Tải bản đầy đủ

H hinh12 i09

Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

C
HƯƠNG 1

KHỐI ĐA DIỆN

1. KHÁI NIỆM về hình đa diện & khối đa diện
1/ Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện:
a/ Hình đa diện: là hình được tạo bởi một số hữu hạn các miền đa
giác thỏa mãn hai tính chất:
 Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có
một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
 Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa
giác.

b/Khối đa diện: là phần không gian gới hạn bởi hình đa diện,
kể cả đa diện đó

 Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là
điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp tất cả các điểm
ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
A
B
 Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không
thuộc hình đa diện tương ứng được gọi là điểm
trong của khối đa diện.
Tập hợp tất cả các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa
diện.
2/ Phân chia và lắp ghép khối đa diện: Khối đa diện H được phân
chia thành hai khối đa diện H1 và H2 nếu thỏa mãn hai tính chất sau:
 Hai khối đa diện H1 và H2 không có điểm trong chung.
 Hợp của hai khối đa diện H1 và H2 chính là khối đa diện H.
Ví dụ 1: xét khối đa diện là khối chóp tứ giác S.ABCD. Hai khối chóp S.ABC và S.SCD
có chung nhau mặt (SAC).
Mặt (SAC) chia miền trong của khối chóp S.ABCD thành hai miền : Miền trong của khối
chóp S.ABC và miền trong của khối chóp S.ACD trong trường hợp đó ta nói rằng:
Mặt phẳng (SAC) chia khối đa diện SABCD thành hai khối đa diện SABC và SACD.
1


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
 Hồ Văn
Hoàng
Ví dụ 2: Khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể phân chia thành hai khối đa diện: là
khối tứ diện A’ABC và khối chóp A’.BB’C’C. Nhưng khối chóp tứ giác A’.BB’C’C lại
chia thành hai tứ diện A’BB’C’ và A’CC’B. Vậy ta có thể nói:
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ được chia thành ba khối tứ diện A’ABC, A’BB’C’, A’CC’B
Ví dụ 3: Mặt phẳng BB’D’D chia hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng
trụ ABD.A’B’D’ và BDC.B’C’D’
S

A’

C’

B

C



A

D

B’
D
A

A

C

C'
B'

C

B

A'

B

D'

Câu hỏi và bài tập
1. Hãy chia một khối hộp thành 5 khối tứ diện.
2. Hãy chia một khối lập phương thành 5 khối tứ diện.
Gợi ý: Ta có thể chia thành năm khối tứ diện sau: AB’CD’,
A’AB’D’,C’B’CD’,BACB’, DACD’
_B
B

A

C

_A

D

B
_'

B'
A'

D'

_D

_C'

C'

S

C
_

_A'

_D'

A

D

C

H
B

hình vẽ bài 3
hình vẽ bài 1 + 2
3. Hãy chia một khối lập phương thành 6 khối tứ diện bằng nhau.
4. Chia 1 khối tứ diện thành 4 khối tứ diện bằng 2 mặt phẳng.
5. CM đa diện có các mặt là tam giác thì tổng số mặt là số chẵn. Cho ví dụ.
D
Gọi số mặt của đa diện là M.
Vì mỗi mặt có 3 cạnh nên lẽ ra cạnh của nó là 3M.
Vì mỗi cạnh là cạnh chung cho hai mặt nên số cạnh
C của đa diện là C = ½ .3M .
Vì C là số nguyên nên 3M phải chia hết cho 2,
C
A
mà 3 không chia hết cho 2 nên M phải chia hết cho 2
 M là số chẳn.
B
Ví dụ : như hình vẽ bên
6. CM đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng các
đỉnh phải là số chẵn. Cho ví dụ.
2


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
 Hồ Văn
Hoàng
Gọi Đ là số đỉnh của đa diện và mỗi đỉnh của nó là một số lẻ (2n + 1) mặt thì số mặt của
nó là (2n + 1).Đ.
Vì mỗi cạnh chung cho hai mặt, nên số cạnh của đa diện là C = ½ (2n + 1). Đ.
Vì C là số nguyên nên (2n + 1).Đ phải chia hết cho 2, mà (2n + 1) lẻ không chia hết cho 2
nên Đ phải chia hết cho 2  Đ là số chẳn. Ví dụ hình hộp, tứ diện.
7. CM đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba cạnh thì tổng các đỉnh
phải là số chẵn. Cho ví dụ. ( Ta chứng minh 3Đ = 2C)
PHẦN NÂNG CAO: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
(tương tự như phép biến hình trong mặt phẳng)
1. Phép biến hình: trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi
điểm M ta xác định được duy nhất điểm M’ được gọi là phép biến hình
trong không gian.
2. Phép dời hình: là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách
giữa hai điểm bất kì. Gồm có:
u
r
 Phép tịnh tiến theo vectơ v : là phép biến hình biến
M’
uuuuur u
r
điểm M thành điểm M’ sao cho: MM '  v
M
M
 Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  : là phép biến hình biến

ur
v

 Các điểm thuộc  P  thành chính nó.
 Điểm M không thuộc  P  thành điểm M’

P

sao cho  P  là mặt phẳng trung trực của MM ' .

 Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P 

I
M’

biến hình H thành chính nó

thì  P  được gọi là mặt phẳng đối xứng của H.
Ví dụ: hình bát diện đều ABCDEF có 8 mặt là 8 tam giác đều: EAB, EBC, ECD, EDA, FAB,
FBC, FCD, FDA có các mặt đối xứng là (ABCD), (EBFD).

O
M’
Phép đối xứng tâm O: là phép biến hình biến: 
M
 Điểm O thành chính nó.
 Điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.



Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành chính nó thì O được gọi
là tâm đối xứng của H.



Phép đối xứng qua đường thẳng  : là phép biến hình biến:
 Điểm thuộc  thành chính nó.
 Điểm M   thành điểm M’ sao cho  là đường trung trực của
MM’.



Nhận xét:
 Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
 Phép dời hình biến đa diện H thành đa diện H’ và biến đỉnh, cạnh,
mặt của H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của H’.
3


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

3. Phép vị tự:
 Định nghĩa: cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định.
Phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành M’ sao cho
uuuur
uuuu
r
OM '  kOM được gọi là phép vị tự. Trong đó: O gọi là tâm vị tự; k
gọi là tỉ số vị tự .
 Tính chất cơ bản của phép vị tự:
 Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì
uuuuuur
uuuur
M ' N '  k MN và M ' N '  k MN .
 Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn
điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng.
4. Hai hình bằng nhau:
 Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình
này thành hình kia.
 Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có môt phép dời hình biến đa
diện này thành đa diện kia.
 Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
 Hai tứ diện đều có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
 Hai lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
5. Hai hình đồng dạng: Hình H được gọi là đồng dạng với hình H’
nếu có một phép vị tự biến hình H thành hình H1 mà hình H1 bằng
hình H’.
Ví dụ1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
a) Hai hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau.
Gọi O là tâm hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
Khi đó, tồn tại phép đối xứng tâm O biến
A � C ', B � D',C � A',D � B',C' � A
ޮ A.C'D'A'B' C'.ABCD . Suy ra, hai hình chóp bằng nhau.
b) Các lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau.
Xét mặt phẳng đối xứng (AB’C’D)
biến A a A,B a A',C a D',A' a B,B' � B',C' � C'
� ABC. A ' B ' C ' a AA'D'.BB'C'
Suy ra, hai , lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau.
Ví dụ 2: Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng:
Mặt phẳng trung trực của ba cạnh AB, AD, AA’ và
6 mặt phẳng đi qua cặp cạnh đối diện.
Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng mặt phẳng trung trực của AB và
CD chia tứ diện thành bốn tứ diện bằng nhau.
Gọi I là trung điểm của AB
� ( ICD) là mặt phẳng trung trực của AB
� ( ICD) chia ABCD thành hai khối tứ diện (IACD) và (IBCD)
4


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
 Hồ Văn
Hoàng
Gọi J là trung điểm của CD
� ( AIJ ), ( BIJ ) lần lượt là mặt phẳng trung trực của
(IACD), (IBCD)
� ( AIJ ) chia (IACD) thành hai khối tứ diện bằng nhau
là (AIJC) và (AIJD)
(BIJ) chia (BICD) thành hai khối tứ diện bằng nhau (BIJC) và (BIJD). Suy ra, đpcm.
Ví dụ 4: Hai mặt cầu có bán kính bằng nhau thì bằng nhau. Phép đối xứng qua mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt cầu là phép dời hình biến mặt cầu này
thành mặt cầu kia.

2. KHốI ĐA DIỆN LỒI  KHốI ĐA DIỆN ĐỀU
I.KHỐI ĐA DIỆN LỒI
 Khối đa diện (H) lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý của (H) luôn
thuộc (H)
 Miền trong của khối đa diện lồi nằm về một phía đối với mỗi mặt
phẳng chứa một mặt của nó.
II. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại {p; q} nếu thoả:
 Mỗi mặt là một đa giác đều p cạnh.
 Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Chỉ có năm loại khối đa diện đều : {3; 3}; {4; 3}; {3; 4}; {5; 3}; {3;
5}.
Loại
Tên gọi
Số đỉnh
Số
Số mặt
cạnh
{3; 3}
Tứ diện đều
4
6
4
{4; 3}
Lập phương
8
12
6
{3; 4}
Bát diện đều
6
12
8
{5; 3}
Mười hai mặt
20
30
12
{3; 5}
đều
12
30
20
Hai mươi mặt
đều
 Tâm các mặt tứ diện đều là đỉnh một tứ diện đều.
 Trung điểm các cạnh tứ diện đều là đỉnh bát diện đều. (H1)
 Tâm các mặt lập phương là đỉnh bát diện đều. (H2)
Công thức Ơ–le: Gọi d, c , m theo thứ tự là số đỉnh, số cạnh và số
mặt của một khối đa diện lồi. Khi đó ta có mối liên hệ sau: d − c +
m=2.

5


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng
Tứ diện đều
Lập phương
Bát diện đều
20 mặt đều
{3; 3}
{4; 3}
{3; 4}
{3; 5}

(H1)

A

N

{5; 3}

D

B

C

I

A
3. THỂ TÍCH KHốI ĐA
DIỆN

 Khối chóp có diện tích đáy B, chiều cao h :
D

12 mặt đều

(H2)

I

M

 Hồ Văn

E

F

B

M

1
V =E B.h .
3
V = B.h .
V = B.h .
D’
J
V = a.b.c
.
3
=a .
N

F

Lăng trụ có diện tích đáy B, chiều cao h :
C’
Khối hộp có
J diện tích đáy B, chiều cao h :
Khối hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, cA’:
B’
C
Khối lập phương cạnh
a:
V
Chú ý
1. Tỉ số thể tích hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỉ số
đồng dạng
2. Khối chóp S.ABCD. Trên các đoạn SA, SB, SD lần lượt lấy ba điểm
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '

.
.
A’, B’, C’ khác S. Ta có:
.
VS . ABC
SA SB SC
3. Ta có thể chia khối đa diện đã cho thành các khối lăng trụ hoặc
khối chóp đơn giản hơn. Ngược lại cũng có thể thêm vào khối đa
diện đã cho các khối đa diện quen thuộc để được một khối đa diện
đơn giản hơn.





VD 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA   ABCD  , SA  AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

S

Giải SA  AC  a 2 (AC là đường chéo hình vuông cạnh a)
1
1
a2 2
VABCD = .S ABCD .SA  .a 2 .a 2 
.
3
3
3
VD 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a,B
cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm cạnh BC.
a. Chứng minh: BC vuông góc mp(SAI)
b. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải:
a. Tam giác SBC cân tại S,I là trung điểm BC.
A
Suy ra: BC  SI
6

A

D

S

C

C
O
B

I


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

Tam giác ABC đều suy ra: BC  AI . Vậy : BC  ( SAI )
b. V

1
a 3 11
với

.
.
SO

ABCD
3 S ABC
4

S ABC 

1
1
3 a2 3
BC.SI  a.a

2
2
2
4

2

�a 3 � 33a 2
a 33
SO  SA  OA  2a  �
�3 �
�  9 � SO  3 .
� �
VD 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh
đều bằng a. Tính thể tích khối trụ.
a2 3
Giải V  S ABC. AA/  a.
.
4
Kiến thức cơ bản cần nhớ:
1) Cho ABC vuông ở A ta có :
a) Định lý Pythago : BC 2  AB 2  AC 2
2

2

2

A

C

2

B

C’

A’
B’
A

b) BA2  BH .BC ; CA2  CH .CB ;
B
H
c) AB. AC = BC. AH
1
1
1


d)
;
AH 2 AB 2 AC 2
AC
CB
AC
, cosB 
, tan B 
e) sin B 
AB
AB
CB
2) Công thức tính diện tích tam giác :
1
a2 3
Đặc biệt : ABC vuông ở A : S  AB. AC , ABC đều cạnh a: S 
2
4
3) Định lý đường trung bình, Talet.
�d  a; d  b
4) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng : �
; a b
�a, b �ǹ�

C

�d 

�d  
�d a
5) Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý: �
�a �
s
6) Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  :
+ Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng 
A'
+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a
B’
7) Lưu ý về công thức tỉ số thể tích
C’
Cho hình chóp SABC, A ' �SA, B ' �SB , C ' �SC , ta có:
B
A
VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC '

.
.
(*)
VSABC
SA SB SC
C
Các dạng bài tập
I. Tính thể tích khối đa diện bằng cách xác định chiều cao và đáy của khối đa diện.
Phương pháp:  Xác định đáy và dựng được chiều cao khối đa diện.
 Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức.
7


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông
góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60O.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích của khối
S
chóp MBCD.

1
a)Ta có V  S ABCD .SA với diện tích đáy SABCD = 4a2
3

M

1
8a 3 6
SAC có : SA  AC tan C  2a 6 � V  4a 2 .2a 6 
3
3
b) Kẻ MH // SA � MH  ( DBC )

B

A
H

D

1
1
1
2a 3 6
Ta có: MH  SA , S BCD  S ABCD � VMBCD  V 
2
2
4
3

C

Bài 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Tính khoảng cách từ M đến
mp(ABC).

a) Gọi O là tâm của  ABC  DO  ABC  DO  (ABC). V = 1/3 SABC . DO
 S ABC

D

2
a 3
a2 3 ,
OC  CI 

3
3
4

M

a 6
 DOC vuông có : DO  DC  OC 
3
2

2

A

H

1 a 2 3 a 6 a3 2
�V 
.

3 4
3
12

I

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH ; MH 
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có

1 B a 6
DO 
2
3
B

A
O

AB  a 3 ,

M

D

AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích V khối hộp chữ nhật, khối chóp
OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện
OBB’C’.

a) Ta có : V  AB. AD.AA '  a 3.a 2  a 3 3
ABD có : DB 

C

O

c

A'

D'

B'

C'

AB 2  AD 2  2a

1
a3 3
* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp � VOA ' B ' C ' D '  V 
3
3
1
1 a2 a 3 a3 3
b) M là trung điểm BC � OM  ( BB ' C ') � VO BB ' C '  S BB ' C ' .OM  . .

3
3 2 2
12

8


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Ta có : C ' H 

3VOBB ' C '
SOBB '

1 2
a � C ' H  2a 3
2
II. Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện.
Phương pháp: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích.
(Trên cơ sở phát hiện những khối dễ xác định đường cao và diện tích
A đáy)
B
ABD có : DB  AB 2  AD 2  2a � SOBB ' 

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
D

Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’
và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’.
 Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’
có diện tích và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích.
Khối CB’D’C’ có V1 = a3/6

C

A'

D'1
1
 Khối lập phương có thể tích: V2  a 3 � VACB ' D '  a 3  4. a 3  a 3 .
6
3

Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a. E
A
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F.
I
Tính thể tích khối CA’B’FE.

B'

C'

C
F

B
a) Gọi I là trung điểm AB, Ta có:
2
3
1
1a a 3 a 3
VA ' B ' BC  S A ' B ' B .CI 
.

3
3 2 2
12
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’.
 Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên
C'
1
1
a2 3
a 3 3 A'
VA ' CEF  SCEF .A ' A ; SCEF  S ABC 
� VA ' CEF 
J
3
4
16
48
B'
 Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên
1
1
a2
1 a2 a 3 a3 3
VA ' B ' CF  SCFB' . A ' J ; SCFB'  SCBB ' 
� VA ' B ' C F 

3
2
4
3 4 2
24

a3 3
.
16
III. Tính thể tích khối đa diện bằng cách lập tỉ số thể tích của hai khối đa diện.
Phương pháp:
+ Tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện đã cho với một khối đa diện dễ tìm thể tích .
+ Rút ra thể tích của khối đa diện đã cho.
+ Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối chóp.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC  a 2 ,
 Vậy : VCA'B'FE 

SA vuông góc với đáy, SA = a.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

9


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng  qua AG và song song
với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích
S của khối chóp S.AMN.

1
a)Ta có: VS . ABC  S ABC .SA .  SA = a
3
 ABC cân có : AC  a 2 � AB  a � S ABC 

1 2
a
2

N

1 1
a3
Vậy: VSABC  . a 2 .a 
3 2
6

G
A

C

M

SG 2

SI 3
VSAMN SM SN 4
SM SN SG 2
 // BC � MN// BC �

.



 �
VSABC
SB SC 9
SB SC SI 3

I

b) Gọi I là trung điểm BC; G là trọng tâm,ta có :

B

4
2a 3
Vậy: VSAMN  VSABC 
.
9
27
Bài 7: (Bài 9/26 Sgk) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình
vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 o. Gọi M là trung điểm SC.
Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E Svà cắt SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
M

a) Gọi I  SO �AM .
Ta có (AEMF) //BD � EF // BD
1
b) VS . ABCD  S ABCD .SO
3
 S ABCD  a 2

E

B

I

C
F
O

A

3

D
a 6
 SOC có : SO  AO.tan 60  a 6 . Vậy : VS . ABCD 
6
2
SM 1
 .
c) VS . AEMF : Xét khối chóp S.AMF và S.ACD ta có : �
SC 2
VSAMF SM SF 1
SI SF 2

.

SAC có trọng tâm I, EF // BD nên �

 �
SC SD 3
SO SD 3 DVSACD

1
1
a3 6
a3 6 a3 6
.
� VSAMF  VSACD  VSACD 
� VS . AEMF  2

3
6
36
36
18

Bài 8: (Bài 5/26 Sgk) Cho tam giác ABC vuông cân ở A vàF AB = a. Trên
đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao
cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD
tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
E
C
B
b) Chứng minh CE  (ABD)
Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

10
A


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

1
1 3
a) Ta có: VABCD  S ABC . AD  a
3
3
b) Ta có: AB  AC , AB  CD � AB  EC
Ta có: DB  EC � EC  ( ABD)
VDCEF DE DF

.
(*) . Mà DE.DA  DC 2 , chia cho DA2
c) Ta có:
VDABC DA DB


DE DC 2
a2
1
DF DC 2
a2
1



.
Tương
tự:



2
2
2
2
2
DA DA
2a
2
DB DB
DC  CB
3

Từ (*) �

VDCEF 1
 . Vậy
VDABC 6

1
a3
VDCEF  VABCD 
6
36

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc đáy, SA  a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB,
SD. Mp (AB’D’) cắt SC tại C’
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC  (AB’D’)
S
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

1
a3 2
a) Ta có: VS . ABCD  S ABCD .SA 
3
3
BC

(
SAB
)

BC

AB
'
b) Ta có
Ta có SB  AB ' suy ra: AB '  ( SBC )
c)  Tính VS . AB ' C ' : ta có:

VSA ' B ' C ' SB ' SC '

.
(*)
VSABC
SB SC

Từ (*) �

I
B

A
O
D

SAC vuông cân nên

B'

C'
D'

C

SC ' 1
SB ' SA2
2a 2
2a 2 2
 . Ta có:

 2
 2  .
2
2
SC 2
SB SB
SA  AB
3a
3

3
3
VSA ' B ' C ' 1
 � VSA ' B ' C '  1 . a 2  a 2
VSABC
3
3 3
9

 VS . A B ' C ' D '  2VS . A B ' C ' 

2a 3 2
.
9

Bài tập
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc
60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc đáy,
SA= a 2 . Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Tính độ dài đường cao đỉnh A của SABC.
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC= a 2 , góc giữa AC’ và
mp(A’A’C’D’) bằng 30 . M là trung điểm AD
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
b) Tính thể tích khối MACB’
11


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
 Hồ Văn
Hoàng
Bài 4 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’.
b) Tính thể tích khối CBA’B’
Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC và ABC đều cạnh a. Góc giữa mp(SBC) và
mp(ABC) bằng 60 . Tính thể tích của khối chóp SABC.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a 2
, SA=2a. E là trung điểm SB, F là hình chiếu của A lên SC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Tính thể tích khối SAEF.
c) Tính khoảng cách từ F đến mp(SAE)
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a, M là trung
điểm SB.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính thể tích khối chóp S.DCM
c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA tại N. Tính thể tích khối chóp S.MNDC
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật,
AB = 2BC = a, SA = a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) AH, AK là đường cao của tam giác SAB và SAD. Tính thể tích của khối S.AHK

Bài tập sách giáo khoa
1. Tính thể tích: a) Khối tứ diện đều cạnh a.
a 2
a 2
a 2
a)
; b)
; c)
.
b) Khối chóp tứ giác đều đều cạnh a.
12
6
3
c) Khối bát diện đều cạnh a.
2. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Tính VACB’D’ theo V. (KQ: V/3)
3. Tính thể tích khối hộp ABCD,A’B’C’D’ biết A’ABD là tứ diện đều cạnh a.
4. Tứ diện SABC có ABC vuông cân ở A, AB = a, SC  (ABC), SC = a. Mặt phẳng qua
C và vuông góc SB cắt SA, SB tại E, F. Tính thể tích các khối tứ diện SABC và CSEF
theo a.
(KQ: a3 /36)
*5. Tính thể tích lăng trụ tứ giác đều có các cạnh đều bằng a.
(KQ: a3)
*6. Lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC đều cạnh a., B’A = B’B = B’C và góc [B’B,(ABC)] =
60o.
a) Tính thể tích khối lăng trụ.
b) Cmr ACC’A’ là hình chữ nhật.
c) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình lăng trụ.
3

a) V 

3

a3 3
a2 3
; b) HD: Cminh AD  BB'...; c) S xq 
( 13  2)
4
3

3

.

*7. Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC vuông tại B, BC = b, góc ACB = 60o, góc
[AC’,(BB’C’C) = 30o.
a) Tính độ dài đoạn BC’. (KQ: 3b) b) Tính thể tích khối lăng trụ. (KQ: b3.6)
Đề thi tốt nghiệp 2008
Lần 1 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại B, đường thẳng
SA  (ABC).Biết AB = a, BC = a3 và SA = 3a.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
Lần 2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cã cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là
trung điểm của cạnh BC.
12


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
 Hồ Văn
Hoàng
1. Chứng minh SA  BC.
2. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
Đề thi tốt nghiệp 2008: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 1200, tính thể tích của khối
chóp S.ABC theo a.
Giải Hình chiếu của SB và SC trên (ABC) là AB và AC , mà SB=SC nên AB=AC
a
Ta có : BC2 = 2AB2 – 2AB2cos1200  a2 = 3AB2  AB =
3
S
SA2 = a2 
SABC =
V =

a2
3

� SA =

a 2

a

3
a

1
1 a2 3
a2 3
AB.AC.sin1200 =
=
2
2 3 2
12

1 a 2 a2 3
a3 2
=
3 3 12
36

CHƯƠNG

C
A

(đvtt)

a

2 MẶT NÓNMẶT TRỤMẶT CẦU

B

1. MẶT CẦU
MẶT CẦU – KHỐI CẦU ( HÌNH CẦU )
1. Định nghĩa
 Mặt cầu S(O;R) tâm O bán kính R là tập hợp { M | OM = R}
 Khối cầu S(O;R) tâm O bán kính R là tập hợp { M | OM ≤ R}
2. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) O
Gọi H = hc O trên (P). Đặt: d = OH = d[0, (P)]
R d
 d > R: (P)  (S) = 
A r H
 d = R: (P) tiếp xúc (S) tại H ta có H: tiếp điểm; (P)P tiếp diện
 d < R: (P) cắt (S) theo 1 đường tròn có tâm là H bán kính r = R2 – d2
3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng ( ) và mặt cầu S(O;R).
Gọi H = hc O/()  d = OH = d[O, ()]
 d > R: ()  (S) = 
O
d
 d = R: () tiếp xúc (S) tại H  H: tiếp điểm.
H
 d < R: () cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B  H là trung điểm AB.
Nếu  qua O ta có AB là đường kính.
Chú ý : Tiếp tuyến của mặt cầu là đường thẳng  bán kính tại 1 điểm
trên mặt cầu.
 Hai tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm A đến mặt cầu(AT &AT’) thì
bằng nhau.
 Các tiếp tuyến với m/cầu tại 1 điểm đều thuộc tiếp diện với
m/cầu tại điểm đó.
13


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

 qua một điểm nằm ngoài mặt cầu có thể kẻ vô số tiếp tuyến
với mặt cầu.
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ HÌNH LĂNG TRỤ
Định nghĩa: Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình chóp (hoặc hình lăng trụ)
nếu
nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp đó (hoặc hình lăng trụ)
Định lý:
Điều kiện cần và đủ để hình chóp nội tiếp trong 1 mặt cầu

đáy hình chóp nội tiếp trong 1 đường tròn.
Nhận xét: Mọi hình chóp tam giác (tứ diện) đều nội tiếp trong 1 mặt
cầu
Phương pháp: XÁC ĐỊNH TÂM CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
 Dựng trục () của đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp.
 Dựng mặt phẳng trung trực (P) của 1 cạnh bên (thích hợp) của hình
chóp.
 Giao điểm H= ()(P) chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Chú ý: a) Trong 1 số trường hợp ta dựng đường trung trực của 1 cạnh
bên trong mặt phẳng thích hợp thay cho mặt phẳng trung trực (P) của
cạnh bên đó.
b) Nếu hình chóp (hay hình đa diện ) n đỉnh mà có (n–2) đỉnh nhìn 2
đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông thì hình chóp đó nội tiếp trong mặt cầu có
đường kính là đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại đó.
TÍNH BÁN KÍNH CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
 Thường dựa vào tam giác đồng dạng hay đ/lý Pitago v.v
Các dạng thường gặp:
1.Hình chóp có tất cả các đỉnh nhìn 1 đoạn chung AB dưới một góc
vuông: mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đường kính AB.
2.Hình chóp đều: dựng đường trung trực d’ của 1 cạnh bên (trong mặt
phẳng (P) chứa trục d và cạnh bên này), giao điểm I của d và d’ là tâm
mặt cầu ngoại tiếp.
3.Hình chóp có 1 cạnh bên a vuông góc với đáy: dựng đường trung trực
d’ của a (trong mặt phẳng (P) chứa trục d và a), giao điểm I của d và d’
là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
4.Nếu không có cạnh bên nào của hình chóp và trục d cùng ở trong 1
mặt phẳng:
 Dựng mặt phẳng trụng trực α của 1 cạnh bên, tâm mặt cầu ngoại tiếp
là I = α  d.
Tìm giao điểm I của 2 trục.
Diện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu:

14


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

 Diện tích mặt cầu

S = 4πR2
4
 Thể tích khối cầu:
V = πR3
3
Hướng dẫn bài tập SGK (CƠ BẢN)
Bài 1:Tìm tập hợp các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố
định dưới một góc vuông .
() vì �
AMB  1V  M đường tròn dường kính AB
 M mặt cầu đường kính AB.
()Nếu M mặt cầu đường kính AB  M đường tròn
M
đường kính AB là giao của mặt cầu đường kính AB với
(ABM)  �
AMB  1V
Kết luận: Tập hợp các điểm M nhìn đoạn AB dưới góc
vuông là mặt cầu đường kính AB.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác
định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều.
 ABCD là hình vuông và SA = SB = SC = SD.
Gọi O là tâm hình vuông, ta có 2 tam giác ABD, SBD bằng nhau
 OS = OA. Mà OA = OB= OC= OD
AC a 2
 Mặt cầu tâm O, bán kính r = OA =
=
.
2
2
Bài 3 : Tìm tâp hợp tâm các mặt cầu luôn chứa một đường tròn cố định.
() Gọi A,B,C là 3 điểm trên (C). O là tâm của một mặt cầu nào đó
chứa (C). Ta có OA = OB = OC  O  trục của (C)
() O’() trục của (C)
M(C) ta có O’M = O ' I 2  IM 2 = O ' I 2  r 2 không đổi
 M thuộc mặt cầu tâm O’ bán kính O ' I 2  r 2
 Kết luận: Tập hợp cần tìm là trục đường tròn (C).
Bài 4: Tiếp xúc ba cạnh một tam giác cho trước.
Hướng dẫn: Giả sử mặt cầu S(O, R) tiếp xúc với 3 cạnh  ABC lần lượt tại A’,B’,C’. Gọi I
là hình chiếu của S trên (ABC). Dự đoán I là gì của  ABC ?  Kết luận OI là đường
thẳng nào của  ABC  Dự đoán.(trục đường tròn nội tiếp)
Bài 5: Từ điểm M  S(O; R) kẻ hai cát tuyến MAB & MCD.
CMR: MA.MB = MC.MD = MO2 – R2.
Gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi (AB,CD)
 (P) cắt S(O, r) theo giao tuyến là đường tròn (C)
qua 4 điểm A,B,C,D  MA.MB = MC.MD
Gọi (C1) là giao tuyến của S(O,r) với mp(OAB)
 C1 có tâm O bán kính r . Ta có MA.MB = MO2 – r2
15


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
 Hồ Văn
Hoàng
Bài 6:Cho mặt cầu S(O; R) tiếp xúc mặt phẳng (P) tại I. Từ M trên mặt cầu (IM
� .
không là đường kính) kẻ hai tiếp tuyến với S(O; R) cắt (P) tại A, B. CM �
AMB  AIB
Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (AMI)
và mặt cầu S(O,r).
Vì AM và AI là 2 tiếp tuyến với (C) nên AM = AI.
Tương tự: BM = BI suy ra ABM = ABI (C-C-C)
Vậy �
AMB  �
AIB
Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a, AB=b, AD=c.
a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó
b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu .
a)Các đường chéo của hình hộp có độ dài bằng nhau
và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường � OA=OB=OC=OD=OA’=OB’=OC’=OD’,
AC '
OA 
2
Vậy O là tâm của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp
chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ , bán kính r = OA
1 2
AC '  a 2  b 2  c 2 � r  OA 
a  b2  c2
2
b)Mặt cầu giao với mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp hình chữ
nhật ABCD. Vì các đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm I
BD 1 2

b  c2
của mỗi đường nên I là tâm của mặt cầu và bán kính r 
2
2
BD 1 2

b  c2 .
Vậy đường tròn giao tuyến có tâm I là trung điểm BD và bán kính r 
2
2
Bài 8: CMR nếu có mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh tứ diện ABCD thì
AB + CD = AC + BD = AD + BC.
Hướng dẫn: Giả sử tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD,
CB, CD, BD lần lượt tiếp xúc với mặt cầu nào đó lần lượt tại
M, N, P, Q, R, S. Khi đó:
 AM = AN = AP = a
 BM = BQ = BS = b
 DP = DQ = DR = c
 CN = CR = CS = d
 Kết quả cần chứng minh.
Bài 10:Cho tứ diện ABCD có AB = a; AC = b; AD = c. Ba cạnh AB, AC, AD đôi một
vuông góc.
Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện.
Gọi I là trung điểm BD do ABD vuông tại A
 I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABD .
. Dựng () là đường thẳng qua I và  (ABD)
  là trục đường tròn ngoại tiếp ABD.
. Trong (AC,) dựng trung trực AC cắt () tại O

16


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng
 OC = OA = OB = OD
 O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
2

 Hồ Văn

2

2
2
2
�AC � �BD � a  b  c
r2 = OA2 = OI2 + IA2 = � � � � 
 S = (a2+b2+c2);
4
� 2 � �2 �
1
2
2
2
2
2
2
V =  (a  b  c ). a  b  c
6
Hướng dẫn bài tập SGK (NÂNG CAO)
Bài 1: Trong không gian cho 3 đoạn thẳng AB, BC, CD sao cho ABBC, BCCD,
CDAB. CMR có mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Tính bán kính mặt cầu đó, nếu
A
AB = a, BC = b, CD = c.
�AB  BC
� BC // CD (!)
Nếu A,B,C,D đồng phẳng �
�AB  CD
D
B

 A, B, C, D không đồng phẳng:

AB  BC �
�� AB  ( BCD )
AB  CD �

C

AD 1 2
… Có B, C cùng nhìn đoạn AD dưới 1 góc vuông  đpcm.  R =

a  b2  c2 .
2
2
Bài 2 /a. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua 3 điểm phân biệt A, B, C cho trước ?
b. Có hay không một mặt cầu đi qua 1 đtròn và 1 điểm năm ngoài mp chứa đtròn ?
c. Có kết luận gì về mặt cầu qua 4 điểm không đồng phẳng ?
a.  A, B, C thẳng hàng: Không có mặt cầu qua 3 điểm thẳng hàng.
 A, B, C không thẳng hàng : Gọi I là tâm của mặt cầu ta có : IA = IB = IC
� I � d là trục  ABC. Vậy: Có vô số mặt cầu qua 3 điểm không thẳng hàng , tâm của
mặt cầu nằm trên trục của  ABC.
b. Trên đường tròn lấy 3 điểm A, B, C phân biệt và lấy điểm S � (ABC).
Gọi I là tâm của mặt cầu ta có: IA = IB = IC � I � d là trục  ABC.
Mặt khác do IA = IS � S �() là mp trung trực của đoạn AS � I = d � .
c. Có duy nhất một mặt cầu qua 4 điểm không đồng phẳng.
Bài 7: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng a và chiều cao h
Gọi O là tâm của mặt cầu thì O =d �
với d là trục  ABC & () là mp trung trực của SA
 Gọi H là tâm  ABC � SH là trục  ABC
 Trong () dựng đường trung trực Ny của SA; Gọi O=SH �Ny � O là tâm
Bài 9 : Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA = a, SB = b, SC = c
và SA, SB, SC đôi một vuông góc. Cmr điểm S, trọng tâm ABC, tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp SABC thẳng hàng.
 Gọi I là trung điểm AB. Dựng Ix //SC � Ix là trục  ABC
Do trục và cạnh bên nằm cùng 1 mp nên
G

17


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
 Hồ Văn
Hoàng
dựng trung trực Ny của SC. Gọi O = Ny � Ix � O là tâm và
1 2
R = OS = NS 2  IS 2 
a  b 2  c 2 � Diện tích S = (a2+b2+c2);
2
 Vì SC // OI  SO  CI = G: CG = 2 GI, do CI là trung tuyến của ABC
 G là trọng tâm  đpcm.
Củng cố :

Đối với hình chóp có cạnh bên và trục của đáy nằm trong 1 mp thì tâm mặt
cầu I = a �d
với a : trung trực của cạnh bên.
d : trục của mặt đáy.

Tự luyện
1. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp :
a/ Hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a.
b/ Hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc 60o.
c/ Hình chóp S.ABC có đáy là ABC đều cạnh a, SA = h và SA  (ABC).
d/ Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a.
e/ Hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc 45o.
f/ Hình chóp tứ giác đều S.ABCD , biết cạnh bên bằng b và tạo với đáy 1 góc 
2. Tìm tập hợp tâm mặt cầu:
a/ Qua một đường tròn cho trước.
(trục đường tròn )
b/ Tiếp xúc ba cạnh một tam giác cho trước.
(trục đường tròn nội tiếp)
c/ Qua hai điểm phân biệt cho trước.
(mặt trung trực cạnh AB)
d/ Qua ba điểm phân biệt thẳng hàng cho trước. (tập rỗng)
e/ Qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
(trục đường tròn ngoại tiếp)
f/ Qua một đường tròn cho trước và một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn.
3. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có cạnh đều = a. Xác định tâm và bán
kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp đó
và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu ngoại tiếp đó.
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt (SAB)
và (SAD) cùng  mặt đáy, góc giữa SC và (SAB) bằng 30o. Xác định tâm và tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
5. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA = a vuông góc với
đáy, cạnh bên SC tạo với mặt bên (SAB) góc 30o. Kẻ AESB, AF SD.
a/ Chứng minh rằng SC  (AEF) tại G và AG  EF.
b/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu qua 7 điểm A, B, C, D, E, F, G.
6. Cho hình chóp S.ABC đáy là ΔABC đều cạnh a, hai mặt bên (SAB), (SAC)
cùng vuông góc với đáy, mặt bên (SBC) tạo với đáy góc . Xác định tâm và
tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
7. Cho hình chóp S.ABC đáy là ΔABC cân tại A, AB = AC = a, BÂC = 120o, cạnh bên
SA = 2a vuông góc với đáy. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

2. MẶT tròn xoay
1. Khái niệm mặt tròn xoay.

Định nghĩa : Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa một đường
18


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
 Hồ Văn
Hoàng
thẳng Δ và một đường C . Khi quay mặt phẳng (P) quanh Δ một góc 3600
thì mỗi điểm M nằm trên C vạch ra một đường tròn có tâm O  Δ và
nằm trên mặt phẳng ()  Δ sinh bởi M khi quay quanh Δ. Vậy khi quay
mặt phẳng (P) quanh Δ một góc 3600 thì đường C sẽ tạo nên một
hình gọi là mặt tròn xoay.
 Δ gọi là trục của mặt tròn xoay .
 C gọi là đường sinh của mặt tròn xoay .
Tính chất :
 Nếu cắt mặt tròn xoay bởi mặt phẳng ()  Δ ta được giao tuyến là
đường tròn có tâm trên Δ.
 Mỗi điểm trên mặt tròn xoay đều nằm trên một đường tròn thuộc mặt
tròn xoay và có tâm thuộc trục của mặt tròn xoay.
2. Mặt nón tròn xoay

Định nghĩa. Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng
d và Δ cắt nhau tại O và tạo thành một góc α, trong đó 0ο<α<90ο Mặt
tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay mặt phẳng (P) quanh Δ
sao cho góc α không đổi gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O( mặt nón)
 Δ gọi là trục của mặt nón, d gọi là đường sinh của mặt nón,
 Theo tính chất chung của mặt tròn xoay, mỗi mặt phẳng vuông góc
với Δ cắt mặt nón theo một đường tròn (các đường tròn này có bán kính
thay đổi khi mặt phẳng thiết diện thay đổi). Ta nhận thấy rằng a) Nếu
M nằm trên mặt nón và khác với O thì toàn bộ đường thẳng OM đều
nằm trên mặt nón. Mặt nón cũng có thể xem như sinh bởi đường thẳng
OM khi quay quanh Δ , nói cách khác OM có thể xem là đường sinh của
mặt nón .
b) Mọi mặt phẳng đi qua Δ cắt mặt nón theo hai đường sinh tạo
với nhau góc 2α. Góc 2α gọi là góc ở đỉnh của mặt nón .
 Theo tính chất chung của mặt tròn xoay, mỗi mặt phẳng vuông góc
với Δ cắt mặt nón theo một đường tròn (các đường tròn này có bán kính
thay đổi khi mặt phẳng thiết diện thay đổi).
O
3. Khối nón tròn xoay và hình nón tròn xoay

 Hình nón (tròn xoay) là hình tròn xoay sinh ra bởi

tam giác vuông OIM quay quanh cạnh góc vuông OI
l
của nó.
 O: đỉnh
 (I, R): đường tròn đáy
A
B
I
 OI là trục và OI = h là chiều cao  OM là đường sinh
R
và OM =l
M
T
 AÔB = 2 là góc ở đỉnh của hình nón (AB là đường
kính của (I; R)).
Khối nón tròn xoay(khối nón) là phần không gian giới hạn bởi một
hình nón kể cả hình nón đó.
. Thiết diện
a. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là  cân chứa 2 đường sinh
19


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
 Hồ Văn
Hoàng
b. Thiết diện  trục OI là hình tròn
c. Mặt phẳng tiếp xúc với hình nón dọc theo 1 đường sinh thì 
thiết diện qua trục và đường sinh đó: (OMT)  (OMI) ; (OMT): tiếp diện
của hình nón.
 Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = πRl
R: bán kính đáy, l: đường sinh’
1
 Thể tích khối nón: V = πR2h R: bán kính đáy, h: đường cao.
3
 Diện tích xung quanh hình nón cụt: Sxq = π(R1 + R2)l
R1, R2: bán kính đáy, l: đường sinh
1
2
 Thể tích khối nón cụt: : V = π( R1  R1 .R2  R22 )h h: đường cao
3
4. Mặt trụ tròn xoay

 Định nghĩa. Cho hai đường thẳng song song l và
Δ cách nhau một khoảng r. Mặt tròn xoay sinh bởi
O’
M’
đường thẳng l khi quay quanh Δ gọi là mặt trụ tròn
xoay (hay vắn tắt là mặt trụ).
 Δ gọi là trục của mặt trụ và l gọi là đường sinh của
l

mặt trụ.
T
Chúng ta dễ dàng nhận thấy:
O
 Nếu cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng tuỳ ý vuông
r
M
góc với Δ thì thiết diện nhận được là một đường tròn
có tâm trên Δ và có bán kính r. Người ta cũng gọi r là
bán kính của mặt trụ.
 Mặt trụ nói trên có thể định nghĩa như là tập hợp tất cả những điểm M
cách đường thẳng Δ cố định một độ dài r không đổi.
 Nếu M’ là một điểm bất kì nằm trên mạt trụ, thì đường thẳng l’ đi qua
M’ và song song với Δ sẽ nằm trên mặt trụ (vì mọi điểm của l’ đều cách
Δ một khoảng r). Như vậy có thể xem mặt trụ sinh bởi đường thẳng l’,
nói cách khác đường thẳng l’ cũng là một đường sinh của mặt trụ.
Khối trụ tròn xoay (khối trụ) là phần không gian giới hạn bởi một
hình trụ kể cả hình trụ đó.
 Thiết diện
a. Thiết diện // trục Δ là hình chữ nhật chứa 2 đường sinh
b. Thiết diện  trục Δ là hình tròn bằng hình tròn đáy
c. Mặt phẳng tiếp xúc với hình trụ dọc theo đường sinh thì  thiết diện
qua trục và đường sinh đó: (M’MT)  (MOO’M’); (M’MT): tiếp diện hình
trụ.
 Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πRl R: bán kính đáy, l: đường sinh 
Thể tích khối trụ:
V = πR2h R: bán kính đáy, h: đường cao






20


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng
A

 Hồ Văn

D

A

D

l
C

MÆt trô trßn xoay

Khèi trô trßn xoay

B

C

H×nh trô trßn xoay

(Sinh bëi miÒn ch÷ nhËt (Sinh bëi ®êng gÊp khóc
(Sinh bëi ®êng l khi
ABCD khi quay quanh AB)
ABCD khi quay quanh AB)
quay quanh )

Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp những điểm M trong không gian sao cho
diện tích tam giác MAB không đổi.
Giải: Gọi khoảng cách từ M đến AB là d = d [M, AB] . Ta có: SΔMAB = S ⇔ ½ d.AB ⇔ d
= 2S/AB ⇔ M thuộc mặt trụ C trục AB bán kính R= d.
Vậy tập hợp các điểm M trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB luôn bằng S là
mặt trụ C có trục là AB và có bán kính R = 2S/AB.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B cố định, một đường thẳng l thay đổi luôn luôn đi qua A,
không vuông góc với AB và cách B một đoạn không đổi d. Chứng tỏ luôn nằm trên một
mặt nón.
Giải: Gọi H là hình chiếu của B xuống l. Đặt α = BÂH (α < 90ο)
Ta có BH = d nên sinα = BH/AB = d/AB. Do đó α không đổi.
Đường thẳng l đi qua điểm cố định A và tạo với đường thẳng AB một góc không đổi α vậy
l luôn nằm trên mặt nón N trục AB, đỉnh A, góc ở đỉnh là 2α.
0
Ví dụ 3:Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I,góc I�
OM =30 và cạnh IM = a .
Khi quay tam giác IOM quanh cạnh OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón
tròn xoay .a/ tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần. b/ Tính thể tích khối nón.
c/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trục ta được một thiết diện . Thiết diện là hình gì? Tính
diện tích thiết diện đó .
3
3
ĐS: a) Sxq= 2 a 2 ;
Stp= 3 a 2 . b) V=  a 3
.
c) S=
OM2= a 2 3
3
4
Ví dụ 4:Thiết diện qua trục của hình trụ là 1 hình vuông cạnh 2R. Tính:
a) Sxq và Stp của mặt trụ. b) V khối trụ.
c) Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
a/ Sxq=2R.2R=4R2; Sđ=R2 Stp=Sxq+2Sđ=6R2. b/ V=Sđ.h=R2.2R=2R3
c/ AC=2R=AB 2 AB=R 2 SABCD=2R2 Vlăng trụ=SABCD.h=4R3.
Ví dụ 5:Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD với AB=a, AD=a 3 . Khi quay hình
chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được một hình trụ tròn xoay.
Tính Sxq của hình trụ và thể tích V của khối trụ.
Hình trụ có bán kính R=a, chiều cao h=a 3 , l=h=a 3 .
Sxq = 2  Rl = 2  .a.a 3 = 2  a 2 3 (đvdt)
V =  R 2 h =  a 2 .a 3 =  a 3 3 (đvtt).
Vd5:: Cho một hình nón tròn xoay đỉnh S và đáy là hình tròn (O;r). Biết r = a; chiều cao
SO = 2a (a > 0). a. Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón.
21


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
 Hồ Văn
Hoàng
b. Lấy O' là điểm bất kỳ trên SO sao cho OO'=x (0(C) tạo bởi hình nón với măt phẳng đi qua O' và vuông góc với SO.
c. Định x để thể tích của khối nón đỉnh O, đáy là (C) đạt GTLN.
Hướng dẫn:
a. Hình nón có: Bán kính đáy: r = a. Chiều cao: h = SO = 2a.
Độ dài đường sinh: l=SA= OA2  OS 2 = a 5 .
Sxq =  rl =  a 2 5 .; Sđ =  r 2 =  a 2 .
� Stp = Sxq+Sđ =  (1+ 5 )a 2 ; V =

1
2
 r2 h =  a3 .
3
3

b. Nhận xét: Thiết diện (C) là hình tròn tâm O' bán kính r'=O'A'=

1
(2a-x).
2


Vậy diện tích thiết diện là: S ( C ) =  r' 2 = (2a-x) 2
4
c. Gọi V ( C ) là thể tích của hình nón đỉnh O và đáy là hình tròn C(O';r')
� V (C ) =

1

OO’. S ( C ) =
.x(2a-x) 2
3
12
3


 �2 x  (2a  x)  (2 a  x) �
8 .a 3
.2x(2a-x) 2 � . �
hay
V

(
C
)

24
24 �
3
81

2a
2a
8 .a 3
Dấu “=” xảy ra � 2x=2a-x � x=
.Vậy x=
thì V(C) đạt GTLN và MaxV(C) =
3
3
81
Ta có: V ( C ) =

II.BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và đường cao bằng a 2 .
a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng  . Tính
khoảng cách từ trục đến MN.
b)Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ
a) Kẻ đường sinh NN’ ta có �NMN '   , kẻ OH  MN ' thì OH bằng
khoảng cách
C

giữa trục OO’ và MN. Ta có: MN’ = NN’. cot = a. 2.cot 
N
 vuông OMH : OH2 = OM2 – MH2
O'
a2
a2
2  cot 2 
=a cot 2   (2  cot 2  ) � OH  a
2
2
2
b) Gọi x là cạnh của tam giác đều ngọai tiếp đường tròn đáy
của hình trụ.
1
1x 3 x 3
6 R 6a

�x

Ta có: O’N =R = AN 
3
3 2
6
3
3

B

2

C'

A

I

J

S

N'

O
H

B'

M
A'

M

P

18a
36a 3
.a 2  6a 2 6
VABC.A’B’C’ =
.OO ' 
.a 2  3a 2 . 6 . Sxq = 3x.OO’=
3
4
12
Bài2. Cho hình nón có chiều cao bằng h, góc giữa đường sinh và
cao làO  . Q
N
A đường
x

2

3

2

22
B


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

a) Tính diện tích thiết diện của hình nón bởi một mặt
phẳng qua hai đường sinh vuông góc nhau.
b)Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.
c) Tính độ dài đường cao hình trụ nội tiếp trong hình nón,
biết thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông.
h
a)Tính diện tích thiết diện. R = OA =h tan  , SA =
cos 
2
1
h
SA  SB � SAB vuông cân, SSAB = SA2 
2
2 cos 2 
 .h.tan 
1
1
 .h3 .tan 2 
b) Sxq =  .R.SA 
.  V =  .R 2 .SO   .h 2 tan 2  .h 
.
cos 
3
3
3
c) Đặt OM = x � MN  2 x .
MN AM

� MN . AO  AM .SO � 2 x.R  h.( R  x)
Ta có: MN//SO �
SO
AO
hR
2hR
2h tan 
� x(2 R  h)  hR � x 
� MN 

2R  h
2 R  h 2 R tan   1
Bài 3: Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là  . Một
mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB.
a) Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón.
b)Tính SSAB và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mp (SAB).
a) Tính V và Sxq.  vuông SAO : SO = a.sin  , AO = a.cos 
1
1
2
3
2
V =  . AO .SO   .a .cos  .sin  ; Sxq =  . AO.SA   .a 2 .cos 
3
3
b) + Tính SSAB ? Kẻ OH  AB � SH  AB , do đó �SHO  600
S
SO
2a.sin 
a 3.sin 

 vuông SOH : SH 
, OH = SO.cot.60 =
0
sin 60
3
3
 vuông AOH : AH2 = AO2 – OH2 = a2.cos2  
� AH 

a
3

3a 2 .sin 
9

3cos 2   sin 2  .

a

A

1
2a 2 .sin  3cos 2   sin 2 
AB.SH 
2
3

SH
� OK  ( SAB )
+ Tính d(O,(SAB))?Kẻ OK

Vậy SSAB =

K

O

H
B

a 3 sin  3 a.sin 
.

3
2
2
Bài 4:Một hình trụ có 2 đáy là hai hình tròn (O;r) và (O';r'). Khoảng cách giữa hai đáy là
OO'=r 3 . Một hình nón có đỉnh O' và đáy là hình tròn (O;r).
 vuông OKH : OK = OH.sin 600 =

23


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

S1
.
S2
2. Mặt xq của hình nón chia khối trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.
1. Hình trụ có: Bán kính đáy r. Chiều cao OO'=r 3 � S 1 = 2  .r.r 3 = 2 3  r 2
Gọi O'M là một đường sinh của hình nón � O'M= OO '2  OM 2 = 3r 2  r 2 =2r
1. Gọi S 1 , S 2 lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón trên. Tính

Hình nón có: Bán kính đáy: r. Chiều cao: OO'=r 3 . Đường sinh: l=O’M=2r.
S
� S 2 =  .r.2r = 2  r 2 .Vậy: 1 = 3
S2
2. Gọi V 1 là thể tích khối nón; V 2 là thể tích khối còn lại của khối trụ.
V1 1
1
3 3
3  3 2 3 .r 3
V 1 = r 3 r2 =
r ; V2 = Vtrụ - V 1 = r 3  r 2 r =

=
V2 2
3
3
3
3
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 1 & 2
Đề 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là
tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông
góc với mp đáy (ABC). Tính khoảng cách từ
điểm A tới mp (SBC)theo a, biết rằng
a 6
a 2
SA 
. Đáp án : d ( A; ( SBC )) 
2
2
Đề 2 : Cho hình chóp tam giác S. ABCcó
đáy ABClà tam giác đều cạnh a, SA= 2a và
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M,
N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể
tích của khới tứ diện A.BCNM.
a3 3 3
Đáp án : v A.BCMN 
50
ĐỀ 3: Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết
AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC,
CAD, DAB đều = 600
abc 2
Đáp án : v ABCD 
12
ĐỀ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình vuông cạnh a,mặt bên SAD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vuông

góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện
a3 3
CMNP. Đáp án : vM .CNP 
;
96
ĐỀ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
�  BAD
�  900 , BA = BC =
hình thang, ABC
a, AD= 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy
và SA  a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên SB. Chứng minh tam giác
SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ
H đến mặt phẳng (SCD).
a
Đáp án : ; d ( H ; (SCD )) 
3
ĐỀ 6: Cho hình trụ có các đáy là 2 hình
tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều
cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy
điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B
sao cho AB=2a Tính thể tích của khối tứ
a3 3
diện OO’AB.
Đáp án : vB. AOO ' 
;
12
ĐỀ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là
trung điểm của cạnh CD. Tính theo a,
khỏang cách từ điểm S đến đường thẳng BE.

24


Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN
Hoàng

 Hồ Văn

3a 5
5
ĐỀ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình chữ nhật với AB= a,
AD  a 2 , SA= a và SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là 2
trung điểm của AD và SC. I là giao điểm của
B và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng
(SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
a3 2
Đáp án : vN . AIB 
36
ĐỀ 9: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài
cạnh bên bằng 2a,đáy ABC là tam giác
vuông tại A,AB = a, AC = a 3 và hình
chiếu vuông góc của đỉnh A’trên mặt phẳng
(ABC) là trung điểm của cạnh BC.Tính theo
a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin
của góc giữa hai đường thẳng AA’,B’C’.
a3
1
Đáp án : v A '. ABC 
; cos( AA '; B ' C ') 
3
4
ĐỀ 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
0
0
mặt đáy bằng   0    90  . Tính tan của
Đáp án : d ( S ; BE ) 

góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)
theo  . Tính thể tích khối chóp S.ABCD
a3 2
theo a và  .Đáp án : vS . ABCD 
tan 
6
ĐỀ 11: Cho hình lập phương ABCD,
A’B’C’D’. Tính số đo góc nhị diện
0
[B,A’C,D].Đáp án : Sđ ( B, A ' C , D)  120
ĐỀ 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có
đáy ABC là tam giác vuông,AB=BC=acạnh
bên AA’= a 2 . Gọi M là trung điểm cạnh
BC.Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM,B’C.
Đáp án :
3
a 7
a 2
; d ( AM ; B ' C ) 
v ABC . A ' B ' C ' 
7
2

ĐỀ 13: Cho 2 mặt phằng (P) và (Q) vuông
góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng
 . Trên  lấy 2 điểm A, B với AB= a.
Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt
(Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuôn g
góc với  và AC= BD= AB. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo
a.
a 3
a 2
Đáp án : R 
; d ( A;( BCD )) 
2
2
ĐỀ14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình vuông cạnh a.Gọi E là điểm đối xứng
của D qua trung điểm của SA,M là trung
điểm AE,N là trung điểm BC.Chứng minh
MN vuông góc BD và tính theo a khoảng
cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
a 2
Đáp án : d ( MN ; AC ) 
;
4
ĐỀ 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a.
Gọi M và N lần lượt là trugn điểm của các
cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác
AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông
góc với mặt phẳng (SBC).
Đáp án : SAMN 

a 2 10
(đvdt)
16

ĐỀ 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a ,
SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc
mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB.BC.Tính theo a thể
tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của
góc giữa hai đường thẳng SM,DN.
a3 3
5
ĐS : vS .BMDN 
; cos( SM ; DN ) 
3
5
ĐỀ 17: Cho hình lập phương
ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a.
a. Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường
thẳng A1B và B1D.

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×