Tải bản đầy đủ

Trắc nghiệm toán 12 phần 1 chương III

Chương III.
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT
1. Kiến thức
Theo yêu cầu của chuẩn kiến thức môn Toán lớp 12 THPT hiện hành, học sinh cần hiểu, nhớ
các khái niệm và kết quả dưới đây.
 Các khái niệm:
 Định nghĩa nguyên hàm của hàm số (trên một khoảng K ).




Định nghĩa tích phân
Ký hiệu nguyên hàm, ký hiệu tích phân, cận trên, cận dưới của tích phân,
Khái niệm diện tích hình thang cong




Khái niệm thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh trục Ox
Các kết quả:




f  x dx  F  x  C � F  x  f  x

'

f  x
Chú ý: Khoảng K là khoảng xác định của
. Vì vậy, một cách chính xác, phải có
1

F '  x  f  x ,x�K

�dx  ln x  C là một kết quả sai.
. Do đó, x

f  x dx  f  x  C


. Kết quả này cũng có nghĩa là

'



f  x

là một nguyên hàm của

f '  x










f  x
f '  x
(nếu

có cùng tập xác định).
Các tính chất của nguyên hàm
Công thức đổi biến số nguyên hàm. Công thức nguyên hàm từng phần
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
Các tính chất của tích phân.
Công thức đổi biến số tích phân. Công thức tích phân từng phần.
Công thức tính diện tích hình thang cong. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi hai đường cong
Công thức tính thể tích khối trong xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh
trục Ox .

2. Kỹ năng
Theo yêu cầu của Chuẩn kỹ năng môn Toán lớp 12 THPT hiện hành, học sinh cần luyện tập
để thành thục các kỹ năng dưới đây:
 Có khả năng tái hiện các khái niệm, các két quả nêu ở mục 1 trên đây, trong các tình
huống cụ thể;
F  x
f  x
 Biết kiểm tra một hàm số
có phải là nguyên hàm của hàm số
hay không.





f  x dx  F  x  C
Biết kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định �
Biết tính đạo hàm các hàm số đơn giản ( đã học trong chương trình Toán 11) phục vụ yêu
cầu kiểm tra xem một hàm số











F  x

có phải là nguyên hàm của hàm số

f  x

hay không

f  x dx  F  x  C
( hoặc kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định �
).
Biết dùng các tính chất của nguyên hàm và các công thức nguyên hàm của các hàm số
thường gặp để tính nguyên hàm của những hàm số đơn giản.
Biết tính tích phân bằng hai cách: sử dụng định nghĩa tích phân đưa bài toán về tìm
nguyên hàm; sử dụng các phương pháp tính tích phân: phương pháp khai triển, phương
pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần.
x . f  x
f  x
Biết một số dạng hàm số có thể tích phân từng phần:
, trong đó
là một
kx b
cos kx  b sin kx  b ln kx  b
trong các hàm số e ,
,
,
.
Biết biến đổi các biểu thức lượng giác, biết giải các phương trình lượng giác đơn giản
( đã học trong chương trình Toán 10 và Toán 11) .
Biết tính diện tích hình thang cong và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
cong.
Biết tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh trục Ox

Vơi các bài toán tính tích phân những hàm số chưa dấu giá trị tuyệt đối , các bài toán tính
diện tích hình phẳng, học sinh cần nắm vững kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối, biết xét
dấu một biểu thức. Đặc biệt, học sinh nên nắm được tính chất: Nếu hàm số liên tục và
không triệt tiêu tại điểm nào trên một khoảng thì có dấu không đổi trên khoảng đó đã học
ở lớp 11.
3. Một số ví dụ
Ví dụ 1. (Câu 23 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):

f  x  2x  1
Tìm nguyên hàm của hàm số
2
f  x dx   2x  1 2x  1  C

3
A.
1

f  x dx  

3
C.

1

f  x dx   2x  1

3
B.
1

f  x dx 

2
D.

2x  1  C

2x  1  C

2x  1  C

Hướng dẫn giải:
 Cách 1: Học sinh cần nắm vững kỹ năng kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định
f  x dx  F  x  C

và phải nhứ cách tính đạo hàm của căn thức, của tích hai hàm số.
Cách giải: Áp dụng công thức

 

'

u 

u'

'
'
2 u và  uv  uv uv ta có:
'






 2x  1

'

2x  1 

  2x  1

'

2 2x  1





2
1

2 2x  1
2x  1

'

2x  1   2x  1 . 2x  1   2x  1 .
'

 2 2x  1   2x  1





2x  1

'

1

 3 2x  1
2x  1
Do đó với mọi số thực k :
'
k
k 2x  1 
� 2x  1
2x  1





 k 2x  1
 k 2x  1


2x  1

'

2x  1  3k 2x  1
'

 2x  1 � 3k  1� k 

1
3.

Vậy B là đáp án đúng.
1

f  x dx
Cách 2: Học sinh có thể viết
và tính �
bằng phương pháp đổi
biến số.
Ví dụ 2. (Câu 25 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
f  x   2x  1 2





Tính tích phân
1
I  4
4
A.
C. I  0

I �
cos3 xsin xdx
0

.
4
B. I  
1
I 
4
D.

Hướng dẫn giải: Hàm số lấy tích phân là những hàm lượng giác của x . Có hai cách tính các tích
phân loại này: biến đổi lượng giác tích thành tổng để đưa về tích phân của coskx , sinkx hoặc
đổi biến số để đưa về tính tích phân hàm lũy thừa.
Cách giải 1: Áp dụng công thức biến tích thành tổng, ta có:
1 cos2x
1
cos2 x 
cos xsin x  sin2x
2
2
,
1
1
� cos3 xsin x  sin2x 1 cos2x   sin2x  sin2xcos2x
4
4
1
1
 sin2x  sin4x
4
8






1
1
�1
� 1
I �
dx  �
sin2xdx  �
sin4xdx
�4 sin2x  8sin4x�
80
� 40
0�
Do đó,

Áp dụng công thức

sinkxdx  cososcoskx  C

và cos2n  1 , ta được :






1
1
sin4xdx   cos4x    1 1  0

4
4
0
0



. Tương tự

sin2xdx  0

0

Do đó I  0 , C là đáp án đúng.
sin x    cos x
Cách giải 2: Đặt t  cos x thì
nên sinxdx  dt
Đổi cận: x  0 � t  1 , x   � t  1
'

1

1

1

t4
I  �
t dt  �
t dt 
0
4 1
1
1
3

3

Do đó,
Ví dụ 3. (Câu 26 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
e

Tính tích phân:
1
I
2
A.

I �
x ln xdx
1

I

e2  2
2

I

e2  1
4

I

e2  1
4

B.
C.
D.
Hướng dẫn giải: Hàm số dươi dấu tích phân có thể tích phân được bằng phương pháp tích phân
từng phần.
Đặt u  ln x , dv  xdx thì
phần, ta có:
e

e

du 

x2
1
dx v
2 . Do đó áp dụng công thức tính tích phân từng
x
,
e

e

x2
x2 1
e2 1
e2 1 x2
e2 e2  1 e2  1
I  ln x  � . dx   �
xdx   .
 

2
2
x
2
2
2
2
2
2
4
4
1
1
1
1
D là đáp án đúng.
Ví dụ 4. (Câu 27 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
3
2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  x và đồ thị hàm số y  x  x .
37
9
81
D. 13
A. 12
B. 4
C. 12
Hướng dẫn giải: Học sinh cần nắm được kỹ năng tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong. Trước tiên, cần tìm giao điểm của hai đồ thị, học sinh cần biết cách viết phương
trình xác định hoành độ giao điểm hai đường, biết giải phương trình (bậc 3). Sau đó cần viết
được công thức tính diện tích bằng tích phân (có chứa giá trị tuyệt đối) và cuối cùng phải tính
được tích phân đó.
ở đây, phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị là





x3  x  x  x2 � x3  x2  2x  0 � x x2  x  2  0

(1)


Phương trình này có 3 nghiệm phân biệt, viết theo thứ tự tăng là 2;0;1. Từ đó, diện tích cần tính
1

S


�x  x
3

2

 2x dx
. Chú ý rằng (1) không có nghiệm nào trong các khoảng

2

 2;0 ,  0;1

3
2
, suy ra x  x  2x không đổi dấu trong các khoảng đó, do đó
1

�x  x
3

2

 2x dx 

2

0

x




3

2

0

�x  x
3

2

2

 x2  2x dx 

1

x


3

1

 2x dx  �
x3  x2  2x dx
0

 x2  2x dx

.
Tính các tích phân trong dấu giá trị tuyệt đối, ta được
0

0

0

�x4 x3
8
2�
x

x

2
x
dx

�  x � 

�4 3
�2 3
2
1



3



2

1

�x4 x3
5
2�
x

x

2
x
dx

�  x � 

12
�4 3
�0
0



3

2



8 5 37
S  
3 12 12 . Đáp án đúng là A.
Từ đó
Ví dụ 5. (Câu 28 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
y  2 x  1 ex
Kí hiệu (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục tung và trục hoành.
Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) xung quanh trục Ox .
A. V  4  2e
2
C. V  e  5

B.
D.

V   4  2e 





V  e2  5 

y  2 x  1 ex
Hướng dẫn giải: Học sinh thường lúng túng khi muốn vẽ đồ thị hàm số
. Thực ra,
ta không cần vẽ hình H mà chỉ cần giải phương trình tìm hoành độ giao điểm hai đường
y  2 x  1 ex

2 x  1 ex  0
và y  0 (trục hoành), phương trình đó là
. Phương trình có
1

nghiệm duy nhất x  1 . Do đó, công thức tính V là
này, ta tìm được V .



0

Ở đây, phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường
2 x  1 ex  0



2

V�
2 x  1 ex dx

. Phương trình có nghiệm duy nhất x  1 . Do đó,

. Tính tích phân

y  2 x  1 ex

và y  0 là


1





1

2

V�
2 x  1 ex dx   �
 x  1 4e2xdx
0

2

0

.

2x
du  2 x  1 dx v  2e2x
u   x  1
Đặt
, dv  4e dx thì
,
.
Do đó
2

1

 x  1


2

0

1

1

1

0

0

.4e2xdx   x  1 .2e2x  �
2.e2x.2 x  1 dx  2  �
4e2x. x  1 dx
2

0

(1)

Lại đặt u  x  1 , dv  4e dx thì du  dx , v  2e
2x

2x

1

4e . x  1 dx   x  1 2e


2x 1

2x

Do đó

0

1

 x  1


2

0

1

0

0



Từ (1) và (2) suy ra
đúng là D.
II. MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP
NGUYÊN HÀM

A.

f  x dx 

1

C.

3. Tìm các hàm số
, biết
sin x
f  x 
C
2
2

cos
x


A.
1
f  x 
C
2  sin x
C.
B.

f  x 

D.
F '  x 

2

 2x  1

2



sin x
C
2  sin x

 2 sin x

2

2x  1  C

f  x dx 


1

 x  1

D.
cos x

f  x dx  2


2x  1

C

1

B.

1
2

C
x  1 2x  1
f  x



2x  1

B.

f '  x 

. Suy ra

(2)



V  e2  5 

1

f  x 

2x  1  C

F  x
2. Tìm hàm số
, biết rằng
1
1
F  x 

C
2x  1 x  1
A.
F  x 



2x  1  C

f  x dx 

2
C.



.4e2xdx  2  3 e2  e2  5

0

1. Tìm nguyên hàm của hàm số



1

�
2e2xdx  2  e2x  2  e2  1  3 e2

2

F  x 

1
1

C
x  1 2x  1

F  x 

1
C

x  1 2x  1

. Đáp án


D.

f  x 

1
C
2  cos x
F  x

4. Tìm các hàm số
1
F  x  1 2  C
x
A.

thỏa mãn điều kiện

F '  x  x 

1
x

x2
F  x 
 ln x
2
B.

x2
F  x 
 ln x  C
2
C.

D.

f  x  2017
5. Tìm nguyên hàm của
2017x
f  x dx 
C

ln2017
A.

F  x 

x2
 ln x  C
2

x

1

f  x dx 
2017

x 1
C.

x1

6. Tìm nguyên hàm của
xe
f
x
dx

C



ln x
A.

f  x dx  2017
B. �

x

C

C

f  x dx  2017 ln2017 C

x

D.

f  x  xe

f  x dx  ex
.
C

f  x dx  x  C
D. �
e1

C.

e

e1

x

f  x dx 
C

e 1
B.

f  x 

x2  2x

 x  1 ?
7. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số
x2  x  1
x2  x  1
F  x 
F  x 
x 1
x 1
A.
B.
C.

F  x 

x2  1
x 1

8. Tìm nguyên hàm
A.

F  x  x

C.

F  x  cot x

D.
F  x

f  x  

của hàm số

F  x 

2

x2  3x  3
x 1

� � 
1
F
� �
sin2 x biết �2 � 2

F  x  sin x   1
2
B.
D.

F  x  cot x 


2

F  x
F  x  3x  2x  1
y  F  x
9. Tìm hàm số
biết
và đồ thị
cắt trục tung tại điểm có tung
e
độ bằng .
F  x  x2  x  e
F  x  x3  x2  x  1
A.
C.
'

2


B.

F  x  cos2x  e 1

10. Biết

D.

F  x  x3  x2  x  e

f  u du  F  u  C

. Tìm khằng định đúng

f  2x  3 dx  2F  x  3 C

f  2x  3 dx  F  2x  3  C
B. �
A.

1

f  2x  3 dx  F  2x  3  C

2
C.
D.

f  2x  3 dx  2F  2x  3  C


� �
f � � 2
f  x
f  x  2  cos2x
11. Cho hàm số
thỏa mãn các điều kiện
và �2 �
Tìm khẳng định sai?
1
f  x  2x  sin2x  
f  x  2x  sin2x  
B.
2
A.
� �
f�
 � 0
f  0  
1�

C.
D.
2x  1
f
x



F  x
ex biết F  0  1
12. Tìm nguyên hàm
của
'

A.

F  x 

2x  ln2  1
ex  ln2  1

x

2x  ln2
F  x  x
e  ln2  1

x

�2 �
F  x  � �
�e �
D.

C.
TÍCH PHÂN

b

13. Cho a  b  c ,

f  x dx  5

a

b

,

f  x dx  2

c

c

. Tính

c

A.

f  x dx

a
c

f  x dx  2


B.

a

c

C.

f  x dx  3

a

c

f  x dx  8


f  x dx  0


D. a

a

9

14. Biết rằng

f  x

là hàm liên tục trên �và

f  x dx  9

0

3

A.

f  3x dx  1

0

x

1 �2 � �1�
1
F  x 
� � � �
ln2  1�e � �e� ln2  1
B.

3

C.

3

, tính

f  3x dx

0

f  3x dx  3

0


3

B.

3

f  3x dx  2


D.

0

f  3x dx  4

0



15. Biết hàm số

f  x

có đạo hàm

f '  x

liên tục trên � và

f  0  

,

f  x dx  3

'

0

. Tính

f  
A.

.
f    0

B.

f     

C.

f     4

D.

f     2

2

xdx
I �
x  1 và đặt t  x  1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
1 1
16. Xét tích phân
sai ?
1

A. dx  2tdt
1

4 �
�2
I �
2t  2t  4 
dt

t  1�

0�
C.
6

�x

I
17. Đặt
A.

dx 

3 2

dx
x2  9 và

3sint
dt
cos2 t

x

2t3  2t
I �
dt
t

1
0
B.
7
I   3ln2
3
D.
3
cost . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
dx
sintdt

2
3cost tant
B. x x  9


3

C.

sintdt
I �
 3cost tan t

D.

4

I


36

2

dx
I � 2
4  x và x  2tant . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
0
18. Đặt

A.





4  x2  4 1 tan2 t

B.




4

1
I  �dt
2
0
C.

D.



dx  2 1 tan2 t dt

I

3
4

8

xdx
I �
x  1 . Nếu đặt t  1 x  1 thì khẳng định nào trong các khẳng
3 1
19. Xét tích phân
định sau đúng?
3

A.





I �
t  t dt
4

2

8

C.





I  2�
t2  3t  2 dt
3


3



3



I  2�
t2  3t  2 dt

B.
20. Khẳng định nào đúng ?
4


2

A.

sin


2

0


2

sin


2

D.

xdx  �
cos2 xdx

B.

0


2

xdx  �
cos2 xdx

 tan x  x

4

B.

x tan


2

'

sin


D.

sin

0

 tan2 x

xdx  x tan x  x

0


4


4
0


4

�
 tan x  x dx
0





 �  � 4 d cos x 4
2
x
tan
xdx

1 � �
�
xdx


4
4
cos
x


0
0
0
C.

4

 2 1
x tan xdx  
 ln2

4 32 2
D. 0
.
22. Tìm khẳng định sai ?
2

'

� 1 � sin x
�cos x � cos2 x

A. �

3





xsin x
x 3 3 1
dx

 � dx
2

cos
x
cos
x
0
0 cos x
B. 0

3

C.



1
1 �
1 sin x �3
dx

ln

cos x
2 �
1 sin x �

�0
0

3

xsin x
2
dx 
 ln 2  3
2
x
3
D. 0
23. Khẳng định nào sai ?


cos



A. Với t  4  3cos x thì



cos x 

2

0


2

0
C. 0
21. Khẳng định nào sai ?

A.

8


2


2





I �
t  t2 dt

2tdt
4  t2
sin xdx 
3 và
3

2


2

xdx  �
cos2 xdx
0


2

xdx  2�
cos2 xdx
0



2

2

2 �4
1 �
dx  �

dt



5
4

t
1

t
cos
x

4

3cos
x


t

4

3cos
x
0
1
B. Nếu đặt
thì
1 �
2
�4
dt    4ln t  4  ln t  1 
�4  t  1 t �

5

C. �

2

D.


cos x 
0

sin x

sin x
6 3
dx  ln
5 2.
4 3cos x
ln3

3e2x1  2
dx
x

e
0

I

24. Tính
A.

I  6e

4
3

I

B.

I  4e

3
4

C.

4
3

D.

I  5e

ln2

e3x  1
dx

ex  1
0

25. Tính
1
I   ln2
2
A.
I

C.

I  6e

B.

1
 2ln2
2

I

1
 3ln2
2

1
I    ln2
2
D.

e

1
I �
dx
x

1

x
0
26. Tính
1
I
2
e 1  e
A.
C.

I



1


I  2�
 1�
� e 1  e �
B.
2
I   e 1 e 1  e e  1
3
D.



2
 e 1 e 1  e e  1
3





a

27. Giải phương trình ẩn a sau đây

a
3
A.
C.

a

cos xdx  0

0


 k2
6
, k��
3

2

28. Biết a  e
A. a  1

dx


ex 1
1


 k2
3
B.
, k��
D. a  k , k��
a

 e2  e. Khẳng định nào đúng ?
B. a  1

C. a  1

D.

a

1
2

4
3



2





a �
ecosx  cos x cos xdx  e 1
0
29. Biết
. Tìm khẳng định sai ?
�3

�3

sin�  a   �  sin ,
tan�  a   �  tan ,
�4

�4

A.
C.
�3

cot �  a   �  cot ,
�4

D.

�3

cos�  a   �  cos ,
�4

B.

4

a  2asin2 x
dx

30. Tính 0 1 sin2x
, trong đó a là một số đã cho

4


4

a  2asin2 x
dx  2a  a 2

1

sin2
x
0
A.

4

a  2asin2 x
a 2
dx 
1

1

sin2
x
2
0
B.

4

a  2asin x
dx  ln 2a

C. 0 1 sin2x
31. Tìm khẳng định sai ?

a  2asin2 x
1
dx  lna

2
D. 0 1 sin2x

2


4


4

10  2
sin2xdx
2
.�

3
cos2 x  4sin2 x 3
0

A.

10  2
sin2xdx
4
�

3
cos2 x  4sin2 x 3
0

B.

4

2

� sin2xdx


� 1
2
2
cos
x

4sin
x


C.

3sin2xdx

�cos

D.

0

2

x  4sin2 x

2

�
dx  10
0

e

1 3ln x ln x
a
a
dx 
x
b , trong đó a, b là hai số nguyên dương và b là phân số tối giản.
32. Biết 1
Khẳng định nào sai ?




2

 1 cosx


n

sin xdx 

A. 0


2

B.

 1 cosx

0

n

sin xdx 


2

1
2n

C.

sin xdx 

1
n 1

sin xdx 

1
2n  1

n

0


2

1
n 1

 1 cosx


n

D. 0

3

34. Trong các giá trị của n cho sau đây, tìm n để
A. n  1
B. n  2

 1 cosx


cos


n

xsin xdx 

0

C. n  3

15
64
D. n  4


 3x  1 dx

1

35. Biết
tính ab .

a 5

 3ln 

x  6x  9
b 6
2

0

A. ab  5

4

C. ab  6

B. ab 12

 1 tan x

� cos

36. Cho 0
nào đúng ?
A. a  b

a
, trong đó a, b nguyên dương và b là phân số tối giản. Hãy

2

5

x

dx 

D.

ab

5
4

a
a
b ,trong đó a, b nguyên dương và b là phân số tối giản. Khẳng định
B. ab  1

C. a  10b  1

2
2
D. a  b  1

37. Khẳng định nào sai ?



sin��
   x sin xdx� 0
�0

A.

�1 

cos� �
   x sin xdx� 0
�2 0

B.

�3 

tan� �
   x sin xdx� 1
�4 0

C.

�

cos�
2�
   x sin xdx� 1
�0

D.




sin�
 xcos xdx�

�0

38. Tính



sin��
 x cos xdx� 1
�0

A.




sin�
 x cosxdx� 0

�0

B.




sin��
 xcos xdx� 
�0

C.
39. Tìm khẳng định sai ?



� 3
sin��
 x cos xdx�
�0
� 2
D.

�1  x

sin�� exdx   � cos ,
�0 2

A.

�1  x

cos�� exdx   � sin ,
�0 2

B.

�1

sin��
 xexdx   � sin ,
�0

C.

�1

cos��
 xexdx   � cos ,
�0

D.

1

� 1

1 �

1

a

dx  ln
�2x  1  3x  1�

6 b



40. Biết 0
Khẳng định nào sai ?
A. a  b  11

a b
 7
B. 9 4

a
, trong đó a, b nguyên dương và b là phân số tối giản.
C. a  b  22

D.

3

a b 7


asin2 xcos2 x  b 3 F � �   F � �  F � � 
��
��
��
sin2 xcos2 x
41. Biết
, �6 � 2 , �4 � 4 , �3 � .
F  x
Tìm hàm số
/


F  x  x 
 tan x  cot x 
12
3
A.
F '  x 

B.
C.
D.

F  x  x 

F  x  9x  2
F  x  x 

4

42. Tính

4

A.



 tan x  cot x 
6
3

sin x  cos x


 1 sin x  cos x

2

dx

0


4

sin x  cos x

3
dx    2
2

2
0  1 sin x  cos x


4

C.


 tan x  cot x
3

sin x  cos x


 1 sin x  cos x

2

43. Tính

lnx

�x

3

D.

B.

2

B.

D.

0

dx 

3 2ln2
16

dx 

3 2ln2
16

1

ln x

�x

3

1

sin2xcos xdx

.

sin2x cos xdx

� 1 cos x


2

 1 ln2
C.

0

0

3

sin2xcos xdx

� 1 cos x

� 1 cosx


2

ln x

�x
2

ln x
3 ln2
dx 
3

16
C. 1 x

A.

dx  2

0

2

ln x
2  ln2
dx 
3

16
A. 1 x


2

2

sin x  cos x


 1 sin x  cos x

.

2

44. Tính

dx  1 2

dx

1


2

2

0


4

dx  1 2

0

2

B.

sin x  cos x


 1 sin x  cosx

 1 3ln2

sin2x cos xdx

� 1 cos x

 1 2ln2

0


2

sin2x cos xdx

� 1 cosx

D. 0

 2  2ln2



6

45. Tính

6

A.

0

 ln 2 

cos2x 2
dx

1



dx

 ln

cos2x

46. Tính

B.

D.

 ln 2 

cos2x 3
dx



1

3

0

4

B.


2

D.

dx

�2x  1 1  2 2ln2
0

4

dx
2  ln2

2
x

1

1
0
C.

dx

�2x  1 1  4 ln2
0

sin x

�1 3cos x dx
0

sin x


2

3

�1 3cosx dx   2
0


2

0

0

4

A.

3

dx

dx
 2 ln3

A. 0 2x  1  1


2



dx

�2x 1  1

4

47. Tính

 ln 2 

cos2x

6

2 3

0

4


6

3

0


6

C.

dx


cos2x

B.

2
dx 

3
C. 0 1 3cosx

3

0


2

sin x

sin x

�1 3cosx dx  2
sin x

2

�1 3cos x dx   3

D. 0

1

 x  2 e


2x

48. Tính

0

dx
.

1

5 3e2
x

2
e
dx




4
A. 0

1

2x

1

C.

 x  2 e2xdx 

0

� �
sin�x  �
� 4�
dx

sin2x  2 1 sin x  cos x
0


4

49. Tính

5 3e2
4

B.

 x  2 e2xdx 

0

1

D.

 x  2 e2xdx 

0

5 3e2
4
5 3e2
2


� �
sin�x  �
4 3 2
� 4�
dx 

sin2x  2 1 sin x  cos x
4
0


4

A.

� �
sin�x  �
4  3 2
� 4�
dx 

sin2x  2 1 sin x  cos x
4
0


4

B.

� �
sin�x  �
4 3 2
� 4�
dx 

sin2x  2 1 sin x  cos x
4
0


4

C.

� �
sin�x  �
4  3 2
� 4�
dx 

sin2x  2 1 sin x  cos x
4
0


4

D.

e

x ln

3

50. Tính

2

xdx
.

1

e

e

5e3  1
x
ln
xdx


32
A. 1
3

2

e

C.

x3 ln2 xdx 

1

B.

x3 ln2 xdx 

1

e

5e4  1
32

x ln

3

D.

2

xdx 

1

5e2  1
32
5e 1
32


6

tan4 x
� dx
51. Tính 0 cos2x

6

4


6

4





tan x
5 3 1
dx  
 ln 2  3

cos2
x
9
2
0
A.





tan x
10 3 1
dx 
 ln 2 3

cos2
x
9
2
C. 0
4

52. Tính


6


6



4x  1

�2x  1  1dx
0

4x  1
10
dx   ln2

3
A. 0 2x  1  1
4x  1
22
dx 
 ln2

3
C. 0 2x  1  1





tan4 x
10 3
dx  
 ln 2  3

cos2
x
9
D. 0

4

4



tan4 x
10 3 1
dx  
 ln 2  3

cos2
x
27
2
0
B.

4

B.

4x  1

22
 ln2
3

4x  1

22
 ln3
3

�2x  1 1dx 
0

4

�2x  1 1dx 

D. 0



2

53. Tính

2

A.

0

sin2x  sin x

sin2x  sin x

0

54. Tính
3

3 ln x


 x  1

dx 
2

1

3

2

3 ln x


 x  1

dx 
2

27

sin2x  sin x

35

0


2

D.

sin2x  sin x

�1 3cosx dx  23
�1 3cosx dx  29
0

dx

1

3 ln x

B.

34

�1 3cos x dx  27

 x  1


2

2

0

3

A.

.

�1 3cos x dx  5


2

C.

sin2x  sin x

�1 3cosx dx

.
3 ln27 ln16
4

3

B.

2

dx 

3 ln27 ln16
4

dx 

3 ln27 ln16
4

1

3

3 ln27 ln16
4

3 ln x


 x  1

3 ln x


 x  1

2

C. 1
D. 1
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
55. Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y  f (x) , trục
hoành và hai đường thẳng x  a , x  b như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sai ?
(hình vẽ 1 trang 67)
b

A.

S �
f  x dx
a

b

B.

S �
 f  x dx
a

b

C.

S �
f  x dx
a

b

S

D.

f  x dx

a

f  x
56. Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số
liên tục, trục
hoành và hai đường thẳng x  a , x  b như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào đúng ?
(hình vẽ 2 trang 67)
b

A.

S �
f  x dx
a

b

B.

S �
 f  x dx
a

b

C.

S �
f  x dx
a

S

D.

b

f  x dx

a

3
57. Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  x , trục hoành và
hai đường thẳng x  1 , x  2 như trong hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng?

(hình vẽ 3 trang 67)


S
A.

2

x3dx


B.

1

S

2

1

0

2

x dx

3

D. Không có khẳng định nào đúng.

1

C.

0

S �
x3dx  �
x3dx

S t

58. Kí hiệu

là diện tích hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y  2x  1 , trục hoành

 1�t �5 . Khẳng định nào sai ?
và hai đường thẳng x  1 , x  t
S t   t  2  t  1
A.
S t
f  t  2t  1 t� 1;5
B.
là một nguyên hàm của
,
C. Hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y  2x  1, trục hoành và hai đường thẳng x  1,
5

x  5 có diện tích là

S �
 2x  1 dx
1

.

D. Hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y  2x  1, trục hoành và hai đường thẳng x  1,
x  3 có diện tích là 30.
59. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  cos x , y  sin x và hai đường
thẳng x  0,
A.



S 2

x



21


2.
B.





S 2 1 2

C. S 2 2

D. S 2 2  1

2
60. Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol y  2x  3x  1 và parabol

� �
cos� �
y  x  x  2 . Tính
�S �.
� �
cos� � 0
�S �
A.
2

2
� �
cos� � 
�S � 2
B.

� � 2
cos� �
�S � 2
C.

� � 3
cos� �
�S � 2
D.
61. Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường y  xsin x , trục hoành và hai
đường thẳng x  0 , x   . Khẳng định nào sai ?
S
sin  1
2
A.

B. cos2S 1

S
tan  1
4
C.

D. sinS  1


62. Kí hiệu S1, S2 lần lượt là diện tích hình vuông cạnh bằng 1 và diện tích hình phẳng giới hạn
2
bởi các đường y  x  1 , y  0 , x  1 , x  2 . Chọn khẳng định đúng

A. S1  S2

B. S1  S2

C.

S1 

S2
6
S
1
D.

1
S2
2

63. Biết rằng diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ln x , y  0 ,

x

1
e , x e .

� 1�
S  a�
1 �
� e�. Tìm khằng định sai.
có thể viết dưới dạng
2
2
A. a  3a  2  0
B. a  a  2  0
2
C. a  3a  4  0

2
D. 2a  3a  2  0
2
64. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường parabol y  x  3x  2 và hai đường
thẳng y  x  1, x  0 .

A.

S

111
42

B.

S

4
3

C.

S

799
300

D. S  2

2
65. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  x  5  0 , x  y  3  0 .
A. S  3
B. S  4
D. S  5
C. S  4,5
66. Hình phẳng H có diện tích S gấp 30 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y2  2x , x  2y  2  0 , y  0 . Tính S .
A. S  20
B. S  30
C. S  40
D. S  50
67. Kí hiệu S1, S2, S3 lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng đơn vị), hình tròn đơn
2
y  2 1 x
vị (có bán kính bằng đơn vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  2 1 x ,
.

S1  S3
Tính tỉ số S2 .
S1  S3 1

S
3
2
A.

S1  S3 1

S
4
2
B.
S1  S3 1

S
5
2
D.

S1  S3 1

S
2
2
C.
68. Kí hiệu V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
y  f  x
hàm số
, trục Ox và hai đường thẳng x  a , x  b (như trong hình vẽ bên) xung quanh
trục Ox . Khẳng định nào đúng ? ( hình vẽ trang 69)


b

A.

b

V �
f  x dx

B.

a

V�
f  x dx
a

2

�b

V   ��
f  x dx�
�a

C.

b

D.

V�
f 2  x dx
a

69. Gọi V là thể tích hình cầu bán kính R . Khẳng định nào sai ?
A. Hình cầu bán kính R là khối tròn xoay thu được khi quay nửa hình trong giới hạn bởi đường
y  R2  x2
R

V
B.



  R �x �R

2
2
�R x

R



2

và đường thẳng y  0 xung quang trục Ox .

dx

R


x3 �
V   �R2x  �
3 � R

C.
D. Không có khẳng định nào đúng .
70. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  3 x , y  0 , x  1 , x  8 xung quanh trục Ox
2
A. V  

B.

V

9
4

C. V  18,6
D.

V

93
5

71. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  tan x , y  0 , x  0 ,

A.

V


4

B.

x


4 xung quanh trục Ox

V

2
4

C.

V


4

D.

V

 ln2
2

72. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  4  x2 , y  0 xung quanh trục Ox

A. V  2
B.

V

71
82

C.

V

512
15

8
V 2
3
D.


73. Kí hiệu V1, V2 lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra
2
khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y  2x  2 và đường cong y  2 1 x xung
quanh trục Ox . Hãy so sánh V1 , V2 .

A. V1  V2

B. V1  V2

C. V1  V2

D. V1  2V2

74. Kí hiệu V1, V2 lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra
khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đường cong

y

2
2  x và các đường y  0 , x  0 , x  1

V1
xung quanh trục Ox . Hãy tính tỉ số V2 .
V1 3

V
2
2
A.

V1 2

V
3
2
B.

V1 1

V
2
2
C.

V1
2
V
2
D.


III. GỢI Ý – HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN
Gợi ý – Hướng dẫn giải
f  x dx  F  x  C
F  x  f  x

cần kiểm tra đẳng thức
'

Câu 1. Để kiểm tra đẳng thức

Dùng công thức

 

'

u 

u'
2 u
'

'
�1 � u

�� 2
Câu 2. Dùng công thức �u � u

Câu 7. Cần nhớ

sin n   0, n��

.

'
Câu 10. Đặt u  2x  3 thì u  2 và

1
1
I �
f  2x  3 dx  �
f  u dx  �f  u .u' .dx  �
f  u x  .u'  x dx
2
2
.
Áp dụng công thức đổi biến số, ta được
I

1
1
F  u x   C  F  2x  3  C
2
2
x

�2 �
f  x  � � e x
�e �
Câu 12.
Câu 14. Đặt t  3x


Câu 15. Vì

f  x

là một nguyên hàm của

Câu 20. Đổi biến số

t

Câu 28. Đặt t  e  1 , ta tính được



Từ đó,

Vậy đáp á đúng là A.

'

0

dx

 ln e  e 1  2

e 1
2

x

1

  e2  e  e2  e 1  e2  e  1



ln e2  e1

a e

nên

f  x dx  f     0



x
2
3

x

f '  x

.



2

Câu 29. Tính

e


cosx



 cos x cos xdx

0

ta được kết quả là

e 1



a
4 , từ đó
4

Câu 30. Đưa thừa số a ra ngoài dấu tích phân.

4

Câu 31. B và D cùng cho

sin2xdx

�cos

x  4sin x

2

0

2



10  2
3

trái với C.

Vậy C là khẳng định sai.
Câu 32. Đặt t  1 3ln x
Câu 33. Đặt t  1 cos x
Câu 34. Đặt t  cos x
Câu 36. Đặt t  1 tan x
Câu 37. Xem lại các công thức quy gọn góc (giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt)
f  x dx  f  x  C f  x
Câu 41. Áp dụng tính chất �
(
'

Câu 42. Đặt t  1 sin x  cos x
Câu 43. Đặt u  ln x ,

dv 

1
dx
x3

Câu 44. Đặt t  1 cos x
Câu 47. Đặt t  1 cos3x
� � 1
sin�x  �
 sin x  cosx
� 4� 2
Câu 49.
sin2x  2 1 sin x  cos x   sin x  cos x  1

2

Đặt t  sin x  cos x  1
Câu 51.





cos2x  cos2 x 1 tan2 x

. Đặt t  tan x

là một nguyên hàm của

f '  x

).


Câu 53. Đặt t  1 3cos x
3

Câu 60.

2

dx

1

Câu 54. Tính
S

ln x


 x 1

1

bằng phương pháp tích phân từng phần.
4

�x  4x  3 dx  3
2

3



Câu 61.

S �
xsin x dx  
0

e

� 1�
S �
ln x dx  2�
1 �
e�

1
e
Câu 63.
, suy ra a  2 . Khẳng định C sai.
2
Câu 66. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2x , x  2y  2  0 , y  0 có diện tích
2

1
4
S1  �y2  2y  2dy 
2
3 , do đó S  30S1  40
0
1

Câu 67.





S3  �
2 1 x2   1 x dx 
0


1
4

Đáp án
Câu

Đáp án Mức độ

Câu

Đáp án

Mức
độ

Câu

Đáp án

Mức độ

1

A

1

26

C

3

51

B

4

2

B

1

27

D

3

52

B

3

3

C

1

28

A

3

53

C

3

4

D

1

29

A

3

54

B

3

5

A

1

30

C

3

55

A

1

6

B

1

31

C

3

56

C

1

7

C

1

32

D

3

57

B

1

8

D

2

33

B

2

58

D

1

9

D

2

34

C

2

59

A

2

10

C

2

35

B

3

60

B

2

11

B

2

36

C

3

61

D

2


12

B

2

37

D

3

62

D

3

13

B

3

38

B

3

63

C

2

14

C

1

39

D

3

64

B

2

15

C

3

40

C

2

65

C

2

16

D

2

41

B

3

66

C

2

17

B

2

42

A

3

67

C

3

18

D

2

43

B

3

68

D

1

19

B

2

44

C

3

69

D

2

20

C

2

45

C

3

70

D

2

21

D

2

46

C

2

71

D

2

22

D

2

47

C

3

72

C

2

23

C

3

48

C

4

73

B

2

24

A

2

49

C

4

74

B

2

25

A

3

50

C

4


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×