Tải bản đầy đủ

Cuc tri

 Hồ Văn

Bài tập Giải tích 12
Hoàng

§. 2

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Khái niệm cực trị
GIả sử hàm số f xác định trên tập hợp
(  ) và xo 
a) xo được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a ; b) chứa điểm xo sao cho (a; b) 
và f(x) < f(xo) với mọi x 
(a; b) \ { xo }.
Khi đó
f(xo) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
x
được

gọi
là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
b) o
(a ;b) chứa điểm xo sao cho (a ; b) 
và f(x) > f(xo) với mọi x 
(a; b) \. { xo }.
Khi đó
f(xo) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị .
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị .
Điểm M(xo; yo) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x)
Nếu xo là một điểm cực trị của hàm số f
ta nói hàm số f đạt cực trị tại điểm xo.
Chú ý
1)Giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số f
nói chung không phải là giá trị lớn nhất
(nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp
.
f(xo) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của
f trên một khoảng (a ;b) đủ nhỏ chứa điểm x0 .
2)Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu
tại nhiều điểm trên tập hợp
và các
cực trị nói chung là khác nhau (hình vẽ).

2.Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Quan sát hình vẽ ta thấy :
Nếu hàm số f hàm số đạt cực trị tại điểm x0 và đồ thị của hàm số có tiếp
tuyến tại điểm (xO; f(xO)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành tức
là f’(xO) = 0 .
Định lí 1
Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm xO và hàm số f có đạo hàm tại xO thì
f’(xO) = 0
Điều ngược lại có thể không đúng.
Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm xO nhưng hàm số f không đạt cực trị
tại điểm x0
Ví dụ Xét hàm số f(x) = x3, ta có f’(x) = 3x2 và f’(0) = 0 nhưng hàm số f không đạt cực
trị tại điểm x = 0 vì f’(x) = 3x2 > 0,  x  0 nên hàm số đồng biến trên .
Hàm số f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo
hàm .
1




Bài tập Giải tích 12
 Hồ Văn
Hoàng
Ví dụ Xét hàm số f(x) = |x| xác định trên R . Vì f(0) = 0 và f(x) > 0 với mọi x  0 nên
hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 nhưng hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0
Như vậy :
Một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà
3.Điều kiện đủ
đạt
cực
trị số bằng 0 hoặc tại đó
tạiđể
đóhàm
đạo số
hàm
của
hàm
Định lí 2
hàm số không có đạo hàm .
GIả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm xO và có đạo
hàm trên các khoảng (a; xO) và (xO;b) . Khi đó :
a)Nếu f’(x) < 0 x  (a; xO) và f’(x) > 0 x  (xO; b)  f(x) đạt cực
tiểu tại xO.
b)Nếu f’(x) > 0 x  (a; xO) và f’(x) < 0 x  (xO; b)  f(x) đạt cực
tiểu tại xO.
Định lí 2 được việt gọn lại trong hai bảng biến thiên sau :

CT

Định lí 3
GIả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm xO,
f’(xO) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x O.
a)Nếu f”( xO ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xO .
b)Nếu f”( xO) > 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xO .

Quy tắc tìm cực trị
 Phương pháp giải :
B1: Tìm tập xác định D, tính y’= f’(x),
B2: Tìm các điểm xi  D ( i = 1,2,…) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0
hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm .
B3: Dùng các QUI TẮC
 (Quy tắc I) Lập BBT rồi áp dụng định lý 2: Khi qua xi (từ trái sang
phải )
 f’(x) đổi dấu từ (+) sang (–)  xo là điểm cực đại.
 f’(x) đổi dấu từ (–) sang (+)  xo là điểm cực tiểu.
 (Quy tắc II) Tính f''(x). Từ dấu của f"(xo) suy ra tính chất cực trị của
điểm xi
 f”(xi) > 0 : xi là điềm cực tiểu.
 f”(xi) < 0 : xi là điềm cực đại.

Chú ý: Nếu f'(x0) = 0 và f"(x0) = 0 thì ta không tìm được
cực trị của hsố y = f(x) theo dấu hiệu II. Khi đó ta phải tìm
cực trị của hàm số theo dấu hiệu I chứ không được kết
luận hsố không có cực trị. Dấu hiệu II thường tìm cực trị
2


 Hồ Văn

Bài tập Giải tích 12
Hoàng

những hàm số mà việc xét dấu đạo hàm cấp 1 quá phức
tạp, chẳng hạn như hàm lượng giác.
 Ghi chú: Thế xi vào y = f(x) tìm giá trị cực trị yi .
Nhớ: 1. xo là điểm cực trị ta có yo =

u(xo ) u '(xo )

v (xo ) v '(xo )

(v(xo)  0; v’(xo)  0)

2. Nếu M(xo;yo) là điểm cực trị của y = ax³ + bx² + cx + d thì
y’(xo) = 0, chia y cho y’ ta có y = (mx+n).y’+ ax + b  yo= axo+b
Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm số f(x) 

1
3

D=.

x3  x2  3x 

5

3
 Bảng biến thiên :

 f'(x)  x2  2x  3


x  1
f’(x) = 0  x2  2x  3  0  �
x 3


CT

10
22
); điểm cực tiểu N(3; 
).
3
3

(x)  2x  2
Cách 2: Áp dụng quy tắc 2  f�



Vậy: điểm cực đại M( 1;

Vì f”(1) = 4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 , f(1) =

22
.
3
Hàm số đă cho xác định và liên tục trên  .
 Bảng biến thiên :

Vì f”(3) = 4 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3 , f(3) = 
Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số f(x) | x |

� x v��
i x  0
Ta có : f(x)  �
i x �0
� x v��

1 v��
i x  0
do đó f'(x)  �
i x  0
� 1 v��

CT

Vậy : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 , giá trị cực tiểu của hàm số là f(0) = 0 .
2x  1
x 2  2x  3
Ví dụ 3 Tìm cực trị các hàm số : a) y =
; b) y =
.
x3
x 1
2x  1
5
a) y =
gTa�
p xa�
c ��
nh : D = �\  3
gy�
=
 0 ,x �D
x3
(x  3)2

Vậy : Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên không có cực trị .
b) y =
gy�=

x 2  2x  3
x 1

x 2  2x  1
.
(x  1)2

10
.
3

gTa�
p xa�
c ��
nh : D = �\  1

x  1 2
y�
= 0 � x 2  2x  1  0 � �
x  1 2



gBa�
ng bie�
n thie�
n

3


 Hồ Văn

Bài tập Giải tích 12
Hoàng

Vậy : Hàm số đã cho đạt : g xC�  1 2, yC�  2 2 ; g xCT  1 2, yCT  2 2
H1 Tìm cực trị của hàm số f(x)  x 

4

 3.
x
H2 Tìm cực trị của hàm số f(x) | 2x  3| (HD: Xét f(x) trong 2 khoảng (−∞;0) và (0;+∞))
H3 Tìm cực trị của hàm số a) f(x) 

1
4

x4  2x2  1. b) f(x) = x4 + 1 .

Bài toán : Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu
 Tập xác định
 Đạo hàm y/
 Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai nghiệm
a �0


phân biệt  �
0



 Giải tìm m
Bài toán : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0
Cách 1:
* Tập xác định
* Đạo hàm y/
* Hàm số đạt cực trị tại x0  y/(x0) = 0 và y/
đổi dấu khi x qua x0
Cách 2:
* Tập xác định
* Đạo hàm y/
* Đạo hàm y//
* Hàm số đạt cực trị tại x0 

�y / (x0 )  0

� //
�y (x0 ) �0

Cực đại: y/ (x0) = 0 và y// (x0) < 0 ;
Cực tiểu : y/
//
(x0) = 0 và y (x0) > 0
Bài toán : Tìm m để hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0
* Tập xác định
* Đạo hàm y/ = f/ (x)
* Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi :

�f / (x0 )  0


f (x0 )  y0

�/ /
f
� (x0 ) �0

Ví dụ 1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
x 2  2m 2 x  m 2
3
2
1) y   m  2  x  3 x  mx  m .
2) y 
x 1
4


Bài tập Giải tích 12
 Hồ Văn
Hoàng
1)  Tập xác định: D  �
 Đạo hàm: y’= 3(m+2)x2 + 6x + m
Hàm số có cực đại và cực tiểu � y '  0 hay g(x) =3(m+2)x2 + 6x + m = 0 có hai nghiệm
m �2

m  2 �0

m �2


��
��
phân biệt � �
.
2

'

9

3
m
m

2

0
3

m

2
m

3

0
3  m  1





Vậy giá trị cần tìm là: 3  m  1 và m �2 .
x 2  2x  m2
2)  Tập xác định: D  �\  1 .
 Đạo hàm: y ' 
2
 x  1





Hàm số có cực đại và cực tiểu � y '  0 hay g(x) = x2 + 2x + m2 = 0 có hai

 '  1  m2  0
1  m  1


��
� 1  m  1
nghiệm phân biệt khác –1 � �
2
m ��1
g  1  1  m �0


Ví dụ 2. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị
mx 2  x  m
3
2
1) y   m  3  x  2mx  3 .
2) y 
xm
1)  Tập xác định: D  �.
 Đạo hàm: y’ = 3(m−3)x2 − 4mx; y’ = 0  3(m−3)x2 − 4mx = 0 (1)
 Xét m  3 ta có y '  0 � 12 x  0 � x  0
� y ' đổi dấu khi x đi qua x0  0 � Hàm số có cực trị � m  3 không thỏa
 Xét m �3 : Hàm số không có cực trị � y ' không đổi dấu � phương trình (1) vô
m  3 �0

m �3

��
�m0
nghiệm hoặc có nghiệm kép � �
2
m0
 '  4m �0


Vậy giá trị cần tìm là m  0 .
mx 2  x  m
2) y 
xm

 Tập xác định: D  �\  m . Đạo hàm: y ' 

y '  0  g(x) = mx2 + 2m2x = 0 (1)

 x �m  .

mx 2  2m 2 x

 x  m

2

Hàm số không có cực trị
 y’ không đổi dấu � phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
 Xét m  0 ta có y '  0, x �m � m  0 thỏa
 Xét m �0 : Yêu cầu bài toán �  '  m 4 �0 : vô nghiệm m �0
Vậy giá trị cần tìm là: m  0 .
x 2  mx  m
. Chứng minh với mọi m hàm số luôn luôn có
x 1
cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị là không đổi.
 Tập xác định: D  �\  1
Ví dụ 3. Cho hàm số y 

 Đạo hàm: y ' 

x 2  2x

 x  1

2

x  0 � y  m

ta có y '  0 � �
x  2� y  4m

5


Bài tập Giải tích 12
 Hồ Văn
Hoàng
Vậy y '  0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt m � Hàm số luôn luôn có cực trị
 Tọa độ các điểm cực trị A  0; m  , B  2;4  m 
Khoảng cách AB 

 2  0

2

  4  m  m   2 5 = const (đpcm).
2

Bài tập sách giáo khoa
fBài 1: Áp dụng qui tắc I tìm các điểm cực
trị a/ y = 2x3 + 3x2 −36x −10.
KQ : yCĐ = y(- 3) = 71; yCT = y(2) = - 54
b/ y = x4 + 2x2 −3. KQ : yCT =y(0) = − 3
c/ y = x+1 /x
.KQ : yCĐ= y(−1) = − 2; yCT = y(1) = 2
d/ y = x3(1−x)2.
3
108
KQ: yCĐ = y( ) =
; yCT = y(1) = 0
5 3125
1
3
e/ y = x 2  x  1 .KQ : xCT = và yCT =
2
2
Bài 2: Áp dụng qui tắc II tìm các điểm cực
trị của hàm số:
a/ y = x4 −2x2 + 1.
KQ : yCĐ = y (0) = 1 ; yCT = y(1) = 0
b/ y = sin2x − x.
 TXĐ D =  ;
 y '  2cos2x-1 ;

y '  0 � x  �  k  , k ��
6
 y’’= − 4sin2x

y’’(  k ) = −2 3 <0, vậy yCĐ= y(
6

3 
 k ) =
  k , k ��.
6
2 6

y’’(   k ) = 8 > 0, vậy yCT = y(
6

3 
  k ) = 
  k , k ��
6
2 6

c/ y= sin x+cos x � y  2 sin( x  ) .
4
 TXĐ: D=R


 
 y '  2 cos( x  )  0 � x    k
4
4 2

� x   k với k �Z
4

 y "   2 sin( x  )
4
Nếu k  2l ; l �Z thì y "   2  0

 2l ) = 2, l ��
4
Nếu k  2l  1; l �Z thì y "  2  0
5
 2l ) = − 2, l ��.
 yCT= y(
4
d/ y = x5 − x3 −2x +1.
KQ : yCĐ = y(−1) = 3 ; yCT = y(1) = −1.
Bài 3:Cm hàm số y = x không có đạo
 yCĐ= y(

hàm tại x =0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại đó
Thấy được hàm số đã cho không có đạo hàm
cấp 1 tại x = 0, tuy nhiên ta có:
1

n�
u x >0

� 2 x
y’ = f’(x) = �
� 1
n�
u x <0

� 2 x
nên có bảng:

Suy ra được fCT = f(0) = 0 ( cũng là GTNN
của hàm số đã cho).
Bài 4: CMR m hàm số y= x3 –mx2 −2x +1
luôn có một CĐ, một CT.
y’ = 3x2−2mx−2,  =m2+6 >0,  m  hàm
số luôn có một cực đại và một cực tiểu .

6


Bài tập Giải tích 12
Hoàng
Bài 5 :Tìm a và b để các cực trị của hàm số
5
y  a 2 x3  2ax 2  9 x  b đều là những số
3
5
dương và x0=  là điểm cực đại
9
TXĐ : D = 
Nếu a = 0 hàm số trở thành y  9 x  b
hàm số không có cực trị
2 2
Nếu a �0 ta có . y '  5a x  4ax  9 .
1
9
y’= 0 � x1  ; x2 
a
5a
 Nếu a < 0 ta có

 Hồ Văn
 TXĐ D -= \  m
 y’ = f’(x) =

x 2  2mx  m2  1

 x  m

2

− Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì
m  1

f’(2) = 0  m2 + 4m + 3 = 0  �
m  3

x2  2x
x2  x  1
a) m = −1 : y =
và y’ =
2 .
x 1
 x  1
Ta có BBT

5
1
5
9
nên   � a   .
9
a
9
5
Mặt khác, giá trị cực tiểu là số dương nên
9
36
36
yct= y ( ) = y(1) =   b >0 � b 
5
5
5
 Nếu a > 0 ta có
Ta có xCĐ = 

9
5
81
 �a
5a
9
25
400
�1 �
Và yct  y � � 0 � b 
.
243
�a �
9

� 81
a
a



� 25
5
Đáp số �
hoặc

400
�b  36

b
� 5
� 243
Bài 6: Xác định m để hàm số:
x 2  mx  1
y = f(x) =
đạt cực đại tại x = 2.
xm
Theo giả thiết ta có 

7


 Hồ Văn

Bài tập Giải tích 12
Hoàng

Suy ra hàm số không đạt cực đại tại x = 2
nên giá trị m = − 1 loại.
b) m = − 3
x2  6 x  8
x2  3x  1
y=
và y’ =
2
x 3
 x  3
Ta có bảng:

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 2 .
Vậy giá trị m = − 3.
2
�y '(2)  0
Cách 2 y '' 
. YCBT � �
( x  m) 3
�y ''(2)  0
�m 2  4m  3
0

2
� (2  m)
��
� m  3
� 2
0
3

�(2  m)
Vậy: m = − 3 thì hàm số đạt cực đại tại x = 2

Bài tự luyện
1. Dùng dấu hiệu I tìm các điểm cực trị :
a/ y = 1/3 x3 + 6x2+11x + 1. b/ y = x3.
c/ y = x4 +3x24.
d/ y = x3(4–x)2.
3
1
e/ y = 3x +
+5
f/ y = x +
x
x
x 2  3x  2
g/ y =
h/ y = |x|(x + 1)
x 1
i/ y = x 9  x 2
j/ y = x 2  2 x  2 .
2. Dùng dấu hiệu II tìm các điểm cực trị :
a/ y = x4  4x2 + 4.
b/ y = x +
cos2x c/ y = 1  cosx  cos2x .
d/ y = sin2x với x[0;  ]
e/ y = sinx +
cosx. f/ y = x  sin2x +1.
3. Tìm cực trị của các hàm số sau :
a) y = 2x3 − 9x2 + 12x + 3
b) y = −5x3 + 3x2 − 4x + 5
c) y = 3x4 − 4x3 − 24x2 + 48x − 3

x2  2x
x2
HD: y ' 
2
x 1
 x  1
CĐ (0 ; 0) ; CT(2 ; 4)
b) y = sin2x ĐS: xCĐ = /2 + k; xCT = n
1
c) y  cosx + cos2x
2
2
(CD: x = k , CT: x = �
+ k2 ).
3
a) y 

5. *Cmr y =  5 x 4 không có đạo hàm nhưng
vần có cực trị tại x = 0 .
6. Tìm các hệ số a; b ; c ; d để các hàm số :
a/ y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu
tai điểm x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại
điểm x = 2, f(2) = 4.
b/ y = f(x) = x3 + ax2 + bx + d đạt cực trị
bằng 4 tại x = 2 và đồ thị qua A(1 ; 0)
c/ y = f(x) = 1/3 a2x3 + 2ax2  5x + b có các
2
9
x + 8x - 24
cực trị dương & xCĐ = 1/5 .
d) f(x) = x - 3 +
e) f(x) =
x-2
x2 - 2
d/ y = f(x) = x3 + ax2 + bx + d đạt cực tiểu tại
x
điểm x = 1, f(1) = 3 và đồ thị của hàm số
f) y = 2
; g) y = x 3 - x ; h) y=x2−2|x|+2
x +4
cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 .
3
2
i*) y = sin2x − 3 cosx, x  [0; ]
7. Tìm m : y  x   m  3 x  mx  m  5
2
j*) y = sin x và y = 2sinx + cos2x. x [0;] đạt cực tiểu tại x  2 .
Đáp số: m  0 .
4. * Tìm cực trị của các hàm số sau :

8


 Hồ Văn

Bài tập Giải tích 12
Hoàng

c) Có cực trị  (0;+). Kq m <–2 V m > 2.
16. Biện luận theo m số cực trị của hàm số
y = f(x) =  x4 + 2mx2 2m+1.
Hd và kq : y’=–4x(x2–m)
* m  0: 1 cực đại x = 0
* m > 0: 2 cực đại x= � m ,1 cực tiểu x = 0

x2  x  m
: a/ Có
x 1
cực trị . b/ Có 2 giá trị cực trị trái dấu.
Tương tự với y= x3  6x2+ 3(m+2) x – m  6
8. Tìm m để hàm số y =

9. Tìm p và q sao cho f(x) = x + p +

q
x +1

đạt cực đại tại x = 2 và f(2) = 2 .
10. Xác định tham số m để hàm số y = x3 
3mx2 + (m2  1)x + 2 đạt cực đại tại x=2.
(TNTHPT 2005)
Kết quả : m=11
11. Định m để hàm số
y = f(x) = x3  3x2 + 3mx + 3m + 4
a) Không có cực trị.
Kết quả : m 1
b) Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c) Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm
cực trị (đạt cực trị 4 khi x = 0)
Hd: M(a;b) là điểm cực trị của (C): y =f(x)
�f '(a)  0

khi và chỉ khi: �f ''( a) �0 ĐS m=0
�f (a)  b


x2  x  m

x 1
hai điểm cực trị nằm khác phía so với Ox.
1
Kết quả : m > .
4
18. Cho y = x3 6x2 + 3(m + 2)x  m  6 .
Định m để hàm số có 2 cực trị và hai giá trị
17
cực trị cùng dấu. Kết quả :  < m < 2.
4
19. CM y = 2x33(2m+1)x2 + 6m(m+1)x +1
luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 và x2 với
x2–x1 là một hằng số.
20. (CĐ 09)Cho y = x3  (2m  1)x2 +
(2  m)x + 2 (1), với m là tham số thực
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
d) Có cực đại và cực tiểu và O thuộc đường
hàm
số (1) khi m = 2
thẳng d qua cực đại và cực tiểu.
2.
Tìm
các giá trị của m để hàm số (1) có
Kq : (d): y = 2(m  1)x + 4m + 4 và m= 1
cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ
2
x  4x  m
thị hàm số (1) có hoành độ dương.
12. Định m để y = f(x) =
1 x
a) Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m>3
b) Đạt cực trị tại x = 2.
Kết quả : m = 4
c) Đạt cực tiểu khi x = –1 Kết quả : m = 7
x 2  m(m 2  1) x  m 4  1
13. CM y =
luôn
xm
có cực trị với mọi m.
1
14. Cho y = f(x) = x3–mx2+(m2–m+1)x+1.
3
Có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu
tại x = 1 không?
kq : Không.
1 3
15. Cho y = f(x) = x –mx2+(m+2)x–1.
3
Xác định m để hàm số:
a) Có cực trị.
Kq: m <–1 V m > 2
b) Có hai cực trị  (0;+). Kq m > 2
17. Định m để (C): y = f(x) =

9




Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×