cho tam giác ABC cân, AB = AC
định vị trí của M trên SA sao cho (MBD) 
(SAB). Chứng minh rằng khi đó (MBD) 
2a 3
= a, BC =
. Gọi O là trung điểm của
(SAD).
3
Bài 108. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là
a 6
trung điểm của B, D là điểm đối xứng với A
BC. Dựng SO  (ABC) và SO =
.
3
a 6
qua I. Dựng đoạn SD =
và SD 
Tính độ dài các cạnh SA, SB, SC và tính góc
2
giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
(ABC). Chứng minh:
Bài 102. Cho hình chóp S.ABC có đáy là
(SBC)  (SAD).
tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a,
(SAB)  (SAC).
hình chiếu của S lên (ABC) là trung điểm O
Bài 109. Cho hình vuông ABCD cạnh a.
a 6
Trên hai tia Bx, Dy nằm cùng phía đối với
của BC và SO =
. Tính góc giữa hai
2
mặt phẳng (ABCD) và  (ABCD), lần lượt
mặt phẳng (SAB) và (SAC).
lấy hai điểm M, N sao cho BM.DN = a2/2.
Bài 103. Cho hình chóp S.ABC. Hình chiếu
Chứng minh:
H của S lên (ABC) nằm trong tam giác
(ACM)  (CAN);
ABC. Các mặt bên hợp với đáy các góc
(AMN)  (CMN).
bằng nhau và bằng  . Chứng minh:
Bài 110. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình vuông tâm O, cạnh a, SA  (ABCD)
a) H là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC.
và SA = a, E là trung điểm của SD. Gọi  
S ABC
là mặt phẳng chứa OE và  (ABCD).
b) S SAB  S SBC  S SCA 
.
cos
a) Xác định thiết diện do   cắt hình
Bài 104. Cho hình chóp S.ABC có đáy là
chóp.
tam giác ABC vuông tại B, SA  (ABC).
b) Tính diện tích của thiết diện theo a.
a) Chứng minh (SBC)  (SAB).
Bài 111. Cho hình chóp S.ABC có đáy là
b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu
tam giác vuông cân, AB = AC = a, SA
vuông góc của A lên SB và SC.
vuông góc với (ABC) và SA = a. Gọi E là
Chứng minh (AHK)  (SAC).
điểm trên cạnh SB và ES = 2EB. Gọi H là
c) Gọi I là giao điểm của HK và
hình chiếu của A lên (SBC).
(ABC). Chứng minh AI  AC.
a) Xác định vị trí điểm H trong tam
Bài 105. Cho hình chóp S.ABC có đáy là
giác SBC.
tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam
b) Gọi   là mặt phẳng chứa AE và
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
vuông góc với (SBC). Xác định và
với (ABC).
a) Chứng minh (SBC)  (SAC).
tính diện tích thiết diện do   cắt
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng
hình chóp.
minh rằng (ABI)  (SCB).
Bài 112. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là
Bài 106. Cho hình chóp S.ABC có đáy là
hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD
tam giác đều cạnh a, SA = SB = SC. Gọi H
= DC = a, SA vuông góc với (ABCD) và SA
là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC).
= a.
Đặt SH = h.
a) Chứng minh (SAD)  (SCD) và
a) Tính h theo a sao cho (SAB) 
(SAC)  (SBC).
(SAC).
b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa AD và
b) Với giá trị của h ở câu a), chứng
vuông góc với mặt phẳng (SAC).
minh rằng ba mặt bên của hình chóp
Tính diện tích thiết diện do (P) cắt
là những tam giác vuông.
hình chóp.
Bài 107. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình vuông tâm O và SO  (ABCD). Gọi
www.dayhoctoan.vn


Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11
Bài 113. Cho hình chóp S.ABC có đáy là
tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông
góc với đáy, SA = a. Gọi E và F lần lượt là
trung điểm của SB và SC. Điểm M di động
trên cạnh AB. Đặt AM = x  0  x  a  . Gọi
(P) là mặt phẳng chứa FM và vuông góc với
(SAB). Tính diện tích thiết diện do (P) cắt
hình chóp.
Bài 114. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình thang vuông tại A và B, AD = 2a, AB =
BC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với (ABCD), SA = a. Gọi E
là trung điểm của SD, điểm M thuộc cạnh
AB với AM = x  0  x  a  . Gọi (P) là mặt
phẳng chứa ME và vuông góc với (SAB).
Tính diện tích thiết diện do (P) cắt hình
chóp.
Bài 115. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
có SH là đường cao. Chứng minh SA  BC
và SB  AC.
Bài 116. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy
đều bằng a. Gọi O là tâm của hình vuông
đáy ABCD.
a) Tính SO.
b) Gọi M là trung điểm của SC. Chứng
minh (MBD)  (SAC).
c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc
giữa hai mặt phẳng (MBD) và
(ABCD).
Bài 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là một hình thoi tâm I, cạnh a và có
a 6
 = 600. Cạnh SC =
và SC 
2
(ABCD).
a) Chứng minh (SBD)  (SAC).
b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA.
Hãy tính độ dài IK.

 900 và từ đó
c) Chứng minh BKD
suy ra (SAB)  (SAD).
Bài 118. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình thoi cạnh a. SA = SB = SC = a. Chứng
minh:
a) (ABCD)  (SBD).
b) Tam giác SBD là tam giác vuông.
Bài 119. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là
trung điểm của BC, D là điểm đối xứng của

www.dayhoctoan.vn
A qua I. Dựng đoạn SD  (ABC) sao cho
a 6
SD =
. Chứng minh:
2
a) (SAB)  (SAC).
b) (SBC)  (SAD).
Bài 120. Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a, SA 
(ABCD). Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên
hai cạnh BC, CD sao cho BM =
a
3a
; DN  . Chứng minh: (SAM) 
2
4
(SMN).
Bài 121. Trong (P), cho hình thoi ABCD với
2a
. Trên đường vuông
AB = a và BD =
3
góc với (P) tại giao điểm của hai đường
chéo của hình thoi ta lấy điểm S sao SB = a.
a) Chứng minh tam giác ASC vuông.
b) Chứng (SAB)  (SAD).
Bài 122. Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông tâm O; AB = a; SO
vuông góc với (ABCD) và SO = a/2; Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của các đoạn AD, BC.
Chứng minh rằng:
a) (SAC)  (SBD);
b) (SIJ)  (SBC).
Bài 123. Cho tam giác ABD và BCD nằm
trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. AC
= AD = BC = BD = a và CD = 2x. Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh IJ  AB và IJ  CD.
b) Tính AB và IJ theo a và x.
c) Với giá trị nào của a thì hai mặt
phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc
với nhau?
Bài 124. Cho lăng trụ tam giác đều
ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều
bằng a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm
của BC, CC’, C’A’. Dựng thiết diện của
(MNE) với lăng trụ. Chứng minh (MNE) 
(AA’B’B).
Bài 125. Cho tam giác ABC vuông tại B.
Một đoạn thẳng AD  (ABC).
a) Chứng minh (ABD)  (BCD).
b) Từ A trong (ABD), ta vẽ AH  BD.
Chứng minh AH  (BCD).
Bài 126. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là
tam giác vuông cân tại B và AC = 2a, có
cạnh SA  (ABC) và SA = a.
www.dayhoctoan.vn


Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11
a) Chứng minh (SAB)  (SBC).
b) Trong (SAB) , vẽ AH  SB tại H.
Chứng minh AH  (SBC).
c) Tính độ dài đoạn AH.
d) Từ trung điểm O của đoạn AC, vẽ
OK  (SBC) cắt (SBC) tại K. Tính
độ dài đoạn OK.
Bài 127. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vuông tâm O và có cạnh SA 
(ABCD). Giả sử   là mặt phẳng đi qua A
và vuông góc với cạnh SC,   cắt SC tại I.
a) Xác định giao điểm K của SO với
  .
b) Chứng minh (SBD) vuông góc với
(SAC) và BD //   .
c) Xác định giao tuyến d của (SBD) và
  . Tìm thiết diện cắt hình chóp
bởi   .

BÀI TẬP VỀ KHOẢNG
CÁCH
Bài 128. Cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’
= c.
a) Tìm khoảng cách từ điểm B đến
đường thẳng AC.
b) Tìm khoảng cách từ B’ đến đường
thẳng AC’.
Bài 129. Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng
khoảng cách từ các đỉnh B, C, D, A’, B’, D’
đến đường chéo AC’ bằng nhau. Hãy tính
a 6
khoảng cách đó.
ĐS:
3
Bài 130. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
có SA = SB = SC = 4a và AB = BC = CA =
6a.
a) Tính khoảng cách từ S đến (ABC).
b) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mỗi
đường thẳng chứa các cạnh AB, BC,
CA của tam giác đáy.
ĐS: a) 2a; b) a 7 .

www.dayhoctoan.vn
Bài 131. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình
chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Cho
các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a 2 .
a) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến
(ABCD).
b) Tính khoảng cách từ A đến cạnh SC.
Bài 132. Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác
định đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau AB’ và BC’. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đó.
a 3
ĐS:
3
Bài 133. Cho tứ diện OABC có các cạnh
OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA =
OB = OC = a. Gọi I là trung điểm của cạnh
BC. Hãy tìm khoảng cách giữa các đường
thẳng chéo nhau sau đây:
a 2
a) OA và BC;
ĐS:
2
a 5
b) AI và OC.
ĐS:
.
5
Bài 134. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh SA 
(ABCD). Tính khoảng cách giữa các cặp
đường thẳng chéo nhau sau đây:
a) SB và AD;
b) BD và SC.
Bài 135. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh
bằng a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối
của tứ diện đều đó và tính khoảng cách từ
đỉnh D đến (ABC).
Bài 136. Cho hình lăng trụ tam giác
ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh
đáy đều bằng a. Các cạnh bên của hình lăng
trụ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 và
hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên
(A’B’C’) trùng với trung điểm I của cạnh
B’C’.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt
phẳng đáy của hình lăng trụ.
b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ là một
hình vuông.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau AA’ và B’C’.
Bài 137. Hình chóp tam giác S.ABC, có đáy
là tam giác đều ABC cạnh 7a, có cạnh SC
 (ABC) và SC = 7a.

www.dayhoctoan.vn


Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11
a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
SA và BC.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau SA và BC; Xác
định đường vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
Bài 138. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA  đáy
và SA = h. Gọi O là tâm của hình vuông
ABCD. Hãy tính khoảng cách:
a) Từ điểm B đến (SCD);
b) Từ điểm O đến (SCD).
Bài 139. Cho hình vuông ABCD cạnh a.
Dựng đoạn SA = a và SA  (ABCD). Hãy
xác định đường vuông góc chung của các
cặp đường thẳng sau đây và tính khoảng
cách giữa các cặp đường thẳng đó:
a) SB và CD;
b) SB và AD;
c) AB và SC.
Bài 140. Cho tam giác đều ABC cạnh 3a,
điểm H thuộc cạnh AC với HC = a. Vẽ đoạn
SH  (ABC) và SH = 2a.
a) Hãy nói cách dựng đoạn vuông góc
HK vẽ từ H đến (SAB).
b) Tính khoảng cách từ H và từ C đến
(SAB).
Bài 141. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là
hình vuông tâm O, cạnh a, SO  (ABCD)
và SO = a. Tính khoảng cách giữa SC và
AB.

www.dayhoctoan.vn

www.dayhoctoan.vn



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×