Tải bản đầy đủ

Tai lieu giang day toan HH10

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

CHƯƠNG I. VECTƠ
----- oOo -----



CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1. Đoạn thẳng, đường thẳng và tia:

Cho hai điểm A, B ta có một
đoạn thẳng duy nhất, kí hiệu:
AB hoặc BA.
(Giới hạn hai đầu)
2. Trọng tâm tam giác:

Đường thẳng d
(Không giới hạn - dài vô
tận)


Tia Ax
(Giới hạn một
đầu)

Trọng tâm G của tam giác là giao
điểm ba đường trung tuyến, và

AG =

2
AM .
3

3. Đường trung bình của tam giác:
Đường trung bình trong tam giác song
1
song và bằng cạnh đáy.
2

4. Hình bình hành:
Cho hình bình hành ABCD. Ta có:
AB // DC và AB = DC
BC // AD và BC = AD
AC và BD cắt nhau tại trung điểm O
của mỗi đường. Khi đó O gọi là tâm
của hình bình hành.
 Ghi chú:
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


1


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................

----- Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp -----

2

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

§1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1. Khái niệm vectơ:
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm
cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn
thẳng có hướng.
Đònh nghóa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
• Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí
hiệu là: AB
• Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm
  
cuối của một vectơ thì vectơ được kí hiệu là: a , b , x

, y ,... gọi là các vectơ tự do.
 Từ hai điểm phân biệt ta có bao nhiêu vectơ? Nhận xét sự khác nhau giữa đoạn thẳng và
vectơ?

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng:
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là
giá của vectơ đó.

Đònh nghóa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng
song song hoặc trùng nhau.

 Nhận xét: • Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng
hoặc ngược hướng.
• Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB
và AC cùng phương.
 Khẳng đònh: "Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ
hay sai? vì sao?

AB và BC cùng hướng" đúng

3. Hai vectơ bằng nhau:
• Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và
điểm cuối của vectơ đó. Độ dài vectơ AB được kí hiệu là AB . Vậy:
AB = AB = BA

• Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vò.
 Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ

AB và DC trong hình vẽ sau:

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

3


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
........................................................................................................
.....................
........................................................................................................
.....................
........................................................................................................
......................
........................................................................................................
......................



• Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và
 
cùng độ dài, kí hiệu a = b .

 Hãy dựng vectơ OA bằng vectơ a .


* Chú ý: Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm
A duy nhất sao cho OA = a .
4. Vectơ - không:
• Vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối đều là A (điểm đầu và
điểm cuối trùng nhau), được kí hiệu là: AA và gọi là vectơ - không.
• Vectơ - không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

• Độ dài vectơ - không: AA = 0, nên mọi vectơ - không đều bằng nhau.

• Vectơ - không được kí hiệu: 0 .
 Ghi chú:
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................

4

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

5


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

BÀI TẬP RÈN LUYỆN



Bài 1: Cho ba vectơ a , b , c đều khác vectơ 0 . Các khẳng đònh sau đúng hay sai?




a) Nếu hai vectơ a , b cùng phương với c thì a và b cùng phương.




b) Nếu a , b cùng ngược hướng với c thì a và b cùng hướng.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, BC.

a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối là một
trong số các điểm A, B, C, D, O, M, N.
b) Chỉ ra hai vectơ có điểm đầu, điểm cuối lấy trong số các điểm A, B, C,
D, O, M, N mà:
i/ cùng phương với AB ;
ii/ cùng hướng AB ;
iii/
ngược
hướng với AB .
c) Chỉ ra các vectơ bằng vectơ MO , OB .
Bài 3: Chỉ ra các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ
bằng nhau trong hình sau:

Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi
và chỉ khi AB = DC .
Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.

a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA ;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB .
Bài 6: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Chứng
minh EF = CD .
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của
BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.
Chứng minh AM = NC , DK = NI .

6

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. Tổng của hai vectơ:

Đònh nghóa: Cho hai vectơ a và

b . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ


AB = a và BC = b . Vectơ AC được


gọi là tổng của hai vectơ a và b


. Ta kí hiệu tổng hai vectơ a và b
 
là a + b .
Vậy:
 
AC = a + b

2. Quy tắc hình bình hành:
Nếu ABCD là hình bình hành thì:
AB + AD = AC

3. Tính chất của phép cộng các vectơ:
  
Với ba vectơ a , b , c tùy ý ta có:
   
a + b = b + a (tính chất giao hoán)
     
(a + b ) + c = a + (b + c ) (tính chất kết hợp)
    
a + 0 = 0 + a = a (tính chất của vectơ - không)
4. Hiệu của hai vectơ:
 Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ

AB và CD trong hình bình hành ABCD:

........................................................................................................
.....................
........................................................................................................
.....................
........................................................................................................
......................


a) Vectơ đối: Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a


được gọi là vectơ đối của vectơ a , kí hiệu là - a .
* Chú ý: • Vectơ đối của vectơ AB là BA , nghóa
là − AB = BA


• Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 .
Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB.
Tìm ít nhất ba cặp vectơ đối nhau?

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

7


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

Giải:
......................................................................................................
.......................
......................................................................................................
.......................
......................................................................................................
........................
......................................................................................................
........................

b) Đònh nghóa hiệu của hai vectơ:


Cho hai vectơ a và b . Ta gọi hiệu




của hai vectơ a và b là vectơ a + (−b ) ,
 
kí hiệu a − b . Vậy:

  
a − b = a + (−b )

* Chú ý: Phép toán tìm hiệu
hai vectơ còn gọi là phép trừ vectơ.
c) Quy tắc ba điểm:
Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta
có:
AB + BC = AC
AB − AC = CB
Ví dụ: Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có
AB + CD = AD + CB .
Giải:
................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

5. Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác:


• Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0 .

• Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0 .

 Ghi chú:
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................

8

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

9


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có

a) AB + BC + CD + DA = 0 ;
b) AB − AD = CB − CD .
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng
a) CO − OB = BA ;
b) AB − BC = DB ;
c) DA − DB = OD − OC ;
d) DA − DB + DC = 0 .
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng
MA + MC = MB + MD .
Bài 4: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng:
MP + NQ + RS = MS + NP + RQ .
Bài 5: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Tính độ dài các vectơ AB + BC , AB − AC ,
AB + AC , AB − BC .
Bài 6: Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ,

BCPQ, CARS. Chứng minh rằng RJ + IQ + PS = 0 .
Bài 7: Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng
AD và BC trùng nhau.
Bài 8: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ
các vectơ MA + MB và MA − MB .

 
Bài 9: Cho a , b là hai vectơ khác 0 . Khi nào có đẳng thức
   
   
a) a + b = a + b ;
b) a + b = a − b .

 

Bài 10: Cho a + b = 0 . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b .
Bài 11: Cho ba lực F1 = MA , F2 = MB và F3 = MC cùng tác động vào một vật tại
điểm M và vật đứng yên. Biết cường độ của F1 , F2 đều là 100N và góc
AMB bằng 600. Tìm cường độ và hướng của lực F3 .

10

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

§3. TÍCH CỦA VETƠ VỚI MỘT SỐ
1. Đònh nghóa:



Cho số k ≠ 0 và vectơ a ≠ 0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí



hiệu là k a , cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0

và có độ dài bằng k a .
Ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ.




Quy ước: 0. a = 0 , k. 0 = 0 .
2. Tính chất:


Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có:



 
• k( a + b ) = ka + kb
• (h + k) a = ha + ka






• h(k a ) = (hk) a
•1. a = a , (-1). a = - a .
 1) Cho hình bình hành MACB, gọi I là giao điểm của AB và MC. Nhận xét gì về mối quan hệ
giữa

MA + MB với MI .

2) Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Dựa vào đẳng thức


GA + GB + GC = 0 , chứng minh

MA + MB + MC = 3MG .
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có:
MA + MB = 2 MI .
b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:
MA + MB + MC = 3MG
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng AB + 2 AC + AD = 3 AC .
Giải:
................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
 


• Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b ≠ 0 ) cùng phương là có


một số k để a = k b .
• Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để
AB = k AC .
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

11


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10



Cho hai vectơ a và b không cùng

phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân
tích được một cách duy nhất theo hai


vectơ a và b , nghóa là có duy nhất

 
cặp số h, k sao cho x = ha + kb
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh


BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt u = AE , v = AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE , DC

theo hai vectơ u , v .
Giải:
................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................


Ví dụ 2: Cho 4 điểm A, B, C, M thỏa mãn MA + 2MB − 3MC = 0 . Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng
hàng.
Giải:

12

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

 Ghi chú:
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

13


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2 AC .
Bài 2: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn
AM. Chứng minh rằng:

a) 2 DA + DB + DC = 0 ;
b) 2OA + OB + OC = 4OD , với O là một điểm túy
ý.
Bài 3: Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác
ABCD. Chứng minh rằng:
14

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

2 MN = AC + BD = BC + AD
Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các


vectơ AB, BC , CA theo hai vectơ u = AK , v = BM .
Bài 5: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M
sao cho MB = 3MC . Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ u = AB và v = AC .

Bài 6: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho: 3KA + 2 KB = 0 .

Bài 7: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2MC = 0 .
Bài 8: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có
cùng trọng tâm.
Bài 9: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý
trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến
3
BC, AC, AB. Chứng minh rằng MD + ME + MF = MO .
2

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

15


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

§4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Trục và độ dài đại số trên trục:
• Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác

đònh một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vò e .

Kí hiệu: (O; e ).

• Cho điểm M nằm trên trục (O; e ). Khi đó có duy nhất một số k sao cho

OM = k e . Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.

• Cho hai điểm A, B nằm trên trục (O; e ). Khi đó có duy nhất số a sao cho

AB = a e . Ta gọi số a đó là độ dài đại số của vectơ AB đối với hệ trục đã
cho và kí hiệu a = AB .

* Nhận xét: Nếu AB cùng hướng e thì AB = AB, còn nếu AB ngược

hướng e thì AB = -AB. Độ dài đại số của vectơ OM chính là tọa độ
điểm M.

• Nếu hai điểm A và B trên trục (O; e ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB
= b - a.
Ví dụ: Trên trục cho các điểm A, B, M, N lần lượt có tọa độ là -4; 3; 5; -2.
a) Hãy biểu diễn các điểm đó trên trục số;
b) Hãy xác đònh độ dài đại số của các vectơ AB , AM , MN .
Giải:
................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

2. Hệ trục tọa độ:
a) Đònh nghóa:
 


Hệ trục tọa độ (O; i , j ) gồm hai trục (O; i ) và (O; j ) vuông góc với
nhau.
• Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ.

• Trục (O; i ) được gọi là trục hoành và kí hiệu Ox

• Trục (O; j ) được gọi là trục tung và kí hiệu Oy.
 


• Các vectơ i và j là các vectơ đơn vò trên Ox và Oy và i = j = 1.
 
Hệ trục tọa độ (O; i , j ) còn được gọi là Oxy.

16

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

* Chú ý: Khi trong mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ Oxy, gọi mặt
phẳng đó là mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.
b) Tọa độ của vectơ:
 



Đối với hệ trục tọa độ (O; i , j ), mọi vectơ u đều được biểu diễn u = x i

+y j với (x; y) là cặp số duy nhất.


Khi đó: cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ u , kí hiệu là: u = (x;

y) hay u (x; y).




Như vậy: u = (x; y) ⇔u = x i + y j
* Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành
độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
 x = x'


 
Nếu u = ( x; y ) , u ' = ( x' ; y ' ) thì u = u ' ⇔ 
 y = y'
c) Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ
OM được gọi là tọa độ của điểm M.
• Cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM = (x; y). Ta viết:
M(x; y) hoặc M = (x; y).

Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu xM, tung độ điểm M còn
được kí hiệu yM.
• Gọi M1, M2 lần lượt là hình
chiếu của M trên Ox, Oy. Khi đó, nếu
M(x; y) thì
x = OM 1
y = OM 2
Ví dụ 1:
Xác đònh tọa độ các điểm A, B,
C, D, E, F trên hình vẽ.
Giải:
......................................................................................................
...................
......................................................................................................
...................
......................................................................................................
...................
......................................................................................................
...................
......................................................................................................
...................

Ví dụ 2:
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

17


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

Biểu diễn các điểm sau đây
trên hệ trục tọa độ Oxy:
M(-2; 3), N(0; -4), P(3; 0), Q(-5; 6), I(-4; -2)

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng:
Với hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì: AB = (xB - xA; yB - yA)
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2; 5), B(1; 2) và C(4; 1). Tìm tọa
độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................
     .....................
3. Tọa độ của các vectơ u + v , u − v , ku :


Cho u = (u1; u2) và v = (v1 ; v2). Khi đó:
 
 
• u + v = (u1 + v1; u2 + v2);
• u − v = (u1 - v1; u2 - v2);

(kx; ky) với k ∈ R;




  
Ví dụ 1: Cho a = (1;−2) , b = (3;4) , c = (5;−1) . Tìm tọa độ vectơ u = 2a + b − c .
Giải:


ka

=

..................................................................................................................................................................................................
..........................................
..................................................................................................................................................................................................
..........................................
..................................................................................................................................................................................................
..........................................
..................................................................................................................................................................................................
..........................................
..................................................................................................................................................................................................
..........................................






Ví dụ 2: Cho a = (1;−1),b = (2;1) . Hãy phân tích vectơ c = (4;−1) theo a và b .
Giải:

18

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................



 
* Chú ý: Vectơ u =(u1; u2) cùng phương với vectơ v =(v1; v2) với v ≠ 0 khi và
 u1 = kv1


chỉ khi tồn tại số thực k khác 0 sao cho u = kv hay 
.
u 2 = kv2



Ví dụ 1: Cho u =(2; -5). Tìm x biết rằng b = (6; x) cùng phương với u .
Giải:
................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

3
Ví dụ 2: Cho ba điểm A(-2; -1), B(3; ), C(2; 1). Hãy chứng minh ba điểm A, B,
2
C thẳng hàng. Hai vectơ AB và AC cùng hướng hay ngược hướng?
Giải:
................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ của trọng tâm tam
giác:

 Cho A(xA; yA), B(xB; yB), gọi I(xI; yI) là trung điểm AB. Từ đăng thức IA + IB = 0 , hãy tìm tọa độ
điểm I?

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

19


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

• Cho đoạn thẳng AB có A(x A; yA), B(xB; yB). Khi đó tọa độ trung điểm I(x I; yI)
x + xB
y + yB
của AB được tính theo công thức: xI = A
, yI = A
.
2
2
 Cho A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC), gọi G(xG; yG) là trọng tâm tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ

OG theo ba vectơ OA,OB,OC . Từ đó hãy tính tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.
• Cho tam giác ABC có A(x A; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Khi đó tọa độ trọng tâm
x + x B + xC
y + y B + yC
G(xG; yG) được tính theo công thức xG = A
, yG = A
.
3
3
Ví dụ: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A(2; 3), B(6; 7), C(1; 2). Tìm tọa độ trung
điểm I của cạnh AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải:
................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

................................................................................................

.............................................................................................

.....................

.....................

 Ghi chú:

................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................

20

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Trên trục (O; e ) cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1; 2; 3;
-2.
a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục;
b) Tính độ dài đại số của AB và MN . Từ đó suy ra hai vectơ AB và MN
ngược hướng.
Bài 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau:





  
 
a) a = 2i ;
b) b = −3j ;
c) c = 3i − 4 j ;
d) d = 0,2i + 3j .
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

21


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3; 2), C(4; -1). Tìm tọa độ đỉnh D.




Bài 4: Cho a =(2; -2), b =(1; 4). Hãy phân tích vectơ c =(5; 0) theo hai vectơ a và

b.
Bài 5: Các điểm A'(-4; 1), B'(2; 4) và C'(2; -2) lần lượt là trung điểm các cạnh
BC, CA và AB của tam giác ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
................................................................................................................................................................................................................
.............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................
..............................................

22

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

23


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................

24

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Hãy chỉ ra các vectơ bằng AB có
điểm đầu và điểm cuối là O hoặc các đỉnh của lục giác.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính:

a) AB+ AC ;

b) AB− AC .
Bài 3: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng:
MP + NQ + RS = MS + NP + RQ .
Bài 4: Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của các tam
giác ABC và A'B'C' thì ta có đẳng thức: 3GG' = AA' + BB' + CC' .



Bài 5: Cho a = (2; 1), b = (3; -4), c = (-7; 2).
   
a) Tìm tọa độ của vectơ u = 3a + 2b − 4c ;

   
b) Tìm tọa độ vectơ x sao cho x + a = b − c ;
  
c) Tìm các số k và h sao cho c = ka + hb .
 
 1  


Bài 6: Cho u = i − 5j , v = mi − 4 j . Tìm m để u và v cùng phương.
2
Bài 7: Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm
các số m, n sao cho:
a) OM = mOA+ nOB;
b) AN = mOA+ nOB ;
c) MN = mOA+ nOB ;
d) MB = mOA+ nOB .
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
................................................................................................................................................................................................................
.............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×