Tải bản đầy đủ

Lý thuyết và bài tập về 4 dạng toán trong xác suất file word có đáp án

“Bốn dạng toán xác suất và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm
luyện thi THPT Quốc Gia”
Gồm 2 phần:
*Phần 1: Bốn dạng toán xác suất
*Phần 2: Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm dành cho luyện thi THPT Quốc Gia

PHẦN 1: BỐN DẠNG TOÁN XÁC SUẤT

1. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ
1.1. Phép thử và biến cố
 Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết
tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.
 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử
và kí hiệu là Ω (đọc là ô-mê-ga)
 Biến cố là một tập con của không gian mẫu.
Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C, … và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp
diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1


 Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không).
 Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
1.2. Phép toán trên các biến cố
Giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và các kết quả của phép thử là đồng khả
năng.
* Tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A .
Và A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
* Tập A ∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
* Tập A ∩ B được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B.
* Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này
không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của biến cố kia.
1.3. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện
.
n(A) là số phần tử của A hay cũng là số kết quả thuận lợi cho biến cố A.
n(  ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử hay là số phần tử của không gian mẫu.
Ta gọi tỉ số P  A  

n  A
  là xác suất của biến cố A.
n  

1.4. Tính chất của xác suất:
1.4.1. Tính chất cơ bản:
P(C) = 0
P(Ω) = 1
0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.
P( A )=1−P(A)
1.4.2. Quy tắc cộng xác suất
+ Nếu A và B xung khắc thì: P(A∪B) = P(A) + P(B)
+Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A∪B) = P(A) + P(B)
+Nếu A và B xung khắc thì A �B = ∅ nên P(A �B) = 0, khi đó:
P(A∪B) = P(A) + P(B)
Do đó, với mọi biến cố A và B bất kì ta có:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2


P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A �B)
1.4.3. Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Ngoài ra, A và B độc lập � A và B độc lập � A và B độc lập � A, B độc lập

















P A �B  P A �B
P A �B  P A �B

1.5. Xác suất có điều kiện:

1.5.1. Định nghĩa: Gọi A, B là hai biến cố của cùng một phép thử.
Xác suất có điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra, kí hiệu là P(B/A) với
P(A) > 0 là
P(B / A) 

P  AB 
P(A)

1.5.2. Công thức cộng xác suất

P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB)
1.5.3. Công thức nhân xác suất
P(AB)  P(A)P(B / A)
P(ABC)  P(A)P(B / A)P(C / AB)

Mở rộng cho tích n biến cố:

P(A1A 2 ...A n )  P(A1 )P(A 2 / A1 )...P(A n / A1A 2 ...A n 1 )
1.5.4. Tính chất
P(B / A)  1  P(B / A)

A, B độc lập

� P(B / A)  P(B)
� P(AB)  P(A)P(B)
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2. MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT TIÊU BIỂU
2.1.DẠNG 1: Tính xác suất đơn giản
Các bài toán chỉ sử dụng công thức định nghĩa xác suất cổ điển:

P  A 

n  A

n  

 

Bài 1
Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp chứa 20 thẻ đánh số từ 1 đến 20. Tìm xác suất để:
a/ thẻ được lấy ghi số chẵn
b/ thẻ được lấy ghi số chia hết cho 3.
c/ thẻ được lấy ghi số lẻ và chia hết cho 3.
Lời giải:
Đây có thể coi là một bài toán đếm: đếm các số tự nhiên chẵn, số chia hết cho 3 nằm trong khoảng từ 1
đến 20.
Không gian mẫu    1, 2,3,..., 20 � n     20
Gọi các biến cố
A: “ Thẻ được lấy có ghi số chẵn” � A   2, 4, 6,8,10,12,14,16,18, 20
B: “Thẻ được lấy có ghi số chia hết cho 3” � B   3, 6,9,12,15,18
C: “Thẻ được lấy có ghi số lẻ và chia hết cho 3” � C   3,9,15
a/ n(A)=10→ P  A  

n  A 2
 =
n   5

Vậy xác suất để thẻ được lấy ghi số chẵn là

b/ n(B)=10→ P  B  

2
5

n  B
6
3
 =

n    20 10

4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vậy xác suất để thẻ được lấy ghi số chia hết cho 3 là

c/ n(C)=3→P(C)=

3
10

n  C
3
=
n() 20

Vậy xác suất để thẻ được lấy ghi số lẻ và chia hết cho 3 là

3
20

Bài 2
Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.
Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:
a) Cạnh của lục giác.
b) Đường chéo của lục giác.
c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.

Lời giải:
Gọi không gian mẫu là  .
Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng có thể tạo ra
2
được C6  15 đoạn thẳng. Do đó n(Ω) = 15

Gọi các biến cố:
A : “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là cạnh của lục giác”
B : “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo của lục giác”
C : “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo nối hai đỉnh đối diện
của lục giác”
a/ n(A)=6→ P  A  

n  A
6 2
 )=
=
n  
15 5

Vậy xác suất để đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là cạnh của lục giác là

2
5
b/ B= A →P(B)=1−P(A)=1−

2 3
=
5 5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5


Vậy xác suất để đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo của lục
giác là

3
5

c/ n(C)=6→P(C)=

n  C
3 1
= =
n() 15 5

Vậy xác suất để đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo nối
hai đỉnh đối diện của lục giác là

1
5

Bài 3
Một bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài. Bạn An rút ra 13 quân bài. Tính
xác suất sao cho 13 quân bài đó có 4 con Bích,
3 con Rô, 3 con Cơ và 3 con Nhép ?
Lời giải:
Gọi không gian mẫu là  . Mỗi phần tử là 1 cách rút 13 quân bài từ 52 quân nên số cách rút 13 quân
13
13
bài là C52 � n     C52

Gọi biến cố A: “trong 13 quân bài đó có 4 con Bích, 3 con Rô, 3 con Cơ và 3 con Nhép”
4
6
3
Ta có n  A   C13 .C9 .C6

Vậy xác suất của biến cố là A : P  A  

n  A
C13
 = 4 526 3 �0, 000002
n    C13 .C9 .C6

Bài 4.
Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam, 3 bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho.
a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Phân tích:
Đây tuy là một bài toán xác suất nhưng thực chất nó lại là một bài toán đếm trong tổ hợp. Đó là tập
hợp của các bài toán tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau:
(1) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang
( Đáp số: 6! = 720 cách).

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


(2) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng nam nữ ngồi
cạnh nhau,
( Đáp số: 3!.3! + 3!.3! = 72 cách).
(3) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng ba bạn nam
ngồi cạnh nhau.
( Đáp số: 4. 3!.3! = 144 cách)
Như vậy bài toán trên được giải như sau
Lời giải:
Gọi không gian mẫu là  . Mỗi phần tử là một cách sắp xếp 6 người vào 6 vị trí. Do đó n(Ω) = 6!=720
Gọi A là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ
xen kẽ nhau” => n(A) = 72
Và B là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam
ngồi cạnh nhau” =>n(B) = 144
Suy ra: xác suất của biến cố A là: P  A  

xác suất của biến cố B là: P  B  

n  A
72
1
 =
=
n    720 10
n  B  144 1
 =

n    720 5

Bài 5
Gieo một con súc xắc, cân đối và đồng nhất. Giả sử con súc xắc suất hiện mặt b chấm. Xét phương
trình x2 + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho phương trình có nghiệm.
Lời giải:
Ký hiệu “con súc xắc suất hiện mặt b chấm” là b:
Không gian mẫu: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(Ω) = 6
Gọi A là biến cố: “Phương trình có nghiệm”
Ta đã biết phương trình x 2   bx  2  0 có nghiệm khi Δ = b2 - 8 ≥ 0
Do đó A = {b ∈Z |b2 - 8 ≥ 0} = {3, 4, 5, 6} → n(A) = 4
Vậy xác suất của biến cố A là: P  A  

n  A 4 2
 = 
n   6 3

Bài 6
7

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Trên một cái vòng hình tròn dùng để quay xổ số có gắn 36 con số từ 01 đến 36. Xác suất để bánh xe
sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại
ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36)
trong lần quay thứ 2.
Lời giải
Trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối
lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính toán.
Gọi không gian mẫu là  và A là biến cố cần tính xác suất
Ω = {(i, j)|i, j ∈ {1,2,…36}}→ n(Ω) = 36.36 = 1296
A = {(i, j)|i, j ∈ {1,2,…,6}}, j ∈ {13, 14, …, 36}}
Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 25 cách chọn j ( từ 13 đến36 có 25 số) do đó n(A) =
6.24 = 144
Vậy xác suất của biến cố A là : P  A  

n  A  144 1
 =

n    1296 9

Bài 7
Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc cả 6
lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất:
A: “Số lần gieo không vượt quá ba”
B: “Số lần gieo là năm”
C: “Số lần gieo là sáu”
Phân tích:
Đối với bài toán này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách xác định không gian mẫu vì học
sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần gieo. Bài toán này trước hết phải xác định được số lần
gieo. Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh bằng các câu hỏi như:
o Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền bao nhiêu
lần?
o Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền tối đa
bao nhiêu lần?
Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì nếu gieo 100 lần vẫn có
thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra
8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


dạng các phần tử đầu tiên. Với câu hỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ
đó học sinh có thể xác định được không gian mẫu
Lời giải
a) Không gian mẫu Ω = {N, SN, SSN, SSSN, SSSSN, SSSSS}
b) Ta có:
A = {N, SN, SSN}, n(A) = 3 .Vậy xác suất của biến cố A là: P(A) = 3/7
B = {SSSSN}, n(B) = 1. Vậy xác suất của biến cố B là: P(B) = 1/7
C = {SSSSN, SSSSS}, n(c) = 2 .Vậy xác suất của biến cố A là: P(C) = 2/7

2.2. DẠNG 2: Sử dụng biến cố đối
Trong toán học, có những bài toán khi tính toán trực tiếp rất dài dòng và phức tạp. Khi đó
phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn. Phương pháp sử dụng biến cố
đối là một phương pháp như vậy.
Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên để vận dụng được
phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:
+ Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”, “tất cả”…hoặc tính chẵn,
lẻ, vô nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn hơn thì ta dùng biến cố đối.
+ Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập hợp để tránh xác định sai
biến cố đối.
Bài 8
Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố:
a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Phân tích:
Học sinh có thể giải quyết bài toán theo định hướng là: ít nhất 1 lần xuất hiện mặt ngửa thì có 3 khả
năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.
Do vậy học sinh sẽ giải bài toán như sau:
Ω = {NSS, SNS, SSN, SNN, NNS, NSN, NNN} → P(A)=n(A)n(Ω)=78
Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp. Tuy nhiên nếu để ý rằng biến cố đối của biến
cố A là biến cố A : “Không có lần nào xuất hiện mặt ngửa”. Do đó bài toán này sẽ được giải như sau:
Lời giải
Gọi không gian mẫu là  và A là biến cố cần tính xác suất.
� n(Ω) = 2.2.2 = 8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


a) Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố A : “Không cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”

Và ta có A ={SSS}→n( A )=1→P( A )=

 

n A

n  

=

1
8

1 7
Vậy xác suất của biến cố A là P(A)=1− =
8 8

b) Tương tự ta có: B ={SSS,NNN}→n( B )=2→P( B )=
Vậy xác suất của biến cố B là P(B)=1-

  =2  1

n B

n  

8

4

1 3
=
4 4

Bài 9
Từ một hộp chứa 7 quả cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 5 quả cầu vàng. Người ta lấy ngẫu nhiên đồng thời
5 quả. Hãy tính xác suất sao cho 5 quả đó là khác màu nhau?
Lời giải:
5
Gọi không gian mẫu là  � n(Ω) = C18  8568

Gọi A là biến cố: “5 quả đó là khác màu nhau”
� A : “5 quả đó là cùng màu nhau”
� n( A ) = C57 .C65 .C55  126

 

Xác suất của biến cố A là P A 

   126

n A

n  

8568

 

Vậy xác suất của biến cố A là P(A)=1− P A =1-



1
68

1 67
=
68 68

Bài 10
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm”
b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11”

10

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải:
Không gian mẫu: Ω = {(i, j)|i, j ∈ {1,2,…,6}}→ n(Ω) = 6.6 = 36
a) Ta có biến cố đối cuả A là A = {(i, j)|i, j ∈ {2,…,6}}→ n( A ) = 25

 

� P A 

   25

n A

n  

36

Vậy xác suất cần tìm là : P(A)=1−P( A )=

11
36

b) Ta có: B = {(i, j)|i, j ∈ {1,2,…,6}, i + j ≥ 11}= {(5,6), (6,5), (6,6)}→n( B )=3

 

� P B 

 

n B

n  

3
1

36 12

Vậy xác suất cần tìm là : P(B)=1−P( B )=

11
12

Bài 11
Kết quả (b,c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần, trong đó b là số chấm xuất hiện
trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình bậc hai

ax 2  bx  c  0
Tính xác suất để
a/ Phương trình vô nghiệm
b/ Phương trình có nghiệm
Lời giải:
Không gian mẫu: Ω = {(b, c): 1 �b �6,1 �c �6 }→ n(Ω) = 6.6 = 36
Gọi biến cố A: “Phương trình vô nghiệm”
Biến cố B: “Phương trình có nghiệm”
Nhận thấy B  A
2
a/ Ta có A    b, c  � : b  4ac  0

   1,1 ,  1, 2  ,...,  1, 6  ,  2, 2  ,  2, 3  ,...,  2, 6  ,  3,3  ,  3, 4  ,  3,5  ,  3, 6  ,  4,5  ,  4, 6  

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

11


� n  A   17
Vậy xác suất của biến cố A là P  A  

n  A  17
 
n    36

 

b/ Do B  A nên P  B   P A  1  P  A   1 

17 19

36 36

Vậy xác suất cần để phương trình có nghiệm là

19
36

2.3. DẠNG 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân
Đối với các bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất là các bài toán
luôn tính được xác suất của biến cố cơ sở (các biến cố cần tính xác suất biểu diễn qua các biến cố
này). Chúng ta cần lưu ý:
* Khi gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì
+Xác suất xuất hiện mặt sấp là 1/2
+Xác suất xuất hiện mặt ngửa là 1/2
* Khi gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì
+Xác suất xuất hiện từng mặt là 1/6
+Xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn là1/2
+ Xác suất xuất hiện mặt số chấm là lẻ là 1/2
+Xác suất xuất hiện mặt số chấm là số chia hết cho 3 là 1/2
Đối với các phép thử khác thì tuỳ theo từng bài toán ta sẽ tính được xác suất này. Và cũng có nhiều
bài toán cho trực tiếp xác suât.
Đối với bài toán sử dụng quy tắc nhân xác suất chúng ta cần phải khẳng định được hai biến
cố là độc lập. Sau đây là 1 số dạng toán hay gặp:
* Khi gieo hai đồng tiền hoặc gieo đồng tiền hai lần thì biến cố xảy ra trong lần gieo này độc lập với
biến cố xảy ra trong lần gieo kia. Tương tự đối với con súc sắc.
*Hai xạ thủ bắn sung thì sự bắn trúng hay trượt của người này không ảnh hưởng tới người kia. Do đó
các biến cố liên quan đến người này độc lập với biến cố liên quan đến người kia. Tương tự đối với một
người bắn hai phát sung
*Có hai cái hộp đựng bóng. Lấy từ mỗi hòm ra một quả bóng thì biến cố lấy ra bóng của hộp này sẽ
độc lập với biến cố lấy ra bóng ở hộp kia. Tương tự đối với bài toán lấy viên bi, lấy quả cầu, lấy thẻ...
Bài 12

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

12


Một con súc sắc cân đối và đồng chất được gieo 2 lần. Tính xác suất sao cho
a/ tổng số chấm của 2 lần gieo là 6.
b/ ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt 1 chấm.
Lời giải
Không gian mẫu: Ω = {(i, j)|i, j ∈ {1,2,…,6}}→ n(Ω) = 6.6 = 36
Gọi biến cố A: “tổng số chấm của 2 lần gieo là 6”
biến cố B: “ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt 1 chấm”
a/ Ta có A    1,5  ,  5,1 ,  2, 4  ,  4, 2  ,  3,3   � n  A   5
Vậy xác suất của biến cố A là P  A  

n  A 5
 
n    36

b/ Gọi biến cố B1: “ lần đầu gieo xuất hiện mặt 1 chấm” � P  B1  

1
6

biến cố B2: “ lần thứ hai gieo xuất hiện mặt 1 chấm” � P  B2  

1
6

Rõ ràng B1 , B2 là hai biến cố độc lập và B  B1 �B2

� P  B   P  B1   P  B2   P  B1B2  

1 1 1 1 11
  . 
6 6 6 6 36

Bài 13
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần. Tính xác suất sao cho tổng số chấm trong 2 lần gieo
là số chẵn.
Lời giải
Gọi biến cố A: “Lần đầu xuất hiện mặt chấm là số chẵn” � P  A  

1
2

biến cố B: “Lần thứ hai xuất hiện mặt chấm là số chẵn” � P  B  

1
2

biến cố C: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là số chẵn”
13

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Nhận thấy C  A.B �A.B , trong đó A.B và A.B là 2 biến cố xung khắc, do đó



� P  C   P  A.B   P A.B



Vì A và B là 2 biến cố độc lập nên A, B cũng là 2 biến cố độc lập nên

   

1 1 � 1 �� 1 � 1
� P  C   P  A  .P  B   P A .P B  .  �
1 �
.�
1  �
2 2 � 2 �� 2 � 2

Bài 14
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.
b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.

Lời giải
Gọi biến cố A: “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn”
biến cố B: “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn”
a/ C là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”
Thấy rằng A và B là hai biến cố độc lập và P(A) = P(B) = 3/6 = 1/2
Do vậy ta có: P(C) = P(AB) = P(A).P(B) =

1 1 1
. 
2 2 4

b/ Gọi D là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”
Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số chẵn:
· Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ.
· Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn.
· Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn.
Và ta có D “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số lẻ” chỉ có 1 khả năng là cả hai con súc sắc đều
xuất hiện mặt lẻ.
� D  A.B .

Vì A và B là 2 biến cố độc lập nên A, B cũng là 2 biến cố độc lập nên

 

   

� 1 �� 1 � 1 1 1
� P D  P A .P B   1  P  A   .  1  P  B    �
1 �
.�
1  � . 
� 2 �� 2 � 2 2 4
14

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 

Do đó P  D   1  P D  1 

1 3

4 4

Bài 15
Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh. Hộp thứ hai có 6
quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu.
a) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.
b) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.
Phân tích:
Bài toán này vẫn có thể giải theo dạng 1, tuy nhiên việc giải rất dài dòng và phức tạp. Nếu sử dụng
phối hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân thì việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Lời giải
a) Gọi:
A là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”
B là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”
X là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ”
Ta có X = AB, P(A) =

7
6 3

, P(B) =
12
10 5

Mặt khác A và B độc lập nên: P(X) = P(A)(B) =

7 3 7
. =
12 5 20

b) Gọi:
Y là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh”
Z là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”
Ta có Y  A.B Mà A và B độc lập nên A, B cũng độc lập

   

� 7 �� 3 � 1
� P  Y   P A .P B   1  P  A   .  1  P  B    �
1 �
.�
1  �
� 12 �� 5 � 6

Thấy rằng: Z = X∪Y, X ∩Y = ø nên: P(Z) = P(X) + P(Y) =

7 1 31
 
20 6 60

Bài 16
Một lớp có 60 sinh viên trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20
sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất của các biến
cố sau:
15

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


a/ A: “ sinh viên được chọn học tiếng Anh”
b/ B: “sinh viên được chọn học tiếng Pháp”
c/ C: “sinh viên được chọn học cả tiếng Anh và tiếng Pháp”
d/ D: “sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp”
Lời giải
a/ Xác suất của biến cố A là P  A  

40 2

60 3

b/ Xác suất của biến cố B là P  B  

30 1

60 2

c/ Do C  A �B nên xác suất của biến cố C là P  C   P  A �B  

2 1

60 3

d/ Do D  A �B  A �B
Ta có P  A �B   P  A   P  B   P  A �B  

� P  D   1  P  A �B   1 

2 1 1 5
  
3 2 3 6

5 1

6 6

Bài 17
Trong hộp có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên từ hộp 6 chi
tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.
Lời giải
Trong 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng nghĩa là không có chi tiết nào hỏng hoặc có một chi
tiết hỏng.
6
Gọi Ω không gian mẫu. Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết � n     C10 =210

Gọi biến cố A: “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”
biến cố B: “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”
biến cố X: “Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”
� X = A ∪ B.
16

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Do A và B xung khắc nhau nên P(X) = P(A) + P(B)
6
Có 8 chi tiết không bị hỏng nên n  A   C8  28 � P  A  

n  A
28
2


n    210 15

5
Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là C8
1
Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là C 2

� n  B   C85 .C12 =112 � P  B  

n  B  112 8


n    210 15

Do vậy ta có P  X   P  A   P  B  

2 8 2
 
15 15 3

Bài 18
Có 2 lô hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất để được sản phẩm chất
lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là 0,7; 0,8. Hãy tính xác suất để:
a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.
b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.
Lời giải
Gọi biến cố A: “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”
biến cố B: “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”

 

P(A)=0,7 � P A =1−0,7=0,3

 

P(B)=0,8 � P B =1−0,8=0,2
a) Gọi biến cố X: “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt”.
Suy ra: X  A.B
Do A,B là 2 biến cố độc lập nên A, B cũng là 2 biến cố độc lập nên ta có:
P( X )=P( A )P( B )=0,3.0,2=0,06
Vậy xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt là:
P(X)=1−P( X )=0,94
b) Gọi biến cố Y: “Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có chất lượng tốt”.
� Y  A.B �A.B
17

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Do A B, A B xung khắc và biến cố A và B; A và B độc lập nên ta có:



 



 

 

� P(Y)  P(A.B �A.B)  P A.B  P A.B  P A P  B   P  A  P B

=0,7.0,2+0,8.0,3=0,38
Vậy xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt
là : 0,38
Bài 19
Một phòng được lắp hai hệ thống chuông báo động phòng cháy, một hệ thống báo khi thấy khói và
một hệ thống báo khi thấy lửa xuất hiện. Qua thực nghiệm thấy rằng xác suất chuông báo khói là
0,95, chuông báo lửa là 0,91 và cả 2 chuông báo là 0,88. Tính xác suất để khi có hỏa hoạn ít nhất một
trong 2 chuông sẽ báo.
Lời giải
Nhận thấy rằng: Biến cố cần tính xác suất là chuông báo khói báo hoả hoạn hoặc chuông báo lửa báo
lửa sẽ báo hoả hoạn. Tuy nhiên hai biến cố cơ sở lại không xung khắc. Do đó ta phải sử dụng quy tắc
cộng mở rộng.
Gọi biến cố A: “Chuông báo khi thấy khói”
biến cố B: “Chuông báo khi thấy lửa”
biến cố C: “Ít nhất một trong hai chông báo khi hỏa hoạn”
Theo giả thiết bài toán ta có
P(A) = 0,95
P(B) = 0,95
P(AB) = 0,88
Do đó P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,95 + 0,91 – 0,88 = 0,98
Vậy xác suất để khi có hỏa hoạn ít nhất một trong 2 chuông sẽ báo là 0,98

Bài 20
Trong một kỳ kiểm tra chất lượng ở khối lớp 10 và 11 của trường X, mỗi khối có 25% trượt Toán, 15%
trượt Lý và 10% trượt Hóa. Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất sao cho:
a/ Hai học sinh đó trượt Toán.
b/ Hai học sinh đó đều bị trượt 1 môn nào đó.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

18


c/ Hai học sinh đó không bị trượt 1 môn nào.
d/ Có ít nhất một trong hai học sinh đó bị trượt ít nhất 1 môn.
Lời giải
Gọi A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố: “ Học sinh được chọn từ khối 10 trượt
Gọi B1, B2, B3 lần lượt là các biến cố: “ Học sinh được chọn từ khối 11 trượt môn Toán, Lý, Hóa”
Các biến cố Ai, Aj là độc lập với mọi (i,j)
a/ Gọi biến cố A: “Hai học sinh được chọn trượt Toán”

� A  A1B1
Do đó xác suất cần tìm là

1 1 1
P  A   P  A1B1   P  A1  .P  B1   . 
=6,25%
4 4 16
Do đó xác suất cần tìm là 6,25%
b/ Gọi biến cố B: “Hai học sinh đó đều bị trượt 1 môn nào đó”

B   A1 �A 2 �A 3  � B1 �B2 �B3 
1 1 1
P  B   P  A1 �A 2 �A 3  .P  B1 �B2 �B3   .  =25%
2 2 4
Do đó xác suất cần tìm là 25%
c/ Gọi biến cố C: “Hai học sinh đó không bị trượt 1 môn nào”
C  A1 �A 2 �A3 �B1 �B2 �B3
Vì các biến cố Ai, Aj là độc lập với mọi (i,j) nên các biến cố A i , A j cũng là các biến cố độc lập.



 

P  C   P A1 �A 2 �A 3 .P B1 �B2 �B3


2

� 1� 1
�
1  P  A1 �A 2 �A 3  �
.�
1  P  B1 �B2 �B3  �
1  �  25%



� �
� 2� 4
Vậy xác suất cần tìm là 25%
d/ Gọi biến cố D: “Có ít nhất một trong hai học sinh đó bị trượt ít nhất 1 môn”
D   A1 �A 2 �A 3  � B1 �B2 �B3 
P  D   P  A1 �A 2 �A 3   P  B1 �B2 �B3   P( A1 �A 2 �A 3  .  B1 �B 2 �B3  )


1 1 1 3
    75%
2 2 4 4

Vậy xác suất cần tìm là 75%

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

19


2.4. DẠNG 4: Các bài toán xác suất có điền kiện
Bài 21
Một bình đựng 3 bi xanh và 2 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên lần 1 một viên bi (không bỏ vào lại), rồi lần 2
một viên bi. Tính xác suất để lần 1 lấy một viên bi xanh, lần 2 lấy một viên bi trắng.

Lời giải:
Gọi biến cố A: “lấy một bi xanh lần thứ nhất” � P  A  

3
5

biến cố B: “lấy một bi trắng lần thứ hai”
biến cố C: “lấy lần 1 một viên bi xanh, lần 2 một viên bi trắng”

Nếu A đã xảy ra thì trong bình chỉ còn 2 bi xanh, 2 bi trắng . Khi đó

P  B / A 

2 1

4 2

Mà C  AB . Do đó theo công thức nhân ta có:

3 1 3
P(C)  P(AB)  P(A)P(B / A)  � 
5 2 10
Vậy xác suất để lần 1 lấy một viên bi xanh, lần 2 lấy một viên bi trắng là

3
10

Bài 22
Một bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên một bi, rồi lấy một bi nữa.Tính xác suất của biến
cố “lấy lần thứ hai được một bi xanh”.
Lời giải
20

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Gọi biến cố A: “lấy lần thứ nhất được bi xanh”
biến cố B: “lần thứ hai lấy được bi xanh”
Vì B chỉ xảy ra cùng với A hoặc A nên C  (BA) �(BA) .
P(C)  P((BA) �(BA))

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có:
P( C)=P(A) P(B / A) +P( A ). P(B / A)

3
5
5
4
Do P(A)= ,P( A )= , P(B / A) = , P(B / A) =
8
8
7
7
3 5 5 4 5
Suy ra P(C)  �  � 
8 7 8 7 8

Bài 23
Có hai hộp: (I) và (II). Hộp (I) có 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Hộp (II) có 6 bi đỏ và 4 bi vàng. Chọn ngẫu
nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất để lấy được bi đỏ.
Lời giải
Gọi biến cố A: “chọn 1 bi ở hộp (I)”
biến cố B: “ chọn 1 bi ở hộp (II)”
biến cố H: “chọn được bi đỏ ở hộp (I) hoặc hộp (II)”
� P(C)  P((AH) �(BH))

Suy ra: P(C)  P(AH)  P(BH)  P(A).P(H / A)  P(B).P(H / B)
1
1

P(A)  ; P(B) 


2
2
Trong đó: �
4
6

P(H / A)  ; P(H / B) 

9
10

Vậy xác suất cần tìm là

� P(C) 

1 4 1 6 47
� � 
2 9 2 10 90

47
90
21

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Bài 24
Phải gieo ít nhất bao nhiêu lần một con súc sắc để xác suất có ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 lớn hơn
hay bằng 0,9?
Lời giải
Giả sử số lần gieo là n
Gọi Aj là biến cố : “gieo một lần thứ j được mặt 6 (1 �j �n) ”, các Aj là các biến cố độc lập

� P Aj 

1
6

Gọi A là biến cố “có ít nhất một lần gieo được mặt 6”
Theo yêu cầu bài toán: P(A) �0,9
Ta có: A  A1.A 2 ...A n
Vì A1 , A 2 ,..., A 3 độc lập nhau nên

 

     

P A  P A1 .P A 2 ...P A n   1  P  A1   .  1  P  A 2   ...  1  P  A n  

n

� 1�
� 1 � � 1 � 5 5 5 �5 �
�
1 �
1 �
.... �
1  � . ....  � �

� 6�
� 6 � � 6 � 6 6 6 �6 �

n

�5 �
Do đó: � ��
0,1
�6 �

n 13

Vậy ta phải gieo ít nhất 13 lần

Bài 25
Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9. Nếu trượt lần
đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ
ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.
22

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải
Gọi Ai là biến cố: “thí sinh thi đậu lần thứ i”, (i = 1;2;3)
Gọi B là biến cố: “để thí sinh thi đậu”
� B  A1 �(A1A 2 ) �(A1 A 2 A 3 )

Khi đó P(B)  P(A1 )  P(A1A 2 )  P(A1 A 2 A 3 )
P(A1 )  0,9


P(A1A 2 )  P(A1 ).P(A 2 / A1 )  0,1.0, 7
Trong đó: �

P(A1 A 2 A 3 )  P(A1 ).P(A 2 / A1 ).P(A 3 / A1 A 2 )  0,1.0,3.0,3

Vậy: P(B)  0,9  0,1.0, 7  0,1.0,3.0,3  0,979

Bài 26
Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe
FORD”. Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng
thưởng.
Lời giải
Gọi A là biến cố: “nắp khoen đầu trúng thưởng”

� P(A) 

2
20

B là biến cố: “nắp khoen thứ hai trúng thưởng”
C là biến cố: “cả 2 nắp đều trúng thưởng”
Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng.
Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng.
Do đó: P  B / A  

1
19

� P(C) = P(A). P(B/A) =

2 1
1
� 
� 0, 0053
20 19 190

Vậy xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là 0,0053.

23

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


24

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


PHẦN 2:
HỆ THỐNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
DÀNH CHO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
Chọn câu trả lời đúng nhất trong các câu sau:

Mức độ 1: Nhận biết

Câu 1: Gieo bốn đồng xu phân biệt, không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
A. 16

B. 8

C. 32

D. Đáp số khác

Câu 2: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 . Chọn ngẫu nhiên 1 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập
từ các số trên. Số phần tử của không gian mẫu là?
A. 44

B. 24

C.1

D.42

Câu 3: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4. Chọn ngẫu nhiên 1 số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ
các số trên. Số phần tử của không gian mẫu là?
A. 12

B. 6

C.4

D.24

Câu 4: Cho A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Chọn ngẫu nhiên 1 số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau. Số
phần tử của không gian mẫu là?
A. 21

B. 120

C.2520

D.78125

Câu 5:Cho B={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chọn ngẫu nhiên 3 số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập
B. Số phần tử của không gian mẫu là?
A. 7711320

B. 46656

C.72160

D.360

Câu 6: Cho 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
A. 120

B. 1

C.3125

D.600

Câu 7: Cho A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Biến cố : “ số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ A”
có bao nhiêu đồng khả năng?
A. 120

B. 7203

C.1080

D.45

Câu 8: Cho A={1, 2, 3, 4, 5}. Biến cố : “ số lẻ có 2 chữ số đôi một khác nhau được lập từ A” có bao
nhiêu đồng khả năng?

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×
x