Tải bản đầy đủ

Tai lieu giang day toan GT12

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG
Kí hiệu

Tên gọi

Diễn giải

----- Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp -----

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

1


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
----- oOo -----




CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1. Dấu nhò thức bậc nhất:
 Dạng f(x) = ax + b (a  0). Nghiệm của nhò thức là nghiệm phương trình ax +
b = 0.
 Bảng xét dấu của nhò thức bậc nhất f(x) = ax + b (a  0):
b
-
x
a
+
ax + b
trái dấu với a
0
cùng
dấu với a
2. Dấu tam thức bậc hai:
 Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a  0). Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình
2
ax + bx + c = 0.
 Tính  = b2 - 4ac
 Nếu  < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và
-
x
+
f(x)
cùng dấu với a
b
 Nếu  = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x = và
2a
b
-
x
2a
+
f(x)
cùng dấu với a
0


cùng dấu với a
 Nếu  > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và
-
x1
x2
x
+
f(x)
cùng dấu với a
0
trái dấu với a
0
cùng dấu với a
* Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo  ' nếu hệ số b
chẵn.
3. Xét dấu biểu thức và giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất
phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn:
Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhò thức bậc nhất và tam
thức bậc hai. Giải được bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình
bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn.
Ví dụ1: Xét dấu các biểu thức sau:
1
2
a) f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 3);
b) f(x) =
c) f(x) =
; d) f(x) =
2 ;
( x  1)
( x  1) 2
1  2x
.
x2  x  5
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:

2

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

a) x2 + 2x + 3 < 0;

b) (x - 1)(x + 1)2  0;

c)

2
5

;
x  1 2x  1

d)

x 2  3x  1
 1.
x 1
Ví dụ 3: Giải các hệ bất phương trình sau:

1 x  0

a)  2
;
  x  3 x  4 0

b)

 x 2  2 x  15  0
.
 2
 x  6 x  8 0
4. Dấu các nghiệm phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*) ( = b2 - 4ac)
Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai
nghiệm trái dấu (x1 nghiệm
âm
phân nghiệm dương phân
< 0 < x2) khi và chỉ biệt (x1 < x2 < 0) khi biệt (0 < x1 < x2 ) khi
c
 a 0
 a 0
khi: P =
< 0.

  0
a
0
  

c
c
và chỉ khi:  P   0
và chỉ khi:  P   0
a
a


b
 S   0
 S  b  0


a
a
5. Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0).
a 0
a0
a) f(x)  0 x  R  
;
b) f(x)  0 x  R  
.
  0
  0
6. Chia đa thức:
f ( x)
r ( x)
k ( x ) 
Yêu cầu biễu diễn
(với f(x) là đa thức có bậc lớn hoặc
g ( x)
g ( x)
f ( x)
bằng bậc của g(x)), trong đó k(x) là thương và r(x) là dư trong phép chia
.
g ( x)
f ( x)
r ( x)
Ví dụ 1: Biễu diễn các phân thức dạng
thành dạng k ( x) 
:
g ( x)
g ( x)
x 2
x3  1
x 2  2x  5
x 3  3x  1
a)
;
b)
;
c)
;
d) 2
;
x 1
x 1
x 1
x 2
x 3  3x  1
 x 2  2x  1
x 3  3x  2
x 3  5x 2  x  2
e)
;
f)
;
g)
;
h)
.
x2  1
1 x
2x  2
1  2x
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau đây thành tích của nhò thức bậc nhất
với một đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức đã cho:
a) -x3 + 3x2 - 3x + 1;
b) x3 + x2 - 2x - 2;
c) x3 + (m - 1)x2 - m.
7. Các khái niệm liên quan đến hàm số:
Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức
chứa biến x.

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

3


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

 Tập xác đònh của hàm số: D = {x  R 
f(x) có nghóa}.
 Giá trò của hàm số y = f(x) tại x 0 là y0 =
f(x0).
Ví dụ 1: Giá trò của hàm số y = x2 + 1 tại
x0 = 2 là 5
3  2x
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) =
(1)
x 7
a) Tính f(2), f(-1);
b) Tính giá trò của hàm số tại x = -2;
c) Tìm tọa độ điểm M có hoành độ x = 0
trên đồ thò hàm số (1);
d) Tìm trên đồ thò hàm số (1) những
điểm có tung độ bằng 0.
Ví dụ 3: Tìm tập xác đònh của các hàm
số sau:
3x  1
a) y = x 4 – 2 x 2 + 3;
b) y =
;
1 x
2x
x2  x 1
c) y =
;
d) y = 2
;
( x  9) 2
x 1
x
e) y = x 2  x  20 ;
f) y =
.
16  x 2
8. Tính giới hạn:
Yêu cầu tính được các giới hạn dạng: lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) .
x  x0

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
3x  1
3x  1
a) lim
;
b) lim
;
x 1 1  x
x 1 1  x
( x 3  3x 2  x  1) ;
e) xlim
 
i) xlim
 

2x  1

j) xlim
 

2x  1

x  

3x  1
;
x  1  x
4
g) lim
;
x  1  x 2
x2 4
k) lim
;
x  
x
c) lim

3x  1
;
x  1  x
4
h) lim
;
x  1  x 2
x2  4
l) lim
.
x  
x2
d) lim

;
x  x  20
x  x  20
9. Đạo hàm:
a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có
đạo hàm, khi đó:
(u + u - w)' = u' + v' - w';
(uv)' = u'v + v'u;
(k.u)' = k.u' ;
u
u ' v  v' u
1
v'
( )' 
( )'  2 .
v
v
v2
v
b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))
(C)' = 0
(x)' = x-1(  R, x > 0)
(u)' = u-1.u'(  R, u > 0)
1
u'
( x )' 
( u )' 
(x > 0)
(u > 0)
2 x
2 u
1
1
1
u'
( )'  2 (x  0)
( )'  2 (u  0)
x
u
x
u
(sinx)' = cosx
(sinu)' = cosu.u'
(cosx)' = -sinx
(cosu)' = -sinu.u'
4

2

;

( x 3  3 x 2  x  1) ;
f) xlim
 

x  x0

2

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12


u'

1
(x   k , k  Z)
(tanu)' =
(u   k , k  Z)
2
2
cos x
2
2
cos u
u'
1
(cotx)' = - 2 (x  k, k  Z).
(cotu)' = - 2 (u  k, k  Z).
sin x
sin u
c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt:
ad  bc
ax 2  bx  c
adx 2  2aex  be  dc
ax  b
(
)'

(
)' =

(cx  d ) 2
dx  e
(dx  e) 2
cx  d
(tanx)' =

ax 2  bx  c
(ae  bd ) x 2  2(af  dc) x  bf  ec
)'

dx 2  ex  f
(dx 2  ex  f ) 2
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau đây:
1
x 3
a) y = x3 +
- x 2 1 ;
b) y =
;
x
x2
(

c) y =

1 x
;
x 2

d) y =

1
.
x 1
d) Ý nghóa hình học của đạo hàm:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x 0; y0) thuộc đồ thò hàm số y =
f(x) là f'(x0) và phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x - x0).
Ví dụ: Cho hàm số y = x2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò của hàm
số đó, biết:
a) Tiếp điểm là điểm (1; 1);
b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4;
c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 2;
1
d) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = x  1 .
2
10. Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thò hàm số y = ax + b & y = ax 2 + bx +
c (a ≠ 0):
 Yêu cầu lập được bảng biến thiên và vẽ được đồ thò các hàm số bậc
nhất và hàm số bậc hai.
Ví dụ:Vẽ đồ thò các hàm số sau:
a) y = 2x - 1;
b) y = 1 - x;
c) y = 2;
d) x = -3; e) y = x.
11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường:
 Yêu cầu tìm được tọa độ giao điểm của hai đường có phương trình cho
trước.
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thò hai hàm số:
a) (C): y = x2 - 2x + 2 và d: y = x;
b) (C): y = x3 + 4x2 + 4x + 1 và d:
y = x + 1;
c) (C): y = x3 + 3x2 + 1 và d: y = 2x + 5;
d) (C): y = x3 - 3x và d: y = x2 + x 4.
Ví dụ 2: Tìm tọa giao điểm của các đường sau đây với hai trục tọa độ:
a) y = x + 1;
b) y = x2 + 1;
c) y = x2 - 5x + 6;
d) y = x4 2
4x + 3.
 Ghi chú:
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

5


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

6

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

7


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1) Đònh nghóa:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a;
b] hoặc K = [a; b])
Hàm số y = f(x) đồng biến
Hàm số y = f(x) nghòch biến
(tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1,
x2 thuộc K sao cho:
x2 thuộc K sao cho:
x1 < x2  f(x1) < f(x2)
x1 < x2  f(x1) > f(x2)
Bảng biến thiên:
x

a

Bảng biến thiên:

b

x

a

lim

b

lim

x b

x a

y

y

lim

lim

x a

x b 

Đồ thò hàm số đồng biến
là đường đi lên từ trái sang phải

Đồ thò hàm số nghòch biến
là đường đi xuống từ trái sang phải

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:
 Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thò hàm số y = f(x) để hoàn
thiện bảng biến thiên và rút ra nhận xét:
a) y = x2.
y
TXĐ: D = R
y' = 2x
y' = 0  2x = 0  x = 0  y = 0
Bảng biến thiên:
Đồ thò:
x -
0
+
y'
0
+
+
x
O
y +
0
1
.
x
TXĐ: D = ..........

b) y =

y

y' = ..............................................................................................................
Bảng biến thiên:
x -

Đồ thò:
0

+
y'

x
O

y
Nhận xét: Nếu y' < 0 trên K thì hàm số
Nếu y' > 0 trên K thì hàm số
8

....................................

...................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

trên K.

trên K.


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Đònh lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'(x) > 0  x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'(x) < 0  x  K thì hàm số f(x) nghòch biến trên K.
* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghòch biến) trên K gọi chung là đơn điệu
trên K, K gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x).
Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số
a) y = 2x4 + 1;
b) y = sinx trên khoảng (0; 2).
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

.....................

..................

* Chú ý: Quan sát đồ thò hàm số y = x3 và trả lời câu hỏi:
Khẳng đònh sau đúng hay sai? vì sao?
"Nếu hàm số y = f(x) tăng trên R thì f'(x) > 0
với mọi x  R".
Trả

lời:

.......................................................................................................................
...................................................................................................................................
........
...................................................................................................................................
........

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

9


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................................................................................................................................
........
...................................................................................................................................
........

Đònh lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu
f'(x)  0 (f'(x)  0),  x  K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x 0 thì
hàm số đồng biến (nghòch biến) trên K.
 Nếu f'(x) = 0 x  K thì f(x) không đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm
hằng y = c trên K)
II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x):
 Trình bày bài giải:
 Tìm tập xác đònh D của hàm số. (D = {x  R  f(x) có nghóa})
 Tính đạo hàm f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm các điểm x i (i = 1, 2, ..., n) mà tại
đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh.
 Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng
dần trên bảng biến thiên).
 Kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số.
Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghòch biến của hàm số y = f(x) =
1 3 1 2
x  x  2x  2
3
2
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

..................

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

10

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7;

b) y = x4 - 2x2 - 3;

c) y = -

3
x4
- x2 + ;
2
2

x 1
.
x 1
Giải:

d) y =

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

11


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng
thức:

Ví dụ: Chứng minh rằng x > sinx trên khoảng (0; ).
2
Giải:

 Ghi chú:

.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

12

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghòch biến của các hàm số:
1
a) y = x3 + 3x2 - 7x - 2;
b) y = -x3 + x2 - 5;
3
3x3 - 8x2;
d) y = x3 - 6x2 + 9x;
e) y = x3 - 3x2 - x + 3;
2x3 - 6x + 2.
Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y = x4 - 2x2 + 3;
b) y = x4 + 8x2 + 5;
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

c) y =
f) y =

13


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

16 3
x - x4;
d) y = x 4 – 2 x 2 + 3.
3
Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
x 1
3x  1
3  2x
a) y =
;
b) y =
;
c) y =
.
1 x
x 7
x 1
Bài 4: Xét sự đồng biến, nghòch biến của các hàm số:
x2  x 1
x 2  2x
x 2  2x  3
a) y =
;
b) y =
;
c) y =
.
1 x
x 1
x 1
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghòch biến của các hàm số:
2x
a) y = 2
;
b) y = x 2  x  20 .
x 9
x
Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y = 2
đồng biến trên khoảng (-1; 1) và
x 1
nghòch biến trên các khoảng (-; -1) và (1; +). (HD: Chứng minh y' 0x (-1;1)
và y' 0x (-;-1) (1; +))
Bài 3: Chứng minh hàm số y = 2 x  x 2 đồng biến trên (0; 1) và nghòch
biến trên (1; 2).
Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:


x3
a) tanx > x (0 < x < );
b) tanx > x +
(0 < x <
2
2
3
).
c) y = 16x + 2x2 -

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.....................................................................................................................................................................................................................
........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................

14

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
........................................

§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU:
Lập bảng biến thiên của hàm
số sau:
1
3
5
y = x3  x2  x
6
2
2

Đồ thò hàm số y =

1 3 3 2 5
x  x  x
6
2
2

..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................
..............................................................................................
...................

Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh và liên tục trên khoảng (a; b)
(có thể a là -; b là +) và điểm x0  (a; b).
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x 0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x 
x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

15


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x 0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x 
x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
* Chú ý:
a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x 0 thì x0 gọi là điểm cực
đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trò cực đại (giá trò
cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), còn điểm M(x0; f(x0))
gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thò hàm số.
b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trò. Giá trò
cực đại (giá trò cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là
cực trò của hàm số.
c) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trò tại
x0 thì f'(x0) = 0.
II. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ:
Đònh lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x 0 - h; x0
+ h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x0}, h > 0.
a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x 0 - h; x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x 0;
x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0;
x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
III. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ:
1. Quy tắc 1: Tìm các điểm cực trò của hàm số y = f(x)
 Tìm tập xác đònh.
 Tính f'(x). Tìm các điểm x sao cho tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác
đònh.
 Lập bảng biến thiên.
 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trò.
x
f'(x)

x0 - h
x0 + h

x0
+

0
yCĐ

-

f(x)

x

x0 - h
x0 + h

f'(x)

x0
-

0

+

f(x)

"Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm"
từ âm sang dương"

yCT
"Đạo hàm đổi dấu

Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trò của hàm số y = x3 - x2 - x + 3.
Giải:
................................................................................................

16

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................

................

3x  1
Ví dụ 2: Tìm cực trò của hàm số y =
.
x 1
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm cực trò của hàm số f(x) = x(x 2 - 3)
2. Quy tắc 2:
Đònh lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong
khoảng (x0 - h; x0 + h), với h > 0. Khi đó:
 f ' ( x 0 ) 0
 f ' ( x 0 ) 0
a) Nếu 
thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu 
 f ' ' ( x0 )  0
 f ' ' ( x0 )  0
thì x0 là điểm cực đại.
Quy tắc 2:
 Tìm tập xác đònh.
 Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu x i (i = 1, 2, ...) là các
nghiệm của nó.
 Tính f''(x) và tính f''(xi).
 Dựa vào dấu của f''(xi) để suy ra tính chất cực trò của điểm xi.
Ví dụ: Tìm các điểm cực trò của các hàm số sau:
1
a) f(x) = x4 - 2x2 + 6;
b) f(x) = sin2x.
4
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

17


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

 Ghi chú:

.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

18

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trò của các hàm số sau:
1
a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10;
b) y = x4 + 2x2 - 3;
c) y = x + ;
x
3
2
d) y = x (1 - x) ;
e) y = x 2  x  1 .
Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trò của các hàm số sau:
a) y = x4 - 2x2 + 1;
b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx;
d) y = x5 - x3 - 2x
+ 1.
Bài 3: Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thò
hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Bài 4: Tìm các giá trò của m để x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số
x 2  mx  m  1
y=
.
x 1
x 2  mx  1
Bài 5: Xác đònh giá trò của tham số m để hàm số y =
đạt cực đại
xm
tại x = 2.
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi giá trò của tham số m, hàm số y = x 3 - mx2
- 2x + 1 luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. (HD: Chứng minh y'
= 0 có hai nghiệm phân biệt)
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6. Xác đònh m sao cho:
a) Hàm số có cực trò;
b) Hàm số có hai điểm
cực trò cùng dấu.
5
Bài 2: Tìm a và b để các cực trò của hàm số y = a2x3 + 2ax2 - 9x + b đều
3
5
là những số dương và x0 = 
là điểm cực đại.
9
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

19


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
.....................................................................................................................................................................................................................
........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.........................................
.....................................................................................................................................................................................................................
........................................

20

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trò lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập
nếu f(x)  M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = M. Kí hiệu M
max f(x).
D
b) Số m được gọi là giá trò nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập
nếu f(x)  m với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f(x0) = m. Kí hiệu m
min f(x).

D
=
D
=

D

II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT
KHOẢNG:
 Quan sát đồ thò các hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng:

Giá trò lớn nhất của hàm số
f(x)= -x2 + 4x - 5 trên (-; +) là:
...................

tại x =

Giá trò nhỏ nhất của hàm số

f(x) = x - 5 +

1
trên (0; +) là:
x

...........................

..................... tại x = ...............................
 Bài toán: Tìm giá trò lớn nhất (GTLN) và giá trò nhỏ nhất (GTNN) của
hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a; b).
 Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đó
suy ra kết luận.
(Nếu bài toán không chỉ ra khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập
xác đònh)

x
f'(x)

a
b

x0
+

-

x

a
b

x0

f'(x)

-

+

GTLN
f(x)

f(x)
GTNN

Trong đó: f'(x) = 0 hoặc không xác đònh tại x0.
Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = x - 5 +

1
trên khoảng (0; +).
x

Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

21


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:
1
1
a) f(x) = - 2
;
b) f(x) =
trên (0; 1).
x
x 1
Giải:

22

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT
ĐOẠN:
1/ Đònh lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trò lớn
nhất và giá trò nhỏ nhất trên đoạn đó.
 Quan sát đồ thò hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng:
Giá trò lớn nhất của hàm số y = x 3 x2

-

x

+

2

............................

trên
tại x =

đoạn

[0;

2]

là:

................

Giá trò nhỏ nhất của hàm số y = x 3 x2

-

x

+

2

............................

trên
tại x =

đoạn

[0;

2]

là:

................

2/ Quy tắc tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục
trên một đoạn:
 Tìm các điểm x1, x2, ...., xn trên khoảng (a; b), tại đó f'(x i) = 0 hoặc không
xác đònh (i = 1, 2,...n).
 Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong {f(a), f(x 1), f(x2), ..., f(xn), f(b)}.
Ta có:
max f(x) = M, min f(x) = m.
 a;b 

 a; b 

Ví dụ 1:
Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x +
10 trên [-3; 1].
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

23


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y = sinx trên
 7

các đoạn [ ;
] và [ ;2 ].
6 6
6
Giải:

* Chú ý:
 Nếu hàm số y = f(x)
đồng biến trên [a; b] thì:
max y = f(b), min y = f(a)
[ a ;b ]

[ a ;b ]

 Nếu hàm số y = f(x)
nghòch biến trên [a; b]
thì:
max y = f(a), min y = f(b)
[ a ;b ]
[ a ;b ]
Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y = -x3 + 1 trên
[-1; 1].
Giải:

24

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----


Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

IV. ỨNG DỤNG:

...................

................

Ví dụ: Cho một tấm nhôm
hình vuông cạnh a. Người ta
cắt ở bốn góc bốn hình
vuông bằng nhau, rồi gập
tấm nhôm lại như hình vẽ để
được một cái hộp không nắp.
Tính cạnh của các hình vuông
bò cắt sao cho thể tích của
khối hộp là lớn nhất.
Giải:
................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

................................................................................................

...................................................................................................

...................

................

 Ghi chú:
.....................................................................................................................................................................................................................
..............................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×