Tải bản đầy đủ

Bài toán giá trị riêng bậc hai

Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN
TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC

PHÍ THÀ NHO

BÀI TOÁN GIÁ TRÀ RIÊNG BŠC HAI

LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC

Thái Nguyên - 2017


Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN
TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC

PHÍ THÀ NHO

BÀI TOÁN GIÁ TRÀ RIÊNG BŠC HAI

Chuyên ngành: Toán ùng döng
Mã sè: 60 46 01 12

LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC

Ngưíi hưîng d¨n khoa håc:
TS. NGUY™N THANH SƠN

Thái Nguyên - 2017


3

Mửc lửc

M Ưu

1

Danh sỏch ký hiằu

2

1

Bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai

3

1.1

Bi toỏn giỏ tr riờng tiờu chuân . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Khỏi niằm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2


Mởt số thuêt toỏn tỡm giỏ tr riờng . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Bi toỏn giỏ tr riờng suy rởng . . . . . . . . . . . .

9

Bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1

Khỏi niằm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2

Tuyán tớnh húa bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai . . . . .

15

1.2.3

Bở ba Jordan cừa Q( ) . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.4

Mởt số tớnh chĐt cừa bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai . .

19

Mởt số ựng dửng khỏc cừa bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai . . .

21

1.2

1.3

1.3.1

2

Biu diạn nghiằm cừa phng trỡnh vi phõn tuyán
tớnh cĐp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.2

Bi toỏn hÔn chá bỡnh phng nhọ nhĐt . . . . . . .

22

1.3.3

Mởt vi vớ dử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

GiÊi số bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai

26

2.1

Phng phỏp số cho bi toỏn c . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.1

26

Phng phỏp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .


4
2.1.2

Phân tích Schur thüc suy rëng . . . . . . . . . . . .

28

2.2

Phương pháp sè cho bài toán thưa . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3

Ví dö sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

K¸t luªn

35

Tài li»u tham kh£o

36


1

M Ưu
Trong chng trỡnh Ôi hồc sinh viờn ch ủc giợi thiằu bi toỏn giỏ tr
riờng bêc mởt tiờu chuân. Trong khi ú, cú rĐt nhiãu bi toỏn, c biằt l trong
lnh vỹc c hồc, ủc qui vã bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai, ta cú th a vã bi
toỏn giỏ tr riờng suy rởng bêc mởt, nhng mt khỏc cú th nghiờn cựu ởc
lêp. Trong luên vn ny chỳng tụi s tỡm hiu v trỡnh by "Bi toỏn giỏ tr
riờng bêc hai". Ngoi phƯn m Ưu v kát luên, luên vn ny gỗm hai chng.
Chng 1: Bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai. Chng ny chỳng tụi trỡnh by
khỏi niằm vã bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai, tớnh chĐt v ựng dửng cừa bi toỏn
giỏ tr riờng bêc hai.
Chng 2: GiÊi số bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai. Chng ny trỡnh by mởt
vi phng phỏp giÊi bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai. Chỳng tụi chia bi toỏn
ra hai loÔi dỹa trờn kớch thợc bi toỏn v dÔng dỳ liằu. Bi toỏn c (thụng
thớng) v cù cừa bi toỏn nhọ. Cũn bi toỏn tha l bi toỏn cú kớch cù lợn
nhng dỳ liằu dÔng tha. Cn cự vo c im cừa tứng bi toỏn, phng
phỏp giÊi cng cú nhiãu khỏc biằt. Chỳng tụi trỡnh by phng phỏp Newton
v phng phỏp phõn tớch Schur cho bi toỏn c v phng phỏp dỹa trờn
khụng gian con Krylov cho bi toỏn tha. Ngoi ra cú thờm mởt vi vớ dử số
minh hồa cho cỏc phng phỏp trờn.
Luên vn ủc hon thnh tÔi Trớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc Thỏi
Nguyờn. Em muốn gỷi lới biát n sõu sc nhĐt tợi thƯy giỏo TS. Nguyạn
Thanh Sn ó giỳp ù, hợng dăn tên tỡnh v Ưy trỏch nhiằm em hon
thnh luên vn ny. Tụi cng xin ủc gỷi lới cÊm n chõn thnh tợi cỏc
thƯy giỏo, cụ giỏo cừa Trớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc Thỏi Nguyờn, gia
ỡnh


1
tụi v cỏc bÔn lợp cao hồc toỏn K9Y ó tÔo iãu kiằn thuên lủi cho tụi trong
quỏ trỡnh hồc cao hồc v thỹc hiằn bÊn luên vn ny. Trong quỏ trỡnh viát luên
vn khụng trỏnh khọi sai sút rĐt mong nhên ủc sỹ gúp ý chõn thnh cừa ởc
giÊ.

Thỏi Nguyờn, ngy 10 thỏng 11 nm 2017
Tỏc giÊ luên vn

Phớ Th Nho


2

Danh sỏch ký hiằu
Trong ton luên vn, ta dựng nhỳng ký hiằu vợi cỏc ý ngha xỏc nh trong
bÊng dợi õy:
A

ma trên A.

AT

chuyn v cừa ma trên thỹc A.

A = (A)T

liờn hủp phực cừa ma trên A.

A

liờn hủp cừa số phực cừa ma trên A.

ker(A)

nhõn cừa ma trên A.

span(A)

khụng gian con sinh bi cỏc cởt cừa ma trên A.

A > 0 (A 0) ma trên A xỏc nh dng (nỷa xỏc nh dng).
deg(P)

bêc cừa a thực P.

det(A)

nh thực cừa ma trên A.

rank(B)

hÔng cừa ma trên B.

QEP

bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai.

||x||

chuân clit.

P

gradien cừa P.

K j (x, A)

khụng gian con Krylov .


3

Chng 1

Bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai
Nởi dung chớnh cừa chng ny l nh ngha, tớnh chĐt v mởt số ựng
dửng cừa bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai. Tuy nhiờn, chỳng tụi cng dnh mởt
thới lủng ỏng k cho viằc trỡnh by bi toỏn giỏ tr riờng tiờu chuân v bi
toỏn giỏ tr riờng suy rởng. Lớ do chớnh l ta cú th chuyn mởt bi toỏn giỏ
tr riờng bêc hai vã bi toỏn giỏ tr riờng bêc mởt giÊi. Thờm vo ú, nhiãu
phng phỏp giÊi số bi toỏn bêc hai cng xuĐt phỏt tứ nhỳng ý tng tng
tỹ cho bi toỏn bêc mởt. Khi viát chng ny chỳng tụi ó tham khÊo cỏc ti
liằu [13].

1.1 Bi toỏn giỏ tr riờng tiờu chuân
1.1.1 Khỏi niằm
nh ngha 1.1.1. Cho mởt ma trên vuụng A Rnìn . Tỡm Ôi lủng vụ hợng
R v vộc t x Rn , x = 0, sao cho:
Ax = x

(1.1)

(A I)x = 0

(1.2)

hay

cú mởt nghiằm khụng tƯm thớng. Cho cp ( , x) l mởt nghiằm cừa (1.1)
hoc (1.2) tng ựng thỡ
(1) ủc gồi l mởt giỏ tr riờng cừa A;


(2) x ủc gồi l mởt vộc t riờng cừa A;
(3) ( , x) ủc gồi l cp riờng cừa A;
(4) t (A) cừa tĐt cÊ cỏc giỏ tr riờng cừa A ủc gồi l phờ cừa
A;
(5) TĐt cÊ cỏc vộc t riờng cú cựng giỏ tr riờng cựng vợi vộc t 0 tÔo
thnh mởt khụng gian con tuyán tớnh cừa R gồi l khụng gian riờng cừa
;
(6) Mởt nghiằm khụng tƯm thớng y cừa y A = y ủc gồi l vộc t
riờng trỏi tng ựng vợi . Mởt vộc t riờng trỏi cừa A l mởt vộc t
riờng phÊi cừa AT tng ựng vợi cỏc giỏ tr riờng , ta viát : AT y = y.

1.1.2 Mởt số thuêt toỏn tỡm giỏ tr riờng
C s trỹc giao cho khụng gian Krylov
Cho khụng gian con Krylov K j (x) = K j (x, A) ta cú th
lĐy
{x, Ax, ..., A( j1) x},
lm hằ sinh. Tuy nhiờn cỏc vect Ak x hởi tử án vect riờng tng ựng vợi giỏ
tr riờng cú modul lợn nhĐt cừa A nờn chỳng s sợm cú xu hợng phử thuởc
tuyán tớnh. Do ú quỏ trỡnh trỹc giao hoỏ Gram-Schmidt ủc ỏp dửng cho
cỏc vect trong c s ny tỡm mởt c s trỹc chuân cừa khụng gian Krylov.
GiÊ sỷ {q1 , q2 , ..., qi } l c s trỹc chuân cho K i (x), õy i j. Chỳng
ta xõy dỹng vect q j+1 bơng cỏch trỹc chuân húa A j x vợi q1 , q2 , ..., q
j
j

j



y j := A x qiiq A j
x,
i=1

v sau ú chuân húa cỏc vect kát quÊ


q j+1 = y j /||y j
||.


Ta ủc {q1 , q2 , ..., q j+1 } l mởt c s trỹc chuân cừa K

j+1

(x), gồi chung

l c s Arnoldi. Cỏc vect ủc gồi l vect Arnoldi tng ựng. Cỏc vect qi
cú th ủc tớnh nh sau
K

j+1 (x,

A) = ([x, Ax, ..., A j x]),

(q1 = x/||

x||),
= ([q1 , Aq1 , ..., A j q1 ])

(Aq1 = q1 + q2 , = 0),

= ([q1 , q1 + q2 , A( q1 + q2 ), ..., A j1 ( q1 + q2 )]),
= ([q1 , q2 , Aq2 , ..., A j1 q2 ]),
.
= ([q1 , q2 , ..., q j1 , Aq j ]).
Vỡ vêy, thay vỡ trỹc chuân hoỏ A j q1 vợi q1 , q2 , ..., q j , chỳng ta cú th
trỹc
chuân hoỏ Aq j vợi q1 , q2 , ..., q j cú ủc q

j+1 .

iãu ny cú lủi vã mt

tớnh toỏn vỡ s giỳp giÊm số phộp tớnh cƯn thỹc hiằn. Cỏc thnh phƯn r j cừa
Aq j
trỹc chuân vợi q1 , q2 , ..., q j ủc cho bi
j

r j = Aq j
(1.3)





qi (q
i Aqi ).

i=1

Náu r j = 0 thỡ thừ tửc dứng lÔi. iãu ú cú ngha l chỳng ta ó tỡm thĐy mởt
khụng gian con bĐt bián, cử th l span{q1 , q2 , ..., q j }. Náu ||r j || > 0 ta
cú ủc q j+1
q j+1 =

rj

.
||r j ||

Do q j+1 v r j cựng phng, ta cú
j+1
r j =q||r j || = q j+1 Aq j
(1.4)


Phng trỡnh cuối cựng ủc suy ra tứ viằc q j+1 trỹc chuân vợi tĐt cÊ cỏc


vectơ Arnoldi trưîc đó. Đ°t hij = qi∗ Aq j thì (1.3) - (1.4) có thº đưñc vi¸t
j+1

Aq j =



i=1

qi hij .

(1.5)


Tỡm mởt c s trỹc giao cừa khụng gian Krylov
Algorithm 1 Thuêt toỏn Arnoldi
Require: A R.
Ensure: Mởt c s trỹc giao cho K
x
1: Tớnh q1 =
kx2 k
2: for j = 1, . . . do
3:

r := Aq j

4:

for i = 1, . . . , j do

5:

hi j := qi r; r := r qi hi j ;

6:

end for

7:

h j+1, j := krk;

8:

if h j+1 j = 0 then

9:

x

return q1 , q2 , ..., q j , H R( j+1)ì j

10:

end if

11:

q j+1 =

r
hj+1 j

;

12:

end for

13:

return (q1 , q2 , ..., qk+1 ) , H R(k+1)ìk

14:

Thuêt toỏn Arnoldi dứng lÔi náu h j+1 j = 0.
nh ngha Qk = [q1 , q2 , ..., qk ] thỡ phng trỡnh (1.5) ủc viát nh sau
AQk = Qk Hk + [0, . . . 0, qk+1 hk+1k ] .

(1.6) Phng trỡnh (1.6) ủc gồi l quan hằ Arnoldi.
C s Lanczos
C s Lanczos ủc xõy dỹng giống nh c s Arnoldi nhng ỏp dửng
cho ma trên Hermite hoc ối xựng thỹc. Bơng cỏch nhõn trỏi (1.6) vợi Q
k
chỳng ta ủc
Q H =
Qk AQk = Q
k k k
Hk .


Náu A l Hermite thỡ Hk cng l Hermite v do ú l ba ớng chộo. Chỳng
ta ký hiằu ma trên ba ớng chộo ny l Tk . Do tớnh ối xựng phng trỡnh
(1.3) ủc n giÊn hoỏ nh sau
r j = Aq j qi (q Aq j ) q j1 Aq j ) = Aq j j q j j1 q j1 .
(1.7)
(q
| j{z }
| j1
{z }
j R

F
1
j

Tng tỹ nh trờn, chỳng ta nhõn tứ bờn trỏi (1.7) vợi q j+1 cú ủc


(Aq j j q j j1 q j1 )
||r j || = qj+1
r j = qj+1


= q j+1Aq j = j .
Tứ õy suy ra j R, do ú
j q j+1 = r j , j = ||r j ||.
(1.8) Tứ (1.7) - (1.8) ta nhên ủc
Aq j = j1 q j1 + j q j + j q j+1 .
Thu thêp cỏc phng trỡnh


1 1

1 2


AQk = Qk
2



|

vợi j = 1, ..., k chỳng ta cú



2


...
+ [0, ..., 0, q ].
3
k
k+1


. .. . . .

k1
k1 k
{z
}

(1.9)

Tk

Nh vêy, Tk Rkìk l ối xựng thỹc. ng thực (1.9) ủc gồi l quan
hằ Lanczos.
Thuêt toỏn Lanczos ủc trỡnh by trong Thuêt toỏn 2 ny cú ba vect q, r
v v ủc sỷ dửng.
Cho (i , si ) l mởt cp riờng cừa Tm , tực l
T s i = i s i .

(1.10)


Khi ú, AQm si = Qm Tm si = i Qm si . Vỡ vêy, giỏ tr riờng cừa Tm cng l giỏ
tr riờng cừa A. Cỏc vect riờng cừa A tng ựng vợi giỏ tr riờng i l
yi = Qm si .

(1.11)

Ta cú thuêt toỏn sau
Algorithm 2 Thuêt toỏn Lanczos c bÊn tỡm mởt c s trỹc giao cho khụng
gian Krylov K m (x).
nìn
1: Cho A F
l Hermitian. Thuêt toỏn ny s tỡm mối quan hằ Lanczos
(1.9), ngha l mởt c s trỹc giao Qm = [q1 , .., qm ] cho K
ú m l ch số nhọ nhĐt sao cho K

m

(x) = K

m+1

m

(x) trong

(x), v (cỏc yáu tố

khụng tƯm thớng cừa) cỏc ma trên ba ớng chộo Tm .
2:

q := x/||x||; Q1 = [q];

3:

r := Aq;

4:

1 := q r;

5:

r := r 1 q;

6:

1 := ||r||;

7:

for j = 2, 3, ... do

8:

v = q; q := r/ j1 ; Q j := [Q j1 , q];

9:

r := Aq j1 v;

10:

j := q r;

11:

r := r j q;

12:

j := ||r||;

13:

if j = 0 then

14:

j
15:
16:

trÊ lÔi (Q Fnì j ; 1 , ..., j ; 1 , ..., 1 );
end if
end for
Sau khi tớnh ủc cỏc c s trỹc giao V cừa mởt khụng gian con Krylov

cừa ma trên A, thay vỡ tớnh giỏ tr riờng cừa A, ta tớnh giỏ tr riờng cừa ma trên


V

T

AV cú cù bộ hn ma trên A ban Ưu. Ngới ta ó chựng minh ủc

rơng cỏc giỏ tr riờng cừa V T AV xĐp x rĐt tốt cỏc giỏ tr riờng cừa A theo
thự tỹ giÊm dƯn cừa mụ un. Cử th, xin xem trong ti liằu [1].

1.1.3 Bi toỏn giỏ tr riờng suy rởng
Chựm ma trên chớnh qui v dÔng chớnh tc Weierstrass
nh ngha 1.1.2. Ma trên A B, ú A, B l nhỳng ma trên cù m ì n,
ủc gồi l chựm ma trên hoc tờng quỏt hn l mởt ma trên bêc mởt,
trong ú l tham số.
nh ngha 1.1.3. Náu A, B l ma trên vuụng cù n ì n v det(A B)
khụng ỗng nhĐt bơng khụng, chựm A B ủc gồi l chớnh qui. Náu
khụng, nú ủc gồi l suy bián. Khi A B l chớnh qui, P( ) = det(A
B) ủc gồi l a thực c trng cừa A B. Cỏc giỏ tr riờng cừa A B
ủc xỏc nh bi
(1) Nghiằm cừa P( ) = 0
(2) (vợi bởi n deg(P)) náu deg(P) <
n
Vớ dử 1.1.4. Cho







1 0 0
2 0 0







A B =


0
0 1 0
0 0
0 0 0
0 0 1
Ta cú
P( ) = det(A
B)
= (1 2 )(1 0 )(0 )
= (2 1) .
1
Vêy cỏc giỏ tr riờng l: , 0, v .
2


Mằnh ã 1.1.5. Cho A B l chựm ma trên chớnh qui cù n ì n. Náu B
khụng suy bián, mồi giỏ tr riờng cừa A B l hỳu hÔn v trựng vợi cỏc giỏ
tr riờng cừa AB1 hoc B1 A. Náu B l suy bián, A B cú giỏ tr riờng
bởi
vợi n rank(B). Náu A khụng suy bián, giỏ tr riờng cừa A B trựng
nghch Êo cừa cỏc giỏ tr riờng cừa A1 B hoc BA1 , trong ú mởt giỏ tr
riờng khụng cừa A1 B tng ựng vợi mởt giỏ tr riờng cừa A B.
Chựng minh. Náu B khụng suy bián thỡ B1 tỗn tÔi v det(B), det(B1 ) ãu
khỏc khụng. Ta cú
det(AB1 I) = det((A B)B1 )
= det(A B)det(B1 ).
Theo ú
det(AB1 I) = 0 det(A B) = 0,
tực l têp giỏ tr riờng cừa A B v AB1 l trựng nhau. Khng nh cho
B1 A ủc chựng minh tng tỹ.
Trong trớng hủp B suy bián, giÊ sỷ rank(B) = k < n. Kớ hiằu phõn tớch
giỏ tr riờng kỡ d cừa B l
B = U V T
,
trong ú l ma trên chộo ch cú k phƯn tỷ ớng chộo chớnh khỏc khụng v
U , V l cỏc ma trên trỹc giao. Khi ú
det(A B) = det(A U V T )
= det(U (U T AV )V T )
= det(U )det(U T AV )det(V T )
= det(U T AV
),


do đành thùc cõa ma trªn trüc giao ch¿ có thº b¬ng ±1. Khi đó rõ ràng
det(U T AV − λ Σ) là mët đa thùc bªc k nên ∞ là giá trà riêng bëi n − k.


Cuối cựng, náu A khụng suy bián thỡ A1 tỗn tÔi. Ta cú ngay
det(A B) = det(A(I A1 B)) = det(A)det(I A1 B).
Náu giÊ sỷ = 0, t à =

1
,


1 1
det(A B) = det(A)det(I A
B)
à
= à det(A)det(A1 B à I).
1
l giỏ tr riờng cừa

A1 B. Khng nh cho BA1 ủc chựng minh tng tỹ.

Hay l giỏ tr riờng cừa A B khi v ch khi à =

nh ngha 1.1.6. Cho 0 l mởt giỏ tr riờng hỳu hÔn cừa chựm chớnh qui
A B. x = 0 l mởt vộc t riờng phÊi náu (A 0 B)x = 0 hoc tng
ng
Ax = 0 Bx. Náu 0 = l mởt giỏ tr riờng v Bx = 0 thỡ x l vộc t riờng
phÊi.
Mởt vộc t riờng trỏi cừa A B l mởt vộc t riờng phÊi cừa (AT BT ).
Vớ dử 1.1.7. Xột dao ởng tt dƯn cừa chĐt im trong hằ lũ xo. Cú hai chựm
ma trên phỏt sinh tỹ nhiờn tứ bi toỏn ny. Thự nhĐt, cú bi toỏn giỏ tr riờng
"
#
1

1
M B M K
Ax =
x = x.
I
0
Khi
"

B K
I

0

"

#
x=

#
M 0
0 I

x.

õy l mởt cụng thực tốt hn náu M l iãu kiằn rĐt xĐu, do ú M 1 B v
M 1 K l khú tớnh chớnh xỏc .
Thự hai, nú rĐt phờ bián xem xột cỏc trớng hủp B = 0 (khụng tt dƯn)
do ú phng trỡnh vi phõn ban Ưu l


Mx¨(t ) + Kx(t ) =
0.


Cỏc cỏch giÊi cừa dÔng
xi (t ) = eit xi (0),
ta cú
i2e it Mxi (0) + eit Kxi (0) = 0,
hoc
i 2Mxi (0) + Kxi (0) = 0.
Núi cỏch khỏc, i 2 l mởt giỏ tr riờng v xi (0) l vộc t riờng phÊi cừa chựm
K M. Khi ta giÊ thiát M khụng suy bián, õy cng l mởt giỏ tr riờng v
vộc t riờng phÊi cừa M 1 K. nh ngha tiáp theo cho thĐy lm thá no
tờng quỏt khỏi niằm vã sỹ tng ỗng vợi ma trên chựm.
nh ngha 1.1.8. Cho PL v PR l ma trên khụng suy bián. Khi ú, chựm
A B v PL APR PL BPR ủc gồi l tng
ng.
Nhên xột 1.1.9. õy l mởt m rởng khỏi niằm ma trên tng ng.
Mằnh ã 1.1.10. Chựm ma trên chớnh qui tng ng A B v PL APR
PL BPR cú cựng giỏ tr riờng, x l mởt vộc t riờng phÊi cừa A B
1
náu v ch náu
R P x l mởt vộc t riờng phÊi cừa PL APR PL BPR , y l

vộc t riờng trỏi cừa A B náu v chL náu (PT )1 y l mởt vộc t riờng
trỏi cừa
PL APR PL BPR .
Chựng minh. Mằnh ã ủc chựng minh nhớ ba lêp luên sau õy
det(A B) = 0 náu v ch náu det(PL (A B))PR =
0.
(A B)x = 0 náu v ch náu PL (A B)PR P1 x = 0.
T T
yT (A B) = 0 náu v ch náu (P
y) PL (A B)PR = 0.
L

nh lớ sau s khỏi quỏt cụng thực vã dÔng chớnh tc Jordan cho ma trên
n. ối vợi chựm ma trên chớnh qui, nú ủc gồi l dÔng chớnh tc Weierstrass.


nh lớ 1.1.11. Cho A B l chớnh qui, khi ú tỗn tÔi Pm ma trên khÊ
nghch sao cho
PL (A B)PR = diag(Jn1 (1 ) In1 , ..., Jnk (nk ) Ink , Nm1 , ..., Nmr
).
é ú, Jni i l mởt khối Jordan cù ni ì ni vợi giỏ tr riờng i ,


i 1



... ..



Jni (i ) =
. . . ,

.
1

..
i
.
v Nmi l mởt khối Jordan

1



Nmi =



cho = vợi bởi mi



... ..

= I
mi
.
..
.

Jmi (0).
..
1
.

1.2 Bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai
1.2.1 Khỏi niằm
nh ngha 1.2.1. Cho cỏc ma trên thỹc vuụng M, C, K cù n ì n. Kớ
hiằu
Q( ) = M 2 + C +
K.
v gồi ú l mởt - ma trên bêc hai (hay vn tt l - ma trên). Bi toỏn giỏ
tr riờng bêc hai l bi toỏn tỡm số C sao cho cú vộc t khỏc khụng x
Cn cho
(M 2 + C + K)x = 0.
(1.12) Ngoi ra, ta cng xột bi toỏn tỡm y, sao cho


y∗ (Mλ 2 + Cλ + K) = 0,
(1.13)


trong ú
riờng



l kớ hiằu liờn hủp phực. Cỏc vộc t x, y lƯn lủt l cỏc vộc t

phÊi v vộc t riờng trỏi tng ựng vợi cỏc giỏ tr riờng . Bi toỏn giỏ tr
riờng bêc hai ủc gồi l ối xựng náu M, C, K l cỏc ma trên ối xựng.
t m(x) = x Mx, c(x) = xCx, k(x) = x Kx vợi x Cn khỏc khụng.
Náu bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai ối xựng thỡ õy l hm cú giỏ tr thỹc.
Cng giống nh bi toỏn giỏ tr riờng tiờu chuân, bởi Ôi số cừa mởt giỏ
tr riờng 0 l bêc cừa nghiằm 0 cừa a thực det(Q( )). Bởi hỡnh hồc cừa
cừa 0 l số chiãu cừa hÔt nhõn ker(Q(0 )). Giỏ tr riờng ủc gồi l n
náu = = 1 v ủc gồi l nỷa n náu = . Giỏ tr riờng ủc gồi
l khuyát náu nú khụng phÊi nỷa n.
Vộc t x1 ủc gồi l mởt vộc t riờng suy rởng tng ựng vợi giỏ tr riờng
0 náu x1 l nghiằm cừa phng trỡnh
Q(0 )x1 = Q0 (0 )x0 ,

(1.14)

vợi x0 l mởt vộc t riờng ựng vợi 0 , Q0 (0 ) l Ôo hm cừa Q theo tứng phƯn
tÔi 0 .
Ta cú th ch ra mởt giỏ tr riờng nỷa n thỡ s khụng cú vộc t riờng suy
rởng i kốm. Ta cng biát rơng náu giỏ tr riờng khuyát thỡ số vộc t riờng
tng ựng s khụng lĐp ừ bởi Ôi số cừa nú. Khỏi niằm vộc t riờng suy rởng
ủc nh ngha nh sau.
nh ngha 1.2.2. Cỏc vộc t x0 , x1 , ..., xm1 ủc gồi l mởt xớch Jordan
cú ở di m cừa Q( ) tng ựng giỏ tr riờng 0 náu m ng thực sau ủc
thọa món
Q(0 )x0 =0,
Q(0 )x1 + Q0 (0 )x0 =0,
Q(0 )x2 + Q0 (0 )x1 +

1 00
Q (0 )x0 =0,
2
ãããããã


Q(0 )xm1 + Q0 (0 )xm2 +

1 00
Q (0 )xm3 =0,
2

vợi x0 = 0 l mởt vộc t riờng tng ựng vợi 0 . Khi ú, cỏc vộc t
x1 , x1 , ..., xm1 ,
ủc gồi l cỏc vộc t riờng suy rởng.
Nhên xột 1.2.3.

Cú th coi vộc t riờng x0 l mởt xớch Jordan cú ở di

1. Vỡ thá khỏi niằm ny m rởng khỏi niằm vộc t riờng thụng thớng.
Chỳ ý 1.2.4. Cỏc vộc t riờng suy rởng khụng nhĐt thiát ởc lêp tuyán tớnh.
Núi riờng, cú th cú vi vộc t riờng suy rởng ựng 0 bơng 0.
nh ngha 1.2.5.

Bi toỏn ối xựng (1.12) QEP ủc gồi l hyperbolic

náu
c(x)2 > 4m(x)k(x), x = 0, x
Cn
Bi toỏn QEP ủc gồi l tỹa hyperbolic náu
c(x)2 > 4m(x)k(x),
vợi mồi x l vộc t riờng cừa Q( ).
Bi toỏn QEP ủc gồi l elliptic náu
c(x)2 < 4m(x)k(x),
vợi mồi giỏ tr riờng cừa Q( ).

1.2.2 Tuyán tớnh húa bi toỏn giỏ tr riờng bêc hai
nh ngha 1.2.6. Cho - ma trên bêc hai cù n ì n
Q( ) = M 2 + C + K.

(1.15)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×