Tải bản đầy đủ

Huong dan giai 10

HƯỚNG DẪN GIẢI.
Bi 1

1. Ta có: A (0;0;0), A '(0;0; a), B (0; a;0), B '(0; a; a), C (a; a;0), C '(a; a; a),
D(a;0;0), D '(a;0; a)
uuuuuur
Ta có : B ' D ' = (a; − a;0) ,
uuuuur
uuuur
A ' B = (0; a; − a) , BB ' = (0;0; a) ,
uuuuuur uuuuur
2 2 2

Suy ra  B ' D ', A ' B  = (a ; a ; a )
uuuuuur uuuuur uuuur
3
nên  B ' D ', A ' B  .BB ' = a ≠ 0
uuuuuur uuuuur uuuur
Vậy ba vectơ B ' D '; A ' B, BB '
không đồng phẳng hay B ' D ' và
A ' B chéo nhau.

uuuuuu
r uuuuuu
r uuuur
[B ' D ', A ' B].BB '
d ( B ' D ', A ' B ) =
=
uuuuuu
r uuuuur
[B ' D ', A ' B]

a3
a4 + a4 + a4

=

a3
a2 3

=

a 3
.
3

2. Đặt AA ' = 2x, x > 0 . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có A (0;0;0), C (0;2a;0), A '(0;0;2x), C '(0;2a;2x)
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B lên các trục Ox, Oy , suy ra
a 3
a
, AK = BH = AB.sin 300 =
2
2
a 3 a 
a 3 a

a 3 a 
; − ;0÷, B ' 
; − ;2x÷, M 
; − ; x÷


Do đó B 
÷
 2
÷
 2
2
2
2
2 ÷






AH = AB.cos 300 =

181


uuuur

a 3

a

r
 uuuu

uuuur uuuu
r

(

; − ; x÷, AC = ( 0;2a;0) ⇒  AM , AC  = −2ax;0; a2 3
Ta có AM = 


2
2 ÷



)

uur
⇒ n1 = 2x;0; − a 3 là VTPT của mặt phẳng (MAC )

(

)

(

uuuuuu
r a 3 a
r
uuuuuu
r uuuuuu
r
 uuuuuu
A 'M = 
; − ; − x÷, A ' C ' = ( 0;2a;0) ⇒  A ' M , A ' C ' = 2ax;0; a2 3


 2
÷
2


uur
⇒ n2 = 2x;0; a 3 là VTPT của mặt phẳng (MA ' C ')

(

)

)

Vì (MAC ) ⊥ (MA ' C ') nên
uur uur
a 3
n1.n2 = 0 ⇔ 4x2 − 3a2 = 0 ⇒ x =
⇒ AA ' = a 3
2
a) Thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' là:
1
3a3
VABC .A ' B ' C ' = AA '.S∆ABC = a 3. a.2a.sin 1200 =
2
2

b) Ta có
uuuur
uuur  a 3 5a 
uuuur uuur
 5a2 3 3a2 
CC ' = 0;0; a 3 , BC =  −
; ;0÷ ⇒ CC ', BC  =  −
;−
;0÷

 

÷
2
2 ÷
2
2




uur
⇒ n3 = 5; 3;0 là VTPT của mặt phẳng (BCC ' B ')

(

(

)
)

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (MAC) và (BCC ' B ') , ta có:
uur uur
n1.n3
cos α = uur uur =
n1 . n3

5
2. 28

=

5 14
.
28

3. Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi M là trung điểm đoạn BC

182


(

a a 3 
;0÷
÷
2 2


)

Ta có tọa độ các đỉnh là: A (0;0;0), B ( a;0;0) , C 0; a 3;0 , M  ;
Vì AM =

1
BC = a ⇒ MA ' =
2
a a 3

A ' A 2 − AM 2 = a 3 ,



; a 3÷
suy ra A '  ;
÷
2 2

uuuuuu
r uuur
r uuuu
r
 3a a 3
 uuuuuu
 a 3a 3

A
'
B
'
=
AB

B
'
;
;
a
3
,
A
'
C
'
=
AC
⇒ C ' ;
; a 3÷

÷

 2
÷
2
÷
2
2




2
3
Thể tích khối chóp A '.ABC : V = 1 A ' M .S∆ABC = 1 .a 3. a 3 = a

3

3

4

4

uuuur  a a 3
r
 uuuuuu
AA
'
=
;
;
a
3
,
B
'
C
' = −a; a 3;0

÷

2 2
÷


uuuur uuuuuu
r
AA '.B ' C '
a2
1
suy ra cos ( AA ', B ' C ') =
=
= .
AA '.B ' C ' 2a.2a 4

(

)

4. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Tọa độ các đỉnh là:

(

) (

A ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , C ( 0; a;0) , A ' 0;0; a 2 , B ' a;0; a 2

(

)

)

a a 
C ' 0; a; a 2 , M  ; ;0÷.
2 2 
183


2
3
Thể tích khối lặng trụ: V = AA '.S∆ABC = a 2. a = a 2 .

2

uuuur

a a
2 2

r
 uuuu

uuuuu
r

2

(

Ta có: AM =  ; ;0÷, AC = ( 0; a;0) , B ' C = − a; a; a 2
uuuur uuuuu
r



 2

2



)

uuuur uuuuu
r uuuu
r

3

a 2 a 2 2
a 2
;−
; a ÷ ⇒  AM , B ' C  .AC = −
Suy ra  AM , B ' C  = 

÷ 
2
2
2



uuuur uuuuu
r uuuu
r
 AM , B ' C  .AC
a


=
Vậy d ( AM , B ' C ) =
uuuur uuuuu
r
2
 AM , B ' C 


5. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Gọi M , H lần lượt là trung điểm của BC và trọng tâm của tam giác ABC
0
Đặt BC = x, SH = y; x, y > 0 suy ra AC = AB.cot 60 =

x
3

. Tọa độ các

đỉnh là:


x
C ( 0;0;0) , B ( x;0;0) , A  0;
;0÷, H
3 

uuuur

 2x x
 r
;
; y÷ , k = ( 0;0;1) là VTPT của ( ABC )
 3 3 3 

Suy ra BB ' =  −

184

x x

x x

;0÷, B '  ;
; y÷
 ;
3 3 3 
3 3 3 


Theo đề bài ta có:

uuuur r
 BB '.k
2y = a
 uuuur r = sin 600


⇔  13 2

 BB ' . k
x + y2 = a


 27
 BB ' = a

Suy ra S∆ABC =


a 3
y =

2

 2 27a2
 x = 52

1
1
x
x2
81a2
CA.CB = x.
=
=
2
2
3 2 3 104 3

Vậy thể tích khối chóp A '.ABC là:
1
x2
1 3a 27a2
9a3
VA ' ABC = VB '.ABC = y.
= .
.
=
.
3 2 3 3 2 104 3 208
6. Đặt BC = x, x > 0 . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Tọa độ các điểm là:

B ( 0;0;0) , A ( a;0;0) , C ( 0; x;0) , B '(0;2a;0), A ' ( a;0;2a) , C '(0; x;2a)
uuuuu
r

Suy ra A ' C = ( − a; x; −2a) ⇒ A ' C 2 = a2 + x2 + (2a)2 = (3a)2 ⇒ x = 2a
uuuur  a
a


M
;
a
;2
a

AM =  − ; a;2a ÷
Trung điểm

÷
2

 2

x = a − t
uuuur

Phương trình AM :  y = 2t ⇒ I ( a − t;2t;4t) ⇒ A ' I = ( −t;2t;4t − 2a)
 z = 4t

185


Vì I ∈ A ' C ⇒

 2a 2a 4a 
−t
2t 4t − 2a
a
=
=
⇒t= ⇒ I
; ;
÷
− a 2a
−2a
3
 3 3 3

Suy ra
uuu
r  2a 2a 4a  uur  2a 4a 4a 
BI = 
;
;
;−
;
÷, CI = 
÷⇒
3 3
 3 3 3
 3

2
uuu
r uur
 2
 BI , CI  =  8a ;0; − 4a ÷

  3
3 ÷



uuu
r  a 2a 4a 
uuu
r uur uuu
r
8a3


AI =  − ;
;

BI
,
CI
.
AI
=

÷ 

3
 3 3 3
3
uuu
r uur uuu
r
Thể tích khối chóp I ABC : V = 1  BI , CI  .AI = 4a


6
9
ur
Ta có n = ( 2;0; −1) là VTPT của (I BC ) , phương trình mặt phẳng (I BC ) :
2x − z = 0

Vậy d( A, (I BC )) =

2a
5

=

2a 5
.
5

7. Đặt AA ' = x, x > 0 . Chọn hệ trục như hình vẽ

Tọa độ các điểm:
a 3 a 
A ( 0;0;0) , C ( 0; a;0) , A ' ( 0;0; x) , C ' ( 0; a; x) , B 
; ;0÷
 2 2 ÷


186


Suy ra
uuuuur  a 3 a
r
uuuuur uuuuu
r
 ax ax 3 a2 3 
 uuuuu
÷
A 'B = 
; ; − x÷, A ' C = (0; a; − x) ⇒  A ' B, A ' C  =  ;
;

  2
 2 2
÷
÷
2
2




ur
r
Nên n = x; x 3; a 3 là VTPT của ( A ' BC ) , k = ( 0;0;1) là VTPT của

(

)

( ABC )
ur r
n.k
3a
0
2
2
Theo đề bài: ur r = cos 60 ⇒ 2 3a = 4x + 3a ⇒ x =
2
n.k
2
3
Thể tích lăng trụ: VABC .A ' B ' C ' = x.S∆ABC = 3a . a 3 = 3 3a .

2

4

8

 a 3 a a

; ; ÷.
Tọa độ trọng tâm G 
÷
 6 2 2

Gọi I ( x; y; z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC , ta có



 x2 + y2 + z2 =
 2

2
 I A = I B

 2
 2
2
2
2
I
A
=
I
C


x + y + z =
 2

2
 I A = I G
 2
2
2

x + y + z =




a 3 a
a
; ; − ÷, bán kính
Tâm I 
÷
 6 2 12 

2

2


a 3
a
x−
÷ +  y − ÷ + z2

2 ÷
2





a 3
x =
6


a
x2 + ( y − a)2 + z2
⇔ y =
2

2
2
2


a





a 3
a
a
z=−
x−
÷ +  y− ÷ + z− ÷


12
6 ÷
2
2





R = IA =

7a
.
12

8. Gọi H là tâm của đáy ABCD và đặt A1H = x .

Chọn hệ trục như hình vẽ

187


Tọa độ các điểm:
a a 3 
A (0;0;0), B (a;0;0), D(0; a 3;0), C a; a 3;0 , H  ;
;0÷ ,
2 2
÷


a a 3 
A1  ;
; x÷
2 2
÷



(

uuuuu
r

a a 3

r
 uuuu

(

)

)

; x÷, AD = 0; a 3;0
Suy ra AA1 =  ;
÷
2 2


uuuuu
r uuuu
r
ur

a2 3 
÷ ⇒ n = ( 2x;0; a) là VTPT của ( A1 AD)
⇒  AA1, AD  =  ax 3;0;

 
2 ÷


r
Và k = (0;0;1) là VTPT của ( ABCD) nên theo giả thiết đề bài ta có:
ur r
n.k
3a
ur r = cos 600 ⇒ 2a = 4x2 + a2 ⇒ x =
2
n.k
3
Thể tích khối lăng trụ: V = x.S ABCD = 3a .a.a 3 = 3a .

2

uuuuu
r a a 3
r  a a 3
 uuuuu

A1B =  ; −
; − x÷, A1D =  − ;
; − x÷ ⇒
2
÷
 2 2
÷
2





Phương trình ( A1BD) : x 3 + y − a 3 = 0 . Vì
uuuuuu
r uuur
 3a a 3 a 3 
A1B1 = AB ⇒ B1 
;
;
÷
 2
2
2 ÷


188

2

uuuuu
r uuuuu
r
 A B, A D  = a 3x; ax;0
1 
 1

(

)


Vậy d ( B1, ( A1BD)) = a 3 .
2

Bi 2

a) Ta có: AB 2 + AC 2 = BC 2 = 25 nên ∆ABC vuông tại A .
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyz như hình vẽ
Suy ra O ≡ A (0;0;0) , B(3;0;0) ,
C (0;4;0) , D(0;0;4) .
Phương trình tổng quát của mặt
x y z
+ + =1
3 4 4
⇔ 4x + 3y + 3z − 12 = 0

phẳng (BCD) :

Do đó: d ( A, (BCD)) =

−12

=

12

=

6 34
17

16 + 9 + 9
34
3

b) Ta có M ( 0;2;2) , N  ;2;0÷. Suy ra
2

uuuur  3
u
u
u
u
r
uuuu
r

AN =  ;2;0÷, CM = ( 0; −2;2) , AC ( 0;4;0)
2

uuuur uuuur
uuuur uuuur uuuu
r
⇒  AN , CM  = ( 4; −3; −3) ,  AN , CM  .AC = −12 .




Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng AN , CM là:
uuuur uuuur uuuu
r
 AN , CM  .AC
12
6 34


d( AN , CM ) =
=
=
uuuur uuuur
.
17
2
2
2
 AN , CM 
4
+
3
+
3



Góc giữa hai đường thẳng AN , CM là:
cos ( AN , CM ) =

uuuur uuuur
AN .CM
AN .CM

=

4
9
+ 4. 22 + 22
4

=

2 2
⇒ ( AN , CM ) ≈ 560 .
5

Bi 3

1. a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có tọa độ các điểm

189


A ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , D ( 0;2a;0) ,

C ( a;2a;0) , S ( 0;0;3a)
uuur
Suy ra SB = ( a;0; −3a) ,
uuur
uuur
SD = (0;2a; −3a), SC = (a;2a; −3a)
x = a + t

Phương trình SB :  y = 0
 z = −3t

uuuur
⇒ M ( a + t;0; −3t) ⇒ AM = ( a + t;0; −3t )



uuuur uuur
 9a
a
3a 
AM ⊥ SB ⇒ AM .SB = 0 ⇔ (a + t) + 9t = 0 ⇒ t = −
⇒M
;0; ÷
10
10 
 10
 18a 12a 
;
Tương tự vậy ta tìm được N  0;
÷
 13 13 
uur

uuuur uuuur

2

Suy ra n1 =  AM , AN  = − 27a ( 1;2; −3)




65
Do đó ta có phương trình của ( AMN ) : x + 2y − 3z = 0
x = t

Phương trình SC :  y = 2t
nên tọa độ điểm P là nghiệm của hệ
 z = 3a − 3t

x = t

 9a 9a 15a 
9a
9a
15a
 y = 2t
⇒ x=
,y=
,z =
⇒ P
; ;

÷.
14
7
14
 14 7 14 
 z = 3a − 3t
 x + 2y − 3z = 0
2
2
uuuur uuur
uuuur uuur
Ta có:  AM , AP  = − 27a ( 1;2; −3) ,  AN , AP  = 27a ( 1;2; −3)




70
91
uuuur uuur
1 uuuur uuur
621 14a2
Suy ra S AMPN =   AM , AP  +  AN , AP   =

 
 
2  
1820
9a
d(S, ( AMN )) =
14

190


1 9a 621 14a2 1863a3
.
.
=
.
3 14
1820
1820
uuuu
r 
8a 12a  uuuur  9a
3a  uuur
CN
=

a
;

;
,
DM
=
;

2
a
;
b) Ta có

÷

÷, CD = ( − a;0;0)
13 13 
10 

 10

Vậy VS.AMPN =

uuuu
r uuuur
 348a2 147a2 426a2 
÷⇒
⇒ CN , DM  = 
;
;

  65
130
65 ÷


Khoảng cách giữa hai đường thẳng CN , DM

3
uuuu
r uuuur uuur
 CN , DM  .CD = − 348a


65

là:

uuuu
r uuuur uuur
CN , DM  .CD
2332a


d(CN , DM ) =
=
uuuu
r uuuur
.
CN , DM 
3 15209


uuuu
r uuuur
CN .DM
133 .
Và cos ( CN , DM ) =
=
CN .DM
154570

2. Vì hai mặt phẳng ( SDI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với đáy
nên SI ⊥ ( ABCD) .
Đặt SI = x, x > 0 , tọa độ các điểm
là: I ( 0;0;0) , A ( − a;0;0) ,
B ( a;0;0) , C ( a; a;0) , D ( − a;2a;0) ,
uuur
S ( 0;0; x) . Suy ra SC = ( a; a; − x) ,
uuur
CD = ( −2a; a;0)
uuur uuur
⇒  SC, CD  = ax;2ax;3a2



(

)

uur

Nên n1 = ( x;2x;3a) là VTPT của mặt phẳng (SCD) .
r

Mà k = (0;0;1) là VTPT của mặt đáy nên theo giả thiết đề bài ta có
uur r
n1.k
1
uur r = cos 600 = ⇔
2
n1 . k

Mặt khác: S ABCD =
VS. ABCD =

3a
5x2 + 9a2

=

1
3a 15
⇒ x=
2
5

AB (BC + AD)
= 3a2 nên thể tích khối chóp là
2

1
1 3a 15
3a3 15
.
SI .S ABCD = .
.3a2 =
3
3
5
5
191


3. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Ta có tọa độ các đỉnh A (0;0;0),
B ( a;0;0) ,

(

) (

)

D 0; a 2;0 , C a; a 2;0

S (0;0; a)
 a 2 
 a a 2 a
M  0;
;0÷, N  ;
; ÷

÷
 2 2 2÷
2




uuuur 
a 2 
;0÷
Suy ra : BM =  − a;
÷
2


uuuu
r
AC = a; a 2;0

)

(

 x = a − 2t
x = t '


Phương trình BM :  y = 2t , phương trình AC :  y = 2t '
z = 0
z = 0


a a 2



;0÷
Từ đó ta tìm được giao điểm I  ;
÷
3 3

uuur

uuuu
r

(

)

uuur uuuu
r

(

)

2
2
Ta có: AS = ( 0;0; a) , AC = a; a 2;0 ⇒  AS, AC  = − a 2; a ;0

uur
⇒ n1 =

(

)

2; −1;0 là VTPT của (SAC )

uuuur  a 2
uuuur uuuur
 a2 2

a2 2 
÷
SM =  0;
; − a ÷ ⇒  SM , BM  = 
; a2;
  2

÷ 
÷
2
2




uur
⇒ n2 = 1; 2;1 là VTPT của (SMB) .

(

uur uur

)

Vì n1.n2 = 0 ⇒ (SAC ) ⊥ (SMB)
uuuur

r
 a a 2 a  uuu

a a 2

 uuur

; ÷, AI =  ;
;0÷, AB = ( a;0;0)
Ta có: AN =  ;
÷
3 3
÷
2
2
2




uuuur uuu
r
 a2 2 a2 
⇒  AN , AI  =  −
;
;0÷ ⇒

 
6
6 ÷


192

3
uuuur uuu
r uuur
 AN , AI  .AB = − a 2 .


6


3
uuuur uuu
r uuur
Vậy VANI B = 1  AN , AI  .AB = a 2 .

6



36

4. Gọi H là trung điểm AD ⇒ SH ⊥ AD ⇒ SH ⊥ ( ABCD)

 a 
a 
H (0;0;0), A  0; − ;0÷, D  0; ;0÷,
2 

 2 

a 
N ( a;0;0) , B  a; − ;0÷,
2 


 a 
a 3
C  a; ;0÷, S  0;0;
÷,

2 ÷
 2 


 a a a 3  a a 
M  ;− ;
; ;0
÷, P
 2 4 4 ÷  2 2 ÷



uuuur  a a a 3  uuur  a
uuuur uuur

AM =  ; ;
÷, BP =  − ; a;0÷ ⇒ AM .BP = 0 ⇒ AM ⊥ BP .
2 4 4 ÷
 2



uuuur

 a

r
3a a 3  uuuu



a

 uuur

 a



÷, CN =  0; − ;0÷, CP =  − ;0;0÷
Ta có: CM =  − ; − ;
4
4 ÷
2 

 2

 2

uuuu
r uuur

a2 
÷⇒
⇒ CN , CP  =  0;0; −

 
4 ÷



3
uuuu
r uuur uuuur
 CN , CP  .CM = − a 3 .


16

3
uuuu
r uuur uuuur
Vậy VCMNP = 1 CN , CP  .CM = a 3 .

6



96

5. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Đặt SO = h và gọi I là trung điểm SA
.

193


Ta có tọa độ các đỉnh là:

  a 2 
 a 2

a 2  a 2
A  0; −
;0÷, B 
;0;0÷, C  0;
;0÷, D  −
;0;0÷

÷  2
÷ 
÷ 
÷
2
2
2

 
 




a 2 h
S ( 0;0; h) , I  0; −
; ÷, N

4 2÷



a 2 a 2 
a 2 a 2 
;
;0÷, E 
;−
; h ÷,

 4
÷  2
÷
4
2





 a 2 a 2 h
M
;−
; ÷.
 4
2



uuuur  3a 2 h  uuur
uuuur uuur
MN =  0;
; − ÷, BD = a 2;0;0 ⇒ MN .BD = 0 ⇒ MN ⊥ BD

4




(

)

uuuu
r
uuuur  a 2 3a 2 
AC = 0; a 2;0 , AN = 
;
;0÷ ⇒
 4
÷
4



uuuur uuuu
r


 MN , AC  =  ah 2 ;0;0÷

  2
÷


uuuur uuuu
r uuuur
 MN , AC  .AN
uuuur uuuu
r uuuur a2h
a 2


=
. Vậy d ( MN , AC ) =
uuuur uuuu
r
.
⇒  MN , AC  .AN =
4


 MN , AC 
4



(

)

6. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

194


Tọa độ các đỉnh:
a

A (0;0;0), B ( a;0;0) , D(0; a;0), C (a; a;0), M  ;0;0 ÷, N
2

uuuur

a
2

 a 
 0; ;0÷
 2 



Suy ra DM =  ; − a;0÷ ⇒ phương trình


x = t

DM :  y = a − 2t ⇒ H ( t; a − 2t;0)
z = 0

uuuu
r
uuuu
r 
a 
⇒ CH = ( t − a; −2t;0) , CN =  − a; − ;0÷
2 



H ∈ CN ⇒

 a 3a 
 a 3a

t − a −2t
a
=
⇔ − t + a = 4t ⇒ t = ⇒ H  ; ;0÷ ⇒ S  ; ; a 3 ÷
−a
−a
5
5 5 
5 5

2

2
2
2
Vì SCDNM = S ABCD − S∆AMN − S∆BCM = a2 − a − a = 5a

8

4

8

Nên thể tích khối chóp S.CDNM :
V =

1
1
5a2 5a3 3
.
SH .SCDNM = a 3.
=
3
3
8
24

195


Ta có:
uuur  4a 2a
r
uuuur uuur

 uuuu
a2 3 2 
SC = 
;
; − a 3 ÷, DC = ( a;0;0) ⇒  DM , SC  =  a2 3;
;a ÷

 
÷
2
 5 5



uuuur uuur uuuu
r
⇒  DM , SC  .DC = a3 3 .


uuuur uuur uuuu
r
 DM , SC  .DC
a3 3
2a 57


d
SC
,
DM
=
=
=
uuuur uuur
)
Vậy (
2
19 .
 DM , SC 
a 19


2

7. Ta có AH = a 2 ⇒ SH = SA 2 − AH 2 = a 14
4

4

Chọn hệ trục như hình vẽ

Tọa độ các điểm
 a a   a a a 14 
A (0;0;0), B (a;0;0), D(0; a;0), C (a; a;0), H  ; ;0÷, S  ; ;
÷
4 ÷
 4 4   4 4


Gọi N là trung điểm của
uuuu
r  7a 7a a 14 
 a a a 14 
SA ⇒ N  ; ;
;−
;
÷ ⇒ CN =  −
÷
8 8
÷
 8
÷
8
8
8




uuuu
r  a a a 14 
uuuu
r uuuu
r
SN =  − ; − ; −
÷ ⇒ SN .CN = 0 ⇒ CN ⊥ SA ⇒ N ≡ M
 8 8
8 ÷



196


uuur

 3a

a

Ta có: SB =  ; − ; −
4
 4

a 14  uuur  3a 3a a 14 
; ;−
÷, SC = 
÷
 4 4
4 ÷
4 ÷




uuur uuur
uuur uuur uuuur
 a2 14
3a2 
a3 14
÷ ⇒  SB, SC  .SM = −
⇒  SB, SC  = 
;0;

  4

4 ÷ 
8


3
uuur uuur uuuur
Vậy VS.MBC = 1  SB, SC  .SM = a 14 .

6

Bi 4



48

1. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó gốc tọa độ O là
trung điểm cạnh BC .

= 600 nên
a) Vì ·BAO = BAC
2

a
a 3
, BO = AB sin 600 =
2
2
Đặt SA = x, x > 0 , tọa độ các điểm là:
a 3
  a 3

a
A (0; − ;0), B 
;0;0÷, C  −
;0;0÷,
 2
÷ 
÷
2
2

 

AO = AB cos 600 =


a 
S  0; − ; x÷
2 

uuur
uuur  a 3 a 
SA
=
0;0;

x
,
AB = 
; ;0÷ ⇒
(
)
Suy ra
 2 2 ÷


uur
Nên n1 = 1; − 3;0 là VTPT của (SAB)

(

)

uuur uuur


 SA, AB  =  − ax ; ax 3 ;0÷

  2
÷
2



uuur  a 3 a
uuur uuur

 uuur
a2 3 
÷
SB = 
; ; − x÷, BC = − a 3;0;0 ⇒  SB, BC  =  0; ax 3;

 
 2 2
÷
÷
2




uur
Nên n2 = ( 0;2x; a) là VTPT của (SBC )
uur uur
−2x 3
n1.n2
1
a 2
0
=
cos
60

= ⇔ x=
Theo đề bài uur uur
.
4
n1 . n2
2. 4x2 + a2 2

(



)

a a 2

÷
Do đó S  0; − ;
÷
2
4


197


1
a2 3
·
Vì S∆ABC = 1 AB.AC.sin BAC
nên thể tích khối
= a.a.sin 1200 =
2

2

4

chóp S.ABC
VS. ABC =

Ta có:

1
1 a 2 a2 3 a3 6
.
SA.S∆ABC = .
.
=
3
3 4
4
48

SM
SA 2
x2
1 SN
SA 2 1
=
=
= ,
=
= nên
SB
SB 2 a2 + x2 9 SC SC 2 9
VS. AMN =

SM SN
1 a3 6 a3 6
.
.
.VS.ABC =
.
=
SB SC
81 48
3888

2. (Bạn đọc tự vẽ hình)
Gọi O là hình chiếu của S trên ( ABC ) , ta suy ra O là trọng tâm ∆ABC .
Gọi I là trung điểm của BC , ta có:
3
a 3
a 3
a 3
BC =
⇒ OA =
, OI =
2
2
3
6
Trong mp ( ABC ) , ta vẽ tia Oy vuông góc với OA . Đặt SO = h , chọn hệ
AI =

trục tọa độ như hình vẽ ta được:
a 3

 a 3
  a 3 a 
O ( 0;0;0) , A 
; 0; 0÷, S ( 0;0; h) ⇒ I  −
; 0; 0÷, B  −
; ; 0÷
 3
÷

÷ 
6
6
2 ÷



 

 a 3 a

 a 3 a h
 a 3 a h
C −
; − ; 0÷, M  −
;
;
;− ;
÷, N  −
÷.

÷
 12
÷
 12
÷
6
2
4
2
4
2






2
uuuur uuuur
uur
 ah
5a 3 
÷ ⇒ n1 = 6h;0;5a 3 là VTPT của
Suy ra  AM , AN  =  ; 0;
4
24 ÷


( AMN )
2
uuur uuur
uur


 SB, SC  =  − ah; 0; a 3 ÷ ⇒ n = 6h;0; − a 3 là VTPT của (SBC )
2

 
6 ÷


2
uur uur
Vì ( AMN ) ⊥ (SBC ) ⇒ n1.n2 = 0 ⇔ h2 = 5a
12
2
u
u
u
u
r
u
u
u
u
r
1
a 10
⇒ S∆AMN =  AM , AN  =


2
16
3. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ và O là trung điểm BC

)

(

(

198

)




a 3  a
A  0; −
;0÷, B  ;0;0÷,

÷
2


 2


 a

a 3
C  − ;0;0÷ , S  0; −
;2a ÷

÷
2
 2



uuur  a a 3
 uuur  a a 3

SB =  ;
; −2a ÷, SC =  − ;
; −2a ÷
2 2
÷
 2 2
÷





a
x = + t
2

Phương trình SB :  y = 3t
 z = −4t


uuuur  a

a

a 3
⇒ M  + t; 3t; −4t ÷ ⇒ AM  + t; 3t +
; −4t ÷
2
÷
2
2





AM ⊥ SB ⇒

 2a a 3 2a 
a
3a
a
+ t + 3t +
+ 16t = 0 ⇒ t = −
⇒M
;−
; ÷
 5
2
2
10
10 5 ÷


 2a

a 3 2a 

; ÷
Tương tự ta tìm được N  − ; −
5
10



uuur
uuuur  2a 2a 3 8a  uuuu
r  2a 2a 3 8a 
SA = ( 0;0; −2a) , SM = 
;
;−
;
;−
÷, SN =  −
÷
 5
÷
 5
5
5
5





uuuur uuuu
r
 32a2 8a2 3 
÷⇒
⇒  SM , SN  =  0;
;

 
25
25 ÷



2
uuuur uuuu
r uuur
 SM , SN  .SA = − 16a 3


25

3
uuuur uuuu
r uuur
Do đó VS.AMN = 1  SM , SN  .SA = 8a 3 . Mặt khác

6

VS. ABC =

2



75

3

1
a 3 a 3
.2a.
=
3
4
6

3
Vậy VA.BCNM = VS. ABC − VS. AMN = 3a 3 .

50

199


4. Gọi H là hình chiếu của S lên BC ⇒ SH ⊥ ( ABC )
Đặt BH = x, SH = y; x, y > 0 . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Tọa độ các đỉnh B(0;0;0), C (4a;0;0), A(0;3a;0), H (x;0;0), S(x;0; y)
uuur

uuur

uuur uuur

Suy ra BS = (x;0; y), BC = (4a;0;0) ⇒ BS.BC = 4ax
uuur uuur
 4ax
 BS.BC
3
0
=

=
cos
30

 x = 3a
2 ⇔
⇔  2a 3.4a
Theo đề bài ta có:  SB.BC

 2
 y = a 3
2
2
 SB = 2a 3
 x + y = 12a
1 1
1
y. BA.BC = .a 3.4a.3a = 2a3 3
3 2
6
uuur
uuur
uuur uuur
SA = −3a;3a; − a 3 , SC = a;0; − a 3 ⇒  SA, SC  = −3a2 3; −4a2 3; −3a2


ur
Suy ra n = (3;4; 3) là VTPT của (SAC ) , phương trình (SAC ) là:

Thể tích khối chóp S.ABC : V =

(

)

)

(

3x + 4 y + 3z − 12a = 0

Vậy d ( B, (SAC )) =

−12a
32 + 42 + 3

=

6a 7
.
7

Bi 5 ( Bạn đọc tự vẽ hình )
Ta có : O(0; 0; 0), A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c).

200

(

)


1. Tọa độ điểm H khi H là trực tâm ∆ABC hay là hình chiếu của O lên
( ABC )

x =



y =


z =



ab2c2
a2b2 + b2c2 + c2a2
bc2a2
a2b2 + b2c2 + c2a2
ca2b2
a2b2 + b2c2 + c2a2

2. Phương trình mặt phẳng ( ABC ) :

x y z
+ + = 1.
a b c

1

d(O, ( ABC )) =

1
a2

.

+

1
b2

+

1

=

c2

abc
2 2

2 2

2 2

.

a b +b c +c a

x y z
3. Gọi M (x; y; z). Ta có M ∈ ( ABC ) ⇒ + + = 1.
a

AM

2

2

2

(x − a) + y + z

=

=

=

2

2

b

c

2x
OM 2 2x
+1=

+ 1.
a
a
AO2
a2
a2
OA 2
 1
AM 2 BM 2 CM 2
1
1 
+
+
= OM 2 
+
+
Tương tự ta đi đến
÷+ 1
AO2
BO2 CO2
 OA 2 OB 2 OC 2 

Ta có

2

2

x +y +z

OM 2

+1=



MH 2

OH 2
OH 2
4. Dễ chứng minh sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2.

+ 2.

2
2
Chú ý sin β sin γ ≤ sin α + sin γ nên

2

2

sin α
2sin2 α
2sin2 α

=
1 + sin β sin γ
2 + sin2 β + sin2 γ
4 − sin2 α
Tương tự ta có vế trái T của bất đẳng thức cần chứng minh thỏa mãn
T ≥

2sin2 α
4 − sin2 α


Hay T + 6 ≥ 8 

+

2sin2 β
4 − sin2 β
1

+

+

2sin2 γ
4 − sin2 γ
1

+


÷
4 − sin2 γ ÷

1

2
2
 4 − sin α 4 − sin β
1 1 1
9
, ∀x, y, z > 0 ta được
Áp dụng bất đẳng thức + + ≥
x y z x+ y+ z

201


T +6≥

Vậy

72
12 − (sin2 α + sin2 β + sin2 γ )

=

36
.
5

sin2 α
sin2 β
sin2 γ
6
+
+
≥ .
1 + sin β sin γ 1 + sin γ sin α 1 + sin α sin β 5

Dấu đẳng thức xảy ra khi α = β = γ = arcsin 6 .
3

Bi 6
1. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

)

(

Tọa độ các đỉnh: A (0;0;0), S 0;0; a 2 , B ( a;0;0) , D ( 0;2a;0) , C ( a; a;0)
x = a − t
uuur

Suy ra SB = − a;0; a 2 , phương trình SB :  y = 0 ⇒ H a − t;0; 2t

 z = 2t
uuuur
⇒ AH = a − t;0; 2t

(

)

(

)

(

uuuur uuur
 2a
a
a 2
AH ⊥ SB ⇒ AH .SB = 0 ⇔ − a + t + 2t = 0 ⇒ t = ⇒ H 
;0;
÷
 3
3
3 ÷


uuur
uuur
Ta có: SC = a; a; − a 2 , CD = ( a; − a;0)

(

uuur uuur

)

Suy ra SC.CD = 0 ⇒ SC ⊥ CD ⇒ ∆SCD vuông tại C

(

)

uuur uuur
ur
 SC, CD  = − a2 2; − a2 2; −2a2 ⇒ n = 1;1; 2 là VTPT của (SCD)


202

(

)

)


Phương trình (SCD) : x + y + 2z − 2a = 0 .
Vậy

d ( H , (SCD)) =

2a 2a
+
− 2a
3
3
1+ 1+ 2

=

a.
3

Bi 7

1. Ta có A ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , D ( 0;2a;0) , C (a; a;0) .

Đặt SA = x ⇒ S ( 0;0; x)
uuur
uuur
uuur uuur
BD = ( − a;2a;0) , SC = ( a; a; − x) ⇒ DB = a 5, SC = x2 + 2a2; BD.SC = a2
uuur uuur
SC.BD
uuur uuur
a
1
Nên cos α = cos SC, BD =
=
=
SC.BD
30
5(x2 + 2a2)

(

)

⇔ x2 + 2a2 = 6a2 ⇔ x = 2a ⇒ S ( 0;0;2a) .
uuur
uuur
uuur uuur
2. Ta có CS = ( − a; − a;2a) , CD = ( − a; a;0) ⇒ CS.CD = 0 ⇒ ∆SCD vuông tại
C.

1
1
Do đó: S∆SCD = CS.CD = .a 6.a 2 = a2 3
2
2
·
Gọi β = ( (SCD), (SAB)) . Ta có hình chiếu của tam giác SCD lên mặt phẳng
1
a.2a
1 .
(SAB) là tam giác SAB nên ta suy ra cos β =
= 2
=
S∆SCD
3
a2 3
S∆SAB

203


3. Ta có E ( 0; a;0) . Gọi I ( x; y; z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SBCE
 I B2 = I S2
(x − a)2 + y2 + z2 = x2 +


 2

2
2
2
2
Khi đó  I C = I S ⇔ (x − a) + ( y − a) + z =
 2
 2
2
2
2
2
 I E = I S
 x + ( y − a) + z = x +

a
x =
2
−2x + 4z = 3a

a a 
a


⇔ − x − y + 2z = a ⇔  y = ⇒ I  ; ; a ÷.
2
2 2 
−2y + 4z = 3a


z = a


2

y2 + (z − 2a)2
x2 + y2 + (z − 2a)2
y2 + (z − 2a)2

2

Bán kính R = I E =  a ÷ +  a − a ÷ + a2 = a 6 .

2
2
 2

uuuu
r 2 uuur
 2a
2a 
4. Ta có M ( 0;0; a) . Do SN = SB ⇒ N  ;0; ÷,
3
3
 3
uuur 3 uuur
 3a  uuur 4 uuur
 a 9a 
BP = BC ⇒ P  a; ;0÷ , CQ = CD ⇒ Q  ;
;0÷
4
5
 4 
5 5 
uuuur  2a
 uuuur  a 9a

a  uuuur  3a
Suy ra MN =  ;0; − ÷, MP =  a; ; −a ÷, MQ =  ; ; − a ÷
3
 3
 4

5 5

uuuur uuuur
 2 2 2
 MN , M P  =  a ; a ; a ÷ ⇒

  4 3 2 ÷



3
uuuur uuuur uuuur
 M N , MP  .MQ = 3a ≠ 0 nên M , N , P , Q


20

không đồng phẳng.
3
uuuur uuuur uuuur
Vậy VMNPQ = 1  MN , MP  .MQ = a .

Bi 8

204

6



40


Đặt AA ' = 2x, x > 0
1. Ta có A (0;0;0), C ( 0; a;0) ,
A '(0;0;2x), C '(0; a;2x)

Gọi K là hình chiếu của B lên Oy ,
BK = AB.sin 600 =

a 3 AK = a
,
2
2

. Nên
a 3 a 
a 3 a

B
; ;0÷, B ' 
; ;2x÷ .
 2 2 ÷
 2 2
÷





uuuur

uuuuuu
r

 a 3 a



; ; − x÷
Suy ra M ( 0; a; x) ⇒ AM = ( 0; a; x) , B ' M =  −
÷
2
2


uuuur uuuuuu
r a2
uuuur uuuuuu
r
a 2
⇒ AM .B ' M =
− x2 . Mà AM .B ' M = 0 nên suy ra x =
2
2
a 3 a

; ; a 2÷
Do đó A ' 0;0; a 2 và B ' 
÷
 2 2

uuuuur 1 uuuuuu
r
a 3 a

; ; a 2 ÷,
2. Ta có A ' N = A ' B ' ⇒ N 
÷
2
 4 4

uuuuur 2 uuuuuu
r
 2a

A ' P = A ' C ' ⇒ P  0;
; a 2÷
3
 3


(

)

uuuuu
r 3 uuuuu
r
 a 3 a 3a 2 

a 2
B 'Q = B ' B ⇒ Q 
; ;
÷ và M  0; a;
÷
 2 2

4
4 ÷
2 ÷




uuuur  a 3 a
 uuuur 

a 2  uuur  2a
; ; a 2 ÷, AM =  0; a;
; a 2 ÷,
÷, AP =  0;
Suy ra AN = 
÷

2 ÷
 3

 4 4



uuuu
r  a 3 a 3a 2 
AQ = 
; ;
÷
 2 2
÷
4


uuur uuuu
r
uuur uuuu
r uuuur
 a2 6 a2 3 
5 6 3
÷ ⇒  AP , AQ  .AN = −
⇒  AP , AQ  =  0;
;−
a ;

 

2
3 ÷ 
24


uuur uuuu
r uuuur a3 6
 AP , AQ  AM =


3
205


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×