Tải bản đầy đủ

LAN 1 VIP HH c2

Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:

TA NHẬN BIẾT MỨC ĐỘ THÔNG QUA MÀU QUY ƯỚC.
Chủ đề: MẶT NÓN-MẶT CẦU-MẶT TRỤ
MÀU NHẬN BIẾT
MÀU THÔNG HIỂU
MÀU VẬN DỤNG THÂP
MÀU VẬN DỤNG CAO
BÀI 1:

MẶT NÓN

Dạng 1: Dạng cơ bản.
Câu 2: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h  15cm và đường sinh l  25cm . Thể tích V của khối nón
là:
A.

V  2000  cm3 


.

B.

V  240  cm3 

.

C.

V  500  cm3 

.

D.

V  1500  cm3 

.

Hướng dẫn giải
- Phương pháp:
1
V   r 2h
3
Thể tích khối nón tròn xoay
. Trong đó r là bán kính đáy, h là chiều cao.
2
2
Mối quan hệ giữa các đại lượng h,r,l trong hình nón là l  h  r

2
2
2
2
- Cách giải: Bán kính đáy của hình nón là r  l  h  25  15  20

1
1


V   r 2 h  . .202.15  2000  cm3 
3
3
Thể tích khối tròn xoay là
.

Câu 3: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h  15cm và đường sinh l  25cm . Thể tích V của khối nón
là:
A.

V  2000  cm3 

.

B.

V  240  cm3 

.

C.

V  500  cm3 

.

D.

V  1500  cm3 

Hướng dẫn giải
- Phương pháp:
1
V   r 2h
3
Thể tích khối nón tròn xoay
. Trong đó r là bán kính đáy, h là chiều cao.
2
2
Mối quan hệ giữa các đại lượng h,r,l trong hình nón là l  h  r

2
2
2
2
- Cách giải: Bán kính đáy của hình nón là r  l  h  25  15  20

.


1
1
V   r 2 h  . .202 .15  2000  cm3 
3
3
Thể tích khối tròn xoay là
.

Câu 4: Cho một hình nón có bán kính đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 60�. Tính diện tích xung quanh của
hình nón đó.
A.

S xq  4 a

2

B.

S xq 

2 3 a 2
3

C.

S xq 

4 3 a 2
3

D.

S xq  2 a 2

Hướng dẫn giải
Chọn D

Giả sử thiết diện của mặt phẳng đi qua trục của hình nón với hình nón là tam giác ABC , theo giả
thuyết bài toán, ta có ABC là tam giác đều cạnh 2a . Do đó hình nón có
Bán kính đáy R  a .
Độ dài đường sinh l  AC  2a .
Diện tích xung quanh cần tìm

S xq   Rl   .a.2a  2 a 2

.

Câu 5: Một hình nón có tỉ lệ giữa đường sinh và bán kính đáy bằng 2 . Góc ở đỉnh của hình nón bằng
S
A. 120�.
B. 30�.
C. 150�.
D. 60�.
Chọn D.

2x

Hướng dẫn giải

1
�  OB
�  30�� �
sin OSB
ASB  60�
A xB � OSB
O
SB
2
Ta có
.
Câu 6: Cho khối
nón

 N

 N

có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15 . Tính thể tích V của khối


B. V  20 .

A. V  12 .

C. V  36 .

D. V  60 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
2
Gọi l là đường sinh của hình nón, ta có l  R  h .
2
2
Diện tích xung quanh của hình nón là 15 , suy ra 15   Rl � 15  3. 3  h � h  4

1
1
V   R 2 h   .32.4  12
3
3
Thể tích khối nón là
(đvtt).
Câu 7: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h  40cm , bán kính đáy r  50cm . Một thiết diện đi qua
đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 24cm . Tính
diện tích của thiết diện.
A.

S  800  cm2  .

B.

S  1200  cm 2  .

C.

S  1600  cm2  .

D.

S  2000  cm2  .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi J là trung điểm của AB .
�AB  IJ
� AB   SJI 

AB

SI

Có :

Nên :


 SAB    SIJ 

 SAB  � SIJ   SJ � d  I ,  SAB    IH  24

�IH  SJ


1
1
1
1
1
1
 2  2 � 2   2  2 � JI  30
2
IH
SI
IJ
IJ
40 24
2
2
Nên : BJ  50  30  40
2
2
Và SJ  40  30  50

Vậy :
Câu 2:

S SAB 

1
1
SJ . AB  50.80  2000  cm2  .
2
2

B C D có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a . Diện
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A����
S
B C D và đáy là hình tròn
tích xung quanh xq của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A����
nội tiếp hình vuông ABCD là:


 a 2 17
S xq 
4
A.
.

B.

S xq   a

 a 2 17
S xq 
2
C.
.

2

.

D.

S xq   a 2 17

.

Hướng dẫn giải
- Phương pháp: Diện tích xung quanh của hình nón là
độ dài đường sinh).

S xq   rl

( trong đó r là bán kính đáy, l là

2
2
Mối quan hệ của các đại lượng l,r ,h là l  h  r

- Cách giải: Dựa vào giả thiết ta có bán kính đáy hình nón là bán kính đường tròn nội tiếp hình
vuông nên

r

a
2.

 ABCD  nên h  2a
Chiều cao hình nón là khoảng cách từ O đến mặt phẳng
Độ dài đường sinh hình nón là

l  h 2  r 2  4a 2 

Diện tích xung quanh của hình nón là

S xq   rl  

a 2 a 17

4
2

a a 17  a 2 17
.

2 2
4
.

Dạng 2: Thiết diện qua trục.
Dạng 3: Khối nón sinh bởi tam giác quay quanh trục.

Câu 3:

Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a ,vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax
một đoạn bằng a . Gọi H là hình chiếu của B lên tia , khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì
đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng
(2  2) a 2
2
A.

(3  3) a 2
2
B.

(1  3) a 2
2
C.

3 2 a 2
2
D.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc AHB vẽ lên một mặt tròn xoay. Diện tích mặt
tròn xoay này bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh AH và BH.


2
2
Ta có AH  AB  BH  a 3

HK 

AH .BH a 3.a a 3


AB
2a
2

Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh AH là

Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh BH là

Diện tích mặt tròn xoay cần tìm là
Câu 4:

S  S1  S 2 

S1  

a 3
3a 2
.a 3 
2
2

S2  

a 3
3a 2
.a 
2
2

(3  3)a 2
2
.

Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20 cm , bán
kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm . Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng
cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B . Quãng đường ngắn
nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước
đây?

A. 59,98cm

B. 59,93cm

C. 58, 67 cm

D. 58,80 cm .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Đặt b, a, h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như trên
hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên
với cung nhỏ BB "  4 b và cung lớn AA "  4 a .


Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số
cosin ta được:
2


l  BO 2  OA�
 2 BO.OA�
.cos 2 (1).



B�
A�
 AB  (a  b) 2  h 2 .

� 

� �

a 4 a l ( BB
) OA OB  AB
AB
AB.




 1
 1

2

b
b 4 b l (AA�
OB
2 b

) OB


2 (a  b)
2 ( a  b)

( a).
AB
( a  b) 2  h 2

b (a  b) 2  h 2
AB a
a b
 1 
� OB 
(b)
OB b
b
ab
.

b ( a  b) 2  h 2
 (a  b)2  h 2 (c).
a b
Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được l.

OA�
 OB  BA 

l �58, 79609cm �58,80
� �
�tại điểm nào khác B, tức
Ghi chú. Để tồn tại lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung BB

�b �
2  cos 1 � �
.
� �
�a � Tuy nhiên,
�tại B. Điều này tương đương với
là BA” nằm dưới tiếp tuyến của BB
trong lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa
mãn yêu cầu đó).
Câu 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF

10 a 3
A. 9 .

10 a 3
B. 7 .

5 a 3
C. 2 .

 a3
D. 3 .


Hướng dẫn giải
Chọn A.
a 3
3
Ta có
Khi quay quanh trục DF , tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích
EF  AF .tan   a.tan 30�
2

1
1 �a 3 �
 a3
V1   .EF 2 . AF   . �
.
a



3
3 �
9
�3 �

Khi quay quanh trục DF , hình vuông ABCD tạo ra một hình trụ có thể tích
V2   .DC 2 .BC   .a 2 .a   a 3
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF là

 a3
10
V  V1  V2 
  a 3   a3
9
9
Dạng 4: Các bài toán ứng dụng thực tế liên quan mặt nón.
Câu 5:

Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay

 H  , một mặt phẳng chứa trục của  H 

theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của

A.

V H   23

.

B.

V H   13

.

C.

V H  

 H

41
3 .

cắt

 H

3
(đơn vị cm ).

V  17
D.  H 
.

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
Thể tích khối trụ là Vtru

1
16
Vnon   22.4 
 Bh   1.5 .4  9
3
3 .
. Thể tích khối nón là
2

1
2
16 2 41
V p. giao   12.2 
V H   9 


3
3 . Vậy
3
3
3 .
Thể tích phần giao là:
Câu 6:

Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình
vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay
mô hình trên xung quanh trục XY .


X

A.

V





125 1  2 
6

.

B.

V

Y





125 5  2 2 
12

.C.

V





125 5  4 2 
24

. D.

V





125 2  2 
4

.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
 Cách 1 :

Khối tròn xoay gồm 3 phần:
2

125
�5 �
5
V1   �� ��5 
4 .
�2 �
Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng 2 có thể tích
5 2
Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng 2 có thể tích
2

�5 2 � 5 2 125 2
1
V2  � ��
�2 �
�� 2  12
3
� �

Phần 3: khối nón cụt có thể tích là
5
1
V3   �
3




 ��
�5

2 1
2

Vậy thể tích khối tròn xoay là

V  V1  V2  V3 

 Cách 2 :





2
2
125 2 2  1 
2 � �5 � 5 2 5 �
�







� 2 � �2 � 2

2�
24
� �











.

125 125 2 125 2 2  1  125 5  4 2 



4
12
24
24
.


Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là

VT  R 2h 

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông XEYF là

V2 N 

125
4
2 2
125 2
R h 
3
6

1
125
VN � R 2 h 
3
24
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác XDC là

Thể tích cần tìm
Câu 7:

V  VT  V2 N  VN � 125

5 4 2
24 .

Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước
vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng
chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược
phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ? Biết rằng
chiều cao của phễu là 15cm
A.

0,188  cm 

C.

0 ,3  cm 

.

.

B.

0 , 216  cm 

D.

0,5  cm 

.

.
Hướng dẫn giải

- Phương pháp: Tính thể tích của phần hình nón không chứa nước, từ đó suy ra chiều cao h' ,
chiều cao của nước bằng chiều cao phễu trừ đi h' .
1
V   R 2 .h
3
Công thức thể tích khối nón:

- Cách giải:

1
3


h  15  cm 
Gọi bán kính đáy phễu là R , chiều cao phễu là
, do chiều cao nước trong phễu ban đầu
1
1
h
R
bằng 3 nên bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước là 3 . Thể tích phễu và thể tích nước lần
2

1 �R � 15 5
1
V1   � �.   R 2 cm3
V   R 2 .15  5 R 2  cm3 
3 �3 � 3 27
3
lượt là

. Suy ra thể tích phần khối
nón không chứa nước là


V2  V  V1  5 R 2 





5
130
 R2 
 R 2  cm3 
27
27

V2 26

 1
V 27
. Gọi h' và r là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước, có

V
h' r
h' 3 h' 3
 � 2  3  3  2
h R
V
h
15

Từ (1) và (2) suy ra

h'  5 3 26 � h1  15  5 3 26 �0 ,188  cm 

BÀI 2:

MẶT TRỤ

Dạng 5: Dạng cơ bản
Cho một khối trụ có độ dài đường sinh là l và bán kính đường tròn đáy là r . Diện tích toàn phần
của khối trụ là
S  r l  r .
S  2 r  l  2r  .
S   r  2l  r  .
S  2 r  l  r  .
A. tp
B. tp
C. tp
D. tp
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Stp  2 S Đáy + S Xq  1.2 r  2 .r 2  2 r  1  r 
.
Câu 8: Cho hình trụ có bán kính đáy 5 cm chiều cao 4 cm . Diện tích toàn phần của hình trụ này là
Câu 2:

2
A. 96 (cm ) .

2
B. 92 (cm ) .

2
C. 40 (cm ) .

2
D. 90 (cm ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Hình trụ có bán kính đáy

R  5  cm 

và chiều cao

h  4  cm  .

S  2 R 2  2 Rh  2 .25  2 .5.4  90  cm 2  .
Diện tích toàn phần của hình trụ này là: tp
Câu 9: Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm , bán kính đường tròn đáy bằng 6cm . Cắt khối trụ bởi một
mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm . Diện tích của thiết diện được tạo thành là :

A.

32 3  cm 2 

Chọn C.

.

B.

16 3  cm 2 

.

32 5  cm 2 
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

16 3  cm2 

.


AB  / / O�
O
 A�
Ta có mặt phẳng
B / / AB � thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABB�
A�
Kẻ A��
AB 
A � OH   A�
Kẻ OH  AB, OH  A�
O,  A�
AB    d  O,  A�
ABB �
   OH  4
� d  O�
2
2
Mà : AH  OA  OH  2 5 � AB  4 5 � S ABB�A� 32 5

Câu 10: Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm ,
đường kính đáy 4cm , lượng nước trong cốc cao 8cm . Thả vào
cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính 2cm . Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-timét? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc)
A. 2, 67cm .
B. 2, 75cm .
C. 2, 25cm .
D. 2,33cm .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
4
16
Vb  4.  rb 3 
cm 3
3
3
Lượng nước dâng lên chính là tổng thể tích của 4 viên bi thả vào bằng
.
16
cm3
3
Dễ thấy phần nước dâng lên là hình trụ có đáy bằng với đáy cốc nước và thể tích là
.
16
4
  r 2 hd
hd  cm
3
Chiều cao của phần nước dâng lên là
thỏa mãn: 3
nên
.
4 8
12  8   �2, 67
3 3
Vậy nước dâng cao cách mép cốc là
cm.

hd

Dạng 6: Thiết diện qua trục.
Câu 11: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt 5cm, 13cm, 12cm. Một hình
trụ có chiều cao bằng 8cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng
3
A. V  338 cm

3
B. V  386 cm

3
C. V  507 cm

3
D. V  314 cm

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt là 5 ; 12 ; 13 nên đáy là tam giác vuông với độ dài cạnh

13
huyền là 13. Suy ra hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đứng có đáy là đường tròn bán kính là 2 .
2

13 �

V   � �.8  338
�2 �
Vậy thể tích hình trụ đó là
(đvtt).
Câu 12: Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ đã
cho bằng


3
B.  a .

3
A. 5 a .

3
C. 3 a .
Hướng dẫn giải

3
D. 4 a .

Chọn C
Thiết diện qua trục là 1 hình chữ nhật.
b cao của khối trụ là b.
Giả sử chiều
Theo đề ra

a2

 2a  b   10a � b  3a.

2
3
Thể tích khối trụ là V  S .h   a .3a  3 a .

Câu 8:

 H

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối
như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài
trục lớn bằng 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần
mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt
đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích của
V  192
V  275
A. ( H )
.
B. ( H )
.
V  704
V  176
C. ( H )
.
D. ( H )
.

 H .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
2
2
Đường kính đáy của khối trụ là 10  6  8

Bán kính đáy của khối trụ là R  4
2
2
Thể tích của khối trụ H 1 là V1   .R .h1   .4 .8  128 .
2
2
Thể tích của khối trụ H 2 là V2   .R .h2   .4 .6  96 .

Câu 9:

1
1
V  V1  V2  128  .96  176
2
2
Thể tích của H là
.
B C có độ dài cạnh
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���
đáy bằng a và chiều cao bằng h . Tính thể tích V của khối trụ
ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A.

V

 a 2h
9 .

2
C. V  3 a h .

B.

V

 a 2h
3 .

 a 2h
V
9 .
D.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy của
lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.


Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng

3a
3 . Vậy thể tích của khối trụ cần

2

� 3a �  a 2 h
V  h.S  h. . � �
3 (đvtt).
�3 �
tìm là
Dạng 7: Các bài toán ứng dụng thực tế liên quan mặt trụ.
2
3
Câu 10: Một thùng chứa hình trụ kín, có thể tích 5000m . Vật liệu để làm hai đáy có giá 250 000 / m , vật
2
liệu làm phần còn lại có giá 400 000 / m . Để chi phí thấp nhất, chiều cao h và bán kính đáy của
thùng chứa là:

� 25
4�
3
,10
.


�3 2
�


A.

25
� 3
10 4 , 3

2
C. �

� 4 25
10 3 , 3


 2

B.



�.

� 25

,10 3 4 �
�3
�.
D. � 2
Hướng dẫn giải

Chọn A.

V   R 2 h  5000 � h 




�.

5000
 R2

�2.109

Stp  2 Rh.4.105  2 R 2 .25.10 4  2 �
 25.104 R 2 �
� R


109 109
25.1022
4
2�
3
 2 � 
 25.10 .R ��2 .3
2
� R  R


109
4.103
4
 25.104.R 2 � R  3
 10 3


� Chi phí thấp nhất khi  R
25
�h 3
2


1
Câu 11:
là phần giao của hai khối 4 hình trụ có bán
kính a , hai trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem

H
Gọi

 H

hình vẽ bên. Tính thể tích của
.
3
2a
3a 3
V H  
V H  
3 .
4 .
A.
B.
a3
 a3
V H  
V H  
2 .
4 .
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.

 H  là một vật thể có đáy là một phần tư
Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó phần giao
hình tròn tâm O bán kính a , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông
có diện tích

S  x   a2  x2

Thể tích khối

 H



a

a

0

0

S  x  dx  �
 a 2  x2  dx 


2a 3
3

.

Câu 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF

10 a 3
A. 9 .

5 a 3
C. 2 .

10 a 3
B. 7 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có

EF  AF .tan   a.tan 30�

a 3
3

 a3
D. 3 .


Khi quay quanh trục DF , tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích
2

1
1 �a 3 �
 a3
V1   .EF 2 . AF   . �
.
a



3
3 �
9
�3 �

Khi quay quanh trục DF , hình vuông ABCD tạo ra một hình trụ có thể tích
V2   .DC 2 .BC   .a 2 .a   a 3
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF là
V  V1  V2 

 a3
10
  a 3   a3
9
9

3
2
Câu 12: Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 150 m . Đáy bể làm bằng bê tông giá 100 000 đ / m . Phần
2
2
thân làm bằng tôn giá 90 000 đ / m , nắp bằng nhôm giá 120 000 đ / m . Hỏi khi chi phí sản suất để
bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?
22
9
31
21
A. 9 .
B. 22 .
C. 22 .
D. 32 .

Hướng dẫn giải:

B�

Chọn A.

O�
150
A�
V  150 �  R 2 h  150 � h 
 R2
Ta có:
f  R   100000 R 2  120000 R 2  180000 Rh
Mà ta có:
B
150
27000000
f  R   220000 R 2  180000 R
 220000 R 2 
2
R
R
O
f  R
A
Để chi phí thấp nhất
thì hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất với mọi R  0
27000000 440000 R 3  27000000
f�
 R  0 � R 
f�

 R   440000 R 
R2
R2
, cho
30
R 3
min f  R 
440
R

0
Lập BBT, từ BBT suy ra
khi
h 150 22


3
9
Nên R  R

BÀI 3:

3

30
440

MẶT CẦU

Dạng 8: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.
Câu 4: Cho mặt cầu có diện tích là
A.

R  6  cm 

.

72  cm 2 

B.

. Bán kính R của khối cầu là:

R  6  cm 

.

C.

R  3  cm 

.

D.

R  3 2  cm 

Hướng dẫn giải

- Phương pháp: Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu

S  4 R 2 � R 

S
4

.


- Cách giải: Có

S  4 R 2  72 � R 

72
 18  3 2  cm 
4

Câu 13: Một hình hộp chữ nhật có độ dài 3 cạnh lần lượt là 2 , 2 , 1 . Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp
hình hộp nói trên.
3
9
R
R
2.
2.
A. R  3 .
B. R  9 .
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
2
2
2
Ta có đường chéo hình hộp d  1  2  2  3 .
d 3
�R 
2 2.

8 a 2
Câu 14: Cho mặt cầu có diện tích bằng 3 . Khi đó, bán kính mặt cầu bằng
a 6
A. 3 .

a 3
B. 3 .

a 6
C. 2 .

a 2
D. 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1:

S mc  4 r 2 

8 a 2
2a 2
a 6
� r2 
�r 
.
3
3
3

Cách 2: Ta cũng có thể quan sát các đáp án và dựa vào công thức diện tích của mặt cầu để thay
bán kính là các đáp án vào tính trực tiếp.
2

S mc

�a 6 �
a 2 6 8 a 2
 4 r  4 �

4


.

�3 �
9
3


2

Dạng 9: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a . Tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp
khối chóp và thể tích khối cầu nội tiếp khối chóp bằng:
A. 10  2 3 .

B. 5  6 3 .
C. 10  6 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
SS
BB

M
B

M

J J
A
O
O

N
N
C

D

D. 10  3 3 .


V V
+) Kí hiệu S . ABCD là hình chóp tứ giác đều đã cho; R , r lần lượt là thể tích khối cầu ngoại
tiếp và nội tiếp; O là tâm hình vuông ABCD .
� a 2�
OA  OB  OC  OD  OS �



2 �

�.
Ta có:
a 2
2 là bán kính mặt cầu ngoại tiếp.
Suy ra
+) Kí hiệu M , N lần lượt là trung điểm AB, CD ; J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN . Do
S . ABCD là hình chóp tứ giác đều nên J là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Ta có:
R

r

S SMN
SO.MN
6 2


a
p
SM  SN  MN
4
.
3

VR �R �
 � � 10  6 3
V
Tỉ số cần tính: r �r �
.
Câu 14: Cho một mặt cầu bán kính bằng 1 . Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể
tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?
A. min V  8 3 .

B. min V  4 3 .

C. min V  9 3 .
Hướng dẫn giải
Gọi cạnh đáy của hình chóp là a
Ta có SIJ ~ SMH

D. min V  16 3 .

SI
IJ

� MH  SH  IH   IJ SH 2  HM 2
SM MH
2
� MH 2  SH  1  SH 2  HM 2


�  a 2  12  SH 2  2a 2 SH  0
� SH 

2a 2  2
a �12 
a 2  12

1
3 2a 4
3
1
S  S ABC .SH 

2
3
6 a  12 6 1  12
a2 a4
1 12 1
 4�
2
S 8 3
48
Ta có a a

Chọn đáp án: A
Dạng 10: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
B C D có AB  a , AD  2a và AA�
 2a . Tính bán kính R của
Câu 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����
C .
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB��
A. R  3a .

B.

R

3a
4 .

C.

R

3a
2 .

D. R  2a .


Hướng dẫn giải:
Chọn C.

� C  ABC
� �
 90�nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB��
C có đường kính AC �
Ta có AB��
. Do đó
1 2
3a
2
2
a   2a    2a  
2
2 .
bán kính là

SA   ABC  SA  a
Câu 16: Cho hình chóp S . ABC có
;
đáy ABC là tam giác vuông tại B , BAC  60�và
R

AB 

a
2 . Gọi  S  là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . Tìm mệnh đề sai.

2 a 2
 S  là 3 .
A. Diện tích của

B. Tâm của

a 2
S

C.
có bán kính 2 .

 S

là trung điểm SC .

D. Thể tích khối cầu là
Hướng dẫn giải:

2 a 3
3 .

Chọn A.

a
2
Gọi N , M lần lượt là trung điểm của AC ; SC .
a
AB 
o

ABC là tam giác vuông tại B , BAC  60 và
2 nên : NA  NB  NC ;
AC  a � SC  a 2 � MC 

a 2
2 .


NM là đương trung bình của tam giác SAC nên
NM / / SA � NM   ABC  � MS=MC=MA=M B
� M là tâm của

 S

có bán kính

MC 

a 2
2 .

3

4 �a 2 �
2 a 3
� V S    �



3 �
3
�2 �
.
2

�a 2 �
2
 S  : S  4 r  4 �
�2 �
� 2 a .


Diện tích của
2

B C có đáy là tam giác vuông tại A , AB  2a 3 . Đường chéo
Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
C C
 S  là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
BC �tạo với mặt phẳng  AA��
một góc bằng 60�. Gọi

 S  bằng
đã cho. Bán kính của mặt cầu
a
.
A. 2
B. a.

C. 3a.
Hướng dẫn giải

D. 2a.

Chọn D.

Gọi M là trung điểm BC , I là trung điểm BC �
. Khi đó, IM là trục của đường tròn ngoại tiếp
 IC �
 IA�
tam giác ABC . Mặt khác, IB  IC  IB�
. Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
1
1 AB
4a
R �
BC �
 �

 2a
ABC. A���
B C . Bán kính
2
2 sin 60� 2
.
0

Câu 15: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC  120 , tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .

A.

41
a
6
.

B.

37
a
6 .

C.

39
a
6 .

D.

35
a
6
.


Hướng dẫn giải
Chọn: C.



Do ABC  120�� BAD  60�suy ra ABD đều
� DA  DB  DC  a nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm của SAB .
 ( SAB)
Qua D kẻ d  ( ABCD) , và qua G kẻ d �

Gọi I  d �d �
.
Ta có IA  IB  IC  ID
Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC có bán kính
2

�a 3 �
39
R  IA  AD  MG  a  �

a

�6 �
6
� �
2

2

2

Dạng 11: Các bài toán ứng dụng thực tế liên quan mặt cầu.
Câu 16: Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc
3
V V
chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng 4 chiều cao của nó. Gọi 1 , 2 lần lượt
là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:
9V  8V2
3V  2V2
16V1  9V2
27V1  8V2
A. 1
.
B. 1
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
r
r
Gọi 1 là bán kính quả bóng, 2 là bán kính chiếc chén, h là chiều cao chiếc chén.
r h
OO�
 1
h  2r1 � r1  2h
2 4.
Theo giả thiết ta có

2

2

�h � �h � 3
r  � � � � h 2
�2 � �4 � 16 .
Ta có
2
2

3

4
4 �h � 1
V1   r13   � �  h3
3
3 �2 � 6
Thể tích của quả bóng là



thể tích của chén nước là

V2  B.h   r22 h 

V1 8
3
 h3 �  .
V2 9
16


Câu 17: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn
được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống
trong hộp chiếm:
A. 65, 09% .
B. 47, 64% .
C. 82, 55% .
D. 83,3% .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi đường kính quả bóng bàn là d . Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d , d , 3d .
3
Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật là V1  d .d .3d  3d

4
d3 d3
V2  3 �  r 3  4

3
8
2 .
Thể tích của ba quả bóng bàn:
V  V1  V2
Thể tích phần không gian còn trống: 3

d3

3d 
3
V3
2 
2 ; 47, 64%

3
V
3
d
3
Phần không gian còn trống trong hộp chiếm: 1
.
Câu 18: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó 2016 quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ
bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao hình trụ bằng 2016 lần đường kính của quả banh.
3

V1
V
V
Gọi 1 là tổng thể tích của 2016 quả banh và 2 là thể tích của khối trụ. Tính tỉ số V2 ?
V1 1
V1 2
V1 1



V
3
V
3
V
2.
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
D. Một kết quả khác.

Hướng dẫn giải
4
V   r3
3
- Phương pháp: Khối cầu bán kính r có thể tích là
2
Khối trụ có chiều cao h , bán kính đáy r có thể tích V   r h
- Cách giải: Gọi bán kính quả banh tennis là r , theo giả thiết ta có bán kính đáy của hình trụ là r ,
chiều cao của hình trụ là 2016.2.r
4
V1  2016.  r 3
3
Thể tích của 2016 quả banh là
2
Thể tích của khối trụ là V2   r .2016.2r

4
2016.  r 3
V1
2
3


3
Tỉ số V2 2 r .2016 3 .
Câu 5: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
nón theo a .
2a
a
2a
a
A. 3 .
B. 3 3 .
C. 3 3 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải


Chọn D.
Ta có đường cao hình nón

h

a 3
2
a 3
�R h
2
3
3 .

BÀI 4:

BÀI TOÁN THỰC TẾ



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×