Tải bản đầy đủ

35 bài tập tích của vectơ với một số file word có lời giải chi tiết

 BÀi 03
Tích của vectơ với một số
1. Định nghĩa

r
r r
Cho số k �0 và vectơ a �0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là
r
r
r
ka, cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài
r
bằng k . a .

2. Tính chất

r
r
Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k,
ta có
r

r r
r
k a + b = ka + kb ;

r
r
r
 ( h + k) a = ha + ka ;
r
r
h( ka) = ( hk) a ;

r r
r
r
 1.a = a, ( - 1) .a = - a.

(

)

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có
uuur uuur
uuu
r
MA + MB = 2 MI .
b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có
uuu
r uuu
r uuu
r
uuuu
r
GA + GB +GC = 3MG.

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

r r r
r


Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b b �0 cùng phương là có một số k
r
r
để a = kb.
Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác
uuu
r
uuur
0 để AB = k AC.

(

)

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

r
r
r
Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích
r
r
được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b, nghĩa là có duy nhất cặp số
r
r
r
h, k sao cho x = ha + kb.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
uur uur
Câu 1. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Tính 2OA - OB .

(

A. a.

)

B. 1+ 2 a.

C. a 5.
D. 2a 2.
Câu 2. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Khẳng định nào dưới
đây là sai ?
uur
uur
uur
uur
A. 3OA + 4OB = 5a.
B. 2OA + 3OB = 5a.
uur
uur
uur
uur
C. 7OA - 2OB = 5a.
D. 11OA - 6OB = 5a.
Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ
Câu 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của
AM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
uur
uur uur r
uur uur
uur r
A. IB + 2IC + IA = 0.
B. IB + IC + 2IA = 0.
uur uur uur r
uur uur uur r
C. 2IB + IC + IA = 0.
D. IB + IC + IA = 0.
Câu 4. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của
AM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
uur 1 uuu
r uuur
uur 1 uuu
r uuur
A. AI = AB + AC .
B. AI = AB - AC .
4
4
uur 1 uuu
r 1 uuur
uur 1 uuu
r 1 uuur
C. AI = AB + AC.
D. AI = AB - AC.
4
2
4
2
Câu 5. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của
tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
uuur 2 uuu
r uuur
uuur 1 uuu
r uuur
A. AG = AB + AC .
B. AG = AB + AC .
3
3
uuur 1 uuu
r 2 uuur
uur 2 uuu
r
uuur
C. AG = AB + AC.
D. AI = AB + 3AC.
3
2
3
Câu 6. Cho tứ giác ABCD, trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N sao
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuur uuu
r
uuuu
r
cho 3 AM = 2 AB và 3DN = 2 DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC.
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuuu
r 1 uuur 2 uuu
r
A. MN = AD + BC.
B. MN = AD - BC.
3
3
3
3
uuuu
r 1 uuur 2 uuu
r
uuuu
r 2 uuur 1 uuu
r
C. MN = AD + BC.
D. MN = AD + BC.
3
3
3
3
Câu 7. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai ?
uuuu
r uuuu
r uuu
r uuur
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur
A. MN = MD +CN + DC.
B. MN = AB - MD + BN .
uuuu
r 1 uuu
r uuur
uuuu
r 1 uuur uuu
r
C. MN = AB + DC .
D. MN = AD + BC .
2
2
Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
uuuu
r 1 uuu
r uuu
r
uuuu
r 1 uuu
r uuu
r
A. DM = CD + BC.
B. DM = CD - BC.
2
2

(

)

(

(

)

(

)

(

)

)

(

)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuuu
r 1 uuur uuu
r
uuuu
r 1 uuur uuu
r
C. DM = DC - BC.
D. DM = DC + BC.
2
2
Câu 9. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3AM = AB và N
uuuu
r
uuur
uuu
r
là trung điểm của AC. Tính MN theo AB và AC.
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
A. MN = AC + AB.
B. MN = AC - AB.
2
3
2
3
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
C. MN = AB + AC.
D. MN = AC - AB.
2
3
2
3
M
,
N
ABC
,
Câu 10. Cho tam giác
hai điểm
chia cạnh BC theo ba phần bằng
uuur
uuuu
r
uuu
r
nhau BM = MN = NC. Tính AM theo AB và AC.
uuuu
r 2 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r 2 uuur
A. AM = AB + AC.
B. AM = AB + AC.
3
3
3
3
uuuu
r 2 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r 2 uuur
C. AM = AB - AC.
D. AM = AB - AC.
3
3
3
3
uuu
r
uuuu
r
Câu 11. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM
uuu
r
và BC.
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r uuu
r 1 uuuu
r
A. AB = AM + BC.
B. AB = BC + AM .
2
2
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r uuu
r 1 uuuu
r
C. AB = AM - BC.
D. AB = BC - AM .
2
2
Câu 12. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên
cạnh AC sao cho NC = 2NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó:
uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
A. AK = AB + AC.
B. AK = AB - AC.
6
4
4
6
uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
C. AK = AB + AC.
D. AK = AB - AC.
4
6
6
4
uuur
uuu
r
uuu
r
Câu 13. Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD.
uuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuu
r 1 uuur 1 uuu
r
A. AB = AC + BD.
B. AB = AC - BD.
2
2
2
2
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r 1 uuur uuu
r
C. AB = AM - BC.
D. AB = AC - BD.
2
2
r r uuur
r uuu
Câu 14. Cho tam giác ABC và đặt a = BC, b = AC. Cặp vectơ nào sau đây
cùng phương ?
r
r
r r r
r r r
A. 2a + b, a + 2b.
B. 2a - b, a - 2b.
r
r r
r
r r r r
C. 5a + b, - 10a - 2b.
D. a + b, a - b.
uuur uuur uuur
Câu 15. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA = MB + MC. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
A. Ba điểm C, M , B thẳng hàng.
� .
B. AM là phân giác trong của góc BAC
C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng.
uuuu
r uuu
r r
D. AM + BC = 0.
Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 16. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC.
Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uur
uuu
r
uur
uuu
r uuu
r
uur
uuu
r uuu
r uuu
r
1 uur
A. GA = 2GI .
B. IG = - IA.
C. GB + GC = 2GI . D. GB + GC = GA.
3
Câu 17. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng
định nào sau đây sai ?
uuu
r 2 uuuu
r
uuu
r uuur
uuur
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuuu
r
A. GA = AM . B. AB + AC = 3AG. C. GA = BG +CG.
D. GB +GC = GM .
3
Câu 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng
định nào sau đây đúng ?
uuuu
r uuur uuur
uuur uuur
A. AM = MB = MC.
B. MB = MC.
uuu
r
uuur
uuur
uuuu
r BC
C. MB = - MC.
D. AM =
.
2
Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và
AC. Khẳng định nào sau đây sai ?
uuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
1 uuur
A. AB = 2AM .
B. AC = 2NC.
C. BC = - 2MN .
D. CN = - AC.
2
Câu 20. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Trong các mệnh đề sau, tìm
mệnh đề đúng ?
uuu
r uuur 2 uuur
uuu
r uuu
r
uuu
r
A. AB + AC = AG.
B. BA + BC = 3BG.
3
uur uur uuu
r
uuu
r uuur uuu
r r
C. CA +CB = CG.
D. AB + AC + BC = 0.
uur
uur
Câu 21. Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IA = 2IB. Mệnh đề nào
sau đây đúng ?
uur
uur
uur
uur
uur CA - 2CB
uur CA + 2CB
A. CI =
B.
.
CI =
.
3
3
uur
uur
uur CA + 2CB
uur
uur
uur
.
C. CI = - CA + 2CB.
D. CI =
- 3
Câu 22. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng:
uuur uuur
uuur uuur
uuu
r
uuur uuur
uuur
uuur uuu
r
A. 2MA + MB - 3MC = AC + 2BC.
B. 2MA + MB - 3MC = 2AC + BC.
uuur uuur
uuur
uur uur
uuur uuur
uuur
uur uur
C. 2MA + MB - 3MC = 2CA +CB.
D. 2MA + MB - 3MC = 2CB - CA.
Câu 23. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ?
uuur uuur
uuu
r uuur
uuur
1 uur
A. AB + AD = 2AO.
B. AD + DO = - CA.
2
uur uur 1 uur
uuur uuu
r
uuu
r
C. OA +OB = CB.
D. AC + DB = 4 AB.
2
Câu 24. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đúng ?
uuur uuu
r
uuu
r
uuur uuu
r uuu
r
A. AC + BD = 2BC.
B. AC + BC = AB.
uuur uuu
r
uuu
r
uuur uuur uuu
r
C. AC - BD = 2CD.
D. AC - AD = CD.
Câu 25. Cho hình bình hành ABCD, có M là giao điểm của hai đường chéo.
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai.
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur
A. AB + BC = AC.
B. AB + AD = AC.
uuu
r uuu
r
uuur
uuur uuur uuur uuuu
r
C. BA + BC = 2 BM .
D. MA + MB = MC + MD.
Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuur uuur uur
Câu 26. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2MA + MB = CA. Khẳng định
nào sau đây là đúng ?
A. M trùng A.
B. M trùng B.
C. M trùng C.
D. M là trọng tâm của tam giác ABC.
uuu
r r uuu
r r
Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt GA = a, GB = b . Hãy tìm m, n
uuu
r
r
r
để có BC = ma + nb.
A. m= 1, n = 2. B. m= - 1, n = - 2. C. m= 2, n = 1.
D. m= - 2, n = - 1.
Câu 28. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng
uuur
uuur
uuur
thức vectơ MA = x MB + yMC. Tính giá trị biểu thức P = x + y.
A. P = 0.
B. P = 2.
C. P = - 2.
D. P = 3.
Câu 29. Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k > 0. Tìm tập hợp các điểm M
uuur uuur uuur uuuu
r
thỏa mãn đẳng thức MA + MB + MC + MD = k.
A. Một đoạn thẳng.
B. Một đường thẳng.
C. Một đường tròn.
D. Một điểm.
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm
uuur uuur
uuur uuuu
r
tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB = MC + MD .
A. Trung trực của đoạn thẳng AB. B. Trung trực của đoạn thẳng AD.
AC
C. Đường tròn tâm I , bán kính
.
D. Đường tròn tâm
2
AB + BC
I , bán kính
.
2
Câu 31. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.
uuur uuur
uuur uuur
Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA + MB = MA - MB .
A. Đường tròn tâm I , đường kính

AB
.
2

B. Đường tròn đường kính AB.
C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
D. Đường trung trực đoạn thẳng IA.
Câu 32. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.
uuur uuur
uuur
uuur
Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA + MB = MA + 2MB .
A. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
B. Đường tròn đường kính AB.
C. Đường trung trực đoạn thẳng IA.
D. Đường tròn tâm A, bán kính AB.
Câu 33. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm
uuur uuur
uuur uuur
M thỏa mãn MA + MB = MA + MC .
A. Đường trung trực của đoạn BC. B. Đường tròn đường kính BC.
a
C. Đường tròn tâm G, bán kính . D. Đường trung trực đoạn thẳng AG.
3
Câu 34. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
mãn đẳng thức 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA là đường tròn cố định có bán
kính R. Tính bán kính R theo a.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


a
A. r = .
3

a
B. r = .
9

a
C. r = .
2

a
D. r = .
6
uuur uuur uuur
Câu 35. Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa MA + MB + MC = 3 ?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
uur uur
Câu 1. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Tính 2OA - OB .
A. a.

(

)

B. 1+ 2 a.

C. a 5.

D. 2a 2.

Lời giải. Gọi C là điểm đối xứng của O qua A � OC = 2a.
Tam giác OBC vuông tại O, có BC = OB2 +OC 2 = a 5.
uur uur
uuu
r
uur uur uuu
r uur uuu
r
Ta có 2OA - OB = OC - OB = BC suy ra 2OA - OB = BC = a 5.
Chọn C.

Câu 2. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Khẳng định nào dưới
đây là sai ?
uur
uur
uur
uur
A. 3OA + 4OB = 5a.
B. 2OA + 3OB = 5a.
uur
uur
uur
uur
C. 7OA - 2OB = 5a.
D. 11OA - 6OB = 5a.
Lời giải. Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:
 A đúng, gọi C nằm trên tia đối của tia AO sao cho OC = 3OA
uur uuu
r
� 3OA = OC.
uur uuu
r
Và D nằm trên tia đối của tia BO sao cho OD = 4OB � 4OB = OD.





uuu
r uuu
r uuu
r
Dựng hình chữ nhật OCED suy ra OC +OD = OE (quy tắc hình bình
hành).
uur
uur
uuu
r uuu
r
uuu
r
2
2
Ta có 3OA + 4OB = OC +OD = OE = OE = CD = OC +OD = 5a.
uur
uur
uur
uur
B đúng, vì 2OA + 3OB = 2 OA + 3 OB = 2a+ 3a = 5a.
C sai, xử lý tương tự như ý đáp án A.
uur
uur
uur
uur
D đúng, vì 11OA - 6OB = 11OA - 6 OB = 11a- 6a = 5a.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chọn C.

Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ
Câu 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của
AM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
uur
uur uur r
uur uur
uur r
A. IB + 2IC + IA = 0.
B. IB + IC + 2IA = 0.
uur uur uur r
uur uur uur r
C. 2IB + IC + IA = 0.
D. IB + IC + IA = 0.
Lời giải.

uur uur
uuu
r
Vì M là trung điểm BC nên IB + IC = 2IM .
uur uuu
r r
Mặt khác I là trung điểm AM nên IA + IM = 0.
uur uur
uur
uuu
r
uur
uuu
r uur
r
Suy ra IB + IC + 2IA = 2IM + 2IA = 2 IM + IA = 0. Chọn B.

(

)

Câu 4. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của
AM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
uur 1 uuu
r uuur
uur 1 uuu
r uuur
A. AI = AB + AC .
B. AI = AB - AC .
4
4
uur 1 uuu
r 1 uuur
uur 1 uuu
r 1 uuur
C. AI = AB + AC.
D. AI = AB - AC.
4
2
4
2
Lời giải.

(

)

(

)

uuu
r uuur
uuuu
r
Vì M là trung điểm BC nên AB + AC = 2 AM . ( 1)
uur uuuu
r
Mặt khác I là trung điểm AM nên 2 AI = AM . ( 2)
uuu
r uuur
uur
uur 1 uuu
r uuur
Từ ( 1) , ( 2) suy ra AB + AC = 4 AI � AI = AB + AC . Chọn A.
4

(

)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 5. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của
tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
uuur 2 uuu
r uuur
uuur 1 uuu
r uuur
A. AG = AB + AC .
B. AG = AB + AC .
3
3
uuur 1 uuu
r 2 uuur
uur 2 uuu
r
uuur
C. AG = AB + AC.
D. AI = AB + 3AC.
3
2
3
Lời giải.

(

)

(

)

uuur 2 uuuu
r
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC � AG = AM .
3
uuu
r uuur
uuuu
r
uuuu
r 1 uuu
r uuur
Và M là trung điểm của BC � AB + AC = 2 AM � AM = AB + AC .
2
uuur 2 1 uuu
r uuur
r uuur
1 uuu
Do đó AG = . AB + AC = AB + AC . Chọn B.
3 2
3
ABCD
,
Câu 6. Cho tứ giác
trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N sao
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuur uuu
r
uuuu
r
cho 3 AM = 2 AB và 3DN = 2 DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC.
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuuu
r 1 uuur 2 uuu
r
A. MN = AD + BC.
B. MN = AD - BC.
3
3
3
3
uuuu
r 1 uuur 2 uuu
r
uuuu
r 2 uuur 1 uuu
r
C. MN = AD + BC.
D. MN = AD + BC.
3
3
3
3
Lời giải.

(

(

)

(

)

)

uuuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r uuur uuu
r uuu
r
Ta có MN = MA + AD + DN và MN = MB + BC +CN .
uuuu
r uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuu
r
Suy ra 3MN = MA + AD + DN + 2 MB + BC +CN
uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
uuu
r
= MA + 2MB + AD + 2BC + DN + 2CN .
uuur
uuur r
uuur
uuu
r r
Theo bài ra, ta có MA + 2 MB = 0 và DN + 2CN = 0.
uuuu
r uuur
uuu
r
uuuu
r 1 uuur 2 uuu
r
Vậy 3MN = AD + 2BC � MN = AD + BC. Chọn C.
3
3
Câu 7. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai ?

(

(

)

)

(

)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuuu
r uuuu
r uuu
r uuur
A. MN = MD +CN + DC.
uuuu
r 1 uuu
r uuur
C. MN = AB + DC .
2
Lời giải.

(

uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur
B. MN = AB - MD + BN .
uuuu
r 1 uuur uuu
r
D. MN = AD + BC .
2

)

(

)

uuur uuuu
r r
�MA + MD = 0

Vì M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC � �uuu
r uuur r

NB + NC = 0


Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:
uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r
uuuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuuu
r
�A đúng, vì MD +CN + DC = MN = MD + DC +CN = MC +CN = MN .
uuu
r uuuu
r uuur
uuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuuu
r
�B đúng, vì AB - MD + BN = AB + BN - MD = AN - AM = MN .
uuuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r uuuu
r uuur uuu
r
�C đúng, vì MN = MA + AD + DN và MN = MD + DC +CN
uuuu
r
uuur uuuu
r uuur uuu
r uuur uuur
uuuu
r 1 uuur uuu
r
Suy ra 2MN = MA + MD + AD + BC + DN +CN � MN = AD + BC .
2
�D sai, vì theo phân tích ở đáp án C.
Chọn D.
Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
uuuu
r 1 uuu
r uuu
r
uuuu
r 1 uuu
r uuu
r
A. DM = CD + BC.
B. DM = CD - BC.
2
2
uuuu
r 1 uuur uuu
r
uuuu
r 1 uuur uuu
r
C. DM = DC - BC.
D. DM = DC + BC.
2
2
uuu
r uuur uuur
Lời giải. Vì ABCD là hình bình hành nên DB = DA + DC.
uuuu
r uuur uuu
r
uuuu
r
uuur uuur
Và M là trung điểm AB nên 2 DM = DA + DB � 2 DM = 2 DA + DC.
uuuu
r 1 uuur uuu
r
uuuu
r
uuu
r uuur
� 2 DM = - 2 BC + DC suy ra DM = DC - BC. Chọn C.
2
Câu 9. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3AM = AB và N
uuuu
r
uuur
uuu
r
là trung điểm của AC. Tính MN theo AB và AC.
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
A. MN = AC + AB.
B. MN = AC - AB.
2
3
2
3
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
C. MN = AB + AC.
D. MN = AC - AB.
2
3
2
3
uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
Lời giải. Vì N là trung điểm AC nên 2 MN = MA + MC = MA + MA + AC.
r uuur
uuuu
r
r 1 uuur
uuuu
r
uuur uuur
2 uuu
1 uuu
� 2MN = 2 MA + AC = - AB + AC. Suy ra MN = - AB + AC. Chọn B.
3
3
2
Câu 10. Cho tam giác ABC, hai điểm M , N chia cạnh BC theo ba phần bằng
uuur
uuuu
r
uuu
r
nhau BM = MN = NC. Tính AM theo AB và AC.
uuuu
r 2 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r 2 uuur
A. AM = AB + AC.
B. AM = AB + AC.
3
3
3
3

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuuu
r 2 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r 2 uuur
C. AM = AB - AC.
D. AM = AB - AC.
3
3
3
3
uuuu
r uuu
r uuur uuu
r 1 uuu
r uuu
r 1 uuur uuu
r
r 1 uuur
2 uuu
Lời giải. Ta có AM = AB + BM = AB + BC = AB + AC - AB = AB + AC.
3
3
3
3
Chọn A.
uuu
r
uuuu
r
Câu 11. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM
uuu
r
và BC.
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r uuu
r 1 uuuu
r
A. AB = AM + BC.
B. AB = BC + AM .
2
2
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r uuu
r 1 uuuu
r
C. AB = AM - BC.
D. AB = BC - AM .
2
2
uuu
r uuuu
r uuur uuuu
r 1 uuu
r
Lời giải. Ta có AB = AM + MB = AM - BC. Chọn C.
2
Câu 12. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên
cạnh AC sao cho NC = 2NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó:
uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
A. AK = AB + AC.
B. AK = AB - AC.
6
4
4
6
uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
C. AK = AB + AC.
D. AK = AB - AC.
4
6
6
4
uuur 1 uuuu
r uuur
uuu
r 1 uuur� 1 uuu
r 1 uuur
1�
1
AB + AC �
= AB + AC . Chọn C.

Lời giải. Ta có AK = AM + AN = �



� 4
2
2�
2
3
6
uuur
uuu
r
uuu
r
Câu 13. Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD.
uuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuu
r 1 uuur 1 uuu
r
A. AB = AC + BD.
B. AB = AC - BD.
2
2
2
2
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r 1 uuur uuu
r
C. AB = AM - BC.
D. AB = AC - BD.
2
2
uur uuur r
Lời giải. Vì ABCD là hình bình hành nên CB + AD = 0.
uuu
r uuur uuu
r uur uuur
uuu
r uuur uur
uuu
r uuur uuu
r
Ta có AB = AC +CB và AB = AD + DB � 2AB = AC + DB + CB + AD
uuur uuu
r uuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuu
r 1 uuur 1 uuu
r
= AC + DB � AB = AC + DB. Vậy AB = AC + BD. Chọn A.
2
2
2
2
r r uuur
r uuu
Câu 14. Cho tam giác ABC và đặt a = BC, b = AC. Cặp vectơ nào sau đây
cùng phương ?
r
r
r r r
r r r
A. 2a + b, a + 2b.
B. 2a - b, a - 2b.
r
r r
r
r r r r
C. 5a + b, - 10a - 2b.
D. a + b, a - b.
r
r
r r
r
r r
r
Lời giải. Dễ thấy - 10a- 2b = - 2 5a + b nên hai vectơ 5a + b, - 10a - 2b cùng

(

(

)

)

(

(

)

)

phương. Chọn C.

uuur uuur uuur
Câu 15. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA = MB + MC. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
A. Ba điểm C, M , B thẳng hàng.
� .
B. AM là phân giác trong của góc BAC
C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuuu
r uuu
r r
D. AM + BC = 0.
Lời giải. Gọi I , G lần lượt là trung điểm BC và trọng tâm tam giác ABC.
uuur uuur
uuu
r
Vì I là trung điểm BC nên MB + MC = 2 MI .
uuur uuur uuur
uuur
uuu
r
Theo bài ra, ta có MA = MB + MC suy ra MA = 2MI � A, M , I thẳng hàng
Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABC �G �AI .
Do đó, ba điểm A, M , G thẳng hàng. Chọn C.
Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 16. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC.
Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uur
uuu
r
uur
uuu
r uuu
r
uur
uuu
r uuu
r uuu
r
1 uur
A. GA = 2GI .
B. IG = - IA.
C. GB + GC = 2GI . D. GB + GC = GA.
3
uur uur r
Lời giải. Vì I là trung điểm của BC suy ra IB + IC = 0.
uuu
r uur uur

uuu
r uuu
r uur uur
uur
uur
GB = GI + IB

+
IC
+ 2GI = 2GI . Chọn C.
Ta có �uuu
r uur uur � GB +GC = IB
1
44
4
24
4
4
3
r

GC = GI + IC

0

Câu 17. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng
định nào sau đây sai ?
uuu
r 2 uuuu
r
uuu
r uuur
uuur
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuuu
r
A. GA = AM . B. AB + AC = 3AG. C. GA = BG +CG.
D. GB +GC = GM .
3
uuur uuur r
Lời giải. Vì M là trung điểm của BC suy ra MB + MC = 0.
uuu
r uuuu
r uuur

uuu
r uuu
r uuur uuur
uuuu
r
uuuu
r
GB = GM + MB

MB
+
MC
+ 2GM = 2GM . Chọn D.
Ta có �uuu
r uuuu
r uuur � GB +GC = 1
4
44
4
244
4
4
3
r

GC = GM + MC

0

Câu 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng
định nào sau đây đúng ?
uuuu
r uuur uuur
uuur uuur
A. AM = MB = MC.
B. MB = MC.
uuu
r
uuur
uuur
uuuu
r BC
C. MB = - MC.
D. AM =
.
2
uuur uuur r
uuur
uuur
Lời giải. Vì M là trung điểm của BC nên MB + MC = 0 � MB = - MC. Chọn C.

Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và
AC. Khẳng định nào sau đây sai ?
uuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
1 uuur
A. AB = 2AM .
B. AC = 2NC.
C. BC = - 2MN .
D. CN = - AC.
2
M
,
N
AB
,
AC
.
Lời giải. Vì
lần lượt là trung điểm của
1
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC � MN = BC.
2
uuu
r uuuu
r
uuu
r
uuuu
r
Mà BC, MN là hai vectơ cùng hướng nên BC = 2 MN . Chọn C.
Câu 20. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Trong các mệnh đề sau, tìm
mệnh đề đúng ?

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuu
r uuur 2 uuur
A. AB + AC = AG.
3
uur uur uuu
r
C. CA +CB = CG.

uuu
r uuu
r
uuu
r
B. BA + BC = 3BG.
uuu
r uuur uuu
r r
D. AB + AC + BC = 0.
uuu
r uuu
r
uuu
r
Lời giải. Gọi E là trung điểm của AC � BA + BC = 2 BE . ( 1)
uuu
r 3 uuu
r
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra BE = BG. ( 2)
2
uuu
r uuu
r
r
uuu
r
3 uuu
Từ ( 1) , ( 2) suy ra BA + BC = 2. BG = 3BG. Chọn B.
2
uur
uur
Câu 21. Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IA = 2IB. Mệnh đề nào
sau đây đúng ?
uur
uur
uur
uur
uur CA - 2CB
uur CA + 2CB
A. CI =
B. CI =
.
.
3
3
uur
uur
uur CA + 2CB
uur
uur
uur
CI
=
.
C. CI = - CA + 2CB.
D.
- 3
uur uuu
r uur
uuu
r
uur
uur
Lời giải. Từ giả thiết IA = 2IB � B là trung điểm của IA � BI = AB; AI = 2AB.
uur uur uur

uur uur uur uur uur uur uur uuu
r
uuu
r
CI = CB + BI

Lại có �uur uur uur � 2CI = CB +CA + BI + AI = CA +CB + AB + 2AB.

CI = CA + AI


uur uur uur
uur uur
uur
uur
uur
uur
uur
uur uur
uuu
r
= CA +CB + 3AB � 2CI = CA +CB + 3 CB - CA =- 2CA + 4CB � CI =- CA + 2CB.

(

)

Chọn C.
Câu 22. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng:
uuur uuur
uuur uuur
uuu
r
uuur uuur
uuur
uuur uuu
r
A. 2MA + MB - 3MC = AC + 2BC.
B. 2MA + MB - 3MC = 2AC + BC.
uuur uuur
uuur
uur uur
uuur uuur
uuur
uur uur
C. 2MA + MB - 3MC = 2CA +CB.
D. 2MA + MB - 3MC = 2CB - CA.
uuur uuur
uuur
uuur
uur uuur uur
uuur
uur uur
Lời giải. Ta có 2MA + MB - 3MC = 2MC + 2CA + MC +CB - 3MC = 2CA +CB.
Chọn C.
Câu 23. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ?
uuur uuur
uuu
r uuur
uuur
1 uur
A. AB + AD = 2AO.
B. AD + DO = - CA.
2
uur uur 1 uur
uuur uuu
r
uuu
r
C. OA +OB = CB.
D. AC + DB = 4 AB.
2
uur uur
uuu
r uur uur uuu
r uur
uur uuu
r r
Lời giải. Ta có OA +OB = - OC +OB = OB - OC = CB (vì OA +OC = 0 ). Chọn C.
Câu 24. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đúng ?
uuur uuu
r
uuu
r
uuur uuu
r uuu
r
A. AC + BD = 2BC.
B. AC + BC = AB.
uuur uuu
r
uuu
r
uuur uuur uuu
r
C. AC - BD = 2CD.
D. AC - AD = CD.
uuur uuu
r uuu
r

r
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r
�AC = AB + BC uuur uuu
AB
+CD
= 2BC. Chọn A.
Lời giải. Ta có �uuu
r uuu
r uuu
r � AC + BD = 2BC + 1
4
4
4
244
4
3
r

BD = BC +CD

0

Câu 25. Cho hình bình hành ABCD, có M là giao điểm của hai đường chéo.
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai.
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur
A. AB + BC = AC.
B. AB + AD = AC.
uuu
r uuu
r
uuur
uuur uuur uuur uuuu
r
C. BA + BC = 2 BM .
D. MA + MB = MC + MD.
uuur uuur uuur uuuu
r
uuur uuuu
r uuur uuur
uuur uuu
r
Lời giải. Ta có MA + MB = MC + MD � MA - MD = MC - MB � DA = BC
uuur
uuu
r
Suy ra điều trên không thể xảy ra vì DA = - BC. Chọn D.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
uuur uuur uur
Câu 26. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2MA + MB = CA. Khẳng định
nào sau đây là đúng ?
A. M trùng A.
B. M trùng B.
C. M trùng C.
D. M là trọng tâm của tam giác ABC.
uuur uuur uur
uuur uuur uuur uuur
Lời giải. Ta có 2MA + MB = CA � 2MA + MB = CM + MA.
uuur uuur
uuur
uuur uuur uuur r
� MA + MB = - MC � MA + MB + MC = 0
( *)
Vậy từ đẳng thức ( *) � M là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn D.
uuu
r r uuu
r r
Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt GA = a, GB = b . Hãy tìm m, n
uuu
r
r
r
để có BC = ma + nb.
A. m= 1, n = 2. B. m= - 1, n = - 2. C. m= 2, n = 1.
D. m= - 2, n = - 1.
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
Lời giải. Ta có BC = BG +GC = BG - GA +GB = - GA - 2GB do GA +GB +GC = 0 .

(

)

(

)

Chọn B.
Câu 28. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng
uuur
uuur
uuur
thức vectơ MA = x MB + yMC. Tính giá trị biểu thức P = x + y.
A. P = 0.
B. P = 2.
C. P = - 2.
D. P = 3.
uuur
uuu
r
Lời giải. Do AB và AC không cùng phương nên tồn tại các số thực x, y sao
cho
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur
AM = xAB + yAC, " M � AM = xAM + xMB + yAM + yMC
uuuu
r
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
� ( 1- x - y) AM = xMB + yMC � ( x + y- 1) MA = xMB + yMC.
uuur
uuur
uuur
Theo bài ra, ta có MA = xMB + yMC suy ra x + y- 1= 1 � x + y = 2. Chọn B.

Câu 29. Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k > 0. Tìm tập hợp các điểm M
uuur uuur uuur uuuu
r
thỏa mãn đẳng thức MA + MB + MC + MD = k.
A. Một đoạn thẳng.
C. Một đường tròn.

B. Một đường thẳng.
D. Một điểm.
uuu
r uuur uuur

2MI = MA + MC

Lời giải. Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD, ta có � uuu
r uuur uuuu
r, "M .

2
MI
=
MB
+
MD


uuur uuur uuur uuuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
k
Do đó MA + MB + MC + MD = k � 2MI + 2MI = k � 4 MI = k � MI =
( *) .
4
Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức ( *) là
đường
k
tròn tâm I , bán kính R = . Chọn C.
4
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm
uuur uuur
uuur uuuu
r
tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB = MC + MD .
A. Trung trực của đoạn thẳng AB.

B. Trung trực của đoạn thẳng AD.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


C. Đường tròn tâm I , bán kính

AC
.
2

D. Đường tròn tâm

AB + BC
.
2
Lời giải. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của
uuur uuur
uuur
�MA + MB = 2ME

�uuur uuuu
r
uuur , " M .


�MC + MD = 2MF
uuur uuur
uuur uuuu
r
uuur
uuur
uuur
uuur
Do đó MA + MB = MC + MD � 2 ME = 2 MF � ME = MF
I , bán kính

AB, CD.

Khi

đó

( *) .

Vì E , F là hai điểm cố định nên từ đẳng thức ( *) � tập hợp các điểm M là
trung
trực của đoạn thằng EF hay chính là trung trực của đoạn thẳng AD. Chọn B.
Câu 31. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.
uuur uuur
uuur uuur
Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA + MB = MA - MB .
A. Đường tròn tâm I , đường kính

AB
.
2

B. Đường tròn đường kính AB.
C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
D. Đường trung trực đoạn thẳng IA.
uuur uuur
uuu
r
Lời giải. Vì I là trung điểm của AB suy ra MA + MB = 2 MI .
uuur uuur
uuur uuur
uuu
r
uuu
r
AB
Do đó MA + MB = MA - MB � 2 MI = BA � MI =
2

( *) .

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức ( *) là đường tròn tâm I , bán
kính
R=

AB
. Chọn A.
2

Câu 32. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.
uuur uuur
uuur
uuur
Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA + MB = MA + 2MB .
A. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
B. Đường tròn đường kính AB.
C. Đường trung trực đoạn thẳng IA.
D. Đường tròn tâm A, bán kính AB.
uuu
r uuu
r r
Lời giải. Chọn điểm E thuộc đoạn AB sao cho EB = 2EA � 2EA + EB = 0.
uur uur r
Chọn điểm F thuộc đoạn AB sao cho FA = 2FB � 2FB + FA = 0.
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuu
r uuur uuu
r
uuur
uur uuur uur
Ta có 2MA + MB = MA + 2MB � 2ME + 2EA + ME + EB = 2MF + 2FB + MF + FA
uuur
uuu
r uuu
r
uuur
uur uur
uuur
uuur
� 3ME + 2
EA
+
EB
=
3
MF
+
2
FA
+
FB

3
ME
=
3
MF
� ME = MF
14444244443
14444244443
r
0

r
0

( *) .

Vì E , F là hai điểm cố định nên từ đẳng thức ( *) suy ra tập hợp các điểm M
là trung trực của đoạn thẳng EF .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Gọi I là trung điểm của AB suy ra I cũng là trung điểm của EF .
uuur uuur
uuur
uuur
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA + MB = MA + 2MB là đường trung
trực của đoạn thẳng AB. Chọn A.
Câu 33. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm
uuur uuur
uuur uuur
M thỏa mãn MA + MB = MA + MC .
A. Đường trung trực của đoạn BC. B. Đường tròn đường kính BC.
a
C. Đường tròn tâm G, bán kính . D. Đường trung trực đoạn thẳng AG.
3
uuur uuur
uuu
r
�MA + MB = 2MI

Lời giải. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó �uuur uuur
uuur .

MA
+
MC
=
2
MJ


uuur uuur
uuur uuur
uuu
r
uuur
Theo bài ra, ta có MA + MB = MA + MC � 2 MI = 2 MJ � MI = MJ .
uuur uuur
uuur uuur
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB = MA + MC là đường trung trực
của đoạn thẳng IJ , cũng chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC vì IJ
là đường trung bình của tam giác ABC. Chọn A.
Câu 34. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
mãn đẳng thức 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA là đường tròn cố định có bán
kính R. Tính bán kính R theo a.
a
a
a
a
A. r = .
B. r = .
C. r = .
D. r = .
3
9
6
2
Lời giải. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
uuur
uuur
uuur
uuu
r uur
uuu
r uur
uuu
r uur
Ta có 2MA + 3MB + 4MC = 2 MI + IA + 3 MI + IB + 4 MI + IC .
uur uur uur uur uur r
uur
uur
uur r
Chọn điểm I sao cho 2IA + 3IB + 4IC = 0 � 3 IA + IB + IC + IC - IA = 0.
uur uur uur
uur
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC � IA + IB + IC = 3IG.
uur uur uur r
uur uur uur r
uur uur
Khi đó 9IG + IC - IA = 0 � 9IG + AI + IC = 0 � 9 IG = CA
( *) .
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuu
r
uur
uu
r
uur
uuu
r
Do đó 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA � 9MI + 2IA + 3IB + 4IC = AB � 9MI = AB.

(

) (

) (

(

)

)

Vì I là điểm cố định thỏa mãn ( *) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường
tròn tâm I , bán kính r =

AB a
= . Chọn B.
9
9

uuur uuur uuur
Câu 35. Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa MA + MB + MC = 3 ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vô số.
Lời giải. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC nên G cố định duy nhất và
uuu
r uuu
r uuu
r r
GA +GB +GC = 0 .
uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r uuu
r
uuuu
r
uuuu
r
Ta có MA + MB + MC = 3 � GA +GB +GC - 3GM = 3 � 3 GM = 3 � GM = 1 .
Vậy có vô số điểm M thỏa mãn, với tập hợp M là đường tròn tâm G bán kính
bằng 1. Chọn D.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×
x