Tải bản đầy đủ

Vấn đề 1 GIỚI hạn của dãy số file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
1

Chủ đề 11

GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

2

A - GIỚI HẠN HỮU HẠN
 Giới hạn hữu hạn
un = 0 ⇔ un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• nlim
→+∞
vn = L ⇔ lim ( vn − L ) = 0
• Dãy số ( un ) có giới hạn là L nếu: nlim

→+∞
n →+∞
 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un = 0, lim un = L .
 Giới hạn đặc biệt
1) lim

1
=0
n

2) lim

1
=0
n

3) lim

1
=0
n

3

5) lim C = C , ∀C ∈ ¡

6) lim q n = 0 nếu q < 1 )

8) lim q n = +∞ nếu q > 1

9) lim n k = +∞, k ∈ ¥ *

4) un = 0 ⇒ lim un = 0
7) lim

1
= 0, k ∈ ¥ *
nk

 Định lí về giới hạn


• Nếu hai dãy số ( un ) và ( vn ) cùng có giới hạn thì ta có:
2) lim ( un .vn ) = lim un .lim vn

1) lim(un ± vn ) = lim un ± lim vn
3) lim

un lim un
=
(Nếu lim vn ≠ 0 )
vn lim vn

4) lim ( k .un ) = k .lim un , (k ∈ ¡ )

5) lim | un |=| lim un |

6) lim 2 k un = 2 k lim un (nếu un ≥ 0 ) (căn bậc chẵn)

7) lim 2 k +1 un = 2 k +1 lim un

(căn bậc lẻ) 8) Nếu un ≤ vn và lim vn = 0 thì lim un = 0 .

- Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số ( un ) , ( vn ) ,

( wn )



L ∈ ¡ . Nếu

un ≤ vn ≤ wn , ∀n ∈ ¥ * và lim un = lim wn = L thì ( vn ) có giới hạn và lim vn = L .
• Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì lim

un
=0.
vn

1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
n

1
 Chú ý: e = lim  1+ ÷ ≈ 2, 718281828459... , là một số vô tỉ.
 n
 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
• Một cấp số nhân có công bội q với | q |< 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
u1
2
Ta có : S = u1 + u1q + u1q +… =
(với | q |< 1 )
1− q
B - GIỚI HẠN VÔ CỰC
 Định nghĩa
un = +∞ ⇔ un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• nlim
→+∞
un = −∞ ⇔ un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• nlim
→+∞
un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞
• nlim
→+∞
n →+∞

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un = ±∞ .
 Định lí



Neá
u lim un = +∞ thì lim

1
=0
un


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
3

− Nếu lim un = 0, ( un ≠ 0, ∀n ∈ ¥ ) ⇔ lim

1
=∞
un

 Một vài qui tắc tìm giới hạn
Qui tắc 1:
Nếu lim un = ±∞

Qui tắc 2:
Nếu lim un = ±∞

Qui tắc 3:
Nếu lim un = L ,

và lim vn = ±∞ ,

và lim vn = L ≠ 0 ,

lim vn = 0 và vn > 0 hoặc

thì lim ( un .vn ) là:

thì lim ( un .vn ) là:

vn < 0 kể từ một số hạng nào
đó trở đi thì:

lim un lim v n lim ( un .v n )
+∞
+∞
−∞
−∞

lim un
+∞
+∞
−∞
−∞
L
+
+



+∞
−∞
+∞
−∞

+∞
−∞
−∞
+∞

Dấu của
lim ( un .vn )
L
+

+


+∞
−∞
−∞
+∞

Dấu của vn lim
+

+


un
vn

+∞
−∞
−∞
+∞

Dạng 1. Dãy có giới
hạn 0
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Dãy (un) có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết: lim(un ) = 0 hoặc lim un = 0 hoặc un → 0 .
lim un = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ¥ * : n > n0 ⇒ un < ε
• Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)
 Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên
hợp của căn thức, …

B. BÀI TẬP MẪU


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

4

VD 1.1 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0:

a) un =

1
n+3

(−1) n
b) un =
n+4

c) un =

1
3n

b) un =

dương

(−1) n
2n

c) un =

1
n2

d) un =

n
c) un = (0,99)

1
,
nk

k

nguyên

n
d) un = ( −0,97)

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.2 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0: a) un =

1
n(n + 1)

b) vn =

(−1) n cos n
n2 + 2

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.3 Tính các giới hạn sau:

a) un =

sin n
n+5

b) un =

cos 3n
n +1

c) un =

(−1) n
3n + 1

d) un =

− sin 2n
(1, 2) n

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.4 Tính: a) lim

n + 2sin(n + 1)
( −2) n
b)
c) lim
lim
n3 n + 23 n
33n + 4

(

)

n + 1 − n d) lim 2

(

n2 + 1 − n

)

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
5
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.5 Chứng minh các dãy sau có giới hạn bằng 0: a) un = 3 n + 1 − 3 n

b) vn = 3 n3 + 1 − n

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.6 Cho dãy số (un) với un =

a) Chứng minh

n
.
3n

un +1 2
< với mọi n
un
3

b) Chứng minh rằng dãy ( un ) có giới hạn 0

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

u
1
, un +1 = un2 + n , n ≥ 1 .
4
2
1
a) Chứng minh 0 < un ≤ với mọi n
b) Tính lim un
4

VD 1.7 Cho dãy số (un) với u1 =

.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

6

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 2. Khử dạng vô
định




A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Đối với dãy un =

a0 n m + a1n m −1 + ... + am
, a0 ≠ 0, b0 ≠ 0 thì chia cả tử lẫn mẫu của phân thức
b0 n k + b1n k −1 + ... + bk

cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử n m hoặc mẫu n k , việc này cũng như đặt thừa số chung cho
n m hoặc mẫu n k rồi rút gọn, khử dạng vô định. Kết quả:
0
khi m < k

a
a
lim un =  0 khi m = k (dấu +∞ hoặc −∞ tùy theo dấu của 0 )
b0
 b0
±∞ khi m > k
• Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số
chung rồi đưa ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n
ở tử hoặc mẫu.
• Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này
cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.
 Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … và sử dụng các kết quả đã biết.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.8 Tính các giới hạn sau:

a) lim

2n + 1
3n + 2

b) lim

n 2 − 3n + 5
3n 2 + 4

c) lim

n3 + n 2 − n + 1
2n 3 + n 2 + 2

d) lim

2n 4 + 1
3n 4 + n + 2

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
7
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.9 Tính các giới hạn sau:

3n 2 − n + 1
n3 + 4n 2 + 6
n5 + n 4 − 3n − 2
d) lim
4n 3 + 6n 2 + 9
a) lim

n4 + 4
n5 + 5
(n + 2)(3n + 1)
e) lim
4n 2 + n + 1
b) lim

−2n3 + 3n − 2
3n − 2
(2n + 1) 2 (4 − n)
f) lim
(3n + 5)3
c) lim

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

8

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.10 Tính các giới hạn sau:

a) lim

n 4 + 3n − 2
2n 2 − n + 3

b) lim

3

n 6 − 7 n3 − 5n + 8
n + 12

c) lim

2n 2 − n
1 − 3n 2

d) lim

6n 4 + n + 1
2n + 1

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.11 Tính các giới hạn sau:


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
9

a) lim

4n
2.3n + 4n

b) lim

3n − 2.5n
7 + 3.5n

c) lim

3.2n +1 − 2.3n +1
4 + 3n

d) lim

2 2 n + 5n + 2
3n + 5.4n

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 3. Khử dạng vô định
∞ -∞
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Đối với dãy un = am n m + am −1n m −1 + ... + a0 , am ≠ 0 thì đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất
của n là nm. Khi đó: lim un = +∞ nếu am > 0 và lim un = −∞ nếu am < 0
• Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về
dạng:
A+ B3
A− B2
3
A+ B=
A+ B=

3
A− B
A2 − B.3 A + B 2



A+ B =

A− B
A− B



3

A− B=

A − B3
3

A2 + B.3 A + B 2
A+ B

A− B2
3
A+ 3 B =

3
A+ B
A2 − 3 A.B + 3 B 2
A− B
A− B
3
A− 3 B =
A− B =


3
2
3
A+ B
A + A.B + 3 B 2
• Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng
vô định, chẳng hạn:



A− B=

3

) (
= ( n + n − n) + ( n +

n3 + 2 − n 2 + 1 =
n 2 + n + 3 2 − n3

(

3

)

n3 + 2 − n + n − n 2 + 1 ;
2

3

2 − n3

)

• Đối với các biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số
lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.12 Tính các giới hạn sau:


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2
2
a) lim ( n − 14n − 7 )

10

2
b) lim ( −2n + 3n − 19 )

c) lim 2n 2 − n + 1

d)

lim 3 −8n3 + n 2 − n + 3
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.13 Tính các giới hạn sau:

a) lim
lim

(

3

(

n2 + n + 1 − n

n3 + n 2 − 3 n3 + 1
d) lim

(

3

)

n3 + 1 − n

)

)

b) lim

(

e) lim

(

)

n +1 − n n

3

n3 + n 2 − n 2 + 3n

c)

)

f) lim

n2 + 2 − n2 + 1
3

n3 + 2 − 3 n3 + n 2

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
11
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.14 Tính các giới hạn sau:

(

a) lim n n − 2 n + 1
d) lim

(

)

n2 + n + 2 − n + 1

b) lim

)

e) lim

(

3

n 2 + 7 − 2n

)

1
n + 2 − n +1

c) lim 2.3n − n + 2
f) lim

2
3n + 2 − 2n + 1

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

12

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 4. Cấp số nhân lùi
vô hạn
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một cấp số nhân có công bội q với | q |< 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
u1
2
Ta có : S = u1 + u1q + u1q + … =
, với | q |< 1 .
1− q

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.15 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: 0,444…; 0,212121…
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.16 Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là

5
39
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là
. Tìm số
3
25

hạng đầu và công bội của cấp số đó.
.......................................................................................................................................................................................


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
13
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.17 Cho q < 1 . Tính tổng vô hạn sau:

a) A = 1 + 2q + 3 p 2 + ... + nq n −1 + ...

b) B = 1 + 4q + 9 p 2 + ... + n 2 q n −1 + ...

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO
VẤN ĐỀ 1
1.1

1.2

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim(−2n3 + 3n + 5)

2)

lim 3n 4 + 5n 3 − 7n

3)

lim(3n3 − 7 n + 11)

4)

lim 2n 4 − n 2 + n + 2

5)

lim 3 1 + 2n − n3

6)

lim(−n3 − 3n − 2)

2)

lim

3)

lim

Tìm các giới hạn sau:
4n 2 − n − 1
1) lim
3 + 2n 2
4)
7)

(2 − 3n)3 ( n + 1) 2
lim
1 − 4n 5
4n 2 − 3
lim 3
n + 3n + 1

10) lim
lim

2(n − 1)3 (n 2 − n + 1) 2
(n3 − 2n + 5)(3 − 2n)6

5)
8)

2n − 3n3 + 1
n3 + n 2
2n − 3
lim
4n + 5
(n + 1)(2n − 1)
lim
(3n + 2)(n + 3)

6)
9)

3n3 − 5n + 1
n2 + 4

3n 2 − 2n + 1
lim 2
4n + 5n − 2
n(3n − 2)(4n + 5)
lim
(2n − 3) 2

11) lim

(2n − 1)3 (n − 3)5
3(n + 1)9

14) lim

4n5 − n + 1
6n3 − 2n + 1
15) lim
(2n + 1)(−n + 1)(n 2 + 2)
2n3 − n

12)

(n 2 + 1)(n − 3) + n3 − 2
(2n 2 + 1)(3 − n)

n3 − 2n + 1
13) lim 2
2n − n + 3


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

16) lim
1.3

1.4

2n3 + 3n − 2
17) lim
3n − 2

2n3 − n − 3
18) lim
5n − 1

Tìm các giới hạn sau:
n +1
n +1

1)

3n 2 + 1 + n
lim
1 − 2n 2

2)

lim

2n n
2
n + 2n − 1

3)

lim

4)

lim

n3 + n
n+2

5)

lim

n2 + 2 n + 3
2n 2 + n − n

6)

lim

(2n n + 1)( n + 3)
( n + 1)(n − 3)

7)

lim

2n n + 3
n2 + n + 1

8)

lim

n 1 + 2 + 3 + ... + 2n
3n 2 + n − 2

9)

lim

2n n + 3
n2 + 3 n + 2

3

Tìm các giới hạn sau:
1)

n 2 + n − 1 − 4n 2 − 2
2)
lim
n+3

4)

lim

7)

lim

10) lim
1.5

(n 2 + 1)(n − 1) 2
(n + 1)(3n − 2)3

14

4 n 2 + 3 − 2n + 1
n 2 + 2n − n
n( 3 2 − n 3 + n)
n2 + 1 − n
4 n 2 + 1 − 2n − 1
n 2 + 4n + 1 − n

lim

2n + 1 − n 2 + 2n − 4
3n + n 2 + 7

3)

lim

5)

lim

3n 2 + 1 − n 2 − 1
n

6)

lim

8)

lim

2n − 1 − n
3n + 1

9)

lim

11) lim

n6 − n + 1 + n 2
3n 2 n 2 − 1

12) lim

4 n 2 + 3 − 2n + 1
n ( n 2 + 3 − 2 n)
1
n + 2 − n2 + 4
2

n − n2 −1
n 2 + 2n
4 n 2 + 3 − 2n + 1
n 2 + 4n + n

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim n( n 2 − 1 − n 2 + 2)

lim n( n 2 + 1 − n 2 − 2)

3)

lim(1 + n 2 − n 4 + 3n + 1)

4)

lim(2n − 1 − 4n 2 − 6n + 7) 5)

lim( n3 − 3n − n + 5)

6)

lim( n 2 + 2n − n − 1)

7)

lim( n 2 + 2n − n + 1)

lim( n 2 + n − n 2 − 1)

9)

lim( n + 1 − n )

10) lim( n 2 + n + 1 − n)
13) lim

1
n + 2 − n +1

2)

8)

11) lim( n 2 + n + 2 − n + 1)
14) lim

n2 + 1 − n + 1
3n + 2

12) lim( 3 2n − n3 + n − 1)
9)

lim

1
3n + 2 − 2n + 1

10) lim(3 n 3 + n 2 − n )

11) lim( 3 n3 − 2n 2 − n)

12) lim( 3 n3 − 2n 2 − 2n + 1)

13) lim( 3 n − n3 + n)

14) lim( 3 n3 + 1 − n)

15) lim( 3 2 − n3 + n)

16) lim

n( 3 2 − n 3 + n)
n + 1 − 2n
2

2

17) lim( 3 8n3 + n 2 − 1 + 3 − 2n) 18)

lim( 3 n3 − 3n − n 2 + 4n )
1.6

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim[4 + (−2) ]

2)

1

lim  2n + ÷
n


4)

 2  n 3n 
lim  ÷ + n
 π ÷
 4 


5)

lim

7)

3n − 4n
lim n
3 + 4n

8)

2n +1 + 3n +1
lim n n
2 +3

n

n

3)

(−2) n − 4.5n +1
lim
2.4n + 3.5n

1 − 2n
1 + 2n

6)

lim

9)

2n + 3n − 4n +3
lim n n +1 n −1
2 −3 + 4

(−2) n + 3n
(−2) n +1 + 3n +1


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
15

10) lim

n 2 + (−1) n
2n 2 + (−1) n +1

11) lim

3 + 4n
1 + 3.4n

12) lim

3n − 4n + 5n
3n + 4n + 5n+1

13) lim

2n + 3n +1
2n + 5.3n

14) lim

3n − 4n + 1
2.4n + 2n

15) lim

4.3n + 7 n +1
2.5n + 7 n

18) lim

4 n − 5n
2n + 3.5n

3n − 2.5n
7 + 3.5n
1 + a + a2 + K + an
20) lim
1 + b + b2 + K + bn

16) lim 2n − 3n

17) lim

2n − 3n + 4.5n + 2
19) lim n +1 n+ 2 n +1
2 +3 +5
1.7

Tính tổng vô hạn:
1 1 1
1) S = 1 + + + +K
2 4 8
S=

1 2 3 4
+ + + K
2 4 8 27

4)

S=
1

2)

2 +1
1
1
+
+ +K
2 −1 2 − 2 2
1

1

(vôù
i a < 1; b < 1)

1 1 1
S = 1 − + − +K
3 9 27

3)

1
5) S = 8 + 4 + 2 + 1 + + ...
2

6)

1

S = 33.9 9.27 27 .8181 K
7) 1 + 0,9 + ( 0,9 ) + ( 0,9 ) +…
2

1.8

1.9

2

8) S =

34
34
34
+
+
+K
100 10000 1000000

Tìm phân số phát sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn sau:
1) 34, ( 12 ) …
2) 0, ( 25 ) …
3) 3, ( 123) …

4) 2,131131…

Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) . Chứng minh rằng nếu lim vn = 0 và | un |≤ vn với mọi n thì lim
un = 0 . Áp dụng tính giới hạn của các dãy số sau:
1
n!

1)

un =

4)

un = (0,99) n cos n

(−1) n
2n − 1

2)

un =

5)

un = 5n − cos nπ

3)

un =

2 − n(−1) n
1 + 2n 2

BÀI TẬP TRẮC
NGHIỆM
TN1.1

TN1.2

Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
1
n −1
A.
.
B.
.
n
n
n

D.

cos n
.
n

n

 5
B.  − ÷ .
 4

n

n

 2
C.  ÷ .
 3

 4
D.  − ÷ .
 3

Dãy nào sau đây không có giới hạn?
n

 2
A.  ÷ .
 3
TN1.4

1
n +1

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
 3
A.  ÷ .
 2

TN1.3

C.

( −1)
lim

n

 2
B.  − ÷ .
 3

n

n+2

có giá trị bằng

C. ( −0,99 ) .
n

D. ( −1) .
n


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

A.
TN1.5

TN1.6

1
.
2

B. 0 .

 1 − 2n 
lim 
÷ có giá trị bằng
 4n 
1
1
A. .
B. − .
4
4
lim

TN1.8

TN1.9

C. −1 .

1
D. − .
2

C.

1
.
2

1
D. − .
2

C.

3
.
5

D.

3n + 5n
có giá trị bằng
5n

B. 0 .

A. 1 .
TN1.7

16

−2n3 + n − 5
có giá trị bằng
n 4 − 2n + 2
A. −∞ .
B. −2 .

8
.
5

lim

2n 4 − n + 1
có giá trị bằng
3n 4 + 2n
2
A. 0 .
B.
3

C. 0 .

D. −6 .

C. +∞ .

D.

2
.
5

C. 1 .

D.

3
.
2

C. +∞ .

D. −2 .

C. 1

.

3
C. − .
2

D. +∞ .

C. +∞ .

D. −∞ .

C. 3 .

D. 7 .

C. 0 .

D. +∞ .

lim

2n 2 − 3n3
có giá trị bằng
lim 3
2 n + 4n 2 − 1
3
A. − .
B. 0 .
2
2n3 − n 2 + 4
có giá trị bằng
n 2 + 2n − 3
A. 2 .
B. 0 .

TN1.10 lim

TN1.11

(n
lim

2

+ 2n ) ( 2n3 + 1) ( 4n + 5 )

(n

4

− 3n − 1) ( 3n 2 − 7 )

A. 0 .

B.

( 2n − n ) ( 3n + 1)
lim
( 2n − 1) ( n − 7 )
3

TN1.12

8
.
3

D. +∞ .

2

4

A. 1 .

có giá trị bằng

có giá trị bằng
B. 3 .

3
2
TN1.13 lim ( −2n − 2 n + 3 ) có giá trị bằng

A. −2 .

B. −1 .

4
2
TN1.14 lim ( 3n + 4 n − n + 1) có giá trị bằng

A. −∞ .

B. +∞ .

9n 2 − n − n + 2
có giá trị bằng
3n − 2
A. 1 .
B. 3 .

TN1.15 lim


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
17

TN1.16 lim

)

(

n 2 + 4 − n 2 + 1 có giá trị bằng

A. 3 .
TN1.17 lim

B. 1 .

A.

C. −1 .

D. −∞ .

C. +∞ .

D. 1 .

n 2 + 2n − 1 − 2n 2 + n có giá trị bằng
B. +∞ .

)

(

n 2 − 2n + 3 − n có giá trị bằng

A. −1 .
TN1.19 lim

D. +∞ .

)

(

A. 1 − 2 .
TN1.18 lim

C. 0 .

B. 0 .

)

(

2 n 2 − n + 1 − 2n 2 − 3n + 2 có giá trị bằng
1
.
2

B. 0 .

C. +∞ .

D. −∞ .

1 
 1

TN1.20 lim 
÷ có giá trị bằng
n+2 
 n +1
B. 0 .

A. 1 .
TN1.21 lim n

(

C.

1
.
2

D. +∞ .

)

n + 2 − n − 3 có giá trị bằng

A. −1 .

B. 0 .

D. +∞ .

C. 1 .

TN1.22 Nếu lim un = L thì lim 3 un + 8 có giá trị bằng
A. L + 2 .

B.

TN1.23 Nếu lim un = L thì lim
1
.
L +3

A.

3

A. 1 .
3

TN1.25 lim
A.

L+8 .

C.

3

L +2.

D. L + 8 .

1
.
L +3

D.

1
có giá trị bằng
un + 9
B.

1
.
L+9

C.

1
.
L+9

n +1
có giá trị bằng
n+8

3

TN1.24 lim

3

B.
8n3 + 2n 2 − 1
2n 2 + 1

2.

1
.
2

C.

1
.
8

D. +∞ .

có giá trị bằng
B. 2 .

C. 1 .

D. +∞ .

C.

.

 3n + ( −1) n cos 3n 
TN1.26 lim 
÷
÷ có giá trị bằng
n −1



A.

3
.
2

B.

3.

5

D. −1 .

n
n
TN1.27 lim 3 − 5  có giá trị bằng



A. 3 .

B. −∞ .

C. +∞ .

D. − 5 .


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

TN1.28 lim

( 5)
5.2n +

n

− 2n +1 + 1

( )
5

n +1

−3

1
A. − .
3

có giá trị bằng

B.

1
.
5

π n + 3n + 22 n
TN1.29 lim n n
có giá trị bằng
3π − 3 + 22 n + 2
1
A. 1 .
B. .
4
TN1.30 lim

n + n2 + 1
n2 − n − 2

(

B. 2 .

3

A.

(

3

.

1
D. − .
5

C. +∞ .

D. −1 .

C. 0 .

D. −1 .

C. 1 .

D. 0 .

C. 1 .

D. 0 .

)

B.

1
.
3

)

n 2 − n3 + n có giá trị bằng

1
.
3

B. +∞ .

TN1.33 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
1 − 3n
n2 + 1
.
A. un =
B. un =
.
2
n + 3n 2
n + 3n
TN1.34 Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞ ?
1 + 2n
n 2 + 2n
.
A. un =
B. un =
.
2
3n + 3
3n + 3n
un =

2
5

n3 − 2 n 2 − n có giá trị bằng

2
A. − .
3
TN1.32 lim

C. −

có giá trị bằng

A. 1 .
TN1.31 lim

18

C. un =

1 + 2n 2
.
n+5

D. un =

C. un =

2 + n2
.
3n + 3

D.

1 − 2n
.
n+5

n2 + 2
.\
n + 5n3

TN1.35 Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞ ?
2018 + 2017 n
.
n +1
2
D. un = n + 1.

n 2 + 3n
.
2n + n 2
2
C. un = 2017n − 2016n .

B. un =

A. un =

TN1.36 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng −1?
A. lim

3n 2 − 1
.
−3n3 + 2

B. lim

2n3 − 3
.
−2n3 + 1

3n 2 − 1
.
−3n3 + 3n2

D. lim

n3 − 3
.
−n 2 − 1

C. lim

2n 2 − n 4
.
− n 3 + 2n 2

D. lim

3 + 5n3
.
n2 − 1

C. lim

3n 2 − 2n3
.
−2n3 + 4n 2

D. lim

3 + 2n 4
.
2n 2 + 1

C. lim

TN1.37 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?
A. lim

5n 2 + 2
.
−5n3 − 4

B. lim

2 n − 5n 3
.
−2n 2 + 1

TN1.38 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 1 ?
A. lim

n2 + 2
.
− n3 − 4

B. lim

2n − n 3
.
2n 2 − 1


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
19

TN1.39 Dãy số nào sau đây không có giới hạn?
n
π

A. lim ( −1) sin  + nπ ÷.
2

π

C. lim cos  + nπ ÷.
2


D. lim cos ( nπ ) .

TN1.40 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1 ?
A. lim sin ( nπ ) .
 n+2 
π ÷.
C. lim sin 
 2n − 1 

TN1.41 Tổng S =
A.

1
.
5

B. lim sin ( nπ ) .

B. lim cos ( nπ ) .
D. lim

1 1
1
+ 2 + ... + n + ... có giá trị bằng
5 5
5
1
B. .
4

( −1)
1
1 1
TN1.42 Tổng S = +  − ÷+ +...+
2  4 8
2n
1
A. 1 .
B. .
3

n cos n − 2
.
n2

C.

2
.
5

D.

5
.
4

C.

3
.
4

D.

2
3

C.

1
.
5

D. +∞ .

C. 0 .

1
D. − .
2

C. 0 .

D. −∞ .

C. –4.

D.

n +1

+ ... là

1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1)
có giá trị bằng
5n 2 − 4
1
A. 0 .
B. − .
4

TN1.43 lim

TN1.44 lim

1 + 2 + 3 + ... + n
có giá trị bằng
n2 − 2
B. +∞ .

A. 1 .

 1

1
1
+
+ ... +
TN1.45 lim 
÷ có giá trị bằng
n ( n + 1) ÷
 1.2 2.3

1
A. .
B. 1 .
2


n 2 cos 2n 
 là:
TN1.46 Kết quả đúng của lim  5 −
n 2 + 1 

A. 4.

B. 5.

TN1.47 Kết quả đúng của lim
A. –

5
.
2

TN1.48 Kết quả đúng của lim
A. –

3
.
3

2 − 5 n−2
là:
3 n + 2 .5 n
B. 1.
− n 2 + 2n + 1
3n 4 + 2
2
B. – .
3

C.

5
.
2

1
.
4

D. –

25
.
2


C. –

1
.
2

D.

1
.
2


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

TN1.49 Giới hạn dãy số ( un ) với un =
A. –∞.

20

3n − n 4
là:
4n − 5

B. +∞.

C.

3 n − 4.2 n −1 − 3
bằng :
3.2 n + 4 n
A. +∞.
B. –∞.

3
.
4

D. 0.

TN1.50 lim

C. 0.

D. 1.

C. –∞.

D. +∞.

C. –2.

D. 0.

TN1.53 Giá trị đúng của lim 3 n − 5 n là:
A. –∞.
B.

C. 2.

D. –2.


 2

− 2n 3  bằng:
TN1.54 lim  n sin
5


A. +∞.
B. 0.

C. –2 .

D. –∞.

C. 1.

D. +∞.

n 3 − 2n + 5
:
3 + 5n

TN1.51 Chọn kết quả đúng của lim
A. 5.
TN1.52 Giá trị đúng của lim
A. +∞.

B.

(

)

[ n(

)]

n + 1 − n − 1 là:
B. 0.

TN1.56 Cho dãy số (un) với un = (n − 1)
A. –∞.

)

n 2 − 1 − 3n 2 + 2 là:
B. –∞.

(

TN1.55 Giá trị đúng của lim
A. –1.

2
.
5

B. 0.

5n − 1
bằng :
3n + 1
A. +∞.
B. 1.
10
TN1.58 lim 4
bằng :
n + n2 +1
A. +∞.
B. 10.

2n + 2
. Chọn kết quả đúng của limun là:
n + n2 −1
C. 1.
D. +∞.
4

TN1.57 lim

TN1.59 lim 5 200 − 3n 5 + 2n 2 bằng :
A. 0.
B. 1.

C. 0.

D. –∞.

C. 0.

D. –∞.

C. +∞.

D. –∞.

1

u n = 2
TN1.60 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi : 
. Tìm két quả đúng của
u n +1 = 1 , n ≥ 1
2 − un

limun
1
A. 0.
B. 1.
C. –1.
D. .
2
1
1
1
1


TN1.61 Tìm giá trị đúng của S = 2 1 + + + ... + n + ......  .
2
 2 4 8

1
A. 2 +1.
B. 2.
C. 2 2 .
D. .
2


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
21

TN1.62 lim 4

4 n + 2 n +1
bằng :
3n + 4 n+ 2

A. 0.
TN1.63 Tính giới hạn: lim
A. 1.

1
.
2
n +1 − 4

B.

C.

1
.
4

D. +∞.

n +1 + n
B. 0.

C. –1.

D.

1
.
2

1 + 3 + 5 + ...... + (2n + 1)
3n 2 + 4
1
2
A. 0.
B. .
C. .
3
3
1

1
1
+ ...... +
TN1.65 Tính giới hạn: lim  +
n( 2n + 1) 
1.3 3.5

D. 1.

2
.
3

D. 2.

TN1.64 Tính giới hạn: lim

A. 1.

B. 0.

C.

1
1
1 
+ ...... +
TN1.66 Tính giới hạn: lim  +
n(n + 2) 
1.3 2.4
3
A. .
B. 1.
C. 0.
2

1 
1 
1 
TN1.67 Tính giới hạn: lim 1 − 2 1 − 2 .....1 − 2 
 2  3   n 
A. 1.

B.

1
.
2

TN1.68 Chọn kết quả đúng của lim 3 +
A. 4.

B. 3.

C.

1
.
4

D.

2
.
3

D.

3
.
2

D.

1
.
2

n2 −1 1
.

3 + n2 2n
C. 2.

27 81
− +… bằng:
4 16
48
39
75
A.
B.
C.
7
4
16
TN1.70 Biểu diễn số thập phân 1, 245454545… như một phân số:
249
137
27
A.
B.
C.
200
110
22
TN1.69 Tổng vô hạn 12 − 9 +

D. Không tồn tại

D.

69
55

Vấn đề 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ


TI LIU HC TP TON 11 HK2

22

Gii hn hu hn
Gii hn ti mt im: Cho khong K cha im x0 v hs y = f ( x ) xỏc nh trờn K hoc
trờn K \ { x0 } . Dóy ( xn ) bt kỡ, xn K \ { x0 } v xn x0 , thỡ lim f ( xn ) = L
Gii hn bờn phi: Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn khong ( x0 ; b ) :
lim f ( x) = L dóy ( x ) bt kỡ, x0 < lim f ( x) = L < xn < b v x x thỡ lim f ( x ) = L
n
n
0
n
x x0

x x0+

Gii hn bờn trỏi: Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn khong ( a; x0 ) :
lim f ( x) = L dóy ( x ) bt kỡ, a < xn < lim f ( x ) = < x0 v x x thỡ lim f ( x ) = L
n
n
0
n
x +

x x0

Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn khong (a; + ) :
lim f ( x) = L dóy ( xn ) bt kỡ, xn > a v xn + thỡ lim f ( xn ) = L

x +

Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn khong (; a ) :
lim f ( x) = L dóy ( xn ) bt kỡ, xn < a v xn thỡ lim f ( xn ) = L

x

Gii hn vụ cc
Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn khong (a; + )
dóy ( xn ) bt kỡ, xn > a v xn + thỡ lim f ( xn ) =
Cho khong K cha im x0 v hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn K hoc trờn K \ { x0 } .
f ( x) = + dóy ( xn ) bt kỡ, xn > a , xn K \ { x0 } v xn x0 thỡ lim f ( xn ) = +
. xlim
x0
f ( x) = + , lim f ( x) = + , lim f ( x ) = c nh ngha tng t.
Cỏc gii hn: xlim
+
x
x

Nhn xột: f ( x ) cú gii hn + f ( x ) cú gii hn .
Cỏc gii hn c bit
x = x0
1) lim
x x
0

4) lim

x +

1

x

k

3) lim

x k = + ( k Ơ * )
5) xlim
+

u k chaỹ
n
+ neỏ
xk =
6) xlim

u k leỷ
neỏ

x

0

=0

c

x = x0 (c: hng s)
2) lim
xx

x

= 0 (c: hng s)

nh lớ v gii hn hu hn
nh lớ 1.
f ( x) = L v lim g ( x) = M , thỡ:
- Nu lim
x x
xx
0

0



lim c. f ( x) = c.L (vi C l hng s)
xx

[ f ( x) + g ( x)] = L + M
lim
xx



lim [ f ( x) g ( x)] = L M



lim [ f ( x).g ( x)] = L . M



lim



lim f ( x) = L



lim

0

x x0

x x0

x x0

f ( x) L
=
(M 0)
g ( x) M
3

0

x x0

x x0

f ( x) = + thỡ lim 1 = 0
Nu lim
x x

f ( x) = 3 L

x x0

0

f ( x) = L thỡ L 0 v lim
- Nu f ( x ) 0 v lim
xx
xx
0

Chỳ ý: nh lớ 1 vn ỳng khi x

0

f ( x) = L

f (x)


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
23

• Định lí 2.

lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = L
x → x0+

x → x0

x → x0−

• Định lí 3. Định lí kẹp: Giả sử J là một khoảng chứa x0 và f, g, h là ba hàm số xác định trên
f ( x) = lim h( x) = L thì
và lim
x→ x
x→ x

tập hợp J \ { x0 } . Nếu f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) , ∀x ∈ J \ { x0 }

0

0

lim g(x) = L .
x → x0

 Quy tắc về giới hạn vô cực

• Quy tắc tìm giới hạn của tích f ( x ) .g ( x )
lim f ( x) lim g ( x) lim f ( x).g ( x)

x → x0
x → x0±
x →±∞

L>0
L<0

x → x0
x → x 0±
x →±∞

x → x0
x → x 0±
x →±∞

• Quy tắc tìm giới hạn của thương
lim f ( x)

x → x0
x → x 0±
x →±∞

+∞

+∞

−∞

−∞

+∞

−∞

−∞

+∞

lim g ( x)

x → x0
x → x 0±
x →±∞

L

± ∞

L>0

0

L<0

0

Dấu
của

g ( x)

f(x)
g(x)

lim
x → x0
x → x0±
x →±∞

Tùy ý
+

+


f ( x)
g ( x)

0
+∞
−∞
−∞
+∞

Dạng 1. Định nghĩa
giới hạn
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Định nghĩa và các tính chất (Xem trong phần tóm tắt lí thuyết)
• Chú ý:
1) Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số f ( x ) trên cơ sở giới hạn các dãy f ( xn ) . Nếu có 2
f ( x)
dãy xn và xn′ cùng tiến đến x0 mà lim f ( xn ) ≠ lim f ( xn′ ) thì không tồn tại xlim
→ x0
x k = +∞ ; lim x 2 k = +∞ , lim x 2 k +1 = −∞ ,
2) Với mọi số nguyên dương k , ta có: xlim
→+∞
x →−∞
x →−∞
1
=0
x →±∞ x k
lim

3) Xác định dấu +∞ hoặc –∞
x → ±∞

+

dựa trên dấu của tích số, thương số, x → x0 , x → x0 ,

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.18 Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau:

x 2 − x + 1) .
a) . lim(3
x →4

3
x−6
b) xlim
→−1

2

e) lim
 x cos ÷
x→0
x


f) lim
x →2

−5
( x − 2) 2

x 2 − 3x + 4
x →−1
x +1

1
5− x

c) lim

d) lim
x →2

sin x
g) xlim
→+∞

cos 2 x
h) xlim
→+∞

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

24

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.19 Tính các giới hạn sau:

x 2 + 7 x + 11)
a) lim(3
x →2
d) lim
x →2

x 4 + 3x − 1
2x2 −1

x − x3
x →1 (2 x − 1)( x 4 − 3)

x2 − 4
b) xlim
→ 3

c) lim

1

x3− ÷
e) lim
x→0
x


f) lim

x −3
x →9 9 x − x 2

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
25
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 2. Giới hạn một
bên
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
f ( x) ≠ lim− f ( x) thì không tồn tại lim f ( x)
• Nếu xlim
x → x0
→ x0+
x → x0

x → x0+ ⇔ x > x0
x → x0− ⇔ x < x0

f ( x) = lim− f ( x) = L thì lim f ( x) = L
• Nếu xlim
x → x0
→ x0+
x → x0

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.20 Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau: a) lim−
x →2

3x + 5
x +1

b) xlim
→3+

1
x −3

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.21 Tính các giới hạn sau: lim+
x →3

2x +1
2x +1
2x +1
; lim−
; lim
x →3 x − 3
x − 3 x →3 x − 3

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.22 Tính các giới hạn sau: lim+
x →2

x−2
x−2
x−2
; lim−
; lim
x − 2 x →2 x − 2 x →2 x − 2

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×
x