Tải bản đầy đủ

Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông

111Equation Chapter 1 Section 1Lời nói đầu
Toán học là môn học quan trọng trong chương trình phổ thông ở nước ta cũng như các nước trên
thế giới . Việc giảng dạy và học tập môn Toán trong trường phổ thông không chỉ trang bị cho
học sinh những kiến thức cụ thể áp dụng trong cuộc sống và trong các môn học khác mà quan
trọng hơn là rèn luyện cho các em phương pháp tư duy lôgic , các kĩ năng làm việc hiệu quả,
khả năng độc lập và năng lực sáng tạo. Điều đó sẽ giúp ích cho các em trong cả cuộc đời.
Việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu môn Toán luôn là mối quan tâm lớn của mỗi
quốc gia. Ở nước ta , ngay từ những năm 60 của thế kỉ XX, các lớp toán đặc biệt đã được thành
lập nhằm bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu toán học, phục vụ cho đất nước.
Bộ sách Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông ( THPT) gồm các
chuyên đề tự chọn đặc sắc theo chương trình dành cho chuyên Toán mà Bộ Giáo dục và Đào tạo
ban hành. Bộ sách là kết tinh từ kinh nghiệm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh năng khiếu của
các thầy cô giáo ở Trường THPT Chuyên Đại Học Sư Phạm hà Nội , Trường THPT Chuyên Đại
Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc gia Hà Nội và trường THPT Chuyên Bắc Giang,
nhằm cung cấp cho các em học sinh một số kiến thức bổ sung, giúp các em hiểu sâu hơn sách
giáo khoa, chuẩn bị cho các kì thi tốt nghiệp THPT , thi tuyển sinh vào đại học và thi học sinh
giỏi THPT. Bộ sách gồm năm cuốn :
Một số chuyên đề Hình Học phẳng bồi dưỡng hoc sinh giỏi THPT;
Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ;
Một số chuyên đề Toán tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT ;
Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT;

Một số chuyên đề Hinh học không gian bồi dưỡng học sinh giỏi THPT.
Cuốn sách Một số chuyên đề Toán Tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi THPT gồm 10 chuyên đề
và phần Bài Tập tổng hợp. Các chuyên đề được tác giả sử dụng đề giảng dạy chuyên đề cho học
sinh lớp 10 Toán và bồi dưỡng cho đội tuyển toán của trường THPT chuyên Đại học Sư Phạm
hằng năm. Trong mỗi chuyên đề , chúng tôi đều nhắc lai những phần lí thuyết thiết yếu, bổ sung
những kiến thức không có hoặc dược nhắc đến mọt cách sơ sài trong các sách giáo khoa phổ
thông. Tiếp theo là các ví dụ minh họa cho phần lí thuyết. Chúng tôi cố gắng chọn lọc các ví dụ
điển hình, dễ hiểu và đặc trưng nhất cho phần lí thuyết đó. Phần bài tập được chia thành hai
phần. Bài tập luyện tâp , có hướng dẫn giải hoặc có lời giải chi tiết để các bạn có thể so sánh,
đối chiếu, rút kinh nghiệm và củng cố, đào sâu lí thuyết. Bài tập tự giải, gồm một số bài toán
tương tự như trong phần ví dụ và trong phần bài tập luyện tập, ngoài ra còn có những bài toán
khó và rất khó dành cho những bạn có khả năng tìm hiểu sâu hơn và có điều kiện phát triển tốt
nhất khả năng của mình.
1


Phần Bài Tập tổng hợp gồm những bài toán hay được chọn loc, đòi hỏi những thao tác tư duy
phức hợp, những quan sát tinh tế, khả năng phán đoán tốt và kĩ năng sử lí vấn đề cao để các bạn
thử sức. Qua đó , chúng tôi hi vọng các bạn phần nào có thể thấy được vẻ đẹp toán học và
những thú vị của việc chinh phục các bài toán khó, từ đó tăng thêm tình yêu với môn thể thao trí
tuệ bậc nhất này.
Cuốn sách sẽ là tài liệu bổ ích cho các bạn học sinh yêu thích môn toán, tự bồi dưỡng kiến thức
môn Toán và cho các bạn ôn luyện chuẩn bị cho các kì thi tốt nghiệp , tuyển sinh đại học và các
kí thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, quốc gia và cả quốc tễ nũa. Cuốn sách cũng sẽ là tài liệu
bổ ích cho các thầy cô giáo trong việc định hướng và bồi dưỡng học sinh giỏi THPT.
Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của độc giả để bộ sách được hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về Ban Toán- Tin Nhà xuất bản Giáo dục Việt nam, 187B Giảng
Võ , Hà Nội.
CÁC TÁC GIẢ

2


Các kí hiệu sử dụng trong sách
: Tập câc số tự nhiên
: Tập các só tự nhiên khác không.
: Tập các số nguyên
: Tập các số hữu tỉ.
� : Tập các số thực


: Tập các điểm của mặt phẳng.
: Thuộc
: Không thuộc.
: Chứa trong
: Chứa trong
: Hợp
: Giao
: Tổng của n phần tử ,,....,.
: Tích của các phần tử ,,....,.
: Hợp của họ n tập hợp ,,.....,.
: Giao của họ n tập hơn ,,.....,.

Chuyên đề 1
3


Tập hợp
Tập hợp là khái niệm nền tảng của toán học và nhiều ngành khoa học khác. Sử dụng lí thuyết
tập hợp ta có thể diễn tả các khái niệm, các bài toán, đặc biệt là các bài toán rời rạc một cách
sáng sủa , giúp cho việc tiếp cận và giải quyết các bài toán trở nên đơn giản hơn.
Trong phần này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm, tính chất và quy tắc của lí thuyết tập hợp,
đồng thời đưa đưa ra hệ thống bài tâp củng cố các khái niệm, tính chất và các quy tắc đó nhằm
giúp ta tiếp cận các chuyên đề sau hiệu quả, dễ dàng.

1.1

Các khái niệm cơ bản

1.1.1

Khái niệm tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa . Thông thường người ta dùng
khái niệm tập hợp để chỉ một nhóm các đối tượng đã được chọn ra , hay đã được quy định từ
trướ. Người ta thường kí hiệu tập hợp bằng chữ in hay chữ viết hoa:
,,,,,...
Cho tập . Một đối tượng được nói đến trong gọi là một phần tử của . Kí hiệu :
Quy ước: Tập rỗng ∅ là tập hợp không gồm phân tử nào cả. Tập ∅ là duy nhất
Khi tâp A có hữu hạn phần tử thì số phần tử của A kí hiệu là

1.1.2

A

hay cardA ( cardinal ).

Các cách xác định tập hợp

a) Liệt kê các phần tử của tập hợp
Ví dụ .tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 10 là :
T =  0, 2,3,3, 4,5, 6, 7,8,9 .

 a , a ,..., an  thì ai ≠ a j , ∀ i ≠ j .
Quy ước , viết T = 1 2
b) Chỉ ra tính chất các số tự nhiên nhỏ hơn 10 .

 x | x  N , x 10 .
Ví dụ : Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 10 là : T =
4


1.1.3 Tập con
Cho hai tập hợp A, B . Khi đó :
A �B ⇔  x �A � x �B  .

B
A
Tính chất
• A �B, B �C � A �C
• A �A, A
• ��A, A

1.1.4 Tập hợp bằng nhau
Cho hai tập hợp A, B . Khi đó:

A  B � A �B và B �A
Tính chất
(a) A  A, A
(b) A  B � B  A
(c) A  B, B  C � A  C
(d) Cho A, B là hai tập có cùng phần tử . Khi đó nếu A �B thì A  B

1.1.5 Giao của hai tập hợp
A �B  {x x �A

5

và x �B}.


1.1.6 Hợp của hai tập hợp
A �B  {x x �A

hoặc x �B}.

1.1.7 Hiệu của hai tập hợp
A \ B  {x | x �A và x �B}.

6


1.1.8 Phần bù của hai tập hợp
A
Cho A �B .Phần bù của A trong B là tập A  B \ A hay CB  B \ A.

1.1.9 Tích Đề-các
Định nghĩa: Cho n tập hợp A1 , A2 ,..., An . Xét tập hợp A gồm tất cả các bộ n phần tử sắp thứ
tự (a1 ,..., an ) trong đó
hiệu là :

ai �Ai , i  1, n.

Tập A gọi là tích Đề các của n tập hợp A1 ,..., An và kí
A  A1 �A2 �... �An ,

hay viết tắt là
n

A  �Ai .
i 1

Như vậy
n

�A  {(a ,..., a ) a �A , i  1, n}.
i 1

i

1

n

i

7

i


Tính chất
(a) A �B �B �A, A �B.

(b) Giả sử

Ai  ki , i  1, n.

n

n

i 1

i 1

�Ai  �ki

Khi đó:

1.1.10 Một số tính chất
(a)

( B �A) �B � A �B 

và

( A �B) �A � A �B 

(b) A �B  B �A
(c) ( A �B) �C  A �( B �C )
Từ tính chất kết hợp nói trên cho phép ta định nghĩa giao của một họ các tập hợp:
�n 1 �
Ii 1 Ai  �
I Ai ��An .
�i 1 �
n

(d) A �B  B �A
(e)

A � B �C   ( A �B ) �C

Từ tính chất kết hợp nói trên cho phép ta định nghĩa hợp của một họ các tập hợp:
�n 1

n



�A .
UA  �
UA �


i

i 1

i

n

i 1

(f) Luật phân phối

 A �B  �C   A �C  � B �C 

 A �B  �C   A �C  � B �C 
(g) A \ A  �; A \ �  A
(h) Công thức D’morgan:
�n � n
�n � n
B\ �
A

B
\
A
B
\
 U B \ Ai 


U i� I
Ii 1 Ai �
i

i 1
�i 1 � i 1


và
8


Ví dụ 1. Chứng minh công thức D’morgan
�n � n
�n � n
B\ �
Ai � I  B \ Ai 
B\�
U
I Ai � U B \ Ai 
�i 1 � i 1
�i 1 � i 1
và
Lời giải. Bài toán yêu cầu chứng minh hai tập hợp bằng nhau, ta sử dụng tính chất

A  B � A �B và B �A
 Chứng minh
�n � n
B\�
U Ai � I  B \ Ai  .
�i 1 � i 1
�n �
x �B \ �
Ai �
U
i

1


Xét
, ta có
n

x �U Ai .

x �B và

i 1

Suy ra

x �B và x �Ai , i  1, n.
hay

x �B \ Ai , i  1, n.
Do đó
n

x �I ( B \ Ai ).
i 1

Suy ra
�n � n
B\�
U Ai ��I  B \ Ai  .
�i 1 � i 1
(1)
n

Xét

x �I

i 1

 B \ Ai 

, ta có
9


x �B \ Ai , i  1, n.
Suy ra

x �B và x �Ai , i  1, n.
hay
n

x �U Ai

x �B và

i 1

Do đó
�n �
x �B \ �
U Ai �.
�i 1 �
Suy ra
�n � n
B \�
U Ai ��I  B \ Ai  .
�i 1 � i 1

(2)

Từ (1) và (2) ta có
�n � n
B\�
U Ai � I  B \ Ai  .
�i 1 � i 1
 Chứng minh
�n � n
B\ �
I Ai � U B \ Ai  .
�i 1 � i 1
�n �
x �B \ �
I Ai �
�i 1 �
Xét
, ta có
n

x �B và

x �I Ai .
i 1

Suy ra x �B và tồn tại 1 �k �n sao cho x �Ak , hay x �B \ Ak . Do đó
n

x �U B \ Ai  .
i 1

10


Suy ra
�n � n
B \�
I Ai ��U B \ Ai  .
�i 1 � i 1
(3)
n

Xét

x �U B \ Ai 
i 1

, khi đó tồn tại 1 �k �n sao cho x �B \ Ak . Suy ra

x �B và x �Ak
hay
n

x �B và

x �I Ai .
i 1

Do đó
�n �
x �B\ �
I Ai �.
�i 1 �
Suy ra
�n � n
B\�
I Ai ��U B \ Ai  .
�i 1 � i 1
(4)
Từ (3) và (4) ta có
�n � n
B\�
I Ai � U B \ Ai  .
�i 1 � i 1
Ví dụ 2.(Nguyên lí thêm bớt) Cho A, B là hai tập hợp hữu hạn. Chứng minh rằng

A �B  A  B  A �B .
Lời giải. Để chứng minh công thức trên ta sử dụng phương pháp liệt kê, xuất phát từ phần giao
A �B  {c1 ; c2 ;...; c p }
của hai tập hợp A và B. Giả sử
và
A  {c1; c2 ;...;c p ; a1; a2 ;...;a n } B  {c1 ; c2 ;...; c p ; b1; b2 ;...; bm }.
,

Khi đó

11


A �B  {c1; c2 ;...; c p ; a1 ; a2 ;...; an ; b1; b2 ;...; bm }.

Suy ra

A  n p

,

B  m p

,

A �B  m  n  p

Vậy

A �B  A  B  A �B .
Tổng quát. Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được công thức sau đây
n

n

U Ai  �
i 1



(1)

k 1

k 1 1�i1 �i2 �...�ik �n

Ai1 �Ai2 �... �Aik ,

trong đó n �2 và A1 , A2 ,..., A n là các tập hữu hạn.
Ví dụ 3. Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a  b là một số lẻ. Chia tập các số nguyên
*
dương � thành lập hai tập rời nhau A và B . Chứng minh rằng luôn tồn tại hai phần tử x, y
thuộc cùng một tập sao cho

x  y �{a; b}.
Lời giải. Do các đối tượng trong A và B không xác định nên không thể xét tính chất của các
phần tử của hai tập hợp này. Để giải bài toán này ta sử dụng phương pháp phản chứng.Với giả
thiết phản chứng và điều kiện ban đầu nào đó ta sẽ liệt kê các phần tử thuộc A và B .
Giả sử phản chứng, không tồn tại hai phần tử x, y nào thuộc cùng một tập sao cho

x  y �{a; b}.
Giả sử được 1 �A , ta có
1  a, 1  b �B.

Suy ra

1  2a , 1  2b �A.
Ví dụ 2. (Nguyên lý thêm bớt) Cho

A, B là hai tập hợp hữu hạn. Chứng minh rằng

12


A �B  A  B  A �B
Lời giải. Để chứng minh công thức trên ta sử dụng phương pháp liệt kê, xuất phát từ phần giao
của hai tập hơp A và B . Giả sử





A �B = c ;c ;...;c
1 2
p



và

 



A = c ;c ;...;c ; a ; a ;...; a ,B = c ;c ;...;c ;b ;b ;....;b .
1 2
p 1 2
n
1 2
p 1 2
m
Khi đó



A �B = c ;c ;...;c ; a ; a ;...; a ;b ;b ;...;b
1 2
p 1 2
n 1 2
m



Suy ra

A = n + p, B = m + p, A �B = m + n + p
Vậy

A �B = A + B - A+ B .
Tổng quát. Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được công thức sau đây

k -1
n
n
Α �Α �.... �Α .

U Α = �
 -1
i
i
i
i
k = 11 �i < i < .... < i �n
i=1
1
2
k
1 2
k
Trong đó n �2 và

Α , Α ,..., Α
1 2
n là các tập hữu hạn

Ví dụ 3. Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a  b là một số lẻ. Chia tập các số nguyên
*
dương � thành hai tập rời nhau A và B .Chứng minh rằng luôn tồn tại hai phần tử x, y
thuộc cùng một tập sao cho

x  y � a; b .
Lời giải. Do các đối tượng trong A và B không xác định nên không thể xét tính chất của các
phần tử của hia tập hợp này. Để giải bài toán này ta sử dụng phương pháp phản chứng. Với giả
thiết phản chứng và điều kiện ban đầu nào đó ta sẽ liệt kê các phần tử thuộc A và B
13


Giả sử phản chứng, không tồn tại tại hai phần tử x, y nào thuộc cùng một tập sao cho

x  y � a; b
Giả sử được 1 �A , ta có .

1  a, 1  b �B
Suy ra

1  2a, 1+2b �A
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được với mọi k ��, ta có

� 1  2ka, 1+2kb �A

1  (2k  1) a, 1+(2k+1)b �B

Do a, b khác tính chẵn lẻ nên

1  ab �A và 1  ab �B
Trái với giả thiết A, B là hai tập rời nhau.
*

Ví dụ 4. (MOSP – 1997) Chia tập các số nguyên dương � thành hai tập rời nhau A và B .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , tồn tại các số nguyên dương a, b khác nhau,
lớn hơn n sao cho

 a; b; a  b

�A

hoặc  a; b; a  b �B

Tương tự như ví dụ 3, để giải bài toán này ta sử dụng phương pháp phản chứng.
Lời giải 1. Nếu một trong hai tập A, B chứa ít hơn 2 phần tử lớn hơn n thì bài toán hiển nhiên
đúng. Giả sử mỗi tập đều chứa không ít hơn 2 phần tử lớn hơn n và không có hai phần tử
a,b  n nào thỏa mãn

 a;b; a  b �A hoặc  a;b; a  b �B
Xét

a, b �A và c, d �B (a , b, c, d  n ).
14


Khi đó

c  d �A và a  b �B
Ta có

a, b, c, d �A và c, d , a  b �B
Nên

�a  b  c, a  b  d �A

a  c  d , b  c  d �B.

Suy ra

 a  c  d    b  c  d   a  b  2c  2d �A


 a  b  c    a  b  d   c  d  2a  2b �B

Do

a  b  2c  2d   a  b  c  d    c  d  �A


c  d  2a  2b   a  b  c  d    a  b  �B

Nên

a  b  c  d �A và a  b  c  d �B

B
Suy ra A ǹ�

, vô lí.

Lời giải 2. Ta cũng giả thiết phản chứng rằng không tồn tại a, b  n khác nhau sao cho

 a; b; a  b �A hoặc  a; b; a  b �B
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1.

A  �

: Gọi m là phần tử lớn nhất của A thì

a  1, a  2, 2a  3 �B, a �m.
Vô lí

15


Trường hợp 2.

A  � B  �
,

: Xét x, y , z �A sao cho x  y  z và y  z  n . Khi đó

x  y , y  z , z  x �B
Suy ra x  z �A, vô lí.
Lời giải 3. Giả thiết phản chứng rằng không tồn a, b  n tại khác nhau sao cho

 a; b; a  b �A và  a; b; a  b �B
Một trong hai tập hợp A hoặc B chứa phần tử m  n . Giả sử m �A . Xét tập

X   2m;3m;4m;...
Do X �B nên tồn tại a  1 sao cho a �A . Khi đó

 a  1 m �B

và

 a  1 m �B

Suy ra

2m   a  1 m   a  1 m �A
Do đó

và 3m  m  2 m �B

 2m, am,  a  2  m �A, vô lí

X   1; 2;3;...;15
VÍ dụ 5. Cho tập
và M là tập con của X sao cho tích của ba phần tử này
khác nhau bất kì của M đều không là số chính phương
a) Hãy chỉ ra một tập M gồm 10 phần tử
b) Hãy xác định số phần tử lớn nhất của M
Lời giải
a) Tập

M   1; 4;5;6;7;10;11;12;13;14

thỏa mãn.

b) Ta chứng minh số phần tử lớn nhất của M là 10. Để đánh giá số phần tử của M , ta liệt kê
các bộ ba phần tử của X có tích là số chính phương. Ta có các bộ ba phần tử có tích là số chính
phương là:

 1; 4;9  ,  2;6;12  ,  3;5;15  ,  7;8;14  .
16


Mỗi bộ nói trên có ít nhất một phần tử không thuộc M nên
phần tử. Khi đó, ta có 10 �M .Do đó, trong mỗi tập

M �11

. Giả sử tồn tại tập M có 11

 2;5 ,  6;15 ,  1; 4;9 ,  7;8;14 .
Có ít nhất một phần tử không thuộc M . Suy ra 3;12 �M . Do đó, trong mỗi tập

 1 ,  4 ,  9 ,  2;6 ,  5;15 ,  7;8;14
M �9
Có ít nhất một phần tử không thuộc M . Suy ra
vô lí.

1.2 Bài tập
1.2.1 Bài tập luyện tập
1. Chứng minh các tính chất sau của tập hợp
a)

A � B \A   A �B

b)

 A �B  \  A �B    A \ B  � B \ A 

c) E �F � E �F  E � E �F  F
d) E \ F  E � E �F  �
e)

E \  E \ F   F � F �E

f)

A �B  A �B, A �B  A �B  A, B �X 

g) A �B � A �B  B và A �B  A
n

h)

Ai �A, i  1, n � U Ai �A
i 1

2.Với mỗi tập X ta gọi

P X 

n

và

I

i 1

Ai �A

là tập tất cả tập con của X . Chứng minh:

A �B � P  A  �P  B 
A �Aj , i �j
3. Cho các tập A1 , A2 ,..., An sao cho i
. Chứng minh rằng có ít nhất một tập hợp Ai
, không chứa tập nào trong các tập còn lại.
17


4. Cho tập hợp S �� thỏa mãn các tính chất sau:
a) S ��;
b)

2  3 �S ;

c) x, y �S : x  y �S , xy �S .

Chứng minh rằng
5. Cho

1
�S
2 3

I   1, 2,..., n

và họ tập hợp

X 

i i�I

. Với mỗi tập con H của I ta đặt

PH  U X i ,QH  I X i .
i�H

Đặt





H k  M �I : M  k  1 �k �n 

i�H

. Chứng minh:


uk
�U QH ɣ I P H ne�
H �H k
�H �H k

� Q ɳ
uk
I�H P H ne�
H
�HU

H
H
� k
k

n 1
2
n 1
2

X   1; 2;3;...;9
6. Cho tập
. Chia tập thành hai tập con rời nhau A và B . Chứng minh rằng với
mọi cách chia, luôn tồn tại một tập chứa ba số thành một cặp số cộng.

7. Chứng minh rằng, có thể chia tập các số tự nhiên � thành hai tập con A, B có cùng lực lượng

 a,b  �A x B : n  a  b.
sao cho mọi số n �� tồn tại duy nhất cặp số
8.(CHDC Đức, 1970) Cho tập M có 22222 phần tử. Hỏi M có hay không 50 tập con
M i ,i  1,50 thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Mỗi phần tử của M đều là phần tử ít nhất một trong các tập con M i
b) Mỗi tập M i đều có đúng 1111 phần tử
c) Với hai tập

Mi , M j

bất kì

 i �j  , giao M

i

�M j

18

có đúng 22 phần tử


X   1; 2;3;...;16
9. Xét tập
tập con A của X gọi là có tính chất T nếu A không chứa ba phần
tử nào đôi một nguyên tố cùng nhau .
a) Hãy chỉ ra một tập con A của X gồm 10 phần tử và có tính chất T ?
b) Hãy tìm số phần lớn nhất của tập con A của X có tính chất T ?
X   1; 2;3;...; n
10. cho n số nguyên dương , n  5 . Tập
gọi là có tính chất T nếu có thể chia
X thành hai tập con rời nhau A, B khác rỗng sao cho ba phần tử bất kì cũng thuộc một tập hợp
thì tích của hai phần tử trong ba phần tử đó khác phần tử còn lại. chẳng hạn, khi n  6 thì X có

A   1; 2;3 , B   4;5;6
tính chất T và
.
7

n

41
a) Chứng minh rằng với mọi
, tập X có tính chất T .
b) Chứng minh rằng với mọi 42 �n �47 ,tập X vẫn có tính chất T .
c) Hãy xác định n lớn nhất sao cho tập X vẫn có tính chất T .
X   1; 2;3;...;3n   n �2 
11. Cho tập
n
a) Hãy chỉ ra một tập con B của A có 2 phần tử sao cho không có ba phần tử nào của B lập
thành một cấp số cộng khi n  2
n
b) Chứng minh rằng, mới mọi N �2 ,tồn tại tập con B của A có 2 phần tử sao cho không có
ba phần tử nào của B lập thành một cấp số cộng.
12. Cho dãy tập hợp

 An 

và

 Bn 

thỏa mãn

A1  � , B1   0 ,

An 1   x  1| x �Bn 

,

Bn 1   An �Bn  \  An �Bn  , n �1.
a) Xác định các tập An , Bn với n  2, 3, 4.
b   0
b) Xác định n sao cho n
.
X   1; 2;3;...; 2009
13. Cho tập
và hai tập con A, B có tổng số phần tử lớn hơn 2010. Chứng
minh rằng tồn tại ít nhất một phần tử của A và một phần từ của B có tổng bằng 2010.
14. Cho tập hữu hạn X , ta chọn ra 50 tập con A1 , A2 ,... A50 , mỗi tập đều chứa quá nửa số phần
tử của X .Chứng minh rằng, tồn tại tập con A của X sao cho số phần tử của A không vượt
quá 5 và

A ǹ�
Ai , i 1,50 .

19


15. Một lớp học có số học sinh được xếp loại Giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn học) đều
vượt quá 50% . Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh được xếp loại giỏi từ 2 môn trở lên (số
học sinh của lớp không ít hơn 10).
16. Cho n số nguyên dương. Xét tập





m  x   x1 ; x2 ;...; xn  | xi � 1;1 , i  1, n

.

a   a1 ; a2 ;...; an 
b   b1 ; b2 ;...; bn 
Với hai phần tử
và
thuộc M , ta định nghĩa
ab   a1b1 ; a2b2 ;...; anbn 
.
a

M
X

M
Với
và
, ta định nghĩa
aX   ax | x �X 
.
Chứng minh rằng với mỗi tập con A gồn k phần tử của M đều tồn tại
Phần tử a �M sao cho
k2
A ǣaA
2n .

S   1; 2;...; n
 * trên Sn thỏa mãn các điều kiện sau
17. Cho tập n
. Ta định nghĩa phép toán
a) a, b �S n : a  b �Sn
b) Nếu ab �n thì a  b  ab .
c) a, b �Sn : a  b  b  a (tính chất giao hoán).

a  b  c   a b  c
d)
(tính chất kết hợp).
a

b

a

c
b
e) Nếu
thì  c (luật giản ước).

Hãy xây dựng phép toán (*) khi n  11 và n  12 .
18. (VMO-2005) Tìm hiểu kết quả học tập ở một lớp học người ta thấy
2
a) Hơn 3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Toán cũng đồng thời đạt điểm Giỏi ở môn Vật lí.
2
b) hơn 3 số học sinh đạt điểm Giỏi ở môn Vật lí cũng đồng thời đạt điểm Giỏi ở môn Văn.
2
c) hơn 3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Văn cũng đồng thời đạt điểm Giỏi ở môn Lịch sử
2
d) hơn 3 số học sinh đạt điểm Giỏi ở môn Lịch sử cũng đạt điểm giỏi ở môn Toán.
Chứng minh rằng trong lớp có ít nhất một học sinh đạt điểm Giỏi ở cả bốn môn Toán, Vật lí,
Văn và Lịch sử.

20


1.2.2 Bài tập tử giải
1. Cho A và B là các tập hợp khác rỗng và có hữu hạn các phần tử. Biết rằng số phần tử nằm
trong cả A và B bằng một phần ba số phần tử và hợp của A và B gồm 9 phần tử. Tìm số phần
tử của mỗi tập?
X   1, 2,3,..., 49
2. Cho tập
. Tìm số k lớn nhất sao cho tồn tại tập con M của X có k phần
tử và không chứa sáu số lien tiếp nào.
3. Cho 2011 tập hợp A1 , A2 ,... A2011 các số nguyên thỏa mãn các điều kiện sau :
a)

Ak  2010, k  1; 2011

.



An ��U Ai �\ Ak , k  1; 2011
�i 1 �
b)
.
Ak �Am  1, k �m
c)
.
2011

Chứng minh rằng với số nguyên x bất kì, hoặc x không nằm trong tập hợp Ai nào hoặc x
nằm trong đúng hai tập.
4. (Tiệp Khắc -1973). Có bao nhiêu cặp tập con không giao nhau của một tập hơn X gồm n
phần tử .
3n  1
2 .
Đáp số:
5. Cho tập X gồm n phần tử. Với mỗi cặp tập con A1 , A2 của X ta tính số phần tử của
A1 �A2 . Chứng minh rằng tổng của các số nhận được bằng n.4n 1
6. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho với mỗi tập tùy ý có n phần tử, luôn tìm được 2004 tập
con đôi một không rời nhau.
2
7. Cho các số nguyên dương k và n thỏa mãn n  k  k  1 .Xét n tập A1 , A2 ,..., An thỏa mãn
các điều kiện sau
A  k , i  1, n
i) i
A �Aj  2k  1, i �j.
ii) i
A �A2 �... �An  1
a) Chứng minh rằng 1
.
X

A

A

...

A
1
2
n.
b) Tính số phần tử của
*
8. Cho P là một tập con khác rỗng của tập các số nguyên dương � thỏa mãn các điều kiện :
a) a, b �P : a  b �P .

*
b) q �� , q  1, x �P sao cho c không chia hết cho q .
*
Chứng minh rằng tập hợp � \ P là một tập hữu hạn.

21


9. Cho 100 tập hợp đôi một khác nhau sao cho cứ 10 tập bất kì thì có hai tập A, B mà A �B và
ba tập A, B, C bất kì thỏa mãn B � A và C � A thì B �C hoặc C � A chứng minh rằng ta
có thể chọn ra 12 tập A1 , A2 ,..., A12 trong số các tập đã cho sao cho
A1 � A2 �... � A12 .
10. (MOSP 1999) Cho X là tập hợp hữu hạn số nguyên dương và A là tập con của X . Chứng
minh rằng tồn tại tập con B của X sao cho mỗi phần tử của A đều chia hết cho một phần tử
thuộc B .
11. Xác định số nguyên dương k sao cho tập hợp
X   1990;1991;1992;...;1990  k 
Có thể chia thành hai tập rời nhau A và B sao cho tổng các phần tử của A bằng tổng các phần
tử của B
k �3  mod 4 
k �0  mod 4 
Đáp số :
hoặc
và k �92 .
X   1; 2;3;...;1989
12. (AIME 1989) Cho tập
. Xét tập S � X thỏa mãn :
Không có hai phần tử nào của S hơn kém nhau 4 hoặc 7 đơn vị. Hỏi số phần tử lớn nhất của S
là bao nhiêu?
X   1; 2;...; 2n
13. Cho n là số nguyên dương. Chia tập
thành 2 tập A, B rồi nhau. Già sử các
phần tử của A là
a1  a2  ...  a n
Và các phần tử của B là
b1  b2  ...  bn
Chứng minh rằng
a1  b1  a2  b2  ...  an  bn  n 2

.

14.(China 1996) Cho 11 tập hợp M 1 M 2 ,..., M 11 mỗi tập có 5 phần tử và thỏa mãn
M i ǹ�
Mj ��
, 1 i

j

11

.

Gọi m là số lớn nhất sao cho tồn tại các tập
M i1 , M i2 ,.., M im

Trong số các tập đã cho sao cho

22


m

I

k 1

M ik ��

Hỏi giá trị nhỏ nhất của m là bao nhiêu ?
Đáp số : m  4 .

 n �1 và A1 , A2 ,..., Am là m tập con của X
15. Cho tập X gồm n phần tử
các điểu kiện sau
A  3, i  1, n
a) i
.
A ǣ
A j� 1, i j
b) i
.
Chứng minh rằng tồn tại tập con A của X sao cho
các tập A1 , A2 ,..., Am đã cho.

 m �1

thỏa mạn


A ��
� 2n �và A khọng chứa tập nào trong

*
16. Chứng minh rằng có thể chia tập các số nguyên dương � thành hai tập rời nhau A và B
sao cho A không chứa cấp số cộng gồm 3 phần tử nào và B không chưa cấp số cộng gồm vô
hạn phần tử nào.
X   1; 2;3;...;3n
17. Cho n là số nguyên dương. Chia tập hợp
thành ba tập rời nhau A, B và
C , mỗi tập có n phần tử. Chứng mình rằng có thể chọn ra từ mỗi tập một phần tử sao cho

trong ba phần tử đó có một phần tử bằng tổng hai phần tử còn lại.
18. (CZE 1994) Chia tập các số nguyên dương N* thành n tập rời nhau
N* =A1A2 ... An.
Chứng minh rằng tồn tại tập Ap trong số n tập Ai nói trên sao cho tồn tại số nguyên dương m
và với mọi số nguyên dương k ta có thể tìm được k phần tử a1, a2, ..., ak thuộc Ap mà
0 < ai+1 - ai ≤ m, i= .
19. (China 1999) Cho tập A gồm n phần tử và A1, A2, ..., Ak là n tập con của A thỏa mãn:
| Ai | ≥ 2, 1 ≤ i ≤ n
Biết rằng, với mọi tập con C của A gồm hai phần tử, tồn tại tập Ai sao cho C Ai. Chứng minh
rằng
Ai Aj ≠ Ø, 1 ≤ i < j ≤ n.

23


20. (Iran 1999) Cho tập S = { 1;2;3;...;n} (n ≥ 2) và A1, A2, ..., Ak là các tập con của S sao cho với
mọi 1 ≤ p,q,r,s ≤ k ta có
|ApAqAr As | ≤ n - 2.
Chứng minh rằng k ≤ 2n - 2.
21. (IMO Shortlist 1996) Cho k,m,n là các số nguyên dương thỏa mãn
1 ≤ n ≤ m - 1 ≤ k. Hãy xác định số phần tử nhiều nhất của tập con S của tập X = {1;2;3;...;k} sao
cho không có n phần tử nào của S có tổng vượt quá m.

1.3

Hướng dẫn giải bài tập

1. a) Xét , ta có
hoặc
Nếu thì . Nếu thì nên
Trong cả hai trường hợp ta đều có . Do đó
(1)
Xét , ta có
hoặc

.

Nếu thì . Nếu thì do nên ). Do đó suy ra
. (2)
Từ (1) và (2) ta có
=
f) Xét , ta có . Suy ra hoặc hay hoặc . Do đó, . Suy ra
.

(1)

Xét , ta có hoặc hay hoặc . Suy ra hay Do đó
.

(2)

Từ (1) và (2) ta có .
Bạn đọc tự chứng minh các tính chất còn lại.

24


2. Giả sử . Ta chứng minh P( P( Thật vậy, xét M P(, ta có
M M M P(.
Do đó P( P(.
Giả sử P( P(. Ta chứng minh . Thật vậy, xét , ta có
P( P(
Do đó .
3. Giả sử i, Ai Aj. Khi đó có thể đánh số lại các tập hợp sao cho:

Ai

1

� A �.... � A �....
i2
in

Suy ra, có nhiều hơn n tập Ai, vô lí.
4. Ta có + nên
+ )2= 5 + 2
Suy ra 2 và
2(+ )=4+6
Suy ra
- = 5( + ) - (4 + 6
Vậy .
5. Trường hợp k ≤ : Xét

ta có:
I PH

H �H k

Giả sử

UQ

H �H k

H

PH, H Hk.

Khi đó, QH, H Hk. Suy ra, không có k tập nào cùng chứa X và như vậy có ít

nhất n -(k - 1) tập không chứa .
Vì n -(k - 1) ≥ ≥k nên H Hk : PH: vô lí.
Trường hợp k ≥ : Xét .

Khi đó, tồn tại H* Hksao cho QH*. Do đó

UQ

H �H k

Ta chứng minh .

I

H �H k

H

XXi, iH*

P H Điều đó tương đương với việc phải chứng minh

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×