Tải bản đầy đủ

Chuong 4 hệ phương trình tuyến tính

CHƯƠNG 4

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM

a/ Định nghĩa:
* Hệ thống m phương trình tuyến tính, n ẩn là hệ thống
có dạng:
 a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2
(1) 
...


a m1x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  b m

Trong đó: aij, bi (i=1, … , m; j=1, … , n) là những số
cho trước thuộc trường k còn x1, … , xn là các ẩn của
hệ.
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)

* Ma trận

 a11 a12 ... a1n 
a

a22 ... a2 n 
21

A
 ...



 am1 am 2 ... amn 

được gọi là ma trận của hệ (1)
* Ma trận

 a11 a12 ... a1n b1 
a

a
...
a
b
22
2n


2
AB   21
 ...

...


 am1 am 2 ... amn bm 
được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1)
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)

b/ Chú thích:
* Nếu đặt

 x1 
 
x2 

X  ;
...
 
 xn 

 b1 
 
b2 

B 
...
 
 bm 

thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau: A.X = B
* Nếu B = 0 thì hệ (1) được gọi là hệ phương trình thuần
nhất.
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)

b/ Chú thích (tt):
* Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu hệ này có ít
nhất một nghiệm; ngược lại hệ không tương thích nếu
hệ này không có nghiệm.

* Hệ thuần nhất AX = 0 luôn luôn tương thích vì nó có
ít nhất một nghiệm là X = 0 và nghiệm này được gọi là
nghiệm tầm thường.
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER

a/ Định nghĩa:
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính
có số phương trình bằng số ẩn và ma trận của hệ
không suy biến.
Tức là hệ có dạng:

 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2
(2) 
...

an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn
Trong đó A = (aij)  Mn(K) và detA  0
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

b/ Định lý Cramer:
Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:

(i )

|A |
xi 
, i  1, 2, ... , n
A
Trong đó: A(i) là ma trận nhận được từ A bằng cách
thay cột thứ i bởi cột

 b1 
 
B   ... 
b 
 n
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

Chú thích:
* Nếu B = 0 thì hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất là
X = 0.
* Vậy hệ thuần nhất AX = 0 (Ở đây m = n) có nghiệm
không tầm thường  detA = 0.
Ví dụ: giải hệ phương trình sau

2 x1  x2  2 x3  5

 4 x1  x2  2 x3  1
8 x  x  x  5
 1 2
3
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

Ví dụ (tt) :
Ta có:

2 -1 - 2
detA  4

1

8 -1

2  18
1

Nhận xét: detA  0. Vậy đây là hệ phương trình
Cramer nên có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:
xi 

A (i )
A

, i  1, 2, 3

Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

Ví dụ (tt) :

5 1  2
A(1)  1

1

2  18

5 1
2

2

1

A(3)  4

1

8

1

5 2

A( 2)  4

1

2  18

8

5

1

1

Vậy nghiệm của hệ là  x1  1

 x2  1
 x  2
 3

Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2

5
1  36
5


3. Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính

* Nội dung của phương pháp này là dùng các phép
biến đổi sơ cấp trên các phương trình của hệ đã cho để
đưa nó về một hệ tương đương, đơn giản, dễ tìm
nghiệm.
* Một phép biến đổi sơ cấp trên một hệ phương trình
tuyến tính là phép biến đổi có một trong các dạng sau:

a/ Đổi chỗ 2 phương trình của hệ cho nhau.
b/ Nhân 1 phương trình của hệ với một số khác không.
c/ Thêm vào một phương trình bội số của phương trình
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Toán 2
khác.


Nhận xét: Các phép biến đổi sơ cấp nói trên chính là
các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận mở
rộng của hệ.
* Nội dung của phương pháp Gauss là dùng các phép
biến đổi sơ cấp nói trên để đưa ma trận mở rộng của hệ
đã cho về một ma trận có dạng bậc thang.
Ở dạng đó ta biết phương trình có nghiệm hay không
và việc tìm nghiệm cũng không khó khăn so với các
phương pháp khác.

Ta trình bày phương pháp Gauss qua một số ví dụ sau.
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

 x1  2 x2  3 x3  4 x4  2
 3 x  3 x  5 x  x  3
 1
2
3
4

  2 x1  x2  2 x3  3 x4  5
3 x1  3 x3  10 x4
 8
Ma trận mở rộng của hệ là:
 1 2 3 4 2 


3  5 1  3
 3
AB  
2 1
2
3 5 


3 TUYẾN
0 TÍNH3  10 Toán
8 2
 TRÌNH
Chương 4: HỆ PHƯƠNG


3. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(tt)

Ví dụ 1 (tt):

3 4
2
1  2


9  14 13  9 
0
  

0 3
8  11
9


6 6
2
2
0
h2  h2 3h1
h3  h3  2 h1
h4  h4 3h1

3 4
2
1  2


8  11 9 
h 2  h3  0  3
 

0
9  14
13  9 


6 6
2 2
0

Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


3. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(tt)

Ví dụ 1 (tt):

1  2 3  4

h3  h3  3h2
8  11
h4  h4  2 h2  0  3
  
0
0 10  20

0 10  20
0

2

9
18 

20 

1  2 3  4

8
11
h4  h4  h3  0  3
  

0
0 10  20

0 0
0
0

2

9
18 

2

Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


3. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(tt)

Ví dụ 1 (tt):
Ma trận cuối có dạng bậc thang, trong đó phương trình
cuối có dạng: 0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 = 2.
Vậy hệ đã cho là vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

 x1  x2  2 x3  6
2 x  3 x  7 x  16
 1
2
3

5 x1  2 x2  x3  16
 3 x1  x2  8 x3  0
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


3. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
TÍNH
(tt)hệ là:
Ma
trậnTUYẾN
mở rộng
của

1

2
AB  
5

h 
h3 3h

h h  4h
3

3

2

1  2 6  h2 h2  2 h1  1
1 2 6 
 h3 h3 5h1 

3  7 19  h1 h4 3h1  0
1 3 4 






 0  3 11  14 
2
1 16 



1 1   2 6
 1 1  2 6 


10 1 8 3 04 
0

4
14

18


0 1  3 4
h h  h



4

4 2 
0 0

0 0

2  2

2  2

4

4 
3 
0 0

0 0

Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2

2  2

0 0


3. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(tt)

Ví dụ 2 (tt):
Ma trận cuối có dạng bậc thang, trong đó:

2 x3  2

 x2  4  3 x3
 x  6  x  2x
 1
2
3
 Hệ có nghiệm duy nhất là:

 x1  3

 x2  1
 x  1
 3

Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


3. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(tt)

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

 x1  2 x2  3 x3  5 x4  1

 2
 x1  3x2  x3  x4
2 x  5 x  4 x  6 x  1
 1
2
3
4
Ma trận mở rộng của hệ là:

1 2  3 5 1 


AB   1 3  1 1  2 
 2 5  4 6 1 


Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


3. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(tt)

Ví dụ 3 (tt):

5 1
1 2  3


   0 1
2  4  3
0 1

2

4

3


h2  h2  h1
h3 h3 2 h1

5 1
1 2  3

h3  h3  h2 
  
 0 1
2  4  3
0 0

0
0
0


Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Toán 2


3. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(tt)

Ví dụ 3 (tt):
Hệ đã cho tương đương với hệ:

 x1  2 x2  3 x3  5 x4  1

 3
 x2  2 x3  4 x4
Ta chọn ẩn số tự do là x3, x4. Lúc này hệ có vô số
nghiệm và nghiệm tổng quát có dạng:

 x1  7  7t1  14t 2
 x  3  2t  4t
 2
1
2

 x3  t1
 x4 TRÌNH
t 2 TUYẾN TÍNH
Chương 4: HỆ PHƯƠNG

;

t1 , t 2 tùy ý
Toán 2


BÀI TẬP CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

 x1  2 x2  x3  x4  1

a /  x1  2 x2  x3  x4  1
x

x

2
x

6

1
2
3
x  2 x  x  5x  5
1
2
3
4


2 x1  3 x2  7 x3  16
c/ 
5 x1  2 x2  x3  16

x

x

3
x


1

1
2
3
 3 x1  x2  8 x3  0
 2x  x  2x  1
 1 2
3
b/ 
 x1  x2  x3  3
4:xHỆ1PHƯƠNG
 2 xTRÌNH
3 x3 TÍNH
 1
2  TUYẾN
Chương
Toán 2


BÀI TẬP CHƯƠNG 5 (tt)

Bài 2: Giải các hệ phương trình thuần nhất sau (Tìm
nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản)

x1 x3  x5  0


x 2  x4  x6  0

a /  x1  x2  x5  x6  0

x2  x3  x6  0


x1  x4  x5  0
 x1  2 x2  4 x3  3 x4  0

b /  x1  3 x2  x3  x4  0
2 x 5 x  3x  2 x  0
 TUYẾN
1 TÍNH2
3 Toán 24
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH


BÀI TẬP CHƯƠNG 5 (tt)

Bài 3: Giải hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer

 x  y  2z  6

2 x  3 y  7 z  16
5 x  2 y  z  16

Bài 4: : Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

 x1  2 x2  x3  8
 x  3 x  x  15
 2
3
4
a/ 
 4 x1  x3  x4  11
 x1  x 2 5 x4  23
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

 2 x1  x2  3 x3  x4  4
3 x  3 x  3 x  2 x  6
 1
2
3
4
b/ 
 3 x1  x2  x3  2 x4  6
 3 x1  x2  3 x3  x4  6
Toán 2


BÀI TẬP CHƯƠNG 5 (tt)

Bài 5: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham
số m
 x1  2 x2  3 x3  mx4  m  2
 x  x  x  mx
 m 1
1
2
3
4

 2 x1  3 x2  4 x3  2mx4  2m  3
 3 x1  4 x2  2 x3  3mx4  3m  1

 x1  x2  2 x3  2mx4
 m2  m  2
Bài 6: Giải hệ sau bằng cách dùng ma trận nghịch đảo
2 x1  3 x2  x3  7

 x1  4 x2  2 x3  1
 x 4 x
 1TRÌNH TUYẾN
2 TÍNH  5 Toán 2
Chương 4: HỆ PHƯƠNG


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×