Tải bản đầy đủ

BÀI 1

TRANG 1

CHƯƠNG

III PHƯƠNG TRÌNH.
:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
*TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Khái niệm phương trình một ẩn: Cho hai hàm số:

y  f  x



y  g  x

có tập

xác định lần lượt là: D f và Dg . Đặt: D  D f I Dg . Mệnh đề chứa biến :

f x  g  x
“  
” được gọi là phương trình một ẩn; x gọi là ẩn và D gọi là tập xác
f x  g  x
định của phương trình. Số x0 �D gọi là một nghiệm của phương trình  
f x  g  x0 
nếu “  0 
” là mệnh đề đúng.
? . 1) Cho ví dụ về phương trình một ẩn.

2) Hãy tìm điều kiện của các phương trình:
3  x2 

a)

x
2x

;

1

b) x  1
2

x3

.

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
2.Phương trình tương đương: Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương
f1  x   g1  x 
tương đương
f1  x   g1  x  � f 2  x   g 2  x 

nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Nếu phương trình


với phương trình f 2  x   g 2  x  thì ta viết:

Một chút ký ức về phương trình…Ta đã từng biết về chúng…?


TRANG 2

TẢN MẠN VỀ PHƯƠNG TRÌNH
*Thật ra ta đã được học về “

Phương trình” rất lâu rồi, thậm chí

chúng ta còn rèn rất nhiều kỹ năng khi học về chúng. Nhưng đến lớp 10 này, ta
mới nhận định một cách chuẩn xác nhất về những điều ta đã học thời tiểu học và
trung học cơ sở.
*Sau đây chúng ta hãy nhìn lại quá trình và những công cụ được phát triển qua
các thời kỳ!

+ “ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC TÌM THẤY Ở ĐÂU
KHI CHÚNG TA HỌC TIỂU HỌC?”
Thật ngạc nhiên chúng là những bài tập rất quen thuộc đối với HS tiểu học.
Bài tập

Công cụ sử dụng

* Tìm x biết:
a ) 125  x  730
x  .....................
x  .....................
b) x  298  502
x  .....................
x  .....................

a) Muốn tìm SỐ HẠNG CHƯA BIẾT ta
lấy TỔNG trừ đi SỐ HẠNG ĐÃ BIẾT.

b) Muốn tìm SỐ BỊ TRỪ ta lấy
HIỆU cộng với SỐ TRỪ.

c ) 123  x  56
x  ........................
x  .........................
d ) x �30  21600
x  .....................
x  .....................

c) Muốn tìm SỐ TRỪ ta lấy
SỐ BỊ TRỪ trừ cho HIỆU.
d) Muốn tìm THỪA SỐ CHƯA BIẾT ta
lấy THƯƠNG chia cho THỪA SỐ ĐÃ
BIẾT.

e) Muốn tìm SỐ BỊ CHIA ta lấy


TRANG 3
e) x �9  625
x  .....................
x  .....................

THƯƠNG nhân với SỐ CHIA.

Muốn tìm SỐ CHIA ta lấy
SỐ BỊ CHIA chia cho THƯƠNG.
g ) 88434 � x  306
x  .....................
x  .....................

Những HS tiểu học đã vận dụng những quy tắc như trên để giải những bài toán
tìm x như thế này, chỉ khác về nội dung khi mở rộng các con số.

+ “CẤP THCS TIẾP TỤC HỌC PHƯƠNG TRÌNH
KHÔNG?”- CÓ!
* Bài toán tìm x trên vẫn được áp dụng khi chúng ta mở rộng các tập hợp số ở hai
lớp đầu cấp (lớp 6 + lớp 7), nhưng có phần nâng cao về mức độ thực hiện chúng.
Ví dụ minh họa:
x  34  . 15  45
+ Lớp 6, 7: Tìm SỐ TỰ NHIÊN x biết: 
(Ở đây ta hiểu x  34 giữ
vai trò là THỪA SỐ CHƯA BIẾT).

Tiếp theo,… Sau khi học về SỐ NGUYÊN VÀ QUY TẮC CHUYỂN
VẾ+TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ NGUYÊN
(quy tắc 1:“Muốn chuyển số hạng từ vế này sang vế kia ta chỉ việc đ ổi
dấu số hạng đó”).
Tìm SỐ NGUYÊN x biết:
a ) 2 x  35  15 ;

b) 3x  17  2 ;

c)

x 1  0

Nhận xét: “Các quy tắc ở tiểu học đã được nâng cao bằng quy tắc
chuyển vế và tập nghiệm của phương trình hay những giá trị của x
nhận được không còn nằm gói gọn là số tự nhiên (s ố nguyên d ương và
số 0) mà còn có thể nhận những giá trị âm!”. Ở giai đo ạn này ch ỉ giúp


TRANG 4
học sinh nhận biết những giá trị của x thỏa mãn một đẳng th ức ch ứ
chưa định nghĩa về nghiệm.

SAU KHI HỌC VỀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN PHÂN SỐ
LỚP 6 và SỰ HÌNH THÀNH CỦA NHỮNG TẬP HỢP SỐ
�; � LỚP 7.
Quy tắc 1 cũng đúng trong hai tập hợp �; �.
Ví dụ minh họa:
a) x .

3 2

7 3;

b)

x:

8 11

11 3 ;

2 7
1
 .x 
3;
c) 9 8

4 5
1
 :x
6
d) 5 7

Nói chung ở đây chỉ ở mức độ củng cố và nâng cao (mở rộng).
Điểm mới mà lớp 7 (tập 2, bài 9) muốn đề cập về PHƯƠNG TRÌNH khi nó
định nghĩa về: “NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN”
Nội dung: “Nếu tại x  a , đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x  a )
là một nghiệm của đa thức đó”
Ví dụ minh họa: (Bài tập 55 trang 48- Toán 7, tập 2. SGK)
a) Tìm nghiệm của đa thức:

P  y  3y  6

b) Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm:

Q  y   y4  2

LỚP 8 – “BỨC MÀN VỀ PHƯƠNG TRÌNH” HIỆN RA MỘT
CÁCH TƯỜNG MINH…KHI SGK GIỚI THIỆU:
1. Phương trình một ẩn; thế nào là “giải phương trình”; Phương trình tương đương.

 
VD: Tìm x, biết:
. Ta gọi hệ thức
phương trình với ẩn số x (hay ẩn x).
2 x  5  3. x  1  2

2 x  5  3.  x  1  2

là một


TRANG 5
Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của
phương trình đó. Giải một phương trình, nghĩa là ta tìm tất cả các nghiệm của
phương trình đó.
Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương
Ví dụ: x  1  0 � x   1 vì phương trình x  1  0 và x   1 có cùng tập nghiệm
S   1

.

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI:
* Cung cấp những công cụ ( QUY TẮC) mạnh mẽ để giải phương trình
A) Quy tắc chuyển vế (Củng cố lại kết quả của lớp 6,7).
*Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và
đổi dấu hạng tử đó.
a) x  4  0 ;

3
x0
b) 4
;

c) 0,5  x  0

4
4
HD a) Ta chuyển hạng tử   từ Vế trái sang vế phải và đổi dấu hạng tử từ  

thành   và ta thu được phương trình tương đương: x  4 và 4 cũng là nghiệm
của phương trình ban đầu. Quy tắc này đã khái quát quy tắc mà ta đã học ở tiểu
học: “Muốn tìm SỐ BỊ TRỪ ta lấy HIỆU cộng với SỐ TRỪ”.
4

B) Quy tắc nhân với một số
* “Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0”
1
�0
VD: 2 x  6 . Nhân cả hai vế phương trình với 2
, ta được x  3 .

* “Trong một phương trình, ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0”
VD: Trong VD trên ta cũng có thể hiểu là chia hai vế cho 2 �0 .
C) CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN:


TRANG 6
Ta thừa nhận rằng: “Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc
nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã
cho”.
VD: Giải phương trình: 3x  9  0 . Sử dụng hai quy tắc trên , ta giải phương trình
bậc nhất như sau:
3x  9  0 � 3x  9 (Chuyển

 9 sang vế phải và đổi dấu)

� x  3 (Chia cả hai vế cho

3 ).

Kết luận: Phương trình có một nghiệm duy nhất x  3 .
3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG:a. x  b  0

( VẪN CHỈ DÙNG HAI QUY TẮC ĐÃ BIẾT)
VD1: Giải phương trình:

2 x   3  5 x   4.  x  3

.

- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc:
……………………………………………………………………………………….
-Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia:
……………………………………………………………………………………….
-Thu gọn và giải phương trình nhận được:
……………………………………………………………………………………….
5x  2
5  3x
 x  1
2
VD2: Giải phương trình: 3

-Quy đồng mẫu hai vế:
……………………………………………………………………………………….
-Nhân hai vế với 6 để khử mẫu:
……………………………………………………………………………………….


TRANG 7
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia:
……………………………………………………………………………………….
-Thu gọn và giải phương trình nhận được:
……………………………………………………………………………………….
4. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH:
“Trong một tích, nếu có một thừa số bằng 0 thì ……………..; ngược lại, nếu tích
bằng 0 thì ít nhất một trong các thừa số của tích …………..”
Các phương trình tích có dạng: A  x  . B  x   0
Để giải phương trình này, ta áp dụng công thức:

A x . B  x  0 � A x  0

B  x  0

hoặc
1) Ví dụ minh họa: (Bài tập 22 trang 17, Toán 8, tập 2)
Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:
a)

2 x.  x  3  5.  x  3  0

3
2
c) x  3x  3x  1  0 ;

e)  2 x  5 

2

  x  2  0

;

x
b) 



 4   x  2 . 3  2 x   0

d)

x.  2 x  7   4 x  14  0

f)

x 2  x   3x  3  0

2

;

2

;

;

.

2) Ví dụ minh họa: (Bài tập 23 trang 17, Toán 8, tập 2)
Giải các phương trình:
a)

x.  2 x  9   3x.  x  5

c)

3 x  15  2 x .  x  5 

;

;

b)

0,5 x .  x  3   x  3  .  1,5 x  1

3
1
x  1  x.  3 x  7 
7
d) 7

;


TRANG 8
5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU:
* Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
+Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
+Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
+Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
+Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa
mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ minh họa: (Bài 31 trang 23, SGK Toán 8, tập 2)
Giải các phương trình:
1
3x 2
2x
 3
 2
a) x  1 x  1 x  x  1 ;

b)
c)

d)

3
2
1


 x 1 .  x  2   x  3 .  x  1  x  2 .  x  3
1

;

1
12

x  2 8  x3 ;

13
1
6


 x  3 .  2 x  7  2 x  7  x  3  .  x  3 

* LỚP 9 – TIẾP TỤC VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.
Mạn phép xin trình bày dưới dạng từng chuyên đề (sẽ trình bày sau).
HAI QUY TẮC BIẾN ĐỔI Ở CẤP HỌC THCS SẼ ĐƯỢC KHÁI QUÁT
TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG SAU…


TRANG 9
Chú ý 1. Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi mà không làn thay đổi tập
nghiệm của phương trình. Vậy phép biến đổi tương đương biến một phương trình
thành phương trình tương đương với nó.
f x  g  x
h x
Định lý 1. Cho phương trình  
có tập xác định là D ;   là một hàm
số xác định trên D . Khi đó trên D , phương trình đã cho tương đương với mỗi
phương trình sau:

 1

f  x  h  x  g  x  h  x

 2

f  x . h  x  g  x . h  x

.

h x �0,  x �D
với  
.

VD:
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
? Tìm sai lầm trong phép biến đổi sau:
x

1
1
1
1
1
1

1� x 


1
� x 1
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
x 1

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
3. Phương trình hệ quả. Phương trình

f1  x   g1  x 

có tập nghiệm là T1 được gọi

f2  x   g2  x 
là phương trình hệ quả của
phương
trình
có tập nghiệm là T2 nếu ta
f 2  x   g 2  x  � f1  x   g1  x 
có: T2 �T1 .Khi đó ta viết:

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương
trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.


TRANG 10
Định lý 2. Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ
quả của phương trình đã cho. f  x   g  x  � �f  x  �2  �g  x  �2


� �



Chú ý 2. Nếu hai vế của một phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương
hai vế của nó, ta được phương trình tương đương.
VD:

x2  1 





x2  2x  3 � x2  1

x 2  1  0, x và

x2  2 x  3 

2

 x2  2x  3

 x  1

2

. Vì lý do sau:

 1  0, x

(hai vế cùng dương)

Chú ý 3. Nếu phép biến đổi một phương trình dẫn đến phương trình hệ quả thì sau
khi giải phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương
trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai
Thử trí thông minh

* VÌ SAO THỪA NGHIỆM ?
Bạn Thu phải giải phương trình
3

2x  3 

3

x  2  1.

 1

Bạn đã giải như sau:
1
Lập phương hai vế của   được

 1

�  2 x  3   x  2   3. 3  x  2  .  2 x  3  .



3

2x  3 

3

3
3
2
Thay 2 x  3  x  2  1. vào   ta được

 2

� 3x  5  3. 3  x  2  .  2 x  3   1

� 3. 3  x  2  .  2 x  3   6  3 x �

3

 3

 x  2  .  2 x  3

 2 x

x 1

3
2
�  x  2  .  2 x  3   2  x  �  x  2  .  x  1  0 � �
x2

1
Nhưng khi thay x  1 vào   lại được 2  1 !



x 2 1

 2


TRANG 11
Thu không hiểu tại sao lại như vậy, bạn hãy giải thích giúp.

GIẢI :
2 �  3
Tất cả các phép biến đổi trên đều tương đương, trừ phép biến đổi  
.

Ta chỉ có  
lai x  1

2 �  3

3
3
. Khi thay 2 x  3  x  2 bởi 1 , đã xuất hiện nghiệm ngoại

1
Do đó, sau khi tìm được nghiệm x  1 và x  2 , phải thử vào   để chọn x  2 và
1
loại x  1 . Vậy phương trình   có một nghiệm là x  2 .

Bình luận:

3x  5  3. 3  x  2  .  2 x  3  1  3

có tập nghiệm là

T3   1; 2

.

1
T  2
Mà thực sự nghiệm của phương trình   là: 1   .
3
1
Rõ ràng, nhận thấy phương trình   là phương trình hệ quả của phương trình  

vì:

T1   2 � T3   1; 2

và vì thế nên ta phải thử lại các nghiệm của phương trình

 3 vào phương trình  1 để loại bỏ những nghiệm ngoại lai.
* BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1.Cho hai phương trình: 3 x  2 và 2 x  3
Cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi:
a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho
hay không?
b) Phương trình đó có là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã
cho hay không?
2. Cho hai phương trình: 4 x  5 và 3 x  4
Nhân các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi:
a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho
hay không?


TRANG 12
b) Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình
đã cho hay không?
2
3. Cho phương trình: 3x  x  6 

50 x  36

a) Tìm tập xác định của phương trình.
b) Các số 1, 2,  5 có phải là nghiệm của phương trình hay không? Vì sao?
4. Tìm điều kiện của các phương trình sau:
2x

2
a) x  4

3 x

;

b)

x4

x2

1 x

5. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra nghiệm của mỗi phương trình sau:
a)

2x  3 

3  2x

c)

4 x  12
x
x3

b) 2 x  4 

;

 x 3  1

;

d)

x 1 

3 x  12  2 

1x  6

;

 x  4  2x

.

6. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:
a)

x 1 

c) 4 x 

1x

x 3 

b) 5 x 

;
3 x 1

;

x 7 

7  x  35

 x2  6x  9  x2  9

d)

7. Giải các phương trình sau:
a) x 

c)

x  9  2018 

x

3. x  8

7
x8

x9

;

;

b) 3x 
d) 2.

x 2 1

x

x4

x 2

1
x 4

.

8) Giải các phương trình sau:

a)

x

3
2x  1

x 1
x 1 ;

x

b)

1
4x

x  2 3.  x  2 

;

;

;


TRANG 13
c)

x

2



 4x  3 .

x 4  0

;

d)

9. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x

2



 3x  10 .

x2  0

5 x 3

2x 1

.

.

2
10. Tìm m để phương trình: 2 x  3x  5  2m  0 nhận x   4 làm nghiệm.

11. Giải các phương trình sau bằng cách bình phương hai vế:
a)
c)

3x  4  1

;

b)

2x  5  5  x

;

d)

2  x  2x  1
5  2x 

;

x 1

.

*Lưu ý:
1. Nếu hai vế của phương trình cùng không âm thì bình phương hai vế, ta được phương
trình tương đương.
2. Nếu giải phương trình bằng phép biến đổi tương đương thì cần kết hợp với điều kiện
để suy ra tập nghiệm.
3. Nếu giải phương trình bằng phép biến đổi hệ quả thì cần kết hợp với điều kiện và
thay vào phương trình đã cho để suy ra tập nghiệm (khi đã thay vào phương trình để
chọn nghiệm thì không cần kết hợp với điều kiện, tuy nhiên nhiều khi kết hợp với điều
kiện thấy không thỏa thì loại luôn, không cần thế vào phương trình nữa.
12. Giải các phương trình:
a)

x 1  x 

2
c) x 

e)

h)

x 1  2

2 x 3

3x 2  1

x 1

4
x 1

3x 2  x  2

3x  2

x 4

;

b) x  3  x 

;
;

;

2
d) x   x  1  4   x  1 ;

g)

3x  2

;

x33

k)

x 2  3x  4

x 4

2x  3 

x 4

;

4
x2  3

x 1
x 1 .


TRANG 14
13. Xác định tham số m để các cặp phương trình sau tương đương:
m. x
 3m  1  0
x

3
x

2

0
a)

;

2
2 x 2   m  5  .x  3  m  1  0
b) x  9  0 và
;

m. x 2  3x  2   m 2 .x  2  0
m  3  .x  m  4  0
c) 3x  2  0 và 
; d) x  2  0 và 
.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×