Tải bản đầy đủ

De on thi DHCD 51 100 co huong dan

TRẦN SĨ TÙNG
---- ›š & ›š ----

BỘ ĐỀ ÔN THI

TẬP 2
(từ đề 51 đến đề 100)

Năm 2012


Trần Sĩ Tùng

Ôn thi Đại học
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN

Đề số 51

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); ( m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các
tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Câu II.
cos 2 x + cos 3 x - 1
1) Giải phương trình:
cos 2 x - tan 2 x =
cos 2 x
ì x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y
2) Giải hệ phương trình: í
2
2
î y( x + y) = 2 x + 7 y + 2
e

I =ò

Câu III. Tính tích phân:

1

log 32 x
x 1 + 3ln 2 x

dx

a 3
và ·
BAD = 600 .
2
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'. Chứng minh AC ' vuông góc với
mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Câu V. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:
7
ab + bc + ca - 2abc £
27
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa.
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường


trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa
độ các đỉnh của tam giác ABC.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC, biết A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3).
Câu IV. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' =

Câu VIIa. Cho z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z 2 - 4 z + 11 = 0 . Tính giá trị của biểu
2

2

z1 + z2
thức :
.
( z1 + z2 ) 2
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb.
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x + 3 y + 8 = 0 ,
D ' :3 x - 4 y + 10 = 0 và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D ’
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). Viết
phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2 x + 2 y + z –3 = 0 sao cho
MA = MB = MC .
ìï2 log1- x (- xy - 2 x + y + 2) + log 2+ y ( x 2 - 2 x + 1) = 6
Câu VIIb. Giải hệ phương trình: í
=1
ïîlog1- x ( y + 5) - log 2+ y ( x + 4)
============================

Trang 1


ễn thi i hc

Trn S Tựng
Hng dn s 51:

ộx = 0
Cõu I: 2) PT honh giao im: x 3 + 3 x 2 + mx + 1 = 1 ờ
2
ở f ( x ) = x + 3x + m = 0
YCBT f ( x ) = 0 cú 2 nghim phõn bit x1 , x2 khỏc 0 v y ( x1 ) .y ( x2 ) = -1 .

9
ỡ9 - 4m > 0, f (0) = m ạ 0
9 65
ùm < , m ạ 0
ớ 2

m=

4
2
8
ợ(3 x1 + 6 x1 + m)(3 x2 + 6 x2 + m) = -1
ùợ4m2 - 9m + 1 = 0
Cõu II:
ộ x = k 2p
1) iu kin: cos x ạ 0 . PT 2 cos2 x - cos x - 1 = 0 ờ
2p
+ k 2p
ờx =
3

ỡ x2 + 1
+x+y=4
ù
ỡù x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y
y
ù

.
2) T h PT ị y ạ 0 . Khi ú ta cú: ớ
2
2
2
x
+
1
ùợ y( x + y) = 2 x + 7 y + 2
ù
2
ù( x + y) - 2 y = 7

t u =

ộ v = 3, u = 1
x2 + 1
ùỡ u + v = 4
ùỡ u = 4 - v
, v = x + y ta cú h: ớ 2
ớ 2

y
ở v = -5, u = 9
ợùv - 2u = 7
ợùv + 2v - 15 = 0

ỡù x 2 + 1 = y
ỡù x 2 + x - 2 = 0
ộ x = 1, y = 2
ùỡ x 2 + 1 = y



.
ã Vi v = 3, u = 1 ta cú h: ớ
ùợ x + y = 3
ùợ y = 3 - x
ùợ y = 3 - x
ở x = -2, y = 5
ùỡ x 2 + 1 = 9 y
ùỡ x 2 + 1 = 9 y
ùỡ x 2 + 9 x + 46 = 0
ã Vi v = -5, u = 9 ta cú h: ớ


, h vụ nghim.
ợù x + y = -5
ợù y = -5 - x
ợù y = -5 - x
Kt lun: H ó cho cú hai nghim: (1; 2), (-2; 5) .
3

e

Cõu III: I = ũ

1

log32 x
x 1 + 3ln2 x

e

dx = ũ

1

ổ ln x ử


ố ln 2 ứ

x 1 + 3ln 2 x

dx =

1
ln

3

e

ũ
2

1

ln2 x.

ln xdx
x
1 + 3ln2 x
.

2

1 ổ1 3 ử
4
1
dx 1
t -tữ =
.
t 1 + 3ln x = t ị ln x = (t 2 - 1) ị ln x. = tdt . Suy ra I =
3 ỗ3
3
x 3
9 ln 2 ố
ứ 1 27ln3 2
Cõu IV: Gi P,Q l trung im ca BD, MN. Chng minh c: AC ^ PQ. Suy ra AC Â ^ (BDMN)
Gi H l giao ca PQ v AC. Suy ra AH l ng cao ca hỡnh chúp A.BDMN. Tớnh c
2

AH =

2

2
a 15
a 15
a
3a2 15
3a3
, PQ =
ị VA.BDMN =
.
ACÂ =
, MN = ị SBDMN =
5
5
4
2
16
16

Cõu V: Ta cú a2 a2 - (b - c)2 = (a + b - c)(a - b + c) = (1 - 2c)(1 - 2b) (1)
Tng t: b2 (1 - 2a)(1 - 2c)
(2),
c2 (1 - 2a)(1 - 2b)
(3)
T (1), (2), (3) ị abc (1 - 2a)(1 - 2b)(1 - 2c) = 1 - 2(a + b + c) + 4(ab + bc + ca) - 8abc
1 + 9abc
1 + abc
1
ị ab + bc + ca - 2abc Ê
. Mt khỏc a + b + c 33 abc ị abc Ê
.
4
4
27
1
1+
27 = 7 . Du "=" xy ra a = b = c = 1 .
Do ú: ab + bc + ca - 2abc Ê
4
27
3
Cõu VI.a:
1) Gi C (c; 2c + 3) v I (m;6 - m) l trung im ca BC. Suy ra: B(2m - c; 9 - 2m - 2c) . Vỡ C l
ị ab + bc + ca Ê

ổ 2m - c + 5 11 - 2m - 2c ử
trung im ca AB nờn: C ' ỗ
;
ữ ẻ CC '
2
2



Trang 2


Trn S Tựng

ễn thi i hc

ổ 2m - c + 5 ử 11 - 2m - 2c
ổ 5 41 ử
5
nờn 2 ỗ
+ 3 = 0 ị m = - ị I ỗ- ; ữ.
ữ2
2
6


ố 6 6 ứ
ổ 14 37 ử
ổ 19 4 ử
Phng trỡnh BC: 3x - 3y + 23 = 0 ị C ỗ ; ữ ị B ỗ - ; ữ .
ố 3 3 ứ
ố 3 3ứ
uuur
uuur
2) Ta cú: AB = (2; 2; -2), AC = (0; 2;2). Suy ra phng trỡnh mt phng trung trc ca AB, AC l:
x + y - z - 1 = 0, y + z - 3 = 0.
r uuur uuur
Vect phỏp tuyn ca mp(ABC) l n = ộở AB, AC ựỷ = (8; -4;4). Suy ra (ABC): 2 x - y + z + 1 = 0 .
ỡ x + y - z -1 = 0
ỡx = 0
ù
ù
Gii h: ớ y + z - 3 = 0 ị ớ y = 2 . Suy ra tõm ng trũn l I(0; 2; 1).
ù2 x - y + z + 1 = 0 ù z = 1



Bỏn kớnh l R = IA = (-1 - 0)2 + (0 - 2)2 + (1 - 1)2 = 5.
Cõu VII.a: Gii PT ó cho ta c cỏc nghim: z1 = 1 -

3 2
3 2
i, z2 = 1 +
i
2
2

2

2

2

ổ3 2 ử
z + z2
22
11
Suy ra | z1 |=| z2 |= 1 + ỗ
; z1 + z2 = 2 . Do ú: 1
= .
ữ =
2
ỗ 2 ữ
2
4
(z1 + z2 )


Cõu VI.b:
1) Gi s tõm I (-3t - 8; t ) ẻ D.. Ta cú: d ( I , DÂ ) = IA
2



3(-3t - 8) - 4t + 10
2

3 +4

2

= (-3t - 8 + 2)2 + (t - 1)2 t = -3 ị I (1; -3), R = 5

PT ng trũn cn tỡm: ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 25 .
uuur
uuur
r uuur uuur
2) Ta cú AB = (2; -3; -1), AC = (-2; -1; -1) ị n = ộở AB, AC ựỷ = (2;4; -8) l 1 VTPT ca (ABC)
Suy ra phng trỡnh (ABC): x + 2 y - 4 z + 6 = 0 . Gi s M(x; y; z).
ỡx = 2
ù
ỡ MA = MB = MC
Ta cú: ớ
ớ y = 3 ị M(2;3; -7)
M

(
P
)

ùợ z = -7
2

Cõu VII.b: iu kin: ớ- xy - 2 x + y + 2 > 0, x - 2 x + 1 > 0, y + 5 > 0, x + 4 > 0 (*)
ợ0 < 1 - x ạ 1, 0 < 2 + y ạ 1
ỡù2 log1- x [(1 - x )( y + 2)] + 2 log2 + y (1 - x ) = 6
H PT ớ
ùợlog1- x ( y + 5) - log2 + y ( x + 4) = 1
ỡùlog ( y + 2) + log2 + y (1 - x ) - 2 = 0
(1)
ớ 1- x
log ( y 5) log ( x 4) 1
(2)
ợù 1- x + - 2 + y + =
1
t log2 + y (1 - x ) = t thỡ (1) tr thnh: t + - 2 = 0 (t - 1)2 = 0 t = 1.
t
Vi t = 1 ta cú: 1 - x = y + 2 y = - x - 1 (3) . Th vo (2) ta cú:
log1- x (- x + 4) - log1- x ( x + 4)

= 1 log1- x

ộ x=0
-x + 4
-x + 4
=1
= 1 - x x2 + 2 x = 0 ờ
x+4
x+4
ở x = -2

ã Vi x = 0 ị y = -1 (khụng tho (*)).
ã Vi x = -2 ị y = 1 (tho (*)).
Vy h cú nghim duy nht x = -2, y = 1 .
=====================

Trang 3


Ôn thi Đại học

Trần Sĩ Tùng
Đề số 52

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = 2 x 3 + 9mx 2 + 12m2 x + 1 (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn:
x 2CÑ = xCT .

Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
2) Giải phương trình:

x + 1 +1 = 4 x 2 + 3 x
æ
æ 5p
ö

5cos ç 2 x + ÷ = 4sin ç
- x÷ –9
è

è 6
ø

Câu III (1 điểm): Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f ( x ) =

x ln( x 2 + 1) + x 3

x2 + 1
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a.
Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích
a3 2
.
của khối chóp S.ABCD bằng
6
Câu V (1 điểm): Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng:
æ 2
3 öæ 2
3ö æ
1 öæ

ç a + b + ÷ç b + a + ÷ ³ ç 2a + ÷ ç 2b + ÷
è
4 øè
4ø è
2 øè

II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : 2 x + y –3 = 0 ,
d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x + 3 y + 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và
tiếp xúc với d2 và d3.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; –1), đường thẳng (D):
x-2 y z+2
= =
và mặt phẳng (P): 2 x + y - z + 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua
1
3
2
A, cắt đường thẳng (D) và song song với (P).
Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt
chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1?
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x + my + 1 - 2 = 0 và
đường tròn có phương trình (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 . Gọi I là tâm đường tròn (C ) . Tìm
m sao cho (d ) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam
giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m; 0;
0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình: ( 4 x – 2.2 x – 3) .log2 x –3 > 4
----------Hết ----------

Trang 4

x +1
2

- 4x


Trn S Tựng

ễn thi i hc
Hng dn s 52

Cõu I: 2) y = 6 x 2 + 18mx + 12m 2 = 6( x 2 + 3mx + 2 m2 )
Hm s cú C v CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 D = m 2 > 0 m ạ 0

1
( -3m - m ) , x2 = 1 ( -3m + m ) .
2
2
Da vo bng xột du y suy ra xCẹ = x1 , xCT = x2

Khi ú: x1 =

2

ổ -3m - m ử
-3m + m
m = -2
= xCT ỗ
Do ú:
ữ =


2
2
Cõu II: 1) iu kin x 0 .
2x -1
PT 4 x 2 - 1 + 3 x - x + 1 = 0 (2 x + 1)(2 x - 1) +
=0
3x + x + 1


1
1
(2 x - 1) ỗ 2 x + 1 +
ữ = 0 2x -1 = 0 x = .
2
3x + x + 1 ứ

x 2Cẹ




2) PT 10 sin 2 ỗ x +
Cõu III: Ta cú: f ( x ) =



pử
pử
pử
p
ữ + 4sin ỗ x + ữ - 14 = 0 sin ỗ x + ữ = 1 x = + k2p .
6ứ

6ứ

6ứ
3

x ln( x 2 + 1)

+

x ( x 2 + 1) - x

=

x ln( x 2 + 1)

+x-

x

x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1
1
1
ị F ( x ) = ũ f ( x )dx = ũ ln( x 2 + 1)d ( x 2 + 1) + ũ xdx - ũ d ln( x 2 + 1)
2
2
1
1
1
= ln 2 ( x 2 + 1) + x 2 - ln( x 2 + 1) + C .
4
2
2

Cõu IV: Do B v D cỏch u S, A, C nờn BD ^ (SAC). Gi O l tõm ca ỏy ABCD. Cỏc tam giỏc ABD,
BCD, SBD l cỏc tam giỏc cõn bng nhau v cú ỏy BD chung nờn OA = OC = OS. Do ú DASC
vuụng ti S.

1

1

Ta cú: VS . ABCD = 2VS . ABC = 2. BO.SA.SC = ax. AB 2 - OA2
6
3
=
Do ú: VS. ABCD =

1
a2 + x 2 1
= ax 3a2 - x 2
ax a2 3
4
6

ộx = a
a3 2
1
a3 2
.
ax 3a2 - x 2 =

6
6
6
ởx = a 2
2

3
1
1 ổ
1ử
1
1
Cõu V: Ta cú: a2 + b + = a2 - a + + b + a + = ỗ a - ữ + a + b + a + b +
4
4
2 ố
2ứ
2
2
3
1
Tng t: b2 + a + a + b + .
4
2
2


1ử ổ
1 ửổ
1ử
Ta s chng minh ỗ a + b + ữ ỗ 2a + ữỗ (2b + ữ
(*)

2ứ ố
2 ứố
2ứ
1
1
Tht vy, (*) a2 + b2 + 2ab + a + b + 4ab + a + b + (a - b)2 0 .
4
4
1
Du "=" xy ra a = b = .
2
Cõu VI.a: 1) Gi tõm ng trũn l I (t;3 - 2t ) ẻ d1.
Khi ú: d (I , d2 ) = d (I , d3 )

3t + 4(3 - 2t ) + 5 4t + 3(3 - 2t ) + 2
ột = 2

=
5
5
ởt = 4

Trang 5


Ôn thi Đại học

Trần Sĩ Tùng

Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 =

49
9
và ( x - 4)2 + ( y + 5)2 =
.
25
25

ìx = 2 + t
x-2 y z+2
ï
r
. (P) có VTPT n = (2;1; -1) .
2) (D) :
= =
Û í y = 3t
1
3
2
ï
î z = -2 + 2t
Gọi I là giao điểm của (D) và đường thẳng d cần tìm Þ I (2 + t;3t; -2 + 2t )
uur
Þ AI = (1 + t ,3t - 2, -1 + 2t ) là VTCP của d.
uur
uur r
1
Do d song song mặt phẳng (P) Û AI .n = 0 Û 3t + 1 = 0 Û t = - Þ 3 AI = ( 2; -9; -5 ) .
3
x -1 y - 2 z +1
Vậy phương trình đường thẳng d là:
=
=
.
2
-9
-5
Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x= x = a1a2 a3 a4 a5 a6 .
Vì không có mặt chữ số 1 nên còn 9 chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để thành lập số cần tìm.
Vì phải có mặt chữ số 0 và a1 ¹ 0 nên số cách xếp cho chữ số 0 là 5 cách.
Số cách xếp cho 5 vị trí còn lại là : A85 .
Vậy số các số cần tìm là: 5. A85 = 33.600 (số)
Câu VI.b: 1) (C ) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.

2 - 2m + 1 - 2 < 3 2 + m 2
Û 1 - 4m + 4m2 < 18 + 9m2 Û 5m2 + 4m + 17 > 0 Û m Î R
1
1
9
Ta có: S
= IA.IB sin ·
AIB £ IA.IB =
IAB 2
2
2
9
3 2
Vậy: S
lớn nhất là
khi ·
AIB = 900 Û AB = R 2 = 3 2 Û d ( I , d ) =
IAB
2
2
3 2
Û 1 - 2m =
2 + m2 Û 16m2 - 16m + 4 = 36 + 18m2 Û 2m2 + 16m + 32 = 0 Û m = -4
2
uuur
uuur
r
2) Ta có: SM = (m; 0; -1), SN = (0; n; -1) Þ VTPT của (SMN) là n = (n; m; mn)
Phương trình mặt phẳng (SMN): nx + my + mnz - mn = 0
n + m - mn
1 - m.n
1 - mn
Ta có: d(A,(SMN)) =
=
=
=1
1 - mn
2
2
2
2
2
2
n +m +m n
1 - 2mn + m n
(d) cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B Û d ( I , d ) < R Û

Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định.
Câu VII.b: BPT Û (4 x - 2.2 x - 3).log2 x - 3 > 2 x +1 - 4 x Û (4 x - 2.2 x - 3).(log2 x + 1) > 0
é ì x > log2 3
êï
é ì22 x - 2.2 x - 3 > 0
é ì2 x > 3
êí x > 1
êí
êí
é x > log2 3
ï
log
x
+
1
>
0
log
x
>
1
2
Û êî 2
Û êî 2
Û êî
Û ê
1
ê ì x < log 3
ê ì22 x - 2.2 x - 3 < 0
ê ì2 x < 3
ê0 < x <
2
ï
ê
êí
êí
ë
2
êë îlog2 x < -1
ê í0 < x < 1
ëê îlog2 x + 1 < 0
ï
2
ëê î
=========================

Trang 6


Trần Sĩ Tùng

Ôn thi Đại học
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN

Đề số 53

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
2x -1
.
x -1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần
lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.
Câu II (2 điểm):
sin x + cos x
1) Giải phương trình:
+ 2 tan 2 x + cos 2 x = 0
sin x - cos x
ìï x 3 y (1 + y ) + x 2 y 2 (2 + y ) + xy 3 - 30 = 0
2) Giải hệ phương trình: í 2
ïî x y + x(1 + y + y 2 ) + y - 11 = 0
1
1+ x
dx
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = ò
x
0 1+
Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a,
uuur 1 uuur
cạnh bên AA¢ = a 2 . M là điểm trên AA¢ sao cho AM = AA ' . Tính thể tích của khối tứ diện
3
MA¢BC¢.
Câu V (1 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh
rằng:
a2 + b b2 + c c2 + a
+
+
³ 2.
b+c
c+a
a+b
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm E(–1; 0) và đường tròn (C):
x 2 + y 2 – 8 x – 4 y –16 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt (C) theo dây cung
MN có độ dài ngắn nhất.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P):
2 x + y - z + 5 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y =

mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng

5
6

.

Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai
lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần?
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường
thẳng AB, BC lần lượt là: x + 2 y – 5 = 0 và 3 x – y + 7 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC,
biết rằng AC đi qua điểm F(1; -3) .
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng D:
x +1 y -1 z
=
= . Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho DMAB có diện tích nhỏ nhất.
2
-1 2

Câu VII.b (1 điểm): Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
log5 (25 x – log5 a) = x

----------Hết ---------Trang 7


ễn thi i hc

Trn S Tựng
Hng dn s 53

Cõu I: 2) Gi s tip tuyn d ca (C) ti M ( x0 ; y0 ) ct Ox ti A v Oy ti B sao cho OA = 4OB.
OB 1
1
1
= ị H s gúc ca d bng hoc - .
OA 4
4
4
1
1
1
1
H s gúc ca d ti M l: y ( x0 ) = < 0 ị y ( x 0 ) = - =2
2
4
4
( x - 1)
( x - 1)
Do DOAB vuụng ti O nờn: tan A =

0

0



3ử
ờ x0 = -1 ỗ y0 = ữ

2ứ

ờx = 3 ổ y = 5 ử
ỗ 0

ờở 0

2ứ
1
3
1
5
Vy cú hai tip tuyn tho món l: y = - ( x + 1) + hoc y = - ( x - 3) +
4
2
4
2
Cõu II: 1) iu kin: cos2 x ạ 0 .
PT -(sin x + cos x )2 + 2sin2 x + cos2 2 x = 0 sin2 2 x - sin 2 x = 0

p
ộsin 2 x = 0

x=k .
sin
2
x
=
1
(
loaù
i
)
2

2
2 2

ỡ xy( x + y )( x + y + xy ) = 30
2) H PT ớ xy( x + y ) + x y ( x + y ) = 30 ớ
ợ xy( x + y ) + xy + x + y = 11
ợ xy( x + y ) + xy + x + y = 11
ỡx + y = u
ỡuv(u + v) = 30
ỡuv(11 - uv) = 30
t ớ
. H tr thnh ớ

ợ xy = v
ợuv + u + v = 11
ợuv + u + v = 11

ộ uv = 5
(1)
. T (1) ị ờ
(2)
ở uv = 6
ổ 5 - 21 5 + 21 ử
ã Vi uv = 5 ị u + v = 6 . Gii ra ta c cỏc nghim (x; y) l: ỗ
;
ữ v
ố 2
2 ứ
ổ 5 + 21 5 - 21 ử
;


2 ứ
ố 2
ã Vi uv = 6 ị u + v = 5 . Gii ra ta c cỏc nghim (x; y) l: (1;2) v (2;1)

ổ 5 - 21 5 + 21 ử
Kt lun: H PT cú 4 nghim: (1;2) , (2;1) , ỗ
;
ữ,
ố 2
2 ứ

ổ 5 + 21 5 - 21 ử
;

ữ.
ố 2
2 ứ

1 3

1

t +t
2 ử
11
dt = 2 ũ ỗ t 2 - t + 2 - 4 ln 2 .
ữdt =
1+ t ứ
t +1
3
0
0ố

Cõu III: t t = x ị dx = 2t.dt . I = 2 ũ

Cõu IV: T gi thit suy ra DABC vuụng cõn ti B. Gi H l trung im ca AC thỡ BH ^ AC v BH
(ACCÂAÂ).
Do ú BH l ng cao ca hỡnh chúp B.MAÂCÂ ị BH =

^

2
2 2
a . T gi thit ị MAÂ =
a,
2
3

AÂCÂ = a 2 .
1
1
a3 2
.
Do ú: VB.MA ' C ' = BH .SMA ' C ' = BH .MAÂ . AÂCÂ =
3
6
9
a2 + b a(1 - b - c) + b a + b
=
=
-a.
b+c
b+c
b+c
a+b
b+c
c+a
a+b b+c c+a
-a+
-b+
-c2
+
+
3
Tng t, BT tr thnh:
b+c c+a a+b
b+c
c+a
a+b
a+b b+c c+a
a+b b+c c+a
Theo BT Cụsi ta cú:
+
+
33
.
.
=3.
b+c c+a a+b
b+c c+a a+b
1
Du "=" xy ra a = b = c = .
3
Cõu VI.a: 1) (C) cú tõm I(4; 2) v bỏn kớnh R = 6. Ta cú IE = 29 < 6 = R ị E nm trong hỡnh trũn (C).
Cõu V: Ta cú:

Trang 8


Trn S Tựng

ễn thi i hc

Gi s ng thng D i qua E ct (C) ti M v N. K IH ^ D. Ta cú IH = d(I, D) IE.
Nh vy MN ngn nht thỡ IH di nht H E D i qua E v vuụng gúc vi IE
Khi ú phng trỡnh ng thng D l: 5( x + 1) + 2 y = 0 5 x + 2 y + 5 = 0 .
2) Gi s (S): x 2 + y 2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 .
ỡa = 1
ù
ã T O, A, B ẻ (S) suy ra: ớc = 2 ị I (1; b;2) .
ùợd = 0
5
b+5
5
ộb = 0
ã d ( I ,( P )) =


=
ở b = -10
6
6
6
Vy (S): x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 z = 0 hoc (S): x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 20 y - 4 z = 0
Cõu VII.a: Gi s cn tỡm l:

x = a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 (a1 ạ 0).

ã Gi s a1 cú th bng 0:
+ S cỏch xp v trớ cho hai ch s 2 l: C72
+ S cỏch xp cho 2 v trớ cũn li l:

+ S cỏch xp v trớ cho ba ch s 3 l: C53

2! C82

ã Bõy gi ta xột a1 = 0:
+ S cỏch xp v trớ cho hai ch s 2 l: C62
+ S cỏch xp v trớ cho ba ch s 3 l: C43
+ S cỏch xp cho 1 v trớ cũn li l:
7
2
3
2
Vy s cỏc s cn tỡm l: C7 .C5 .2!C8 - C62 .C43 .7 = 11340 (s).
r
r
r
Cõu VI.b: 1) Gi VTPT ca AB l n1 = (1;2) , ca BC l n2 = (3; -1) , ca AC l n3 = (a; b) vi a 2 + b2 ạ 0 .
Do DABC cõn ti A nờn cỏc gúc B v C u nhn v bng nhau.
r r
r r
n .n
n .n
1
3a - b
Suy ra: cos B = cos C ị r 1 r2 = r 3 r2
=
n1 . n2
n3 . n2
5
a2 + b2

ộ2a = b
22a2 + 2b2 - 15ab = 0 ờ
ở11a = 2b
r
ã Vi 2a = b , ta cú th chn a = 1, b = 2 ị n3 = (1;2) ị AC // AB ị khụng tho món.
r
ã Vi 11a = 2b , ta cú th chn a = 2, b = 11 ị n3 = (2;11)

Khi ú phng trỡnh AC l: 2( x - 1) + 11( y + 3) = 0 2 x + 11y + 31 = 0 .

ỡ x = -1 + 2t
ù
2) PTTS ca D: ớ y = 1 - t . Gi M (-1 + 2t;1 - t;2t ) ẻ D.
ùợ z = 2t
1 uuur uuur
Din tớch DMAB l S = ộở AM , AB ựỷ = 18t 2 - 36t + 216 = 18(t - 1)2 + 198 198
2
Vy Min S = 198 khi t = 1 hay M(1; 0; 2).
ỡùt = 5x , t > 0
Cõu VII.b: PT 25x - log5 a = 5 x 52 x - 5x - log5 a = 0 ớ 2
ùợt - t - log5 a = 0

(*)

PT cú nghim duy nht (*) cú ỳng 1 nghim dng t 2 - t = log5 a cú ỳng 1 nghim dng.
Xột hm s f (t ) = t 2 - t vi t ẻ [0; +). Ta cú: f  (t ) = 2t - 1 ị f  (t ) = 0 t =
f (0) = 0 .

ổ1ử
1
1
. fỗ ữ=- ,
2
ố2ứ
4

ộa 1
ộ log5 a 0

1 .
Da vo BBT ta suy ra PT f (t ) = log5 a cú ỳng 1 nghim dng ờ

1
ờa =
ờ log5 a = 4
ờở

4
5
==========================

Trang 9


Ôn thi Đại học

Trần Sĩ Tùng
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN

Đề số 54

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x 4 + 2m2 x 2 + 1
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với
mọi giá trị của m.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:

æ

2sin 2 ç x - ÷ = 2sin2 x - tan x

è

2) Giải phương trình:

2 log3 ( x 2 - 4 ) + 3 log3 ( x + 2)2 - log3 ( x - 2)2 = 4

Câu III (1 điểm): Tính tích phân:

I=

p
3

ò

0

sin x
cos x 3 + sin 2 x

dx

Câu IV (1 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi
qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc
bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f ( x ) =

x 4 - 4 x 3 + 8x 2 - 8x + 5
x2 - 2x + 2

II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là ( - 3;0 ) và đi qua
æ 4 33 ö
÷ . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).
5 ø
è

điểm M ç 1;

ìx = 1- t
ï

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: í y = 2 + 2t .
ïî z = 3

Hãy tìm trên đường thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều.
Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh: 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + ... + n2Cnn = (n + n2 ).2n - 2 , trong đó n là số tự
nhiên, n ≥ 1 và Cnk là số tổ hợp chập k của n.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ
toạ uuu
độr Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt
uuur
trục Oy tại E sao cho AE = 2 EB . Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là
æ 13 ö
G ç 2; ÷ . Viết phương trình cạnh BC.
è 3ø
x -1 y + 1 z
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
=
= và mặt phẳng
3
1
1
(P): 2 x + y - 2 z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán
kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1).
3
ìï 3
x
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: í x + 24 y = y + 16
2

ïî1 + y = 5(1 + x )

----------Hết ---------Trang 10

(1)
.
(2)


Trn S Tựng

ễn thi i hc
Hng dn s 54

Cõu I: 2) Xột PT honh giao im:

x 4 + 2m2 x 2 + 1 = x + 1 x 4 + 2m2 x 2 - x = 0 x ( x 3 + 2m2 x - 1) = 0

ộx = 0

3
2
ở g( x ) = x + 2m x - 1 = 0 (*)
Ta cú: g ( x ) = 3 x 2 + 2m2 0 (vi mi x v mi m ) ị Hm s g(x) luụn ng bin vi mi giỏ tr
ca m.
Mt khỏc g(0) = 1 ạ 0. Do ú phng trỡnh (*) cú nghim duy nht khỏc 0.
Vy ng thng y = x + 1 luụn ct th hm s (1) ti hai im phõn bit vi mi giỏ tr ca m.
Cõu II: 1) iu kin: cos x ạ 0 x ạ

p
+ mp (*).
2


pử
ộsin 2 x = 1
PT 1 cos ỗ 2 x - ữ = 2sin2 x tan x 1sin2 x = tan x (sin2 x 1) ờ
2ứ

ở tan x = -1


p
p
ờ2 x = 2 + k.2p
ờ x = 4 + k.p
p
p


x = + k. . (Tha món iu kin (*) ).
4
2
ờ x = - p + l.p
ờ x = - p + l.p
ờở

4
4

ỡù x 2 - 4 > 0
ùỡ x 2 - 4 > 0
ộx > 2
2) iu kin: ớ


(**)

2
2
ở x Ê -3
ùợ( x + 2) 1
ợùlog3 ( x + 2) 0
2

PT log3 ( x 2 4 ) + 3 log3 ( x + 2)2 - log3 ( x 2)2 = 4
log3 ( x + 2)2 + 3 log3 ( x + 2)2 - 4 = 0
log3 ( x + 2)2 = 1 ( x + 2)2 = 3





(

log3 ( x + 2)2 + 4

)(

)

log3 ( x + 2)2 - 1 = 0

x = -2 3

Kim tra iu kin (**) ch cú x = -2 - 3 tha món.
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht l: x = -2 - 3
Cõu III: t t = 3 + sin2 x =

I=

p
3

ũ

0

sin x
cos x 3 + sin2 x
15
2

.dx =

4 - cos2 x . Ta cú: cos2 x = 4 t 2 v dt =
p
3

ũ

0

sin x.cos x
cos2 x 3 + sin2 x

dx =

15
2

ũ

3

dt
4-t

2

=

1
4

sin x cos x
2

3 + sin x

dx .

15
2 ổ

ũ

3

1
1 ử

ữdt
ốt+2 t-2ứ

1ổ
15 + 4
3+2 ử
1 (
ỗ ln
ữ =
- ln
ln 15 + 4 ) - ln ( 3 + 2 ) .


4
2
15
4
3
2
3


Cõu IV: Ta cú SA ^ (ABC) ị SA ^ AB; SA ^ AC..
Tam giỏc ABC vuụng cõn cnh huyn AB ị BC ^ AC ị BC ^ SC. Hai im A,C cựng nhỡn on
SB di gúc vuụng nờn mt cu ng kớnh SB i qua A,C. Vy mt cu ngoi tip t din SABC cng
chớnh l mt cu ng kớnh SB. Ta cú CA = CB = AB sin 450 = a 2 ; ã
SCA = 600 l gúc gia
=

1 t+2
ln
4 t -2

(

=

)

mp(SBC) v mp(ABC).
SA = AC.tan600 = a 6 . T ú SB2 = SA2 + AB2 = 10a2 .
Vy din tớch mt cu ngoi tip t din SABC l: S = p d 2 = p .SB2 = 10p a2 .
1
Cõu V: Tp xỏc nh: D = R . Ta cú: f ( x ) = x 2 - 2 x + 2 +
2 ( BT Cụsi).
x2 - 2x + 2
Du "=" xy ra x 2 2 x + 2 = 1 x = 1 . Vy: min f(x) = 2 t c khi x = 1.

Cõu VI.a: 1) Ta cú F1 ( - 3;0 ) , F2 ( 3;0 ) l hai tiờu im ca (E).

Trang 11


ễn thi i hc

Trn S Tựng

Theo nh ngha ca (E) suy ra :

2a = MF1 + MF2 =

(1 +

ị a = 5. Mt khỏc: c =

3)

2

ổ 4 33 ử
+ỗ

ố 5 ứ

2

(1 - 3 )

+

2

2

ổ 4 33 ử
+ỗ
ữ = 10
ố 5 ứ

3 v a2 b2 = c2 ị b2 = a2 - c2 = 22

Vy ta cỏc nh ca (E) l: A1( 5; 0) ; A2( 5; 0) ; B1( 0; 22 ) ; B2 ( 0; 22 ).
r
2) d cú VTCP ud = (-1;2;0) . Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn d.
uuuur
Gi s H (1 t; 2 + 2t;3) ị AH = (1 - t;1 + 2t;0 )
uuur r
ổ6 8 ử
1
3 5
M AH ^ d nờn AH ^ ud ị -1(1 - t ) + 2 (1 + 2t ) = 0 t = - ị H ỗ ; ;3 ữ ị AH =
.
5
5
ố5 5 ứ
M DABC u nờn BC =

2 AH
3

=

2 15
hay BH =
5
2

15
.
5
2

ổ 1 ử ổ2

15
-1 3
Gi s B(1 - s;2 + 2s;3) thỡ ỗ - - s ữ + ỗ + 2s ữ =
25s2 + 10s 2 = 0 s =
ố 5 ứ ố5

25
5
ổ 6 - 3 8+ 2 3 ử
ổ 6+ 3 8-2 3 ử
;
;3 ữ v C ỗ
;
;3 ữ
Vy: B ỗ
ố 5
5

ố 5
5

ổ6+ 3 8-2 3 ử
ổ 6- 3 8+2 3 ử
hoc B ỗ
;
;3 ữ v C ỗ
;
;3 ữ
ố 5
5

ố 5
5

Cõu VII.a: Xột khai trin: (1 + x )n = Cn0 + xC1n + x 2Cn2 + x 3Cn3 + ... + x nCnn
Ly o hm 2 v ta c: n(1 + x )n-1 = Cn1 + 2 xCn2 + 3 x 2Cn3 + ... + nx n-1Cnn
Nhõn 2 v cho x, ri ly o hm ln na, ta c:
n ởộ(1 + x )n-1 + x (n - 1)(1 + x )n -2 ựỷ = 12 C1 + 22 xC 2 + 32 x 2C 3 + ... + n2 x n-1C n
n

n

n

n

Cho x = 1 ta c pcm.

uuur 2 uuur
Cõu VI.b: 1) Gi M l trung im ca BC. Ta cú AG = AM ị M(2; 3). ng thng EC qua M v cú
3
uuur ổ
uuur
uuur
8ử
VTPT AG = ỗ 0; - ữ nờn cú PT: y = 3 ị E(0; 3) ị C(4; 3). M AE = 2 EB nờn B(1; 1).

3ứ
ị Phng trỡnh BC: 2 x - 5y + 7 = 0 .
2) Gi I l tõm ca (S). I ẻ d ị I (1 + 3t; -1 + t; t ) . Bỏn kớnh R = IA =

11t 2 - 2t + 1 .

ột = 0
ị R =1
5t + 3
= R 37t 2 - 24t = 0 ờ 24
77 .
ịR=
ờt =
3
ở 37
37
Vỡ (S) cú bỏn kớnh nh nht nờn chn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; 1; 0).

Mt phng (P) tip xỳc vi (S) nờn: d ( I ,(P )) =

Vy phng trỡnh mt cu (S): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + z2 = 1 .

(

)

Cõu VII.b: T (2) suy ra y 2 5 x 2 = 4 (3). Th vo (1) c: x 3 + y 2 5 x 2 .y = y 3 + 16 x
x 3 5 x 2 y 16 x = 0 x = 0 hoc x 2 5 xy 16 = 0
ã Vi x = 0 ị y 2 = 4 y = 2 .
2

ổ x 2 - 16 ử
x 2 - 16
ã Vi x 5 xy 16 = 0 y =
(4). Th vo (3) c: ỗ
ữ - 5x 2 = 4
5x
ố 5x ứ
ộ x = 1 ( y = -3)
x 4 32 x 2 + 256 125 x 4 = 100 x 2 124 x 4 + 132 x 2 256 = 0 x 2 = 1 ờ
.
ở x = -1 ( y = 3)
Vy h cú 4 nghim: (x; y) = (0; 2) ; (0; 2); (1; 3); (1; 3)
==========================
2

Trang 12


Trn S Tựng

ễn thi i hc
THI TH I HC NM HC 2011-2012
Mụn thi: TON

s 55
I. PHN CHUNG (7 im)

Cõu I (2 im): Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + 2 .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh : x 2 - 2 x - 2 =

m
.
x -1

Cõu II (2 im):
1) Gii phng trỡnh:
2) Gii h phng trỡnh:

ổ 5p

2 2 cos ỗ
- x ữ sin x = 1
ố 12

ỡlog x + y = 3log ( x - y + 2)
ù 2
8

ùợ
x 2 + y2 + 1 - x 2 - y2 = 3
I=

Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn:

p
4

sin x

ũ

p
4

1 + x2 + x

dx

Cõu IV (1 im): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a , AD = 2a . Cnh SA
vuụng gúc vi mt phng ỏy, cnh bờn SB to vi mt phng ỏy mt gúc 600 . Trờn cnh SA ly
im M sao cho AM =

a 3
, mt phng (BCM) ct cnh SD ti N. Tớnh th tớch khi chúp S.BCNM.
3

Cõu V (1 im): Cho x , y , z l ba s thc tha món : 5- x + 5- y + 5- z = 1 .Chng minh rng :
25 x

+

25y

+

25z



5 x + 5 y + 5z
4

5 x + 5 y + z 5 y + 5z + x 5z + 5 x + y
II. PHN T CHN (3 im)
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a (2 im):
1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(1; 2), ng cao CH : x - y + 1 = 0 ,
phõn giỏc trong BN : 2 x + y + 5 = 0 . Tỡm to cỏc nh B, C v tớnh din tớch tam giỏc ABC.
ỡ x = 2 + 4t
ỡ x = 7 - 6t
ù
ù
2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng : d1 : ớ y = -6t , d2 : ớ y = 2 + 9t .
ùợ z = -1 - 8t
ùợ z = 12t
a) Chng minh rng d1 v d2 song song . Vit phng trỡnh mt phng (P) qua d1 v d2 .
b) Cho im A(1; 1; 2), B(3; 4; 2). Tỡm im I trờn ng thng d1 sao cho IA + IB t giỏ tr
nh nht.
Cõu VII.a (1 im): Gii phng trỡnh sau trờn tp s phc: z4 - z3 +

z2
+ z +1 = 0
2

2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b (2 im):
1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 12, tõm I l giao
im ca ng thng d1 : x - y - 3 = 0 v d2 : x + y - 6 = 0 . Trung im ca mt cnh l giao im ca
d1 vi trc Ox. Tỡm to cỏc nh ca hỡnh ch nht.
ỡ x = 2 - 2t Â
x - 2 y -1 z
ù
2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng: d1 :
=
= v d2 : ớ y = 3
1
-1 2
ù z = tÂ

a) Chng minh rng d1 v d2 chộo nhau v vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca d1 v d2.
b) Vit phng trỡnh mt cu cú ng kớnh l on vuụng gúc chung ca d1 v d2.
0
4
8
2004
2008
+ C2009
+ C2009
+ ... + C2009
+ C2009
Cõu VII.b (1 im): Tớnh tng: S = C2009

----------Ht ---------Trang 13


ễn thi i hc

Trn S Tựng
Hng dn s 55

Cõu I: 2) Ta cú x 2 - 2 x - 2 =

m
( x 2 - 2 x - 2 ) x - 1 = m, x ạ 1. Do ú s nghim ca phng trỡnh
x -1

bng s giao im ca y = ( x 2 - 2 x - 2 ) x - 1 , (C ') v ng thng y = m, x ạ 1.
ỡ f (x)
khi x > 1
nờn ( C ' ) bao gm:
Vi y = ( x 2 - 2 x - 2 ) x - 1 = ớ
f
(
x
)
khi
x <1

+ Gi nguyờn th (C) bờn phi ng thng x = 1.
+ Ly i xng th (C) bờn trỏi ng thng x = 1 qua Ox.
Da vo th ta cú:
m < 2
m = 2
2 < m < 0
S nghim
vụ nghim
2 nghim kộp
4 nghim phõn bit

m0
2 nghim phõn bit

ộ ổ

5p ử
5p ự
5p ử
5p
1
p
Cõu II: 1) PT 2 ờsin ỗ 2 x =
= sin
ữ + sin ỳ = 1 sin ỗ 2 x ữ + sin
12 ứ
12 ỷ
12 ứ
12
4
2

ở ố

p
ờ x = 6 + kp


ổ p ử
5p ử
p
5p
5p ử
sin ỗ 2 x sin ỗ 2 x ữ = sin - sin
ữ = sin ỗ - ữ ờ
12 ứ
4
12
12 ứ


ố 12 ứ
ờ x = 3p + kp
ờở
4
ỡù
x+y =2+ x-y
.
2) iu kin: x + y > 0, x - y 0 . H PT ớ
ùợ x 2 + y 2 + 1 - x 2 - y 2 = 3
ỡu = x + y
t: ớ
ta cú h:
ợv = x - y

ỡ u - v = 2 (u > v )
ỡ u + v = 2 uv + 4
ù
ù
ớ 2 2
ớ u 2 + v2 + 2
u +v +2
ù
- uv = 3 ù
- uv = 3
2
2



ỡ u + v = 2 uv + 4
ù

(u + v)2 - 2uv + 2
ù
- uv = 3
2

Th (1) vo (2) ta cú:

(1)
(2)

.

uv + 8 uv + 9 - uv = 3 uv + 8 uv + 9 = (3 + uv )2 uv = 0 .

ỡ uv = 0
Kt hp (1) ta cú: ớ
u = 4, v = 0 (vi u > v). T ú ta cú: x = 2; y = 2.(tho k)
ợu + v = 4
Kt lun: Vy nghim ca h l: (x; y) = (2; 2).
Cõu III: I =

p
4

1 + x 2 sin xdx -

ũ

p
4

ã Tớnh I1 =

p
4

ũ

p
4
p
4

ũ

p
4
p
4

x sin xdx = I1 - I 2

1 + x 2 sin xdx . S dng cỏch tớnh tớch phõn ca hm s l, ta tớnh c I1 = 0 .

-

ã Tớnh I 2 =

ũ

-

p
4

x sin xdx . Dựng phng phỏp tớch phõn tng phn, ta tớnh c: I 2 = -

2
p - 2.
4
Cõu IV: Ta cú: (BCM) // AD nờn mt phng ny ct mp(SAD) theo giao tuyn MN // AD .

Suy ra: I =

Trang 14

2
p+ 2
4


Trn S Tựng

ễn thi i hc

ỡ BC ^ AB
ị BC ^ BM . T giỏc BCMN l hỡnh thang vuụng cú BM l ng cao.
ã ớ
ợ BC ^ SA

a 3
3 = 2 ị MN = 4a , BM = 2a
3
3
a 3
3

4a ử
ỗ 2a + 3 ữ 2a 10a2
BC + MN
Din tớch hỡnh thang BCMN l : S = SBCNM =
BM = ỗ
=

2

2 ứ 3 3 3
ã H AH ^ BM. Ta cú SH ^ BM v BC ^ (SAB) ị BC ^ SH . Vy SH ^ ( BCNM)
ị SH l ng cao ca khi chúp SBCNM
AB AM
1
Trong tam giỏc SBA ta cú SB = 2a ,
=
= .
SB MS
2
ã
0
Vy BM l phõn giỏc ca gúc SBA ị SBH = 30 ị SH = SB.sin300 = a
MN SM
MN
ã SA = AB tan600 = a 3 ,
=

=
AD SA
2a

ã Th tớch chúp SBCNM ta cú V =

a 3-

1
10 3a3
SH .SBCNM =
.
3
27

Cõu V: t 5x = a; 5y = b; 5z = c . T gi thit ta cú: a, b, c > 0 v ab + bc + ca = abc
BT

a2
b2
c2
a+b+c
+
+

(*)
a + bc b + ca c + ab
4

Ta cú: (*)


a3
2

a + abc

+

b3
2

b + abc

+

c3
2

c + abc



a+b+c
4

3

a
b3
c3
a+b+c
+
+

(a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b)
4

p dng BT Cụ-si, ta cú:

a3
a+b a+c 3
+
+
a (1)
(a + b)(a + c)
8
8
4

b3
b+c b+a 3
c3
c+a c+b 3
+
+
b ( 2)
+
+
c
(b + c)(b + a)
8
8
4
(c + a)(c + b)
8
8
4
Cng v vi v cỏc bt ng thc (1), (2), (3) suy ra iu phi chng minh.
Cõu VI.a: 1) Do AB ^ CH nờn phng trỡnh AB: x + y + 1 = 0 .

( 3)

ỡ2 x + y + 5 = 0
ỡ x = -4
ã B = AB ầ BN ị To im B l nghim ca h: ớ
ị B(-4; 3).

ợy = 3
ợ x + y +1 = 0
ã Ly A i xng vi A qua BN thỡ A 'ẻ BC .
Phng trỡnh ng thng (d) qua A v vuụng gúc vi BN l (d): x - 2 y - 5 = 0 . Gi I = (d ) ầ BN .
ỡ2 x + y + 5 = 0
Gii h: ớ
. Suy ra: I(1; 3) ị A'(-3; -4)
ợ x - 2y - 5 = 0
ỡ BC : 7 x + y + 25 = 0
ổ 13 9 ử
ã Phng trỡnh BC: 7 x + y + 25 = 0 . Gii h: ớ
ị C ỗ- ;- ữ .
ố 4 4ứ
ợ CH : x - y + 1 = 0
2
2
7.1 + 1(-2) + 25

13 ử ổ
9ử
450
ã BC = ỗ -4 + ữ + ỗ 3 + ữ =
, d ( A; BC ) =
=3 2 .

4ứ ố
4ứ
4
72 + 12

1
1
450 45
Suy ra: S ABC = d ( A; BC ).BC = .3 2.
= .
2
2
4
4
r
r
r r
2) a) ã VTCP ca hai ng thng ln lt l: u1 = (4; -6; -8), u2 = (-6;9;12) ị u1, u2 cựng phng.
Mt khỏc, M( 2; 0; 1) ẻ d1; M( 2; 0; 1) ẽ d2.. Vy d1 // d2.
1 uuuur r
r
ã VTPT ca mp (P) l n = - ộở MN , u1 ựỷ = (5; -22;19) ị Phng trỡnh mp(P): 5 x - 22 y + 19 z + 9 = 0 .
2

Trang 15


ễn thi i hc

Trn S Tựng

uuur
b) AB = (2; -3; -4) ị AB // d1. Gi A1 l im i xng ca A qua d1 .
Ta cú: IA + IB = IA1 + IB A1B . Do ú IA + IB t giỏ tr nh nht bng A1B. Khi ú A1, I, B thng
hng ị I l giao im ca A1B v d. Vỡ AB // d1 nờn I l trung im ca A1B.
ổ 36 33 15 ử
ã Gi H l hỡnh chiu ca A lờn d1. Tỡm c H ỗ ; ; ữ . A i xng vi A qua H nờn
ố 29 29 29 ứ

ổ 43 95 28 ử
ổ 65 -21 -43 ử
A ỗ ; ; - ữ . I l trung im ca AB suy ra I ỗ ;
;
ữ.
ố 29 29 29 ứ
ố 29 58 29 ứ
Cõu VII.a: Nhn xột z = 0 khụng l nghim ca PT. Vy z ạ 0

1 ử ổ 1ử 1
Chia hai v PT cho z2 ta c: ỗ z2 + ữ - ỗ z - ữ + = 0 (1)
zứ 2
z2 ứ ố

1
1
1
t t = z - . Khi ú t 2 = z2 + - 2 z2 + = t 2 + 2
2
z
z
z2
5
5
= 0 (3). D = 1 - 4. = -9 = 9i 2
2
2
1 + 3i
1 - 3i
ị PT (3) cú 2 nghim t =
, t=
2
2
1 + 3i
1 1 + 3i
ã Vi t =
: ta cú z - =
2 z2 - (1 + 3i)z - 2 = 0 (4a) Cú D = (3 + i)2
z
2
2
(1 + 3i) + (3 + i)
(1 + 3i) - (3 + i) i - 1
ị PT (4a) cú 2 nghim : z =
= 1+ i , z =
=
4
4
2
1 1 - 3i
1 - 3i
ã Vi t =
: ta cú z - =
2 z2 - (1 - 3i)z - 2 = 0 (4b)
Cú D = (3 - i)2
z
2
2
(1 - 3i) + (3 - i)
(1 - 3i) - (3 - i) -i - 1
ị PT (4b) cú 2 nghim : z =
= 1- i , z =
=
4
4
2
i -1
-i - 1
Vy PT ó cho cú 4 nghim : z = 1 + i; z = 1 - i; z =
;z=
.
2
2

9
ùù x = 2
ổ9 3ử
ỡx - y - 3 = 0
Cõu VI.b: 1) Ta cú: I = d1 ầ d2 ị To ca I l nghim ca h: ớ
ị Iỗ ; ữ

x
+
y
6
=
0
3

ố2 2ứ
ùy =
ùợ
2
Do vai trũ A, B, C, D l nh nhau nờn gi s M = d1 ầ Ox l trung im cnh AD. Suy ra M(3; 0)
Phng trỡnh (2) tr thnh: t 2 - t +

2

2

S

9ử ổ3ử
12
Ta cú: AB = 2 IM = 2 ỗ 3 - ữ + ỗ ữ = 3 2 . S ABCD = AB. AD = 12 AD = ABCD =
=2 2
2ứ ố2ứ
AB
3 2

Vỡ I v M cựng thuc ng thng d1 ị d1 ^ AD
r
ng thng AD i qua M(3; 0) v vuụng gúc vi d1 nhn n = (1;1) lm VTPT nờn cú PT: x + y - 3 = 0
ỡù x + y - 3 = 0
Mt khỏc: MA = MD = 2 ị To ca A, D l nghim ca h PT: ớ
2
2
ùợ ( x - 3) + y = 2
ỡy = -x + 3
ỡy = - x + 3
ỡx = 2
ỡx = 4



hoc ớ
. Vy A( 2; 1), D( 4; 1).
2
2
2
2
ợy = 1
ợ y = -1
ợ( x - 3) + y = 2
ợ( x - 3) + (3 - x ) = 2
ỡ x = 2 xI - x A = 9 - 2 = 7
ổ9 3ử
Do I ỗ ; ữ l trung im ca AC suy ra: ớ C
ố2 2ứ
ợ yC = 2 yI - y A = 3 - 1 = 2
Tng t I cng l trung im ca BD nờn ta cú B( 5; 4)
Vy to cỏc nh ca hỡnh ch nht l: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; 1)
r
r
2) a) d1 cú VTCP u1 = (1; -1;2) v i qua im M( 2; 1; 0), d2 cú VTCP u2 = (-2;0;1) v i qua im
N( 2; 3; 0) .

Trang 16


Trn S Tựng

ễn thi i hc

r r uuuur
Ta cú: ộởu1 , u2 ựỷ .MN = -10 ạ 0 ị d1 , d2 chộo nhau. Gi A(2 + t;1 - t;2t )ẻ d1 , B(2 - 2t ; 3; t )ẻ d2 .
uuur

1
ỡù AB.ur = 0
ổ5 4 2ử
ù
AB l on vuụng gúc chung ca d1 v d2 ớ uuur r1
ị ớt = - 3 ị A ỗ ; ; - ữ ; B (2; 3; 0)
ố3 3 3ứ
ùợ AB.u2 = 0
ùợt ' = 0
ỡx = 2 + t
ù
ng thng D qua hai im A, B l ng vuụng gúc chung ca d1 v d2 ị D: ớ y = 3 + 5t
ùợ z = 2t
2

2

2


11 ử ổ
13 ử ổ 1 ử
5
b) PT mt cu nhn on AB l ng kớnh: ỗ x - ữ + ỗ y - ữ + ỗ z + ữ =
6ứ ố
6ứ ố
3ứ
6

0
1
2009
Cõu VII.b: Ta cú: (1 + i)2009 = C2009
+ iC2009
+ .. + i 2009C2009
0
2
4
6
2006
2008
= C2009
- C2009
+ C2009
- C2009
+ .... - C2009
+ C2009
+
1
3
5
7
2007
2009
(C2009
- C2009
+ C2009
- C2009
+ ... - C2009
+ C2009
)i

1
Thy: S = ( A + B) , vi
2

0
2
4
6
2006
2008
A = C2009
- C2009
+ C2009
- C2009
+ ... - C2009
+ C2009
0
2
4
6
2006
2008
B = C2009
+ C2009
+ C2009
+ C2009
+ ... + C2009
+ C2009
1004

ã Ta cú: (1 + i)2009 = (1 + i ) ộở(1 + i)2 ựỷ

= (1 + i ).21004 = 21004 + 21004 i .

ng nht thc ta cú A chớnh l phn thc ca (1 + i)2009 nờn A = 21004 .
0
1
2
2009
ã Ta cú: (1 + x )2009 = C2009
+ xC2009
+ x 2C2009
+ ... + x 2009C2009
0
2
2008
1
3
2009
Cho x = 1 ta cú: C2009
+ C2009
+ ... + C2009
= C2009
+ C2009
+ ... + C2009

Cho x=1 ta cú:

0
2
2008
1
3
2009
(C2009
+ C2009
+ ... + C2009
) + (C2009
+ C2009
+ ... + C2009
) = 22009 .

Suy ra: B = 22008 .
ã T ú ta cú: S = 21003 + 22007 .
===================

Trang 17


Ôn thi Đại học

Trần Sĩ Tùng

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN
Đề số 56

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 4 + (3m + 1) x 2 - 3 (với m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = -1 .
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân
2
sao cho độ dài cạnh đáy bằng lần độ dài cạnh bên.
3
Câu II (2,0 điểm)
1) Giải phương trình : (1 - tan x )( cos2 x + 4sin 2 x - 1) = cos 2 x + 7sin 2 x - 7
ìx + y = 2
2) Giải hệ phương trình: í 2
2
î4 x + y = 5(2 x - y ) xy

(1)
(2)

( x 2 + x )e x

dx
x + e- x
Câu IV (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt
Câu III (1,0 điểm) Tìm nguyên hàm:

ò

phẳng ( ABC ') tạo với đáy một góc 600 , khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC ') bằng
a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC ' B ') bằng a . Tính theo a thể tích khối lăng
trụ ABC . A ' B ' C ' .
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x 2 + y 2 - 2 y + 1 + y 2 + z2 - 2 z + 1 + z2 + x 2 - 2 x + 1
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1) Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x - y - 2 = 0 và điểm I(1;1) . Lập phương trình
các đường thẳng cách điểm I một khoảng bằng

10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng

0

45 .
2) Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x + 2 y - 3 = 0 và D : x + 3y - 5 = 0 . Lập
phương trình đường tròn có bán kính bằng

2 10
, có tâm thuộc d và tiếp xúc với D .
5

Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: 2 log22 ( x - 2) + (4 x - 7)log2 ( x - 2) + 2( x - 2) = 0 .
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1) Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C ) : ( x - 1)2 + ( y - 1)2 = 10 và đường thẳng
d : 2 x - y - 2 = 0 . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C ) , biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng d một góc 450 .
2) Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x + 2 y - 3 = 0 và hai điểm A(-1;2) , B(2;1) . Tìm
toạ độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2.
ïìlog 2 ( x + y ) + 1 = log2 (7 x + y ) + log2 y (1)
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: í
(2)
ïîlog2 (3 x - y - 2) = 2 x - 2 y + 4
----------Hết ---------Trang 18


Trn S Tựng

ễn thi i hc

Hng dn s 56
3m + 1
Cõu I: 2) y ' = 4 x 3 + 2(3m + 1) x ; y ' = 0 x = 0, x 2 = .
2
1
th hm s cú ba im cc tr m < (*).
3
ổ -3m - 1 -(3m + 1)2
ử ổ -3m - 1 -(3m + 1)2

Ba im cc tr l: A(0; -3) ; B ỗ
;
- 3ữ ; C ỗ ;
- 3ữ
2
4
2
4

ứ ố

4
ổ -3m - 1 (3m + 1) ử
ổ -3m - 1 ử
2
5
D ABC cõn ti A ; BC = AB 9.4 ỗ
+
ữ m = - , tho (*).
ữ = 4ỗ
3
16
ố 2 ứ
3
ố 2

Cõu II:
1) iu kin: cos x ạ 0 .
p
p
PT (tan x - 1)(tan 2 x - 3) = 0 tan x = 1; tan x = 3 x = + kp ; x = + kp .
3
4
2) iu kin: xy 0 (*).

ộ2 x - y - xy = 0
xy )(2 x - y - 4 xy ) = 0 ờ
ờở2 x - y - 4 xy = 0
ỡù x + y = 2
ã Vi 2 x - y - xy = 0 ta cú ớ
x = y =1
(tho (*))
ùợ3 x - 2 = 2 x - x 2

22 + 8 6
ùx =
ỡù x + y = 2
ù
25
ã Vi 2 x - y - xy = 0 ta cú ớ
(tho (*))

2
ùợ3 x - 2 = 4 2 x - x
22
8
6
ùy =
ùợ
25
Ta cú: (1) (2 x - y -

Cõu III: A =

ũ

( x 2 + x )e x
-x

dx = ũ

xe x .( x + 1)e x
x

dx . t t = x.e x + 1 ị A = xe x + 1 - ln xe x + 1 + C .

x+e
xe + 1
Cõu IV: Gi H l hỡnh chiu ca A trờn BC ị AH ^ (BCC'B') ị AH = a
Gi K l hỡnh chiu ca C trờn AC ' ị CK ^ ( ABC') ị CK = a
AC ' ^ AB, AC ^ AB ịã
(( ABC Â),( ABC )) = ã
C ÂAC ị ã
C ÂAC = 600
AC =

CK
sin 60

0

=

2a
3

; CC ' = AC .tan 600 = 2a ;

VABC . A ' B ' C ' = SD ABC .CC ' =

1
AH

2

=

1
AB

2

+

1
AC 2

ị AB = 2a

4 a3
3

Cõu V: Ta cú P = x 2 + (1 - y)2 + y 2 + (1 - z)2 + z2 + (1 - x )2
1
1
Vỡ a2 + b2 (a + b)2 nờn P
x +1- y + y +1- z + z +1- x
2
2

(

v a + b + c a + b + c nờn P
Du "=" xy ra x = y = z =

1
2

)

x +1- y + y +1- z + z +1- x =

3 2
2

1
3 2
1
. Vy min P =
khi x = y = z = .
2
2
2

Cõu VIa:
1) Gi s phng trỡnh ng thng D cú dng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ạ 0) .
Vỡ (ã
d , D) = 450 nờn

2a - b
a2 + b2 . 5

=

1

ộ a = 3b

ở b = -3a
2

Trang 19


Ôn thi Đại học

Trần Sĩ Tùng
4+c

éc = 6
= 10 Û ê
ë c = -14
10
-2 + c
é c = -8
· Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D ) = 10 Û
= 10 Û ê
ë c = 12
10

· Với a = 3b Þ D: 3 x + y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D ) = 10 Û

Vậy có bốn đường thẳng cần tìm: 3 x + y + 6 = 0; 3x + y - 14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y + 12 = 0 .
2) Tâm I Î d Þ I (-2a + 3; a) . (C) tiếp xúc với D nên d ( I , D) = R Û

a-2
10

=

2 10
éa = 6
Ûê
5
ë a = -2

8
8
hoặc (C): ( x - 7)2 + ( y + 2)2 = .
5
5
é2 log2 ( x - 2) + 1 = 0
Câu VIIa: PT Û ( 2 log2 ( x - 2) + 1) . ( log2 ( x - 2) + 2 x - 4 ) = 0 Û ê
ë log2 ( x - 2) + 2 x - 4 = 0
Þ (C): ( x + 9)2 + ( y - 6)2 =

· Với 2 log2 ( x - 2) + 1 = 0 Û x = 2 +

1

2
· Với log2 ( x - 2) + 2 x - 4 = 0 . Ta có y = log2 ( x - 2) + 2 x - 4 là hàm số đồng biến trên (2; +¥) nên
x=

5
là nghiệm duy nhất.
2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 +

1
2

và x =

5
.
2

Câu VIb:

r
1) (C) có tâm I(1;1) bán kính R = 10 . Gọi n = (a; b) là VTPT của tiếp tuyến D (a2 + b2 ¹ 0) ,

Vì (·
D, d ) = 450 nên

2a - b
a2 + b2 . 5

=

1

é a = 3b
Ûê
ë b = -3a
2

4+c

éc = 6
= 10 Û ê
ë c = -14
10
-2 + c
é c = -8
= 10 Û ê
· Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = R Û
ë c = 12
10

· Với a = 3b Þ D: 3 x + y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = R Û

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3 x + y + 6 = 0; 3x + y - 14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y + 12 = 0 .
2) AB = 10 , C (-2a + 3; a) Î d. Phương trình đường thẳng AB : x + 3y - 5 = 0 .
a-2
1
1
éa = 6
AB.d (C , AB) = 2 Û
10.
=2 Û ê
2
2
ë a = -2
10
· Với a = 6 ta có C(-9;6)
· Với a = -2 ta có C(7; -2) .
SD ABC = 2 Û

Câu VIIb: Điều kiện { x + y > 0;7 x + y > 0; y > 0

(*)

éy = x
(1) Û log2 2( x + y)2 = log2 (7 x + y )y Û 2 x 2 - 3 xy + y 2 = 0 Û ê
ëy = 2x
· Với y = x thế vào (2) ta được log2 (2 x - 2) = 4 Û x = 9 Þ x = y = 9 , thoả (*).

· Với y = 2 x thế vào (2) ta được log2 ( x - 2) = 4 - 2 x Û log2 ( x - 2) + 2 x - 4 = 0
5
là nghiệm duy nhất.
2
ì
5
ï
ìx = 9
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm í
và í x = 2 .
îy = 9
ïî y = 5
==========================

y = log2 ( x - 2) + 2 x - 4 là hàm số đồng biến trên ( 2;+¥ ) nên x =
ì
5
ï
Suy ra í x = 2 , thoả (*).
ïî y = 5

Trang 20


Trn S Tựng

ễn thi i hc
THI TH I HC NM HC 2011-2012
Mụn thi: TON

TRNG THPT MINH KHAI
s 57

I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH
m
Cõu I. Cho hm s y = x 3 + (m - 2) x 2 + (m - 1) x + 2
(Cm)
3
1) Kho sỏt v v th hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú cc i ti x1, cc tiu ti x2 tha món x1 < x2 < 1 .
Cõu II.
cos2 x
p
1) Gii phng trỡnh:
- tan x + 2 sin(2 x - ) = 0
1 + cot x
4
ỡù 4 x + y + 2 x + y = 4
2) Gii h phng trỡnh: ớ
ùợ 2 x + y + x + y = -2
e2 x - e2 3 x 2 - 6 x + 4
Cõu III. Tớnh gii hn:
lim
x đ1
tan( x - 1)
Cõu IV. Cho lng tr ABCAÂBÂC Â cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, BC = 2a, AAÂ vuụng
gúc vi mt phng (ABC). Gúc gia ( ABÂC ) v ( BBÂC ) bng 600 . Tớnh th tớch lng tr
ABCAÂBÂC Â .
Cõu V. Cho a, b, c l cỏc s thc dng tha món abc = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
1
1
1
A=
+
+
3
3
3
a ( b + c ) b (c + a ) c ( a + b )
II.PHN RIấNG
A. Theo chng trỡnh chun
Cõu VIa. Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú hai nh A(0; 1), B(3; 4) nm
trờn parabol (P): y = x 2 - 2 x + 1 , tõm I nm trờn cung AB ca (P). Tỡm ta hai nh C, D sao
cho tam giỏc IAB cú din tớch ln nht.
Cõu VIIa. Gii phng trỡnh: log3 ( x - 2) = log4 ( x 2 - 4 x + 3)
Cõu VIIIa. Tỡm h s ca x 8 trong khai trin ( x 3 - 2 x 2 + x - 2)6 .
B. Theo chng trỡnh nõng cao
ổ 5 5ử
Cõu VIb. Cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm I ỗ ; ữ , hai im A, B ln lt nm trờn cỏc ng
ố2 2ứ
thng d1 : x + y - 3 = 0 v ng thng d2 : x + y - 4 = 0 . Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng.
Cõu VIIb. Gii phng trỡnh : 1 + log

2

x 2 - 4 x = 2 log16 ộở 4( x - 3)2 ựỷ + log8 (2 + x )3

Cõu VIIIb. Vi 4 ch s a, b, 1, 2 ụi mt khỏc nhau lp c 18 s cú 3 ch s khỏc nhau. Bit
tng ca 18 s ú bng 6440. Tỡm cỏc s a, b.
----------Ht ----------

Trang 21


ễn thi i hc

Trn S Tựng
Hng dn s 57
2

Cõu I. 2) y = mx + 2(m - 2) x + m - 1 ; y = 0 mx 2 + 2(m - 2) x + m - 1 = 0 (1)
Hm s cú C ,CT tha món x1 < x2 < 1 khi m > 0 v (1) cú 2 nghim phõn bit bộ hn 1
t t = x - 1 ị x = t + 1 , thay vo (1) ta c:
m(t + 1)2 + 2(m - 2)(t + 1) + m - 1 = 0 mt 2 + 4(m - 1)t + 4m - 5 = 0
ỡm > 0
ùùDÂ > 0
5
4
(1) cú 2 nghim phõn bit bộ hn 1 (2) cú 2 nghim õm phõn bit ớ
P
>
0
4
3
ù
ùợS < 0
Cõu II.
ỡ1 + cot x ạ 0
ù
1) iu kin: ớsin x ạ 0
. PT cos2 x (sin2 x + sin x.cos x - cos2 x ) = 0
ợùcos x ạ 0
ộ cos2 x = 0
(1)
p
-1 5
ờ 2
x = + kp ; x = arctan
+ kp .
2
4
2
ởsin x + sin x.cos x - cos x = 0 (2)
ỡ4 x + y 0
. t
2) iu kin: ớ
ợ2 x + y 0

ỡù 2 x + y = a
3 2 b2
(
,

0)

x
+
y
=
a .
a
b

2
2
ùợ 4 x + y = b


3
1
ỡ 2
ùa + a2 - b2 = -2
ỡa = 1 ỡù 2 x + y = 1
ỡx = 4
ớa + 5a - 6 = 0 ớ
ịớ


2
2
b
=
3

ùợ 4 x + y = 3 ợ y = -7
ợb = 4 - a
ùợa + b = 4

Ta cú h:

e2 x - e2 3 x 2 - 6 x + 4
e2 (e2( x -1) - 3( x - 1)2 + 1
= lim
x đ1
x đ1
tan( x - 1)
tan( x - 1)
t t = x - 1 . Khi x đ 1 thỡ t đ 0 .

Cõu III. A = lim

e2 (e2t - 3t 2 + 1)
(e2t -1 - 1) cos t 2
(1 - 3t 2 + 1)cos t
= e2 lim
+ e lim
= 2e 2
t đ0
t đ0
t đ0
tan t
sin t
sin t
Cõu IV. T A k AI ^ BC ị I l trung im BC ị AI ^ ( BC C ÂBÂ ) ị AI ^ BÂC (1)
T I k IM ^ BÂ C (2). T (1), (2) ị BÂ C ^ (IAM) ị BÂ C ^ MA
(3)
A = lim

T (2), (3) ị ã
(( ABÂC ),(BÂCB)) = (ã
IM , AM ) = ã
AMI = 600 (do DAMI vuụng ti I)

1
AI
a
IM
IC
IM .BÂC
BC = a , IM =
=
, DIMC : DBÂBC ị
=
BBÂ =
0
2
BBÂ BÂC
IC
3
tan 60
a
1
1
ị BBÂ = 3 BÂC =
BÂC BBÂ =
BÂB2 + 4a2 ị BBÂ = a 2
a
3
3
Ta cú AI =

SD ABC =

1
1
AI .BC = a.2a = a2 ị VABC AÂBÂC Â = a 2.a2 = a3 2
2
2

Cõu V. S dng BT: Vi a, b, c, d > 0, ta cú:

a c a+c
+
b d b+d
2

ổ 1 1 1ử
ỗa+ b+ cữ
2
2
2


a
b
c
A=
+
+

a (b + c) b(c + a) c(a + b) a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)
1

1

2

ổ 1 1 1ử
ỗa+ b+ cữ

ứ =
=
2(ab + bc + ca)

1

2

ổ 1 1 1ử
ỗ + + ữ
ố a b cứ = 1ổ 1 + 1 + 1ử 3 3 1 = 3 .


ổ 1 1 1 ử 2 ố a b c ứ 2 abc 2
2ỗ + + ữ
ốa b cứ
Du = xy ra a = b = c = 1.

Trang 22


Trn S Tựng

ễn thi i hc

Cõu VIa. I nm trờn cung AB ca ( P) nờn I (a; a 2 - 2a + 1) vi 0 < a <3.
Do AB khụng i nờn din tớch DIAB ln nht khi d ( I , AB) ln nht
Phng trỡnh AB: x - y + 1 = 0 .

d ( I , AB) =

a - a2 + 2a - 1 + 1
2

=

-a2 + 3a
2

=

-a2 + 3a
2

(do a ẻ(0;3))

ị d ( I, AB) t giỏ tr ln nht f (a) = -a2 + 3a t giỏ tr ln nht a =

ổ3 1ử
3
ị Iỗ ; ữ
2
ố2 4ứ



1ử
7ử
Do I l trung im ca AC v BD nờn ta cú C ỗ 3; - ữ ; D ỗ 0; - ữ .
2ứ
2ứ



Cõu VIIa. iu kin: x > 3 . PT log3 ( x 2 - 4 x + 4) = log2 ( x 2 - 4 x + 3) .
ỡùt + 1 = 3a
t t = x 2 - 4 x + 3 , ta c log3 (t + 1) = log2 t = a ớ
a
ùợt = 2
a

a

a

a

ổ2ử ổ1ử
ổ2ử
ổ1ử
ị 2a + 1 = 3a ỗ ữ + ỗ ữ = 1 (1). Do hm s f (a) = ỗ ữ + ỗ ữ nghch bin trờn R v f (1) =
ố 3ứ ố3ứ
ố3ứ
ố3ứ
1 ị a = 1 l nghim duy nht ca (1).
Vi a = 1 ị t = 2 ị x 2 - 4 x + 3 = 2 x = 2 + 3 (vỡ x > 3).
Cõu VIIIa. ( x 3 - 2 x 2 + x - 2)6 = ( x - 2)6 ( x 2 + 1)6 =

6

6

k =6

i=0

ồ C6k x k .(-2)6 - k . ồ C6i x 2i

ly tha ca x bng 8 thỡ k + 2i = 8 ị ( k, i) = {(6;1); (4;2); (2;3); (0;4)}
Vy h s ca x 8 l: C66 .(-2)0 .C61 + C64 .(-2)2 .C62 + C64 .C60 .(-2)6 + C62 .(-2)4 .C63 = 6666
uur ổ
ử uur ổ

5 1
5 3
Cõu VIb. Gi s A(a; 3 - a) ẻ d1; B(b; 4 - b) ẻ d2 ị IA = ỗ a - ; - a ữ ; IB = ỗ b - ; - b ữ
2 2
2 2




ỡ IA = IB
ỡa = 2 ỡa = 1
ABCD vuụng tõm I nờn ớ uur uur


ợb = 1 ợb = 3
ợ IA.IB = 0
ã Vi a = 2; b = 1 ị A(2; 1); B(1; 3), C(3; 4); D(4; 2).
ã Vi a = 1; b = 3 ị A(1; 2); B(3; 1), C(4; 3); D(2; 4).
ộ-2 < x < 0
Cõu VIIb. iu kin ờ
.
ởx > 4
PT 1 + log2 ( x 2 - 4 x ) = log2 (2 x - 3 ) + log2 (2 + x ) 2( x 2 - 4 x ) = 2 (2 + x ) x - 3
x 2 - 4 x = (2 + x ). x - 3

(1)

2

ã Vi x > 4 thỡ (1) x - 4 x = (2 + x )( x - 3) x = 2 (loi)
ã Vi -2 < x < 0 thỡ (1) 2 x 2 - 5 x - 6 = 0 x =

5 - 73
4

Cõu VIIIb. Nu a ạ 0, b ạ 0 thỡ t 4 ch s a, b, 1, 2 ta lp c A43 = 24 s cú 3 ch s khỏc nhau. Nh vy
phi cú mt s bng 0.
Gi s a = 0 khi ú ta lp c A43 - A32 =18 s v cỏc ch s 1, 2, b xut hin hng trm 6 ln, xut
hin hng chc v hng n v 4 ln.
Vy ta cú: 100 .6( 1 + b + 2) + 10 . 4 ( 1+ b + 2) + 4 (1 + b + 2) = 6440 644 ( 3 + b ) = 6440
3 + b = 10 b = 7.
Vy a = 0, b = 7 hoc b = 0 , a = 7.
==========================

Trang 23


Ôn thi Đại học

Trần Sĩ Tùng

SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH
TRƯỜNG THPT CÔNG NGHIỆP
Đề số 58

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011–2012
Môn thi: TOÁN

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm y = x 3 - 3mx 2 + 4m3 (1), với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng y = x.
Câu II (2,0 điểm).
sin 2 x cos2 x
+
= tan x - cot x.
cos x
sin x
ìï y 2 + y - 3) x - 4 y = -3 (1)
2) Giải hệ phương trình: í 3 (
.
(2)
ïî x - 2 + 2 - y = 3

1) Giải phương trình:

1

Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân: I = ò

0

x
4-x

2

( e2 x .

)

4 - x 2 - x 2 dx.

Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,
AB = BC = a; AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SA = a. Gọi E là trung điểm
của AD. Tính thể tích khối chóp S.CDE và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
S.CDE.
Câu V (1,0 điểm). Cho a, b, c là 3 số dương thoả a + b + c =
P=

1
3

a + 3b

+

1
3

b + 3c

+

1
3

c + 3a

3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4

.

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm).
A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2,0 điểm).
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C):
( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 10 . Xác định toạ độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB đi qua điểm
M(–3; –2) và điểm A có hoành độ xA > 0.
2) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; -1;2) và N(-1;1;3) . Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
2

2

Câu VII.a (1,0 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn : z + 2 z.z + z = 8 và z + z = 2 .
B. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2,0 điểm).
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: x + y – 1 = 0, các điểm A( 0; –1), B(2; 1).
Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên đường thẳng D. Tìm tọa độ các điểm C, D.
2) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), B(1;0; -3), C (-1; -2; -3) và mặt cầu (S) có phương
trình: x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 2 z - 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể
tích lớn nhất.
ì2.log y = log2 x - 1
3
1
ï
Câu VII.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: í
2
ï log y = (log x - 1).log 3
2
2
2
î

––––––––––Hết ––––––––––

Trang 24


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×