Tải bản đầy đủ

Tích phân cơ bản hay lưu huy thưởng file word

TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Toàn bộ tài liệu thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:

HT. Tính các tích phân sau:
1

1

1

b) I 2  �
(2 x  1)  dx c ) I 3  �
(1  4 x)3  dx

a ) I1  �
x  dx
3

3

0


0

0

1

1

0

0

d) I  �
( x  1)( x 2  2 x  5)3  dx e) I 5  �
(2 x  3)( x 2  3 x  1)3  dx

Bài giải
1

x4
x  dx 
a) I1  �
4
0

1



3

0

1
4

1

(2 x  1)3  dx Chú ý: d (2 x  1)  2dx � dx 


b) I 2  �
0

1

� I2  �
(2 x  1)3 dx 
0

1

1
d (2 x  1)
2

1
1 (2 x  1) 4
3
(2
x

1)
d
(2
x

1)

2�
2
4
0

1


0

81 1
  10
16 8

1

1
(1  4 x )3 dx Chú ý: d (1  4 x )  4dx � dx   d (1  4 x)
c) I 3  �
4
0
1

� I3  �
(1  4 x)3 dx  
0

1

1
1 (1  4 x) 4
3
(1

4
x
)
d
(1

4
x
)


4�
4
4
0

1



0

1

81 1
  5
16 16

( x  1)( x 2  2 x  5)3 dx Chú ý d ( x 2  2 x  5)  (2 x  2)dx � ( x  1)dx 
d) I 4  �
0

1

1
d ( x 2  2 x  5)
2

1

1
� I4  �
( x  1)( x  2 x  5) dx  �
( x 2  2 x  5)3 d ( x 2  2 x  5)
20
0
2



1 ( x 2  2 x  5) 4
2
4

3

1

0

 162 

615 671

8
8

1

(2 x  3)( x 2  3 x  1)3 dx Chú ý: d ( x 2  3x  1)  (2 x  3)dx
e) I 5  �
0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

1

� I5  �
(2 x  3)( x  3x  1) dx  �
( x 2  3x  1)
2

3

0



0

( x 2  3x  1) 4
4

1

0



1 1
 0
4 4

HT2. Tính các tích phân sau:
1

7

4

0

2

0

a) I1  �xdx b) I 2  �x  2dx c) I 3  �2 x  1dx
1

1

1

0

0

0

x 1  x 2 dx e) I 5  �
x 1  x 2 dx f) I 6  �
(1  x ) x 2  2 x  3dx
d) I 4  �
1

1

0

0

x 2 x3  1dx h) I 8  �
( x 2  2 x) x 3  3 x 2  2dx
g) I 7  �

Bài giải
1

a) I1  �xdx 
0

1

2
x x
3


0

2
3

7

7

2
b) I 2  �x  2dx  ( x  2) x  2
3
2
4

 18 

2

16 38

3
3

4

1
1 2
c) I 3  �2 x  1dx  �2 x  1d (2 x  1)  � (2 x  z ) 2 x  1
20
2 3
0
1

1

1
1 2
x 1  x dx  �1  x 2 d (1  x 2 )  � (1  x 2 ) 1  x 2
d) I 4  �
20
2 3
0

4

0
1

2

1

1 26
9 
3 3
2 2 1

3
3



0

1

1
1 2
x 1  x dx   �1  x 2 d (1  x 2 )   � (1  x 2 ) 1  x 2
e) I 5  �
20
2 3
0

1

2

1

(1  x) x 2  2 x  3dx  
f) I 6  �
0

x
g) I 7  �
2

0

1

1

1
x 2  2 x  3d ( x 2  2 x  3)

20

1 2
  � ( x 2  2 x  3) x?  2 x  3
2 3
1

1



0

1

2 2
 3
3
1

1
1 2
4 2 2
x  1dx  �x 3  1d ( x 3  1)  � ( x3  1) x 3  1 
30
3 3
9
0
3

( x 2  2 x) x3  3 x 2  2dx 
h) I 8  �
0

0

1 1
 0 
3 3

1

1
x 3  3 x 2  2d ( x 3  3 x 2  2)

30

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1 2
 � ( x3  3x 2  2) x 3  3x 2  2
3 3

1

 0
0

4 2
4 2

9
9

HT 3. Tính các tích phân sau:
1

4
0
dx
dx
dx
a) I1  � b) I 2  �
c) I 3  �
2x 1
x
0
1
1 1  2 x
1

1

( x  1)dx

( x  2)dx
d) I 4  � 2
e) I 5  � 2
x  2x  2
x  4x  5
0
0

Bài giải
4

4

dx
a) I1  �  2 x
x
1

 42  2

1

1

1

1

dx
1 d (2 x  1)
 �
 2x  1  3 1
b) I 2  �
2x 1 2 0 2x 1
0
0
0

0

dx
1 d (1  2 x)
 �
  1  2x
c) I 3  �
2 1 1  2 x
1 1  2 x
1

( x  1)dx

1

 1  3

1

1

1 d ( x 2  2 x  2)
 �
 x2  2x  2
d) I 4  � 2
2
x  2x  2 2 0 x  2x  2
0
1

( x  2)dx

1

1 d ( x 2  4 x  5)
 �
 x2  4 x  5
e) I 5  � 2
2
x  4x  5 2 0 x  4x  5
0

1

 5 2
0
1

 2 5

0

HT 4. Tính các tích phân sau:
1

e
0
xdx
dx
dx
I

I

a) 1 � b) 2 �
c) I 3  �2
x 1
x
1 2x
0
1
1
1

1

( x  1) dx
x2
dx
d) I 4  �2
e) I 5  �2
x  2x  2
x  4x  5
0
0

Bài giải
e

dx
a) I1  �  ln x
x
1

e

 ln e  ln 1  1

1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


0

b) I 2 

0

dx
1 d (1  2 x)
1
 �
  ln 1  2 x

1 2x
2 1 1  2 x
2
1
1

1

xdx 1 d ( x 2  1) 1
I

 �2
 ln x 2  1
c) 3 �2
x 1 2 0 x 1
2
0
1

1

0

1

1
ln 3
  (ln1  ln 3) 
2
2
1

1
ln 2
 (ln 2  ln1) 
2
2

1

( x  1)dx
1 d ( x 2  2 x  2) 1
I


 ln x 2  2 x  2
d) 4 �2
2

x  2x  2 2 0 x  2 x  2
2
0
1

1

0

1

x2
1 d ( x 2  4 x  5) 1
I

dx

 ln x 2  4 x  5
e) 5 �2
2

2 0 x  4x  5
2
0 x  4x  5

1
1 5
 (ln 5  ln 2)  ln
2
2 2
1

0

1
1 2
 (ln 2  ln 5)  ln
2
2 5

HT 5. Tính các tích phân sau:
1

2
0
dx
dx
dx
I �
I

I

a) 1 �2 b) 2 �
2 c) 3
(3 x  1)2
x
(2 x  1)
0
1
1

Bài giải
2

2

2

dx
dx
1
a) I1  �2  �2  
x
x
x
1
1
0

b) I 2 

1

1
1
  1 
2
2

0

dx
1 d (2 x  1)
1 1
 �
 �
2
2

(2 x  1)
2 1 (2 x  1)
2 2x 1
1
1

1

0



1

1 1 1
 
2 6 3

1

dx
1 d (3 x  1)
1 1
1 1 1
 �
 �
  
c) I 3  �
2
2
(3 x  1)
3 0 (3 x  1)
3 3x  1 0
12 4 6
0

HT 6. Tính các tích phân sau:
1

1

1

e dx b) I 2  �
e (2e  1) dx c) I 3  �
e x (1  4e x )3 dx
a) I  �
1

3x

0

x

x

3

0

0

1

2
2
e x dx
e2 x dx
e 2 x dx
I

d) 4 �x
e) I 
f) I 6  �
e 1 5 �
(e 2 x  1) 2
(1  3e 2 x )3
0
1
1
1

1

1

e x dx
x
x
x
2x
I

e
2
e

1
dx
I

e
1

3
e
dx
I

g) 7 �
h) 8 �
i) 9 � x
e 1
0
0
0

Bài giải
1

1
1
e3 x dx  e3 x
a) I  �
3
0

1

0



e3 1

3 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

e x (2e x  1)3 dx 
b) I 2  �
0

1

1
1 (2e x  1) 4
x
3
x
(2
e

1)
d
(2
e

1)


2�
2
4
0

1

0

1 �(2e  1) 4 81 � (2e  1) 4 81
 �
 �

2� 4
4�
8
8
1

e x (1  4e x )3 dx  
c) I 3  �
0

1 (1  4e x ) 4
 �
4
4
1

1

0

1

3
1
(1  4e x ) d 91  4e x )

40

1 �(1  4e) 4 81 � 81  (1  4e) 4
 �
 �
4� 4
4�
16

1

e x dx
d (e x  1)
�x
 ln e x  1
d) I 4  �x
e

1
e

1
0
0
2

1

 ln(e  1)  ln 2  ln

0

2

e 1
2

2

e 2 x dx
1 d (e 2 x  1)
1
1
1
1
e2








e) I 5  �2 x
(e  1) 2 2 �
( e2 x  1) 2
2 e2 x  1 1
2(e 4  1) 2(e 2  1) 2(e 4  1)
1
1
2

2

e 2 x dx
1 d (1  3e 2 x )
1
1
I



 �
f) 6 �
2x 3
2x 3

(1  3e )
6 1 (1  3e )
6 2(1  3e2 x ) 2
1
1

e x 2e x  1dx 
g) I 7  �
0

1

e x 1  3e 2 x dx 
h) I 8  �
0

1

2

1



1
1

4
12(1  3e ) 12(1  3e 2 )

1

1

1
1 2
1
2e x  1d (2e x  1)  � (2e x  1) 2e x  1  (2e  1) 2e  1  3

20
2 3
3
0
1

1
1 2
1  3e2 x d (1  3e 2 x )  � (1  3e2 x ) 1  3e 2 x

60
6 3

1

1

0

1
8
 (1  3e2 ) 1  3e2 
9
9

1

e x dx
d (e x  1)
I


 2 ex  1  2 e  1  2
i) 9 � x

x
e 1 0 e 1
0
0

HT 7. Tính các tích phân sau:
e

ln x
a) I1  � dx
x
1
e

e

2

e
4ln 3 x  3ln 2 x  2 ln x  1
dx
dx e) I 5  �
d) I 4  �
x
x ln x
1
e
e

3ln x  1dx
g) I 7  �
x
1

e

3ln x  1
dx
b) I 2  �
x
1

(3ln x  1)3
dx
c) I 3  �
x
1
e

dx
f) I 6  �
x(3ln x  1)
1

e

dx
h) I8  �
1 x 3ln x  1
Bài giải

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


e

e

e

ln x
ln 2 x
I

dx

ln
xd
(ln
x
)

a) 1 �

x
2
1
1



1

ln 2 1 1

2
2

e
e
�3ln 2 x
�e �3 �
3ln x  1
5
I

dx

(3ln
x

1)
d
(ln
x
)


ln
x
b) 2 �

�  �  1� 0 

x
2
� 2
�1 �2 �
1
1
e

e

(3ln x  1)3
1
1 (3ln x  1) 4
3
I

dx

(3ln
x

1
)
d
(3ln
x

1)


c) 3 �

x
3
3
4
1
1
e

e

1



64 1 85
 
3 12 4

e

4 ln 3 x  3ln 2 x  2 ln x  1
dx  �
(4 ln 3 x  3ln 2 x  2 ln x  1) d (ln x)
d) I 4  �
x
1
1
e

 (ln x  ln x  ln x  ln x  (1  1  1  1)  0  2
4

3

2

1
e2

dx

e) I 5  �
x ln x
e

e2

d (ln x)
 ln(ln x)

ln x
e

e

e2

 ln(ln e 2 )  ln(ln e)  ln 2

e

e

e

dx
1 d (3ln x  1) 1
1
ln 4
 �
 ln(3ln x  1)  (ln 4  ln1) 
f) I 6  �
x(3ln x  1) 3 1 3ln x  1
3
3
3
1
1
e

e

e

3ln x  1dx 1
1 2
16 2 14
 �3ln x  1d (3ln x  1)  � (3ln x  1) 3ln x  1   
g) I 7  �
x
31
3 3
9 9 9
1
1
e

e

e

dx
1 d (3ln x  1) 1
4 2 2
 �
 �
2 3ln x  1   
h) I 8  �
3 1 3ln x  1 3
3 3 3
1 x 3ln x  1
1
HT 8. Tính các tích phân sau:

2

a) I1  cos 2 x sin xdx



2


4

0

0

b) I 2  sin 2 x cos xdx c) I 3  sin 3 2 x cos 2 xdx



0


2


4

d) I 4  sin x dx

cos x
0

e) I 5  sin x 3cos x  1dx

0


2

cos x
f) I 6 
dx

3sin x  1
0

Bài giải

2


2

cos3 x
a) I1  �
cos x sin xdx   �
cos xd (cos x)  
3
0
0

2

2


2

2

sin 3 x
b) I 2  �
sin x cos xdx  �
sin xd (sin x) 
3
0
0
2

2


2
0




2
0



1
3

1
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



4



14 3
sin 4 2 x
c) I 3  �
sin 3 2 x cos 2 xdx  �
sin 2 xd (sin 2 x) 
20
8
0

4



4
sin x
d (cos x)
d) I 4  � dx   �
  ln(cos x)
cos
x
c
o
s
x
0
0


2


4

  ln

0


4



0

1
8

2
2
 ln1   ln
2
2



12
1 2
e) I 5  �
sin x 3cos x  1dx  �3cos x  1d (3cos x  1)  � (3cos x  1) 3cos x  1
30
2 3
0

2



cos x
1 2 d (3sin x  1) 2
f) I 6  �
dx  �

3sin x  1
3
3
3sin
x

1
3sin
x

1
0
0


2
0




2
0

1 4
   1
3 3

4 2 2
 
3 3 3

PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ
I.DẠNG 1:

dx

1

 ln ax  b  c

ax  b a

HT 1. Tính các tích phân sau:
1

1

0

dx
a) �
3x  1
0

3 �
� 1

dx
c) �


2
x

1
4

2
x


0

dx
b) �
1  3x
1
Bài giải

1

dx
1
 ln 3x  1
a) �
3x  1 3
0
0

1

0

dx
1
  ln 1  3 x
b) �
1  3x
3
1

1
ln 4
 (ln 4  ln 1) 
3
3
0

1
ln 4
  (ln1  ln 4)  
3
3
1

1

1

3 � �1
3
3
3
� 1
� �1
� �1


dx  � ln 2 x  1  ln 4  2 x �  � ln 3  ln 2 � � ln1  ln 4 �
c) �


2 x  1 4  2 x � �2
2
2
2
�0 �2
� �2

0�
HT 2. Tính các tích phân sau:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

x3  3x  2 x  1
dx
b) I 2  �
x2
0

2

x 4  3x3  2 x 2  5 x  1
dx
a) I1  �
x2
1

c)

0

I3 

2 x3  3x 2  4 x  1
dx

1

2
x
1
Bài giải
2

2

x 4  3x 3  2 x 2  5 x  1
5 1 �
�2
dx  �
dx
a) I1  �
�x  3x  2   2 �
2
x
x x �
1
1�

�x3 3x 2
1 �2 �8
1 � �1 3
� 13
� 
 2 x  5ln x  �  �  6  4  5ln 2  � �   2  5ln1  1�  5ln 2
2
x �1 �3
2 � �3 2
� 3
�3
1

1

x3  3x  2 x  1
1 �
�2
I

dx  �
dx
b) 2 �
�x  x 

x

2
x

2


0
0

�x3 x 2
�1 �1 1
1

 �   ln x  2 �  �   ln 1� (  ln 2)  ln 2 
6

�3 2
�0 �3 2
0

c) I 3 

0
� 2

2 x3  3x 2  4 x  1
3
1
dx

x  x  
dx




1 2x
2 2(2 x  1) �
1
1 �

� x3 x 2 3
�0
1
 �   x  ln 2 x  1 �
4
� 3 2 2
�1
�1
� �1 1 3 1
� ln 3 7
�
 ln1� �    ln 3 �

�4
� �3 2 2 4
� 4 3

II. DẠNG 2:


ax

2

dx
 bx  c

HT 3. Tính các tích phân sau( mẫu số có hai nghiệm phâm biệt):
1

1

dx
a) �
( x  1)( x  2)
0

dx
b) �
( x  1)(3  x)
0

1

dx
c) �
( x  1)(2 x  3)
0

Bài giải
1

1

1

dx
( x  2)  ( x  1)
1 �
�1
�
dx  �

dx
a) �


( x  1)( x  2) 0 ( x  1)( x  2)
x 1 x  2 �
0
0�
1

  ln x  1  ln x  2 

0
1

1

x 1
 ln
x2

1

0

2
1
4
 ln  ln  ln
3
2
3
1

dx
1 ( x  1)  (3  x)
1 �1
1 �
 �
dx  �

dx
b) �


(
x

1)(3

x
)
4
(
x

1)(3

x
)
4
3

x
x

1


0
0
0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất




1
  ln 3  x  ln x  1 
4
1

1

0

1

1 x 1
 ln
4 3 x

0

1

1�
1 � ln 3
 �
ln1  ln � 
4�
3�
4
1

dx
(2 x  3)  2( x  1)
2 �
�1
�
dx  �

dx
c) �


( x  1)(2 x  3) 0 ( x  1)(2 x  3)
x 1 2x  3 �
0
0�

  ln x  1  ln 2 x  3 

1

 ln

0

1

x 1
2x  3

0

2
1
6
 ln  ln  ln
5
3
5

HT 4.Tính các tích phân sau:
1

0

dx
a) �2
x  x  12
0

2

dx
b) � 2
2x  5x  2
1

dx
c) �
1  2 x  3x 2
1

Bài giải
1

1

1

dx
dx
1 ( x  3)  ( x  4)
�
 �
dx
a) �2
x  x  12 0 ( x  3)( x  4) 7 0 ( x  3)( x  4)
0
1

1 �1
1 � 1
 �

dx   ln x  4  ln x  3 


7 0 �x  4 x  3 � 7

1

0

1 x4
 ln
7 x3

1

0

1� 3
4� 1 9
 �
ln  ln � ln
7� 4
3 � 7 16
0

0

0

0

dx
dx
dx
1 (2 x  1)  2( x  2)
�
�
 �
dx
2

b) 1 2 x  5 x  2 1
� 1 � 1 ( x  2)(2 x  1) 3 1 ( x  2)(2 x  1)
2( x  2) �x  �
� 2�
0



1 �1
2 � 1

dx   ln x  2  ln 2 x  1 



3 1 �x  2 2 x  1 � 3

1
x2
=  ln
3 2 x 1
2

0

1

0

1
ln 2
 (ln 2  ln1) 
3
3
1
2

2

2

dx
dx
dx
1 3( x  1)  (1  3x )
�
�
 �
dx
2

c) 1 1  2 x  3x
1
( x  1)(1  3x ) 4 1 ( x  1)(1  3 x)
1 3( x  1)( x  )
1
3
2

1 �3
1 �
1
 �

dx    ln 1  3x  ln x  1 


4 1�
1  3x x  1 �
4

2

1

1
x 1
 ln
4 1  3x

2

1

1
3
1 3
 (ln  ln1)  ln
4 5
4 5

HT 5. Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

2

0

dx
b) �
(3x  1) 2
0

dx
a) �2
x
1

dx
c) �
(1  2 x) 2
1

0

0

dx
d) � 2
9x  6x 1
1

dx
e) � 2
16 x  8 x  1
1

Bài giải
2

dx
1
a) �2  
x
x
1

2

1

1
1
  1 
2
2

1

dx
1
1
 �
b) �
2
(3x  1)
3 (3 x  1)
0
0

1

0

�1 1 � 1
  �  �
12 3 � 4


0

dx
dx
1 1
�
 �
c) �
2
2
(1  2 x)
(2 x  1)
2 2 x 1
1
1
0

0

�1 1� 1
 �
  �
� 2 6� 3
1

0

dx
dx
1 1
�
 �
d) � 2
2
9 x  6 x  1 1 (3x  1)
3 3x  1
1
0

0

0

�1 1 � 1
 �
  �
3 12 � 4

1

0

dx
dx
dx
1 1
 � 2
 �
 �
e) � 2
2
16 x  8 x  1
16 x  8 x  1
(4 x  1)
4 4x 1
1
1
1

0

1 1
1
 

4 20
5
1

HT 6. Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
1

3

dx
a) I1  �2
x 1
0

dx
b) I 2  �2
x 3
0

c) I 
3

2
2

dx
2
3

�2 x
0

Bài giải
1

dx
a) I1  �2
x 1
0

� �  �

t ��
 ; �
Đặt: x  tan t �

� � 2 2�

� dx 

dt
cos 2 t

Đổi cận: Với x  0 � t  0
Với x  1 � t 


4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



4





4
4
dt
dt
� I1  � 2


dt  t

1
cos t (tan 2 t  1) �
0
0 cos 2 t �
0
cos 2 t
3

b) I 2 


4


4



0

dx

�x  3
2

0

�  �
Đặt: x  3 tan t Với t �� ; �
� 2 2�
3dt
cos 2 t

� dx 

Đổi cận: Với x  0 � t  0 ;Với x  3 � t 

4


4


4

3dt
3
dt
3
� I2  � 2


t
2

cos t (3tan t  3)
3 0 cos 2 t � 1
3
0
cos 2 t

c) I 3 

2
2

dx

2
3

�2 x
0

Đặt: x 

� dx 

2
2

dx

1

3� 2
2 �x 2  �
� 2�

��
0

2
2





0

3
12

dx

x2 

0


4

3
2

�  �
3
 ; �
tan t Với t �t ��
�2 2�
2
6 dt
2 cos 2 t

Đổi cận: Với x  0 � t  0 ; Với x 


2

�t 
2
6


16
6dt
66
dt
6
� I3  �


t

2 0 2cos 2 t ( 3 tan 2 t  3 )
6 0 cos 2 t � 1
6
2
2
cos 2 t


6
0



6
36

HT 7. Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
0

dx
a) I1  �
( x  1) 2  1
1

4

dx
b) I 2  �2
x  4x  8
2

1

dx
c) I 3  �2
x  x 1
0

Bài giải

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


0

a) I1 

dx


( x  1)

1

2

1

�  �
Đặt: x  1  tan t Với t �� ; �
� 2 2�
dt
cos 2 t

� dx 

Đổi cận: Với x  1 � t  0 ; Với x  0 � t 

4


4


4


4

dt
dt
� I1  � 2
�
�
dt  t
2
cos t (tan t  1) 0 cos 2 t � 1
0
0
cos 2 t
4


4
0




4

4

dx
dx
�
b) I 2  �2
x  4 x  8 2 ( x  2) 2  4
2
�  �
Đặt: x  2  2 tan t Với t �� ; �
�2 2 �
2dt
cos 2 t

� dx 

Đổi cận:Với x  2 � t  0 ; Với x  4 � t 

4


4





2dt
14
dt
14
1
� I2  � 2


dt  t
2


cos t (4 tan t  4) 2 0 cos 2 t � 1
20
2
0
cos 2 t
1


4
0




8

1

dx
dt
I 3  �2
�
2
x  x 1 0 � 1 �
c)
3
0
�x  �
� 2� 4
Đặt x 

�  �
1
3

tan t Với t �� ; �
� 2 2�
2
2

� dx 

3 dt

2 cos 2 t

Đổi cận: Với x  0 � t 



; Với x  1 � t 
6
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



3



3dt
2 33
dt
� I3  �


3
3
3  cos 2 t � 1
 2 cos 2 t ( tan 2 t  )
6
6
4
4
cos 2 t




3


3

6


6

2 3
2 3
dt 
t

3 
3

III.Dạng 3:


ax



2 3 2 3 2 3


9
18
18

mx  n
dx
2
 bx  c

HT 8. Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt)
1

x 1
dx
a) I1  �2
x  4x  3
0

0

b) I 2 

0

2 x  10
dx
2


x

x

2
1

c) I 3 

7  4x
dx
2
 3x  2


2 x

1

Bài giải
1

1

x 1
( x  1)dx
dx  �
a) I1  �2
x  4x  3
( x  1)( x  3)
0
0

Xét đồng nhất thức:

x 1
A
B
Ax  A  Bx  3B ( A  B) x  A  3B




( x  3)( x  1) x  3 x  1
( x  3)( x  1)
( x  3)( x  1)

�A  B  1
�A  2
�
Đồng nhất thức hai vế ta được: �
�A  3B  1 �B  1
1

1 �
�2

dx   2 ln x  3  ln x  1 
Vậy, I1  �


x  3 x 1 �
0�
 (2 ln 4  ln 2)  (2ln 3  ln1)  2 ln
0

1

0

4
 ln 2
3

0

2 x  10
2 x  10
dx  �
dx
b) I 2  � 2
x  x  2
( x  2)(1  x)
1
1
Xét đồng nhất thức:

2 x  10
A
B
A  Ax  Bx  2 B ( B  A) x  A  2 B




( x  2)(1  x) x  2 1  x
( x  2)(1  x)
( x  2)(1  x)

�B  A  2
�A  2
��
Đồng nhất thức hai vế ta được: �
�A  2 B  10
�B  4
0

4 �
�2

dx   2 ln x  2  4 ln 1  x 
Vậy, I 2  �


x

2
1

x


1

0

1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 (2 ln 2  4 ln1)  (2 ln1  4 ln 2)  2 ln 2  4 ln 2  ln 4  ln16  ln 64
0

0

7  4x
7  4x
dx  �
dx
c) I 3  � 2
2 x  3 x  2
( x  2)(1  2 x)
1
1
Xét đồng nhất thức:

7  4x
A
B
A  2 Ax  Bx  2B ( B  2 A) x  A  2B




( x  2)(1  2 x) x  2 1  2 x
( x  2)(1  2 x)
( x  2)(1  2 x)

�B  2 A  4
�A  3
��
Đồng nhất thức hai vế ta được: �
�A  2 B  7
�B  2
0

3 �
� 2

dx    ln 1  2 x  3ln x  2 
Vậy, I 3  �


1

2
x
x

2


1
 ( ln1  2 ln 2)  (  ln 3  3ln 2)  ln 3  ln 2  ln

0

1

3
2

HT 9. Tính các tích phân sau: (Mẫu có nghiệm kép)
z

(3x  1) dx
a) I1  �2
x  2x  1
0

0

3x  1
dx
b) I 2  � 2
4x  4x  1
1

1

3x  2
dx
c) I 3  � 2
4 x  12 x  9
0

Bài giải
z

1
1
1
�3
(3x  1)dx
3x  1
3( x  1)  2
2 �
�
dx  �
dx  �

dx
a) I1  �2


2
2
x  2 x  1 0 ( x  1)
( x  1)
x  1 ( x  1) 2 �
0
0
0�

1

2 �

�
3ln x  1 
�  (3ln 2  1)  (3ln1  2)  3ln 2  1
x  1 �0

3
1
0
0
 2 x  1 
3
x

1
3
x

1
b) I 
2
2 dx
dx  �
dx  �
2
2
2
2

4x  4x 1
(2 x  1)
(2 x  1)
1
1
1
0

0

�3 1
� �3
1
1
1 1 �0
�
 �
dx  � ln 2 x  1  �
��


2 2 x  1 2 (2 x  1) 2 � �4
4 2 x  1 �1
1 �
1 � �3
1� 3
1
�3
 � ln1  � � ln 3  �  ln 3 
4 � �4
12 � 4
6
�4
3
5
1
1
(2 x  3) 
3
x

2
3
x

2
2
2 dx
c) I 
dx  �
dx  �
3
2
2
2

4 x  12 x  9
(2 x  3)
(2 x  3)
0
0
0
1

1

1
�3
� �3
1
5
1
5
1 �
�
 �
��
�dx  � ln 2 x  3  �

2 2 x  3 2 (2 x  3) 2 � �4
4 2 x  3 �0
0�

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1 � �3
5� 3 5 1
�3
 � ln 5  � � ln 3  � ln 
4 � �4
12 � 4 3 6
�4

HT 10. Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
1

3x  1
dx
a) I1  �2
x 1
0

3

3x  2
dx
b) I 2  �2
x  4x  5
1

1

3x  1
dx
c) I 3  � 2
4x  4x  2
0

Bài giải
1

3x  1
dx
a) I1  �2
x

1
0
3

2x  1
1
1
1
dx
�3 2 x � 3 2 x
Chú ý: ( x  1) '  2 x Nên: I  2
dx  �
dx  �2 dx  �2
1
� �2

2

x 1
2 x 1 � 2 0 x 1
x 1
0
0�
0
1

2

1

dx
Xét: N  �2
x 1
0

� �  �

t ��
 ; �
Đặt: x  tan t �

� � 2 2�

� dx 

dt
cos 2 t

Đổi cận: Với x  0 � t  0
Với x  1 � t 


4


4





4
4
dt
dt
�M � 2


dt  t
2


1
cos
t
(tan
t

1)
2
0
0 cos t �
0
cos 2 t

Vậy, I1  M  N 


4
0




4

3ln 2 

2
4

3

3x  2
dx
b) I 2  �2
x  4x  5
1
Chú ý: ( x 2  4 x  5) '  2 x  4
3
(2 x  4)  8
3
2x  4
1
�3

Khi đó: I  2
dx  �
 8 �2
dx
2
� �2

2

x  4x  5
2 x  4x  5
x  4x  5 �
1
1�
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


3



3

3
2x  4
1
dx  8�2
dx
2

2 1 x  4x  5
x  4x  5
1
3

+Xét: M 

3

3
2x  4
3 d ( x 2  4 x  5) 3
dx

 ln x 2  4 x  5
2
2


2 1 x  4x  5
2 1 x  4x  5
2
3

3

1

3
 (ln 2  ln 2)  0
2

3

1
dx
dx  8�
+Xét: N  8�2
x  4x  5
( x  2) 2  1
1
1
� �  �

t ��
 ; �
Đặt: x  2  tan t Với �

� � 2 2�

� dx 

dt
cos 2 t

Đổi cận: Với x  1 � t  



; Với x  3 � t 
4
4


4


4

dt
� N 8� 2
8�
dt  8t
2
cos
t
(tan
t

1)






4

4


4



 4


4

Vậy, I 2  M  N  4
1

3x  1
dx
c) I 3  � 2
4x  4x  2
0

Chú ý: (4 x 2  4 x  2) '  8 x  4
3
1
(8 x  4) 
3x  1
8
2 dx
Ta có: I 
dx  �
3
2
2

4x  4x  2
4x  4x  2
0
0
1

1

1

1

3
8x  4
1
dx
 �2
dx  � 2
8 0 4x  4x  2
2 0 4x  4x  2
1

+ Xét: M 

1

3
8x  4
3 d (4 x 2  4 x  2) 3
dx

 ln 4 x 2  4 x  2
2
2


8 0 4x  4 x  2
8 0 4x  4x  2
8
1

1

0

3
 (ln 2  ln 2)  0
8

1

1
dx
1
dx
 �
+Xét: N  � 2
2 0 4 x  4 x  2 2 0 (2 x  1) 2  1

� �  �

t ��
 ; �
Đặt: 2 x  1  tan t Với �

� � 2 2�


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


� 2dx 

dt
dt
� dx 
2
cos t
2 cos 2 t

Đổi cận: Với x  0 � t  

1
2

�N 


4


 2 cos



2



; Với x  1 � t 
4
4

dt
1

2
t (tan t  1) 2

4

Vậy, I 3  M  N 


4

1

dt  t

2




4


4






4


4


4

HT 11. Tính các tích phân sau:
1

x 4  5 x3  3x 2  2 x  1
dx
b) I 2  �
x2  2x  1
0

0

x3  5 x2  6 x  1
dx
a) I1  � 2
x  3x  2
1
0

2

x3  3x 2  6 x  1
dx
c) I 3  � 2
x  2x  2
1

x2
dx
d) I 4  �2
x  7 x  12
1
Bài giải

0

a) I1 

0

0

0

x3  5 x 2  6 x  1
2 x  3 �
2 x  3

dx  �
dx  �
( x  2)dx  �2
dx
�x  2  2

2

x  3x  2
x  3 x  2 � 1
x  3x  2
1
1 �
1

0
�x 2
�0
�1
� 5
M

(
x

2)
dx


2
x
+Xét:

�   �  2 � 

�2
� 2
�2
�1
1
0

0

2 x  3
2 x  3
dx  �
dx
+Xét: N  �2
x  3x  2
( x  1)( x  2)
1
1
Dùng đồng nhất thức ta tách được:
0

1 �
�1
N�
dx    ln x  1  ln x  2 
� 

x

1
x

2


1
Vậy, I1  M  N  ln 3 
1

0

 ( ln1  ln 2)  ( ln 2  ln 3)  ln 3

1

5
2
1

x 4  5 x3  3x 2  2 x  1
19 x  9
I

dx  �
( x 2  3 x  10  2
)dx
b) 2 �
2
x

2
x

1
x

2
x

1
0
0
1

�x 3 3 x 2
�1
1 3
49
( x  3x  10)dx  � 
 10 x �  (   10)  0  
+Xét: M  �
2
6
�3
�0 3 2
0
2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

1
1
�19
19 x  9
19( x  1)  10
10
dx  �
dx  �

+Xét: N  �2

2
x  2x  1
( x  1)
x  1 ( x  1)2
0
0
0�


dx



1

10 �

�
19 ln x  1 
�  (19 ln 2  5)  (19 ln1  10)  19 ln 2  5
x  1 �0

Vậy, I 2  M  N  19 ln 2 
0

79
6
0

x3  3x 2  6 x  1
10 x  1 �

dx  �
dx
�x  1  2

2

x

2
x

2
x

2
x

2


1
1

c) I 3 

0

�x 2
�0
�1 � 1
( x  1)dx  �  x �   �  1�
+Xét: M  �
�2 � 2
�2
�1
1
0

+Xét: N 

0

0

10 x  1
5(2 x  2)  9
9
�5(2 x  2)

dx  � 2
dx  �
 2
dx
�2

2

x  2x  2
x  2x  2
x  2x  2 x  2x  2 �
1
1
1 �

0

0

2x  2
d ( x 2  2 x  2)
P  5 �2
dx  5 � 2
 5ln x 2  2 x  2
x  2x  2
x  2x  2
1
1
0

0

 5(ln 2  ln1)  5 ln 2

1

0

dx
dx
Q  9 �2
 9�
x  2x  2
( x  1) 2  1
1
1
�  �
Đặt: x  1  tan t Với t �� ; �
� 2 2�
� dx 

dt
cos 2 t

Đổi cận: Với x  1 � t  0 ; Với x  0 � t 

4

dt
� Q  9� 2
 9t
cos t (tan 2 t  1)
0
� N  P  Q  5ln 2 


4
0




4

9
4

9
1
9
� I 3  M  N   5ln 2 
4
2
4

2

x2
I

dx   x  16 ln x  4  9 ln x  3 
d) 4 �2
x

7
x

12
1

2

 1  25ln 2  16 ln 3

1

HT 12.Tính các tích phân sau:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

2

xdx
b) I 2  �
( x  1)3
0

dx
a) I1  �5
x  x3
1
Bài giải
2

dx
a) I1  �5
x  x3
1
Ta có:

1
1 1
x
  3  2
2
x ( x  1)
x x
x 1
3

2
1
1
3
1
3


� I1  �
 ln x  2  ln( x 2  1) �   ln 2  ln 5 
2x
2
2
2
8

�1
1

xdx
b) I 2  �
( x  1)3
0

Ta có:
1

x
x 11

 ( x  1) 2  ( x  1) 3
3
( x  1)
( x  1)3


��
( x  1) 2  ( x  1) 3 �

�dx 
0

1
8

HT 13. Tính các tích phân sau: (Đổi biến số)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

2

1  x2
9. I  � 4 dx
1 x
1

x7
1. I  � 2 5 dx
(1  x )
0

2

1  x2
10. I  � 4 dx
1 x
1

1

x 5 (1  x 3 )6 dx
2. �
0

4

3. I 

3

�x( x

2

1
4

1
2

 1)

1  x2
11. I  � 3 dx
xx
1

dx

1

x4  1
dx
12. I  �6
x 1
0

dx
4. I  � 10
x ( x  1) 2
1
2

1  x7
dx
5. I  �
x(1  x 7 )
1
3

6. I 

13. I 

dx

�x (1  x
6

1
1

x2
dx

x4 1
0
1

2

xdx
14. I  �4
x  x2  1
0

)

( x  1)
dx
7. I  �
(2 x  1) 4
0
2

15. 

99

1

3
3

dx
�7 x  1 �
8. I  �

��
2 x  1 � (2 x  1) 2
0�

1 5
2

x2  1
dx
4
2

1 x  x 1

Bài giải
1
 x 2  xdx
x7
1. I  � 2 5 dx  � 2 5
(1  x )
(1  x )
0
0
3

1

Đặt t  1  x 2 � dt  2 xdx
Đổi cận: Với x  0 � t  1 Với x  1 � t  2
2

�I 

1 (t  1)3
1 1
dt  �5
5

21 t
4 2

1

1

0

0

x 5 (1  x 3 )6 dx  �
x 3 (1  x 3 ) x 2 dx
2. �
3
2
2
Đặt t  1  x � dt  3x dx � x dx  

dt
3

Đổi cận: Với x  0 � t  1 Với x  1 � t  0
�I 
4

1
1 6
1 �t 7 t 8 � 1
t
(1

t
)
dt

�  �
3�
3 �7 8 � 168
0
3

4

3

x 3dx
dx  �4 4
3. I  � 4
x( x  1)
x ( x  1)
1
1
1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


4
3
3
Đặt t  x � dt  4 x dx � x dx 

dt
4

Đổi cận: Với x  1 � t  1 ; Với x  4 3 � t  3
3

3

1
dt
1 �
1 1 � 1 � t �3 1 3
�I  �

dt  ln � �  ln
�

4 1 t (t  1) 4 �
t t  1 � 4 �t  1 �1 4 2
1�
2

2

dx
x9 dx

4. I  � 10
x( x  1) 2 �
x10 ( x10  1) 2
1
1
10
9
9
Đặt t  x  1 � dt  10 x dx � x dx 

dt
10

Đổi cận: Với x  1 � t  2 ;Với x  2 � t  210  1
1
�I 
5

210 1

210 1

dt
1

2

(t  1)t
5
2

1

2

10

1�
1 �2
 �
ln(t  1)  ln t  �
5�
t �2
2

�1

1�
dt
2 �


 
��
�t  1 t t

1

1
1
1
1
 (10 ln 2  ln(210  1)  10 )  ( ln 2 
5
2 1 5
2)

2

1  x7
(1  x 7 ) x 6
dx

dx
5. I  �

x (1  x 7 )
x7 (1  x 7 )
1
1
7
6
6
Đặt t  x � dt  7 x dx � x dx 

dt
7

Đổi cận: Với x  1 � t  1 ;Với x  2 � t  128
�I 



1
7

128

1 t
1
dt 

t (1  t )
7
1

128

1 2 � 1

dt   ln t  2 ln 1  t
�


t
1

t
7


1



128

1

1
1
10
2
(7 ln 2  2 ln129)  (2 ln 2)  ln 2  ln129
7
7
7
7
3

dx
I  �6

6.
x (1  x 2 )
1

Đặt t 

3

dx
1
x 2 .x 6 ( 2  1)
x


1

1
1
� dt   2 dx
x
x

Đổi cận: Với x  1 � t  1 ; Với x  3 � t 

1
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


3
3

1

t6
� I   �2
dt 
t 1
1

�4

t t




2

 1

3
3

1

1 � 117  41 3 
dt 


t 1 �
135
12
2

2

1

( x  1) 2
dx
�x  1 �
dx  �
7. I  �

��
4
(2 x  1)
2 x  1 � (2 x  1) 2
0
0�

3
�x  1 �
Chú ý: �
�
2
�2 x  1 � (2 x  1)
Đặt:

x 1
3dx
dx
dt
t�
 dt �

2
2
2x 1
(2 x  1)
(2 x  1)
3

Đổi cận: Với x  0 � t  1 ; Với x  1 � t  0
�t 

1

1 2
t3
t
dt

3�
9
0

1



0

1
9

99

1

1

99

dx
1 �7 x  1 � �7 x  1 �
�7 x  1 �
 �
8. I  �

��

�d �

2
2 x  1 � (2 x  1)
9 0 �2 x  1 � �2 x  1 �
0�
100 1

1 1 �7 x  1 �
 � �

9 100 �2 x  1 �



0

1

2100  1�

900 �

2

1  x2
I

dx
9.
4

1

x
1
1
1 2
1  x2
x

Ta có:
4
1
1 x
x2  2
x
Đặt t  x 

1
� 1 �
� dt  �
1 2 �
dx
x
� x �

Đổi cận: Với x  1 � t  0 ; Với x  2 � t 
3
2

3
2

3
2

dt
1 � 1
1 �
1
t 2
�I �


dt 

ln


2

t  2 2 2 0 �t  2 t  2 � 2 2
t 2
0

3
2
0



1
ln(3  2 2)
2

2

1  x2
I

dx
10.

1  x4
1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1
1
2
1  x2
x

Ta có:
1  x4 x2  1
x2

1
� 1 �
� dt  �
1 2 �
dx
x
� x �

Đặt t  x 

Đổi cận: Với x  1 � t  2 ; Với x  2 � t 

5
2

5
2

dt
� I  �
2
t 2
2
Đặt t  2 tan u � dt  2

du
5
5
; tan u  2 � u1  arctan 2; tan u  � u2  arctan
2
cos u
2
2

u

2 2
2
2�
5

�I 
du 
(u2  u1 ) 
arctan  arctan 2 �


2 u1
2
2 �
2

2

1  x2
11. I  � 3 dx
xx
1
1
1
x 2 dx
Ta có: I  �
1
1
x
x
2

Đặt t  x 

1
� 1 �
� dt  �
1 2 �
dx
x
� x �

Đổi cận: Với x  1 � t  2 ; Với x  2 � t 
5
2

dt
I   �   ln t
t
2

5
2
2

5
2

5
4
  ln  ln 2  ln
2
5

1

x4  1
dx
12. I  �6
x 1
0

Ta có:

x 4  1 ( x 4  x 2  1)  x 2
x4  x2  1
x2
1
x2





x6  1
x6  1
( x 2  1)( x 4  x 2  1) x 6  1 x 2  1 x 6  1

1
1 d ( x3)
 1  
� I  �2 dx  �3 2
dx   � 
x 1
3 0 (x )  1
4 3 4 3
0
1

1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


3
3

x2
dx

x4  1
0

13. I 

I

3
3

�( x

2

2

0

x
1
dx 
2
 1)( x  1)
2

3
3

1 � 1

�1
 2 �
dx  ln(2  3) 
2
1 x 1 � 4
12



�x
0

1

xdx
14. I  �4
x  x2  1
0
2
Đặt t  x � dt  2 xdx � xdx 

dt
2

Đổi cận: Với x  0 � t  0 ; Với x  1 � t  1
1
dt
1
dt

 �

2
2

2
2 0 t  t 1 2 0 � 1 � � 3 � 6 3
t  � � �

� 2 � �2 �
1

�I 

15. 

1

1 5
2

x2  1
dx
4
2

1 x  x 1

1
1 2
x2  1
x

Ta có: 4
x  x2  1 x2  1 1
x2
Đặt t  x 

1
� 1 �
� dt  �
1 2 �
dx
x
� x �

1

dt
�I �
2
t 1
0

4

Đặt t  tan u � dt  du � I  du  

cos 2 u
4
0

PHẦN III TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỶ
HT 1. Tính các tích phân sau:
3

a) I1 

xdx

�x
0

2

1

3

b) I 2 

�x
0

3

dx
2

c) I 3 

1

�x

2

 1dx

0

Bài giải

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


3

xdx

�x

a) I1 

0

3

2

1
2

3

d ( x 2  1)

�x
0

2

1

1

 x2  1  2
0

dx

�x

b) I 2 

1



0

2

1
x

Đặt x  x 2  1  t � (1 

x 1
2

) dx  dt �

x  x2  1
x 1
2

dx  dt �

dx
x 1
2



dt
t

Đổi cận x  0 � t  1; x  3 � t  3  2
32

dt
 ln t

t
1

� I2 

32

 ln( 3  2)

1

3

�x

c) I 3 

2

 1dx

0

x

du 
dx


u  x2  1 �
2
��
Đặt: �
x 1
dv  dx


vx

3

� I3  x x  1
2

0

3



�x
0

3

2 3

2
�x  1dx 
0

3

x 2 dx

3

2

dx

�x
0

1

2 3

2

1

x2  1  1
dx

x2  1
0

 2 3  I 3  I 2  2 3  I 3  ln( 3  2)

1
� 2 I 3  2 3  ln( 3  2) � I 3  3  ln( 3  2)
2

HT 2. Tính các tích phân sau:
1

1

0

x 3 1  x 2 dx
a) I  �

x. 3 x  1dx
b) I  �
1

0

( x  1)3 2 x  x 2 dx
c) I  �
0

Bài giải
1

1

0

0

x 3 1  x 2 dx  �
x 2 1  x 2 xdx
a) I  �

Đặt: t  1  x 2 (t �0) � x 2  1  t 2 � xdx  tdt
Đổi cận: x  0 � t  1; x=1 � t  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×
x