Tải bản đầy đủ

TTTH KHOI a LAN 1 2014 THU SUC TRUOC KI THI

TÔI SẼ ĐỖ ĐẠI HỌC
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 - Lần 1
Môn: TOÁN; khối: A - A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: y = x – 3x + 2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua A(2;4) và có hệ số góc là k. Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C
sao cho tam giác OBC cân tại O (với O là gốc tọa độ).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: 2sin(2x + ) + 7sinx + sin(x + ) – 4 = 0.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình: x(4x + 1) + (x – 3) = 0. (x  R).
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân: I = dx.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, SA = AD = 2a. Biết rằng
hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P = + + .
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)

A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y + 2x – 4y – 20 = 0 và
điểm A(5; –6). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm. Tìm tọa độ tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 8a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;0), phương trình mặt phẳng (P):
2x – 3y + z – 1 = 0 và đường thẳng d: = = .Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với (P) và cắt
d tại B sao cho AB = .
Câu 9a (1,0 điểm). Tìm số phức z biết |z – 1| = 1 và số phức (1 + i)( – 1) có phần ảo bằng 1.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có
chu vi hình chữ nhật cơ sở là 12(2 + ), có đỉnh B thuộc tia Oy và hai tiêu điểm của (E) lập thành một tam
giác đều.
Câu 8b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;0;0) và M(6;3;1). Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua A và M sao cho (P) cắt ba trục Oy, Oz lần lượt tại B, C và thể tích tứ diện OABC
bằng 4.
Câu 9b (1,0 điểm). Gọi z, z là các nghiệm phức của phương trình z – 2z + 4 = 0. Hãy viết dưới dạng lượng
giác các số phức z, z và tính giá trị của biểu thức A = z + z.
--------- HẾT--------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:................................................................................; Số báo danh:.......................................

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 - NĂM 2014 - KHỐI A
Câu
1
( 2,0
điểm)

Đáp án
Cho hàm số y = x - 3x + 2
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên: y' = 3x - 3; y' = 0  x - 1 = 0 

Điểm
0.25


2
(1,0
điểm)



Giới hạn: y = + và y = - 
Hàm số đồng biến trên khoảng (-;-1) và (1;+)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Hàm số đạt cực đại tại (-1;4) và đạt cực tiểu tại (1;0)
Bảng biến thiên:

0.25

Đồ thị:

0.25

0.25

b) Gọi d là đường thẳng đi qua A(2;4) và có hệ số góc là k. Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,
B, C sao cho tam giác OBC cân tại O (với O là gốc tọa độ).
Đường thẳng d qua A(2;4) vói hệ số góc k có phương trình là: y = kx - 2k + 4
0.25
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: x - 3x + 2 = kx - 2k + 4
 (x - 2)(x + 2x - k + 1) = 0
(1)
 x = 2 hoặc x + 2x - k + 1 = 0 (g(x) = x + 2x - k + 1)
0.25
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt  phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
 phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác
   . (2)
Mặt khác, để O, B, C lập thành tam giác  O, B, C không thẳng hàng  Od  k ≠ 2 (3)
Đặt . Với x, x là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0
0.25
Theo hệ thức Vi-et của phương trình g(x) = 0 ta có
OBC cân tại O  OB = OC  x + y = x + y  x - x = y - y (4)
Mặt khác y - y = (kx - 2k + 4) - (kx - 2k + 4) = k(x - x)
0.25
Và y + y = kx - 2k + 4 + kx - 2k + 4 = k(x + x) - 4k + 8 = - 6k + 8
Do đó (4)  (x - x)(x + x) = (y - y)(y + y)
 -2(x - x) = k(x - x)(8 - 6k)
 2 = k(8 - 6k) (do x ≠ x)
 6k - 8k + 2 = 0  k = 1 hay k = (nhận vì thỏa (2) và (3))
Vậy giá trị k thỏa yêu cầu bài toán là k = 1 hay k =
Giải phương trình: 2sin(2x + ) + 7sinx + sin(x + ) - 4 = 0. (*)
Ta có: sin(2x + ) = sin2xcos + cos2x.sin = (sin2x + cos2x)
0.25
Và sin(x + ) = sinx.cos + cosx.sin = - cosx
0.25
Do đó (*)  (sin2x + cos2x) + 7 sinx - cosx - 4 = 0
 2sinxcosx + cos2x + 7sinx - cosx - 4 = 0
 2sinxcosx - cosx + 1 - 2sinx + 7sinx - 4 = 0
 (2sinxcosx - cosx) - (2sinx - 7sinx + 3) = 0
 cosx(2sinx - 1) - 2(sinx - )(sinx - 3) = 0
 (2sinx - 1)cosx - (2sinx - 1)(sinx - 3) = 0
 (2sinx - 1)(cosx - sinx + 3) = 0

0.25
Với (1), ta có sinx = = sin  (k  Z)

2


Với (2), ta có sinx - cosx = 3 (vô nghiệm do 1 + 1 < 3)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là x = + k2 hay (k  Z)
3
(1,0
điểm)

Giải phương trình: x(4x + 1) + (x - 3) = 0. (x  R).
5
■ Điều kiện: x  .
2

0.25

Phương trình đã cho tương đương với 2x(4x + 1) = 2(3 - x)
 2x(4x + 1) = [(5 - 2x) + 1] (1)
■ Đặt u = 2x, v = 5  2x (v  0).
Phương trình (*) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 + 1) (2)
■ Xét hàm số f(t) = t(t2 + 1)  f /(t) = 3t2 + 1 > 0,  t.
Do đó f(t) đồng biến trên R, nên (1)  f(u) = f(v)  u = v
Từ đó, PT đã cho  2x =  

4
(1,0
điểm)

5
(1,0
điểm)

0.25

0.25
0.25

 x = (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x =
Tính tích phân: I = dx
I = dx = dx =2 + dx
0.25
I = 2(x) + dx = 2 + I
0.25
0.25
Với I= dx , đặt t = xe + 1  dt = x(e + 1)dx
Đổi cận x = 0  t = 1, x = 1 t = e + 1
Vậy I = = lnt= ln(e + 1)
Do đó I = 2 + I = 2 + ln(e + 1)
0.25
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, SA = AD = 2a. Biết rằng hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
0.25
■ Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD. Vì hai
mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và (SAC)  (SBD) =
SO, nên ta có SO  (ABCD)

■ AC = AB + BC = 5a  AC = a  OA =  SO = =
Từ đó V = .SO.S = . a.2a = (đvtt)
■ Gọi M là trung điểm SB, Ta có OM // SD  (ACM) // SD. Do đó:
d(AC,SD) = d(SD,(ACM)) = d(D;(ACM)) =
Ta có V = V = V = . . V =
■ Ta có OA = OB = OC =  SB = SC = SA = 2a. SBC đều, do đó MC = = a
Trong SAB có AM = - =  AM = .
Từ đó cosAMC = =  sinAMC = =
Suy ra S = MA.MC.sinAMC = ..a. =
Vậy d(AC,SD) = = =
6
(1,0
điểm)

0.25

0.25
0.25

0.25

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P = + + .
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (y + z)  (1 + 1)(y + z) = 2(1- x)
( đẳng thức xảy ra khi y = z). Do đó  (1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương 2x, 1- x, 1 - x ta được:
=   x(1 - x) 
    x (2) ( đẳng thức xảy ra khi 2x = 1 - x  x = )

0.25
0.25

3


7.a
(1,0
điểm)

0.25
Từ (1), (2) suy ra  x (3)
Tương tự ta có  y (4) và  z (5)
0.25
Từ (3), (4), (5) suy ra P = + +  (x + y + z) =
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = . Vậy minP = khi và chỉ khi x = y = z =
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phương trình đường tròn (C): x + y + 2x - 4y - 20 = 0 và điểm A(5;
-6). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm. Tìm tọa độ tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đường tròn (C) có tâm I(-1;2) và bán kính R = 5.
0.25
Suy ra IA = 10.

Gọi H là giao điểm của BC và IA, ta có: IH.IA = IB
 IH = =  =  H(; 0)
 cosAIB =  AIB = 60 nên ABC là tam giác đều
 tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm.

0.25
0.25
Gọi G là trọng tâm ABC

8.a
(1,0
điểm)

9.a
(1,0
điểm)

0.25

 =  G(2; -2)
Vậy tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là G(2; -2)
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;0), mặt phẳng (P): 2x - 3y + z - 1 = 0 và đường thẳng d:
= = .Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với (P) và cắt d tại B sao cho AB = .
0.25
Do B  d  B(1 - b, - 1 - b, 2 + 2b) (b  R)
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến = (2;-3;1). Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
0.25
AB =  AB = 2  t + (t + 2) + (2t + 2) = 2
 6t + 12t + 6 = 0  t = - 1  B(2;0;0)
0.25
 ta chọn = ; = (1;1;1)
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là (Q): x + y + z - 2 = 0
0.25

Tìm số phức z biết |z - 1| = 1 và số phức (1 + i)( - 1) có phần ảo bằng 1.
Gọi z = x + yi (x,y  R, i = -1) và = x - yi
Ta có |z - 1| = 1  (x - 1) + y = 1 (1)
Ta có (1 + i)( - 1) = (x + y - 1) + (x - y - 1)i
Vì (1 + i)( - 1) có phần ảo bằng 1 nên x - y - 1 = 1  x - 1 = y + 1 (2)
Thay (2) vào (1) ta được (y + 1) + y = 1  2y + 2y = 0 

0.25
0.25
0.25

4


7.b
(1,0
điểm)

8.b
(1,0
điểm)

9.b
(1,0
điểm)

0.25
Với y = 0  x = 2  z = 2
Với y = -1  x = 1  z = 1 - i
Vậy có hai số phức z là z = 2 và z = 1 - i
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có chu vi hình
chữ nhật cơ sở là 12(2 + ), có đỉnh B thuộc tia Oy và hai tiêu điểm của (E) lập thành một tam giác đều.
0.25
Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng
(E): + = 1
và FF = 2c độ dài tiêu cự, (a = b + c (1))
Giả sử MNPQ là hình chữ nhật cơ sở của (E)
 2(2a + 2b) = 12(2 + )
 a + b = 3(2 + ) (2)

0.25
Giả sử đỉnh B của (E) lập với 2 tiêu điểm F, F thành BFF đều
 OB =  b = c (3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: (I) (b > 0)
0.25
Giải hệ (I) ta được
Vậy phương trình elip thỏa yêu cầu bài toán là: (E): + = 1
0.25
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;0;0) và M(6;3;1). Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua A và M sao cho (P) cắt ba trục Oy, Oz lần lượt tại B, C và thể tích tứ diện OABC bằng 4.
Đặt B(0;b;0) và C(0;0;c) lần lượt là giao điểm giữa mặt phẳng (P) với Oy, Oz.
0.25
Do (P) qua A(4;0;0)  (P) là mặt phẳng chắn ba trục tọa độ
 (P): + + = 1 (*) (b, c ≠ 0)
Mặt phẳng (P) qua (6;3;1)  + + = 1  + =  3c + b = (1)
0.25
V = ; . = 4  |bc| = 6 
0.25
Với bc = 6 3c + b = -3  b = - 3c - 3 = -3(c + 1)
Do đó (c + 1)c = -2  c + c + 2 = 0 (vô nghiệm)
0.25
Với bc = -6 3c + b = 3  b = 3 - 3c = 3(1 - c)
Do đó (1 - c)c = -2  c - c - 2 = 0 
Vậy có hai phương trình mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu bài toán là:
(P): + + = 1 hay (P): + + = 1

Gọi z, z là các nghiệm phức của phương trình z - 2z + 4 = 0. Viết dưới dạng lượng giác các số phức
z, z và tính giá trị của biểu thức A = z + z.
Ta có ' = 3 - 4 = -1 = i. Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phức là z = - i và z = + i
Ta có:
z = - i = 2( - i) = 2[cos( ) + isin()]
z = + i = 2( + i) = 2[cos() + isin()]
z = 2[cos(- ) + isin(-)]
z = 2(cos + isin)
A= z+ z= 2
Thí sinh có cách giải khác đáp án nhưng đúng đáp số thì vẫn được điểm tối đa.

0.25
0.25
0.25
0.25

5



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×