Tải bản đầy đủ

pt va bat phuong trinh chua can thuc

Trường THPT Tân Châu

Tài liệu luyện thi Đại Số

ph¬ng tr×nh Vµ BÊt ph¬ng tr×nh CHøA C¡N THøC
−−−−−−−
 Kiến thức cơ bản:








�f ( x) �0
f ( x) = g ( x) � �
(hoặc g(x) �0 )


�f ( x) = g ( x)

�f ( x) �0


f ( x) =۳�
g ( x) �
�g ( x ) 0


2

�f ( x) = [ g ( x) ]

�f ( x) �0



f ( x ) < g ( x) ۳ �g ( x ) 0


2


�f ( x) < [ g ( x) ]

g ( x) 0



2

�f ( x) = [ g ( x) ]



g ( x) < 0


(I )




f
(
x
)

0

f ( x) > g ( x) � �
nghiệm của BPT đã cho là hợp của nghiệm hệ (I) với

�g ( x) �0


( II )


2


f
(
x
)
>
g
(
x
)



hệ (II).

● Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng:
 Phương pháp 1: Biến đổi về dạng cơ bản
 Ví dụ: Giải phương trình: 3x2  9x  1  x  2  0
Giải:
3x2  9x  1  x  2  0
� 3x2  9x  1  2  x
2  x �0

�� 2
3x  9x  1 4  4x  x2

�x �2

1
��
x 3
� ��
� x 
2
1
��
x



2
��
1
2
 Bài tập: Giải các phương trình sau:
 6  4x  x2  x  4  0
Vậy phương trình có nghiệm: x  



2x  6x2  1  x  1

GV: Đỗ Minh Vũ

Trang 1


Trường THPT Tân Châu
 4  3 10  3x  x  2

Tài liệu luyện thi Đại Số

x(x  1)  x(x  2)  2 x2
 Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức
 Ví dụ: Giải phương trình: 2x  9  4  x  3x  1
Giải:
2x  9  4  x  3x  1 (1)



2x  9 �0
1

Điều kiện: �4  x �0 �  �x �4
3

3x  1�0

� 2x  9  3x  1  4  x
(1)

� 2x  9  2x  5 2 (3x  1)(4  x)
� (3x  1)(4  x)  2
� 3x2  11x  0

x 0
� � 11 (nhận)

x
� 3

� 11�
0; �
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  �
� 3
 Bài tập: Giải các phương trình sau:
 x 5 x 3  2


x  9  5 2x  4



x  1 x  6  x  9



5x  1 3x  2  x  1  0

 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ phương trình đại số:
 Ví dụ: Giải phương trình: (x  5)(2  x)  3 x2  3x
Giải:
(x  5)(2  x)  3 x2  3x (1)

x �3
2
Điều kiện: x  3x �0 � �
x �0

(1) � (x2  3x)  10  3 x2  3x
�
t 2(n)
2
Đặt t  x2  3x (t �0) . Phương trình trở thành: t  3t  10  0 � �
t  5(l )


x1
t  2 � x2  3x  2 � x2  3x  4  0 � �
(nhận)
x  4

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   4;1
 Bài tập: Giải các phương trình sau:

GV: Đỗ Minh Vũ

Trang 2


Trường THPT Tân Châu
 x  1  4  x  (x  1)(4  x)  5
 3(x  2)2(x  1)  2 x3  3x2  3  8  0

Tài liệu luyện thi Đại Số
 3x2  15x  2 x2  5x  1  2


2x  3  x  1  3x  2 2x2  5x  3  16



x  1 3 x  (x  1)(3 x)  2



2x2  5x  2  2 2x2  5x  6  1



3 x  x2  2 x  x2  1



x2  x  4  x2  x  1  2x2  2x  9

 Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về dạng tích số: A.B=0 hoặc A.B.C=0
x2
 3x  2  1 x
 Ví dụ: Giải phương trình:
3x  2
Giải:
2
x
 3x  2  1 x (1)
3x  2
3
Điều kiện: 3x  2  0 � x 
2
(1) � x2  3x  2  (1 x) 3x  2
� (x  1)(x  2)  (1 x) 3x  2  0
� (x  1) �
(x  2)  3x  2� 0



x1

x1

��
��
�x �2
.... � x  1

� 3x  2  2  x �
2
3x  2  4  4x  x



So với điều kiện ban đầu ta được: x=1. Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   1
 Bài tập: Giải các phương trình sau:
 x  2 7 x  2 x  1   x2  8x  7  1
2x2  8x  6  x2  1  2(x  1)
 Phương pháp 5: Quy phương trình chứa căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức
 Ví dụ: Giải phương trình: 3 x  2  3 x  3  3 2x  1
Giải:
3
3
3
x  2  x  3  2x  1 (1)


Đặt u  3 x  2; v  3 x  3


u 0


� 3
v 5






v 0
u3  3uv(u  v)  v3  u3  v3


�uv(u  v)  0 �

u  v  3 u3  v3
(1) � �
� �3 3
� �3 3
� �

u  v  5
u  v  5
u 3 5
u3  v3  5






u v  0


�3 3
u  v  5




GV: Đỗ Minh Vũ

Trang 3


Trường THPT Tân Châu

u 0
�x  2  0

� x 2
Do đó: � 3 � �
v  5 �x  3  5


Tài liệu luyện thi Đại Số


v 0
�x  3  0

��
� x  3

3
u   5 �x  2  5



u v  0
u  v
5
5
1
�� 3 3
� v3  � x  3  � x  
�3 3
2
2
2
u  v  5 �v  v  5


1�
2; 3;  �
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  �
2

 Bài tập: Giải các phương trình sau:
 3 x  34  3 x  3  1



 2(x2  2)  5 x3  1


3

(

x  1 3 x  2  3 2x  3

 2(x2  3x  2)  3 x3  8

2  x  1 x  1
3

3



)

3

 x 35 - x3 x + 35 - x 3 = 30

3

(2  x)2  3 (7 x)2  3 (7 x)(2  x)  3

 x + 17 - x 2 + x 17 - x 2 = 9

 Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất của
phương trình:
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f (x) c có không quá một
nghiệm trong khoảng (a;b). Do đó nếu tồn tại x0(a,b) sao cho f (x0 ) c thì x0 là nghiệm duy nhất của phương trình
f (x) c
Tính chất 2: Nếu hàm f là hàm tăng trong khỏang (a,b) và hàm g là hàm giảm trong khoảng (a,b) thì phương trình
f (x) g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a,b) . Do đó nếu tồn tại x0 (a,b) sao cho f (x0 ) g(x0 ) thì đó là
nghiệm duy nhất của phương trình
 Ví dụ: Giải phương trình: x5 + x3 - 1 - 3 x + 4 = 0
Giải:
Điều kiện: x �1 . Đặt f  x   x 5  x 3  1  3x  4  0 .
3
3
 x   5 x 4  3x 2 
 0 x  1  f (x) đồng biến trên �, 1 �.
Ta có: f �
3�
2 1  3x
3
Mặt khác f (1)  0 nên phương trình f (x)  0 có nghiệm duy nhất x  1.
● Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng:
 Phương pháp 1: Biến đổi về dạng cơ bản:



 Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

x 2 - 4 x + 3 < x +1
Giải:

�x - 4 x + 3 �0

1

�< x �1

2

x - 4 x + 3 < x +1 � �x +1 > 0
��
3



2
2
x >3


�x - 4 x + 3 < x + 2 x +1 �

1 �
;1�
�[ 3; +�)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = �



3 �

2

GV: Đỗ Minh Vũ

Trang 4


Trường THPT Tân Châu
 Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

Tài liệu luyện thi Đại Số

( x +1)(4 - x) > x - 2
Giải:



( x +1)(4 - x) �0




- 1 �x < 2



�x - 2 < 0

( x +1)(4 - x) > x - 2 � �
....... � �
7
�x - 2 �0

0


2

� 2

2

x
+
3
x
+
4
>
x
4
x
+
4



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [- 1;2) �( 0;7 )
 Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:

a. x 2 + 3 x + 3 < 2 x +1
b. 8 + 2 x - x 2 > 6 - 3 x
c. 2 x 2 - 6 x +1 - x + 2 > 0
d. 4 -

1- x > 2 - x

 Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức:
 Ví dụ : Giải bất phương trình: x +11 - 2 x - 1 � x - 4 (1)
Giải:

x +11 �0



2 x -�۳
1 0
Điều kiện: �



�x - 4 �0
(1) �

x

4

x +11 � x - 4 + 2 x - 1

� x +11 �3x - 5 + 2 ( x - 4)(2 x - 1)
� ( x - 4)(2 x - 1) �8 - x
.........

x �- 12
��

5 �x �8


Kết hợp điều kiện ta được: 5 �x �8 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [ 5;8]
 Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:

a. x - 1 -

x- 6 � x- 9

b. x + 3 + x + 2 -

2x + 4 > 0

c. x + x +1 < 6 x - 1
d. x +3 � 2x - 8 + 7 - x
 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số:

GV: Đỗ Minh Vũ

Trang 5


Trường THPT Tân Châu
 Ví dụ : Giải bất phương trình: 2 x 2 + 4 x + 3 3 - 2 x - x 2 >1 (1)
Giải:
2
Điều kiện: 3 - 2 x - x �0 � - 3 �x �1

Tài liệu luyện thi Đại Số

(1) � 3 - x 2 - 2 x + 3 > 1 + 2(- x 2 - 2 x + 3) - 6 (2)
Đặt t = - x 2 - 2 x + 3 (t �0) . Bất phương trình (2) trở thành:

2t 2 - 3t - 5 < 0 � - 1 < t <

5
2

5
5
� - x 2 - 2 x + 3 < � 4 x 2 + 8 x +13 > 0, " x ��
2
2
So với điều kiện ban đầu ta được tập nghiệm của bất phương trình (1) là: S = [- 3;1]
So sánh điều kiện t �0 ta được: 0 �t <

 Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:

a. 3 x 2 + 5 x + 4 -

3 x 2 + 5 x + 2 >1

b. 3 x 2 + 6 x + 4 < 2 - 2 x - x 2

c. x( x - 4) - x 2 + 4 x + ( x - 2) 2 < 2

d .3 x +

3
2 x

< 2x +

1
- 7
2x

 Phương pháp 4: Biến đổi bất phương trình về dạng tích số hoặc thương:
 Ví dụ : Giải bất phương trình: ( x 2 - 3 x) 2 x 2 - 3 x - 2 �0 (1)
Giải:


1
��x
Điều kiện: 2 x - 3 x - 2 �0 � �
2

x �2


1
1
TH1: Với x =hoặc x = 2 thì (1) thỏa mãn. Suy ra x =; x = 2 là nghiệm của (1)
2
2

x �0
1
2
TH2: Với x 2 thì (1) � x - 3 x �0 � �

x �3
2

1
So sánh điều kiện ta được: x 2
1
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x �- ; x = 2; x �3
2
2

 Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:

a.

x +5 - 3
<1
x- 4

12 + x - x 2
12 + x - x 2
c.

x - 11
2x - 9

GV: Đỗ Minh Vũ

b.
d.

51 - 2 x - x 2
<1
1- x
2( x 2 - 16)
x- 3

+ x- 3 >

Trang 6

7- x
x- 3



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×