WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
* Để tìm họ nguyên hàm của một hàm số y=f(x) , cũng có nghĩa là ta đi tính một tích
phân bất định : I = ∫ f ( x)dx . Ta có ba phương pháp :
- Phương pháp phân tích .
- Phương pháp đổi biến số .
- Phương pháp tích phân từng phần
Do đó điều quan trọng là f(x) có dạng như thế nào để ta ngiên cứu có thể phân tích chúng
sao cho có thể sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm được nguyên hàm của chúng .
Hoặc sử dụng hai phương pháp còn lại
- Sau đây là một số gợi ý giúp các em có thể nhận biết dạng của f(x) mà có phương pháp
phân tích cụ thể , từ đó tìm được nguyên hàm của chúng .
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
∫ dx = x + C
∫
x α dx =
1
x α +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1
dx
∫ x = ln x + C ( x ≠ 0)
∫ e dx = e + C
x
x
ax
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a
cos xdx = sin x + C
∫
∫
∫ sin xdx = − cos x + C
1
∫ cos x dx = tan x + C
a x dx =
2
1
∫ sin
2
x
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
dx = − cot x + C
∫ ( ax + b ) dx = a ( ax + b ) + C
∫ ( ax + b)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
α
dx =
1 ( ax + b )
a α +1
α +1
+ C ( α ≠ 1)
dx
1
= ln ax + b + C ( x ≠ 0 )
ax + b a
1
e ax + b dx = e ax +b + C
a
1
cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C
a
1
sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C
a
1
1
dx = tan ( ax + b ) + C
2
a
cos ( ax + b )
1
1
dx = − cot ( ax + b ) + C
2
a
sin ( ax + b )
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
∫ du = u + C
∫
u α du =
u α +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1
du
∫ u = ln u + C ( u ≠ 0)
∫ e du = e + C
u
u
au
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a
cos udu = sin u + C
∫
∫
∫ sin udu = − cos u + C
1
∫ cos u du = tan u + C
a u dx =
2
1
∫ sin
2
u
du = − cot u + C
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH
I.TRƯỜNG HỢP : f(x) LÀ MỘT HÀM ĐA THỨC
⇔ f ( x) = an x n + an−1 x n −1 + ..... + a0
A.CÁCH TÌM
1. Sử dụng công thức tìm nguyên hàm của hàm số : f(x)= xα ⇒ F ( x) =
2. Do đó nguyên hàm của f(x) là : ⇔ F ( x ) =
1
.xα +1 + C
α +1
an n +1 an −1 n
x +
x + ..... + a0 x + C
n +1
n
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 1
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA .
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm các hàm số sau
4
3
3 2
1. ∫ x + 4 x + x + x − 2 ÷dx
4
3
2
2. ∫ mx − 3x + x − 1 + 3 + − 7m ÷dx
x
2x
1
3.
∫ ( me
x
4m
+ 2a x + log 3 x − 2sin 2 x + 3cos 4 x ) dx
2
5
x
4. ∫ + 3 − t anx+3x-2 ÷dx
x
GIẢI
1.
2.
3.
4.
1 5 4 4 3 53 1 2
1 4
3
3 2
x
+
4
x
+
x
+
x
−
2
dx
=
x + x + x + .x − 2 x + C
÷
∫ 4
20
3
5
2
3
4m 5
m 4
2
4m
5
3
2
3
2 −
mx
−
3
x
+
x
−
1
+
+
−
7
m
dx
=
x
−
x
+
x
−
1
−
− 7mx + C
(
)
÷
3
2
∫
x
2x
4
3
2.x 2.x 2
x
1
3
x
x
x 2a
∫ ( me + 2a + log3 x − 2sin 2 x + 3cos 4 x ) dx = me ln a + ln 3 ( x ln x − x ) + cos2x+ 4 sin 4 x + C
3x
3
2
x
+
3
−
t
anx+3x-2
dx
=
4
x
+
+ ln cosx + x 2 − 2 x + C
÷
∫ x
ln 3
2
P ( x)
II. TRƯỜNG HỢP f(x)LÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ : fx)= Q( x)
* Trường hợp : Bậc của P(x) cao hơn hoặc bằng bậc của Q(x) , thì bằng phép chia đa thức
ta lấy P(x) chia cho Q(x) được một đa thức A(x) và một số dư R(x) mà bậc của R(x) thấp
hơn bậc của Q(x). Như vậy tích phân của A(x) ta tính được ngay ( như đã trình bày ở
trên). Do vậy ta chỉ ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của f(x) trong trường hợp bậc tử thấp
R( x)
hơn bậc của mẫu , nghĩa là f(x) có dạng : f ( x) = Q( x) .
Trước hết ta ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của f(x) có một số dạng đặc biệt .
1. Hàm số f(x) có dạng : I = ∫
1
dx
ax + bx + c
2
( a ≠ 0)
2
b
∆
* Ta phân tích : ax + bx + c = a x + ÷ − 2 , mà ta đã biết ở lớp 10 .
2a 4a
2
* Xét ba trường hợp của ∆ . Ta sẽ có ba dạng của f(x) và ta cũng có ba cách tìm nguyên
hàm gợi ý sau :
b
−∆
2
b
∆ u = x + ; k =
2a
2a
- Nếu : ∆ < 0 → −∆ > 0ax + bx + c = a x + ÷ − 2 =
2a 4a
2
2
a ( u + k )
2
Trang 2
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
2
b
∆
2
- Nếu : ∆ = 0 ⇒ a x + ÷ − 2 = au
2a 4a
b
u = x + ÷
2a
2
b
∆
- Nếu : ∆ > 0 ⇒ a x + ÷ − 2 = a ( x − x1 ) ( x − x2 )
2a 4a
−b − ∆
−b + ∆
; x2 =
x1 =
÷
2a
2a ÷
Do vậy tích phân trên có thể giải như sau :
- Trường hợp : ∆ < 0 , thì I = ∫
* Nếu đặt :
1
1
1
dx = ∫ 2
du.
ax + bx + c
a u + k2
2
1
2
1
1
1
u = tan t → du = cos 2t dt = ( 1 + tan t ) dt
⇒I= ∫ 2
du. =
2
a u +k
a.k 2
u 2 + k 2 = k 2 tan 2 t + k 2 = k 2 ( 1 + tan 2 t )
1
∫ ( 1 + tan t ) . ( 1 + tan t ) dt
2
2
1
t
dt = 2 + C . ( với : u = tan t → t = arctanu ).
2 ∫
a.k
ak
1
1
1
1
I =∫ 2
dx = ∫ 2 du = − = −
+C
b
ax + bx + c
u
u
- Trường hợp : ∆ =0 thì :
.
x+ ÷
2a
1
1
1
1
I =∫ 2
dx = ∫
dx = −
+C
2
b
ax + bx + c
a
b
Hay :
a x − ÷
x− ÷
2a
2
a
- Trường hợp : ∆ > 0. thì :
1
1
1
1
1
1
I =∫ 2
dx = ∫
dx =
−
÷dx
∫
ax + bx + c
a ( x − x1 ) ( x − x2 )
a ( x2 − x1 ) x − x2 x − x1
=
1
1
x − x2
ln x − x1 − ln x − x2 ) =
ln
+C .
(
a ( x2 − x1 )
a ( x2 − x1 )
x − x1
Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau :
a.
∫x
2
1
dx
+ x +1
b.
∫x
2
1
dx
+ 2x + 3
GIẢI
1
1
dx = ∫
dx
2
1
3
3
2
+
x
+
1
x − ÷=
tan t → dx =
1 + tan 2 t ) dt .
1
3
a.
.
Đặt
:
(
x
−
+
÷
4 2
2
÷
4 2
1
1
3
3
⇒∫ 2
dx = ∫
. ( 1 + tan 2 t ) dt = ∫ dt = t + C
3
3
.
x + x +1
4
4
1 + tan 2 t ) +
(
4
4
∫x
2
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 3
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
2 3
÷
Với : x − ÷ = tan t ⇒ t = arctan
÷
4 2
4x-1
1
3
1
b. ∫ x 2 + 2 x + 3
⇒∫
dx = ∫
1
( x + 1)
2
+
( )
2
2
dx.
2
Đặt : x + 1 = 2 tan t ⇒ dx = 2 ( 1 + tan t ) dt .
1
1
1
1
dx = ∫
. ( 1 + tan 2 t ) dt = ∫ dt = t + C
2
x + 2x + 3
2
2
2 ( tan t + 1)
2
Với : x + 1 = 2 tan t ⇒ tan t =
x +1
x +1
⇔ t = arctan
÷
2
2
Ví dụ 2 . Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
a.
∫x
2
1
dx
− 4x + 4
b.
∫ 9x
2
1
dx
− 12 x + 4
GIẢI
1
1
1
a. ∫ x 2 − 4 x + 4 dx = ∫ x − 2 2 dx = − x − 2 + C
(
)
∫
b. 9 x
2
1
1
1
1
1
1
1
dx = ∫
dx = ∫
dx =
=
+C
2
2
2 9x − 6
− 12 x + 4
9
9
2
2
9 x − ÷
x− ÷
x− ÷
3
3
3
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm các hàm số sau
a. ∫
1
dx
x − 3x + 2
b.
2
∫ 4x
2
1
dx
− 3x − 1
GIẢI
1
1
1
1
x−2
1
a. ∫ x 2 − 3x + 2 dx = 2 − 1 ∫ x − 1 x − 2 dx = ∫ x − 2 dx − ∫ x − 1 dx = ln x − 2 − ln x − 1 = ln x − 1 + C
(
)(
)
1
1
1
1
1 1
1
dx = ∫
dx − ∫
dx =
b. ∫ 4 x 2 − 3x − 1 dx = 4 . 1 ∫ 1
1
3 x −1
x+
1 − ÷ x + ÷( x − 1)
4
4
4
1
1 1
x −1
1 4 ( x − 1)
ln x − 1 − ln x + = ln
+ C = ln
+C
3
4 3 x+ 1
3
4x +1
4
2. Hàm số f(x) có dạng : f ( x) =
Ax+B
ax + bx + c
2
* Ta có hai cách tìm .
2
-Cách một : Biến đổi tử số thành dạng : Ax+B=d(ax + bx + c) + D = ( 2ax + b ) dx + D
Trang 4
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
d ( ax 2 + bx + c )
( 2ax + b ) dx = ln ax 2 + bx + c + C
Ax+B
+) Nếu D=0 thì : ∫ 2
dx = ∫
=∫ 2
2
ax + bx + c
ax + bx + c
ax + bx + c
2
d ( ax + bx + c )
( 2ax + b ) dx + D
1
+)Nếu D ≠ 0 thì : ∫ 2Ax+B dx = ∫
=∫ 2
dx
2
2
∫
ax + bx + c
ax + bx + c
ax + bx + c
ax + bx + c
1
= ln ax 2 + bx + c + D ∫ 2
dx + C
ax + bx + c
1
dx , đã biết cách tìm ở ý 1.
Trong đó : ∫ 2
ax + bx + c
-Cách hai :( Chỉ áp dụng cho trường hợp mẫu số có hai nghiện thực x1 < x2 )
+) Ta biến đổi :
Ax+B
Ax+B
1 M
N
=
=
+
÷
ax + bx + c a ( x-x1 ) ( x − x2 ) a x − x1 x − x2
2
( *)
+) Sau đó quy đồng mẫu số vế phải thành :
1 M ( x − x2 ) + N ( x − x1 )
a
( x − x1 ) ( x − x2 )
1 ( M + N ) x − ( Mx2 + Nx1 )
÷
÷= a
( x − x1 ) ( x − x2 )
M + N = A
+) Đồng nhất hệ số hai tử số , ta có hệ : − Mx + Nx = C . Từ đó suy ra M,N
(
2
1)
+) Thay M,N vào (*) ta tính được tích phân :
∫ ax
M
Ax+B
1 M
N
N
dx = ∫
dx + ∫
dx =
ln x − x1 + ln x − x2 + C
+ bx + c
a x − x1
x − x2 a
a
2
* Chú ý : Ta có thể tìm M,N bằng cách khác là thay lần lượt hai nghiệm của mấu
số vào hai tử số , ta được hai phương trình .Từ hai phương trình ta suy ra M,N . Các bước
tiếp theo lại làm như trên .
CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm các hàm số sau
a.
∫x
2( x + 1)
dx
+ 2x − 3
b.
2
2 ( x − 2 ) dx
2
− 4x + 4
∫x
GIẢI
d ( x + 2 x − 3)
2( x + 1)
2x + 2
dx = ∫ 2
dx = ∫
= ln x 2 + 2 x − 3 + C
2
+ 2x + 3
x + 2x − 3
x + 2x − 3
2
d ( x − 4 x + 3)
2 x − 2 ) dx
2 x − 4dx
b. ∫ (2
=∫ 2
=∫
= ln x 2 − 4 x + 3 + C
2
x − 4x + 3
x − 4x + 3
x − 4x + 3
2
a.
∫x
2
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm các hàm số sau
a.
∫x
2
3x + 2
dx
+ 2x − 3
b.
∫x
2
2x − 3
dx
+ 4x + 4
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 5
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
GIẢI
a.Cách 1.
E ( 2 x + 2) + D 2E + D + 2E
3x + 2
=
= 2
. Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ phương
x + 2x − 3
x2 − 2 x − 3
x − 2x + 3
3
3
( 2x + 2)
2
E
=
3
E
=
3x + 2
1
2
trình :
.
⇔
⇒
=
− 2
2
2
2
x
−
2
x
−
3
x
−
2
x
−
3
x
−
2
x
+
3
D + 2E = 2
D = −1
Ta có :
2
2
3x + 2
3 d ( x + 2 x − 3)
1
3
Vậy : ∫ 2
dx = ∫
+∫ 2
dx = ln x 2 + 2 x − 3 + J ( 1)
2
x + 2x − 3
2
x + 2x − 3
x + 2x − 3
2
1
1 1
1
1
x −1
1
dx = ∫
dx − ∫
dx ÷ = ln x − 1 − ln x + 3 = ln
+C
Tính :J= ∫ 2
x + 2x − 3
4 x −1
x+3 4
4 x+3
3x + 2
3
1
x −1
dx = ln x 2 + 2 x − 3 + ln
+C
Do đó : ∫ 2
x + 2x − 3
2
4 x+3
-Cách 2.
Ta có :
3x + 2
3x + 2
A
B
+) x 2 + 2 x − 3 = x − 1 x + 3 = x − 1 + x + 3 =
(
)(
)
A ( x + 3) + B ( x − 1)
( A + B ) x + 3A − B
( *) =
( x − 1) ( x + 3)
( x − 1) ( x + 3)
5
A = 4
A + B = 3
⇒
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
3 A − B = 2 B = 7
4
3x + 2
5
1
7
1
Suy ra : x 2 + 2 x − 3 = 4 . ( x + 1) + 4 . ( x + 3)
3x + 2
5 1
7
1
5
7
dx = ∫
dx + ∫
dx = ln x + 1 + ln x + 3 + C .
Vậy : ∫ 2
x + 2x − 3
4 x +1
4 x+3
4
4
+) Phân tích f(x) đễn (*) .Sau đó thay hai nghiệm x=1 và x=3 vào hai tử số để tìm
5
A = 4
3.1 + 2 = A(1 + 3)
⇔
A,B , cụ thể ta có hệ hai phương trình sau :
3(−3) + 2 = B(−3 − 1)
B = 7
4
Các bước tiếp theo giống như trên .
E ( 2 x + 4 ) + D 2 Ex + D + 4 E
2x − 3
=
= 2
. Đồng nhất hệ số hai tử số :
x + 4x + 4
x2 + 4x + 4
x + 4x + 4
2 E = 2
E = 1
⇔
Ta có hệ ⇔
D + 4 E = −3 D = − 7
2x − 3
2x + 4
7
= 2
− 2
Suy ra : 2
.
x + 4x + 4 x + 4x + 4 x + 4x + 4
2x − 3
2x + 4
1
7
2
Vậy : ∫ x 2 + 4 x + 4 dx = ∫ x 2 + 4 x + 4 dx − 7 ∫ x + 2 2 dx = ln x + 4 x + 4 + x + 2 + C
(
)
b..Ta có :
Trang 6
2
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
3. TỔNG QUÁT :
a. Trường hợp mẫu số không có nghiệm thực có nghiệm thực (Tức là mẫu số vô nghiệm).
* Ta phân tích như ở ví dụ 5- cách 1
b. Trường hợp mẫu số có nhiều nghiệm thực đơn
* Ta phân tích giống như ví dụ 5a- cách 2.
c. Trường hợp mẫu số có cả trường hợp không có nghiệm thực và trường hợp có nhiều
nghiệm thực đơn .
* Ta sử dụng cả hai phương pháp trên .
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm các hàm số sau
3x 2 + 3x + 12
a. ∫ x − 1 x + 2 x dx
(
)(
)
b.
GIẢI
3 x + 3 x + 12
2
A
B
C
a.Ta phân tích f(x)= x − 1 x + 2 x = x − 1 + x + 2 + x =
(
)(
)
x2 + 2 x + 6
∫ ( x − 1) ( x − 2) ( x − 4) dx
Ax ( x+2 ) + Bx ( x − 1) + C ( x − 1) ( x + 2 )
.
( x − 1) ( x + 2 ) x
Bằng cách thay các nghiệm thực của mẫu số vào hai tử số ta có hệ :
x = 1 → 18 = 3 A ⇔ A = 6
6
3
6
+
−
x = −2 → 18 = 6 B ⇔ B = 3 ⇒ f ( x) =
x −1 x + 2 x
x = 0 → 12 = −2C ⇔ C = −6
3x 2 + 3x + 12
3
6
6
Vậy : ∫ x − 1 x + 2 x dx = ∫ x − 1 + x + 2 − x ÷dx = 6 ln x − 1 + 3ln x + 2 − 6 ln x + C
(
)(
)
b. Ta phân tích
A ( x − 2 ) ( x − 4 ) + B ( x − 1) ( x − 4 ) + C ( x − 1) ( x − 2 )
x2 + 2 x + 6
A
B
C
f(x)= x − 1 x − 2 x − 4 = x − 1 + x − 2 + x − 4 =
(
)(
)(
)
( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 4 )
Bằng cách thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số ta có hệ :
x = 1 → 9A = 3 ⇔ x = 3
3
7
5
−
+
x = 2 → 14 = −2 B ⇔ x = −7 ⇒ f ( x ) =
x −1 x − 2 x − 4
x = 4 → 30 = 6C ⇔ C = 5
x2 + 2 x + 6
7
5
3
Vậy ∫ x − 1 x − 2 x − 4 dx = ∫ x − 1 − x − 2 + x − 4 ÷dx = 3ln x − 1 − 7 ln x − 2 + 5ln x − 4 + C
(
)(
)(
)
Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm các hàm số sau
x2 + 2 x −1
a. ∫ x − 1 x 2 + 1 dx
(
)(
)
b.
x2 + 1
∫ ( x − 1) ( x + 3) dx
3
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 7
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
GIẢI
a. Trong trường hợp này ,mẫu số chứa các biểu thức có nghiệm thực và không có nghiệm
thực . Các em hãy chú ý đến cách phân tích sau .
2
x2 + 2 x −1
A
Bx + C A ( x + 1) + ( x − 1) ( Bx + C )
=
+
=
( 1) .
Ta có f(x)=
( x − 1) ( x 2 + 1) x − 1 x 2 + 1
( x − 1) ( x 2 + 1)
Thay x=1 vào hai tử ta dược : 2= 2A, cho nên A=1.
Do đó (1) trở thành :
1( x 2 + 1) + ( x − 1) ( Bx + C )
( x − 1) ( x 2 + 1)
B + 1) x 2 + ( C − B ) x + 1 − C
(
=
.
( x − 1) ( x 2 + 1)
B + 1 = 1
B = 0
1
2
+ 2
Đồng nhất hệ số hai tử số , ta có hệ : C − B = 2 ⇔ C = 2 ⇒ f ( x) =
x −1 x +1
1 − C = −1 A = 1
x2 + 2 x −1
1
1
Vậy : ∫ x − 1 x 2 + 1 dx = ∫ x − 1 dx + 2∫ x 2 + 1 dx = ln x + 1 + 2 J + C ( 2 )
(
)(
)
1
* Tính J = ∫ 2 dx . Đặt :
x +1
x = tan t → dx = ( 1 + tan 2 t ) dt
.
2
2
1 + x = 1 + tan t
1
1
dx = ∫
. ( 1 + tan 2 t ) dt = ∫ dt = t ; do : x = tan t ⇒ t = arctanx
2
+1
1 + tan t
x2 + 2 x −1
Do đó , thay tích phân J vào (2) ta có : ∫ x − 1 x 2 + 1 dx = ln x − 1 + arctanx+C
(
)(
)
Cho nên :
∫x
2
b.Ta phân tích f(x)=
x2 + 1
=
A
+
B
+
C
D
+
x −1 x + 3
( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x − 1)
2
3
A ( x + 3) + B ( x − 1) ( x + 3) + C ( x − 1) ( x + 3) + D ( x − 1)
=
3
( x − 1) ( x + 3)
3
3
2
1
x = 1 → 2 = 4 A → A = 2
Thay x=1 và x=-3 vào hai tử số ta được :
x = −3 → 10 = −64 D → D = − 5
32
Thay hai giá trị của A và D vào (*) và đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ hai phương trình
5
0 = C + D ⇒ C = − D = 32
1
3
5
5
⇒ f ( x) =
+
+
−+
3
2
32 ( x − 1)
32 ( x + 3)
2 ( x − 1)
8 ( x − 1)
1 = 3 A − 3B + 3C − D ⇒ B = 3
8
2
x +1
1
3
5
5
dx
=
+
+
−
+
Vậy : ∫
3
∫ 2 ( x − 1) 3 8 ( x − 1) 2 32 ( x − 1) 32 ( x + 3) ÷÷dx
( x − 1) ( x + 3)
Trang 8
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
=−
1
4 ( x − 1)
2
−
3
5
5
1
3
5
x −1
+ ln x − 1 − ln x + 3 + C = −
−
+ ln
+C
2
8 ( x − 1) 32
32
8 ( x − 1) 32 x + 3
4 ( x − 1)
III. . NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC .
Để xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các
phương pháp cơ bản sau :
1. Sử dụng dạng nguyên hàm cơ bản .
2. Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản
3. Phương pháp đổi biến
4. Phương pháp tích phân từng phần
A. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN .
BÀI TOÁN 1.
Xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác
bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản
dx
Dạng 1.: Tính tích phân bất định : I = ∫ sin ( x + a ) sin ( x + b )
Ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức :
1=
sin ( a − b ) sin ( x + a ) − ( x + b )
=
sin ( a − b )
( a − b)
• Bước 2: Ta được :
I =∫
=
sin ( x − a ) − ( x − b )
dx
1
=
dx
sin ( x + a ) sin ( x + b ) sin ( a − b ) ∫ sin ( x + a ) sin ( x + b )
sin ( x + a ) cos ( x-b ) − sin ( x − b ) cos ( x-a )
1
dx
∫
sin ( a − b )
sin ( x+a ) sin ( x + b )
cos ( x+b )
cos ( x+a )
1
1
ln sin ( x + b ) − ln sin ( x + a )
dx −
dx =
∫
sin ( a − b ) sin ( x + b )
sin ( x+a ) sin ( a − b )
sin ( x + b )
1
=
ln
+C
sin ( a − b ) sin ( x + a )
=
* Chú ý Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau :
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 9
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
(
)
1. I = ∫ cos ( x+a ) cos ( x+b ) , sử dụng đồng nhất thức : 1 = sin a − b
sin a − b
dx
(
2.
dx
∫ sin ( x + a ) cos ( x+b ) , sử dụng đồng nhất thức :
Ví dụ 1 . Tìm họ nguyên hàm của hàm số :
f ( x) =
1=
cos ( a-b )
.
cos ( a-b )
)
1
π
cosx.cos x+ ÷ .
4
Giải
π cos x+ π − x
4 ÷
π
4
• Cách 1. Sử dụng đồng nhất thức : 1 =
=
= 2cos x+ ÷− x
π
π
4
cos
cos
4
4
cos
π
π
π
cos x+ ÷− x
cos x+ ÷cosx+sin x+ ÷s inx
4
4
4
dx = 2 ∫
dx
Ta có : F ( x) = 2 ∫
π
π
s inx.cos x+ ÷
s inxcos x+ ÷
4
4
π
sin x+ ÷
cosx
s inx
4
π
dx + ∫
dx = 2 ln s inx − ln cos x+ ÷ = 2 ln
+C
= 2 ∫
4
π
π
s inx
cos x+ ÷
cos x+ ÷
4
4
• Cách 2 : Dựa trên đặc thù của hàm số f(x)
Ta có :
1
1
1
1
dx = 2 ∫
dx = 2 ∫
dx = 2 ∫
dx
2
cosx
s inx ( sinx-cosx )
s in x ( cotx-1)
π
2
s inxcos x+ ÷
s in x 1÷
4
sinx
d ( cot x )
d ( cot x − 1)
= − 2∫
= − 2∫
= − 2 ln cot x − 1 + C
cot x − 1
cot x − 1
dx
Dạng 2: Tính tích phân bất định : I = ∫
s inx+sinα
F ( x) = ∫
Ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1. Biến đổi I về dạng :
• Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1)
* Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau :
dx
; m ≤1 .
s inx+m
dx
dx
∨I =∫
;
2. I = ∫
cosx+m
cosx+cosα
1. I = ∫
Trang 10
m ≤1
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x) =
1
2sin x + 1
Giải
Biến đổi f(x) về dạng :
f ( x) =
1
1
1
1
1
= .
( 1)
π 4
6x + π
6x − π
1 2
sinx+sin
sin
.cos
2 s inx+ ÷
6
12
12
2
=
Sử dụng đồng nhất thức :
6x+π
π cos 6x+π − 6x-π
cos
12
2
12
12
6 =
1=
=
π
3
3
cos
6
2
cos
6x-π
6x+π 6x-π
÷.cos
÷+ sin
÷sin
12
12 12
6x+π
6x-π
sin
÷cos
÷
12
12
÷
.
Ta được :
6x+π
6x-π
cos
sin
÷
÷
2
12
12 2
6x+π
6x-π
∫
F ( x) =
dx − ∫
dx =
− ln cos
ln sin
÷
6x-π
3 sin 6x+π
3
12
12
cos
÷
÷
12
12
6x+π
sin
÷
2
12
=
ln
+C .
3 cos 6x-π
÷
12
÷÷
Dạng 3: Tính tích phân bất dịnh : I = ∫ t anx.tan ( x+α ) dx
Ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1: Biến đổi I về dạng :
s inxsin ( x + α ) + cosxcos ( x + α )
cosα
I = ∫
− 1÷
dx
=
dx
−
dx
∫ ÷÷
÷
∫ cosxcos ( x + α )
cosxcos ( x + α )
1
= cosα ∫
dx − x ( 1)
cosx.cos ( x+α )
• Bước 2 : Áp dụng bài toán 1 để giải (1)
* Chú ý : Phương pháp trên cũng được áp dụng đẻ giải các tích phân dạng :
1. I = ∫ tan ( x + α ) cot ( x + β ) dx
2. I = ∫ cot ( x + α ) cot ( x + β ) dx
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 11
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
π
Ví dụ 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau : I = ∫ t anx.tan x+ ÷dx
4
Giải :
Ta biến đổi f(x) về dạng :
π
π
π
s inx.sin x+ ÷+ cosx.cos x+ ÷
cos
4
4
4
f ( x) =
−1 =
−1
π
π
cosx.cos x+ ÷
cosx.cos x+ ÷
4
4
2
dx
2
dx
⇒ F ( x) =
dx − ∫ dx =
dx − x
∫
∫
2
2
π
π
cosx.cos x+ ÷
cosx.cos x+ ÷
4
4
dx
J =∫
dx
π . Ta lựa chọn hai cách sau :
Để tính :
cosx.cos x+ ÷
4
( 1)
• Cách 1: Sử dụng dạng toán cơ bản .
Sử dụng đồng nhất thức :
π sin x + π − x
÷
4
2
π
π
4
1=
=
=
.sin x + ÷cosx-sinx.cos x + ÷
π
4
4
2
2
sin
4
2
π
π
π
sin x + ÷cosx-sinx.cos x + ÷
sin x + ÷
s inx
4
4
4
J
=
2
dx
=
2
dx
−
Ta được :
∫
∫ π ∫ cosx dx
π
cosx.cos x + ÷
cos x + ÷
4
4
sin
cosx
π
= 2 − ln cos x+ ÷ + ln cosx ÷ = 2 ln
+C
4
cos ( x+ )
• Cách 2. Dựa trên đặc thù của hàm số dưới dấu tích phân .
Ta có :
J =∫
1
dx = 2 ∫
1
1
1
dx = 2 ∫
.
dx
cosx ( cosx-sinx )
( 1 − t anx ) cos 2 x
π
cosx.cos x+ ÷
4
d ( 1 − t anx )
= − 2∫
= − 2 ln 1 − t anx + C .
1-tanx
Dạng 4. Tính tích phân bất định : I = ∫
1
dx
a.sinx+b.cosx
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Trang 12
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
• Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi
Cách 1: Ta có .
1
I=
dx
a 2 + b2
∫ sin ( x + α ) =
1
a 2 + b2
∫
dx
1
=
x +α
x +α
a2 + b2
2sin
.cos
2
2
∫
dx
1
.
x +α
x +α
2 tan
cos 2
2
2
x +α
d tan
÷
1
1
x +α
2
⇒I=
=
ln tan
+C
2
2 ∫
2
2
x +α
2
a +b
a
+
b
tan
2
Chú ý : Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hóa với việc đổi
x
2
biến số bằng cách đặt t = tan .
Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =
2
3 s inx+cosx
Giải
Ta có :
F ( x) = ∫
dx
1
dx
1
dx
= ∫
= ∫
π
2
3 s inx+cosx 2
3
1
sin x + ÷
s inx+ cosx
6
2
2
x π
d tan + ÷
dx
dx
2 12
x π
=∫
=∫
=∫
= ln tan + ÷ + C
x π
x π
x π
x π
x π
2 12
2 tan + ÷cos 2 + ÷ sin + ÷cos + ÷
tan + ÷
2 12
2 12
2 12
2 12
2 12
a1 s inx+b1cosx
Dạng 5: Tính tích phân bất định sau : I = ∫ a s inx+b cosx dx
2
2
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1: Biến đối : a1 s inx+b1cosx=A ( a2 s inx+b 2cosx ) + B ( a2cosx-b 2 s inx )
• Bước 2: Khi đó
I =∫
A ( a2 s inx+b 2 cosx ) + B ( a2cosx-b 2 s inx )
d ( a2 s inx+b 2cosx )
dx = A∫ dx + B ∫
a2 s inx+b 2 cosx
a2 s inx+b 2 cosx
= Ax+Bln a2 s inx+b 2 cosx + C
Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = ∫
4sin x + 3cos x
dx
s inx+2cosx
Giải
Biến đổi : 4sin x + 3cos x = A(s inx+2cosx)+B(cosx-2sinx)=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx .
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 13
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
A − 2B = 4
A = 2
⇔
2 A + B = 3
B = −1
Đồng nhất hệ số hai tử số ,ta được :
Khi đó : f ( x) =
2 ( s inx+2cosx ) − ( cosx-2sinx )
cosx-2sinx
= 2−
s inx+2cosx
s inx+2cosx
Do đó :
( cosx-2sinx ) dx = 2 x − ln s inx+2cosx + C
cosx-2sinx
F ( x) = ∫ f ( x)dx = ∫ 2 −
÷dx = 2 ∫ dx − ∫
s inx+2cosx
s inx+2cosx
a1 s inx + b1cosx
Dạng 6. Tính tích phân bất định : I = ∫ a s inx+b cosx 2 dx
( 2
)
2
Ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1. Biến đổi : a1 s inx+b1cosx= A ( a 2 s inx+b 2cosx ) + B ( a2cosx-b 2 s inx ) .
• Bước 2. Khi đó :
I =∫
=
A ( a 2 s inx+b 2 cosx ) + B ( a2 cosx-b 2 s inx )
( a 2 s inx+b 2cosx )
A
dx
a +b
2
2
2
2
∫ sin ( x + α ) −B ∫ a
Trong đó : sin α =
b2
a22 + b22
2
dx = A∫
( a cosx-b 2 s inx ) dx
dx
+ B∫ 2
2
a2 cosx+b 2 s inx
( a2cosx+b 2 s inx )
1
A
B
x +α
dx =
ln tan
+C
÷−
2
2
2 a2 cosx+b 2 s inx
a2 + b2
2 s inx+b 2 cosx
a2
; cos α =
a22 + b22
.
Ví dụ 6 : Tìm nguyên hàm của hàm số sau : f ( x) =
8cos x
.
2 + 3 sin 2 x − cos2x
Giải
Biến đổi :
f ( x) =
8cos x
=
3sin x + 2 3 s inxcosx+cos 2 x
2
8cos x
(
3 s inx+cosx
)
2
Giả sử : 8cos x = a ( 3 s inx+cosx ) + b ( 3cosx-sinx ) = ( a 3 − b ) s inx+ ( a+b 3 ) cosx .
a 3 − b = 0
a = 2
⇔
b = 2 3
a + b 3 = 8
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
Khi đó : f ( x) =
(
2 3 3cosx-sinx
2
−
3 s inx+cosx
3 s inx+cosx
(
)
)
3cosx-sinx dx
1
2 3
x π
= ln tan + ÷ −
+C
2
3 s inx+cosx
3 s inx+cosx
2 12
2dx
Chú ý : Trong ví dụ trên ta lấy kết quả ví dụ 4 cho : ∫
.
3 s inx+cosx
Do đó : F ( x) = ∫
Trang 14
2dx
− 2 3∫
3 s inx+cosx
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Dạng 7. Tính tích phân bất định : I = ∫
1
dx .
asinx+bcosx+c
Ta xét ba khả năng :
1. Nếu c = a 2 + b 2 .
1
1
1
1
=
= .
Ta thực hiện phép biến đổi : asinx+bcosx+c c 1 + cos ( x-α ) 2c cos 2 x − α
2
a
b
Trong đó : sin α = 2 2 ; cosα = 2 2
a +b
a +b
1
dx
1
x −α
I=
= tan
÷+ C
∫
x
−
α
Khi đó :
2c cos 2
c
2
2
2. Nếu : c = − a 2 + b 2
1
1
1
1
=
= .
Ta thực hiện phép biến đổi : asinx+bcosx+c c 1 − cos ( x-α ) 2c sin 2 x − α
2
a
b
Trong đó : sin α = 2 2 ; cosα =- 2 2
a +b
a +b
1
dx
1
x −α
I=
= cot
÷+ C
∫
Khi đó :
2c sin 2 x − α c
2
2
3. Nếu : c ≠ a 2 + b 2
x
2
Ta thực hiện phép biến đổi bằng cách đổi biến số : t = tan .
2dt
dx = 1 + t 2 .
Khi đó :
,
2
s inx= 2t ; cosx= 1-t ; t anx= 2t
1+t 2
1+ t2
1-t 2
thay vào tích phân đã cho ⇒ I = ∫ f (t )dt .
Ví dụ 7. Tính tích phân sau : I = ∫
2dx
.
2sin x − cosx+1
Giải
x
2
2dt
.
1+ t2
dt
x
4
t an
2
2dt
1
t
1
1+ t
2 +C
=∫ 2
= ∫ −
dt = ln
+ C = ln
Khi đó : I = ∫
÷
2
x
4t
1− t
t + 2t
t+2
t t+2
tan +2
−
+1
2
2
2
1+ t 1+ t
a1 s inx+b1cosx+c1
Dạng 8. Tính tích phân bất định : I = ∫ a s inx+b cosx+c dx .
2
2
2
Đặt : t = tan → dx =
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 15
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1. Biến đổi :
a1 s inx+b1cosx+c1 = A ( a2 s inx+b 2 cosx+c 2 ) + B ( a2cosx-b 2 s inx ) + C
• Bước 2 : Khi đó :
A ( a2 s inx+b 2 cosx+c 2 ) + B ( a2cosx-b 2 s inx ) + C
a2 s inx+b 2 cosx+c 2
( a cosx-b 2 s inx ) dx + C
dx
= A∫ dx + B ∫ 2
∫
a2 s inx+b 2 cosx+c 2
a2 s inx+b 2 cosx+c 2
dx
= Ax+Bln a 2 s inx+b 2 cosx+c 2 + C ∫
.
a 2 s inx+b 2 cosx+c 2
I =∫
dx
Trong đó : ∫ a s inx+b cosx+c , được xác định ở dạng 4.
2
2
2
Ví dụ 8 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x) =
5sin x
.
2sin x − cosx+1
Giải
Biến đổi : 5sin x = a ( 2sin x − cosx+1) + b ( 2 cos x + s inx ) + c = ( 2a + b ) s inx+ ( 2b-a ) cosx+a+c
2a + b = 5 a = 2
Đồng nhất hệ số hai tử số : 2b − a = 0 ⇒ b = 1
a + c = 0
c = −2
2 ( 2sin x − cosx+1) + ( 2 cos x + s inx ) − 2
2 cos x + s inx
2
= 2+
−
2sin x − cosx+1
2sinx-cosx+1 2sinx-cosx+1
( 2 cos x + s inx ) dx − 2
dx
= 2 x + ln 2sin x − cosx+1 − 2 J + C
Do vậy : I = 2∫ dx + ∫
∫
2sin x − cosx+1
2sin x − cosx+1
dx
Với : J = ∫
. ( Tích phân này đã giải ở ví dụ 7 )
2sin x − cosx+1
a1 s in 2 x+b1 s inxcosx+c1cos 2 x
I
=
dx .
Dạng 9: Tính tích phân bất định :
∫
a2 s inx+b 2cosx
Khi đó : f ( x) =
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1 : Biến đổi :
a1 s in 2 x+b1 s inxcosx+c1cos 2 x = ( Asinx+Bcosx ) ( a2 s inx+b 2 cosx ) + C ( sin 2 x + cos 2 x )
• Bước 2 : Khi đó :
I =∫
( Asinx+Bcosx ) ( a2 s inx+b 2cosx ) + C ( sin 2 x + cos 2 x )
Trang 16
a2 s inx+b 2 cosx
= ∫ ( Asinx+Bcosx ) + C ∫
dx
a2 s inx+b 2cosx
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
C
= − A cos x + B sin x +
dx
∫ sin ( x + α ) = − A cos x + B sin x +
a22 + b22
b2
a2
Trong đó : sin α = 2 2 ; cosα = 2 2 .
a2 + b2
a2 + b2
Ví dụ 9 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x) =
C
a22 + b22
ln tan
x +α
+C
2
4sin 2 x + 1
.
3 s inx+cosx
Giải
2
2
2
2
2
Biến đối : 4sin x + 1 = 5sin x + cos x = ( asinx+bcosx ) ( 3 s inx+cosx ) + c ( sin x + cos x )
(
)
(
)
= a 3 + c sin 2 x + a + b 3 s inx.cosx + ( b + c ) cos 2 x .
a 3 + c = 5
a = 3
Đồng nhất hệ số hai tử số : a + b 3 = 0 ⇔ b = −1 .
b + c = 1
c = 2
2dx
1
x π
= − 3cosx-sinx- ln tan + ÷ + C .
Do đó : I = ∫ 3 s inx-cosx dx − ∫
2
3 s inx+cosx
2 12
2dx
1
x π
= ln tan + ÷
Chú ý : Ở ví dụ 4 , ta có : ∫
3 s inx+cosx 2
2 12
dx
Dạng 10. Tính tích phân bất định : I = ∫
2
asin x + b sin x cos x + c cos 2 x
(
)
Ta thực hiện theo các bước sau :
dx
• Bước 1 : Biến đổi I về dạng : I = ∫ atan 2 x + b tan x + c cot 2 x
(
)
• Bước 2: Thực hiện phép đổi biến số :
1
dt
dx = ( 1 + tan 2 x ) dx = ( 1 + t 2 ) dx ↔ dx =
2
cos x
1+ t2
dt
Khi đó : I = ∫ 2
. ( Ta đã có cách giải ở phần " Hàm phân thức " )
at + bt + c
dx
Ví dụ 10: Tính tích phân bất định : I = ∫
2
3sin x − 2sin x cos x − cos 2 x
t = t anx ⇒ dt=
Giải
dx
d ( t anx )
Ta có : I = ∫ 3 tan 2 x − 2 tan x − 1 cos 2 x = ∫ 3 tan 2 x − 2 tan x − 1 .
(
)
dt
1 1 1
1 ÷
1
t − 1 1 3t − 3
= .
−
dt = ln
= ln
+C
Đặt : t = t anx ⇒ I= ∫ 2
÷
∫
3t − 2t − 1 3 1 + 1 t − 1 t + 1 ÷
4 t + 1 4 3t + 1
3
3
3
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 17
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1
4
Thay trả lại : t = t anx ⇒ I= ln
3 tan x − 3
+C .
3 tan x + 1
B. SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ CÁC NGUYÊN HÀM CƠ
BẢN.
Bài toán 2:
Xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Sử dụng phép biến đổi lượng giác , đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng quen
thuộc . Các phép biến đổi lượng giác bao gồm :
• Phép biến đổi : Tích thành tổng ( Chúng ta đã thấy ở bài toán 1)
• Hạ bậc : cos 2 x =
1 + cos2x
1 − cos2x
; sin 2 x =
.
2
2
• Các kỹ thuật biến đổi khác .
1. Sử dụng phương pháp biến đổi : Tích sang tổng .
Ở đây chúng ta sử dụng các công thức :
cos ( x-y ) − cos ( x+y )
2
sin ( x+y ) − sin ( x − y )
d. cosxsiny=
2
1
Sau đó sử dụng công thức nguyên hàm : ∫ cos ( ax+b ) dx = sin ( ax+b ) + C .
a
1
( cos ( x+y ) + cos ( x-y ) )
2
sin ( x+y ) + sin ( x − y )
c. s inxcosy=
2
b. s inxsiny=
a. cosxcosy=
Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của hàm số : f ( x) = cos3xcos5x
Giải
cos8x+cos2x 1
1
= cos8x+ cos2x
2
2
2
1
1
1
1
Khi đó : I = ∫ f ( x)dx = ∫ cos8xdx+ ∫ cos2xdx= sin 8 x + sin 2 x + C
2
2
16
4
π
π
Ví dụ 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x) = t anx.tan − x ÷tan + x ÷
3
3
Ta biến đổi : f ( x) = cos3xcos5x=
Giải
Trang 18
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
π
π
s inx.sin − x ÷sin + x ÷
π
π
3
3
Ta biến đổi : f ( x) = t anx.tan − x ÷tan + x ÷ =
π
π
3
3
cosx.cos
− x ÷cos + x ÷
3
3
2π
1
1
1
s inx. cos2x-cos
sin 3 x − s inx ) + s inx
÷ cos2x.sinx+ s inx
(
sin 3 x
3
2
2
=
=
=2
=
1
1
1
2π
cos3x
cosx cos2x+cos
÷ cos2x.cosx- 2 cosx 2 ( cos3x+cosx ) − 2 cosx
3
sin 3 x
1 3sin 3 x
1 d ( cos3x )
1
dx = ∫
dx = − ∫
= − ln cos3x + C
Khi đó : I = ∫ f ( x)dx = ∫
cos3x
3 cos3x
3
cos3x
3
2. Sử dụng công thức hạ bậc :
Ta nhớ lại các công thức sau :
1 + cos2x
1 − cos2x
3sin x − sin 3 x
; sin 2 x =
.
b. sin 3 x =
2
2
4
3cos
x
+
c
os3x
3 1
c. cos3 x =
d. sin 4 x + cos 4 x = + cos4x
4
4 4
3
3
5
3
e. cos6 x + sin 6 x = 1 − sin 2 2 x = 1 − ( 1 − cos4x ) = + cos4x
4
8
8 8
a. cos 2 x =
Ví dụ 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số :
a. f ( x) = sin 3 x.sin 3 x
b. f ( x) = sin 3 x.cos3x+cos3 x.sin 3 x
Giải
3sin x − sin 3 x 3
1 2
÷ = sin 3x.s inx- sin 3 x
4
4
4
3
1
3
1
3
1
= ( cos2x-cos4x ) − ( 1 − cos6x ) = cos2x+ cos6x- cos4x- .
8
8
8
8
8
8
1
3
1
3
1
3
1
3
Do đó : I = ∫ f ( x)dx = ∫ cos2x+ cos6x- cos4x- ÷dx = sin 2 x + sin 6 x − sin 4 x − x + C
8
8
8
16
48
32
8
8
3sinx-sin3x
cos3x+3cosx
3
3
b.Ta biến đổi : f ( x) = sin x.cos3x+cos x.sin 3x = cos3x
÷+ sin 3x
÷
4
4
3
3
= ( cos3xsinx+sin3xcosx ) = sin 4 x
4
4
3
3
Do đó : I = ∫ f ( x)dx = ∫ sin 4 xdx = − cos4x+C
4
16
3
a. Ta có : f ( x) = sin x.sin 3 x = sin 3x
3. Sử dụng nhiều phép biến đổi khác nhau .
Trong phương pháp này dòi hỏi HS cần linh hoạt vận dụng các công thức lượng giác .
Ngoài ra còn biết cách định hướng để biến đổi sao cho sử dụng được bảng nguyên hàm .
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 19
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Ví dụ 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x) =
sin 3 x.sin 4 x
t anx+cot2x
Giải :
sin 3 x.sin 4 x
sin 3 x sin 4 x
sin 3 x.sin 4 x
f ( x) =
=
=
= sin 3 x.sin 4 x.sin 2 x
cosx
Ta biến đổi :
t anx+cot2x s inx.sin2x+cosx.cos2x
cosx.sin2x
cosx.sin2x
1
1
1
= ( cosx-cos7x ) sin 2 x = [ sin 2 x.cosx-cos7xsin2x ] = ( sin 3 x + s inx-sin9x+sin5x ) .
2
2
4
1
1
1
1
1
Do đó : I = ∫ ( sin 3x + s inx-sin9x+sin5x ) ÷dx = − cos3x- cosx+ cos9x- cos5x+C .
12
4
9
5
4
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân
bất định . Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý
sau :
a/ Nếu : ∫ f ( x) = F ( x) + C và với u= ϕ (x) là hàm số có đạo hàm thì : ∫ f (u )du = F (u ) + C
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x= ϕ ( t ) . Trong đó ϕ ( t ) cùng với đạo hàm của nó ( ϕ ' ( t )
là những hàm số liên tục ) thì ta được : ∫ f ( x)dx = ∫ f ϕ ( t ) ϕ ' ( t ) dt = ∫ g (t )dt = G (t ) + C .
Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến số như sau :
Bài toán 1:
Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân bất định : I = ∫ f ( x)dx
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1: chọn x= ϕ ( t ) , trong đó ϕ ( t ) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
• Bước 2: lấy vi phân hai vế : dx = ϕ ' ( t ) dt
• Bước 3 : Biến đổi : f ( x)dx = f ϕ ( t ) ϕ ' ( t ) dt = g ( t ) dt
• Bước 4: Khi đó tính :
∫ f ( x)dx = ∫ g (t )dt = G (t ) + C .
* Lưu ý : Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :
Dấu hiệu
Cách chọn
a −x
π
π
x = a sin t ↔ − 2 ≤ t ≤ 2
x = a cost ↔ 0 ≤ t ≤ π
2
Trang 20
2
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
x2 − a2
a
π π
↔ t ∈ − ;
x =
sin t
2 2
a
π
↔ t ∈ [ 0; π ] \
x =
cost
2
a2 + x2
π π
x = a tan t ↔ t ∈ − 2 ; 2 ÷
x = a cot t ↔ t ∈ ( 0; π )
a+x
a−x
∨
a−x
a+x
x=a.cos2t
2
x=a+ ( b − a ) sin t
( x − a) ( b − x)
Ví dụ 1. Tính tích phân bất định
a/
∫
dx
b/
( 1− x )
2 3
(1− x )
2 3
∫
dx
( 1− x
x2 + 2x + 3
2 2
costdt
costdt
dt
=
=
=
= d ( tan t )
3
2
3
.
cos
t
c
os
t
2
( 1-sin t )
dx
Khi đó :
dx
Giải
π π
a/ Đặt : x=sint ; t ∈ − ; ÷⇒ dx = costdt
Suy ra :
∫
)
2 3
= ∫ d ( tan t ) = tan t + C =
sin t
1 − sin t
2
=
x
1 − x2
+C
b/ Vì : x 2 + 2 x + 3 = ( x + 1) + ( 2 ) , nên
2
2
π π
Đặt : x + 1 = 2 tan t ; t ∈ − ; ÷⇒ dx = 2. 2 ; tan t =
cos t
2 2
dx
Suy ra :
x + 2x + 3
2
=
dt
dx
( x + 1)
2
+
( 2)
2
x +1
2
dt
=
2 ( tan t + 1) .cos t
2
2
=
dt
1 costdt
=
.
2
2cost
2 1-sin t
costdt costdt
.
−
÷.
2 2 sint-1 sint+1
dx
1 costdt costdt
1
sin t − 1
=−
−
ln
+ C (*)
Khi đó : ∫ 2
÷= −
∫
2 2 sint-1 sint+1
2 2 sin t + 1
x + 2x + 3
=−
1
( x + 1) ⇒ sin 2 t = 1 −
x +1
sin 2 t
2
2
Từ : tan t =
⇔ tan t =
=
. Ta tìm được sint , thay
2
2
1 − sin t
2
x + 2x + 3
2
2
vào (*) ta tính được I .
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 21
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
x 2 dx
Ví dụ 2: Tính tích phân bất định : I = ∫
x2 −1
.
Giải
Vì điều kiện : x > 1 , nên ta xét hai trường hợp :
• Với x>1
Đặt x =
1
2 cos 2tdt
π
; t ∈ 0; ÷ ⇒ dx = −
.
sin 2t
sin 2 2t
4
x 2 dx
Do đó :
=
x2 −1
1
1
1
−1
sin 2 2t
sin 2 2t.
1
1
2 ( sin 2 t + cos 2t ) dt
2dt
2 cos 2tdt
−
÷= − 3 = −
2
sin 2t
8sin 3 t cos3 t
sin 2t
1
2
.
= − cot t. 2 + tan t. 2 +
÷dt
4
sin t
cos t tan t cos 2t
Vậy :
1
2
1 1
1
.d (tan t ) ÷ = − − cot 2 t + tan 2 t + 2 ln tan t ÷+ C
− cot t.d (cot t ) + tan t.d (tan t ) +
∫
4
tan t
4 2
2
1
1
= x x 2 − 1 − ln x − x 2 − 1 + C
2
2
I =I =−
• Với x<1 . Đề nghị học sinh tự làm .
* Chú ý : Tích phân dạng này ta có thể giải bằng cách khác nhanh hơn :
Ta có :
x2
x −1
2
x2 −1 + 1
=
= x −1 +
x −1
2
2
Tích phân : K = ∫
dx
x −1
2
x −1
2
x2
Với : J = ∫ x − 1dx = x x − 1 − ∫
2
1
2
x −1
2
⇒I =∫
x 2 dx
x −1
2
= ∫ x 2 − 1dx + ∫
dx
x2 −1
dx = x x 2 − 1 − I ( a )
= ln x + x 2 − 1 ⇒ I = x x 2 − 1 − I + ln x + x 2 − 1
1
1
x x 2 − 1 + ln x + x 2 − 1 + C
2
2
dx
I =∫
3
Ví dụ 3. Tính tích phân bất định :
( 1 + x2 )
⇔ 2 I = x x 2 − 1 + ln x + x 2 − 1 ⇒ I =
Giải
π π
Đặt : x = tan t; t ∈ − ; ÷ → dx = 2
2 2
cos t
dx
Suy ra :
Trang 22
(1+ x )
2 3
dt
=
1
( 1 + tan t )
2
3
.
dt
= costdt
.
cos 2t
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
= J + K ( 1)
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Khi đó :
I =∫
dx
( 1+ x
)
2 3
= ∫ costdt = sin t + C =
x
1 + x2
+C
Chú ý :
1. Sở dĩ trong ví dụ trên có kết quả như vậy vì :
1
x
;sin t =
cost=
2
1+x
1 + x2
t ∈ − π ; π ⇒ cost>0 ↔ cos 2t = cost;sint=tant.cost= x
2 2 ÷
1 + x2
2. Phương pháp trên áp dụng để giải bài toán tổng quát :
∫
dx
(a
2
+x
)
2 2 k +1
( k ∈Z) .
Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 để tính tích phân : I = ∫ f ( x)dx .
PHƯƠNG PHÁP CHUNG.
Ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1: Chọn t= ϕ ( x ) . Trong đó ϕ ( x ) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
• Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt = ϕ ' ( t ) dt .
• Bước 3: Biểu thị : f ( x)dx = f ϕ ( t ) ϕ ' ( t ) dt = g (t )dt .
• Bước 4: Khi đó : I = ∫ f ( x)dx = ∫ g (t )dt = G (t ) + C
* Chú ý : Ta có một số dấu hiệu để đổi biến thường gặp :
Dấu hiệu
Hàm số mẫu số có
(
Hàm số : f x; ϕ ( x )
Hàm f ( x ) =
Cách chọn
)
a.s inx+b.cosx
c.s inx+d.cosx+e
1
Hàm f ( x ) = ( x + a ) ( x + b )
t là mẫu số
t= ϕ ( x )
x
x
t = tan ; cos ≠ 0 ÷
2
2
• Với : x+a>0 và x+b>0 : Đặt :
t = x+a + x+b
• Với x+a<0 và x+b<0 ,
đặt : t = x − a + − x − b
Ví dụ 4. Tính tích phân bất định sau : I = ∫ x 2 ( 2 − 3x 2 ) dx
8
Giải
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 23
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
dt = −6 xdx
2−t 8 1 8 9
2
2 8
Đặt : t = 2 − 3x ⇒ 2 2 − t ⇔ x ( 2 − 3x ) =
÷t = ( 2t − t ) .
3
3
x
=
3
8
9
10
1
2
1
2
1
Vậy : I = ∫ x 2 ( 2 − 3x 2 ) dx = 2∫ t 8 dt − ∫ t 9dt = t 9 − t 10 + C = ( 2 − 3x 2 ) − ( 2 − 3x 2 ) + C
3
27
30
27
30
3
x dx
Ví dụ 5 : Tính tích phân bất định : ∫
1− x
2
(
)
Giải
2
x = 1− t2
x 2 dx ( 1 − t ) ( −2tdt )
Đặt : t= 1 − x ⇒
⇔
=
= −2 ( 1 − 2t 2 + 3t 4 − t 6 ) dt .
t
dx
=
−
2
tdt
1− x
3
x dx
4
6
2
= ∫ ( −2 + 4t 2 − 6t 4 + 2t 6 ) dt = −2t + t 3 − t 5 + t 7 + C
Vậy : ∫
3
5
7
1− x
4
6
2
2
3
= −2 1 − x + ( 1 − x ) 1 − x − ( 1 − x ) 1 − x + ( 1 − x ) 1 − x + C
3
5
7
3
Ví dụ 6: Tính tích phân bất định : ∫ x5 3 ( 1 − 2 x 2 ) dx
2
Giải
1− t
3
→ 2 xdx = − t 2 dt
2
2
3
2
1− t 2 3 2 3 7 4
.t − t dt ÷ = ( t − t ) dt
Do đó : x5 3 ( 1 − 2 x 2 ) dx =
2
4
8
3 7 4
31 8 1 5
3
5
2 2
5t 6 − 8t 3 ) t 2 + C
(
Vậy : ∫ x 3 ( 1 − 2 x ) dx = ∫ ( t − t ) dt = t − t ÷ =
8
88
5 320
Đặt : t=
=
3
( 1− 2x ) ⇒ t = ( 1− 2x ) ↔ x
2
3
2
2
3
=
3
2 2
2 3
2 2
5
1
−
2
x
−
8
1
−
2
x
1
−
2
x
(
)
(
)
(
) +C
320
3
Ví dụ 7: Tính tích phân bất định : I = ∫ sin x cosx dx .
Giải
Đặt : t= cosx ↔ t = cosx ⇒ 2tdt=-sinxdx .
3
2
4
6
2
Do đó : sin x cosx dx = ( 1 − cos x ) cosx s inxdx= ( t − 1) t 2tdt = 2 ( t − t ) dt .
2
2
7
2
3
2
7
1
2
Vậy : I = ∫ sin 3 x cosx dx = 2 ∫ ( t 6 − t 2 ) dt = t 7 − t 3 + C = cos3 x cosx − cosx cosx +C
Ví dụ 8: Tính tích phân bất định : I = ∫
Trang 24
cosx.sin 3 x
dx
1 + sin 2 x
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Giải
sin x = t − 1
2sin x cos xdx = dt
2
2
Đặt : t = 1 + sin x ⇒
cosx.sin 3 x
1 sin 2 x.2sin x.cosx.dx 1 ( t − 1) dt 1 1
dx =
=
= 1 − ÷dt .
Suy ra :
1 + sin 2 x
2
1 + sin 2 x
2
t
2 t
3
cosx.sin x
1 1
1
1
dx = ∫ 1 − ÷dt = ( t − ln t ) + C = 1 + sin 2 x − ln ( 1 + sin 2 x ) + C
Vậy : I = ∫
2
1 + sin x
2 t
2
2
cos 2 x
Ví dụ 9: Tính tích phân bất định : I = ∫ 8 dx
sin x
Giải
2
cos 2 x ( cos 2 x + sin 2 x ) ( 1 − sin 2 x ) + ( 1 − sin 2 x ) sin 2 x
Vì : cos8 x =
=
=
8
8
2
sin x
sin x
sin x
1
dt = − sin 2 x dx
Đặt : t = cot x ⇒
1 = 1 + cot 2 x = 1 + t 2
sin 2 x
2
2
cos 2 x
1
1
Suy ra : 8 dx = cot 2 x 6 ÷dx = cot 2 x ( 1 + cot 2 x ) . 2 dx = −t 2 ( 1 + t 2 ) dt
sin x
sin x
sin x
2
cos x
2
1
1
Vậy : I = ∫ 8 dx = − ∫ ( t 2 + 2t 4 + t 6 ) dt = − t 3 + t 5 + t 7 ÷+ C
. Thay : t= cotx vào .
sin x
5
7
3
dx
( a ≠ 0)
Ví dụ 10 : Tính tích phân bất định : I = ∫ 2
x +a
Giải
Đặt : t = x + x + a ↔ dt = 1 +
2
Vậy : I = ∫
dx
x +a
2
=∫
x
x2 + a
( x+
dx =
)
x 2 + a dx
x2 + a
=
tdx
x2 + a
⇒
dt
=
t
dx
x2 + a
dt
= ln t + C = ln x + x 2 + a + C
t
dx
Ví dụ 11: Tính tích phân bất định : I = ∫ ( x + 1) ( x + 2 )
Giải
a. xét hai trường hợp :
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 25
