Tải bản đầy đủ

Tai lieu giang day ToanHH11

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG
Kí hiệu
Pn
Ank
Cnk
P(A)
limun

Xác suất của biến cố A
Giới hạn của dãy số (un)

lim f (x)

x→ x0

lim f (x)

x→−∞


lim f (x)

x→+∞

lim f (x)

x→ x0+

lim f (x)

x→ x0−

Tên gọi
Diễn giải
Số các hoán vò của n phần tử
Permutation
Số các chỉnh hợp chập k của n phần
tử
Số các tổ hợp chập k của n phần tử
Combinatory
Probability
Limit

Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới
x0
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới
âm vô cực
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới
dương vô cực
Giới hạn bên phải của hàm số f(x) khi x
dần tới x0
Giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi x
dần tới x0
Đạo hàm của hàm số y = f(x)
Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x)
Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)

y' hoặc f'(x)
y'' hoặc f''(x)
y(n) hoặc f(n)


(x)
dy hoặc df(x) Vi phân của hàm số y = f(x)
n(A) hoặc A Số phần tử hữu hạn của tập A

Differenttial

----- Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp -----

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

1


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
----- oOo -----

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1. Các giá trò lượng giác của cung (góc) α:
• sinα luôn xác đònh ∀α ∈R và sin(α + k2π) = sinα;
cosα luôn xác đònh ∀α ∈R và cos(α + k2π) = cosα
• - 1 ≤ sinα ≤ 1 (sinα≤ 1).
- 1 ≤ cosα ≤ 1 (cosα ≤ 1).
π
• tanα xác đònh khi α ≠ + kπ và tan(α + kπ) = tanα;
2
cotα xác đònh khi α ≠ kπ và cot(α + kπ) = cotα.
• Dấu của các giá trò lượng giác của góc α:
Phần tư
I
II III IV
Giá trò lượng giác
sinα
+
+
cosα
+
+
tanα
+
+
cotα
+
+
2. Bảng các giá trò lượng giác đặc biệt:
π
π
π
α
0 (00)
(300)
(450)
(600)
6
4
3
1
2
3
sinα
0
2
2
2
1
3
2
cosα
1
2
2
2
1
tanα
0
1
3
3
1
cotα
kxđ
1
3
3
3. Công thức lượng giác cơ bản:

π
(900)
2
1
0
kxđ
0

1
π
(α ≠ + kπ , k ∈ Z).
2
2
cos α
1
π
• 1+ cot2 α =
(α ≠ kπ, k ∈ Z).
• tanα.cotα = 1 ( α ≠ k , k ∈ Z).
2
2
sin α
4. Giá trò lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
Cung đối:(-α) Cung bù:(π - α)
Cung hơn kém π: (π +
π
Cung phụ:( - α)
và α
và α
α) và α
2
sin(-α) = -sinα
sin(π - α) = sinα và α
sin(π + α) = -sinα
π
sin( - α) = cosα
cos(-α) = cosα
cos(π - α) =
cos(π + α) = -cosα
2
π
tan(-α) = -tanα -cosα
tan(π + α) = tanα
cos( - α) = sinα
2
cot(-α) = -cotα
tan(π - α) =
cot(π + α) = cotα
π
tan( - α) = cotα
-tanα
2
π
cot(π - α) =
cot( - α) = tanα
2
-cotα
• sin2α + cos2α = 1

2

• 1+ tan2 α =

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

5. Các công thức lượn giác thường sử dụng:
Công thức cộng:
Công thức nhân đôi: Công thức hạ bậc:
cos(a - b) = cosacosb +
sin2a = 2sinacosa
1+ cos2a
2
cos
a
=
2
2
sinasinb
cos2a = cos a - sin a
2
cos(a + b) = cosacosb = 2 cos2a - 1
1− cos2a
sin2 a =
sinasinb
= 1 - 2sin2a
2
sin(a - b) = sinacosb 2tana
1− cos2a
tan2a =
cosasinb
tan2 a =
1− tan2a
1+ cos2a
sin(a + b) = sinacosb +
cosasinb
tana − tanb
tan(a − b) =
1+ tanatanb
tana + tanb
tan(a + b) =
1− tanatanb
Công thức biến tích thành tổng:
Công thức biến đổi tổng thành
tích:
1
cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)]
u+ v
u− v
2
cosu + cosv = 2cos
cos
2
2
1
sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)]
u+ v
u− v
2
cosu - cosv = -2sin
sin
2
2
1
sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)]
u+ v
u− v
2
sinu + sinv = 2sin
cos
2
2
u+ v
u− v
sinu - sinu = 2cos
sin
2
2
• Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina - 4sin3a
cos3a = 4cos3a - 3cosa
• Công thức sina + cosa:
π
π
sina + cosa = 2 sin(a + )
sina - cosa = 2 sin(a - )
4
4
π
π
sina + cosa = 2 cos(a - )
sina - cosa = - 2 cos(a + )
4
4
 Ghi chú:
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

3


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

4

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

§1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC
I- ĐỊNH NGHĨA:
1. Hàm số sin và hàm số côsin:
a) Hàm số sin:

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx
sin: R → R
x  y = sinx
được gọi là hàm số sin, kí
hiệu là y = sinx
• Tập xác đònh của hàm số sin là: D = R.
b) Hàm số côsin:

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx
cos: R → R
x  y = cosx
được gọi là hàm số côsin, kí
hiệu là y = cosx
• Tập xác đònh của hàm số côsin là: D = R.
2. Hàm số tang và hàm số côtang:
a) Hàm số tang:
sinx
• Hàm số tang là hàm số được xác đònh bởi công thức y =
cosx
(cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx.
π
• Tập xác đònh của hàm số y = tanx là: D = R\{ + kπ, k ∈ Z}.
2
b) Hàm số côtang:
cosx
• Hàm số côtang là hàm số được xác đònh bởi công thức y =
sinx
(sinx ≠ 0), kí hiệu là y = cotx.
• Tập xác đònh của hàm số y = cotx là: D = R\{kπ, k ∈ Z}.
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

5


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
 Nhắc lại đònh nghóa hàm số chẵn, hàm số lẻ. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm
số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) và y = cot(x).

* Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm
số chẵn, từ đó suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx đều là những hàm
số lẻ.
II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
 Giải nghóa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống.
Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác đònh của các hàm
số: a) y = sinx; b) y = tanx.

• Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
• Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
• Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì π.
III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
1. Hàm số y = sinx:
• Hàm số y = sinx xác đònh với mọi x ∈ R và -1 ≤ sinx ≤ 1;
• Là hàm số lẻ;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = sinx trên đoạn [0; π]:

Hàm số y = sinx đồng biến trên [0;
Bảng biến thiên:
x

π
π
] và nghòch biến trên [ ; π].
2
2
π
2

0
π
1

y=
sinx

0
0

* Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm
số lẻ nên lấy đối xứng đồ thò hàm
số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O,
ta được đồ thò hàm số trên đoạn [-π;
0].
b) Đồ thò hàm số y = sinx trên R:

6

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

c) Tập giá trò của hàm số y = sinx:
Tập giá trò của hàm số y = sinx là T = [-1; 1].
2. Hàm số y = cosx:
• Hàm số y = cosx xác đònh với mọi x ∈ R và -1 ≤ cosx ≤ 1;
• Là hàm số chẵn;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π;
• Hàm số y = cosx đồng biến trên [-π; 0] và nghòch biến trên [0; π].
• Bảng biến thiên:
x

0
π
1
y = cosx
-1
-1
• Đồ thò hàm số y = cosx:

• Tập giá trò của hàm số y = cosx là T = [-1; 1].
Đồ thò hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin.
3. Hàm số y = tanx:
π
• Tập xác đònh: D = R\{ + kπ , k ∈ Z};
2
• Là hàm số lẻ;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π;
π
a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0; ):
2

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

7


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;
Bảng biến thiên:

π
4


x

π
).
2

π
2

y = tanx +∞
1
0
* Nhận xét: Khi x càng gần

π
thì đồ thò hàm số y = tanx càng gần
2

π
.
2
b) Đồ thò hàm số y = tanx trên D:

đường thẳng x =

π π
• Đồ thò hàm số y = tanx trên (− ; ) :
2 2

• Đồ thò hàm số y = tanx trên D:

8

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

• Tập giá trò của hàm số y = tanx là T = (-∞; +∞).
4. Hàm số y = cotx:
• Tập xác đònh: D = R\{kπ, k ∈ Z};
• Là hàm số chẵn;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π;
a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = cotx trên khoảng (0; π):
Hàm số y = cotx nghòch biến trên khoảng (0; π).
π
0
x
2
π
+∞
y = tanx
0
-∞

b) Đồ thò hàm số y = cotx trên D:

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

9


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

• Tập giá trò của hàm số y = cotx là T = (-∞; +∞).
 Ghi chú:
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

10

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Hãy xác đònh các giá trò của x trên đoạn [-π;
tanx:


] để hàm số y =
2

a) Nhận giá trò bằng 0;
b) Nhận giá trò bằng 1;
c) Nhận giá trò dương;
d) Nhận giá trò âm.
Bài 2: Tìm tập xác đònh của các hàm số:
1+ cosx
π
π
1+ cosx
a) y =
; b) y =
; c) y = tan(x − ) ; d) y = cot(x + ) .
sinx
3
6
1− cosx

1
.
2
Bài 4: Dựa vào đồ thò hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trò của x để
hàm số đó nhận giá trò dương.
Bài 5: Dựa vào đồ thò hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trò của x để
hàm số đó nhận giá trò âm.
Bài 6: Tìm giá trò lớn nhất của các hàm số:
a) y = 2 cosx + 1;
b) y = 3 - 2sinx.
Bài 7: Dựa vào đồ thò của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thò của hàm số y
= sinx.
Bài 8: Chứng minh rằng sin2(x + kπ) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ
đồ thò hàm số y = sin2x.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Xét tính chẵn - lẻ của mỗi hàm số sau:
a) y = -2sinx;
b) y = 3sinx - 2; c) y = sinx - cosx;
d) y = sinxcos2x +
tanx.
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
π
a) y = 2cos(x + ) + 3;
b) y = 1− sin(x2 ) - 1;
c) y = 4sin x .
3
Bài 3: Dựa vào đồ thò hàm số y = cosx, tìm các giá trò của x để cosx =

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

11


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
.....................................................................................................................................................................................................................
........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................

12

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = a:
Xét phương trình sinx = a (a ∈ R) (1)
Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm
Trường hợp a ≤ 1:
sinx = sinα ⇔
 x = α + k2π
 x = π − α + k2π (k ∈ Z)

sinx = a
sinx = a ⇔
 x = arcsina + k2π
 x = π − arcsina + k2π (k ∈ Z)

* Chú ý:
sinu(x) = sinα
 u(x) = α + k2π [β 0 + k3600 ]
(k ∈ Z)


0
0
0
[sinu(x) = sinβ 0 ]
u(x) = π − α + k2π [180 − β + k360 ]
• sinu(x) = a
(-1 ≤ a ≤ 1)
sinu(x) = a
 u(x) = arcsina + k2π [arcsina + k3600 ]
(k ∈ Z)
⇔ 
0
0
(sinu(x) = a)
u(x) = π − arcsina + k2π [180 − arcsina + k360 ]
 f (x) = g(x) + k2π
(k ∈ Z)
• Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)] ⇔ 
 f (x) = π − g(x) + k2π
π
• Đặc biệt:
sin[f(x)] = 1 ⇔ f(x) =
+ k2π, k ∈ Z
2
π
sin[f(x)] = -1 ⇔ f(x) = - + k2π, k ∈ Z
2
sin[f(x)] = 0 ⇔ f(x) = kπ, k ∈ Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1
1
a) sinx = ;
b) sinx = ;
c) sin2x = 1;
2
5
2
450) = .
2
Giải:

d)

sin(x

+

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

13


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

2. Phương trình cosx = a:
Xét phương trình cosx = a (a ∈ R) (2)
Trường hợp a > 1: phương trình (2) vô nghiệm
Trường hợp a ≤ 1:
cosx = cosα ⇔
 x = α + k2π
 x = −α + k2π (k ∈ Z)

cosx = a
cosx = a ⇔
 x = arccosa + k2π
 x = − arccosa + k2π (k ∈ Z)

* Chú ý:
cosu(x) = cosα
u(x) = α + k2π [β 0 + k3600 ]
(k ∈ Z)


0
0
[cosu(x) = cosβ 0 ]
 u(x) = −α + k2π [− β + k360 ]
• cosu(x) = a
(-1 ≤ a ≤ 1)
cosu(x) = a
u(x) = arccosa + k2π [arccos
a + k3600 ]
(k ∈ Z)
⇔ 
0
[cosu(x) = a]
 u(x) = − arccosa + k2π [− arccosa + k360 ]
 f (x) = g(x) + k2π
(k ∈ Z)
• Tổng quát: cos[f(x)] = cos[g(x)] ⇔ 
 f (x) = − g(x) + k2π
• Đặc biệt:
cos[f(x)] = 1 ⇔ f(x) = k2π, k ∈ Z
cos[f(x)] = -1 ⇔ f(x) = π + k2π, k ∈ Z
π
cos[f(x)] = 0 ⇔ f(x) = + kπ, k ∈ Z.
2
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
π
1
2
2
a) cosx = cos ; b) cos3x = ; c) cosx = ;
d) cos(x + 600) =
.
6
3
2
2
Giải:

14

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

3. Phương trình tanx = a:
tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z [x = β0 + k1800, k ∈ Z]
tanx = a
tanx = a ⇔ x = arctana + kπ, k ∈ Z [x = arctana + k1800, k ∈ Z]
* Chú ý:
tan[u(x)] = tanα ⇔ u(x) = α + kπ, k ∈ Z [u( x) = β0 + k1800, k
∈ Z]
• tan[u(x)] = a
tan[u(x)] = a ⇔ u(x) = arctana + kπ, k ∈ Z [u( x) = arctana +
0
k180 , k ∈ Z]
• Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)] ⇔ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z.
• Đặc biệt:
tan[u(x)] = 0 ⇔ u(x) = kπ, k ∈ Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
π
1
a) tanx = tan ;
b) tan2x = - ;
c) tan(3x + 150) = 3 .
5
3
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

15


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

4. Phương trình cotx = a:
cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z [x = β0 + k1800, k ∈ Z]
cotx = a
cotx = a ⇔ x = acrcota + kπ, k ∈ Z [x = acrcota + k1800, k ∈ Z]
* Chú ý:
cot[u(x)] = cotα ⇔ u(x) = α + kπ, k ∈ Z [u( x) = β0 + k1800, k
∈ Z]
• cot[u(x)] = a
cot[u(x)] = a ⇔ u(x) = acrcota + kπ, k ∈ Z [u( x) = acrcota +
0
k180 , k ∈ Z]
• Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)] ⇔ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z.
π
• Đặc biệt:
cot[u(x)] = 0 ⇔ u(x) =
+ kπ, k ∈ Z.
2
Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) cot4x = cot
;
b) cot3x = -2;
7

1
3

c) cot(2x - 100) =

.
Giải:

16

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

 Ghi chú:

.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

17


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1
a) sin(x + 2) = ;
b) sin3x = 1;
3
2x π
1
3
− )=- ;
c) sin(
d) sin(x + 200) = .
3 3
2
2
Bài 2: Với những giá trò nào của x thì giá trò của các hàm số y = sin3x
và y = sinx bằng nhau?
Bài 3: Giải các phương trình sau:
2
a) cos(x - 1) = ;
b) cos3x = cos120;
3
3x π
1
1
c) cos( − ) = - ;
d) cos22x = .
2 4
2
4
2cos2x
= 0.
Bài 4: Giải phương trình
1− sin2x
Bài 5: Giải các phương trình sau:
3
a) tan(x - 150) =
;
b) cot(3x - 1) = - 3 ;
3
c) cos2x.tanx = 0;
d) sin3xcotx = 0.
18

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

Bài 6: Với những giá trò nào của x thì giá trò của các hàm số y = tan(

π
4

x) và y = tan2x bằng nhau?
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) sin3x - cos5x = 0;
b) tan3x.tanx = 1.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:
1
3
a) sin2x = − với 0 < x < π;
b) cos(x - 5) =
với -π < x
2
2
< π;
−1
π
c) tan(2x - 150) = 1 với -1800 < x< 900;
d) cot3x =
với − < x < 0.
2
3
Bài 2: Tìm tập xác đònh của mỗi hàm số sau:
1− cosx
sin(x − 2)
a) y =
;
b) y =
2sinx + 2
cos2x − cosx
1
tanx
c) y =
;
d) y =
.
1+ tanx
3 cot2x + 1
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.....................................................................................................................................................................................................................
........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

19


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC THƯỜNG GẶP
I- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC
Đònh nghóa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là
phương trình dạng: at + b = 0
trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm
số lượng giác.
Cách giải: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) 2sinx - 3 = 0;
b) 5cosx + 3 = 0; c) 3 tanx + 1 = 0;
d) 3
cotx - 3 = 0.
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

II- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
Đònh nghóa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là
phương trình dạng: at2 + bt + c = 0
trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm
số lượng giác.
Cách giải: Đặt ẩn phụ (điều kiện cho ẩn phụ nếu có), giải phương trình
theo ẩn phụ rồi đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
20

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

a) 3cos2x - 5cosx + 2 = 0;

b) 3tan2x - 2

3

tanx + 3 = 0;

x
c) 2sin2 2 +

x
- 2 = 0.
2
Giải:

2 sin

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx:
1. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx:
asinx + bcosx =

a2 + b2 sin(x + α)

với cosα =

a
a2 + b2

và sinα =

b
a2 + b2

2. Phương trình dạng asinx + bcosx = c:
Xét phương trình asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0) (1)
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

21


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

Nếu a = 0, b ≠ 0 (hoặc a ≠ 0, b = 0) thì (1) là phương trình bậc nhất đối với
một hàm số lượng giác.
c
Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì (1) ⇔ a2 + b2 sin(x + α) = c ⇔ sin(x + α) = 2
a + b2
Ví dụ 1: Giải phương trình sinx + 3 cosx = 1.
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

Ví dụ 2: Giải phương trình 3sin3x - 4cos3x = 5.
Giải:

 Ghi chú:

.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

22

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Giải các phương trình
a) sin2x - sinx = 0;
+ 1 = 0.
Bài 2: Giải các phương trình
a) cosx - 3 sinx = 2 ;
c) 2sinx + 2cosx - 2 = 0;
Bài 3: Giải các phương trình
a) 2sin2x +

sau:
b) 2cos2x - 3cosx + 1 = 0;

c) 2tan2x + 3tanx

sau:
b) 3 sin3x - cos3x = 2 ;
d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0.
sau:
b) sin2

2 sin4x = 0;

1 = 0.
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0;
1
c) sin2x + sin2x - 2cos2x = ;
2
Bài 5: Giải các phương trình sau:

x
x
− 2cos + 2 = 0;
2
2

c) tanx - 2cotx +

b) 3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = 2;
d) 2cos2x - 3 3 sin2x - 4sin2x = -4.

a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1;

b) tanx + tan(x +

Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) 2(sinx + cosx) + 6sinxcosx – 2 = 0;

π
) = 1.
4

b) 2sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 8 =

0;
c) (1 -

2 )(1 + sinx – cosx) = sin2x;

e) 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0;

d) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0;
π
f) sin2x + 2 sin(x - ) = 1.
4

2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) cosxcos5x = cos2xcos4x;
b) sin2x + sin4x = sin6x;
2
2
2
2
c) sin 4x + sin 3x = sin 2x + sin x;
d) (sinx – cosx)2 – ( 2 + 1)(sinx – cosx) +
2 = 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
π
a) sinx + 3 cosx = 2sin(2x + );
b) 2sinx(cosx - 1) = 3 cos2x;
6
b) cos3x - sinx = 3 (cosx - sin3x);
c) 3 cosx - sinx =
2
(sin3x - cos3x).
Bài 3: Giải các phương trình sau:
π
π
π
2
a) cos[ cos( x − )] =
;
b) tan[ (cos x + sin x)] = 1 .
4
2
4
2
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.....................................................................................................................................................................................................................
........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

23


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................

24

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..........................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×