Tải bản đầy đủ

Chuyên đề hàm số mũ lôgarit thầy lê anh tuấn có lời giải chi tiết

CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa lũy thừa và căn


Cho số thực b và số nguyên dương n ( n ≥ 2 ) . Số a được gọi là căn bậc n cả của số b
nếu a n = b



Chú ý: * Với n lẻ và b ∈ ¡ : Có duy nhất một căn bậc n của số b, kí hiệu là

n

b

b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b

*Với n chẵn:

b = 0 : Có một căn bậc n của b là số 0

b > 0 : Có hai căn bậc n của b là hai số đối nhau, căn có giá trị

dương kí hiệu là
Số mũ α
α = n∈¡ *
α =0

α = −n ∈ ¡

n

b , căn có giá trị âm kí hiệu là − n b
Lũy thừa aα
aα = a n = a.a...a (n thừa số a)
aα = a 0 = 1
1
aα = a − n = n
a

Cơ số a
a∈¡
a≠0
a≠0

*

m
m ∈ ¢, n ∈ ¡ * )
(
n
α = lim rn ( rn ∈ ¤ , n ∈ ¥ * )

α=

a>0

m

aα = a n = n a m ,


a>0

(

n

a = b ⇔ a = bn

)

aα = lim a rn

2. Một số tính chất của lũy thừa


Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:
α

α

β

a .a = a

α +β

β


α
a
; β = aα − β ; ( aα ) = aα .β ; ( ab ) = aα .b β ;  ÷ = α
a
b
b

−α

α

a
b
; ÷ =  ÷
b
a



Nếu a > 0 thì aα > a β ⇔ α > β ; Nếu 0 < a < 1 thì aα > a β ⇔ α < β ;



Với mọi 0 < a < b, ta có: a m < a n ⇔ m > 0; a m > a n ⇔ m < 0



Chú ý:
o Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không
nguyên
o Khi xét lũy thừ với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0
o Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3. Một số tính chất của căn bậc n


Với a, b ∈ ¡ ; n ∈ ¡ * , ta có:

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải




2n

a 2 n = a , ∀a;

2 n +1

a 2 n +1 = a, ∀a.

2n

ab = 2 n a

b , ∀a, b ≥ 0;

2 n +1

ab = 2 n +1 a 2 n +1 b , ∀a, b.

2n

a
=
b

, ∀ab ≥ 0, b ≠ 0;

2 n +1

a
=
b

a

2n

b

2n

2n

2 n +1
2 n +1

a
, ∀a, ∀b ≠ 0.
b

Với a, b ∈ ¡ , ta có:
n

am =

n m

( a)
n

m

, ∀a > 0, n nguyên dương, m nguyên.

a = nm a , ∀a ≥ 0, n,m nguyên dương

Nếu

p q
=
thì
n m

biệt:

n

n

a p = m a q , ∀a > 0, m, n nguyên dương, p, q nguyên. Đặc

a = nm a m

B. CÁC DẠNG CÂU TẬP
Dạng 1. Viết biểu thức về dạng lũy thừa
Câu 1: Viết biểu thức
A. −

2 3 4 về dạng lũy thừa m ta được m = ?
2
160,75

13
6

B.

13
6

C.

5
6

D. −

5
6

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
5
6

−13
2 4
2 2 2
=
= 3 −2 6
Phương pháp tự luận
3
160,75
( 24 ) 4 3
3

6

4

4

Câu 2: Cho x > 0; y > 0. Viết biểu thức x 5 . 6 x 5 x ; về dạng x m và biểu thức y 5 : 6 y 5 y ; về
dạng y n . Ta có m − n = ?
A. −

11
6

B.

11
6

C.

8
5

D. −

8
5

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
4

4

5

1

103

x 5 . 6 x 5 x = x 5 .x 6 .x 12 = x 60 ⇒ m =

103
60

4
4
7
 5 1
7
11
y 5 : 6 y 5 y = y 5 :  y 6 . y 12 ÷ = y 60 ⇒ n = − ⇒ m − n =
60
6



Câu 3: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Trang 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A.
C.

2n

ab = a . b , ∀a, b

B.

2n

a 2 n ≥ 0, ∀a, n nguyên dương

a 2 n = a , ∀a, n nguyên dương ( n ≥ 1)

D.

4

2 = 2 ∀a ≥ 0

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Áp dụng tính chất căn bậc n ta có đáp án A là chính xác
Câu 4: Cho a > 0, b < 0, khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.

4

a 4b4 = ab

B.

C.

2

a 2b2 = ab

D.

3

a 3b3 = ab
a 4b 2 = − a 2b

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Áp dụng tính chất căn bậc n ta có đáp án A là chính xác
Câu 5: Tìm biểu thức không có nghĩa trong các biểu thức sau.
A. ( −3)

1

−4

B. ( −3) − 3

0

 1 
D.  −3 ÷
2 

C. 04

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
1
1
Vì − ∉ ¢ nên ( −3) − 3 không có nghĩa. Vậy đáp án B đúng.
3

Câu 6: Cho n ∈ ¥ ; n ≥ 2 khẳng định nào sau đây đúng?
1

1

A. a n = n a , ∀a ≠ 0

B. a n = n a , ∀a > 0

1

1

C. a n = n a , ∀a ≥ 0

D. a n = n a , ∀a ∈ ¡

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
11

Đáp án B đúng. Đáp án A, C, D sai vì điều kiện của a a a a a : a 16
Câu 7: Cho số thực dương a. Rút gọn biểu thức
3

1

A. a 4

B. a 2

11

a a a a : a 16
1

C. a

D. a 4

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Vậy đáp án D đúng
Dạng 2. So sánh các lũy thừa
Câu 8: Trong các khẳng định sau đây , khẳng định nào đúng?

(

) < ( 2− 2)

4

(

) < ( 4− 2)

4

A. 2 − 2
C. 4 − 2

3

3

B.

(

11 − 2

D.

(

3− 2

) >(
6

) <(
4

11 − 2
3− 2

)

)

7

5

Trang 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Cách 1. Dùng máy tính kiểm tra kết quả.
Cách 2. Áp dụng lý thuyết. Nếu a > 1 thì aα > a β ⇔ α > β ;
Nếu 0 < a < 1 thì aα > a β ⇔ α < β ;
Câu 9: Nếu
A. m >

(

3− 2

)

2 m− 2

3
2

< 3 + 2 thì

B. m <

1
2

C. m >

1
2

D. m ≠

3
2

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Ta có

3+ 2 =

1

3− 2
1

1

Câu 10: Nếu a 2 > a 6 và b
A. a > 1;0 < b < 1

(

2

3− 2
>b

3

)

2 m−2

<

(

3− 2

)

−1

⇔m>

1
2

thì

B. a > 1; b < 1

C. 0 < a < 1; b < 1

D. a < 1;0 < b < 1

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Do


1
1
1 1
> nên a 2 > a 6 ⇒ a > 1
2 6

2 > 3 nên b

2

>b

3

⇒ 0 < b < 1 vậy đáp án A là đáp án chính xác.

Câu 11: Kết luận nào đúng về số thực a nếu ( 2a + 1)
 1
A.  2

 a < −1

B. −

−3

> ( 2a + 1)

−1

0 < a < 1
C. 
 a < −1

1
2

D. a < −1

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Do −3 < −1 và số mũ nguyên âm nên ( 2a + 1)

−3

> ( 2a + 1)

−1

 1
 0 < 2a < 1
⇔ 2
khi 
 2a + 1 < −1  a < −1


2
n
Câu 12: Cho A = 5 + 5 + ... + 5 ( n ∈ ¡ ) . Biết 4 A + 5 = 5100. Giá trị của n là.

A. 50

B. 100

C. 99

D. 51

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
5 A = 52 + ... + 5n +1 ⇒ 5 A − A = 5n +1 − 5 ⇒ 4 A + 5 = 5n +1 = 5100 ⇒ n = 99

(

2

3

Câu 13: Cho A = 2a. 2a.2 a .22 ...22
A. a = 2

9

)

B. a = 2

a −1

5

Tìm giá trị của a biết A = 22
C. a = 5

D. a = 4

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Trang 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2
9
2
3
10
10
Ta có S = a + a + ... + a ⇒ a.S = a + a + ... + a ⇒ ( a − 1) S = a − a

A = 2 a. ( 2 S )

a −1

= 2 S ( a −1) + a = 2a = 22 ⇒ a10 = 25 ⇒ a10 =
10

5

( 2)

10

⇒a= 2

(
Câu 14: Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức P =
A. ab 2

4

)

a 3 .b 2

3

12

a .b

4

được kết quả là.

6

C. ab

B. a 2b

D. a 2b 2

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
P=

(

4

3

a 3 .b 2

)

4

a12 .b6

a 3 .b 2

=

6

=

a12 .b6

a 3 .b 2
= ab Vậy đáp án C là chính xác.
a 2 .b

Câu 15: Giá trị của biểu thức A = ( a + 1) + ( b + 1)
−1

A. 3

B. 2

(

−1

với a = 2 + 3

)

−1

C. 1

(

và b = 2 − 3

)

−1

D. 4

Hướng dẫn: Chọn đáp án C

(

Ta có a = 2 + 3

)

−1

A = ( a + 1) + ( b + 1)
−1

(

; b = 2− 3
−1

)

−1

(

) +( 2−

= 2 + 3 +1

−1

)

3 +1

−1

=

1
1
+
=1
3+ 3 3− 3

 a+b

− 3 ab ÷:
Câu 16: Cho các số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức P =  3
3
 a+ b


(

3

a−3b

)

2

được kết quả là.
A. −1

B. 1

D. −2

C. 2

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
 a+b

P= 3
− 3 ab ÷:
3
 a+ b



=


=

(

(

3

3

) ( a)

a+3b 


3

3

a−3b

) :(
2

3

2

(

3

a− b

− 33 a 3 b +

a+3b

a−3b

3

)

2

)

2


=



( b)
3

( a) +( b)

2

3

3

3




3

a+3b



− 3 ab  :



(

3

3


:



(

3

a−3b

a−3b

)

2

=


)

2

( a)
3

2

− 33 a 3 b +

( b )  : (
3

=1

Câu 17: Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức

Trang 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

2

3

a−3b

)

2


1

1

a3 b + b3 a 3
P= 6
− ab là
a+6b
B. −1

A. 0

D. −2

C. 1

Hướng dẫn: Chọn đáp án A

P=

a

1
3

1
3

1
3

1
2

1
3

1
2

1
b +b a 3
a b +b a

ab
=

ab
( )3
1
1
6
a+6b
a6 + b6

Câu

Cho a > 0, b > 0.

18:

Biểu

1
 16

a b b + a6 ÷
1 1
1
1

 − ab 3 = a 3 b 3 − ab 3 = 0
=
( )
( )
1
1
6
6
a +b
1
3

1
3

thức

thu

gọn

của

biểu

1
1
1
 1
 1
 1

P =  a 4 − b 4 ÷.  a 4 + b 4 ÷.  a 2 + b 2 ÷ là.





A.

10

a − 10 b

B.

a− b

C. a − b

D.

8

a−8b

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
2
2
1
1
1
1
1
1
 14
  14
  12
  14   14    12
  12
  12

4
4
2
2
2
P =  a − b ÷.  a + b ÷.  a + b ÷ =  a ÷ −  b ÷  .  a + b ÷ =  a − b ÷.  a + b 2 ÷



      
 


2

2

 1  1
=  a2 ÷ − b2 ÷ = a − b
   
1
1
1
 12
 23 12
2
2
2
x

y
x
+
y

÷. x y − 2 y
+ 1
Câu 19: Rút gọn biểu thức  1
được kết quả là.
1
1
÷
 xy 2 + x 2 y xy 2 − x 2 y ÷ x + y x − y



A. x − y

B. x + y

C. 2

D.

2
xy

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
1
1
1
 12
 23 12
2
2
2
x+ y 
x

y
x
+
y

÷. x y − 2 y =  x − y +
+ 1
.

÷
1
1
1

÷

÷
 xy 2 + x 2 y xy 2 − x 2 y ÷ x + y x − y  x y + x y x y − x y 



(

3

x+ y

y



2y
x− y

) ( x + y ) ÷. ( x ) y − 2 y = 2 .x − 2 y = 2
) ( x + y ) ÷÷ x + y x − y x − y x − y

 x− y 2+
= 
 xy x − y


(

( x)

2

3

Trang 6 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

thức


Câu 20: Cho số thực dương x. Biểu thức

x x x x x x x x

được viết dưới dạng lũy

a
a
thừa với số mũ hữu tỉ có dạng x b , với
là phân số tối giản. Khi đó, biểu thức liên hệ giữa a
b

và b là.
A. a + b = 509

B. a + 2b = 767

C. 2a + b = 709

D. 3a − b = 510

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
1

3

x x x x x x x x = x x x x x x x.x 2 = x x x x x x x 2

1
2

 
= x x x x x x x ÷
 
3
2

= x x x x x x

15

7
4

15

= x x x x x.x

31

7
8

31

63

= x x x x x 8 = x x x x.x 16 = x x x x 16 = x x x.x 32 = x x x 32
63

127

127

255

255

= x x.x 64 = x x 64 = x.x 128 = x 128 = x 256
Do đó a = 255, b = 256
Nhận xét

x x x x x x x x =x

28 −1
28

255

= x 256

Câu 21: Cho a + b = c với a > 0, b > 0 và các mệnh đề dưới đây.
a) a m + b m < c m nếu m > 1
b) a m + b m > c m nếu 0 < m < 1
c) a m < c m nếu m > 1
d) a m > c m nếu 0 < m < 1
Có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
m

m

a b
a m + bm < cm ⇔  ÷ +  ÷ < 1
c c

Trang 7 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Do a + b = c và a > 0, b > 0 nên 0 <

a
b
< 1;0 < < 1
c
c

 a  m a
 ÷ <
m
m
c
a+b
 c 
a b
⇒

+
<
= 1( m > 1) ⇒ mệnh đề (a) đúng

÷

÷
m
c
c
c




b
b
 
<
  c ÷
c
 
Mệnh đề (b) chứng minh tương tự.
Mệnh đề (c) hiển nhiên đúng.
Câu 22: Cho a ≥ b ≥ c ≥ d > 0 và mệnh đề sau.
a a .bb .c c ≥ a b .b c .c a

I.

( a + 1)

II.

+ ( b + 1) ≥ ( a + 1) + ( b + 1)

c

d

d

c

Mệnh đề nào đúng?
A. Cả (I) và (II) đề sai.

B. (I) sai; (II) đúng.

C. (I) đúng; (II) sai.

D. Cả (I) và (II) đều đúng.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Ta có a ≥ b ≥ c ≥ d
Đặt a = b + x ( x ≥ 0 ) ; b = c + y ( y ≥ 0 ) ⇒ a = c + x + y
x

⇒ a .b .c = a
b

c

a

a−x

Do x, y ≥ 0;0 <

.b

b− y

.c

c+ x+ y

y

c c
= a .b .c  ÷ .  ÷
a b
a

b

c

c c
≤ ≤ 1 ⇒ a a .bb .c c ≥ a b .b c .c a (I) đúng
a b

Ta có a ≥ b > 0 ⇒ ( a + 1) ≥ ( b + 1) > 1
d

⇒ ( a + 1) . ( a + 1)

d

c−d

d

d
c −d
c
d
d
c
− 1 ≥ ( b + 1) . ( b + 1) − 1 ⇒ ( a + 1) + ( b + 1) ≥ ( a + 1) + ( b + 1)




án
1-A
11-A
21-C

2-B
12-C
22-D

3-A
13-B

4-A
14-C

5-B
15-C

6-B
16-B

7-D
17-A

8-C
18-C

9-C
19-C

CÁC PHÉP TOÁN VỀ LOGARIT
Trang 8 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

10-A
20-B

Đáp


A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ
α
số a của b và kí hiệu là log a b. Ta viết α = log a b ⇔ a = b

2. Tính chất: Cho a, b > 0, a ≠ 1, ta có


log a a = 1, log a 1 = 0



a log a b = b, log a ( aα ) = α

3. Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b1 , b2 với a ≠ 1, ta có


log a ( b1b2 ) = log a b1 + log a b2

4. Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a, b1 , b2 với a ≠ 1, ta có
b1
= log a b1 − log a b2
b2



log a



Đặc biệt: Với a, b > 0, a ≠ 1, log a

1
= − log a b
b

5. Lôgarit của lũy thừa: Cho a, b > 0, a ≠ 1, với mọi α , ta có


log a bα = α log a b



Đặc biệt: log a n b =

1
log a b
n

6. Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1, ta có
log c b
log c a



log a b =



Đặc biệt: log a c =

1
1
và log aα b = log a b với a ≠ 1
log c a
α

7. Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên


Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết: log10 b = log b = lg b



Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e. Viết: log e b = ln b

B. CÂU TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho a > 0, a ≠ 1, giá trị của biểu thức A = a log
A. 8

B. 16

a

4

C. 4

bằng bao nhiêu?
D. 2

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Trang 9 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ta có A = a log

a

4

=a

log

a1 2

4

= a 2loga 4 = a loga 16 = 16

Câu 2: Giá trị của biểu thức P = 2 log 2 12 + 3log 2 5 − log 2 15 − log 2 150 bằng bao nhiêu?
A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
+Tự luận
P = 2 log 2 12 + 3log 2 5 − log 2 15 − log 2 150 = log 2 122 + log 2 53 − log 2 ( 15.150 )
122.53
= log 2
=3
15.150
+Trắc nghiệm. Nhập biểu thức vào máy tính và nhấn calc ta thu được kết quả bằng 3.
Câu 3: Cho a > 0, a ≠ 1, giá trị của biểu thức B = 2 ln a + 3log a e −

3
2

có giá trị bằng
ln a log a e

bao nhiêu?
A. 4 ln a + 6 log a 4

B. 4 ln a

C. 3ln a −

2
log a e

D. 6 log a e

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
+Tự luận
B = 2 ln a + 3log a e − 3log a e − 2 ln a = 0 = 3ln a −

2
log a e

+Trắc nghiệm. Sử dụng máy tính, Thay a = 2 rồi lấy biểu thức đđ̃ cho trừ đi lần lượt các biểu
thức có trong đáp số, nếu kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp số.
Câu 4: Cho x = 2000!. Giá trị của biểu thức A =
A. 1

B. −1

1
1
1
+
+ ... +

log 2 x log 3 x
log 2000 x
C.

1
5

D. 2000

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Ta có A = log x 2 + log x 3 + ... + log x 2000 = log x ( 1.2.3...2000 ) = log x x = 1

π 
π 


Câu 5: Biểu thức B = log 2  2sin ÷+ log 2  cos ÷ có giá trị bằng
12 
12 


A. −2

B. −1

C. 1

D. log 2 3 − 1

Hướng dẫn: Chọn đáp án B

π 
π 
π
π 
1



 π
B = log 2  2sin ÷+ log 2  cos ÷ = log 2  2sin .cos ÷ = log 2  sin ÷ = log 2 = −1
12 
12 
12
12 
6
2




Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 6: Cho log 3 x = 4 log 3 a + 7 log 3 b ( a, b > 0 ) . Giá trị của x tính theo a, b là.
A. ab

B. a 4b

C. a 4b7

D. b 7

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
4 7
4 7
Ta có 4 log 3 a + 7 log 3 b = log 3 ( a b ) ⇒ x = a b

Câu 7: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a log3 7 = 27, blog7 11 = 49, c log11 25 = 11. Giá trị của biểu
thức a ( log3 7 ) + b( log7 11) + c ( log11 25) là.
2

2

2

A. 519

B. 729

C. 469

D. 129

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Ta có a ( log3 7 ) + b( log7 11) + c ( log11 25) = 27 log3 7 + 49log7 11 +
2

2

2

(

11

)

log11 25

1
2

= 7 + 11 + 25 = 469
3

2

−0,2

 a10 
Câu 8: Cho a > 0, b > 0, nếu viết log 5 
÷
6 5
 b 
A.

B.

1
3

= x log 5 a + y log5 b thì xy bằng bao nhiêu?
C. −

1
3

D. −3

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
−0,2

 a10 
Ta có log 5 
÷
6 5
 b 

1


1
1
= log 5  a −2 .b 6 ÷ = −2 log 5 a + log 5 b ⇒ xy = −
6
3



Câu 9: Số thực a thỏa điều kiện log 3 ( log 2 a ) = 0 là.
A.

1
3

B. 3

C.

1
2

D. 2

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Ta có log 3 ( log 2 a ) = 0 ⇒ log 2 a = 1 ⇒ a = 2
 a3 3 a 2 5 a 3
log
Câu 10: Giá trị của biểu thức
1 

a4 a
a 
A.

1
5

B.

3
4


÷ là
÷

C. −

211
60

D.

91
60

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
 a3 3 a 2 5 a 3
+Tự luận log 1 
a4 a
a 

211

211
÷ = − log a a 60 = −
÷
60


Trang 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 a3 3 a 2 5 a 3
+Trắc nghiệm. Sử dụng máy tính, Thay a=2, rồi nhập biểu thức log 1 
a4 a
a 
bấm =, được kết quả −


÷ vào máy
÷


211
60

Câu 11: Cho a = log 3 15; b = log 3 10. Khi đó giá trị của log 3 50 được tính theo a, b là
A. 2 ( a − b − 1)

B. 2 ( a + b − 1)

C. 2 ( a + b + 1)

D. 2 ( a − b + 1)

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
+Tự luận. Ta có a = log 3 15 = log 3 ( 3.5 ) = 1 + log 3 5 ⇒ log 3 5 = a − 1
Khi đó, log 3 50 ⇒ 2 log 3 ( 5.10 ) = 2 ( log 3 5 + log 3 10 ) = 2 ( a − 1 + b )
+Trắc nghiệm
Sử dụng máy tính. gán lần lượt log 3 15;log 3 10 cho A,
Lấy log 3 50 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Tìm các khẳng định đúng / khẳng định sai trong các biểu thức logarit đã cho.
3
2
Câu 12: Với giá trị nào của x thì biểu thức f ( x ) = log 5 ( x − x − 2 x ) xác định?

A. x ∈ ( 0;1)

B. x ∈ ( 1; +∞ )

C. x ∈ ( −1;0 ) ∪ ( 2; +∞ )

D. x ∈ ( 0; 2 ) ∪ ( 1; +∞ )

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Biểu thức f ( x ) xác định ⇔ x 3 − x 2 − 2 x > 0 ⇔ x ∈ ( −1;0 ) ∪ ( 2; +∞ )
Câu 13: Cho a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. a loga b = b
C. log b c =

log a c
log a b

B. log a b = log a c ⇔ b = c
D. log a b > log a c ⇔ b > c

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Câu D sai, vì khẳng định đó chỉ đúng khi a > 1, còn khi 0 < a < 1 ⇒ log a b > log a c ⇔ b < c
Câu 14: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
2
2
A. log a x = 2 log a x ( x > 0 )

B.

C. log a xy = log a x + log a y

D. log a xy = log a x + log a y ( xy > 0 )

Hướng dẫn: Chọn đáp án D

Trang 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Do x , y > 0 ⇒ log a xy = log a x + log a y ( xy > 0 )
Câu 15: Cho x, y > 0 và x 2 + 4 y 2 = 12 xy. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
 x + 2y 
A. log 2 
÷ = log 2 x − log 2 y
 4 

B. log 2 ( x + 2 y ) = 2 +

C. log 2 ( x + 2 y ) = log 2 x + log 2 y + 1

D. 4 log 2 ( x + 2 y ) = log 2 x + log 2 y

1
( log 2 x + log 2 y )
2

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Ta có. Chọn B là đáp án đúng, vì
x 2 + 4 y 2 = 12 xy ⇔ ( x + 2 y ) = 16 xy ⇔ log 2 ( x + 2 y ) = log 2 16 xy
2

2

⇔ log 2 ( x + 2 y ) = 4 + log 2 x + log 2 y ⇔ log 2 ( x + 2 y ) = 2 +

1
( log 2 x + log 2 y )
2

Câu 16: Trong các số sau, số nào lớn nhất?
A. log

5
6

3

B. log 3

5
6

C. log 1
3

6
5

D. log 3

6
5

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
+ Tự luận. Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh
Ta thấy log 3

6
5
6
> log 3 = log 1 = log
5
6
3 5

3

5
6

+ Trắc nghiệm. Sử dụng máy tính, lấy 1 số bất kỳ trừ đi lần lượt các số còn lại, nếu kết quả
>0 thì giữ nguyên số bị trừ và thay đổi số trừ là số mới; nếu kết quả <0 thì đổi số trừ thành số
bị trừ và thay số
trừ là số còn lại; lặp lại đến khi có kết quả
Câu 17: Các số log 3 2, log 2 3, log 3 11 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là.
A. log 3 2, log 3 11, log 2 3

B. log 3 2, log 2 3, log 3 11

C. log 2 3, log 3 2, log 3 11

D. log 3 11, log 3 2, log 2 3

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Ta có log 3 2 < log 3 3 = 1 = log 2 2 < log 2 3 < log 3 11
Câu 18: Với giá trị nào của m thì biểu thức f ( x ) = log

5

( x − m)

xác định với mọi

x ∈ ( −3; +∞ )
A. m > −3

B. m < −3

C. m ≤ −3

D. m ≥ −3

Hướng dẫn: Chọn đáp án C

Trang 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Biểu thức f ( x ) xác định ⇔ x − m > 0 ⇔ x > m
Để f ( x ) xác định với mọi x ∈ ( −3; +∞ ) thì biểu thức m ≤ −3
Câu 19: Với giá trị nào của m thì biểu thức f ( x ) = log 1 ( 3 − x ) ( x + 2m ) xác định với mọi
2

x ∈ [ −4; 2]
B. m ≥

A. m ≥ 2

3
2

C. m > 2

D. m ≥ −1

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Thay m = 2 vào điều kiện ( 3 − x ) ( x + 2m ) > 0 ta được ( 3 − x ) ( x + 4 ) > 0 ⇔ x ∈ ( −4;3) mà

[ −4; 2] ⊄ ( −4;3) nên các đáp án A, B, D loại. Ta chọn đáp án đúng là C
Câu 20: Với mọi số tự nhiên n, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. n = log 2 log 2 1 4 2...432

B. n = − log 2 log 2 1 4 2...432

C. n = 2 + log 2 log 2 1 4 2...432

D. n = 2 − log 2 log 2 1 4 2...432

n can bac hai

n can bac hai

n can bac hai

n can bac hai

Hướng dẫn: Chọn đáp án
+Tự luận.
−m
Đặt − log 2 log 2 1 4 2...432 = m. Ta có log 2 1 4 2...432 = 2 ⇔
n can bac hai

Ta thấy

1
2

2=2 ,

n can bac hai

2

2 =2

... 2 = 2 2− m

1
 ÷
 2

n

,...,

... 2 = 2

1
 ÷
 2

= 22−n

Do đó ta được 2= m = 2− n ⇔ m = n. Vậy n = − log 2 log 2 1 4 2...432
n can bac hai

+Trắc nghiệm. Sử dụng máy tính Casio, lấy n bất kì, chẳng hạn n = 3. 
Nhập biểu thức n = − log 2 log 2

2 (có 3 dấu căn vào máy tính ta thu được kết quả bằng

–3.
Câu 21: Cho a, b, c > 0 đôi một khác nhau và khác 1, Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
2 c
2 a
2 b
A. log a .log b .log c = 1
b b
c c
a a

2
B. log a
b

c
a
b
.log 2b .log 2c > 1
b
c c
a a

Trang 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2
C. log a
b

c
a
b
.log 2b .log 2c > −1
b
c c
a a

2 c
2 a
2 b
D. log a .log b .log c < 1
b b
c c
a a

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
−1

2

b
c
b 
c
c
c
log a = log a  ÷ = − log a ⇒ log 2a =  − log a ÷ = log 2a
c
b
c 
b
b
b
log a b.log b c.log c a = 1 ⇔ log a b.log b a = log a a = 1
Từ 2 kết quả trên ta có.
2

c
a
b 
c
a
b
log .log 2b .log 2c =  log a .log b .log c ÷ = 1
b
c c
a a
c c
a a
 bb
2
a
b

Câu 22: Gọi ( x; y ) là nghiệm nguyên của phương trình 2 x + y = 3 sao cho P = x + y là số
dương nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. log 2 x + log 3 y không xác định.

B. log 2 ( x + y ) = 1

C. log 2 ( x + y ) > 1

D. log 2 ( x + y ) > 0

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Vì x + y > 0 nên trong hai số x vày phải có ít nhất một số dương mà x + y = 3 − x > 0 nên suy
ra x < 3 mà x nguyên nên x = 0; ±1; ±2;...
+ Nếu x = 2 suy ra y = −1 nên x + y = 1
+ Nếu x = 1 suy ra y = 1 nên x + y = 2
+ Nếu x = 0 suy ra y = 3 nên x + y = 3
+ Nhận xét rằng. x < 2 thì x + y > 1 . Vậy x + y nhỏ nhất bằng 1
Suy ra. Chọn đáp án A.
Câu 23: Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức
log 2 a + log 3 a + log 5 a = log 2 a.log 3 a.log 52 a
A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Hướng dẫn: Chọn đáp án
⇔ log 2 a + log 3 2 log 2 a + log 5 2.log 2 a = log 2 a.log 3 5.log 5 a.log 52 a
⇔ log 2 a ( 1 + log 3 2 + log 5 2 ) = log 2 a.log 3 5.log 52 a
⇔ log 2 a ( 1 + log 3 2 + log 5 2 − log 3 5.log 52 a ) = 0

Trang 15 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


log 2 a = 0

log 2 a = 0


⇔
⇔ 2
1 + log 3 2 + log 5 2
2
log 5 a =
1 + log 3 2 + log 5 2 − log 3 5.log 5 a = 0

log 3 5

a=0



1+ log 3 2 + log 5 2
±

log3 5
a = 5
Đáp án
1-B
11-B
21-A

2-B
12-C
22-A

3-C
13-D
23-A

4-A
14-D

5-B
15-B

6-C
16-D

7-C
17-B

8-C
18-C

9-D
19-C

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1
Trang 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

10-C
20-B


Câu 1: Nghiệm của phương trình 2 x +2 x +1 =3x +3x +1 là.
3
.
4

A. log 3
2

B. x =1

D. x =log 4

C. x =0

3

2
.
3

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
x

2 +2

x +1

æ3 öx 3
3
x
x
ç
Û
3.2
=
4.3
Û
=3 +3
ç ÷
÷ = Û x =log 3
è2 ø 4
2 4
x

x +1

Cách khác. Thử đáp án bằng nút Calc
Câu 2: Nghiệm của phương trình 22 x - 3.2 x+2 +32 =0 là.
B. x ∈ {2;3}.

A. x Î {4;8}.

C. x ∈ {2;8}.

D. x ∈ {3; 4}.

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
2 − 3.2
2x

x+ 2

2x = 8
x = 2
⇔ 
+ 32 = 0 ⇔ 2 − 12.2 + 32 = 0 ⇔  x
x = 3
2 = 4
2x

x

Cách khác. Thử đáp án bằng nút Calc
Câu 3: Nghiệm của phương trình 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 0 là.
2 3
B. x ∈  ;  .
3 2

A. x ∈ {0; −1}.

C. x ∈ {−1;1}.

D. x ∈ {0;1}.

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
2x

x

3
3
6.4 − 13.6 + 6.9 = 0 ⇔ 6  ÷ − 13  ÷ + 6 = 0
2
2
x

x

x

 3  x 3
 ÷ =
2
x = 1
2
⇔ 
⇔ 
x
 3
 x = −1
 ÷ = 2
3
 2 
Cách khác. Thử đáp án bằng nút Calc
Câu 4: Nghiệm của phương trình 12.3x + 3.15 x − 5x+1 = 20 là.
A. x = log 3 5 − 1

B. x = log 3 5.

C. x = log 3 5 + 1 .

D. x = log 5 3 − 1.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
12.3x + 3.15 x − 5 x+1 = 20
⇔ 3.3x (5 x + 4) − 5(5 x + 4) = 0 ⇔ (5 x + 4)(3x +1 − 5) = 0 ⇔ 3x +1 = 5 ⇔ x = log 3 5 − 1
Cách khác. Thử đáp án bằng nút Calc
Câu 5: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4 x
A. x ∈ {−5; −1;1; 2}.

B. x ∈ {−5; −1;1;3}.

2

−3 x + 2

+ 4x

2

+ 6 x +5

= 42 x

2

C. x ∈ {−5; −1;1; −2}.

+3 x + 7

+ 1.

D. x ∈ {5; −1;1; 2}.

Trang 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Hướng dẫn: Chọn đáp án A
4x

2

−3 x + 2

⇔ 4x

2

+ 4x

−3 x + 2

2

+ 6 x +5

(1 − 4 x

= 42 x
2

+6 x+5

2

+3 x + 7

+ 1 ⇔ 4x

) − (1 − 4 x

2

+ 6 x +5

2

−3 x + 2

+ 4x

2

+ 6 x +5

(

) = 0 ⇔ 4x

2

= 4x

−3 x + 2

2

−3 x + 2

.4 x

)(

−1 1 − 4x

2

2

+6 x +5

+6 x +5

+1

) =0

 4 x −3 x + 2 − 1 = 0
 x 2 − 3x + 2 = 0
 x = −1 ∨ x = −5
⇔ 



 x = 1∨ x = 2
2
2
1 − 4 x + 6 x + 5 = 0

 x + 6x + 5 = 0
2

Cách khác. Thử đáp án bằng nút Calc
2

2

Câu 6: Phương trình 9sin x + 9cos x = 6 có họ nghiệm là ?
A. x =

π kπ
+
, ( k ∈ ¢ ).
4 2

B. x =

π kπ
+
, ( k ∈ ¢ ).
2 2

C. x =

π kπ
+
, ( k ∈ ¢ ).
6 2

D. x =

π kπ
+
, ( k ∈ ¢ ).
3 2

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
2

9

2

2
2
1− cos x
+ 91−sin x = 6 ⇔
9sin x + 9cos x = 6 ⇔ 9

Đặt t= 9cos x , (1 ≤ t ≤ 9). Khi đó. (*) ⇔
2

2

9

cos2 x

2
+ 9cos x − 6 = 0 (*)

9
+ t − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 9 = 0 ⇔ t = 3
t

2

cos x
= 3 ⇔ 32cos x = 31 ⇔ 2 cos 2 x − 1 = 0 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x =
Với t = 3 ⇒ 9

π kπ
+
, (k ∈ ¢)
4 2

Cách khác. Thử đáp án bằng nút Calc
TỔNG TÍCH NGHIỆM
28

Câu 7: Cho phương trình. 2 3 x +4 =16 x2 - 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
B. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.
D. Phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn: Chọn đáp án A

Trang 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2

28
x +4
3

ỡ x Ê - 1 x 1
ùù
7 x +3 =3 x 2 - 3
ớộ

ùờ
ùợ ở7 x +3 =- 3x 2 +3

28
x +4 =4( x 2 - 1)
x2 - 1
=16
3

ỡ x Ê - 1 x 1
ù
ùộ
2
ù ờx =3 x =ớờ
3
ùờ
7
ùờ
ù ờx =0 x =3
ợở





ộx =3


7.
ờx =3

ỡù 7 ỹ
ù
Nghim ca phng trỡnh l. S =ớ - ;3ý.
ùợ 3 ùỵ
Vỡ -

7
.3 =- 7 <0.
3

Cỏch khỏc. Dựng casio bng t h phớm Shift Calc gii phng trỡnh tỡm nghim.
2

2

Cõu 8: Phng trỡnh 28- x .58- x =0, 001.(105 )1- x cú tng cỏc nghim l.
A. -5

B. 7

C. -7

D. 5

Hng dn: Chn ỏp ỏn D
2

2

2

28- x .58- x =10- 3.105- 5 x 108- x 8 - x 2 =2 - 5 x x =- 1; x =6
Ta cú. -1+6=5.
Cõu

9:

Gi

x1 , x2 ( x1
l

hai

nghim

ca

phng

trỡnh

8 x +1 +8.(0,5)3 x +3.2 x +3 =125 - 24.(0.5) x . Tớnh giỏ tr P =3 x1 +4 x2 .
A. 1

B. -2

C. 0

D. 2

Hng dn: Chn ỏp ỏn A
ổx 1 ử
ổx 1 ử
8 x +1 +8.(0,5)3 x +3.2 x +3 =125 - 24.(0.5) x 8 ỗ
ỗ8 + x ữ
ữ+24 ỗ
ỗ2 + x ữ
ữ- 125 =0
8 ứ
2 ứ


ổ x 1 ử3
1 5
x
8ỗ
ỗ2 + x ữ
ữ =125 2 + x =
2 ứ
2
2


ổx 1 ử x

ỗ2 - ữ
ữ.(2 - 2) =0 x =1 ị x1 =- 1, x2 =1 ị P =- 3 +4 =1
2ứ


Cỏch khỏc. Dựng casio bng t hp phớm Shift Calc gii phng trỡnh tỡm nghim.
Cõu 10: Cho phng trỡnh 4.4 x - 9.2 x+1 +8 =0 . Gi x1 , x2 l hai nghim ca phng trỡnh
trờn. Khi ú, tớch x1.x2 bng.
A. 2

B. -2

C. -1

D. 1

Hng dn: Chn ỏp ỏn B
t t =2 x (t >0), khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi
Trang 19 http://dethithpt.com Website chuyờn thi th file word cú li gii


4t 2 - 18t +8 =0 Û

ét =4
ê
ê 1 Û
êt =
ë 2

éx1 =2
ê
ê
ëx2 =- 1

Vậy x1.x2 =- 1.2 =- 2.
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
Câu 11: Cho phương trình 9 x

2

+x - 1

- 10.3x

2

+x - 2

+1 =0 . Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

là.
A. 0

B. 2

C. 1

D. -2

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Đặt t =3x

2

+x - 1

(t >0) , khi đó phương trình đã cho tương đương với

ét =3
ê
3t 2 - 10t +3 =0 Û ê 1 Û
êt =
ë 3

é3x2 +x - 1 =3
ê
ê 2
Û
ê3x +x - 1 =1
ê
3
ë

éx =- 2
ê
êx =1
ê
êx =0
ê
ê
ëx =- 1

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng -2.
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
Câu 12: Phương trình 9 x - 5.3x +6 =0 có tổng các nghiệm là.
A. log 3 6.

2
B. log 3 .
3

3
C. log 3 .
2

D. - log 3 6.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
9 x - 5.3x +6 =0 (1)
(1) Û (32 ) x - 5.3x +6 =0 Û (3x ) 2 - 5.3x +6 =0 (1’)
Đặt t =3x >0 . Khi đó. (1’) Û t 2 - 5t +6 =0 Û

ét =2 ( N )
ê
ê
ët =3 ( N )

x
Với t =2 Þ 3 =2 Û x =log 3 2.
x
Với t =3 Þ 3 =3 Û x =log 3 3 =1.

Suy ra 1 +log 3 2 =log 3 3 +log 3 2 =log 3 6
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
Câu 13: Phương trình 5 x +251- x =6 có tích các nghiệm là.
æ1 + 21 ö
÷
A. log 5 ç
ç 2 ÷.
è
ø

æ1 - 21 ö
÷
B. log 5 ç
ç 2 ÷.
è
ø

C. 5.

æ1 + 21 ö
÷
D. 5log 5 ç
ç 2 ÷.
è
ø

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Trang 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


5 x +251- x =6 (1)
25
25
25
x
x
x
(1)Û 5 + x - 6 =0 Û 5 + x 2 - 6 =0 Û 5 + 2 x - 6 =0 (6’). Đặt t =5 x >0 .
25
(5 )
(5 )

25
3
2
2
Khi đó. (6’)Û t + 2 - 6 =0 Û t - 6t +25 =0 Û (t - 5)(t - t - 5) =0 Û
t

é
(N )
êt =5
ê
ê
êt =1 + 21 ( N )
ê
2
ê
ê 1 - 21
êt =
( L)
ê
ë
2

Với t =5 Þ 5 x =5 Û x =1.
æ1 + 21 ö
1 + 21
1 + 21
÷
Þ 5x =
Û x =log 5 ç
Với t =
ç 2 ÷.
2
2
è
ø
æ1 + 21 ö
æ
ö
÷=log5 ç1 + 21 ÷
Suy ra 1.log 5 ç
ç 2 ÷
ç 2 ÷
è
ø
è
ø
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
Câu 14: Phương trình 2 x - 3 =3x

2

- 5 x +6

có hai nghiệm x1 , x2 trong đó x1
biểu đúng?
A. 3 x1 - 2 x2 =log 3 8.

B. 2 x1 - 3x2 =log 3 8.

C. 2 x1 +3 x2 =log 3 54. D. 3 x1 +2 x2 =log 3 54.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được. (3) Û log 2 2 x - 3 =log 2 3x

2

- 5 x +6

Û ( x - 3) log 2 2 =( x 2 - 5 x +6) log 2 3 Û ( x - 3) - ( x - 2)( x - 3) log 2 3 =0
Û ( x - 3).[1 - ( x - 2) log 2 3] =0

éx =3
ê
ê
1 Û
êx - 2 =
log 2 3
ê
ë

Û

éx =3
ê
Û
ê
ëx =log 3 2 +2

éx - 3 =0
ê
ê
ë1 - ( x - 2) log 2 3 =0

éx =3
ê
Û
ê
ëx =log 3 2 +log 3 9

Û

éx =3
ê
ê
ë( x - 2) log 2 3 =1

éx =3
éx =3
ê
Þ ê2
ê
ê
ëx =log 3 18
ëx1 =log3 18

Suy ra. 3 x1 - 2 x2 =log3 8.
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
Câu 15: Phương trình 33+3 x +33- 3 x +34+x +34- x =103 có tổng các nghiệm là ?
A. 3

B. 2

C. 0

Û

D. 4

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Trang 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


33+3 x +33- 3 x +34+x +34- x =103 (7)
3x
(7) ⇔ 27.3 +

Đặt t = 3x +

27
81
1

+ 81.3x + x = 103 ⇔ 27.  33 x + 3 x
3x
3
3
3



 x 1
÷+ 81.  3 + x
3




3
÷ = 10 (7’)


1 Cos i
1
≥ 2 3x. x = 2
x
3
3
3

1
1
1
1
1

⇒ t =  3x + x ÷ = 33 x + 3.32 x. x + 3.3x. 2 x + 3 x ⇔ 33 x + 3 x = t 3 − 3t
3 
3
3
3
3

3

Khi đó. (7’) ⇔ 27(t 3 − 3t ) + 81t = 103 ⇔ t 3 =
Với t =

10
1 10
⇒ 3x + x =
3
3
3

103
10
⇔ t = > 2( N )
27
3

(7’’)

Đặt y = 3 > 0. Khi đó. (7’’) ⇔ y +
x

 y = 3( N )
1 10
=
⇔ 3 y 2 − 10 y + 3 = 0 ⇔ 
 y = 1 (N )
y 3
3


Voiws y = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ x = 1
Voiws y =

1
1
⇒ 3x = ⇔ x = −1
3
3

Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
Câu 16: Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình 2 x2 + 4 = 22( x 2 +1) + 22( x 2 + 2) − 2 x 2 +3 + 1. Khi
đó, tổng hai nghiệm bằng?
A. 2.

B. 0.

C. -2.

D. 1.

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
2x

2

+4

= 22( x

2

+1)

+ 22( x

2

+ 2)

− 2x

2

+3

+ 1 ⇔ 8.2 x

2

+1

= 22( x

2

+1)

+ 4.22( x

2

+1)

− 4.2 x

2

+1

+1

2

Đặt t = 2 x +1 (t ≥ 2), phương trình trên tương đương với
8t = t 2 + 4t 2 − 4t + 1 ⇔ t 2 − 6t − 1 = 0 ⇔ t = 3 + 10 (vì t ≥ 2 ). Từ đó suy ra

3 + 10
 x1 = log 2
2
2

2 x +1 = 3 + 10 ⇔ 
 x = − log 3 + 10
2
 2
2
Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
ĐẾM NGHIỆM
Trang 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


x

1
Câu 17: Phương trình 31− x = 2 +  ÷ có bao nhiêu nghiệm âm?
9
A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 0.

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
x

x

2x

3
1
1
1
Phương trình tương đương với x = 2 +  ÷ ⇔ 3.  ÷ = 2 +  ÷ .
3
9
 3
 3
x

1
Đặt t =  ÷ , t > 0. Phương trình trở thành 3t = 2 + t 2 ⇔ t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔
3

t = 1
t = 2 .


x

1
• Với t = 1, ta được  ÷ = 1 ⇔ x = 0.
 3
x

1
• Với t = 2, ta được  ÷ = 2 ⇔ x = log 1 2 = − log 3 2 < 0.
 3
3
• Vậy phương trình có một nghiệm âm.
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
2 x+2

x
2

 1 
Câu 18: Số nghiệm của phương trình 9 + 9. 
÷
 3
A. 0.

B. 4.

− 4 = 0 là.

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
x +1

1
Phương trình tương đương với 3x + 9.  ÷ − 4 = 0
3
x

1
1
⇔ 3x + 3.  ÷ − 4 = 0 ⇔ 3x + 3. x − 4 = 0 ⇔ 32 x − 4.3x + 3 = 0.
3
 3
t = 1
Đặt t = 3x , t > 0. Phương trình trở thành t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔ 
.
t = 3
• Với t=1, ta được 3x = 1 ⇔ x = 0.
• Với t = 3, ta được 3x = 3 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1.
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
Câu 19: Cho phương trình 21+ 2 x + 15.2 x − 8 = 0, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Có hai nghiệm âm

B. Vô nghiệm

C. Có hai nghiệm dương

D. Có một nghiệm

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Trang 23 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


21+ 2 x + 15.2 x − 8 = 0 (2)
(2) ⇔ 2.22 x + 15.2 x − 8 = 0 ⇔ 2.(2 x ) 2 + 15.2 x − 8 = 0 (2’)
 1
t = (N )
Đặt t = 2 x > 0. Khi đó. (2’) ⇔ 2t 2 + 15t − 8 = 0 ⇔  2

t = −8( L)
Voiws t =

1
1
1
⇒ 2 x = ⇔ x = log 2 ⇔ x = −1
2
2
2

Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
Câu 20: Phương trình ( 3 − 2) x + ( 3 + 2) x = ( 10) x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?
A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
x

x

 3− 2  3+ 2
( 3 − 2) + ( 3 + 2) = ( 10) ⇔ 
÷
÷
÷ + 
÷ =1
10
10

 

x

x

x

x

x

 3− 2  3+ 2 
Xét hàm số f ( x ) =⇔ 
÷ + 
÷
10 ÷
10 ÷

 

Ta có f (2) = 1
Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ¡ do các cơ số

3− 2
3+ 2
< 1;
<1
10
10

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
Câu 21: Phương trình 32 x + 2 x(3x + 1) − 4.3x − 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?
A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
32 x + 2 x(3x + 1) − 4.3x − 5 = 0 ⇔ (32 x − 1) + 2 x(3x + 1) − (4.3x + 4) = 0
⇔ (3x − 1)(3x + 1) + (2 x − 4)(3x + 1) = 0 ⇔ (3x + 2 x − 5)(3x + 1) = 0 ⇔ 3x + 2 x − 5 = 0
Xét hàm số f ( x ) = 3x + 2 x − 5, ta có. f (1) = 0.
f '( x ) = 3x ln 3 + 2 > 0; ∀x ∈ ¡ . Do đó hàm số f ( x) đồng biến trên ¡ .
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1.
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
Câu 22: Hỏi phương trình 3.2 x + 4.3x + 5.4 x = 6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?
A. 2.

B. 4.

C. 1.

D. 3.

Trang 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Hướng dẫn: Chọn đáp án C
x

x

x

2
3
4
pt ⇔ 3.  ÷ + 4.  ÷ + 5.  ÷ − 6 = 0
5
5
5
x

x

x

2
3
4
Xét hàm số f ( x ) = 3.  ÷ + 4.  ÷ + 5.  ÷ − 6 = 0 liên tục trên ¡ .
5
5
5
x

x

x

2
3
4
2
3
4
Ta có. f '( x ) = 3.  ÷ .ln + 4.  ÷ .ln + 5.  ÷ .ln < 0, ∀x ∈ ¡
5
5
5
5
5
5
Do đó hàm số luôn nghịch biến trên ¡ mà f (0) = 6 > 0, f (2) = −22 < 0 nên phương trình
f ( x) = 0 có nghiệm duy nhất.
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
1

x 1

Câu 23: Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 2 x + 4 x + 2 4 + x = 4 là
A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 0.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Điều kiện x ≠ 0
- Nếu x > 0 ⇒ x +

1
1
x 1
≥ 1, dấu bằng xảy ra khi x =
và + ≥ 1, dấu bằng xảy ra khi
4x
2
4 x
1

x 1

x = 2 suy ra 2 x + 4 x + 2 4 + x > 4, ∀x > 0
- Nếu x < 0 ⇒ − x −

1
x+
1
1
1
1

≥1⇒ x +
≤ −1 ⇒ 2 4 x ≤ , dấu bằng xảy ra khi x = −
2
4x
4x
2

x 1
+
x 1
x 1
1
− − ≥ 1 ⇒ + ≤ −1 ⇒ 2 4 x ≤ , dấu bằng xảy ra khi x = −2
4 x
4 x
2
1

x 1

Suy ra 2 x + 4 x + 2 4 + x < 1, ∀x < 0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Cách khác. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.
Câu 24: Cho phương trình (7 + 4 3) x + (2 + 3) x = 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ.

B. Phương trình có một nghiệm hữ tỉ.

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

D. Tích của hai nghiệm bằng -6.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
(7 + 4 3) x + (2 + 3) x = 6. (8)

Trang 25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×