Tải bản đầy đủ

Vấn đề 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN file word

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

Chủ đề 33

1

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Vấn đề 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. Vectơ trong không gian
① Vectơ, giá và độ dài của vectơ.

uuu
r
 Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu A,
r r r
a
điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu , b , c , …
 Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Hai vectơ được
gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ngược lại, hai vectơ có
giá cắt nhau được gọi là hai vectơ không cùng phương. Hai vectơ cùng phương thì có thể

cùng hướng hoặc ngược hướng.
 Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của
uuu
r
uuu
r
AB
vectơ. Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. Kí hiệu độ dài vectơ AB là
uuu
r
AB  AB  BA
Như vậy :
.
r r r
a
② Hai vectơ bằng nhau, đối nhau. Cho hai vectơ , b ( 0 )
r
r
 Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.
r
r

a cu�
ng h�


ng b
r r

a  b � �r
r
r r
|
a
|

|
b
|


Kí hiệu a  b và
r
 Hai vectơ a và được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.
r
r

a cu�
ng h�


ng b
r r

a  b � �r
r
r
r
|a |  |b |

a


b
Kí hiệu

③ Vectơ – không.
Vectơ – không
và điểm cuối trùng nhau.
rlà vectơ
uuu
r có
uuurđiểm đầu
r uuu
r
Kí hiệu: 0 , AA  BB  CC  ...  0 .
Vectơ – không có phương, hướng tùy ý, có độ dài bằng không.
Vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
II. Phép cộng và phép trừ vectơ
① Định nghĩa 1.
uuu
r r uuur r
uuur
r
r
a
b
AB

a
BC

b
 Cho và . Trong không gian lấy một điểm A tùy ý, dựng
,
. Vectơ AC
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
r
r
r
r
được gọi là tổng của hai vectơ a và b và được kí hiệu AC  AB  BC  a  b .
rr
r r r
aar b  a   bb

B 1. r
② Tínhr chất
r r r r
a
b
a
b b a

A Tính rchấtr giao hoán:
a b
C

 


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

r r r r r r
a b c  a  b c
r r r r rr
a 0  0a  a a r
r
r
r r
a   a    a  a  0



 Tính chất kết
r hợp:
0
 Cộng với :
 Cộng với vectơ đối:





2



③ Các qui tắc.

uuur uuur uuur
C
A
B
 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm , , bất kì ta có: AC  AB  BC
Mở rộng: Qui tắc đa giác khép kín
uuuur uuuur
uuuuuur uuuur
A1 A2  A2 A3  K  An 1 An  A1 An
A
,
A
,
A
,

,
A
,
A
1
2
3
n
–1
n
Cho n điểm bất kì
. Ta có:
An-1
B
A
A
A3

A2

A1

AA

A5

4

10

n

AC
7

BQui tắc trừ (baCđiểm cho phép trừ):

A9
A8

uuur uuur uuu
r
Với ba điểm A , B , C bất kì ta có: AC  BC  BA
A
 Qui tắc hìnhDbình hành:
uuur uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur
Với hình bình hành ABCD ta có: AC  AB  AD và DB  AB  AD
D tắc hình hộp.C
 Qui
B C D với AB , AD , AA�là ba cạnh
Cho hình hộp ABCD. A����
A
B
có chung đỉnh A và AC � là đường chéo, ta có:
uuuu
r uuu
r uuur uuur

ACD'
 AB  AD  AAC'�
III. Phép nhân một số với một vectơ
A' nghĩa 2.
B'
① Định
r
r r
Cho k �0 và vectơ a �0 . Tích k .a là một vectơ:
r
- Cùng hướng với a nếu k  0
r
- Ngược hướng với a nếu k  0
r r
a
② Tính chất 2. Với , b bất kì; m, n �R , ta có:
r r
r
r
r r
m a  b  ma  mb
m  n  a  ma  na



r
r
r r
r r  1 .ar  ar
r r
m  na    mn  a
1.a

a
0.
a

0
k
.0
0


,

;
M kiện để hai vectơ cùng phương.
③ Điều
r
r
r
r
r
r
r
a
b

0
k

0
a
b
a

kb
Cho hai vectơ và (
),
: cùng phương 
uuur
uuur
C
AB

k
AC
A
B
Hệ quả: điều kiện để ba điểm , , thẳng hàng là
A
I
B
④ Một số tính chất.
 Tính chất trung điểm
uur uur 1 uuu
r
A
uu
r uur r uu
r
uur AI  IB  AB
2
Cho đoạn thẳng AB có I là trung điểm, ta có: IA  IB  0 ; IA   IB ;
uuur uuur
uuu
r
 MB  2MI ( M bất kì)
 MAG
B chất trọng C
 Tính
tâm.
uuu
r uuur uuur r

ABC
G
GA
 GB  GC  0
Cho
,
là trọng tâm, ta có:
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
B  MB  MCC 3MG ( M bất kì)
 MA
 Tính chất O
hình bình hành.



A



D


GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

3

Cho hình bình hành ABCD tâm O , ta có:
uuu
r uuu
r uuur uuur r
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
 OA  OB  OC  OD  0
 MA  MB  MC  MD  4MO
IV. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
① Khái niện về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.
uuu
r r
r
r r r
Cho ba vectơ a , b , c ( 0 ) trong không gian. Từ một điểm O bất kì ta dựng OA  a ,
uuu
r r uuur r
OB  b , OC  c . Khi đó xảy ra hai trường hợp:
 Các đường thẳng OA , OB , OC không cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ
r r r
a , b , c không đồng phẳng.
r r
 Các đường thẳng OA , OB , OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ a , b ,
r
c đồng phẳng.
r
② Địnhanghĩa 3.
r
Ba vectơ gọi là đồng
phẳng nếu các giá của chúng cùng song song
b
r
với một
c mặt phẳng.
r r r
a , b , c cùng song song với mặt
Trên
hình
bên,
giá
của
các
vectơ
B
Ar r r
phẳng () nên ba vectơ a , b , c đồng phẳng.
O
C
 đồng phẳng
③ Điều kiện để ba vectơ
Định lí 1.

r
r r r
r
Cho ba vectơ a , b , c trong đó a và b không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ
r
r r r
r
r
a , b , c đồng phẳng là có duy nhất các số m , n sao cho c  ma  nb .
r
r
A
rb
b r
r
c
c
r
c
r
D
m.a
pc
r
r r ar
a
r
d nb
O
B
rO
n.b
ma
④ Phân
tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng
A
Định lí 2. D'
r r r
a
Nếu ba vectơ , b , c không đồng phẳng thì với mỗi vectơ
r
d , ta tìm được duy nhất các số m , n , p sao cho
r
r
r
r
d  ma  nb  pc .

Dạng 1. Tính toán vectơ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
uuur uuur uuu
r
AB

AC

CB
① Quy tắc ba điểm:
(quy tắc cộng)
uuu
r uuu
r uuu
r
AB  CB  CA (quy tắc trừ)
uuur uuur uuur
② Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta luôn có: AC  AB  AD
uuuur uuu
r uuur uuur
B C D , ta được: AC '  AB  AD  AA '
③ Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A����
uu
r uur r
④ Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm AB , M là điển bất kỳ: IA  IB  0
uuur uuur
uuu
r
MA  MB  2MI




TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

4

⑤ Tính chất trọng tâm của tam giác: G là trọng tâm ABC , M ta có:
uuu
r uuur uuur r
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
GA  GB  GC  0 và MA  MB  MC  3MG
⑥ Tính chất trọng tâm của tứ diện: G là trọng tâm tứ diện ABCD:
uuu
r uuu
r uuur uuur r
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
GA  GB  GC  GD  0 và M ta có: MA  MB  MC  MD  4MG
⑦ Ba vectơ gọi là đồng phẳng khi các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
r
r r r
⑧ Nếu ba vectơ a , b , c không đồng phẳng thì mỗi vectơ d đều có thể viết dưới dạng
r
r
r
r
d  ma  nb  pc , với m , n , p duy nhất.
 Chú ý:  Để biểu diễn một vectơ trong hệ cơ sở ta thường đưa về gốc để tính, chẳng hạn
uuuu
r
uuuu
r uuur
vectơ MN và gốc O cho trước OM , ON theo hệ cơ sở thuận lợi, từ đó ta có:
uuuu
r uuur uuuur
MN  ON  OM .
uuur2
AB

AB trong hệ cơ sở gồm 3
AB
 Để tính đoạn
ta có thể bình phương vô hướng
vectơ đồng phẳng.
rr
u .v
r r
r r
r
r
r r � cos(u , v )  ur . vr
u v
u
v
u
 Để tính góc giữa hai vectơ và ta có thể tính ,
và .v

B. BÀI TẬP MẪU
uuu
r r uuur r uuur r
uuuu
r
����


ABCD
.
A
B
C
D
AB

a
AD

b
AA

c
AC
VD 3.1 Cho hình hộp
. Đặt
,
,
. Hãy phân tích các vectơ
,
r
uuuu
r uuuur uuuu
r uuuu
uuuu
r
r r r
BD�
D , DB�
, B��
, BC �và AD�theo ba vectơ a , b , c .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

uuur r uuu
r r uuur r
B C . Đặt AA '  a , AB  b , AC  c .
VD 3.2 Cho hình lăng trụ ABC. A���
uuuu
r uuuu
r
r r r
C , BC �theo ba vectơ a , b , c .
a) Hãy phân tích các vectơ B�
uuuu
r
r r r

���
�qua ba vectơ a , b , c
G
A
B
C
AG
b) Gọi
là trọng tâm tam giác
. Biểu thị vectơ
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

5

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

A� B�
VD 3.3 Cho hình tứ diệnuuABCD
Gọi
,r C �
, D�
lần lượt là trọng tâm của các tam
giác BCD ,
ur r . u
uur r , uuuu
uuuur uuu
r uuur uuur uuur
r
CDA , DAB , ABC . Đặt AA�
 a , BB�
 b , CC �
 c . Hãy phân tích các vectơ DD�
, AB , BC , CD , DA
r
r
r
theo ba vectơ a , b , c .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

ABCD có AB  c , CD  c�
VD 3.4 Cho hình tứ
, AC  b , BD  b�
, BC  a , AD  a�
. Tính cosin
uuudiện
r
uuur
góc giữa các vectơ BC và DA .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

S . ABC có cạnh BC  a 2 và các cạnh còn lại đều bằng a . Tính cosin
VD 3.5 Cho hình chóp tamuugiác
u
r
uuu
r
góc giữa các vectơ AB và SC .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

6

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
0
VD 3.6 Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA  SB  SC  b và đôi một hợp với nhau một góc 30 .
Tính khoảng cách từ S đến trọng tâm G của chúng.

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

VD 3.7 Cho hình tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng m . Các điểm M và N lần lượt là trung
điểm AB và CD .
uuuu
r
uuur
MN
MN
a) Tính độ dài
.
b) Tính góc giữa hai vectơ
và BC
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

7

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức
vectơ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
① Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng
② Sử dụng các quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành,
hình hộp, …
uuur uuur uuuu
r r
B C có cùng trọng tâm khi và chỉ khi AA�
 BB�
 CC �
0.
 Chú ý: Hai tam giác ABC và A���

B. BÀI TẬP MẪU
ABCD
N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh:
M
VD 3.8 Cho u
tứ
diện
uuu
r uuur uuur. Gọi
uuur uvà
uur
a) 2 MN  AD  BC  AC  BD
uuu
r uuur uuur uuur r
GA
 GB  GC  GD  0 .
G
ABCD
b) Điểm
là trọng tâm của tứ diện
khi và chỉ khi
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

G trọng tâm.
VD 3.9 Cho tứ diện ABCD
uuur với
uuur là
uuur
uuur
a) Chứng minh AB  AC  AD  4 AG

uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur
B. AA�
 A�
C. AA�
 A�
D. AA�
0
b) Gọi A�là trọng tâm tam giác BCD . Chứng minh: A�

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

8

B C D . Gọi D1 , D2 , D3 lần lượt là điểm đối xứng của điểm D�qua
VD 3.10 Cho hình hộp ABCD. A����
A, B�
, C . Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện D1 D2 D3 D�
.
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

VD 3.11 Cho hình chóp S . ABCD .

uur uuu
r uur uuu
r
a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì SB  SD  SA  SC
O
AC và BD . Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
b) Gọi
uur uurlà giao
uuu
r điểm
uuu
r của
uuu
r
SA  SB  SC  SD  4SO

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 3. Quan hệ đồng phẳng
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
r r r
① Để c/m ba vectơ a , b , c đồng phẳng, ta chứng minh tồn tại cặp số thực m, n sao cho:
r
r
r
c  ma  nb .
r
r
r
② Để chứng minh ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, ta đi chứng minh:
r
r
r r
ma  nb  pc  0 � m  n  p  0
uuu
r uuur uuur
A
,
B
,
C
,
D
3
AB
③ Bốn điểm
đồng phẳng khi vectơ
, AC , AD đồng phẳng.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 3.12 Chứng minh:
r
r
r r
r r r
ma

nb

pc

0
m
,
n
,
p
3
0
3
a
a) Nếu có
và một trong số
khác thì vectơ , b , c đồng phẳng.
r
r
r r
r r r
ma

nb

pc
 0 thì m  n  p  0 .
a
b
c
b) Nếu , , là ba vectơ không đồng phẳng và
.......................................................................................................................................................................................


GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

9

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

uuuu
r uuuu
r
ABCD . Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM  3MD và trên cạnh BC lấy
VD 3.13 Cho hìnhutứ
diện
uur
uuur
uuuu
r
uuu
r uuur
điểm N sao cho NB  3NC . Chứng minh rằng ba vectơ AB , DC và MN đồng phẳng.
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 4. Cùng phương và song
song
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
uuur uuur

① Để chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng, ta chứng minh hai vectơ AB , AC
uuur

uuur

cùng phương, nghĩa là AB  k.AC ; hoặc có thể chọn điểm O nào đó để chứng minh
uuur
uuu
r uuur
OC  kOA  tOB , với t  k  1 .


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

10

② Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song trùng nhau, ta cần chứng minh hai

uuu
r uuur
uuu
r uuur
CD
AB
AB
vectơ
,
cùng phương. Khi
, CD cùng phương và có một điểm thuộc đường thẳng

AB mà không thuộc đường thẳng CD hoặc ngược lại thì AB và CD là hai đường thẳng
song song.

 P  ta chọn 2
③ Để chứng minh đường thẳng AB song song hoặc nằm trong một mặt phẳng
uuur
uuur
P

 P  hai vectơ ar và br
C
,
D
AB

k.CD
điểm
thuộc
rồi chứng minh
hoặc ta lấy trong
uuur

r

r

không cùng phương, sau đó chứng minh AB , a và b đồng phẳng và có một điểm thuộc

 P  thì đường thẳng AB song song với  P  .
đường thẳng AB mà không thuộc
④ Đường thẳng AB qua M khi A, M , B thẳng hàng. Đường thẳng AB cắt CD tại I thì
uu
r
uur uur
uur
IA  k.IB , IC  t.ID . Đường thẳng AB cắt mp  MNP  tại I thì A, I , B thẳng hàng và

M , N , P , I đồng phẳng.

B. BÀI TẬP MẪU
O bất kì. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
VD 3.14 Cho hai điểm phân biệt A , B và một
uuuu
rđiểmuuu
r uuu
r
một điểm M nằm trên đường thẳng AB là OM  kOA  tOB , trong đó k  t  1 . Ngoài ra k và t không
phụ thuộc điểm O . Với điều kiện nào của k , t thì điểm M thuộc đoạn thẳng AB ? Điểm M là trung
điểm của đoạn AB ?
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

uuur
uuur
ABCD , M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho MA  2 MB ,
VD
3.15
Cho
tứ
diện
uuur
uuur
uu
r
uur uuur
uuu
r
ND  2 NC . Các điểm I , J , K lần lượt thuộc AD , MN , BC sao cho IA  k ID , JM  k JN ,
uuur
uuur
KB  k KC . Chứng minh các điểm I , J , K thẳng hàng.
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

11

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1
3.1

Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD . Chứng minh rằng:
uuu
r uuur uuur uuur r
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
a) GA  GB  GC  GD  0
b) MA  MB  MC  MD  4MG

3.2

Cho hình chóp S . ABCD . Gọi O  AC �BD . Chứng minh rằng:
uuu
r uur uur uuu
r
a) Nếu ABCD là hình bình hành thì SD  SB  SA  SC . Điều ngược lại có đúng không ?
uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
b) ABCD là hình bình hành  SA  SB  SC  SD  4SO .
uuuu
r
uuur
ABCD
N
CD
AM

k
AB và
M
AB
Cho tứ diện
. Lấy các điểm
,
theo thứ tự thuộc

sao cho
uuur
uuur
DN  k DC .
uuuu
r
uuur
uuur
a) Chứng minh rằng: MN  (1  k ) AD  k .BC .
uuur
uuur uuur
uuur
BC
MN
AE

m
AD
BF

mBC
E
F
I
AD
b) Gọi các điểm , , theo thứ tự thuộc
,

sao cho
,

uuu
r
uuuu
r
MI  mMN . Chứng minh rằng E , F , I thẳng hàng.
uuur
uuur
ABCD
N
CD
MA


2
MB và
M
AB
Cho tứ diện
. Lấy các điểm
,
theo thứ tự thuộc

sao cho
uuur
uuur
uu
r
uur uuur
uuu
r
ND  2 NC . Các điểm I , J , K lần lượt thuộc AD , MN , BC sao cho IA  k ID , JM  k JN và
uuur
uuur
KB  k KC . Chứng minh rằng các điểm I , J , K thẳng hàng.

3.3

3.4

3.5

3.6
3.7

3.8

3.9


   ,    và    lần lượt tại A , B , C
Cho hai đường thẳng  và 1 cắt ba mặt phẳng song song
uur uuur uuu
r uuur uuur uuuu
r
A
B
C
OI

AA
OJ

BB
OK

CC
1 ,
1 ,
1 .
và 1 , 1 , 1 . Với O là điểm bất kì trong không gian, đặt
Chứng minh rằng ba điểm I , J , K thẳng hàng.
uuu
r
uur uur
uuu
r
Cho hình chóp S . ABC . Đáy ABC có trọng tâm G . Tính SG theo ba vectơ SA , SB và SC .
uuur r uuu
r r
uuur r
���
ABC
.
A
B
C
AA
'

a
AB

b
Cho hình lăng trụ tam giác

,
và AC  c . Hãy phân tích các vectơ
uuuu
r uuuu
r
r
r
r
B�
C , BC �qua các vectơ a , b , c .
uuur
uuur uuur
uuur
A1 B1 C1
D1
A1 A  2 A1 B B1 B  2 B1C
ABCD
Cho tứ diện
. Gọi
,
,

là các điểm thỏa:
,
,
uuuu
r
uuuu
r uuuur
uuuu
r
uuuur uuuur
uuur r uuur r uuur r
C1C  2C1 D D1D  2 D1 A
,
. Đặt AB  i , AC  j , AD  k . Hãy biểu diễn các vectơ A1 B1 , A1C1 ,
uuuur
r r r
A1 D1
i
theo ba vectơ , j , k .
Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi K là giao điểm của AH và DE , I là giao điểm của BH và
uuur uur
uuur
DF . Chứng minh ba vectơ AC , KI và FG đồng phẳng.

 ABC  . Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho
3.10 Cho ABC . Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng
uuur
uuur
uuur
uuur
r
uuu
r uuuu
MS  2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho NC  2 NB . Chứng minh ba vectơ AB , MN
uuu
r
SC

đồng phẳng.
B C . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB�và A��
C . Điểm K
3.11 Cho hình lăng trụ ABC. A���
uuuu
r
uuur
C sao cho KC �
 2 KB�
thuộc B��
. Chứng minh bốn điểm A , I , J , K cùng thuộc một mặt phẳng.
ABCD. A1 B1C1 D1 .
uuuu
r uuur
uuur
AC1  A1C  2 AC
a) Chứng minh rằng:
.

3.12 Cho hình hộp


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

12

uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur uuuu
r uuuu
r r
OA  OB  OC  OD  OA1  OB1  OC1  OD1  0
O
b) Xác định vị trí của điểm
sao cho:
c) Chứng minh rằng khi đó mọi điểm M
trong không gian ta luôn
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuur uuuur uuuur
uuuu
r
MA  MB  MC  MD  MA1  MB1  MC1  MD1  8MO
uuuu
r

uuuu
r r uuur

uuur

có:

r

3.13 Cho tứ diện ABCD , hai điểm M , N thỏa mãn: MA  tMC  0 , NB  tND  0 . Chứng tỏ rằng khi t
thay đổi thì trung điểm I của MN di chuyển trên một đường thẳng cố định.
3.14 Trong không gian, cho ba điểm A , B , C cố định không thẳng hàng, tìm tập hợp các điểm M sao
uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuuu
r
MA  MB  MC  2MA  MB  MC
cho:

B C D . Gọi M , N lần lượt là các điểm thuộc AD�à BD sao cho
3.15 Cho hình lập phương ABCD. A����
uuur
uuuur uuur
uuur
MA  k MD�
, ND  k NB ( k �0 , k �1 ).
BC ) .
a) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng ( A�
C song song với nhau, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD�và DB .
b) Khi MN và A�
3.16 Trong không gian cho ABC .
M � ABC 
a) Chứng minh rằng nếu điểm
thì có ba số x , y , z mà x  y  z  1 sao cho
uuuu
r
uuu
r
uuu
r uuur
OM  xOA  yOB  zOC với mọi điểm O .
uuuu
r
uuu
r
uuu
r uuur
OM

xOA

yOB
 zOC , trong đó
O
b) Ngược lại, nếu có một điểm
trong không gian sao cho

x  y  z  1 thì M � ABC  .
3.17 Cho hình chóp S . ABC . Lấy các điểm A�
, B�
, C �lần lượt thuộc các tia SA , SB , SC sao cho
SA  aSA�
, SB  bSB�
, SC  cSC �
, trong đó a , b , c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt
phẳng

BC 
 A���
đi qua trọng tâm của ABC

khi và chỉ khi a  b  c  3 .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

TN3.1

TN3.2

TN3.3

TN3.4

uuu
r r uuu
r r uuur r
CA

a
,
CB
 b, AA�
 c . Khẳng
���
ABC
.
A
B
C
M
BB
'
Cho hình lăng trụ
,
là trung điểm của
. Đặt
định nào sau đây đúng?
uuuu
r r r 1r
uuuu
r r r 1r
uuuu
r r r 1r
uuuu
r r r 1r
AM  b  c  a
AM  a  c  b
AM  a  c  b
AM  b  a  c
2
2
2
2
A.
B.
C.
D.
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
A, B, C , D tạo thành hình bình hành là:
để u
uu
r uuu
r uuur uuur r
uuu
r uuur uuur uuur
A. OA  OB  OC  OD  0
B. OA  OC  OB  OD
uuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuur
uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur
OA  OB  OC  OD
OA  OC  OB  OD
2
2
2
2
C.
D.
uur r uur r uuu
r r uuu
r ur
SA

a
,
SB

b
,
SC

c
,
SD
d .
S
.
ABCD
ABCD
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành..Đặt
Khẳng
r rđịnhr nào
ur sau đây đúng?
r r r ur
r ur r r
r r r ur r
a

c

b

d
a

b

c

d
a

d

b

c
a
A.
B.
C.
D.  c  b  d  0
uuu
r r
AB
 b,
ABCD
CD
M
P
AB
Cho
. Gọi

lần lượt là trung điểm của

. Đặt
uuur tứr diện
uuur ur
AC  c, AD  d . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur 1 r u
r r
uuur 1 ur r r
MP  c  d  b
MP  d  b  c
2
2
A.
B.










GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

13

uuur 1 r r ur
MP  c  b  d
2
C.



TN3.5

TN3.6

TN3.7

TN3.8

TN3.9

uuur 1 r u
r r
MP  c  d  b
2
D.







uuuu
r r
AC
'  u,
ABCD
.
A
'
B
'
C
'
D
'
O
 
I
 
ABCD
Cho
có tâm . Gọi là tâm hình bình hành
. Đặt
uuur hình
r uhộp
uuu
r r uuuu
r u
r
CA '  v, BD '  x, DB '  y đúng?
uur 1 r r r u
r
uur
r
1 r r r u
2OI  u  v  x  y
2OI   u  v  x  y
2
2
A.
B.
uur 1 r r r u
r
uur
r
1 r r r u
2OI  u  v  x  y
2OI   u  v  x  y
4
4
C.
D.
B C D . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB�
A�và
Cho hình hộp ABCD. A����
BCC �
B�
. Khẳng định nào sau đây sai ?
uur 1 uuur 1 uuuur
IK  AC  A��
C
, K , C , A đồng phẳng
2
2
A.
B. Bốn điểm uIuu
r uur uuuur
uuur uur
uuur
BD
, IK , B��
C không đồng phẳng.
BD

2
IK

2
BC
C.
D. Ba vectơ
ABCD
G là trọng tâm tứ diện ABCD khi
Cho
uuu
r tứ
uuu
r diện
uuur uuur . rNgười ta định nghĩa “
GA  GB  GC  GD  0 ”. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD )

















B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD
C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC
D. Chưa thể xác định được.
r uuu
r ur uuur r uuur
Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x  AB, y  AC , z  AD . Khẳng
định nào sau đây đúng?
uuur 1 r u
r r
uuur
r r
1 r u
AG  x  y  z
AG   x  y  z
3
3
A.
B.
uuur 2 r u
r r
uuur
r r
2 r u
AG  x  y  z
AG   x  y  z
3
3
C.
D. uuu
r r uuur r
B C D có tâm O . Đặt AB  a, BC  b . M là điểm xác định bởi
Cho hình hộp ABCD. A����
uuuu
r 1 r r
OM  a  b
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
B�
M
A�
A.
là tâm hình bình hành ABB�
B. M là tâm hình bình hành BCC �
C. M là trung điểm BB�
D. M là trung điểm CC �





















Vấn đề 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
① Góc giữa hai vectơ.
uuu
r r uuur r
r
r
u
v
AB
 u , AC  v . Khi đó
Cho và là hai vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ
r
r
r r
0
0


ta gọi góc BAC (0 �BAC �180 ) là góc giữa hai vectơ u và v , kí hiệu ( u , v ).
r
r r

u, v   u
BAC

Ta có
.
② Tích vô hướng.
r
rr r
r
r
Cho hai vectơ uv và v ( �0 ). Tích vô hướng của u và v là:
rr r r
r r
u .v | u | .|B
v | .cos(u , v )
rr
r r
r r
Nếu u  0 hoặc v  0 thì ta quy ước u .v  0 .
A chất.
C
③ Tính


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

14

Tính chất 3.
r r r
a
Với , b , c là ba vectơ bất kì trong không gian và k ��, ta có:
rr rr
a
.b  b .a
 Tính chất giao hoán:
r r r
rr rr
a b  c  a.b  a.c
 Tính chất phân phối:
r
r r
rr
r
 k .a  .b  k a.b  a. k .b
 Tính chất kết hợp:
r2
r2
r r
a

0
a

0

a
0
 Bình phương vô hướng:
,





 

 

④ Vectơ chỉ phương của đường thẳng.
r r
 Vectơ a �0 gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc
trùng với đường thẳng d .
r
r
 Nếu a là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì k .a cũng là một vectơ chỉ phương
của đường thẳng d .
 Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A
thuôc d và một vectơ chỉ phương.
⑤ Một số ứng dụng của tích vô hướng.

uuur
uuur2
AB  AB  AB
 Tính độ dài của đoạn thẳng AB :
r r
a
r r
u.v
cos(u , v )  r r
| u | .| v |
 Xác định góc giữa hai vectơ:
a'
 Chứng minh hai
đường thẳng vuông góc.



II. GócA
giữa hai đườngb'
thẳng
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian
b thẳng a�và b�cùng đi qua một
là góc giữa hai đường
điểm bất kì và lần lượt song song với a và b . Ta có:
,b   
 a, b    a��
III. Hai đường thẳng vuông góc
① Định nghĩa 4.
0
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 .
Kí hiệu: a  b hay b  a .
② Nhận xét.
r r
rr
 Nếu u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì a  b � u .v  0 .
 Nếu a // b và c  a � c  b .

Dạng 1. Chứng minh vuông
góc
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
① Cách 2. Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc của hai đường thẳng trong không gian.
② Cách 3. Muốn chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau ta có thể chứng
uuur uuur
minh AB.CD  0 .
③ Cách 4. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
④ Cách 5. Dùng định lí ba đường vuông góc (ĐL4).


GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

15

B. BÀI TẬP MẪU
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
VD 3.16 Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB. AC  AC. AD  AD. AB thì AB  CD ,
AC  BD , AD  BC . Điều ngược lại có đúng không ?
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................




VD 3.17 Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và ASB  BSC  CSA .
Chứng minh rằng SA  BC , SB  AC , SC  AB .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
2
2
2
2
VD 3.18 Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng AB  CD � AC  BD  AD  BC .

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

VD 3.19 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn AC , BD , BC , AD .
Chứng minh nếu MN  PQ thì AB  CD .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 2. Góc giữa hai đường
thẳng
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a

Để tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b , ta chọn một trong hai cách sau:
Cách 1. Thực hiện
theo các bước sau:
a'
Bước
1. Tìm góc bằng việc lấy một điểm A nào đó
A

b'
b


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

16

(thông thường A �a hoặc A �b ). Qua A
dựng a�và b�theo thứ tự song song với a và
b . Khi đó, góc nhọn hoặc vuông tạo bởi a�và

b�là góc giữa a và b .
r
u góc: Sử dụng tỉ số lượng giác của góc
Bước 2. Tính
a
trong tam giác vuông hoặc dùng định lí hàm
B trong tam giác thường để xác
số sin, côsin
định số đo góc giữa a và b .
A

Cách 2. Thực hiện theo các bước C
sau:
r
r
u và v theo thứ tự là các vectơ
Bước
1.
Tìm
2
vectơ
b
r
v
chỉ phương của các đường thẳng a và b .
r
r
Bước 2. Tính số đo góc   giữa hai vectơ u và v .
Bước 3. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng a và b :
  nếu 00 �a �900
 bằng góc 
0
  là góc tù.
 bằng 180 –  nếu 

B. BÀI TẬP MẪU
VD 3.20 Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a và BC  a 2 . Tính góc giữa hai
đường thẳng AB và SC .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

VD 3.21 Cho tứ diện ABCD có AB  c , CD  c�
, AC  b , BD  b�
, BC  a , AD  a�
. Tính cosin của
góc giữa hai đường thẳng BC và AD .
.......................................................................................................................................................................................


GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

17

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

VD 3.22 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M là trung điểm của CD . Tính góc giữa hai đường thẳng
AB và CD , BC và AM .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

B C D . Tính góc giữa 2 đường thẳng AC và DA�
VD 3.23 Cho hình lập phương ABCD. A����
, BD và AC �
.
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

VD 3.24 Cho tứ diện ABCD có BC  AD  a , AC  BD  b , AB  CD  c . Tính góc giữa BC và AD
.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

18

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

CD 

4
AB
3
. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BC , AC , BD . Biết

VD 3.25 Cho tứ diện ABCD có
5
JK  AB
6
, tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB .

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

VD 3.26 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên SA  AB và SA  BC .
a) Tính góc giữa SD và BC
b) Gọi I , J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD . Chứng minh rằng góc
giữa AC và IJ không phụ thuộc vài vị trí của I và J .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

19

�  600 BAA
� '  DAA
� '  1200
B C D có các cjanh đều bằng a , BAD
VD 3.27 Cho hình hộp ABCD. A����
,
.
D và AC �với B�
D.
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A�
B CD và ACC �
A�
b) Tính diện tích các hình A��
.
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

20

.......................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 2
3.18 Cho ba tia Ox , Oy , Oz không đồng phẳng.
3
cos   cos   cos   
�  �
� 
xOy
yOz


zOx
2
a) Đặt
,
,
. Chứng minh rằng:



b) Gọi Ox�
, Oy �
, Oz�lần lượt là các tia phân giác của các góc xOy , yOz , zOx . Chứng minh rằng
nếu Ox�và Oy�
vuông góc với nhau thì Oz�vuông góc với cả Ox�và Oy�
.
3.19 Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD .
a) Tính độ dài MN theo a .
b) Tính góc giữa MN với AB , CD và BC .

ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau:
3.20 Cho hình lậpuu
phương
ur
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
uuuu
r
EG
EG
AB
AF
AB
DH
a)

b)

c)

3.21 Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AD . Hãy tính góc giữa
AB và CD , biết AB  CD  2a và MN  a 2 .
3.22 Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a , BC  a 2 . Tính góc giữa hai đường
thẳng SC và AB .
3.23 Cho tứ diện ABCD , biết AB  AC và DB  DC .
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC .
uuur
uuur
M , N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và BD sao cho MA  k MB ,
b) Gọi
uuur
uuur
ND  k NB . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC .

ABCD
3.24 Chouutứ
minh
rằng:
u
r udiện
uur uuur uuur. Chứng
uuur uuu
r
a) AB.CD  AC.DB  AD.BC  0 . Từ đó, suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB  CD và
AC  DB thì AD  BC .
uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
b) Nếu AB. AC  AC. AD  AD. AB thì AB  CD , AC  DB , AD  BC . Điều ngược lại có đúng
không ?


c) Nếu AD  BD  CD và BDC  CDA thì AB  CD , AC  DB , AD  BC .
0
0



3.25 Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC  BAD  60 , CAD  90 . Chứng minh rằng:
a) AB vuông góc với CD .
b) Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì IJ  AB và IJ  CD .




3.26 Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA  SB  SC và ASB  BSC  CSA . Chứng minh rằng
SA  BC , SB  AC , SC  AB .
3.27 Cho hai tam giác đều ABC và ABC �có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
A . Chứng minh rằng:
Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , CB , BC �
, C�
a) AB  CC �
.
b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
3.28 Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình bình hành. SAB và SAD là các tam giác vuông tại A .
Chứng minh rằng:
a) SA vuông góc với BC và CD .
b) SA vuông góc với AC và BD .

D có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau,
3.29 Cho hai hình vuông ABCD và ABC ��
C là hình chữ nhật.
lần lượt có tâm O và O�
. Cmr: AB  OO�và tứ giác CDD��


GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

21

r
r
r
r
r
r r
3.30 Cho vectơ n (khác 0 ) và hai vectơ a và b thì ba vectơ n , a và b không đồng phẳng.
r
r
3.31 Chứng minh rằng ba vectơ cùng vuông góc với vectơ n (khác 0 ) thì đồng phẳng. Từ đó suy ra, các
đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.
3.32 Gọi S là diện tích ABC . Chứng minh rằng:

S

r 2 uuur 2 uuu
r uuur
1 uuu
AB AC  AB.AC
2





2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
TN3.10 Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c . Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng vuông góc với c thì a //b .
B. Nếu a //b và c  a thì c  b .
C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a //b .
D. Nếu a và b cùng nằm trong mp ( a) //c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c  .
TN3.11 Cho tứ diện ABCD có

AB  CD  a, IJ 

a 3
2 . ( I , J lần lượt là trung điểm của BC và AD ). Số

đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
0

0

A. 30 .

0

B. 45 .

0

C. 60 .

D. 90 .

TN3.12 Cho tứ diện ABCD có AC  a, BD  3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết
AC vuông góc với BD . Tính MN
A.

MN 

a 10
2 .

B.

MN 

a 6
3 .

C.

MN 

3a 2
2 .

D.

MN 

2a 3
3 .

B C D . Giả sử tam giác AB�
C và A�
DC �đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai
TN3.13 Cho hình hộp ABCD. A����
D là góc nào sau đây ?
đường thẳng AC và A�
C
C
B
A. �BDB�
B. �AB�
C. �DB�
D. �DA��
uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
TN3.14 Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu AB. AC  AC. AD  AD. AB thì AB  CD , AC  BD ,
AD  BC . Điều ngược lại đúng không?
Sau đây là lời giải:
Bước 1:
Bước 2:

uuu
r uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur
uuur uuur
AB. AC  AC. AD � AC. AB  AD  0 � AC.DB  0 � AC  BD
uuur uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuur uuur
Chứng minh tương tự, từ AC. AD  AD. AB ta được AD  BC và AB. AC  AD. AB ta





được AB  CD.
Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương.
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?
A. Đúng
B. Sai từ bước 1
C. Sai từ bước 1
D. Sai ở bước 3

TN3.15 Cho tứ diện đều ABCD (tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và
CD bằng:
A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

B C D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
TN3.16 Cho hình hộp ABCD. A����
có thể sai?

C  BD
A. A��

B  DC �
C. A�

 BD
B. BB�

 A�
D
D. BC �

cos  AB, DM 
TN3.17 Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó
bằng:
A. b)

C.

D.

TN3.18 Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi
 MN , SC 
N
M
AD SD


lần lượt là trung điểm của



. Số đo của góc

bằng:


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2
A. 300

B. 450

22
C. 600

D. 900

TN3.19 Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và

BC . Số đo của góc  IJ , CD  bằng:
A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

TN3.20 Cho tứ diện ABCD có AB  CD . Gọi I , J , E , F lần lượt là trung điểm của AC , BC , BD, AD .
Góc giữa
A. 300

 IE , JF 

bằng:
B. 450

C. 600

D. 900


GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

23

Vấn đề 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT
PHẲNG
a nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
I. Định
① Định nghĩa 5: Đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông
góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đó.
b
a
a  ( ) �

�� a  b
a  ( ) � a  b, b �( ) ; b �( ) �
d vuông góc
b
② Định lí 3: Nếu đường
thẳng
O
b, c �( ) �

c
b
a

với hai đường thẳng cắt nhau và cùng
b ca�
tc
�� a  ( )
(

)
nằm trong mặt phẳng
thì đường thẳng
a  b, a  c �

(

)
d vuông góc với mặt phẳng
.
II. Tính chấta
① Tính chất 4:



O



Oⓐ Có duy nhất một mặt phẳng  P  đi qua một điểm O

cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho
trước.
M một đường thẳng  đi qua một điểm O cho trước và
ⓑ Có duy nhất
vuông góc với một mặt phẳng

 P

cho trước.

A

O của đoạn AB và
② Định nghĩa
O 6: Mặt phẳng đi qua trung điểm
B
 với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn AB .
vuông góc
M �ma�
t trung tr�

c cu�
a AB � MA =MB

III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và
mặt phẳng
① Tính chất 5:
b
ⓐ Nếua mặt phẳng
nào vuông góc với một
a //b �
trong hai đường thẳng song song thì cũng
�� ( )  b
( )  a �
vuông góc với đường thẳng còn lại.
 Hai đường
a thẳng phân biệt cùng vuông

a  ( ) �
góc với một mặt phẳng thì chúng song

b  ( ) �� a //b
song với nhau.
a�
b �

② Tính chất 6:
ⓐĐường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song
thì cũng vuông góc với mặt phẳng(còn
 ) lại.
a �

( )//(  ) �
(  )  a �� ( )//(  )

�� a  (  )
( ) �
a  ( ) �
 ( ) �


ⓑ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với
nhau.
③ Tính chất 7:


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

24

ⓐ Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( ) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc
với ( ) thì cũng vuông góc với a .
a

a //() �
�� b  a
b  ( ) �

a�
 ( ) �

a  b �� a //( )
( )  b �


ⓑ Nếu một bđường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường
thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song
song với nhau.
IV. Định lí ba đường vuông góc
① Định nghĩa 7: Phép chiếu song song lên mặt phẳng ( ) theo phương l vuông góc với mặt
phẳng ( ) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ( ) .
② Định lí 4: (Định lí 3 đường vuông góc)
B
( ) và đường thẳng b nằm trong ( ) .
Cho đường
a thẳng a không vuông góc với mặt phẳng
A
Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a�của a
trên ( ) .
a'
bA'
�( ) �B' a
b �

a  ( ) �thì b  a � b  a '
Ch a  a '�


V. Góc 
giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa 8: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
ⓐ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( ) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a
0
a  ( ) � [a, ( )]  900
và mặt phẳng ( ) bằng 90 .
a
ⓑ Nếu đường A
thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) thì góc giữa
a và hình chiếu a�của a trên ( ) gọi là góc giữa đường thẳng a và

mặt phẳng ( )



a'



)�
AOH
O a, ( )H  ( a , a�

 Chú ý:

00 � a, ( )  �900

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 P .
① Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
② Chứng minh a nằm trong một trong hai mặt phẳng vuông góc và d vuông góc với giao tuyến
 d vuông góc với mặt còn lại (ĐL7).
③ Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ 3 (HQ2).
a   P
④ Chứng minh đường thẳng d song song với a mà
.
⑤ Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với


GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

25

mặt phẳng còn lại. (TC6).

 P
⑥ Chứng minh d là trục của tam giác ABC nằm trong

B. BÀI TẬP MẪU
SA  ABC 
VD 3.28 Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B ,
.
BC   SAB 
a) Chứng minh:
AH   SBC 
b) Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB . Chứng minh
.
SC   AHK 
c) Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC . Chứng minh
.
IA   SAC 
d) Đường thẳng HK cắt BC tại I . Chứng minh
.
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×
x