Tải bản đầy đủ

Đạo hàm ,nguyên hàm , logarit , lượng giác

I : ĐẠO HÀM
Hàm số y= f(x)

( x )′ = α . x ∀ x > 0
∀ x∈ R
(e )′ = e
( a )′ = a .ln(a) ∀ 1 ≠ a >0 ; x∈

Hàm số hợp

(U

α−1

α

x

x

x


x

( ln( x) )′ = 1

( log a ( x) )′ = x. ln(a) ∀
1

( tan(x))′ = cos

R

1 ≠ a >0 ; x > 0

y=

u

u

u′

( ln(u ) )′ = u

u′

( log a (u ) )′ = u. ln(a)

x

2

x

( cot(u ) )′ =

1

n


u

u′

2

−1

( x )′ =

( e )′ = u ′ . E
( a )′ = u′ . a .ln(a)

( tan(u ) )′ = cos

1

( cot(x) )′ = sin


α −1
(x) ) = U ′ .α . U

u

∀x>0

x

α

( u )′ =
( y) ′ =

n

sin u ( x)

u
− u′
sin 2 u

u′

n

n.n x n−1

2

n.n u n −1

n. sin n−1 u ( x) .

( sin u ( x)) ′

= n . sin n−1 u ( x) . u′(x) . Cos u(x)

II : Nguyên hàm :
STT
1
2

3
4
5
6
7
8
9

Hàm số y= f(x)

∫ dx = x + c

x α +1
∫ x dx = α + 1 + c với α ≠ −1
α

Hàm số hợp

∫ du = u + c
u α +1
∫ u du = α + 1 + c với α ≠ −1
α

dx
= ln x + c
x
− cos(kx)
∫ sin(kx)dx = k + c
sin( kx)
∫ cos(kx)dx = k + c
dx
∫ cos 2 x = tan x + c
dx
∫ sin 2 x = − cot x + c



e kx
∫ e dx = k + c
ax
x
∫ a dx = ln a + c ∀ 1 ≠ a >0

u
u
e
du
=
e
+c




kx

du
= ln u + c
u

∫ sin(u )du = − cos u + c
∫ cos(u)du = sin u + c
du

∫ cos

2

u

du

∫ sin

2

u

= tan u + c
= − cot u + c

au
∫ a du = ln a + c
u


• DẤU HIỆU ĐỔI BIẾN SỐ :
Hàm chứa

STT

(a

2

+U 2 ( x )

)

n

a 2 − U 2 ( x)

U 2 ( x) − a 2

a−x
a+x

Cách đặt

Điều kiện t
−π π 
; 
 2 2

U(x) = a tan t

t∈ 

U(x) = a sin t

−π π 
;
t∈ 
 2 2 

U(x) = a cos t

t ∈[ 0 ; π ]

a
sin t
a
U(x) =
cos t

−π π 
;
t∈ 
\ {0}
 2 2 
π
t ∈[ 0 ; π ] \ { }
2

X = a cos(2t)

 π
t ∈ 0; 
 2

U(x) =

• HÀM LƯỢNG GIÁC : I = ∫ R(sin x)dx hoặc ∫ R(cos x)dx
STT

Hàm R chứa biến

1.

Sin x

3.

Cos x

5.

Sin x và cos x

Điều kiện

Cách đặt

t = cos x
R là hàm lẻ theo biến sin x
( thay sinx bởi − sinx ta được − R) t = ( a cosx + b )n
t = sin x
R là hàm lẻ theo biến cos x
( thay cosx bởi − cosx ta được − R) t = ( a sinx + b )n
t = tan x
R là hàm chẵn theo biến sin x và
cos x
t = cot x


LOOGARIT VÀ HÀM MŨ
I : HÀM MŨ − LŨY THỪA
HÀM MŨ :



a , b ∈ R \ { 0} ; n ∈ Z

an . am = am+n
m n

n

m

(a ) =(a ) =a

m.n

HÀM LŨY THỪA :
n

ab =

n

a
=
b

( a.b )m = am . bm

m n

a0 = 1

n

00 không tồn tại

Nếu
n

am
= am−n
n
a

n

a .

n

a

n

b

= mn

a

am =

( a)
n

n

a

m

b

a
n

ac =

m

ae

a nếu n lẻ
a

 am
am
  = m
b
b
1
a−1 =
a
 a  m  b  −m
  = 
a
b

(0 ;+ ∞ ); m,n ∈ Z+

m

c e
=
thì
n m

an =

n

∀a,b∈

nếu n chẵn

m
=an

TẬP XÁC ĐỊNH CỦA y = aα

∀ a > 1 thì am > an  m > n
∀ a ∈ ( 0;1 )a thì am > an  m < n
log a b = α

Nếu α ∈ N* thì D = R
Nếu α = 0 hoặc α ∈ Z− thì D = R\{0}
Nếu α∉ Z(α là hữu tỉ hoặc vô tỉ) thì D = (0; + ∞ )

log a a = 1

log a bc = log a b + log a c
log a (b / c) = log a b − log a c

log a 1 = 0

log a bα = α . log a b

log a aα = α

Nếu a > 1 thì log a b > log a c  b > c > 0

 aα

=b

Nếu a ∈ (o;1) thì log a b > log a c  0< b < c

a log a b = b
log a b =

log x b

log x a

log aα b =

log a b. log x a = log x b

1
. log a b
α

log a b. logb a = 1
1
log a n b = log a b
n

II : CÔNG THỨC LÔGARIT : ∀ a,b,c > 0 ; a ≠ 1; α ∈ R ta có :


CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
1. Hai góc hơn kém nhau π :
Cos (π + α) = − cos α

2. Hai góc hơn kém
π

Cos  + α  = − sin α
2


sin (π + α) = − sin α
π
nhau 2 :
π

sin  + α  = cos α
2


3. Công thức cộng :
Cos ( α ± β ) = cos α .cos β  sin α .sin β
Tan ( α ± β ) =

tan (π +α) = tan α

cot (π + α) = cot α

π

tan  + α  = − cot α
2


π

cot  + α  = − tan α
2


sin ( α ± β ) = sin α .cos β ± sin β .cos α

tan α ± tan β
→ nhớ “ cos cùng loài khác dấu ,sin cùng dấu khác loài , tan tử cùng mẫu trái ”
1 tan α . tan β

4. Công thức nhân đôi :
Sin 2α = 2 sin α .cos α

tan 2α =

Cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α

2 tan α
1 − tan 2 α

5. Công thức nhân ba :
Sin 3α = 3 sin α −4 sin3α

cos 3α = 4 cos3α − 3 cos α

6. Công thức hạ bậc :
1 − cos 2α
2
3 sin α − sin 3α
sin3α =
4
1 − cos 2α
tan2α =
1 + cos 2α

1 + cos 2α
2
3 cos α + cos 3α
cos3α =
4

Sin2α =

cos2α =

7. Công thức tích → tổng :
1
Cos α .cos β = [ cos( α + β ) + cos( α − β ) ]

sin α .cos β =

2
−1
[ cos( α + β ) − cos(α − β ) ]
Sin α .sin β =
2

8. Công thức tổng → tích :

α +β
α −β
. cos
2
2
α +β
α −β
. cos
Sin α + sin β = 2 sin
2
2
sin ( α ± β )
Tan α ± tan β =
cos α . cos β

α +β
α −β
. sin
2
2
α +β
α −β
. sin
Sin α − sin β = 2 cos
2
2

Cos α − cos β = − 2 sin

Cos α + cos β = 2 cos

9. Công thức tính sin α , cos α , tan α theo t = tan
Sin α =

2t
1+t2

;

cos α =

1
[ sin (α + β ) + sin (α − β ) ]
2

1− t2
1+ t2

;

tan α =

2t
1 −t 2

α
2

:


10.

Các công thức lượng giác thường dùng :

Sin2 α + cos2 α = 1
1 + cot2 α =

1 + tan2 α =

1
sin 2 α

1
cos 2 α

1 ± sin 2α = ( sin α ± cos α) 2

π

π

2 cos α   = 2 sin  ± α 
4

4

1
3
+
cos
4
α
2
Sin4 α + cos4 α = 1 − sin 2α =
2
4
5
+
3
cos

3
2
Sin6 α + cos6 = 1 − sin 2α =
4
8
Cos α ± sin α =

CÁC CÔNG THỨC TRONG TAM GIÁC
Định lí côsin :
a2 = b2 + c2 − 2bc .cos A
b2 = a2 + c2 − 2ac .cos B
c2 = a2 + b2 − 2ab .cos C
1. Định lí sin :
a
b
c
=
=
= 2R
2.
sin A sin B sin C
3. Công thức độ dài trung tuyến :

b2 + c2 a2
m =

2
4
2
a

;

a 2 + c2 b2
m =

2
4
2
b

;

a 2 + b2 c2
m =

2
4
2
c

4. Diện tích tam giác :

1
2

SΔABC = .a.ha =

1
1
1
abc
ab. sin C = bc. sin A = ac. sin B =
= Pr = P.( P − a ) .( P − b ) .( P − c )
2
2
2
4R

5. Tam giác vuông :
b2 = a. b′ ; c2 = a. c ′
;
1
1
1
= 2 + 2
;
2
h
b
c

h2 = b′.c ′
bc = ah



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×