Tải bản đầy đủ

Bài toán vận dụng cao chủ đề 3 NGUYÊN hàm – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG có lời giải file word

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Gọi S  t  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
y
2 , y  0 , x  0 , x  t (t  0) . Tìm lim S  t  .
t ��
 x  1  x  2 
1
A.  ln 2  .
2

1
B. ln 2  .
2

C.

1
 ln 2 .
2


1
D. ln 2  .
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1:
*Tìm a, b, c sao cho

1

 x  1  x  2 

2



a
bx  c

x  1 ( x  2) 2

� 1  a  x  2    bx  c   x  1 � 1  ax 2  4ax  4a  bx 2  bx  cx  c
2

a b  0
a 1




4a  b  c  0 � �
b  1 .
� 1   a  b  x   4a  b  c  x  4a  c � �


4a  c  1
c  3



2

*Vì trên  0;t  , y 

1

 x  1  x  2 

2

 0 nên ta có:

t �
t �

1
1
x3 �
d
x


dx




Diện tích hình phẳng: S  t   �
� x  1  x  2  2 � �
�x  1  x  2  2 �
0�
0



t
�1
1
1 � � x 1
1 �
�


dx  ln




�x  1  x  2   x  2  2 � �
0�
� � x  2 x  2 �0
t

 ln

t 1
1
1

 ln 2  .
t2 t2
2

1
�t  1 �
�t  1 �
 1 � lim ln � � 0 và lim
0
*Vì tlim


� � t  2
t ��
t � � t  2
� �
�t  2 �

1
1�
1
� t 1
S  t   lim �
ln

 ln 2  � ln 2  .
Nên tlim
��
t ��
2�
2
� t2 t2
Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


t �

1
dx


Diện tích hình phẳng: S  t   �
� x  1  x  2  2 �
0�




1
dx �0,193



� x  1  x  2  2 �
0 �


100

Cho t  100 ta bấm máy 

Dùng máy tính kiểm tra 4 kết quả ta được đáp án B.


Câu 2: (NGUYỄN

KHUYẾN

TPHCM)

Cho

các

tích

phân

1
I �
dx
1  tan x
0





sin x
�
J �
dx với  ��
0; �, khẳng định sai là

cosx  sin x
� 4�
0


cos x
dx .
A. I  �
cosx  sin x
0

B. I  J  ln sin   cos .

C. I  ln 1  tan  .

D. I  J   .
Hướng dẫn giải

Chọn C
1
1
cos 


sin  cos   sin  nên A đúng.
Ta có 1  tan 
1
cos 

d  cos x  sin x 
cos x  sin x
IJ �
dx  �
 ln cos x  sin x
cos x  sin x
cos x  sin x
0
0



0

 ln cos   sin  B đúng



IJ �
dx  x 0   D đúng.
0

Câu 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f  x  

x

 4t

1

3

 8t  dt . Gọi m, M lần lượt

là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f  x  trên đoạn  0; 6 . Tính
M m.
A. 18
B. 12
C. 16
D. 9
Hướng dẫn giải
f  x 

x

 4t


3

1

 8t  dt   t 4  4t 2 

x
1

 x 2  4 x  3 , với x �0 .

f�
 x   2 x  4; f �
 x   0 � x  2 � 1;6 .
f  0   3; f  2   1; f  6   15 . Suy ra M  15, m  1 . Suy ra M  m  16 .
Đáp án: C.


x  1 x


Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử

2017

 1 x
dx 

a

a

các số nguyên dương. Tính 2a  b bằng:
A. 2017 .
B. 2018 .
C. 2019 .

 1 x


b

b

 C với a, b là

D. 2020 .

Hướng dẫn giải
Ta có:

x  1 x


2017

dx  �
 x  1  1  1  x 

2017



dx  �
1 x

2017

 1 x

2018



 1 x
dx  

2018

2018

1 x


2019

2019

C

Vậy a  2019, b  2018 � 2a  b  2020 .
Chọn D.
Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  
1
3
và F  0    ln 4 . Tập nghiệm S của phương trình 3F  x   ln  x  3  2 là:
3
A. S   2 .
B. S   2; 2 .
C. S   1; 2 .
D. S   2;1 .

1
e 3
x

Hướng dẫn giải
dx
1 � ex � 1
 �
1
dx  x  ln  e x  3  C .
Ta có: F  x   �x


e  3 3 � ex  3 � 3









1
1
Do F  0    ln 4 nên C  0 . Vậy F  x   x  ln  e x  3 .
3
3
x
Do đó: 3F  x   ln  e  3  2 � x  2

Chọn A.
Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f ( x), g ( x) là các hàm số liên tục trên đoạn

 2; 6

và thỏa mãn

3

6

6

2

3

3

f ( x )dx  3; �
f ( x)dx  7; �
g ( x) dx  5 .


Hãy tìm mệnh đề

KHÔNG đúng.
6

[3 g ( x)  f ( x)]dx  8
A. �
3

3

[3 f ( x)  4]dx  5
B. �
2

ln e6

ln e6

C.

�[2f ( x)  1]dx  16
2

D.

�[4 f ( x)  2 g ( x)]dx  16
3

Hướng dẫn giải
3

6

6

2

3

2

f ( x)dx  �
f ( x)dx  �
f( x )dx  10

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


6

6

6

3

3

3

[3 g ( x )  f ( x )]dx  3�
g ( x )dx  �
f ( x )dx  15  7  8 nên A đúng
Ta có: �
3

3

3

2

2

2

[3 f ( x)  4]dx  3�
f( x) dx  4 �
dx  9  4  5


nên B đúng

ln e6

6

6

6

2

2

2

2

[2f ( x)  1]dx  2 �
f( x) dx  1�
dx  20  4  16 nên C đúng
�[2f ( x) 1]dx  �

ln e6

6

6

6

3

3

3

3

[4f ( x)  2 g ( x)]dx  4 �
f( x) dx  2 �
g ( x) dx  28  10  18
�[4f ( x)  2 g ( x)]dx  �

Nên D sai
Chọn đáp án D
Câu 7: (NGUYỄN
KHUYẾN
TPHCM)
Giả
2x
3
2
3
2
2x
e (2 x  5 x  2 x  4)dx  (ax  bx  cx  d )e  C . Khi đó a  b  c  d bằng

A. -2
B. 3
C. 2
D. 5

sử

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta

 (ax


3

e (2 x

2x

3

 5 x 2  2 x  4)dx  (ax 3  bx 2  cx  d )e 2 x  C

nên

 bx 2  cx  d )e2 x  C  '  (3ax 2  2bx  c)e 2 x  2e2 x (ax3  bx 2  cx  d )
  2ax3  (3a  2b) x 2  (2b  2c) x  c  2d  e 2 x
 (2 x3  5 x 2  2 x  4)e 2 x

2a  2
a 1




3a  2b  5
b 1


��
Do đó �
. Vậy a  b  c  d  3 .
2
b

2
c


2
c


2




c

2
d

4
d 3


5

Câu 8: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết

�f ( x)dx  15

. Tính giá trị của

1
2

P�
[f (5  3x )  7]dx
0

A. P  15

B. P  37

C. P  27
Hướng dẫn giải

D. P  19


t  5  3x � dx  
Để

tỉnh

ta

P

đặt

dt
3

x  0�t 5
x  2 � t  1

nên

1

5
5
5

dt
1
1�
P�
[f (t )  7]( )  �
[f (t )  7]dt  ��
f (t ) dt  7 �
dt �
3
3 1
3 �1
5
1


1
1
 .15  .7.(6)  19
3
3
chọn đáp án D
Câu 9: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số
� �
f ' � � 2 và
�2 �

f  x   a sin 2 x  b cos 2 x thỏa mãn

b

adx  3


. Tính tổng a  b bằng:

a

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 8.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

f '  x   2a cos 2 x  2b sin 2 x
� �
f ' � � 2 � 2a  2 � a  1
�2 �
b

b

a

1

adx  �
dx  3 � b  1  3 � b  4

Vậy a  b  1  4  5.
ln 2

1
5

dx  ln a 2  b ln 2  c ln . Trong

1 �
2
3
0
đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó S  a  b  c bằng:
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .

Câu 10:(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Biết rằng:



�x 

� 2e

1

x

Hướng dẫn giải
Chọn C.
ln 2
ln 2
ln 2
1 �
1

x

d
x

x
d
x

dx .

� �
x
x


2e  1 � 0
2e  1
0 �
0
ln 2

x2
xdx 
Tính �
2
0
ln 2

Tính

�2e
0

1
x

1

ln 2


0

ln 2 2
2

dx

Đặt t  2e x  1 � dt  2e x dx � dx 

dt
. Đổi cận : x  ln 2 � t  5, x  0 � t  3 .
t 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ln 2

5

5

dt
�1 1 �
dx  �
�
dt   ln t  1  ln t
�  �
x

2
e

1
t
t

1
t

1
t




0
3
3

ln 2

1



5
3

5
 ln 4  ln 5  ln 2  ln 3  ln 2  ln .
3

5
� 1 2
dx  ln 2  ln 2  ln � a  2, b  1, c  1

1� 2
3
0
Vậy a  b  c  4 .


�x 

� 2e

1

x

Câu 11:(LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  của hàm số
1
y   x 2  4 x  3 và hai tiếp tuyến của  C  xuất phát từ M  3; 2  là
2
8
5
13
11
.
.
A. .
B. .
C.
D.
3
3
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn A

Ta có y �

1
 2 x  4  x  2 .
2

Gọi  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm. Khi đó, y0 

1 2
 x0  4 x0  3 và y� x0   x0  2 .
2

Phương trình của tiếp tuyến của  C  tại điểm có tọa độ  x0 ; y0  là
y   x0  2   x  x0  

1 2
 x0  4 x0  3
2

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M  3; 2  nên
2   x0  2   3  x0  

x0  1 � y   x  1

1 2
x0  4 x0  3 � �

x0  5 � y  3x  11
2


Diện tích hình phẳng cần tìm

S

1


x
��
2

3

1

2


 4 x  3    x  1 �
dx 


1


x
��
2

5

3

Câu 12:(LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân


4

2

8

 4 x  3   3x  11 �dx 
3

x

với a , b là các số

C. 2.

D. 3.

dx  a  b ln 2 ,

1  cos 2 x
0

thực . Tính 16a  8b
A. 4.

B. 5.

Hướng dẫn giải
Chọn A
ux
du  dx




�� 1
Đặt �
. Ta có
dx
dv 
v  tan x


� 2
� 1  cos 2 x




1
1 4
 1
 1
1
 1
1
1
I  x tan x 4  �tan xdx   ln cos x 4   ln
  ln 2 � a  , b  
2
2 0
8 2
8 2
8
4
2 8 4
0
0
Do đó, 16a  8b  4 .
1

5

f  x  dx  3 và
Câu 13:(LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử �

f  z  dz  9 . Tổng


0

bằng
A. 12.

B. 5.

0

C. 6.

3

5

1

3

f  t  dt  �
f  t  dt


D. 3.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1

1

5

5

0

0

0

0

f  x  dx  3 � �
f  t  dt  3 ; �
f  z  dz  9 � �
f  t  dt  9


Ta có

5

1

3

5

3

5

0

1

3

1

3

9�
f  t  dt  �
f  t  dt  �
f  t  dt  �
f  t  dt  3  �
f  t  dt  �
f  t  dt
0

3

5

1

3

��
f  t  dt  �
f  t  dt  6.
e 2 x1  1
a
Câu 14:(LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân � x dx  e  . Tính tích a.b .
e
b
0
A. 1.
B. 2.
C. 6.
D. 12.
ln 2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
e 2 x 1  1
dx 

ex
0

ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

0

0

0

0

ln 2

ln 2

ln 2

 e x 1

0

 e x

e x 1dx 


0

e  x dx 


e x 1d  x  1 


e d  x

x

1
�1 �
  2e  e   �  1� e  � a  1, b  2 � ab  2 .
2
�2 �

3

sin x

�1  x

Câu 15:(LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết




3

6

 x3

dx 

3
3 2

 c  d 3 với a, b, c, d
a
b

là các số nguyên. Tính a  b  c  d .
A. a  b  c  d  28 . B. a  b  c  d  16 . C. a  b  c  d  14 .

D. a  b  c  d  22 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
I


3

sin x

�1  x




3

6

x

3

dx 


3








3



1  x 6  x 3 sin x
1  x  x6
6

dx 


3

 1 x





3

6



 x 3 sin xdx .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất





x



t



3
3
Đặt t   x � dt   dx . Đổi cận �
.


�x  � t  
� 3
3


I


3

 1 t



6


3











 t 3 sin  t    dt    � 1  t 6  t 3 sin tdt   � 1  x 6  x 3 sin xdx


3

Suy ra 2 I 


3


3

 2 x





3


3

sin x  dx � I 


3

3

3

3

(+)

 sin x

3x 2

(–)

 cos x

6x

(+)

 sin x

x


3

x sin xdx .





3



6

(–)  cos x

0

 sin x

3


3

3
3 2

 2  6 3
27
3
Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  6 . Vậy a  b  c  d  28 .
I    x3 sin x  3x 2 cos x  6 x sin x  6sin x 






Câu 16:(NGÔ GIA TỰ - VP) Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn � ; 2 �thỏa mãn
�4

a
sin x
2
dx  .

3
0 1  3cos x
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt t  1  3cos x � t 2  1  3cos x � 2tdt  3sin xdx.
Đổi cận: + Với x 0  t 2
+ Với x a  t  1  3 cos a  A.
a

2

2

sin x
2
2
2
2
dx  �dt  t   2  A   � A  1 � 1  3cos a  1 � cos a  0
Khi đó �
3
3 A 3
3
0 1  3cos x
A
�a




�  
; 2
��
 �
 k  k �� . Do a ���


2
�4
� 4 2

k

2

1
4

k

3
2

k 0

.

k 1




  thì tích phân không xác định vì mẫu thức
2
không xác định (trong căn bị âm). Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chỉ chấp
Bình luận: Khi cho a 

nhận a 


.
2

Câu 17:(NGÔ GIA TỰ - VP) Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường:
y  2 x , y   x  3 và y  1 là:
1 1
1
47
1
 .
1.
3.
A. S 
B. S 
C. S 
.
D. S 
ln 2 2
ln 2
50
ln 2
Hướng dẫn giải
Chọn A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường. Ta có:
 2x   x  3 � x  1
 2x  1 � x  0
 x  3  1 � x  2
Diện
tích
1

cần

tìm

1

2

là:

2

�2 x
� � x 2
� 1 1
S�
  x  3  1 dx  �  x �  �  2 x �  
 2  1 dx  �
ln 2 2
�ln 2
�0 � 2

0
1
1
x

Câu 18:(CHUYÊN
a

sin

0

5

PHAN

BỘI

CHÂU)



bao

nhiêu

số

a � 0; 20  sao

2
x sin 2 xdx  .
7

A. 20 .

B. 19 .

C. 9 .

D. 10 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
a

Ta có

a

a

2
2
2
sin 5 x sin 2 xdx  2 �
sin 6 x cos xdx  2 �
sin 6 xd  sin x   sin 7 x 0a  sin 7 a  .

7
7
7
0
0
0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

cho


Do
0

sin 7 a  1 � sin a  1 � a 

đó


 k 2 .
2



a � 0; 20 

nên


1
 k 2  20 �   k  10 và k �� nên có 10 giá trị của k
2
2
n 1

1
dx bằng
Câu 19:(THTT – 477) Giá trị của nlim

� �
1  ex
n
A. 1.
B. 1.
C. e.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: I 

n 1

1


1 e

x

dx

n

Đặt t  1  e x � dt  e x dx . Đổi cận: Khi x  n � t  1  e n ; x  n  1 � t  1  e n 1
1 en1

1
dt 
Khi đó: I  �
t  t  1
1 en

1 en 1

1 en1
1  en
�1 1 �
dt   ln t  1  ln t  n  1  ln
��t  1  t �
1 e
1  e n 1

1 e n �

n



1  en
1  e n 1

�1 �
� � 1 1
1
e
 ��
� khi n � �, Do đó, lim I  1  ln  0
n
n ��
e
e
�1 �
� � e
�e �

Câu 20:(THTT – 477) Nếu


6

sin


n

x cos xdx 

0

A. 3.

B. 4.

1 thì n bằng
64
C. 5.

D. 6.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt t  sin x � dt  cos xdx . Đổi cận: khi x  0 � t  0; x 
1
2

1


1
�t 
6
2

n 1

n 1 2
1 �1 �
1 .
Khi đó: I  t n dt  t

.� � 

n  1 0 n  1 �2 � 64
0
n 1

�1 � n  1
Suy ra � � 
có nghiệm duy nhất n  3 (tính đơn điệu).
64
�2 �
3
2
Câu 21:(SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d ,  a, b, c  �, a

 C .

0  có đồ thị

Biết rằng đồ thị  C  tiếp xúc với đường thẳng y  4 tại điểm có hoành

 x  cho bởi hình vẽ dưới đây:
độ âm và đồ thị hàm số y  f �


Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  và trục hoành.
B. S 

A. S  9 .

27
.
4

C.

21
.
4

D.

5
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Từ đồ thị suy ra f �
 x   3x  3 .
2

f  x  �
f�
 x  dx  �
 3x 2  3 dx  x3  3x  C .

 C  tiếp xúc với đường thẳng
f�
 x0   0 � 3x02  3  0 � x0  1.

Do

y  4 tại điểm có hoành độ x0 âm nên

3
Suy ra f  1  4 � C  2 �  C  : y  x  3 x  2

x  2

.
x 1


Xét phương trình x  3 x  2  0 � �
3

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

� x
1

2

3

 3x  2  dx 

27
.
4

Câu 22:(SỞ GD HÀ NỘI) Cho y  f  x  là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn  6;6 .
2

f  x  dx  8 và
Biết rằng �
1

A. I  11.

3

f  2 x  dx  3 . Tính I 

1

B. I  5.

6

�f  x  dx

1

C. I  2.

D. I  14.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì f  x  là hàm số chẵn nên

a

2

2

a

1

1

f  x  dx  8
�f  x  dx  0 � �f  x  dx  �

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


3

3

1

1

f  2 x  dx  �
f  2 x  dx  3

3

f  2 x  dx  3
Xét tích phân K  �
1

Đặt u  2 x � du  2dx � dx 

du
2

Đổi cận: x  1 � u  2; x  3 � u  6 .
6

K

6

6

1
1
f  u  du  �
f  x  dx  3 � �
f  x  dx  6

22
22
2
6

6

2

6

1

1

1

2

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  8  6  14.
Vậy I  �

Câu 23:(SỞ GD HÀ NỘI) Biết rằng
A. T  6.

1

�3e
0

1 3 x

dx 

B. T  9.

a 2 b
b c
e  e  c  a, b, c �� . Tính T  a   .
5
3
2 3
C. T  10.

D. T  5.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đặt t  1  3 x � t 2  1  3 x � 2tdt  3dx
Đổi cận: + x  0 � t  1
+ x 1� t  2
1

��
3e
0

1 3 x

2



2

2

 

2

2

1

1

dx 2 �
tet dt 2 tet  �
et dt  2 tet  et
1

1

1

  2  2e  e  e  e   2e .
2

2

2

�a  10
��
� T  10 nên câu C đúng.
bc0

Câu 24:(SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Gọi D là diện
tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  : y  f  x  , trục hoành, hai đường
thẳng x  a , x  b (như hình vẽ dưới đây).


Giả sử S D là diện tích hình phẳng D . Chọn công thức đúng trong các
phương án A, B, C, D cho dưới đây?
0

b

a

0

0

b

a

0

f  x  dx  �
f  x  dx .
A. S D  �

0

b

a

0

0

b

a

0

f  x  dx  �
f  x  dx .
B. S D   �

f  x  dx  �
f  x  dx .
C. S D  �

f  x  dx  �
f  x  dx .
D. S D   �

Hướng dẫn giải
Chọn B.
+ Nhìn đồ thị ta thấy:

 Đồ thị (C ) cắt trục hoành tại O  0;0 
 Trên đoạn  a; 0 , đồ thị (C ) ở dưới trục hoành nên f  x    f  x 
 Trên đoạn  0;b , đồ thị  C  ở trên trục hoành nên f  x   f  x 
b

0

b

0

b

a

a

0

a

0

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx   �
f  x  dx  �
f  x  dx
+ Do đó: S D  �

2 x  2 1
dx  4  a ln 2  b ln 5 , với a , b là
Câu 25:(CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Biết I  �
x
1
các số nguyên. Tính S  a  b.
A. S  9.
B. S  11.
C. S  5.
D. S  3.
5

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
5
2 x  2 1
2 x  2 1
2 x  2 1
dx  �
dx  �
dx
Ta có: I  �
x
x
x
1
1
2
5

2
5
2 5  2x
5 2x  3
2  2  x 1
2  x  2 1
�
dx  �
dx  �
dx  �
dx
1
2
x
x
x
x
1
2
2�
5�
2
5
5
3�

�
 x�
dx  �
2 �
dx   5ln x  x    2 x  3ln x 


1
2
1
2
�x

� x�

a 8

� a  b  11.
 8 ln 2  3ln 5  4 � �
b  3

4

x ln  2 x  1 dx 
Câu 26:(BIÊN HÒA – HÀ NAM) Biết I  �
0

a
ln 3  c, trong đó a, b, c là các
b

b
số nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính S  a  b  c.
c
A. S  60.
B. S  70.
C. S  72.
D. S  68.
Hướng dẫn giải
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chọn B.
4

x ln  2 x  1 dx
Ta có I  �
0

2

du 
dx


u  ln  2 x  1

2x 1
��
Đặt �
x2
dv  xdx


v
� 2
4
x 2 ln  2 x  1
x2
I �
x ln  2 x  1 dx 
�
dx
2
2
x

1
0
0
0
4

4

�x 1
1
 8ln 9  �



�2 4 4  2 x  1
0�
4

4


�x 2 1
� 63
1
dx

16ln
3


x

ln
2
x

1


�  ln 3  3

8
�4 4
�0 4


a  63

a
63

� ln 3  c  ln 3  3 � �
b  4 � S  70 .
b
4

c3

Câu 27:(PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Cho hình phẳng

 H  giới

hạn bởi các đường

y  x 2  1 và y  k , 0  k  1. Tìm k để diện tích của hình phẳng

 H  gấp

hai lần

diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên.
A. k  3 4.
B. k  3 2  1.
1
C. k  .
2
D. k  3 4  1.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  1  x 2 , y  k , x  0 bằng diện tích hình
phẳng giới hạn bởi : y  1  x 2 , y  x 2  1, y  k , x  0.


1 k

� 1  x

2

0

 k  dx 

1 k

1

� k  1  x dx  � k  x
2

1 k

1

2

 1 dx �  1  k  1  k 

1
1 k  1 k
3

1
1
1
1
   1 k    1 k  1 k   1 k  1 k  1 k  1 k   1 k  1 k  1 k  
3
3
3
3


2
4
1 k  1 k  �
3
3



1 k



3

 2 � k  3 4  1.

( x) cắt trục Ox tại
Câu 28:(CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị y  f �
ba điểm có hoành độ a  b  c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f (c )  f (a )  f (b).
B. f (c )  f (b)  f (a ).
C. f (a )  f (b)  f (c ).
D. f (b)  f (a )  f (c ).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
( x) liên tục trên
Đồ thị của hàm số y  f �
các đoạn  a; b  và  b; c  , lại có f ( x) là
( x) .
một nguyên hàm của f �

( x)
�y  f �
�y  0

Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: �
là:
�x  a

�x  b
b

b

a

a

S1  �
f�
( x)dx   �
f�
( x)dx   f  x  a  f  a   f  b  .
b

Vì S1  0 � f  a   f  b   1
( x)
�y  f �
�y  0

Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: �
là:
�x  b

�x  c
c

c

b

b

S2  �
f�
( x)dx  �
f�
( x )dx  f  x  b  f  c   f  b  .
c

S2  0 � f  c   f  b   2  .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Mặt

khác,

dựa

vào

hình

vẽ

ta

có:

S1  S2 � f  a   f  b   f  c   f  b  � f  a   f  c   3 .
Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A.
( x) trên đoạn  a; b và so
(có thể so sánh f  a  với f  b  dựa vào dấu của f �
( x ) trên đoạn  b; c  ).
sánh f  b  với f  c  dựa vào dấu của f �

Câu 29:Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 3 quay xung quanh cạnh AC
của nó. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.
A.V = 2p.

B.V = p.

C.V =

7
p.
4

D.V =

Hướng dẫn giải
Đáp án A
SABC = 3 � AB = BC = CA = 2 . Chọn hệ trục vuông góc

(

)

Oxy sao choO ( 0;0) , A ( 1;0) , B 0;- 3

với O là trung điểm

AC . Phương trình đường thẳng AB là y = 3( x - 1) , thể
tích khối tròn xoay khi quay ABO quanh trục AC (trùng
Ox ) tính bởi
1

V�
= p� 3( x - 1) dx = p .

Vậy

thể

tích

cần

tìm

0

V = 2V �= 2p .
p
2

2x- 1.cosx
dx
Câu 30:Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của �
x
1
+
2
p
-

A.

1
.
2

B. 0.

2

C. 2.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
p
2

x- 1

p
2

x

2 cosx
2 cosx
dx = �
dx Ta có: �
x
x
1+ 2
p
0 1 + 2 .2
-

(

)

-

p
2

2x cosx

�( 1+ 2 ) .2 dx ( 1)
x

0

2

Đặt x = - t ta có x = 0 thì t = 0,x = -

p
p
thì t = và dx = - dt
2
2

7
p.
8


p
2

p
2

p
2

p
2

2 cos( - t)
2 cosx
cost
cosx
�( 1+ 2 ) .2 dx = �( 1+ 2 ) .2 d( - t) = - �( 1 + 2 ) .2 dt = - �( 1 + 2 ) .2 dx
x

-t

x

-t

0

t

0

x

0

0

Thay vào (1) có
p
2

x- 1

2

cosx

� 1+ 2

x

-

p
2

p
2

(

(

p
2

x

2 cosx
cosx
dx = �
dx + �
dx
x
x
0 1 + 2 .2
0 1 + 2 .2

(

)

)

(

)

p
2

1 + 2x cosx

=�
0

p
2

p

cosx
sin x 2
1
d
x
=
d
x
=
=

2
2 0
2
1 + 2x .2
0

)

p
2

Vậy

2x- 1 cosx
1
�1+ 2x dx = 2
p

-

2

Câu 31:( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho f , g là hai hàm liên tục trên  1;3
3

3


thỏa: �
�f  x   3g  x  �
�dx  10 .


2 f  x  g  x �

�dx  6 . Tính


1

A. 8.

1

B. 9.

3


�f  x   g  x  �
�dx .

1

C. 6.

D. 7.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
3

 Ta có

3

3


f  x  dx  3�
g  x  dx  10 .
�f  x   3g  x  �
�dx  10 � �

1

1

 Tương tự

1

3

3

3

1

1

1


2 f  x  g  x �
dx  6 � 2 �
f  x  dx  �
g  x  dx  6 .




3
3
u  3v  10 �
u4

��
f  x  dx , v  �
g  x  dx .
 Xét hệ phương trình �
, trong đó u  �
2u  v  6
v2


1
1

 Khi đó

3

3

3

1

1

1


dx  �
f  x  dx  �
g  x  dx  4  2  6 .
�f  x   g  x  �



Câu 32:(PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay
hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C ) : x 2  ( y  3) 2  1 xung quanh trục hoành

A. V  6 .
B. V  6 3 .
C. V  3 2
D. V  6 2 .

.

Hướng dẫn giải
ChọnD.

x 2  ( y  3)2  1 � y  3 � 1  x 2 .
1




V  �
3  1 x2

1 �

   3
2

1 x

2



2

1


dx  12 �1  x 2 dx .


1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất




x

1

t



2
Đặt x  sin t � dx  cos t.dt . Với �
.

�x  11 � t  

2

2

� V  12

�1  sin



2

t .cos tdt  12


2


2

cos




2

tdt  6 2 .


2

Câu 33:(CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho
x2

trình



2

y2
2

 E

có phương

 1,  a, b  0  và đường tròn  C  : x 2  y 2  7. Để diện tích elip

a
b
gấp 7 lần diện tích hình tròn  C  khi đó
A. ab  7 .

B. ab  7 7 .

C. ab  7 .

 E

D. ab  49 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
x2
a

2



y2
b

2

 1,  a, b  0  � y 

b 2
a  x2 .
a

a

a

b a2  x2 dx
b
 4 �a2  x2 dx
Diện tích  E  là S E  4�
a
a0
0

�  �
 ; �� dx  acos tdt .
Đặt x  asin t, t ��
� 2 2�
Đổi cận: x  0 � t  0; x  a� t 

S E  4

a


2

a

b 2
a .cos2tdt  2ab�
 1+cos2t dt   ab

a0
0

2
Mà ta có Sπ
 CR
  . π 7 .

Theo giả thiết ta có S E  7.S C  �  ab  49 � ab  49.
1

Câu 34:(CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân

x.ln  2 x  1

0

b
phân số
tối giản. Lúc đó
c
A. b  c  6057.
B. b  c  6059.

C. b  c  6058.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

2017

b
dx  a  ln 3 . Với
c

D. b  c  6056.


1

x.ln  2 x  1
Ta có I  �

2017

0

1

dx  2017 �
x.ln  2 x  1 dx .
0

2

d
u

dx

u  ln  2 x  1


2x 1
��
Đặt �
x2 1
dv  xdx


v 
� 2 8
1

�x 2 1 � 1 �
�x 2 1 � 2 �
x.ln  2 x  1 dx   ln  2 x  1  �  �  �
dx
Do đó �


�  �
�2 8 �0 0 �
�2 8 �2 x  1 �
0
1

1

�x 2  x � 3
3
 ln 3  �
�  ln 3
8
� 4 �0 8
1

�I �
x.ln  2 x  1

2017

0

�3
� 6051
dx  2017 � ln 3 �
ln 3.
�8
� 8

Khi đó b  c  6059.
Câu 35:(NGÔ QUYỀN – HP) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
2my  x 2 , mx  y 2 ,  m  0  . Tìm giá trị của m để S  3 .
2
3
A. m  .
2

B. m  2.

C. m  3.

1
D. m  .
2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có 2my  x 2 � y 

và mx 

1 2
x  0 (do m  0 ).
2m

�y  2mx �0
1 2
y � y 2  2mx � �
.
2
�y   2mx  0

Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2my  x 2 và mx 

1 2
y ta có
2

x0

1 2
x  2mx � x 2  2m 2mx � x 4  8m3 x  0 � �
.
x  2m
2m

2m

Khi đó S 

1 2
x  2mx dx 

2m
0

1 x 3 2 2m

. 
x x
2m 3
3

2m

0

2m

�1

� x

�2m
0

2


 2mx �
dx


4m 2

.
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Để S  3 �

4m 2
9
3
 3 � m 2  � m  (do m  0 ).
3
4
2

Câu 36:(CHUYÊN KHTN L4) Gọi  H  là phần giao
1
của hai khối
hình trụ có bán kính a , hai
4
trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình
vẽ bên. Tính thể tích của  H  .
A. V H  

2a 3
.
3

B. V H  

3a 3
.
4

C. V H  

a3
.
2

D. V H  

 a3
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A.
Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó phần giao  H  là một vật thể có đáy là
một phần tư hình tròn tâm O bán kính a , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với
2
2
trục Ox là một hình vuông có diện tích S  x   a  x

Thể tích khối  H  là

a

a

0

0

S  x  dx  �
 a 2  x 2  dx 


2a 3
.
3

2

Câu 37:(CHUYÊN KHTN L4) Với các số nguyên a, b thỏa mãn
. Tính tổng P  a  b .
A. P  27 .
B. P  28 .

1

C. P  60 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1

u  ln x
du  dx


x
Đặt �
ta có �
dv   2 x  1 dx

2

vx x


3

 2 x  1 ln xdx  a   ln b

2
D. P  61 .


2

 2 x  1 ln xdx   x

1

2

2

 x  ln x  �
 x 2  x  . 1x dx
1
2
1

2
�x 2

3�
3
 6 ln 2  �
4  � 4   ln 64
 x  1 dx  6 ln 2  �  x �12  6 ln 2  �

2
� 2�
�2

1

P  a  b  4  64  60 .
y mảnh
Câu 38:(CHUYÊN VINH – L2)Trong Công viên Toán học có những
đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được
trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một
trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở
đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được
tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình
2
2
2
trong hệ tọa độ Oxy là 16 y  x  25  x  như hình vẽ
bên.
Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa
độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.
125
125
250
125
m2 
m2 
m2 
A. S 
B. S 
C. S 
D. S 



 m2 
6
4
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích
của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy .
1
Từ giả thuyết bài toán, ta có y  � x 5  x 2 .
4
Góc phần tư thứ nhất y 

1
x 25  x 2 ; x � 0;5
4

5

Nên S( I )

1
125
125 3
 �
x 25  x 2 dx 
�S 
(m )
40
12
3

Câu 39:(CHUYÊN VINH – L2)Gọi V là thể tích khối y
tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y  x , y  0 và x  4 quanh
trục Ox . Đường thẳng x  a  0  a  4  cắt đồ thị

hàm y  x tại M (hình vẽ bên). Gọi V1 là thể
O
tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác
OMH quanh trục Ox . Biết rằng V  2V1 . Khi đó
5
A. a  2 .
B. a  2 2 .
C. a  .
2

M
a
K

D. a  3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
4

Ta có

xdx  8
x  0 � x  0 . Khi đó V   �
0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

H
4

x

x




Ta có M a; a



Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung
đáy:
 Hình nón  N1  có đỉnh là O , chiều cao h1  OK  a , bán kính đáy
R  MK  a ;

 Hình nón  N 2  thứ 2 có đỉnh là H , chiều cao h2  HK  4  a , bán kính đáy
R  MK  a
1
1
4
Khi đó V1   R 2 h 1   R 2 h 2   a
3
3
3
4
Theo đề bài V  2V1 � 8  2.  a � a  3 .
3

Câu 40:(CHUYÊN VINH – L2)Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:
y  x 2  4 x  4 , trục tung và trục hoành. Xác định k để đường thẳng

 d

đi

qua điểm A  0; 4  có hệ số góc k chia  H  thành hai phần có diện tích bằng
nhau.
A. k  4 .
B. k  8 .
C. k  6 .
D. k  2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 2  4 x  4 và trục
hoành là: x 2  4 x  4  0 � x  2 .

Diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số: y  x 2  4 x  4 , trục tung
2

2

2

� 8
x3
2
x  4 x  4 dx  �
 x  4 x  4  dx  �
và trục hoành là: S  �
�  2x  4x �  .
0
0
�3
�0 3
2

2

Phương trình đường thẳng  d  đi qua điểm A  0; 4 
có hệ số góc k có dạng: y  kx  4 .
Gọi B là giao điểm của  d  và trục hoành. Khi đó

y
4

�4 �
B � ;0 �.
�k �
Đường thẳng  d  chia  H  thành hai phần có diện tích
bằng nhau khi B �OI và S OAB 

1
4
S
2
3.

� 4
0
2

�k  2
� k
��
��
� k  6 .
1
1 4 4
k  6

�S
 OA.OB  .4. 
� OAB 2
2
k
3

O B1 I
d

x


Câu 41:(CHUYÊN

TUYÊN

6 2
3

QUANG

–L1)

Tính

tích

phân

4 x 4  x 2  3
2
a
c là các số nguyên. Khi
dx 
a 3  b  c  4 . Với , b ,
4

x 1
8
1





đó biểu thức a  b 2  c 4 có giá trị bằng
A. 20 .
B. 241 .
C. 196 .

D. 48 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có

6 2
2

6 2
2

4 x  x  3
dx 

x4  1
1

Tính I  4

4


x 1 �
4  4 �
dx  4


x 1�

1

2

6 2
2

�dx  4 x 1

6 2
2

2

6 2
2

6 2
2

x2  1
dx  � 4
dx  I  J .

x

1
1
1

 2 6  2 2  4 .

1

1
x 1
x 2 dx 
J

d
x

Tính


1
x4  1
1
1
x2  2
x
6 2
2

6 2
2

2

1

1
x2
dx.
2

� 1�
1
�x  � 2
� x�

6 2
2

1

�x  1 � t  0
1

� 1 �
1 2 �
dx . Khi �
Đặt t  x  � dt  �
.
6 2
x
� x �
�t  2
�x 

2
2

Khi

J

đó


0

t 
2

dt

 2

2

.

Đặt

t  2 tan u � dt  2  1  tan 2 u  du .

Khi

t  0�u  0



.
t  2 �u 


4

4


4

2  1  tan u 
2



2
2 4
2
Suy ra J  �
du

du

u 
.

2
2 0
2 0
8
0 2  1  tan u 

Vậy

6 2
2

a  b  16 .

4 x 4  x 2  3
2
d
x


16
3

16



4



c 1
x4  1
8

1





Vậy a  b 2  c 4  241 .
Câu 42:(CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu  S1  ,  S 2  có cùng bán kính R thỏa mãn

tính chất: tâm của  S1  thuộc  S2  và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của
hai khối cầu tạo bởi ( S1 ) và ( S2 ) .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. V   R .

B. V 

3

 R3
.
2

C. V 

5 R 3
.
12

Hướng dẫn giải

D. V 

2 R 3
.
5

y

(C ) : x 2  y 2  R 2

Chọn C
Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ
Khối cầu S  O, R  chứa một đường tròn lớn


O

R
2

x

R

 C  : x2  y 2  R 2
Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là
R

R


x3 � 5 R3
V  2 �
R  x dx  2 �R 2 x  � 
3 �R
12 .
R




2

2



2

2

4
2
Câu 43:`(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số y  x  3 x  m có đồ thị  Cm  với m là tham

số thực. Giả sử  Cm  cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :
y

 Cm 
S3
O

S1

x

S2

Gọi S1 , S2 và S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để
S1  S 2  S3 .
5
2

A. m   .

5
4

B. m   .

5
2

C. m  .

5
4

D. m  .

Hướng dẫn giải
Chọn D
Giả sử x  b là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x 4  3x 2  m  0 . Khi đó ta

b 4  3b 2  m  0 (1)


Nếu xảy ra S1  S2  S3 thì
b





4
2
�x  3x  m dx  0 �
0

b5
b4
 b3  mb  0 �  b 2  m  0 (2)  do b  0 
5
5

Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được

4 4
5
b  2b 2  0 � b 2  (do b  0) .
5
2
5
4

Thay trở ngược vào (1) ta được m  .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×