Tải bản đầy đủ

Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

NGÔ THỊ KIM QUY

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM
CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP BỐN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

NGÔ THỊ KIM QUY

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM
CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP BỐN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TS. Đặng Quang Á
2. PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

HÀ NỘI – 2017


LI CAM OAN

Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cựu cừa tụi vợi sỹ hợng
dăn khoa hồc cừa GS.TS. ng Quang v PGS.TS. H Tián NgoÔn.
Nhỳng kát quÊ trỡnh by trong luên ỏn l mợi, trung thỹc v cha tứng
ủc cụng bố trong bĐt k cụng trỡnh cừa ai khỏc, cỏc kát quÊ thỹc nghiằm
ó ủc kim tra bơng cỏc chng trỡnh do chớnh tụi thiát ká v kim thỷ
trờn mụi trớng Matlab, số liằu l hon ton trung thỹc. Cỏc kát quÊ ủc
cụng bố chung ó ủc cỏn bở hợng dăn v ỗng tỏc giÊ cho phộp sỷ
dửng trong luên ỏn.
Nghiờn cựu sinh

Ngụ Th Kim Quy

i



LI CM N

Trợc hát, em xin by tọ lũng biát n chõn thnh v sõu sc tợi cỏc
ThƯy hợng dăn, GS. TS. ng Quang v PGS. TS. H Tián NgoÔn.
Em vụ cựng biát n sỹ giỳp ù tên tỡnh, quý bỏu m cỏc ThƯy ó dnh
cho em trong suốt quỏ trỡnh thỹc hiằn luên ỏn. Cỏc ThƯy ó luụn quan
tõm, ch dăn v dỡu dt em. Chớnh nhớ sỹ ởng viờn cừa cỏc ThƯy cng
nh sỹ nghiờm khc trong khoa hồc, cỏc ThƯy ó giỳp em cố gng hn,
vủt qua ủc nhỳng khú khn, vĐt vÊ hon thnh luên ỏn.
Em xin chõn thnh cÊm n nhỳng ý kián úng gúp quý bỏu cỏc ThƯy
Cụ v cỏc cỏn bở nghiờn cựu ó giỳp em trong suốt quỏ trỡnh hồc têp v
hon thnh luên ỏn. Trong thới gian qua, Viằn Cụng nghằ thụng tin, Hồc
viằn Khoa hồc v Cụng nghằ ó tÔo mồi iãu kiằn thuên lủi v thớng
xuyờn cú nhỳng lới ởng viờn, nhc nh giỳp em thỹc hiằn tốt cụng viằc
nghiờn cựu cừa mỡnh.
Tụi cng xin by tọ lũng biát n án lónh Ôo Trớng Ôi hồc Kinh
tá v QuÊn tr Kinh doanh, Ôi hồc Thỏi Nguyờn, Ban chừ nhiằm Khoa
Khoa hồc c bÊn, lónh Ôo Bở mụn Toỏn cựng ton th giỏo viờn trong Bở
mụn, cỏc bÔn bố ỗng nghiằp, gia ỡnh v ngới thõn ó luụn ởng viờn
khuyán khớch, giỳp ù tụi trong suốt quỏ trỡnh nghiờn cựu.
Xin chõn thnh cÊm n!

ii


Danh sách hình v³
2.1 Công bëi thüc t¸ r(k) (trái) và mët sè nghi»m x§p x¿ (ph£i)
trong Ví dö 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
2.2 Công bëi thüc t¸ r(k) (trái) và mët sè nghi»m x§p x¿ (ph£i)
trong Ví dö 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
2.3

Đç thà cõa ek trong Ví dö 2.4 vîi N = 100 . . . . . . . . . . .54

2.4

Đç thà cõa ek trong Ví dö 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

2.5

Đç thà cõa nghi»m x§p x¿ trong Ví dö 2.5 . . . . . . . . . . . .56

2.6

Đç thà cõa ek trong Ví dö 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

2.7

Đç thà cõa nghi»m x§p x¿ trong Ví dö 2.6 . . . . . . . . . . . .58

2.8

Đç thà cõa nghi»m x§p x¿ trong Ví dö 2.8. . . . . . . . . . . . .73

3.1
3.2

Đç thà cõa ek trong Ví dö 3.1 vîi N =
. . . . . . . . . . .92
100.
Đç thà cõa nghi»m x§p x¿ trong Ví dö 3.2. . . . . . . . . . . . .94

3.3

Đç thà cõa nghi»m x§p x¿ trong Ví dö 3.3. . . . . . . . . . . . .95

3.4
3.5

Đç thà cõa ek trong Ví dö 3.4 vîi N =
. . . . . . . . . . .114
100.
Đç thà cõa nghi»m x§p x¿ trong Ví dö 3.5. . . . . . . . . . . . .115

3.6

Đç thà cõa nghi»m x§p x¿ trong Ví dö 3.6. . . . . . . . . . . . .117

5


Danh sách b£ng
2.1

Sü hëi tö cõa phương pháp l°p trong Ví dö 2.4 . . . . . . . . .54

2.2

Sü hëi tö cõa phương pháp l°p trong Ví dö 2.7. . . . . . . . . .71

3.1

Sü hëi tö cõa phương pháp l°p trong Ví dö 3.4. . . . . . . . . .113


Möc löc
Líi cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i Líi c£m ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii Mð đ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Chương 1. Ki¸n thùc bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1. Mët sè đành lý điºm b§t đëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.1. Đành lý điºm b§t đëng Banach và phương pháp l°p . . . . .

13

1.1.2. Đành lý điºm b§t đëng Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.1.3. Đành lý điºm b§t đëng Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2. Phương pháp đơn đi»u gi£i bài toán biên đèi vîi phương trình vi
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 17
1.3. Hàm Green đèi vîi mët sè bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.4. Phương pháp sè gi£i phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Chương 2. Phương pháp l°p gi£i bài toán biên đèi vîi phương trình
vi phân phi tuy¸n c§p bèn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.1. Bài toán biên đèi vîi phương trình vi phân phi tuy¸n c§p bèn không
đ¦y đõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 30
2.2. Bài toán biên đèi vîi phương trình vi phân phi tuy¸n c§p bèn đ¦y
đõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


....

45

2.2.1. Trớng hủp cỏc iãu kiằn biờn dÔng gối-tỹa n giÊn . . . .

45

2.2.2. Trớng hủp cỏc iãu kiằn biờn dÔng ngm-tỹ do . . . . . . . .
58
Chng 3. Phng phỏp lp giÊi bi toỏn biờn ối vợi hằ phng
trỡnh vi phõn phi tuyán cĐp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1. Bi toỏn biờn ối vợi hằ phng trỡnh vi phõn phi tuyán cĐp bốn
khụng Ưy ừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 75


3.2. Bài toán biên đèi vîi h» phương trình vi phân phi tuy¸n c§p bèn đ¦y
đõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 96
K¸t luªn chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

Danh möc các công trình cõa tác gi£ liên quan đ¸n luªn
án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
Tài li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122


Mé U

1. Tớnh cĐp thiát cừa luên ỏn
Nhiãu bi toỏn trong vêt lý, c hồc v mởt số lnh vỹc khỏc thụng
qua mụ hỡnh húa toỏn hồc dăn án viằc giÊi cỏc bi toỏn biờn ối vợi
phng trỡnh vi phõn cựng vợi cỏc iãu kiằn biờn khỏc nhau. Cú th chia
phng trỡnh vi phõn cĐp bốn thnh hai dÔng: phng trỡnh vi phõn cĐp
bốn khụng Ưy ừ v phng trỡnh vi phõn cĐp bốn Ưy ừ. Phng trỡnh
vi phõn cĐp bốn m trong ú hm vá phÊi chựa ân hm v chựa Ưy ừ
cỏc Ôo hm cỏc cĐp cừa nú (tứ cĐp mởt án cĐp ba) ủc gồi l phng
trỡnh vi phõn cĐp bốn Ưy ừ. Ngủc lÔi, phng trỡnh ủc gồi l phng
trỡnh vi phõn cĐp bốn khụng Ưy ừ.
Bi toỏn biờn ối vợi phng trỡnh vi phõn ó thu hỳt ủc sỹ quan
tõm cừa cỏc nh khoa hồc nhỹ Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhús,....
Mởt số nh toỏn hồc v c hồc Viằt Nam, nh ng Quang , PhÔm K
Anh, Nguyạn Vn Ôo, Nguyạn ụng Anh, Lờ Xuõn Cên, Nguyạn Hỳu
Cụng, Lờ Lng Ti, ... cng nghiờn cựu cỏc phng phỏp giÊi bi toỏn
biờn cho phng trỡnh vi phõn. Chng hÔn, cỏc kát quÊ liờn quan án
phng trỡnh vi phõn thớng phi tuyán cng ó ủc tỏc giÊ ng Quang
v cởng sỹ cụng bố trong [14], [15], [16],... Tỏc giÊ PhÔm K Anh cng
ó ã xuĐt phng phỏp lp Seidel-Newton giÊi bi toỏn biờn hai im
x(n) + f (t, x, x0 , ..., x(n) ) = 0; x(i) (0) = x(i) (1); i = 0, ...n 1,
(0.0.1)
1
0


cng nh bi toỏn biờn nhiãu im cho phng trỡnh vi phõn thớng,
(xem [5]- [7]). Hợng nghiờn cựu vã nghiằm tuƯn hon v bi toỏn biờn
cho phng trỡnh vi phõn phi tuyán ó ủc mởt số tỏc giÊ Liờn Xụ c xột
án trong cuốn sỏch [45] cừa tỏc giÊ Samoilenko.
Trong số cỏc phng trỡnh vi phõn thỡ phng trỡnh vi phõn phi tuyán
cĐp bốn ủc quan tõm rĐt nhiãu trong thới gian gƯn õy vỡ nú l mụ hỡnh
toỏn hồc cừa nhiãu bi toỏn trong c hồc. Dợi õy chỳng tụi im qua
mởt số bi toỏn biờn ối vợi phng trỡnh vi phõn phi tuyán cĐp bốn.
Ưu tiờn, xột bi toỏn vã dƯm trờn nãn n hỗi ủc mụ tÊ bi phng
trỡnh vi phõn phi tuyán cĐp bốn dÔng

hoc

u(4) (x) = f (x, u(x), u00 (x))

(0.0.2)

u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x))

(0.0.3)

trong ú u l ở vừng cừa dƯm, 0 x L. Cỏc iãu kiằn biờn tÔi hai Ưu
cừa dƯm ủc cho phử thuởc vo rng buởc cừa bi toỏn. ó cú mởt số
kát quÊ nghiờn cựu vã nh tớnh cừa cỏc bi toỏn biờn ối vợi cỏc phng
trỡnh vi phõn trờn nh sỹ tỗn tÔi, tớnh duy nhĐt v tớnh dng cừa nghiằm.
ỏng chỳ ý phÊi k án cỏc bi bỏo cừa Alves v cởng sỹ [2], Amster v
cởng sỹ [3], Bai v cởng sỹ [8], Li ([25]-[27]), D. Ma v X. Yang [35], R.
Ma v cởng sỹ [31], T. F. Ma ([32]-[34]),..., ú phng phỏp nghiằm trờn
v nghiằm dợi, phng phỏp bián phõn, cỏc nh lý im bĐt ởng ủc
sỷ dửng. Trong cỏc bi bỏo ny, iãu kiằn vã tớnh b chn cừa hm vá
phÊi f (x, u, v) hoc vã bêc tng trng cừa nú tÔi vụ cựng l khụng th
thiáu ủc.
cử th hn, ta xột bi toỏn mụ tÊ ở vừng cừa dƯm trờn nãn n


hỗi vợi hai Ưu mỳt ủc gối-tỹa n giÊn
u(4) (x) = f (x, u(x), u00 (x)),

0
1, u(0) = u(1) = u00 (0) = u00 (1) = 0,

(0.0.4)
tron
g
ú f
: [0,
1] ì
R2

R l
hm
liờn
tửc.
Bi
toỏn
trờn
ó
thu
hỳt
sỹ
quan
tõm
cừa
nhiã
u
tỏc
giÊ
vỡ



cú ý ngha quan trồng trong c hồc. Chng hÔn, nm
1986, Aftabizadeh [1] ó thiát lêp sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa
bi toỏn ny vợi giÊ thiát vã sỹ giợi nởi cừa hm f (x, u,
v) trong ton miãn [0, 1] ì R2 . Tớnh duy nhĐt cừa
nghiằm ủc chựng minh náu thờm cỏc giÊ thiát liờn
quan án Ôo hm riờng cừa f theo u v v. Nm 1997,
bơng phng phỏp n iằu, khi biát trợc nghiằm dợi
v nghiằm trờn, Ma v cởng sỹ [31] ó xõy dỹng hai dóy
hm n iằu hởi tử tợi cỏc nghiằm cỹc tr cừa bi toỏn.
é ú, cỏc tỏc giÊ thu nhên ủc kát quÊ vợi giÊ thiát
hm f (x, u, v) n iằu tng theo bián u v n iằu
giÊm theo bián v trong dÊi ủc xỏc nh bi nghiằm
dợi v nghiằm trờn. Sau ú, vo nm 2004, khi nghiờn
cựu bi toỏn (0.0.4), Bai v cởng sỹ [8] ởc lêp vợi Ma
cng xõy dỹng hai dóy hm n iằu hởi tử tợi cỏc
nghiằm cỹc tr cừa bi toỏn bơng cỏch xột phng trỡnh
tng ng
u(4) (x) au00 (x) + bu(x) = f (x, u(x), u00 (x))
au00 (x) + bu(x), (0.0.5)
trong ú a, b l cỏc hơng số dng ủc chồn phự hủp.
GiÊ thiát f thọa món mởt phớa iãu kiằn Lipshitz theo
u v v trong miãn ủc nh ngha phực tÔp bi cỏc
nghiằm dợi, nghiằm trờn v cỏc tham số a, b. í tng
ny cng ủc sỷ dửng trong bi bỏo gƯn õy cừa Li
[27]. Ngoi kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi, Li cũn thnh cụng khi
nghiờn cựu tớnh duy nhĐt nghiằm cừa bi toỏn. CƯn lu
ý rơng, trong phng phỏp n iằu, giÊ thiát tỡm ủc
nghiằm dợi v nghiằm trờn luụn luụn cƯn thiát nhng
viằc tỡm chỳng núi chung khụng dạ dng.


Trong cỏc bi bỏo ó nhc án trờn, phng trỡnh vi phõn cĐp bốn
khụng chựa Ôo hm cĐp ba. KhoÊng hn chửc nm tr lÔi õy, phng
trỡnh vi phõn cĐp bốn Ưy ừ, cử th l phng trỡnh
u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x))

(0.0.6)

thu hỳt sỹ quan tõm cừa nhiãu tỏc giÊ (xem [10], [12], [18], [20], [28],
[29], [37], [43],...). Cỏc kát quÊ chớnh trong cỏc bi bỏo trờn l nghiờn cựu
sỹ tỗn tÔi, tớnh duy nhĐt v tớnh dng cừa nghiằm. Cỏc cụng cử ủc sỷ
dửng l lý thuyát bêc

LeraySchauder

[43], nh lý im

bĐt ởng

Schauder trờn c s sỷ dửng phng phỏp n iằu vợi nghiằm dợi v
nghiằm trờn [9], [18], [20], [37] hoc giÊi tớch Fourier [28].
Nm 2009, Minhús [37] nghiờn cựu bi toỏn giỏ tr biờn ối vợi
phng trỡnh vi phõn phi tuyán cĐp bốn Ưy ừ cú dÔng
u(4) (x) = f (x, u, u0 , u00 , u000 ),
(0.0.7)

0 < x < 1,

vợi iãu kiằn biờn
u(0) = u0 (1) = u00 (0) = u000 (1) = 0,

(0.0.8)

trong ú f : [0, 1] ì R4 R l hm liờn tửc thọa món iãu kiằn tng
trng Nagumo. p dửng phng phỏp n iằu sỷ dửng nghiằm dợi v
nghiằm trờn, tỏc giÊ khụng nhỳng ch ra ủc kát quÊ tỗn tÔi nghiằm m
cũn a ra mởt số tớnh chĐt cừa nghiằm cng nh Ôo hm cĐp mởt, cĐp
hai cừa nghiằm. Sỹ phử thuởc vo Ôo hm cĐp ba b hÔn chá bi iãu
kiằn tng trng Nagumo.
Trong bi bỏo gƯn õy, Pei v Chang [43] sỷ dửng lý thuyát LeraySchauder chựng minh sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa bi toỏn biờn
cho phng trỡnh vi phõn cĐp bốn Ưy ừ vợi giÊ thiát hm f (x, u, y, v,
z) thọa món iãu kiằn Nagumo v khụng giÊm theo u v khụng tng theo
14


v.

15


ó cú mởt số cụng trỡnh, chng hÔn, [19], [40], [41], trong ú cỏc tỏc
giÊ giÊi gƯn ỳng mởt số bi toỏn biờn cho phng trỡnh vi phõn cĐp bốn
Ưy ừ nhng cha thu ủc ỏnh giỏ sai số tờng hủp cừa nghiằm số thỹc
sỹ nhên ủc.
Nm 2013, Li v Liang [28] xột

bi toỏn

giỏ tr biờn ối vợi

phng trỡnh vi phõn cĐp bốn Ưy ừ
u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)),
00

0 < x < 1,

00

(0.0.9)

u(0) = u(1) = u (0) = u (1) =
0,
trong ú f : [0, 1] ì R4 R l liờn tửc. õy l bi toỏn mụ tÊ ở vừng cừa
dƯm trờn nãn n hỗi vợi hai Ưu ủc gối-tỹa n giÊn. Dỹa trờn phng
phỏp giÊi tớch Fourier v nh lý im bĐt ởng Leray-Schauder, tỏc giÊ
ó thiát lêp ủc sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toỏn nhng dợi hÔn chá vã
iãu kiằn tng trng cừa hm f (x, u, y, v, z) theo mội bián tÔi vụ cựng.
Nm 2016, Li [29] xột bi toỏn giỏ tr biờn cĐp bốn Ưy ừ
u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)),
1,
0

00

000

0(0.0.10)

u(0) = u (0) = u (1) = u (1) =
0.
Bi toỏn l mụ hỡnh cừa dƯm cụngxụn (cantilever beam) (cố nh bờn
trỏi v tỹ do bờn phÊi), trong ú f : [0, 1] ì R4 R l hm liờn tửc.
Mởt số iãu kiằn cừa hm f ủc t ra Êm bÊo sỹ tỗn tÔi nghiằm dng
cừa bi toỏn. iãu kiằn a ra l hm f (x, u, y, v, z) tng trng trờn
tuyán tớnh (superlinear) hoc dợi tuyán tớnh (sublinear) theo cỏc bián u,
y, v, z. Trong trớng hủp tng trng trờn tuyán tớnh, iãu kiằn Nagumo
hÔn chá iãu kiằn tng trng cừa f theo y v z. Kát quÊ ny ủc
chựng minh bơng viằc sỷ dửng lý thuyát cừa ch số im bĐt ởng trong
nún rĐt phực tÔp.


Tuy nhiên, trong t§t c£ các bài báo nêu trên, các tác gi£ c¦n đ¸n mët
gi£ thi¸t r§t quan trång là hàm f : [0, 1] × R4 → R thäa mãn đi·u ki»n


Nagumo v mởt số iãu kiằn khỏc vã tớnh n iằu v tng trng tÔi vụ
cựng.
Cỏc bi toỏn vã hằ phng trỡnh vi phõn cĐp bốn ủc nghiờn cựu cha
nhiãu, chng hÔn trong [4], [21], [22], [30], [50], trong ú cỏc tỏc giÊ xột
phng trỡnh ch chựa cỏc Ôo hm cĐp chđn. Bơng viằc sỷ dửng nh lý
ch số im bĐt ởng trờn nún, cỏc tỏc giÊ ó thu ủc sỹ tỗn tÔi nghiằm
dng. Tuy nhiờn, cỏc kát quÊ Ôt ủc l cú tớnh lý thuyát thuƯn tỳy vỡ
khụng cú vớ dử no minh hồa sỹ tỗn tÔi nghiằm.
Nm 2012, trong [22] vợi cỏc iãu kiằn rĐt phực tÔp, tỏc giÊ ó thiát
lêp sỹ tỗn tÔi nghiằm dng cừa hằ hai phng trỡnh vi phõn

u(4) (x) = f (x, u(x), v(x), u00 (x), v 00 (x)), 0 < x <
1,
v (4) (x) = h(x, u(x), v(x), u00 (x), v 00 (x)), 0 < x < 1,
vợi cỏc iãu kiằn biờn

u(0) = u(1) = u00 (0) = u00 (1) = 0,
v(0) = v(1) = v 00 (0) = v 00 (1) = 0,
trong ú f, h : [0, 1] ì R+ ì R+ ì R ì R R+ l cỏc hm liờn tửc
v u00 , v 00 trong f, h l cỏc thnh phƯn mụ men uốn tng ựng vợi cỏc
hiằu ựng uốn.
Ưu nm 2017, Minhús v Coxe [38], [39] l cỏc tỏc giÊ Ưu tiờn xột hằ
hai phng trỡnh cĐp bốn Ưy ừ

u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x), v(x), v 0 (x), v 00 (x), v 000 (x)),
v (4) (x) = h(x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x), v(x), v 0 (x), v 00 (x), v 000 (x)),
(0.0.11)
vợi cỏc iãu kiằn biờn

u(0) = u0 (0) = u00 (0) = u00 (1) = 0,
v(0) = v 0 (0) = v 00 (0) = v 00 (1) = 0.

(0.0.12)


Tỏc giÊ ó a ra cỏc iãu kiằn ừ cho tớnh giÊi ủc cừa hằ bơng viằc sỷ
dửng phng phỏp nghiằm dợi, nghiằm trờn v nh lý im bĐt ởng
Schauder. Chựng minh kát quÊ ny rĐt cỗng kãnh v phực tÔp, trong ú
ũi họi iãu kiằn Nagumo ối vợi cỏc hm f v h.
Mc dự ó cú cỏc thnh tỹu quan trồng Ôt ủc trong viằc nghiờn
cựu nh tớnh v tỡm lới giÊi cừa cỏc bi toỏn biờn phi tuyán, song sỹ phỏt
trin cừa cỏc lnh vỹc ựng dửng nh c hồc, vêt lý, sinh hồc,. . . luụn t
ra cỏc bi toỏn mợi m phng trỡnh cng nh cỏc iãu kiằn biờn phực
tÔp hn. Cỏc bi toỏn ny cú ý ngha quan trồng trong khoa hồc v thỹc
tiạn. Hn nỳa, trong cỏc bi bỏo k trờn, cỏc iãu kiằn a ra phực tÔp
v khú kim tra, trong ú hÔn chá vã iãu kiằn Nagumo v iãu kiằn tng
trng tÔi vụ cựng cừa hm vá phÊi. Vợi phng phỏp n iằu, giÊ thiát
tỡm ủc nghiằm dợi v nghiằm trờn luụn luụn cƯn thiát nhng viằc tỡm
chỳng núi chung khụng dạ dng. Mt khỏc, mởt số bi bỏo cha cú vớ dử
minh hồa cho cỏc kát quÊ lý thuyát. Chớnh vỡ thá, viằc tiáp tửc nghiờn cựu
cÊ vã mt nh tớnh v nh lủng cỏc bi toỏn mợi cho phng trỡnh v
hằ phng trỡnh vi phõn cĐp bốn vợi cỏc iãu kiằn biờn khỏc nhau l rĐt
cú ý ngha khoa hồc v thỹc tiạn.
ú l lớ do vỡ sao chỳng tụi chồn ã ti: "Phng phỏp lp giÊi bi toỏn
biờn hai im cho phng trỡnh v hằ phng trỡnh vi phõn cĐp bốn".

2. Mửc tiờu v phÔm vi nghiờn cựu cừa luên ỏn
Mửc tiờu cừa luên ỏn l phỏt trin phng phỏp lp kát hủp vợi cỏc
phng phỏp khỏc thiát lêp nh tớnh v c biằt l phng phỏp giÊi
số mởt số bi toỏn biờn hai im ối vợi phng trỡnh v hằ phng trỡnh
vi phõn phi tuyán cĐp bốn nÊy sinh trong lý thuyát uốn cừa dƯm, trong
ú khụng cƯn án iãu kiằn tng trng tÔi vụ cựng, iãu kiằn Nagumo,...


cừa hm vá phÊi.

3. Phng phỏp v nởi dung nghiờn cựu
Sỷ dửng cỏch tiáp cên a cỏc bi toỏn biờn phi tuyán vã phng
trỡnh toỏn tỷ ối vợi hm dỹa trờn vá phÊi, cựng vợi cỏc cụng cử cừa toỏn
giÊi tớch, giÊi tớch hm, lý thuyát phng trỡnh vi phõn, chỳng tụi nghiờn
cựu sỹ tỗn tÔi, duy nhĐt v mởt số tớnh chĐt ối vợi nghiằm cừa mởt số
bi toỏn biờn ối vợi phng trỡnh v hằ phng trỡnh vi phõn phi tuyán
cĐp bốn khụng Ưy ừ v Ưy ừ.
Cng trờn c s phng trỡnh toỏn tỷ, chỳng tụi xõy dỹng phng phỏp
lp tỡm nghiằm cừa cỏc bi toỏn v chựng minh sỹ hởi tử cừa phng phỏp.
Mởt số vớ dử ủc a ra, trong ú biát trợc hoc khụng biát trợc
nghiằm ỳng, minh hồa tớnh ỳng n cừa cỏc kát quÊ lý thuyát v
thỹc hiằn tớnh toỏn trờn mỏy tớnh iằn tỷ kim tra sỹ hởi tử cừa cỏc
phng phỏp.

4. Kát quÊ Ôt ủc cừa luên ỏn
Luên ỏn ã xuĐt phng phỏp nghiờn cựu nh tớnh v phng phỏp
lp giÊi bi toỏn biờn ối vợi phng trỡnh v hằ phng trỡnh vi phõn phi
tuyán cĐp bốn khụng Ưy ừ v Ưy ừ nhớ sỷ dửng cỏch tiáp cên a bi
toỏn vã phng trỡnh toỏn tỷ ối vợi hm dỹa trờn vá phÊi. Cỏc kát quÊ
Ôt ủc l:
Thiát lêp ủc sỹ tỗn tÔi, duy nhĐt v mởt số tớnh chĐt ối vợi nghiằm
cừa cỏc bi toỏn dợi cỏc iãu kiằn dạ kim tra.
ã xuĐt phng phỏp lp giÊi cỏc bi toỏn ny v chựng minh sỹ hởi tử
cừa phng phỏp vợi tốc ở cĐp số nhõn.
a ra mởt số vớ dử minh hồa cho khÊ nng ựng dửng cừa cỏc kát quÊ


lý thuyát, trong ú cú cỏc vớ dử m sỹ tỗn tÔi hoc tớnh duy nhĐt nghiằm
cừa chỳng khụng ủc bÊo Êm bi cỏc tỏc giÊ khỏc do khụng thọa món
cỏc iãu kiằn trong cỏc nh lý cừa hồ.
Cỏc thỹc nghiằm tớnh toỏn minh hồa tớnh hiằu quÊ cừa phng phỏp
lp.
Luên ỏn ủc viát trờn c s cỏc bi bỏo [A1]-[A6] trong danh mửc cỏc
cụng trỡnh cừa tỏc giÊ liờn quan án luên ỏn.

5. CĐu trỳc cừa luên ỏn
Ngoi phƯn m Ưu, kát luên v ti liằu tham khÊo, nởi dung chớnh
cừa luên ỏn gỗm 3 chng:
Chng 1 trỡnh by cỏc kián thực bờ trủ bao gỗm mởt số nh lý im
bĐt ởng; phng phỏp n iằu giÊi bi toỏn biờn ối vợi phng trỡnh vi
phõn; hm Green ối vợi mởt số bi toỏn v phng phỏp số giÊi phng
trỡnh vi phõn. Cỏc kián thực c bÊn trong Chng 1 úng vai trũ rĐt quan
trồng, lm nãn tÊng cho cỏc kát quÊ s ủc trỡnh by trong Chng 2 v
Chng 3.
Trong Chng 2, bơng cỏch tiáp cên a cỏc bi toỏn biờn phi tuyán
vã phng trỡnh toỏn tỷ ối vợi hm dỹa trờn vá phÊi, chự khụng phÊi ối
vợi ân hm, chỳng tụi ó thiát lêp sỹ tỗn tÔi, duy nhĐt v mởt số tớnh chĐt
cừa nghiằm ối vợi mởt số bi toỏn cho phng trỡnh vi phõn phi tuyán
cĐp bốn khụng Ưy ừ v Ưy ừ. Cng trờn c s phng trỡnh toỏn tỷ,
chỳng tụi xõy dỹng phng phỏp lp tỡm nghiằm cừa cỏc bi toỏn v chựng
minh sỹ hởi tử cừa phng phỏp. Mởt số vớ dử, trong ú biát trợc hoc
khụng biát trợc nghiằm ỳng, ó minh hồa cho tớnh ỳng n cừa cỏc
kát quÊ lý thuyát v hiằu quÊ cừa phng phỏp lp.
Tiáp tửc phỏt trin cỏc k thuêt cừa Chng 2, trong Chng 3, ối


vợi hằ hai phng trỡnh vi phõn phi tuyán cĐp bốn khụng Ưy ừ v Ưy
ừ, chỳng tụi cng thu ủc cỏc kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi, duy nhĐt nghiằm
v sỹ hởi tử cừa phng phỏp lp. Cỏc kát quÊ ny lm phong phỳ thờm
v khng nh tớnh hiằu quÊ cừa cỏch tiáp cên a cỏc bi toỏn biờn phi
tuyán vã phng trỡnh toỏn tỷ ối vợi hm dỹa trờn vá phÊi.
Trong luên ỏn, cỏc kát quÊ lý thuyát ó ủc kim tra bơng cỏc thỹc
nghiằm tớnh toỏn ủc lêp trỡnh trong mụi trớng MATLAB 7.0 trờn mỏy
tớnh PC vợi CPU Intel Core i3, 4GB RAM.


Cỏc kát quÊ trong luên ỏn ó ủc bỏo cỏo v thÊo
luên tÔi:
1.Hởi ngh ton quốc lƯn thự IV vã ng dửng Toỏn hồc, H Nởi, 2325/12/2015.
2.Hởi thÊo Tối u v Tớnh toỏn Khoa hồc lƯn thự 14, Ba Vỡ, 2123/4/2016.
3.Hởi ngh Toỏn ựng dửng v Tin hồc, Ôi hồc Bỏch Khoa H Nởi,
12-13/11/2016.
4.International Conference on Advances in Information and Communication Technology, Thai Nguyen, Vietnam 12-13, Dec 2016.
5.Seminar khoa hồc cừa Phũng cỏc Phng phỏp Toỏn hồc trong Cụng
nghằ thụng tin, Viằn Cụng nghằ thụng tin, Viằn Hn lõm Khoa hồc
v Cụng nghằ Viằt Nam.


Chng 1
Kián thực bờ trủ
Chng ny trỡnh by mởt số kián thực chuân b cƯn thiát cho
cỏc chng tiáp theo ủc tham khÊo tứ cỏc ti liằu [24], [31], [36], [46],
[48], [49].

1.1.Mởt số nh lý im bĐt ởng
Cho ỏnh xÔ T : A A, trong ú A l khụng gian Banach. Mội
nghiằm x cừa phng trỡnh x = T x ủc gồi l mởt im bĐt ởng cừa
ỏnh xÔ T .
Ba nh lý im bĐt ởng sau õy l cỏc nh lý nãn tÊng c bÊn ủc
sỷ dửng phờ bián trong cỏc bi toỏn ựng dửng.
1. nh lý im bĐt ởng Banach cho cỏc toỏn tỷ co vợi hằ số co k.
2. nh lý im bĐt ởng Brouwer cho cỏc toỏn tỷ liờn tửc trong khụng
gian hỳu hÔn chiãu.
3. nh lý im bĐt ởng Schauder cho cỏc toỏn tỷ hon ton liờn tửc trờn
mởt têp con lỗi, khỏc rộng v compact trong khụng gian Banach (vụ hÔn
chiãu). õy l mởt tờng quỏt húa cừa nh lý im bĐt ởng Brouwer.
Ngoi ra, mởt số nh lý im bĐt ởng quan trồng khỏc ủc sỷ dửng
nhiãu trong nghiờn cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phng trỡnh vi phõn phi
tuyán, chng hÔn nh nh lý Leray-Schauder cho cỏc toỏn tỷ compact


trờn mởt têp con lỗi, khỏc rộng, b chn cừa khụng gian Banach.
Cựng vợi cỏc nh lý im bĐt ởng, lý thuyát bêc Brouwer (Brouwer
degree) v lý thuyát ch số im bĐt ởng (fixed point index) cng l
nhỳng cụng cử quan trồng, ủc ựng dửng nhiãu trong nghiờn cựu sỹ tỗn
tÔi im bĐt ởng cừa cỏc ỏnh xÔ liờn tửc cng nh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa
cỏc phng trỡnh vi phõn phi tuyán.
1.1.1.nh lý im bĐt ởng Banach v phng phỏp lp
Xột phng trỡnh phi tuyán
x = T x.

(1.1.1)

Trợc tiờn ta nhc lÔi khỏi niằm toỏn tỷ co.
nh ngha 1.1. (xem [49]) Toỏn tỷ T : M X X trờn khụng gian
metric (X, d) ủc gồi l co vợi hằ số k náu v ch náu
d(T x, T y) kd(x, y)

(1.1.2)

vợi mồi x, y M v k cố nh 0 k < 1.
nh lý 1.1. (xem [49]) (nh lý im bĐt ởng Banach (1922)).
GiÊ sỷ rơng
(i) T : M X M l mởt ỏnh xÔ tứ M vo chớnh nú;
(ii) M l têp úng, khỏc rộng trong khụng gian metric Ưy ừ (X, d);
(iii) T l mởt ỏnh xÔ co vợi hằ số co k.
Khi ú ta cú cỏc kát luên sau õy:
a) Sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm: Phng trỡnh (1.1.1) cú duy nhĐt nghiằm
x tực l T cú duy nhĐt mởt im bĐt ởng trờn M .
b) Sỹ hởi tử cừa phng phỏp lp: vợi mồi xĐp x ban Ưu x0 tựy ý trong
M , dóy xĐp x liờn tiáp (xn ) hởi tử tợi nghiằm x.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×