Tải bản đầy đủ

2010 10 09 dap an cac PP tinh tich phan

Bài 1: Các phương pháp tính tích phân – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải

HDG CÁC BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
[VNMATH.COM]π

1/ I = ∫ 2
0

4sin 3 x
dx
1 + cos x
Ta có:
4sin 3 x 4sin 3 x(1 − cos x)
=
= 4sin x − 4sin x cos x = 4sin x − 2sin 2 x
1 + cos x
sin 2 x
π
π
2
⇒ I = ∫ ( 4sin x − 2sin 2 x ) dx = ( cos 2 x − 4 cos x ) 2 = 2

0
0
2/ I = ∫

xdx

1

0

( x + 1)

3

Ta có:
x

( x + 1)

x +1−1

=

( x + 1)

3

⇒ I = ∫ ( x + 1)
0

−2

3

1

= ( x + 1)

−2


− ( x + 1)

−3

− ( x + 1)

−3

 ( x + 1) −2

1
−1 1
dx = 
− ( x + 1)  =

 2
 0 8

1

3 / I = ∫ x x 2 + 1dx
0

Coi : t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇔ x 2 = t 2 − 1 ⇒ dx =
2

⇒ I = ∫ t 2 dx =
1

π

4 / I = ∫π2
4

tdt
x

t3 2 2 2 −1
=
31
3

s inx − cos x
dx
1 + sin 2 x

Coi : t = 1 + sin 2 x ⇒ t 2 = 1 + sin 2 x ⇒ 2tdt = 2 cos 2 xdx
⇒ dx =

5/ I = ∫

ln 3

0

21
tdt
1
2
⇒ I = ∫ dt = ln t
= ln( 2) = ln 2
1 t
t ( cos x − s inx )
2
1

e x dx

(e

x

+ 1)

3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

1


Bài 1: Các phương pháp tính tích phân – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
2tdt
Coi : t = e x + 1 ⇔ t 2 = e x + 1 ⇔ 2tdt = e x dx ⇒ dx = x
e
2 tdt
12
⇒ I = 2 ∫ 3 = −2.
= 2 −1
2 t
t 2
π
2
0

s inxdx
1 + 3cos x

6/ I = ∫

Coi : t = 1 + 3cos x ⇒ dt = −3sin xdx ⇒ dx =
⇒I=

−dt
3sin x

ln t 1
1 41
dt =
= ln 4

3 1 t
3
3

dx
0 1 + ex

7/I = ∫

1

x
1
1 d ( 1+ e )
1
1
ex
Vì :
= 1−
⇒ I = ∫ dx − ∫
= 1 − ln 1 + e x
x
x
x
0
0
0
1+ e
1+ e
1+ e

 2e 
= 1 − ln(1 + e) + ln 2 = ln 
÷
 e +1 
0

8 / I = ∫ x 3 x + 1dx.
−1

Coi : t = 3 x + 1 ⇒ t 3 = x + 1 ⇒ dx = 3t 2 dt
1
 t7 t4  1
9
I = ∫ 3(t 3 − 1)dt = 3  − ÷ = −
0
28
7 40

9/ I = ∫

e 2 x dx

ln 5

ex −1

ln 2

.

2tdt
ex
2
 t 3  2 20
⇒ I = 2 ∫ ( t 2 + 1) dt = 2  + t ÷ =
1
 3 1 3
Coi : t = e x − 1 ⇔ t 2 = e x − 1 ⇒ dx =

10 / I = 2 ∫

2

1

6

1 − cos3 x .s inx.cos 5 xdx

Coi : t = 6 1 − cos3 x ⇔ t 6 = 1 − cos3 x ⇒ 6t 5 dt = 3cos 2 x sin xdx
⇒ dx =

1
 t 7 t 13  1 12
2t 5 dt
6
6

I
=
2
t
1

t
dt
=
2
(
)
 − ÷ =
∫0
cos 2 x sin x
 7 13  0 91

1

x 2 dx
0 ( x + 1) x + 1

11/ I = 2 ∫

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Page 2 of 4


Bài 1: Các phương pháp tính tích phân – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Coi : t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx
2

⇒I=



(t

2

− 1)

2

t3

1

2

 t3
1  2 16 − 11 2
 1
.2tdt = 2 ∫  t − ÷ dt = 2  − 2t − ÷
=
t
t 1
3
3
1 
2

ln 2

12 / I =



e x − 1dx

0

Coi : t = e x − 1 ⇒ t 2 = e x − 1 ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx =

2td
2td
= 2
x
e
t +1

2t 2
1 
4 −π

dt = 2 ∫ 1 − 2 ÷dt =
2
t +1
t +1 
2
0
0

1

1

⇒I =∫
π

x sin x
dx
1 + cos 2 x
0

13 / I = ∫

π

Coi : x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫
0

π

( π − t ) sin t dt = π π
1 + cos t
2

sin t

∫ 1 + cos t dt − I
2

0

π

sin t
d (cos t )
π2
π π 
dt
=

π
=
π
+

I
=
∫0 1 + cos2t  4 4 ÷
1 + cos 2t
8
0

⇒ 2I = π ∫
1

14 / I = ∫ x5 ( 1 − x3 ) dx
6

0

−dt
3x 2
1
1
1
1
1  t 7 t8 
1
I = ∫ t 6 ( 1 − t ) dt = ∫ ( t 6 − t 7 ) dt =  − ÷ =
30
30
3  7 8  168

Coi : t = 1 − x 3 ⇒ dt = −3 x 2 dx ⇒ dx =

π
2

15 / I = ∫ esinx .sin 2 xdx
0

π
2

Ta có : I = 2 ∫ esinx .sin x cos xdx
0

π

π 2
u = s inx
u = cos xdx
sinx
sinx
Coi : 
⇒
⇒ I = 2sin xe
2 − ∫ e .cos xdx
sinx
sinx
dv = e .cos x dv = e
0 0
= 2e − 2e

sin x

π
2 = 2e − 2e + 2 = 2
0

e

16 / I = ∫ x 2 ln xdx
1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Page 3 of 4


Bài 1: Các phương pháp tính tích phân – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
dx

u=
e

u = ln x
x 3 ln x e 1 2
2e3 + 1

x
Coi : 


I
=

x
dx
=

2
3
3 1 3 ∫1
9
dv = x dx v = x

3

( 7x -1) 99
17 / I = ∫
dx
(
) 101
0 2x +1
1

1

99

1

99

dx
1  7x − 1   7x − 1 
 7x − 1 
Ta có : I = 
=
÷

÷ d
÷
2
9 0  2x + 1   2x + 1 
 2x + 1  ( 2x + 1)
0



100

=

1 1  7x − 1 
× 
÷
9 100  2x + 1 

1
0



=

1
 2100 − 1

900 

π
2

18 / I = ∫ ( x + 1 )sin 2 xdx
0

π
π
du = dx
2
u
=
x
+
1
cos2x


2 + 1 cos2xdx = π + 1
Coi : 
⇒


x
+
1
(
)
cos2x
2
20
4
dv = sin 2xdx  v = −
0
2




2

ln( x + 1 )
dx
x2
1

19 / I = ∫

dx

u = ln(x + 1)
du = x + 1
2 2 dx
1
3


Coi : 
⇔
⇒ I = − ln(x + 1) +
= 3ln 2 − ln 3
dx
x
2
1
1 1 (x + 1)x
dv = 2

x

 v = − x



2

dx
dx
2
4
+
x
0

20 / I = ∫

Coi : x = 2 tan t ⇒ dx =

2
1
x2 π
⇒ I = arctan  ÷ =
2
2
cos t
20 8

………………….Hết…………………
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Hocmai.vn

Page 4 of 4



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×