Tải bản đầy đủ

5 TIEM CAN

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ
THỊ HÀM SỐ
A. CHUẨN KIẾN THỨC

I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG.
Định nghĩa . Cho hàm số y = f ( x) xác định trên một khoảng vô hạn ( là
khoảng dạng (a; +∞),(−∞;b) hoặc (−∞; +∞) . Đường thẳng y = y0 là đường
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các
điều kiện sau được thỏa mãn: lim f ( x) = y0 hoặc lim f ( x) = y0 .
x→+∞

x→−∞

II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG.
Định nghĩa . Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa
mãn:
lim f ( x) = +∞
lim f ( x) = +∞
lim f ( x) = −∞

lim f ( x) = −∞
hoặc
hoặc
hoặc
.

+

+
x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

III . ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN
Định nghĩa
Đường thẳng y = ax + b,a ≠ 0 ,được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ
thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa
mãn:
lim f ( x) = f ( x) − ( ax + b)  = 0 hoặc
x→+∞

lim f ( x) = f ( x) − ( ax + b)  = 0 Trong đó a = lim f ( x) , b = lim f ( x) − ax hoặc

x→+∞ x
x→+∞ 
f ( x)
a = lim
, b = lim f ( x) − ax .
x→−∞ x
x→−∞

x→−∞

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Vấn đề 1 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm
số..


Phương pháp .
1. Tìm tiệm cận ngang ,tiệm cận đứng của đồ thị hàm
Thực hiện theo các bước sau
B1. Tìm tập xác định của hàm số f ( x)

B2. Tìm các giới hạn của f ( x) khi x dần tới các biên của miền xác định và
dựa vào định nghĩa của các đường tiệm cận để kết luận

120


Chú ý . Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận ngang khi tập xác định của
nó là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến x có
thể tiến đến +∞ hoặc −∞)
Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận đứng khi tập xác định của nó có
một trong các dạng sau: (a;b) ,[a;b) , (a;b], (a ; +∞ ) ; ( −∞; a) hoặc là hợp
của các tập hợp này và tập xác định không có một trong các dạng sau: R ,
[c; +∞ ), ( −∞; c], [c;d]
2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm
Thực hiện theo các bước sau
B1. Tìm tập xác định của hàm số (đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận
xiên nếu tập xác định của nó là là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng
vô hạn)
B2. Sử dụng định nghĩa
Hoặc sử dụng định lí :
f(x)
[f(x) − ax] = b hoặc lim f(x) = a ≠ 0 và
= a ≠ 0 và xlim
Nếu lim
→+∞
x→+∞ x
x→−∞ x
lim [f(x) − ax] = b thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm
x→−∞

số f
P(x)
trong đó P(x), Q(x) là hai
Q(x)
đa thức của x ta thường dùng phương pháp sau để tìm các đường
tiệm cận của đồ thị hàm số
i) Tiệm cận đứng .
P(x0) = 0
Nếu 
thì đường thẳng : x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Q(x0) ≠ 0
ii) Tiệm cận ngang
Nếu bậc của P(x) bé hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số có tiệm cận
ngang là trục hoành độ
Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) thì đồ thị hàm có tiệm cận ngang là
A
đường thẳng : y =
trong đó A, B lần lượt là hệ số của số hạng có số mũ
B
lớn nhất của P(x) và Q(x)
Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số không có
tiệm cận ngang
iii) Tiệm cận xiên
Nếu bậc của P(x) bé hơn hay bằng bậc của Q(x) hoặc lớn hơn bậc của Q(x)
từ hai bậc trở lên thì đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên
Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) một bậc và P(x) không chia hết cho
Q(x) thì đồ thị hàm có tiệm cận xiên và ta tìm tiệm cận xiên bằng cách
R(x)
chia P(x) cho Q(x) và viết f ( x) = ax + b +
, trong đó
Q(x)
CHÚ Ý : Đối với hàm phân thức : f ( x) =

lim

R(x)

x→+∞ Q(x)

121

= 0 , lim

R(x)

x→−∞ Q(x)

=0 .


Suy ra đường thẳng : y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Chú ý:
1. Xét hàm số y = ax2 + bx + c

( a ≠ 0) .

* Nếu a < 0 ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận.

b
* Nếu a > 0 đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y = a  x + ÷ khi x → +∞ và
2a 


b
y = − a x +
÷ khi x → −∞ .
2a 

2. Đồ thị hàm số y = mx + n + p ax2 + bx + c ( a > 0) có tiệm cận là đường
thẳng : y = mx + n + p a x +

b
.
2a

Các ví dụ
Ví dụ 1 Tìm tiệm cận của hàm số:
2x + 1
1. y =
x+1
1
3. y = 2x + 1−
x+ 2

2. y =
4. y =

2 − 4x
1− x

x2
1− x

Lời giải.
2x + 1
1. y =
x+1
Giới hạn , tiệm cận .
lim y = 2 , lim y = 2 , suy ra đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang
x→+∞
x→−∞
của đồ thị (C).
lim y = −∞ , lim y = +∞ , suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận
+

x→−1

x→−1

đứng của đồ thị (C).
2 − 4x
2. y =
1− x
Giới hạn , tiệm cận .
lim y = 4 , lim y = 4 , suy ra đường thẳng y = 4 là đường tiệm cận ngang
x→+∞
x→−∞
của đồ thị (C).
lim y = −∞ , lim y = +∞ , suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận
+

x→−1

x→−1

đứng của đồ thị (C).
1
3. y = 2x + 1−
x+ 2
Giới hạn , tiệm cận .
lim y = +∞ , lim y = −∞ ⇒ Đường thẳng : x = -2 là tiệm cận đứng của (C).

+
x→−2

x→−2

122


lim y = −∞ , lim y = +∞.

x→−∞

x→+∞

lim [y − (2x + 1)] = 0 , lim [y − (2x + 1)] = 0 ⇒ Đường thẳng y = 2x + 1 là tiệm cận xiên
x→−∞
x→+∞

của (C).
1
1− x
Giới hạn , tiệm cận .
lim y = +∞ , lim y = −∞ ⇒ Đường thẳng : x = 1 là tiệm cận đứng của (C).

+
4. y = −x − 1+

x→1

x→1

lim y = +∞ , lim y = −∞.

x→−∞

x→+∞

lim [y − (−x − 1)] = 0 , lim [y − (−x − 1)] = 0 ⇒ Đường thẳng y = − x − 1 là tiệm
x→−∞
x→+∞
cận xiên của (C).
Ví dụ 2 Tìm tiệm cận của hàm số:
2
1. y = x + 1
x

2. y = x2 − 2x + 2

3.

y = x + x2 − 1
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = ¡ \ { 0} .
− x 1+
lim y = lim

1
x2 = − lim

x→−∞
x→−∞
x
thị hàm số khi x → −∞ .

x 1+
lim y = lim

x→+∞

lim y = lim

x→0−

x→0−

x→−∞

1
2

x

= −1⇒ y = −1

là tiệm cận ngang của đồ

1
x2 = lim

x
hàm số khi x → +∞ .
x→+∞

1+

x→+∞

1+

1
2

x

= 1⇒ y = 1

là tiệm cận ngang của đồ thị

x2 + 1
x2 + 1
= −∞ , lim y = lim
= +∞ ⇒ x = 0 là tiệm cận đứng
x
x
x→0+
x→0+

của đồ thị hàm số khi x → 0− và x → 0+ .
2

y
x +1
= lim
= lim
x→−∞ x x→−∞
x→−∞
x2
khi x → −∞
lim

2

y
x +1
= lim
= lim
x→+∞ x x→+∞
x→+∞
x2
khi x → +∞
lim

123

− x 1+
x2
x 1+
x2

1

x2 = 0 ⇒ hàm số y không có tiệm cận xiên

1

x2 = 0 ⇒ hàm số y không có tiệm cận xiên


2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ .
y
x2 − 2x + 2
2 2
= lim
= lim 1− +
=1
x→+∞ x x→+∞
x→+∞
x
x x2
−2x + 2
b = lim ( y − ax) = lim  x2 − 2x + 2 − x ÷ = lim
x→+∞
x→+∞ 
 x→+∞ x2 − 2x + 2 + x

Ta có: a = lim

= lim

x→+∞

x → +∞ .

−2 +

2
x
2

2
1− +
+1
x x2

= −1 ⇒ y = x − 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi

y
x2 − 2x + 2
2 2
= lim
= − lim 1− +
= −1
x→−∞ x x→−∞
x→−∞
x
x x2

a = lim

−2x + 2
b = lim ( y − ax) = lim  x2 − 2x + 2 + x ÷ = lim
x→−∞
x→−∞ 
 x→−∞ x2 − 2x + 2 − x
2
−2 +
x
= lim
= 1 ⇒ y = −x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi
x→−∞
2 2
− 1− +
−1
x x2
x → −∞ .
3. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = ( −∞; −1 ∪ 1; +∞ ) .

y
x + x2 − 1
1
= lim
= lim  1+ 1−
÷= 2
x→+∞ x x→+∞
x→+∞ 
x
x2 ÷



a = lim

−1
b = lim ( y − ax) = lim  x2 − 1 − x ÷ = lim
= 0 ⇒ y = 2x là tiệm cận
x→+∞
x→+∞ 
 x→+∞ x2 − 1 + x
xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ .

y
x + x2 − 1
1
= lim
= lim  1− 1−
÷= 0
2 ÷
x→−∞ x x→+∞
x→+∞ 
x
x



1
b = lim y = lim  x2 − 1 + x ÷ = lim
= 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang
x→−∞
x→−∞ 
 x→−∞ x2 − 1 − x

a = lim

của đồ thị hàm số khi x → −∞ .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :
3x + 2
−2x − 5
1. y =
2. y =
x− 2
3x + 1
Bài 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :
1
2x2 − 6x + 1
1. y = x + 1−
2. y =
x− 5
3x + 1

124


Bài 3: Tìm các đường tiệm cận của
2x + 3
1. y = 2
x −4
Bài 4: Tìm các đường tiệm cận của
2x − 4
+ 2x − 3
1. y = 3
x +1
Bài 5: Tìm các đường tiệm cận của
1. y =

2x3 − x + 4

đồ thị các hàm số sau :
4x
2. y = 2
x +8
đồ thị các hàm số sau :
2. y =

x3 + 2

x2 − 2x
đồ thị các hàm số sau :
2. y =

x2 + x + 2

x2 − 4
x2 − 2x + 3
Bài 6: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :
2x
1. y = x + 4 + x2 − 3x + 2
3. y =
x2 + 3
2. y = 3x + x2 + 4

Vấn đề 2 Một số dạng toán khác.
Các ví dụ
Ví dụ 1.
1
có đồ thị là (C) . Gọi M là một điểm bất kỳ
x+ 2
thuộc (C) , qua M vẽ hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường
tiệm cận của (C) , hai đường thẳng này tạo với hai đường tiệm cận một
hình bình hành , chứng minh hình bình hành này có diện tích không đổi.
1
2. Tìm m∈ ¡ để hàm số y = mx + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực
x
2
tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng
.
17
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( −∞; −2) ∪ ( −2; +∞ ) .
Gọi MNIP là hình bình hành tạo bời hai tiệm cận của (C) và hai đường
thẳng vẽ từ M lần lượt song song với hai tiệm cận này.

1 
M ∈ (C) ⇒ M  x0;2x0 + 1−
÷
x0 + 2 ÷


1. Cho hàm số y = 2x + 1−

N ∈ TCX
1
⇒ N(x0;2x0 + 1) ⇒ MN = yM − yN =

x0 + 2
MN ⊥ Ox
Đường thẳng MN qua M và song song với TCĐ nên có phương trình là :
x – x0 = 0 ⇒ d ( I,MN ) = −2 − x0 = 2 + x0 .
Diện tích của hình bình hành MNIP:

125


S = MN.d ( I,MN ) =

1
x + 2 = 1 (hằng số).
x0 + 2 0

2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( −∞;0) ∪ ( 0; +∞ ) .
Ta có : y' = m −

1

,x ≠ 0 .
x2
Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
khác 0.
1
1
1
< x2 =
Với m > 0 thì y' = 0 ⇔ m − 2 = 0 ⇔ x1 = −
và điểm cực tiểu của
m
m
x
 1

;2 m ÷ .
hàm số là A 
 m

1
1
Vì lim = lim = 0 nên ( d ) : y = mx là đường cận xiên.
x→−∞ x x→+∞ x
1
m
−2 m
2
2
m
2
m
d A ,( d ) =

=

=
2
2
17
17
17
m +1
m +1

(

)

17.m = 2 m2 + 1 ⇔ 4m2 − 17m + 4 = 0 ⇔ m = 4 hoặc m =

1
.
4

Ví dụ 2.
x2 + (m − 1)x + m2 − 2m + 1
(1). Tìm m để đường tiệm cận
1− x
xiên của đồ thị hàm số (1) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện
1
tích bằng .
2
1. Cho hàm số y =

2. Cho hàm số y =

(

)

mx2 + m2 + m + 2 x + m2 + 3

. Tìm m∈ ¡ để khoảng cách
x+1
từ gốc O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất .
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ )
m2 − m + 1
1− x
lim
[y

(

x

m)]
=
0 , lim [y − (−x − m)] = 0 nên đường thẳng ( d )
Vì x→+∞
x→−∞
y = −x − m là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1).
Ta có : y = −x − m +

( d)

cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A ( 0; − m)   và B( − m;0) .

Diện tích tam giác OAB: S =

1
1
1
OA.OB = yA . xB = m2.
2
2
2

126


1
⇔ m2 = 1 ⇔ m = ±1.
2
2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( −∞; −1) ∪ ( −1; +∞ )
Theo giả thiết ta có :

y=

(

S=

)

mx2 + m2 + m + 2 x + m2 + 3

= mx + m2 + 2 +

1
,x ≠ −1
x+ 1

x+1
1
1
= lim
= 0 nên ( d ) : y = mx + m2 + 2 ⇔ ( d ) : mx − y + m2 + 2 = 0
Vì lim
x→−∞ x + 1 x→+∞ x + 1
là đường cận xiên hoặc ngang của hàm số.
Ta có : d ( O;d ) =

m2 + 2
m2 + 1

= m2 + 1 +

Vậy d ( O;d ) nhỏ nhất bằng 2 khi

1
m2 + 1

≥2

m2 + 1 =

Khi đó hàm số có tiệm cận ngang là y = 2 .

1
m2 + 1

⇔ m= 0.

Ví dụ 3.
1. Cho hàm số y =

1− x2
có đồ thị là (C) . Tìm các điểm M thuộc (C) sao
x

cho d ( M ,TCĐ ) = 2d ( M ,TCX ) .

x+ 2
, có đồ thị là ( C ) . Tìm tất cả các điểm M thuộc ( C )
x− 3
sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 5 lần khoảng cách từ
M đến tiệm cận ngang.
x+ 2
3. Tìm trên đồ thị ( C ) : y =
những điểm M sao cho khoảng cách từ
x− 3
1
điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng
khoảng cách từ điểm M đến
5
đường tiệm cận ngang.
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( −∞;0) ∪ ( 0; +∞ )
2. Cho hàm số y =


1
M ∈ (C) ⇔ M  x0; −x0 +
÷. Ta có: d(M ;TCX) =
x0 ÷


d ( M ,TCĐ ) = 2d ( M ,TCX ) ⇔ x0 = 2
Vậy, các điểm cần tìm là M ( ±1;0) .

1
2x0

, d ( M ,TCĐ ) = x0

 x = 1 , y0 = 0
⇔ x02 = 1 ⇔  0
2x0
 x0 = −1 , y0 = 0
1

2.Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( −∞;3) ∪ ( 3; +∞ )

127



5 
Giả sử M  x0;1+
÷ là điểm thuộc đồ thị ( C ) , x0 ≠ 3 .
x0 − 3 ÷


Khi đó khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = x0 − 3
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d2 =
Theo giả thiết d1 = 5d2 hay x0 − 3 =

5
x0 − 3

25
2
⇔ ( x0 − 3) = 25 , phương trình này
x0 − 3

có 2 nghiệm x0 = −2 hoặc x0 = 8

Vậy, M ( −2;0) , M ( 8;2) là tọa độ cần tìm.

3. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( −∞;3) ∪ ( 3; +∞ )

Gọi đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt là ( d1) : x = 3,( d2 ) : y = 1.

x + 2
M ( x0;y0 ) ∈( C ) ⇒ M  x0; 0
÷
x0 − 3 ÷


Ta có d ( M ,d1) = x0 − 3 ,d ( M ,d2 ) =
Theo bài ra ta có x0 − 3 =

x0 + 2
x0 − 3

−1 =

5
x0 − 3

x = 4
1 5
2
⇔ ( x0 − 3) = 1 ⇔  0
5 x0 − 3
 x0 = 2

Vậy có 2 điểm thỏa mãn M 1 ( 2; −4) ,M 2 ( 4;6) .
Chú ý:
1. d ( M ,d1) .d ( M ,d2 ) = x0 − 3 .

5
=5
x0 − 3

2. d ( M ,d1) + d ( M ,d2 ) ≥ 2 d ( M ,d1 ) .d ( M ,d2 ) = 2 5
Ví dụ 4.
2
có đồ thị là (C) . hai điểm thuộc hai nhánh
2x − 1
khác nhau của (C) sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ nhất.
3 − 2x
2. Cho hàm số y =
có đồ thị là (C) . Tìm các điểm trên (C) có tổng các
x
khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Lời giải.

1  1

1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên  −∞; ÷∪  ; +∞ ÷
2  2


1. Cho hàm số y = 2x − 1−

1
1
M thuộc nhánh phải của (C) ,suy ra M  + a;2a − ÷, a > 0 .
2
a



128


1
1
N thuộc nhánh trái của (C), suy ra N  − b; −2b + ÷ , b > 0 .
b
2
2

2


 1 1 

1
MN = (a + b) +  2(a + b) +  + ÷ = (a + b)2  2 +
÷
ab 
 a b 


2

2

Côsi

Côsi

4
1 
4
4
≥ 4ab 4 +
+
= 16ab +
+ 16 ≥ 2 16ab. + 16 = 32
÷
2
2
ab a b 
ab
ab


a = b
a = b
1


MN
=
4
2


⇒ MN ≥ 4 2;

 4 1⇔ a= b=
4
2
16ab =
a =
ab

4

1 1 
1 1 
;0÷ , N  −
;0÷
Vậy hai điểm cần tìm là M  +
2 
2 
2
2

2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( −∞;0) ∪ ( 0; +∞ )
A ∈ (C) ⇒ A(x0;y0) với y0 = −2 +

3
,
x0

d(A ,Ox) = y0 , d(A ,Oy) = x0

T = d(A ,Ox) + d(A ,Oy) = y0 + x0 .
Nếu A thuộc nhánh trái của (C) thì y0 < −2 khi đó T > 2 .Mặt khác giao điểm
3 
3
của (C) với trục Ox là E  ;0÷ , vì d ( E,Ox) + d ( E,Oy ) = < 2 ,suy ra điểm cần
2
2 
tìm thuộc nhánh phải của (C).
Như vậy ta chỉ cần xét các điểm A thuộc nhánh phải của (C) ( x0 > 0 ).
Khi đó T = y0 + x0 = −2 +

3
+ x0 .
x0

Lập bảng biến thiên của hàm số T trên ( 0;+∞ )
* Nếu −2 +

3 − 2x0
3
3
 3
+ x0
≥ 0⇔
≥ 0 ⇔ x0 ∈  0;  thì T = −2 +
x
x0
x0
 2
0

Ta có:
* Nếu −2 +

T' = −

129

x02

+ 1=

x02 − 3
x02

 3
< 0 với mọi x0 ∈  0; 
 2

3
3
3

≤ 0 ⇔ x0 ∈  , +∞ ÷ thì T = 2 −
+ x0
x0
x0
2


Ta có: T' =
*Tại x0 =

3

3
x02

+ 1 > 0 với mọi x0 ∈  3 , +∞ ÷.
2


 3+ 
7
3
: T' ÷ = − .
2 ÷
3
2
 

,

 3− 
1
T' ÷ = −
2 ÷
3
 


 3+ 
 3− 
 3

÷
 ÷ nên T ' ÷ không tồn tại.
T'

T'

2 ÷
2 ÷
 2
 
 
Bảng biến thiên của hàm số T.
3
x0

-∞

T'

+∞

2

-

+

T

3
2

Suy ra minT =

3
3
đạt được khi x0 = .
2
2

3 
Vậy điểm cần tìm là E  ; 0÷.
2 

Ví dụ 5.
2m − x
có đồ thị là ( C m ) . Cho A ( 0;1) và I là tâm đối xứng.
x+ m
Tìm m để trên ( C m ) tồn tại điểm B sao cho tam giác ABI vuông cân tại A.
Cho hàm số: y =

Lời giải.
uuu
r  m − 2b 
uur
 2m − b 
Xét B b;
÷∈ (C m ) ⇒ AB =  b;
÷ . Ta có I(−m; −1) ⇒ AI = (−m; −2) .
 b+ m 
 m+ b 
uuu
r uur
AB.AI = 0
Tam giác ABI vuông cân tại A ⇔ 
2
2
AB = AI

m − 2b
 m − 2b
bm
=−
(1)
mb + 2 m + b = 0


 m+ b
2

2⇔
2 2
m2 + 4 = b2 +  m − 2b 
 m2 + 4 = b2 + m b
(2)

÷


4
 m+ b 

(

)

(2) ⇔ m2 b2 − 4 + 4(b2 − 4) = 0 ⇔ (b2 − 4)(m2 + 4) = 0 ⇔ b2 = 4 ⇔ b = ±2 .
m− 4
= −m ⇔ m2 + 3m − 4 = 0 ⇔ m = 1,m = −4 .
m+ 2
m+ 4
= m ⇔ m2 − 3m − 4 = 0 ⇔ m = −1,m = 4 .
* b = −2 thay vào (1) ta được:
m− 2
Vậy m = ±1, m = ±4 là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 6.Tùy theo giá trị của tham số m∈ ¡ . Hãy tìm tiệm cận của đồ thị
x−1
hàm số sau: y =
.
mx3 − 1
Lời giải.
* b = 2 thay vào (1) ta được:

130


* m = 0 ⇒ y = −x + 1⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận.
x−1
⇒ lim y = lim y = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị
* m = 1⇒ y = 3
x→−∞
x − 1 x→+∞
hàm số khi x → +∞ và x → −∞ .
1
Vì lim y = lim = ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
3
x→1+
x→1−
m ≠ 0
 1 
⇒ hàm số xác định trên D = ¡ \ 
* 

3
m ≠ 1
 m
Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1
Đường thẳng x = 3
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
m
Ví dụ 7.Cho hàm số y =

(

)

mx2 + 3m2 − 2 x − 2
x + 3m

,( C m ) với m∈ ¡

.

để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị ( C m ) bằng 450

1. Tìm m∈ ¡

2. Tìm m∈ ¡ để đồ thị ( C m ) có tiệm cận xiên tạo cắt hai trục tọa độ tại
A ,B sao cho tam giác ∆AOB có diện tích bằng 4
Lời giải.
6m − 2
Ta có: y = mx − 2 +
x + 3m
1
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ⇔ 6m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ .
3
Phương trình hai đường tiệm cận là: ∆1 : x = −3m ⇔ x + 3m = 0
Và ∆ 2 : y = mx − 2 ⇔ mx − y − 2 = 0 .

uu
r
uur
Véc tơ pháp tuyến của ∆1 và ∆ 2 lần lượt là : n1 = ( 1;0) ,n2 = ( m; −1)
uur uur
n1.n2
0
1. Góc giữa ∆1 và ∆ 2 bằng 450 khi và chỉ khi cos45 = cos uu
r uur
n1 . n2


m

=

2
⇔ 2m2 = m2 + 1 ⇔ m = ±1.
2

m2 + 1
Vậy m = ±1 là những giá trị cần tìm.
m ≠ 0
 2 

2. Hàm số có tiệm cận xiên ⇔ 
1 . Khi đó: A ( 0; −2) ,B ;0÷
m 
m ≠
3

1
1
2
OA.OB = 4 ⇔ . −2 .
= 4 ⇔ m = ±2
2
2
m
Vậy m = ±2 là những giá trị cần tìm.
Ta có: S∆A BC =

131


CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y =

4x + 1
.
3− x

1.Chứng minh rẳng tích các khoảng cách từ một điểm M tùy ý trên ( C )
đến hai đường tiệm cận của nó là một hằng số.
2. Tìm các điểm thuộc ( C ) sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến
hai đường tiệm cận của ( C ) nhỏ nhất.

2
2
Bài 2: Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y = mx + (3 − m)x + m − 2 ,m là tham số
x−1
. Khi ( C ) có tiệm cận xiên , gọi đường tiệm cận xiên này là ( d ) . Tìm m để

1. ( d ) đi qua điểm A(1; 4).

2. ( d ) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6.
3. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( d ) bằng

3.

(m + 1)x2 + (2m + 1)x + 2
Bài 3: Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y =
.
x+ 1
1. Tìm m để tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên ( C ) đến hai
đường tiệm cận của nó bằng 2.
2. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường tiệm cận của ( C ) luôn thuộc
parabol (P) : y =  − x2.

3. Khi ( C ) có tiệm cận xiên , tìm m để tiệm cận xiên tiếp xúc với đường
tròn (γ ) : x2 + y2 =

1
.
4

3x − 1
có đồ thị là (C).
x− 2
1. Tìm những điểm nằm trên (C) cách đều hai trục tọa độ
2. Tìm những điểm M nằm trên (C), sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai
trục tọa độ nhỏ nhất.
3. Tìm hai điểm A, B nằm về hai nhánh của (C) sao cho AB nhỏ nhất.
4. Tìm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
12
∆ : 3x − 4y + 1 = 0 bằng
.
5
Bài 5:
Bài 4: Cho hàm số y =

2x2 + 3mx − m + 2
1. Tìm giá trị tham số m sao cho y =
có tiệm cận xiên tạo
x−1
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.

132


m2 + 1
2. Tìm giá trị tham số m sao cho y = 2mx + m + 2 −
có tiệm cận xiên
x+1
1
cách gốc tọa độ O một khoảng bằng
.
17
2x + m
Bài 6: Cho hàm số y =
. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng,
mx − 1
tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một
hình chữ nhật có diện tích là 2.
Bài 7:
1
2
1.Cho đường cong ( C m ) : y = − x + 3 +
và đường thẳng ( dm ) :
2
mx − 1
y = mx − m + 2 . Tìm tham số m để ( C m ) có điểm cực đại, cực tiểu và tiệm
cận xiên của nó tạo với đường thẳng ( dm ) một góc 450 .

mx2 + x + 1
. Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu
x+1
và tiệm cận xiên, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số cùng với trục hoành tạo
thành một tam giác vuông có một góc 600 .
2. Cho hàm số y =

Bài 8:Tìm tham số m để đồ thị hàm số y =

mx2 + ( 3m + 1) x − m + 2

có tiệm
x+1
cận xiên là ( d ) và ( d ) tiếp xúc với đường tròn tâm I ( 1;2) , bán kính bằng
2.

133



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×