Tải bản đầy đủ

Vấn đề 1 đạo hàm và ý NGHĨA của đạo hàm file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

Chủ đề 22

1

ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

 Mở đầu
Nhiều bài toán của toán học, vật li, hóa học, sinh học, kĩ thuật, … đòi hỏi phải tìm giới hạn
dạng:
f ( x )  f ( x0 )
lim
x � x0
x  x0
trong đó f  x  là một hàm số đã cho của đối số x .
Qua Đại số và Giải tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng
của hàm số:
 Số gia đối số là: x  x – x0
 Số gia tương ứng của hàm số là: y  f  x  – f  x0 

Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó viết các giới hạn trên: xlim
�x

0

f ( x)  f ( x0 )
y
 lim
x �0 x
x  x0

 Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y  f  x  , xác định trên  a; b  và x0 � a; b 
Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0 , khi số gia đối số
dần tới 0 , được gọi là đạo hàm của hàm số y  f  x  tại điểm x0 .
Đạo hàm của hàm số y  f  x  tại x0 được kí hiệu là y(x0) hoặc f(x0):
f�
( x0 )  lim

x � x0

f ( x )  f ( x0 )
x  x0

 lim
hoặc y �

x �0

y
x

 Đạo hàm một bên
( x0 ) được định nghĩa là:
a. Đạo hàm bên trái của hàm số y  f  x  tại điểm x0 , kí hiệu là f �
f�
( x0 )  lim
x �0

f ( x)  f ( x0 )


y
 lim
x x �x0
x  x0


trong đó x � x0 được hiểu là x � x0 và x  x0 .

b. Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0 , kí hiệu là f '( x0 ) được định nghĩa là:
f ( x)  f ( x0 )
y
f�
( x0 )  lim
 lim
x �0 x
x � x0
x  x0
trong đó x � x0 được hiểu là x � x0 và x  x0 .
Định lí: Hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x0 thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu
f '( x0 ) và f '( x0 ) tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có: f '( x0 )  f '( x0 )  f '( x0 )

 Đạo hàm trên một khoảng
Định nghĩa:
a. Hàm số y  f  x  được gọi là có đạo hàm trên khoảng  a; b  nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm trên khoảng đó.
b. Hàm số y  f  x  được gọi là có đạo hàm trên đoạn  a; b  nếu nó có đạo hàm trên khoảng


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

 a; b 

2

và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại b .

Qui ước: Từ nay, khi ta nói hàm số y  f  x  có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì
điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho.
 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của h.số
Định lí: Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

 Chú ý: 1. Đảo lại không đúng, tức là một hàm số liên tục tại điểm x0 có thể không có đạo
hàm tại điểm đó
2. Như vậy, hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó.
(C)

 Ý nghĩa của đạo hàm
1. Ý nghĩa hình học
a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng:
Cho đường cong phẳng  C  và một điểm cố định M 0 trên  C  ,

M
T
M0

M là điểm di động trên  C  . Khi đó M 0 M là một cát tuyến của

 C .
Định nghĩa: Nếu cát tuyến M 0 M có vị trí giới hạn M 0T khi điểm M di chuyển trên  C 
và dần tới điểm M 0 thì đường thẳng M 0T được gọi là tiếp tuyến của đường cong  C  tại
điểm M 0 . Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm.
b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; b  và
có đạo hàm tại x0 � a; b  , gọi  C  là đồ thị hàm số đó.
Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f  x  tại điểm x0 là hệ
số góc của tiếp tuyến M 0T

của

 C

tại điểm

y

(C)

f (x 0  x)

M
y

f (x 0 )
O

T

M0
x
x0

x
x 0  x

M 0  x0 ; f ( x0 ) 
c. Phương trình của tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  của
hàm số y  f  x  tại điểm M 0  x0 ; f ( x0 )  là :
y – y0  f �
 x   x – x0 
2. Ý nghĩa vật lí
a. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s  f  t  , với f  t  là

hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0 là đạo hàm của
hàm số s  f  t  tại t0 .
v  t0   s �
 t0   f �
 t0 
b. Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:

Q  f  t  , với f  t  là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại
thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q  f  t  tại t0 .
I  t0   Q�
 t0   f �
 t0 


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

3

Dạng 1. Tìm số gia của
hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tính số gia của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 tương ứng với số gia x cho trước ta áp dụng
công thức tính sau: y  f  x0  x   f  x0 

B. BÀI TẬP MẪU
2
VD 2.1 Tìm số gia của hàm số y  2 x  3 x  5 , tương ứng với sự biến thiên của đối số:

a) Từ x0  1 đến x0  x  2
c) Từ x0  1 đến x  1  x

b) Từ x0  2 đến x0  x  0,9
d) Từ x0  2 đến x  2  x

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

y
của hàm số sau theo x và x :
x
a) y  3 x  5
b) y  3 x 2  7

VD 2.2 Tính y và

c) y  2 x 2  4 x  1

d) y  cos 2 x

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.1

2
Tìm số gia của hàm số y  x –1 tại điểm x0  1 ứng với số gia x , biết:

a) x  1

b) x  –0,1


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

4

Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định
nghĩa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tính đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta làm như sau:
 Cách 1:
 Cho x0 một số gia x và tìm số gia y  f  x0  x   f  x0 
y
 Tập tỉ số
x
y
 Tìm giới hạn lim
. Nếu:
x �0 x
y
y
x0   lim
 lim
tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đạo hàm là f �

x �0 x
x �0 x
y
 lim
không tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo hàm.
x �0 x
 Cách 2:
f  x   f  x0 
 Tính lim
x �0
x  x0
f  x   f  x0 
 Nếu lim
tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đạo hàm là
x � x0
x  x0
f  x   f  x0 
f�
 x0   xlim
� x0
x  x0
f  x   f  x0 
 Nếu lim
không tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo
x � x0
x  x0
hàm.

B. BÀI TẬP MẪU
2
VD 2.3 Tính đạo hàm của hàm số y  x  2 x  4 tại x0  2

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 2.4 Cho hàm số y  f  x   2 x 2  1

a) Tìm đạo hàm của hàm số tại x0  2

b) Suy ra giá trị 3 f �
(2)  5 f �
(2 3)

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

.......................................................................................................................................................................................

sin 3 x khi

3 x  2 khi


VD 2.5 Cho y  f  x   �

x �0
. Tính đạo hàm của hàm số tại x0  0 bằng định nghĩa.
x0

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.2

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0:
a) y  2 x  1 tại x0  2
b) y  x 2  x
c) y 

2.3

x 1
x 1

tại x0  0

�sin 2 x

Cho hàm số: y  f ( x)  � x

0


d) y  2 x  7
khi
khi

tại x0  1
tại x0  1

x �0
x0

a) Chứng minh rằng f  x  liên tục tại x0  0 .

b) Tính đạo hàm (nếu có) của f  x  tại điểm x0  0 .
2.4

2.5

1
�2
�x cos
x
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y  f ( x)  �

0

( x  1) 2

Chứng minh rằng hàm số: y  f ( x )  � 2
x


khi

x �0

khi

x0

khi

x �0

khi

x0

tại điểm x0  0

không có đạo hàm tại điểm x0  0 nhưng có đạo hàm tại x0  2 .
x
tại x0  0 .
1 x

2.6

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y 

2.7

x2  2 x  3
Chứng minh rằng hàm số y 
liên tục tại x  –3 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy.
3x  1

2.8
2.9

�x 2
khi x �1
Tìm a, b để hàm số y  f ( x )  �
có đạo hàm tại điểm x  1 .
ax  b khi x  1

khi x �0
�p cos x  q sin x
Cho hàm số: y  f ( x)  �
khi x  0
�px  q  1
Chứng minh rằng với mọi cách chọn p, q hàm số không thể có đạo hàm tại điểm x  0 .

2.10 Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a là hằng số):


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

a) y  ax  3

b) y 

1 2
ax
2

6

c) y 

1
1
với x � d) y  3  x với x  3
2x 1
2

Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và
đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm ta cần nhớ các kết luận sau:
f ( x)  f ( x0 ) � lim y  0
 f  x  liên tục tại x0 � xlim
�x
x �0
0




f  x  có đạo hàm tại x0  f  x  liên tục tại x0

f  x  liên tục tại x0 chưa chắc f  x  có đạo hàm tại x0
B. BÀI TẬP MẪU
x2
2x 1
a) Xét sự liên tục của hàm số tại x0  2

VD 2.6 Cho hàm số y  f ( x) 

b) Xét xem tại x0  2 hàm số có đạo hàm không?

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
�2
x2  3
khi x �0
�x sin 2
VD 2.7 Cho y  f  x   �
.
x

0
khi x  0

a) Xét sự liên tục của hàm số tại x0  0
b) Xét xem tại x0  0 hàm số có đạo hàm không?
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

7

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.11 Chứng minh rằng hàm số y 

x2  2 x  3
liên tục tại x  3 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy.
3x  1

�sin 2 x

2.12 Cho hàm số: y  f  x   � x

0


khi

x �0

khi

x0

c) Chứng minh rằng f  x  liên tục tại x0  0 .
d) Tính đạo hàm (nếu có) của f  x  tại điểm x0  0 .
1
�2
khi x �0
�x sin
x
2.13 Cho hàm số: y  f ( x)  �

0
khi x  0

a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi x ��.
 x  không liên tục tại điểm x0  0 .
b) Chứng tỏ rằng đạo hàm f �
Dạng 4. Tiếp tuyến
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm
 Hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong  C  : y  f  x  , biết M , N theo thứ tự có
hoành độ là xM , xN được cho bởi: k 

y y N  y M

với xN �xM
 x x N  xM

 f�
 x0  là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong  C  tại M  x0 ; f ( x0 ) 
 Tiếp tuyến của đồ thị
1. Tiếp tuyến tại một điểm:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y  f  x  tại điểm M 0  x0 ; y0  :
y  y0  f �
 x0   x  x0 
Trong đó:

-

M 0  x0 ; y0  gọi là tiếp điểm.

-

k  f�
 x0  là hệ số góc.

Các chú ý: -

Nếu cho x0 thì thế vào y  f  x  tìm y0 .

-

Nếu cho y0 thì thế vào y  f  x  tìm x0 .

2 Tiếp tuyến đi qua một điểm:
Để lập phương trình tiếp tuyến d với  C  biết d đi qua A  x A ; y A  :
Cách 1: - Gọi M 0  x0 ; y0  là tiếp điểm.

 x0  :
- Phương trình đường thẳng d qua M 0 với hệ số góc k  f �
y – y0  f �
 x0   x – x0 


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

-

8

A  x A ; y A  �d � y A – y0  f �
 x0   xA – x0 

 x0  , thế vào y  f  x  tìm y0 .
- Giải pt trên tìm x0 , tìm f �
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc (Sẽ học ở lớp 12)
3. Tiếp tuyến biết hệ số góc:
 x   k  các hoành độ tiếp điểm.
- Giải phương trình: f �
- Thế vào y  f  x  để tìm tung độ.
- Viết tiếp tuyến: y – y0  k .  x – x0 

d'

 Chú ý:
- tiếp tuyến d // : y  ax  b � k  a
- tiếp tuyến d   : y  ax  b � k .a  1
- k  tan , với  là góc giữa d với tia Ox .

y


d


x

B. BÀI TẬP MẪU
3
VD 2.8 Cho đường cong (C ) : y  x và hai điểm A  1; 1 và B  1  x;1  y  trên (C ) .

a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB với x lần lượt là 0,1 và 0, 01
b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với (C ) tại A .
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
1
. có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) , biết:
x
a) tiếp điểm có hoành độ bằng 2
b) Tiếp điểm có tung độ bằng 3
c) Hệ số góc của tiếp tuyến k  –4 .
d) Tiếp tuyến song song với d : x  9 y  2017
e) Tiếp tuyến vuông góc với d : x  4 y  2017 .
f) Tiếp tuyến qua điểm A  8; 0 

VD 2.9 Cho hàm số y  f ( x) 

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

9

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.14 Cho Parabol y  x 2 và hai điểm A  2; 4  và B (2  x; 4  y ) trên parabol đó.
a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết x lần lượt bằng 1; 0,1 và 0, 001 .
b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A .

2.15 Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong  C  , biết:
a)

 C  : y  x 2  2 x và hoành độ

b)  C  : y 

M , N theo thứ tự là xM  2, xN  1 .

x2  x  1
và hoành độ M , N theo thứ tự là xM  1, xN  3 .
x


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

10

2.16 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3 , biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ bằng – 1 .
b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8 .
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 .
1
2.17 Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y  , biết:
x
�1

a) Tại điểm � ; 2 �
. b) Tiếp điểm có hoành độ bằng –1. c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng
�2

1
 .
4
2.18 Cho đường cong  C  : y  x . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  :
a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1.
.

b) Biết tiếp tuyến song song với  : x – 4 y  3  0

2.19 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
x 1
a) y 
, biết hoành độ tiếp điểm là x0  0 .
x 1
y0  2 .
1

b) y  x  2 , biết tung độ tiếp điểm là

x2
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mội hàm số đã
2 x
2
cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp

2.20 Cho hai hàm số y 

và y 

2.21 tuyến kể trên.
2
2.22 Cho parabol  P  : y  x . Gọi M 1 và M 2 là hai điểm thuộc  P  lần lượt có hoành độ x1  –2 và

x2  1 . Hãy tìm trên  P  một điểm E sao cho tiếp tuyến tại E song song với cát tuyến M 1M 2 .
Viết phương trình tiếp tuyến đó.
2.23 Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng  : 3x – 5 y – 2017  0 .
2
2.24 Viết phương trình tiếp tuyến với  P  : y  x , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A  0 ; –1 .

2.25 Cho hàm số y  x 3 – 3 x 2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết rằng tiếp tuyến đó đi
qua A  0; 3 .

4
2
2.26 Cho hàm số  Cm  : y  f  x   – x – mx  m  1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các

tiếp tuyến của  Cm  tại A  1; 0  và B  –1; 0  vuông góc với nhau.

2.27 Cho hàm số y  cos 2 x  m sin x ( m là tham số) có đồ thị  C  . Tìm m trong mỗi trường hợp
sau:
a) Tiếp tuyến của  C  tại điểm có x   có hệ số góc bằng 1.


b) Tiếp tuyến của  C  tại các điểm có các hoành độ x  
và x 
song song hoặc trùng
4
3
nhau.


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
2
2.28 Tìm giao điểm của hai đường cong  P  : y  x  x  1 và  H  : y 

11

1
. Chứng minh rằng hai
x 1

đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.
2.29 Cho parabol ( P ) : y  x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến với  P  , biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4 x  3 .
b) Tiếp tuyến đi qua điểm A  0;  1 .

Dạng 5. Ý nghĩa Vật lí của đạo
hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cần nhớ các kết quả sau:
 Nếu một chất điểm chuyển động với phương trình s  s (t ) thì vận tốc
(t0 )
tức thời của chất điểm đó tại thời điểm t0 là v(t0 )  s�
 Một dòng điện có điện lượng là Q  Q (t ) thì cường độ tức thời của
dòng điện tại thời điểm t0 là I (t0 )  Q '(t0 )

B. BÀI TẬP MẪU
2
VD 2.10 Một chất điểm chuyển động có phương trình là s  f (t )  t  2t  3  s, m 

a) Tính đạo hàm của hàm số f  t  tại thời điểm t0 .
b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t  5 .

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 2.11 Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q  5t  3 ( t tính

bằng giây, Q tính bằng culông). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại t  8 .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.30 Một viên đạn được bắn lên từ vị trí M cách mặt đất 1m , theo phương thẳng đứng với vận tốc ban
đầu là v0  196m/s (bỏ qua sức cản của không khí)
a) Tìm thời điểm t0 mà tại đó vận tốc của viên đạn bằng 0 . Khi đó viên đạn cách mặt đất bao

nhiêu mét ?
2
b) Sau khoảng bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất ? (lấy g  9,8 m / s )


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

12

2.31 Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động s 

1 2
gt , trong đó g  9,8 m / s 2 và t được tính
2

bằng giây.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến t  t với độ chính
xác đến 0, 001 , biết t lần lượt nhận các giá trị 0,1; 0, 01; 0, 001 .
b) Tìm vận tốc tại thời điểm t  5 giây.
2.32 Một chiếc xe chạy được quãng đường s  km  sau t (giờ) được tính bởi s  t 2  3t  2 . Hãy tính
vận tốc tức thời của xe đó sau khi chạy được 4 giờ.
Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

 Đạo hàm của hàm tổng, hiệu, tích thương, hàm hợp
1.   u – v  w  �
 u�
– v�
 w�
2.

 ku  � k.u�, với

3.

v  v�
u
 u.v  � u�

4.

vw  uv�
w  uvw�
 u.v.w  � u �

k là hằng số.

� u 'v  v 'u
u�
5. �
� �
2
�v �

v

� v'
1�
6. �
� �  2
�v �

v

��
7. y �
x  yu .u x
 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
(C )�
 0 , C hằng số
( x )�
1
� 1
�1 �
� �  2
�x � x

 x  � 2 1 x
 x  �  .x


 1

Đạo hàm của các hàm số hợp

� u�
�1 �
� �  2
�u � u
� u�
u 
2 u
u �  .u  1.u �

 
 

 sin x  � cos x

.cos u
 sin u  � u�

 cos x  �  sin x

.sin u
 cos u  � u�

1
 1  tan 2 x
2
cos x
1
 cot x  � 2  (1  cot 2 x)
sin x

 tan u  �

 tan x  �

u�
 u�
(1  tan 2 u )
2
cos u
u�
(1  cot 2 u )
 cot u  � 2  u �
sin u


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

13

Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
của các hàm số
Đạo hàm của hàm số hợp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số trong phần tóm tắt lí thuyết để
tính.
Chú ý: Rút gọn sau khi tính!

B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.12 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  x 7  3 x 4  4 x 2  4 x  4
2
2
c) y   x  x  1  2 x  3x  1

e) y 

3x  1
4x  5

3
 10 x  25
x
d) y  2 x  1 4 x  3
4
b) y  2 x 



f) y 





2 x 2  3x  7
x2  2x  3

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 2.13 Tính đạo hàm của các hàm số sau:



a) y  2 x 2  3 x
c)

y



5
2 x 3



4



2016

b) y  4 x 3  3 x 2  2
d) y   2 x  3 

21

 x  4

23

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

14

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.33 Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số):
1
1 4 1 3 1 2
3
a) y  x  x  x  x  a
b) y  2
( x  x  1)5
4
3
2
2x
d) y  ( x  1)( x  2)( x  3)
e) y  2
x 1
1
x2  1
g) y 
h) y 
x x
x
k) y 

j) y  x 2  x x  1

c) y  3x5 (8  3x 2 )
f) y 

5x  3
x  x 1
2

i) y  2  5 x  x 2

1 x
1 x

x

l) y 

a  x2
2

Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số
lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác trong phần
tóm tắt lí thuyết để tính.

 sin x  � cos x

.cos u
 sin u  � u�

 cos x  �  sin x

.sin u
 cos u  � u�

1
cos 2 x
1
 cot x  � 2
sin x

 tan x  �

Chú ý:

u�
cos 2 u
u �
 cot u  � 2
sin u

 tan u  �

 sin u  � n.sin
 cos u  � n.cos
n

n 1

u.  sin u  �

n

n 1

u.  cos u  �

 tan u  � n.tan

n 1

u.  tan u  �

 co t u  � n.co t

n 1

u.  co t u  �

n

n

 Sử dụng công thức lượng giác để rút gọn
 Có thể rút gọn trước khi tính đạo hàm để việc tính toán dễ dàng hơn.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.14 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x
2
2
a) y  2sin x  sin 2 x  sin x  2sin  sin
2
x

2
2
b) y  sin  2 x  3x  1 c) y  sin  4 x 2  x 

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

15

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 2.15 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

sin x
a) y 
1  cos x

x
b) y  1  cos
2
2

20


1  tan 2 x �
c) y  �

1  tan 2 x �


d) y 

1  cos x
1  cos x

e) y  x sin x  cos x

2
f) y  3 tan x  tan 3 x  tan 3 x  tan x 2 g) y  x cot  x  1

h) y  cot 3 2 x  3cot 2 x

i) y 

sin x  cos x
sin x  cos x

j) y 

sin 2 2 x  4 cos 2 x  4
sin 2 2 x  4 cos 2 x

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

16

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.34 Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) y  5sin x  3cos x
b) y  sin( x 2  3x  2)

c) y  cos 2 x  1

d) y  sin 3x.cos 5 x

e) y  1  2 tan x

f) y  tan 3x  cot 3x

g) y  4sin x  3cos x

h) y  4sin 2 x  3cos 4 x

i) y 

j) y 

1  sin x
1  sin x

k) y 

cos x
sin x  1

x
1  cos x

l) y  2 x cot x  x 2

m) y  1  2 tan x

n) y  sin 3 x.cos 4 x

x
2
o) y  2 cos  sin 2 x  cos  x 
2

p) y  sin 2 x.cos 3 x

�
3�
2x  �
q) y  tan �
4�


2
2
r) y  sin  cos  tan x  

u) y  cot 2 x 2  1

v) y  sin 3 x 2  1

2
w) y  sin  cos 3x 

2.35 Cho hàm số y  x 3 và y  4 x  sin

x
(1)  g �
(1) ?
. Tính tổng f �
2

2.36 Tính đạo hàm của hàm số sau: y  1  1 1  1 1  1 cos x , với x �(0;  )
2 2 2 2 2 2

Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa
đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bài toán thường được đặt ra dưới dạng:
)  0”
“Cho hàm số y  f  x  , hãy giải phương trình g ( y , y�
Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính đạo hàm y �
.
)  0 về phương trình đại số thông
Bước 2. Chuyển phương trình g ( y , y�
thường để giải.
 Chú ý: Cho tam thức f  x   ax 2  bx  c, (a �0)


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

�a  0
1/ f ( x )  0, x ��� �
�  0

�a  0
2/ f ( x ) �0, x ��� �
� �0

�a  0
3/ f ( x )  0, x ��� �
�  0

�a  0
4/ f ( x ) �0, x ��� �
� �0

17

B. BÀI TẬP MẪU
3
2
�2
VD 2.16 Cho hàm số y  x  3 x  x  2 . Tìm x sao cho: a) y �

 10
b) y �

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 2.17 Giải các bấy phương trình:

 0 với y 
a) y �

x 2  3x  3
x 1

�0 với y 
b) y �

x2  x  1
x2  x  1

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

 0.
VD 2.18 a) Cho y  sin 2 x  2 cos x . Hãy giải phương trình y �

 2.
b) Cho y  3sin 2 x  4 cos x  12 x . Hãy giải phương trình y �

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.37 Tìm các nghiệm của phương trình sau:
1
 x   0 với f ( x)  x3  2 x 2  6 x  1 .
a) f �
3

 x   –5 với f ( x) 
b) f �

1 4
3
x  x3  x 2  3 .
4
2


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

18

( x )  0 b) f �
( x) �3
2.38 Cho hàm số f ( x)  x 3  3 x 2  2 . Hãy giải các bất phương trình sau: a) f �
 0 trong mỗi trường hợp sau:
2.39 Giải phương trình y �
a) y  sin 2 x  2 cos x
b) y  3sin 2 x  4 cos 2 x  10 x c) y  cos 2 x  sin x
d) y  tan x  cot x

e) y  3cos x  4sin x  5 x

1
g) y  sin 2 x  sin x  3 h) y  sin 2 x  2 cos x
2
j) y  tan x  cot x
k) y  2 x  cos x  3 sin x

�2  x �
f) y  1  sin(  x )  2cos �

� 2 �
i) y  cos 2 x  sin x
l) y  3sin 2 x  4 cos 2 x  10 x

 x  g�
 x  , biết rằng:
2.40 Giải bất phương trình f �
a) f ( x)  x 3  x  2



g ( x)  3 x 2  x  2

b) f ( x)  2 x 3  x 2  3



g ( x)  x 3 

x2
 3
2

2.41 Cho hàm số y  mx 3  x 2  x  5 . Tìm m để:
a) y �bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) y �có hai nghiệm trái dấu.
 0 với mọi x ��.
c) y �
( x) �f ( x)
2.42 Cho hàm số y  x 2  2 x  24 . Giải bất phương trình 2 f �
( x ) �0 . (TN THPT 2010)
2.43 Cho hàm số y  x  2 x 2  12 . Giải bất phương trình f �

Dạng 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất
đẳng thức
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng  a; b  thì đạo hàm luôn triệt tiêu
trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau:
 x   0, x � a; b 
“Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm trong khoảng  a; b  và f �
thì hàm số y  f  x  không đổi trong khoảng  a; b  ”
Từ đó ta thực hiện các dạng toán:
Dạng 1. Chứng minh rằng: A  x   c , x �D .
Ta thực hiện các bước:
 x  , rồi khẳng định A�
 x   0, x �D .
Bước 1. Tính A�
Bước 2. Chọn x0 �D � A  x0   c .
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để A  x  không phụ thuộc vào x .
Ta thực hiện các bước:
 x  , rồi tìm điều kiện để A�
 x   0, x .
Bước 1. Tính A�
Bước 2. Kết luận.

B. BÀI TẬP MẪU


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
4
4
VD 2.19 Cho hai hàm số f ( x)  sin x  cos x và g ( x) 

( x)  g �
( x) . Nhận xét ?
Chứng minh f �

19

1
cos 4 x .
4

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 2.20 Chứng minh rằng hàm số y 

sin 4 x  3cos4 x  1
sin 6 x  cos6 x  3cos 4 x  1

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.44 Chứng minh rằng:
– y 2 –1  0 .
a) Hàm số y  tan x thỏa mãn hệ thức y �
 2 y2  2  0 .
b) Hàm số y  cot 2 x thỏa mãn hệ thức y �
2.45 Chứng minh với mọi x thuộc tập xác định:
2
a) Nếu f ( x)  2 cos  4 x  1 thì f ( x) �8 . Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
( x) �3 . Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
b) Nếu f ( x)  tan 3 x thì f �
2.46 Chứng minh rằng với mọi x ta đều có :
cos 2  x  a   sin 2  x  b   2 cos  x  a  sin  x  b  sin  a  b   cos 2  a  b 
2.47 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
2 �
� 2 � 2
2�
A  sin 2 �x 
� sin x  sin �x 

� 3 �
� 3 �
2.48 Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a) y  sin 6 x  cos 6 x  3sin 2 x.cos 2 x



2
2




2�
2�
2�
2�
2
b) y  cos �  x � cos �  x � cos �  x � cos �  x � 2sin x
�3

�3

�3

�3

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

20

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO

A. VI PHÂN
 Định nghĩa
Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  và có đạo hàm tại x � a; b  .
Cho số gia x tại x sao cho x  x � a; b  .
.x ) là vi phân của hàm số y  f  x  tại x ứng với số gia
 x  .x (hoặc y�
Ta gọi tích f �
x và ký hiệu là dy hoặc df  x  . Như vậy, ta có:

dy  y�
x hoặc df  x   f �
 x  x
Áp dụng: Với hàm số y  x , ta được: dx   x  �
x  1.x  x
dx hoặc df  x   f �
 x  dx .
Vậy ta có: dy  y�

 Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng
Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: f '( x0 )  lim
x �0

y
x

Do đó, với  x đủ nhỏ thì:
y
f '( x0 ) ���
y
x

f '( x0 ) x

f ( x0

x )

f ( x0 )

f '( x0 ) x

� f ( x0   x ) �f ( x0 )  f '( x0 ) x

Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.
IV. ĐẠO HÀM CẤP CAO
 Định nghĩa

 x .
Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
 Đạo hàm của hàm số f �
 x  , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f  x  .
�hay f �

 x .
Kí hiệu là y �


 Tương tự, đạo hàm của hàm số f �
 x  , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm
số f  x  .


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

21





 x .
Kí hiệu là y �
hay f �


 Đạo hàm của hàm số f �
 x  , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số
f  x .

 4
Kí hiệu là y  4 hay f  x  .
 Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1 được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số
y  f  x .

Kí hiệu là y  n  hay f    x  .
 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s  f  t  với f  t  là hàm số có đạo
hàm.
Khi đó, gia tốc tức thời ( ) của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm
số

s  f  t  tại t là   t   f �
 t .
n

Dạng 1. Tìm vi phân của
hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Tính vi phân của hàm số f ( x ) tại x0 cho trước:
 Tính đạo hàm của hàm số tại x0
( x0 ) x
 Suy ra vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia x là: df ( x0 )  f �
 Tính vi phân của hàm số f ( x) :
 Tính đạo hàm của hàm số
( x)dx
 Suy ra vi phân của hàm số là: dy  df ( x)  f �

B. BÀI TẬP MẪU
3
2
VD 2.21 Cho hàm số f ( x )  6 x  2 x  4 x  1 .

Tính vi phân của hàm số tại điểm x0  1 , ứng với số gia x  0, 01 .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 2.22 Tìm vi phân của hàm số y  f ( x)  sin 3 x.cos 2 x .
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.49 Tính vi phân của hàm số y  sin 2 x tại điểm x 
a) x  0, 01

b) x  0, 001


ứng với
3


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

22

2.50 Tính vi phân của mỗi hàm số sau:
a) y  x 2  x x  x  8

b) y  ax  b (với a, b là hằng số)

c) y  tan 2 (3x )  cot(3x 2 )

d) y  cos 2 2 x  1

Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của
hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tính gần đúng giá trị của hàm số f ( x ) tại điểm x0  x cho trước, ta áp dụng công thức:
f  x0  x  �f  x0   f �
 x0  .x

B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.23 Tính gần đúng các giá trị: a)

25, 75

b) sin 30010 '

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.51 Tính giá trị gần đúng của:
1
a)
b) cos 45030 ' c) tan 29030 ' d)
0,9995

4, 01

1
20,3

e)

f)

3

215

Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của
hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Áp dụng trục tiếp định nghĩa để tính đạo hàm cấp cao:















y�
  y�
  y�
  y�
 �; y�
 �; y�
 �; y  n  y  n1

B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.24 Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y  x sin x  cos x
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


23

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
VD 2.25 Cho hàm số y 

2x  3

 10
. Tìm x sao cho y �
x 1

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.52 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y  ax 3  bx 2  cx  d
d) y  x.sin x

b) y 

x3
x2

e) y  x 1  x 2

c) y 
f) y  cos 2 x

x2  x  1
x 1

h) y  x 1  x 2

6

 2 .
2.53 a) Cho f  x    x  10  . Tính f �

� � �
� �


 0 , f �
b) Cho f  x   sin 3x . Tính f �
, f �
� �
� �
18 �

� 2�
2.54 Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp cho kèm theo:
a) f ( x)  x 4  cos 2 x, f (4) ( x)
b) f ( x)  cos 2 x, f (5) ( x)
c) f ( x )  ( x  10)6 , f ( n ) ( x)

d) f ( x)  sin 2 x, f (5) ( x)

Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm
cấp hai
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s  f  t  với f  t  là hàm số có đạo hàm.
Khi đó, gia tốc tức thời ( ) của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số
s  f  t  tại t .

  t  f �
 t

B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.26 Tính gia tốc tức thời của chuyển động s  f  t  tại thời điểm t0 trong các trường hợp sau:
3
2
a) S  f (t )  t  3t  7t  2, t0  2

b) S  f (t )  3sin 2t  2 cos 2t , t0 


4

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

24

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.55 Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức S  f (t )  t 3  3t 2  9t  2 ,
trong đó t  0 , t tính bằng giây  s  và v  t  tính bằng m / s . Tìm gia tốc của chất điểm:
a) Tại thời điểm t  4s .
b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11.
2.56 Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t )  8t  3t 2 , với t  0 , t
tính bằng giây  s  và v  t  tính bằng m / s .
a) Tính vận tốc tại thời điểm t  2s .
b) Tính gia tốc tại thời điểm t  3s .
c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0 .
d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0 .

Dạng 5. Tìm công thức đạo
hàm cấp n
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
(n)
Với hàm số y  f  x  , tìm được công thức f  x  ta thực hiện theo các

bước sau:



 x , f �
 x  đôi khi cần tính tới f �
 x  , f  4  x  .
Bước 1. Tính f �
 n
Bước 2. Dự đoán công thức tổng quát f  x  .

Bước 3. Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp qui nạp.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.27 Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y  sin x , với n ��*
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

25

.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.57 Chứng minh rằng: Với mọi n ��* :
(4n)
 x   cos x
a) Nếu f  x   cos x thì f

c) Nếu y  sin 2 x thì y  n   24 n 1 cos 2 x

�

 n
b) Nếu y  sin x thì y  sin �x  n �
2�

n!
n
 n
1
d) Nếu y 
thì y   1
n 1
 x  1
x 1

2.58 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a) y 

1
x

b) y 

1
x  3x  2
2

c) y  sin 3 x d) y  sin ax.sin bx ( a, b là hằng số)

Dạng 6. Chứng minh đẳng thức có
chứa đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Tìm các đạo hàm đến cấp cao nhất có trong đẳng thức cần chứng minh
 Thay thế vài vị trí tương ứng và biến đổi vế này cho bằng vế kia. Từ đó suy
ra đẳng thức cần chứng minh.

B. BÀI TẬP MẪU

 xy�
 2sin x
VD 2.28 Cho hàm số y  x sin x . Chứng minh xy  2 y �
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 2.29 Cho hàm số y 

a) 2 x 2  1. y�
y

x  x 2  1 . Chứng minh rằng:

2

 4 xy �
y0
b) 4  1  x  y �

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.59 Chứng minh rằng:


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×
x