Tải bản đầy đủ

HÌNH KHÔNG GIAN HĐBM AN GIANG 2013

HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Chuyên đề 6 :
HUỲNH DUY KHÁNH
§1 . CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH
a) DIỆN TÍCH ĐA GIÁC.
• Hình vuông cạnh a có diện tích
• Hình chữ nhật có cạnh a,b có diện tích
• Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a,b có diện tích

.

• Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao
a

a
a

a
b


a

hA
b

b

hA
a

a

• Hình thoi biết hai đường chéo a,b
• Hình bình hành biết cạnh a và đường cao hA

.

• Hình thang hai đáy a,b chiều cao h
• Một số công thức khác tính diện tích tam giác
Định lý Cosin

.
Định lý sin
Hệ thức lượng trong tam giác vuông

tích
khối KHỐI
hộp chữĐA
nhật
bằng tích ba kích thước
b) Thể
THỂ
TÍCH
DIỆN
Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao.
Trang40

Thể tích khối lăng trụ bằng tích số diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đó.



HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

c) TỶ SỐ THỂ TÍCH.
ĐỊNH LÝ 1
Cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại B’,C’ khi đó

ĐỊNH LÝ 2
Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A’B’C’ khi đó

d) THỂTÍCH KHỐI TRÒN XOAY.

§ 2. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN.

Trang41


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Dạng 1: Tính thể tích của khối chóp đều
Cách giải:
Xác định đường cao của khối chóp và tính độ dài đường cao.
Tính diện tích đáy của khối chóp
Chú ý: Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của
đa giác đáy.

Bài 1 Tính thể tích tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a.
Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) ⇒AH là đường
cao tứ diện, do tứ diện đều nên AB=AC=AD suy ra HB=HC=HD
hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và H là trọng
tâm của tam giác BCD.
Kẻ BH cắt CD tại M ta có

A

B

D
H

.

M

C

Tam giác AHB vuông tại H nên ta được:
.

vậy thể tích của tứ diện ABCD là

.

Bài 2 Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh
bên và cạnh đáy kề nhau bằng 45o.
S

Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(SBC) ⇒SH là đường
cao tứ diện, do khối chóp đều nên SA=SB=SC suy ra HA=HB=HC
hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trọng

A

C

tâm của tam giác ABC.
Nối AH cắt BC tại M ta có M là trung điểm của BC và

H

.

B

Tam giác SBC cân có hai góc 45o nên tam giác vuông

Trang42


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Tam giác SHM vuông tại H

.
Bài 3 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy
đều bằng a.
Lời giải: Giả sử có hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi H là hình

S

D

A

chiếu của S lên mặt phẳng ABCD do SA=SB=SC=SD suy ra

H

HA=HB=HC=HD suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình
vuông ABCD hay H là giao điểm của hai đường chéo.

C

B

;

Tam giác SHA vuông tại H nên

Vậy

.

Dạng 2 Tính thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Cách giải
Đường cao của khối chóp là cạnh bên vuông với đáy
Tìm cách tính được diện tích đáy và chiều cao.

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ (ABC) đáy ABC là tam giác
vuông tại B. Gọi H,K là hình chiếu của A lên SB,SC cho
SA=AB=BC=a
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Chứng minh rằng SC⊥ AH.
c) Tính thể tích khối chóp S.AHK
Lời giải

S
K

H
A

C

B

a)
Trang43


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

b) Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA suy ra BC ⊥ (SAB)⇒ BC⊥ AH
Mặt khác AH ⊥ SB suy ra AH ⊥ (SBC) ⇒AH ⊥ SC.
c) Ta tính thể tích khối chóp S.AHK theo trên ta có tam giác AHK vuông tại H

∗ Tam giác SAB vuông cân có AH là đường cao
∗ Tam giác SAK vuông tại A có AK là đường cao

.

Vậy diện tích đáy của khối chóp S.AHK là
Chiều cao khối chóp
Thể tích khối chóp S.AHK là
(Ta có thể giải bài trên bằng tỉ số thể tích)
Bài 2 Cho tứ diện S.ABC có SA⊥ (ABC) đáy ABC là tam giác cân tại A cho SA=AB=a góc
ABC=α. Gọi H, K là hình chiếu của A lên SB và SC
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α.
b) Tính thể tích khối chóp A.BCKH.
Lời giải:
a)
Vì tam giác ABC cân tại A nên

b) Tam giác SAB và SAC vuông cân tại A nên H,K lần lượt là trung điểm của SB,SC
sử dụng tỉ số thể tích ta được

Vậy

.
Trang44


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC ⊥ (ABCD) cho SA=
. Gọi H là hình chiếu của C lên SB, K là trung điểm của SD.

S

K

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh rằng tam giác CHK đều.
c) Tính thể tích khối chóp C.BDKH.
Lời giải:

D

H
C

a) Tam giác SAC vuông tại C ⇒

B

A

b) Tam giác SCB vuông cân tại C nên CH là đường cao và là đường trung tuyến, mặt
khác tam giác SCB bằng tam giác SCD nên CH=CK=
Vì H,K là trung điểm của SB,SD nên HK là đường trung bình của tam giác SBD ⇒ HK=
BD=

vậy tam giác CHK đều.

c) Ta sử dụng tỉ số thể tích của khối chóp S.CBD và khối chóp S.CHK

Vậy

.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang

,

AB=BC=a,AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA, SD.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM
theo a.
Lời giải:
S

a)

N

M
A

b) M,N là trung điểm SA,SD ⇒ MN//AD MN=1/2 ADvậy
MN//BC và MN=BC hay BCMN là hình bình hành
Mặt khác BC⊥AB,BC⊥SA ⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥BM
Vậy BCMN là hình chữ nhật.

B

D

C

Trang45


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

với SH là chiều cao của khối chóp
Vì M là trung điểm SA nên

với AH’ là chiều cao

của tam giác vuông cân ABM
Vậy
Chú ý: có thể giải bài toán trên bằng tỉ số thể tích.
Dạng 3 Tính thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy.
Cách giải
Đường cao của khối chóp nằm trên giao tuyến của mặt bên và mặt đáy nó
vuông góc
Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy AD và BC. Mặt
phẳng SAD vuông góc với mặt đáy của hình chóp cho AB=BC=CD=a, SA=SD=AD=2a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.

S

Lời giải
a) Kẻ SH vuông góc AD do (SAD)⊥(ABCD) nên
SH⊥(ABCD) vậy SH là đường cao của khối chóp.
Mặt khác SA=SD=AD nên H là trung điểm của AD và

B

SH=

D

H

A

C

.

Nối HB,HC tứ giác ABCH là hình bình hành do AH song song và bằng BC ta lại có
AB=BC nên AHBC là hình thoi vậy AB=HC=a hay tam giác HCD đều
Vậy ABCD là nữa lục giác đều.

.
b) Khối chóp S.ABC có chiều cao SH và diện tích tam giác ABC bằng với diện tích
tam giác ABH và bằng
Trang46


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Vậy

.

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông
góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o ,SA=SB Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
S
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD) do (SAB) ⊥(ABCD) nên
H nằm trên AB mặt khác SA=SB nên H là trung điểm của AB và góc
H
A
B
SCH là góc hợp bởi cạnh bên SC và mp đáy.
C

D

Tam giác HBC vuông tại B

Vậy

Dạng 4: Thể tích khối chóp bất kỳ
Cách giải:
Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp nếu là khối chóp tam giác.
Xác định chân đường cao nằm ở vị trí nào trên mặt đáy.
Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy, nếu các mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì chân
đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
D

Bài 1 Cho tứ diện ABCD biết ABC là tam giác vuông tại A có
; cho

và tam giác DBC vuông

C

(bài toán yêu cầu học sinh phải có nhận xét tốt về chân đường cao
của khối chóp có ba cạnh bên bằng nhau)

B

I

Tính thể tích tứ diện theo a.
A

Lời giải: Gọi I là hình chiếu của D lên mp(ABC) do DA=DB=DC nên I trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC suy ra I chính là trung điểm của BC.
Tam giác DBC vuông cân tại D nên

Trang47


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A cho AB=3; AC=4 góc hợp
bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng 60o tính thể tích khối chóp.
(bài toán yêu cầu HS có nhận xét tốt về chân đường cao và công thức diện tích tam giác )
Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC). Từ H kẽ
HA’,HB’,HC’ lần lượt vuông góc với BC,CA,AB khi đó các góc
SA’H, SB’H, SC’H là các góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy.do các góc
này đều bằng 60o nên HA’=HB’=HC’ hay H là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác ABC

S

C

A'
B

H

B'

C'

Ta có

A

Độ dài đường cao của hình chóp
.

A'

C'
B'

C

A
B

H

Dạng 5 Tính thể tích khối lăng trụ
Cách giải
Đường cao của lăng trụ đứng là độ dài cạnh bên, lăng trụ xiên là hình chiếu
của một đỉnh lên mặt đối diện.
Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy.

Trang48


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Bài 1 Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằnga.
Đáp số
Bài 2 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ biết rằng mp(A’BC) tạo với đáy một góc 30o
và tam giác A’BC có diện tích bằng 8 tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải: (Mục đích học sinh nhớ lại công thức diện tích đa giác chiếu)
Kẽ AH ⊥ BC do lăng trụ đều nên AA’⊥(ABC) suy ra A’H⊥BC hay

Tam giác ABC đều cạnh a nên
Tam giác AA’H vuông tại A nên
Vậy thể tích lăng trụ

.

Bài tập 5 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a .AC’=2a
Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài tập 6 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Gọi O’ là tâm của
tam giác A’B’C’. Biết O’ là hình chiếu của B lên (A’B’C’) , cho cạnh bên của lăng trụ bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài tập 7 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60o. biết
rằng tam giác A’B’C’ vuông tại B’, A’B’=3, B’C’=4 . B’H’ là đường cao của tam giác
A’B’C’ và H’ là hình chiếu của điểm B lên (A’B’C’). Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’.
§3. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Dạng toán1: Tính thể tích, diện tích của khối nón
Cách giải:
Xác định đường cao bán kính của khối nón.
Áp dụng công thức phù hợp

Trang49


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Bài 1: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh đáy bằng a cạnh bên 2a. Tính thể
tích và diện tích xung quanh khối nón ngoại tiếp hình chóp.
Lời giải:
Lục giác đều ABCDEF cạnh a nên nó nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=a.
Xét tam giác SAD có SA=SD=2a=AD suy ra tam giác SAD đều
vậy đường cao

S

chính là đường cao của hình chóp.
F

A
O

E

B
D

C

Bài 2: Một hình nón có đường sinh bằng a góc ở đỉnh bằng 90o. Cẳt hình nón bởi một mặt
phẳng (P) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (P) và đáy hình nón bằng 60o
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối nón.
b) Tính diện tích thiết diện.

Lời giải:
a) Giả sử ta có hình nón đỉnh S trục SO mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện là
tam giác SAB gọi M là trung điểm AB.
S

Góc ở đỉnh của hình nón bằng 90o nên OSA=45o suy ra
OS=OA=

O

A

C
M
B

b) Tam giác SAB cân tại S có M là trung điểm AB

SM⊥AB

Tam giác OAB cân tại O OM ⊥AB
vậy góc giữa (P) và đáy hình nón là góc SMO
tam giác SOM vuông

Trang50


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

tam giác OAM vuông tại M

Bài 3: Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một
khối cầu có thể tích bằng thể tích khối nón thì khối cầu có bán kính bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Khối nón sinh bởi tam giác đều cạnh a nên có bán kính R=a/2 và chiều cao

Gọi R’ là bán kính khối cầu khi đó

vậy bán kính khối cầu

.

Dạng toán2: Tính thể tích, diện tích của khối trụ
Cách giải:
Xác định đường cao bán kính của khối trụ.
Áp dụng công thức phù hợp

Bài 1: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông cạnh 2a
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh khối trụ theo a.
b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ

B'

Lời giải:
a) Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a nên hình trụ có bán
kính R=a và chiều cao h=2a

A'

C'

O'
D'
B

C

A

O
D

b) Giả sử có lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp khối trụ do ABCD là hình
vuông có đường chéo 2a

B

O'

A

O

Trang51
A'
M


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Vậy thể tích lăng trụ là
Bài 2: Một khối trụ có bán kính R và chiều cao
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối trụ theo R.
b) Cho hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục
hình trụ là 30o. Tính khoảng cách giữa AB và trục hình trụ.
Lời giải:
a)

b) Từ A kẻ đường sinh AA’//OO’ , gọi M là trung điểm của A’B
OO’//AA’ suy ra góc hợp bởi AB và trục hình trụ là góc A’AB
Mặt khác OO’//(A’AB) nên khoảng cách giữa trục OO’ và AB là khoảng cách từ O đến
mp(A’AB) hay chính là độ dài đoạn OM.
B'
Tam giác AA’B vuông tại A’

O'

A

O

A

C'

B

Tam giác OA’M vuông tại M
C

Vậy khoảng cách trục hình trụ và AB là

.

Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh a chiều cao bằng 2a
a) Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ.
b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ
Lời giải :

a) Tam giác ABC đều cạnh a nên có đường cao

bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC là
Trang52


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Thể tích khối trụ
b) Gọi I là trung điểm của trục hình trụ OO’ khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là

Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ là

Bài 4: Một khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c nội tiếp trong khối trụ. Tính thể tích
khối trụ.
Lời giải :
B'
Ta có nhận xét có ba khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật
A'
ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước AB=a,AD=b,AA’=c
C'
O'
Ta giả sử rằng khối trụ ngoại tiếp có đáy nằm trên mp(ABCD).
D'

Khi đó bán kính khối trụ
Và chiều cao khối trụ là AA’=c

C

B
O

A

D

Thể tích khối trụ
Như vậy thể tích khối trụ là

Dạng 3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Tìm một điểm cách đều các đỉnh hình chóp.
Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông
Tìm giao của trục đường tròn đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của
một cạnh bên.

Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥ (ABC) đáy ABC là tam giác vuông cân tại B gọi H,K lần
lượt là hình chiếu của A lên SB,SC. Cho SA=AB=a
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK.
Trang53


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Lời giải:

S

a) Gọi I là trung điểm SC ta có SA⊥(ABC) ⇒ SA⊥AC tam giác
SAC vuông tại A ⇒IS=IA=IC (trung tuyến bằng nửa cạnh
huyền)
CB⊥AB, CB⊥SA ⇒CB⊥(SAB) ⇒CB⊥SB tam giác SBC
vuông tại B ⇒IS=IC=IB.
Vậy I cách đều các đỉnh của tứ diện hay I là tâm mặt cầu

K
H
A

C

B

ngoại tiếp khối đa diện băn kính

.

b) Gọi O là trung điểm của AC
Tam giác ABC vuông tại A ⇒OA=OB=OC .
Tam giác AKC vuông tại K ⇒OA=OC=OK.
Vì AH⊥SB; AH⊥BC ⇒AH⊥(SBC)⇒AH⊥HC
Tam giác AHC vuông tại H ⇒OA=OC=OH.
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a cạnh
bên

S

. Gọi A’B’C’D’ lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD.

Chứng minh rằng các điểm ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu ,
tìm tâm và bán kính mặt cầu đó.( hãy thay giả thiết cạnh bên bằng

A'

D'
D

A
B'

C'
H

bằng giả thiết cạnh bên có độ dài a).

C

B

Lời giải:
Gọi H là tâm của hình vuông ABBCD do hình chóp đều nên SH ⊥(ABCD) ⇒SH là trục
đường tròn của đa giác đáy, măt khác A’B’C’D’//ABCD và A’B’C’D’ là hình vuông ⇒SH
⊥(A’B’C’D’) và SH đi qua H’ kà giao điểm của hai đường chéo hình vuông A’B’C’D’ vậy
SH là trục của đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy của khối chóp cụt.
Ta chứng minh ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu tâm H
Thật vậy do SA=SC=AC=

nên tam giác SAC đều ⇒HA’=

Mặt khác H thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đai đa giác ABCD và A’B’C’D’ nên
HA=HB=HC=HD=HA’=HB’=HC’=HD’ vậy các điểm ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt
cầu có tâm H bán kính

Trang54


HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Dạng 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Lăng trụ nội tiếp mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng có đáy nội tiếp trong đường tròn.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối tâm của hai đường tròn đáy.
Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Tính thể tích và diện
tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Lời giải.
Giả sử có lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Gọi O và O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp hai
hai đáy ABC và A’B’C’. Gọi I là trung điểm của OO’ khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng
trụ.
A'

O'

Xét tam giác IOA vuông tại O ta có

C'

B'
I

vậy

O

A
B

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A. Biết góc hợp bởi
B’C và mặt phẳng đáy bằng 60o và BC=a. Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp
lăng trụ.

Trang55

C



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×