Tải bản đầy đủ

Phép quay quanh (n 2) phẳng và bài tập

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ VÂN ANH

PHÉP QUAY QUANH ( n-2) PHẲNG
VÀ BÀI TẬP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

LỜI CẢM ƠN


Trong quá trình thực hiện khoá luận, em đã nhận đƣợc nhiều sự giúp đỡ
quý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thành cảm ơn các
thầy cô trong khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã tận tâm giảng
dạy, truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khoá
học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy Bùi Văn
Bình, thầy đã trực tiếp hƣớng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ và chỉ bảo em trong suốt
quá trình thực hiện khoá luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học – khoa Toán,

thƣ viện nhà trƣờng, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp
đỡ để em hoàn thành khoá luận này.
Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Trần Thị Vân Anh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan khoá luận “Phép quay quanh (n-2)-phẳng và bài tập” là
kết quả nghiên cứu của tôi dƣới sự hƣớng dẫn của thầy Bùi Văn Bình .
Tôi xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong khoá luận này không
trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác. Nếu sai xót tôi xin chịu hoàn
toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Trần Thị Vân Anh


MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1
B. NỘI DUNG................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VỀ PHÉP BIẾN HÌNH ................................. 3
1. Định nghĩa ..................................................................................................... 3
2.Tích của hai phép biến hình ........................................................................... 3
3. Phép biến hình aphin ..................................................................................... 4
4. Phép biến hình đẳng cự ................................................................................. 4
CHƢƠNG 2: PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM ......................................... 6
2.1. Góc định hƣớng .......................................................................................... 6
2.2. Phép quay quanh một điểm ........................................................................ 8
CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM
TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC............................................................... 9
3.1. Bài toán tính các đại lƣợng hình học ......................................................... 9
3.2. Bài toán quỹ tích ...................................................................................... 11
3.3. Bài toán cực trị ......................................................................................... 13
3.4. Bài toán dựng hình ................................................................................... 14
CHƢƠNG 4: PHÉP QUAY QUANH TRỤC TRONG KHÔNG GIAN ....... 26
4.1. Định hƣớng trong không gian .................................................................. 26
4.2. Phép quay quanh trục trong không gian .................................................. 27
4.4. Định lý ...................................................................................................... 29
CHƢƠNG 5: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH TRỤC................. 30


TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC............................................................. 30
5.1. Bài tập xác định phép quay ...................................................................... 30
5.2. Bài toán chứng minh tính chất hình học .................................................. 43
5.3. Phép quay trong E3 với bài toán cực trị ................................................... 52
KẾT LUẬN ..................................................... Error! Bookmark not defined.
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 58


A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một môn học khó trong chƣơng trình toán phổ thông bởi
ngoài tính chặt chẽ, lôgic, nó còn đòi hỏi tính trừu tƣợng hóa cao. Đặc biệt,
phép biến hình là một phần kiến thức tƣơng đối khó đối với học sinh. Phép
biến hìnhkhông chỉ cung cấp thêm một công cụ mới để giải bài toán mà nó
còn tập cho học sinh làm quen với các phƣơng pháp tƣ duy và suy luận mới..
Dựa vào một bài toán hình học cụ thể nào đó với phép biến hình chúng ta có
khả năng sáng tạo ra các bài toán mới khác nhau và đây là một việc làm mang
lại nhiều hứng thú trong việc nghiên cứu hình học.
Phép biến hình trong chƣơng trình phổ thông mới chỉ tập trung trong
phẳng mà trong không gian chỉgiới thiệu khái quát định nghĩa các phép dời
hình thông qua ví dụ cụ thể mà chƣa đi sâu nghiên cứu ứng dụng của nó vào
trong giải bài tập. Và với sự say mê yêu thích môn toán nên tôi quyết định lựa
chọn nghiên cứu về phép biến hình. Do khuôn khổ của khóa luận, do thời gian
và năng lực hạn chế nên tôi chỉ đi sâu nghiên cứu về phép quay và bài tập của
nó. Đó chính là lý do tôi chọn đề tài “Phép quay quanh  n  2 -phẳng và bài
tập”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về phép quay trong không gian E2 , E3 và các bài tập ứng
dụng phép quay để giải.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Phép quay trong không gian E2 , E3 .
- Phạm vi nghiên cứu: Giải các bài toán hình học sử dụng phép quay.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
-Trình bày cơ sở lí luận của phép quay trong không gian E2 , E3 .

1


-Trình bày phép quay trong không gian E2 , E3 .
-Xây dựng hệ thống bài tập minh họa ứng dụng phép quay trong không gian
E2 , E3 vào một số lớp bài toán cơ bản.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
-Nghiên cứu lý luận, sử dụng các công cụ toán học.
-Nghiên cứu tài liệu, sách, giáo trình.

2


B.NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VỀ PHÉP BIẾN HÌNH
1.Định nghĩa
Định nghĩa 1
Giả sử đã cho tập hợp bất kì T khác rỗng. Một song ánh f từ T vào
chính nó đƣợc gọi là phép biến hình của tập T.
Nếu điểm M  là ảnh của M qua phép biến hình f thì ta nói phép biến
hình f biến điểm M thành M  .
Định nghĩa 2
Cho f là một phép biến hình và H là một hình nào đó. Hình H’làtập
hợp các ảnh của các điểm của hình H gọi là ảnh của hình H qua phép biến
hình f .
Điểm M đƣợc gọi là điểm bất động (điểm kép hay điểm tự ứng) của
hình H nếu f  M   M .
Định nghĩa 3
Mỗi phép biến hình f biến điểm M thành điểm M  là song ánh nên
tồn tại phép đảo ngƣợc, kí hiệu f 1 , đó cũng là một song ánh và gọi f 1 là
phép biến hình nghịch đảo của f .
Phép biến hình f của tập T đƣợc gọi là phép biến hình đối hợp nếu
f 2  Id .Khi đó ta có f và phép biến hình nghịch đảo f 1 của nó trùng nhau.

Ví dụ
Ánh xạ đồng nhất trên tập hợp T là phép biến hình.
2.Tích của hai phép biến hình
Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập T đã cho. Với mỗi điểm
M , giả sử f : M  M  và g : M   M  . Phép biến hình biến M thành M  đƣợc

gọi là tích của hai phép biến hình f và g và ta kí hiệu tíchcủa hai phép biến

3


đổi đó là go f : M  M  .
3. Phép biến hình aphin
3.1.Định nghĩa
Phép biến hình của không gian Ơclit En  n  2,3 biến đƣờng thẳng thành
đƣờng thẳng gọi là phép biến hình aphin hay gọi tắt là phép aphin.
3.2. Tính chất
Tính chất 1 Một phép biếnhình của không gian E3 là phép aphin khi và chỉ
khi nó biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và ngƣợc lại.
Tính chất 2 Tập hợp các phép biến hình aphin lập thành một nhóm với phép
nhân ánh xạ.
Tính chất 3 Phép aphin trong không gian E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
Tính chất 4 Phép biến hình aphin bảo tồn quan hệ song song.
Tính chất 5 Phép biến hình aphin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng
định hƣớng.
Tính chất 6 Phép biến hình aphin bảo tồn phép cộng véctơ.
Tính chất 7 Phép biến hình aphin bảo tồn phép nhân véctơ với số thực.
3.3. Phân loại
Phép aphin trong E2  E3  đƣợc gọi là phép aphin loại 1 nếu hai tam giác
(hay tứ diện) xác định nó là cùng chiều.
Ngƣợc lại, ta bảo là phép aphin loại hai.
4. Phép biến hình đẳng cự
4.1. Định nghĩa
Phép biến hình của không gian En  n  2,3 bảo tồn khoảng cách giữa hai
điểm gọi là phép đẳng cự.
4.2. Tính chất
Tính chất 1 Phép đẳng cự là phép aphin.

4


Tính chất 2 Phép đẳng cự bảo tồn độ lớn của góc phẳng.
Tính chất 3 Phép đẳng cự biến đƣờng trònthành đƣờng tròn và trong không
gian E3 biến mặt cầu thành mặt cầu.
4.3. Điều kiện xác định phép đẳng cự
a) Trong E2 , phép đẳng cự đƣợc xác định bởi hai tam giác bằng nhau.
b) Trong E3 , phép đẳng cự đƣợc xác định bởi hai tứ diện bằng nhau.
Phân loại
Phép đẳng cự đƣợc gọi là phép dời hình nếu nó là phép aphin loại 1.
Ngƣợc lại, ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu.

5


CHƢƠNG 2: PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM
2.1. Góc định hƣớng
2.1.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng, cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay, nếu
ta chọn một chiều làm chiều dƣơng và chiều còn lại làm chiều âm, thì ta nói
rằng ta đã định hƣớng đƣợc mặt phẳng.
Thông thƣờng, ta chọn chiều quay xung quanh O ngƣợc chiều kim
đồng hồ làm chiều dƣơng, chiều ngƣợc lại làm chiều âm.
2.1.2.Góc định hƣớng giữa hai tia
Trong mặt phẳng  P  đã đƣợc định hƣớng, ta gọi góc định hƣớng giữa
hai tia có tia đầu là tia Ox và tia cuối là Oy , kí hiệu  Ox, Oy  , là góc thu đƣợc
khi quay Ox xung quanh O đến trùng với vị trí của tia Oy .
Quy ƣớc: Số đo của góc định hƣớng đó là dƣơng hay âm tùy theo cạnh đầu
quay xung quanh điểm O để nó trùng lên cạnh cuối theo chiều dƣơng hay âm
của mặt phẳng.
Ví dụ : Nếu Ox, Oy   45o thì  Oy, Ox   45o
Nhận xét
- Góc định hƣớng giữa hai tia Ox và Oy không xác định duy nhất.
- Chọn m gọi là giá trị đầu của  Ox, Oy  đó là giá trị thu đƣợc khi quay Ox
theo góc hình học bé nhất tới trùng Oy thì tập hợp tất cả các giá trị

Ox, Oy   m  k 2  k  
Hệ thức Chales
Trong mặt phẳng đã đƣợc định hƣớng cho ba tia Ox, Oy, Oz . Khi đó ta
có Ox, Oy    Oy, Oz    Ox, Oz 

6


2.1.3. Góc định hƣớng giữa hai đƣờng thẳng
Trong mặt phẳng  P  đã đƣợc định hƣớng, góc định hƣớng giữa hai
đƣờng thẳng a và b cắt nhau tại O trong đó a là đƣờng thẳng đầu, b là đƣờng
thẳng cuối, kí hiệu  a, b  là góc thu đƣợc khi quay a xung quanh O tới trùng b
Nếu a, b trùng nhau thì  a, b   k  k   .
Quy ƣớc: Giá trị của góc định hƣớng  a, b  là âm hay dƣơng tùy theo chiều
quay của đƣờng thẳng a theo chiều âm hay dƣơng của mặt phẳng.
Nhận xét
- Khi a, b cắt nhau thì giá trị định hƣớng  a, b  không duy nhất.
- Ta gọi m gọi là giá trị đầu đó là giá trị của góc định hƣớng thu đƣợc khi
quay a theo góc hình học bé nhất đến trùng b thì tập hợp giá trị của các góc
định hƣớng  a, b  là  a, b  m  k  k  
Hệ thức Chales
Trong mặt phẳng đã đƣợc định hƣớng, cho các đƣờng thẳng a, b, c . Khi
đó ta có  a, b    b, c    a, c 
2.1.4. Góc định hƣớng giữa hai véctơ
Trong mặt phẳng  P  định đã đƣợc hƣớng, cho hai véctơ

a

và b . Từ

một điểm O nếu vẽ hai véctơ OA  a , OB  b thì góc định hƣớng giữa hai véctơ
a

và b , kí hiệu   a , b  là góc giữa hai véctơ a và b .

Quy ƣớc: Số đo của góc định hƣớng đó là dƣơng hay âm tùy theo véctơ đầu
quay xung quanh điểm O để nó trùng lên véctơ cuối theo chiều dƣơng hay âm
của mặt phẳng.
Ví dụ : Nếu   a, b   45o thì   b , a   45o
Nhận xét:
- Nếu a  0 hoặc b  0 thì góc định hƣớng   a, b  là tuỳ ý.

7


- Chọn m gọi là giá trị đầu của   a , b  đó là giá trị thu đƣợc khi quay a theo
góc hình học bé nhất tới trùng b thì tập hợp tất cả các giá trị

 

 a, b  m  k 2  k 



2.1.5. Định lí
Trong mặt phẳng đã đƣợc định hƣớng, cho hai điểm phân biệt A, B . Tập
hợp tất cả các điểm M thuộc mặt phẳng định hƣớng

M     MA, MB   m  m  k 2  là đƣờng tròn đi qua hai điểm A, B .
2.2. Phép quay quanh một điểm
2.2.1. Định nghĩa
Trong E2 cho điểm O và một góc định hƣớng  . Phép biến hình biến
điểm M thành điểm M  thoả mãn :
+ Nếu M  O thì M   O
+ Nếu M không trùng O thì OM  OM  và  OM , OM   
đƣợc gọi là phép quay tâm O với góc quay  .
Kí hiệu QO hoặc Q  O,   .
2.2.2. Tính chất
Tính chất 1 Phép quay Q  O,   là phép dời hình.
Tính chất 2 Phép quay Q  O,   là phép đối hợp khi và chỉ khi   k.180o .
Tính chất 3 Tập các điểm bất động của phép quay Q  O,  
  k 2 : Phép quay Q  O,   có điểm bất động duy nhất là tâm O .
  k 2 : Phép quay Q  O,   là phép đồng nhất .

Tính chất 4 Tích của hai phép quay là một phép tịnh tiến hoặc là một phép
quay.

8


CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM
TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC
3.1. Bài toán tính các đại lƣợng hình học
Trong hình học ta thƣờng gặp các bài toán tính các đại lƣợng nhƣ : độ
dài, số đo góc,…Để giải bài toán này ta phải thiết lập mối quan hệ giữa những
cái đã biết và cái cần tìm, sau đó tính các đại lƣợng theo yêu cầu bài toán.
3.1.1.Giải bài toán tính các đại lƣợng hình học
Dùng phép biến hình để giải các bài toán tính toán là sử dụng phép biến
hình để đƣa các yếu tố, các hình ở những vị trí không thuận lợi cho việc tính
toán về các vị trí thuận lợi cho việc tính toán (cùng một tam giác, cùng một
đƣờng tròn,…). Phép quay là công cụ ƣu việt để giải các bài toán tính các đại
lƣợng hình học .
3.1.2. Bài tập
Bài 1 Cho tam giác cân ABC  AB  AC  có BAC  80 . Bên trong tam giác lấy
điểm M sao cho MBC  30O , MCB  10O . Tính MAC .
Giải
Xét phép quay QA60 C  E
0

A

 AC  AE

O .
 AC, AE  60





Do đó, ACE là tam giác

M

đều (Hình 1)

B

C

Đồng thời tia AE nằm trong BAC .
E

Vì ACE đều nên ACE  60O

Hình 1

ABC cân tại A có BAC  80O

 ACB  50O .
Do đó, BCE  10O

9


Ta có AB  AC  AE nên 3 điểm B, C , E cùng nằm trên đƣờng tròn tâm A
1
2

 EBC  EAC  30O
Dễ thấy BMC  BEC (g.c.g), do đó CE  CM  CA .
Các điểm E , M , A cùng nằm trên một đƣờng tròn tâm C , nên
2MAE  MCE  20O

 MAE  10O
Vậy MAC  MAE  EAC  10O  60O  70O
Bài 2 Bên trong tam giác nhọn ABC với độ dài các cạnh a, b, c . Lấy một điểm
O sao cho từ đó nhìn tất cả các cạnh dƣới cùng một góc 120o . Giả sử
AO  u, BO  v, CO  w . PQR là tam giác đều, bên trong nó có một điểm E thoả

mãn điều kiện PE  a, QE  b, RE  c . Tính độ dài cạnh RQ .
Giải
Xét phép quay QR60 P  Q
0

R

E  E

E'

PE  QE'  a

Ta có {

QE  b

L

EE '  RE  c EER

E

Suy ra EEQ  ABC (Hình 2)
Qua E kẻ đƣờng thẳng song song

Q

P

với QP cắt các cạnh PR và QR tƣơng ứng tại K và L .

K

Hình 2

Khi đó QR60 K  L
0

E  E'

 QR60  KE    LE
o

 QLE  ELE  ELQ  120O . Do đó, điểm L của EEQ tƣơng ứng với
điểm O của ABC .

10


 LE  u, LE  v, LQ  w
Ta có RQ  RL  LQ  KL  w (vì KRL đều)
 LE  EK  w  u  v  w

Vậy RQ  u  v  w
3.2. Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm (còn gọi là một
hình) có tính chất  cho trƣớc. Để khẳng định quỹ tích điểm M có tính chất 
là hình H nào đó ta thực hiện các bƣớc sau :
Phần thuận: Chứng minh mỗi điểm có tính chất  đều phải thuộc hình H .
Phần đảo: Chứng minh mỗi điểm thuộc hình H đều có tính chất  .
3.2.1.Giải bài toán tìm quỹ tích
Giả sử f là một phép biến hình f : M  M '
- Nếu quỹ tích điểm M là hình H thì quỹ tích điểm M  là f  H  .
- Nếu quỹ tích điểm M ' là hình H  thì quỹ tích điểm M là f 1  H  .
Để giải bài toán quỹ tích, thông thƣờng ta phải chứng minh cả phần
thuận và phần đảo. Nhƣng giải bài toán bằng cách sử dụng phép biến hình nói
chung, phép quay nói riêng, nhờ vào tính chất 1-1 mà cả phần thuận và phần
đảo đƣợc giải quyết cùng lúc. Đây là ƣu điểm lớn của việc sử dụng phép biến
hình vào giải bài toán quỹ tích.
3.2.2. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác đều ABC . Tìm tập hợp điểm M nằm trong tam giác sao
cho MA2  MB 2  MC 2 .
Giải
Xét phép quay QB60 M  M 
0

AC

11


Suy ra MA  M C , MB  M B  MM  (Hình3)

C

Ta có M C 2  M M 2  MA2  MB 2  MC 2

M'

Do đó tam giác MM C vuông tại M 
Từ đó suy ra CM B  150O
Dễ thấy AMB  CM B .
M

Suy ra AMB  BM C  150O .

B

A

Chứng tỏ M thuộc cung chứa
góc 1500 dựng trên dây AB .

Hình 3

Vậy tập các điểm M là cung 150o nằm trong tam giác ABC dựng trên
dây AB , trừ A, B .
Đảo lại, nếu điểm M thuộc cung đó, thì phép quay QB60 biến điếm M
O

thành điểm M  và cung AMB thành CM B có số đo góc 150o.
Vì  BMM  đều, do đó MM C  150O  60O  900 . Tam giác MM C vuông
tại M  nên ta có M C 2  M M 2  MA2  MB 2  MC 2 . Do MA  M C , MB  M B ta suy
ra MA2  MB 2  MC 2 .
Bài 2 Cho hai điểm cố định trên đƣờng tròn  O, R  và M là điểm di động trên
AB . Trên tia AM lấy điểm I sao cho AI  BM .

Giải
Giả sử I là một điểm của quỹ tích : I thuộc tia AM và AI  BM . Khi đó,
tồn tại một phép quay QP biến BM thành AI , sao cho B  A và M  I
A'

QP B  A

 PB  PA và  PB, PA   .

P

Ta cũng có QP M  I

I

Suy ra



 

M

O'



 

  BM , AI  BM , AM  MB, MA



O
B

A
Hình 4

12


Từ  PB, PA   MB, MA   suy ra tâm quay P thuộc AB , hơn nữa do
PA  PB nên P là điểm chính giữa của cung AB (Hình 4)

Vì M là điểm di động trên AB và I  QP  M  nên quỹ tích củađiểm I là

 

cung tròn QP AB  AB  AA , tâm O  QP  O  .
3.3. Bài toán cực trị
Bài toán cực trị là bài toán liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của đại lƣợng nào đó.
3.3.1. Giải bài toán cực trị
Giải bài toán cực trị bằng phép biến hình ta thƣờng chuyển đại lƣợng
cần xác định về đại lƣợng đã biết nhờ phép biến hình rồi thực hiện yêu cầu
bài toán. Với việc sử dụng phép quay ta thƣờng đƣa bài toán về bài toán tính
toán trƣớc rồi giải bài toán cực trị.
3.3.2. Bài tập
Bài toán Cho tam giác ABC có BC  a , AC  b , C     120O  . Tìm điểm M
trong mặt phẳng sao cho MA  MB  MC nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Giải
Xét phép quay QC60 M  M 
O

A'

A  A

A

Khi đó ta có MA  M A .
Mặt khác CMM  đều

M'

M

 MM   CM (Hình 5)

B

Vậy
MA  MB  MC  BM  MM   M A  BA

C

Hình 5
Để MA  MB  MC nhỏ nhất ta cần tìm vị trí điểm M sao cho độ dài

đƣờng gấp khúc BMM A ngắn nhất.

13


Dễ thấy trong tam giác ABC có CB  a , CA  b , BCA  60O   .
Theo định lí hàm số cosin, ta có AB2  a2  b2  2abcos  60o   
Mặt khác, độ dài đƣờng gấp khúc BMM A ngắn nhất khi M và M  nằm
trên BA . Điều đó chứng tỏ CMA  CAA  60O . Điểm M thuộc đƣờng tròn
ngoại tiếp tam giác ACA .
Vậy điểm M cần tìm là giao của đƣờng thẳng BA và đƣờng tròn ngoại
tiếp tam giác ACA . Giá trị nhỏ nhất của tổng MA  MB  MC là
MA  MB  MC  a 2  b2  2abcos  60o   

3.4. Bài toán dựng hình
Bài toán dựng hình có dạng “ Dựng hình H có tính chất ”.
Giải một bài toán dựng hình là nêu ra một số hữu hạn những phép dựng
theo các tiên đề để cuối cùng ta đƣợc hình phải dựng.
Lời giải của bài toán dựng hình gồm các bƣớc sau:
Bƣớc 1(phân tích): Giả sử đã có hình cần dựng, từ đó thiết lập mối liên hệ
giữa yếu tố phải tìm và yếu tố đã cho để đƣa ra cách dựng.
Bƣớc 2(cách dựng): Chỉ ra hữu hạn có thứ tự các phép dựng cơ bản và bài
toán dựng hình cơ bản cần phải thực hiện để có hình cần dựng.
Bƣớc 3(chứng minh): Là việc chỉ ra hình cần dựng ở bƣớc hai đã thoả
mãn yêu cầu bài toán.
Bƣớc 4(biện luận): Kết luận số nghiệm của bài toán.
3.4.1.Giải bài toán dựng hình
Khi giải bài toán“ Dựng hình H có tính chất ”, nếu ta tìm đƣợc một
phép biến hình f của mặt phẳng biến hình H thành hình H’ sao cho:
{

f

thì hình H dựng đƣợc.

14


3.4.2. Bài tập
Bài 1 Cho hai đƣờng tròn đồng tâm 1 và  2 . Dựng một hình vuông có hai
cạnh đối là hai dây cung của hai đƣờng tròn đó.
Giải
1. Phân tích
Giả sử dựng đƣợc hình vuông ABCD có AB và CD tƣơng ứng là hai
dây cung của hai đƣờng tròn 1 và 2  A 1 , B 2 , C T3 , D 4 
Vì AB  CD và  AB, CD   


2







nên tồn tại phép quay QA 2 (hoặc QA2 ) sao

cho D  B (Hình 6)




Giả sử QA 2 2  2 , vì D2 nên B 2
Suy ra, B  1 2
O'

Từ đó ta có cách dựng
B'

2. Cách dựng
- Dựng A1

B
C



A



- Dựng đƣờng tròn 2  QA 2  2 

C'



O

D

- Dựng các đỉnh B  1 2 , D  QA2  B 


D'



và C  QB 2  A
Vậy ABCD là hình vuông cần dựng.
Hình 6

3. Chứng minh
Ta có




2



Q
 2
A  2 
 D2


 D  Q 2  B  , B 
A
2


Tƣơng tự ta có C 2

15




Theo tính chất của phép quay có góc bằng  ta có
2

AB  AD, CB  BA, AB  AD, CB  BA  CB // AD , CB  BA  AD, CB  BA

Vậy ABCD là hình vuông có AB và CD tƣơng ứng là hai dây cung của
hai đƣờng tròn đồng tâm 1 và 2.
4. Biện luận
Bài toán có lời giải nếu 1 2   tức là R1  R2  OO  R1  R2 , với
R1 , R2 lần lƣợt là bán kính của 1 và 2.

Nếu 1 và 2 cắt nhau tại hai điểm thì ta đƣợc hai điểm B , do đó có
hai nghiệm hình, và nếu lấy đối xứng qua AO ta đƣợc hai hình vuông khác
cũng thỏa mãn điều kiện của bài toán. Vậy mỗi điểm A trên 1 cho nhiều
nhất 4 nghiệm hình.
Do điểm A lấy tùy ý trên 1 nên ta có vô số nghiệm hình.
Bài 2 Cho điểm O và hai đƣờng thẳng song song d , d  . Dựng đƣờng tròn tâm
O cắt d và d  lần lƣợt ở P, Q, P, Q sao cho PQ  PQ  a , a là đoạn thẳng đã

cho.
Giải
1. Phân tích
Giả sử đã dựng đƣợc đƣờng tròn  O  cắt d và d  lần lƣợt tại những cặp
điểm P, Q và P, Q sao cho PQ  PQ  a .
Vì d // d  nên tứ giác PQQP là hình thang cân.
Gọi M , N lần lƣợt là trung điểm của PP và QQ ;
K , I , J lần lƣợt là trung điểm của MN , PQ, PQ (Hình 7)

I , J là giao điểm của đƣờng thẳng đi qua O và vuông góc với d .

16


P'

M

d'

Q'

J

d1

N

K
O

d
P

I

Q

Hình 7

Từ đó suy ra K là trung điểm của đoạn IJ ; M , N nằm trên đƣờng
1
2

thẳng đi qua K , song song với d và MK  NK  MN 

a
; P, P lần lƣợt là
4

giao điểm của d và d  với đƣờng thẳng vuông góc với OM tại M .
Nhƣ vậy ta dựng đƣợc đƣờng tròn tâm O đi qua P .
2. Cách dựng
- Dựng đƣờng thẳng đi qua O và vuông góc với d , d  lần lƣợt tại các điểm I , J
- Dựng K là trung điểm của đoạn IJ .
- Dựng đƣờng thẳng d1 đi qua K và song song với d .
- Dựng trên d1 hai điểm M , N sao cho MK  NK 

a
4

- Dựng giao điểm P của đƣờng thẳng d và đƣờng thẳng vuông góc với OM
tại điểm M .
Đƣờng tròn tâm O đi qua P chính là đƣờng tròn cần dựng.
3. Chứng minh
Theo cách dựng, MN là đƣờng trung bình của hình thang cân PQQP
nên ta có PQ  PQ  2MN  4KM  a
4. Biện luận
Bài toán chỉ có một nghiệm hình.

17


3.5. Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh có dạng A  B, trong đó:
A là giải thiết bao gồm các yếu tố đã biết (điểm, đƣờng thẳng, đƣờng tròn…);
những quan hệ đã biết (liên thuộc, song song, vuông góc,…); những yếu tố về
lƣợng (độ dài, góc,…).
B là kết luận cần đƣợc khẳng định là đúng.
“” là những suy luận hợp lôgic dựa trên giả thiết có mặt trong A, các định
lí, các định nghĩa,… để khẳng định B đúng.
3.5.1. Giải bài toán chứng minh
Nếu ta thiết lập đƣợc mối quan hệ giữa các điểm hay đƣờng đã cho trong
giả thiết A với các điểm hay đƣờng trong kết luận B thông qua một phép biến
hình nào đó thì nhờ những tính chất đƣợc bảo toàn qua phép biến hình đó ta
có thể nhận đƣợc kết quả về: Tính đồng quy, tính thẳng hàng; Các quan hệ
song song, vuông góc, liên thuộc; Các đoạn thẳng bằng nhau hay các góc
bằng nhau…giúp suy ra điều phải chứng minh.Phép quay là một công cụ ƣu
việt trong việc sử dụng để đƣa các kết quả trên .
3.5.2.Bài tập
Bài 1 Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong một hình bình hành MNPQ với
A  MN , B  NP , C  PQ , D  QM . Gọi M  là chân đƣờng vuông góc hạ từ M
xuống AD , N  là chân đƣờng vuông góc hạ từ N xuống AB , P là chân đƣờng
vuông góc hạ từ P xuống BC , Q là chân đƣờng vuông góc hạ từ Q xuống CD
. Chứng minh rằng tứ giác M N PQ là hình vuông.

Chứng minh
Gọi O là tâm của hình bình hành MNPQ .Khi đó, O cũng là tâm của
hình vuông ABCD (Hình 8)

18


Xét phép quay QO90 A  B
0

M

M  M1

 QO90  AM    BM1 
O

Q1



M'

D

 AM  BM1

O
 AM , BM1  90



Q

Q'

N' N

Suy ra, BM1 đi qua trực tâm H của ABN .
Xét phép quay QO90 D  A
O

A

M1

O
C

P'

B

Q  Q1

 QO90  DQ   AQ1 
O

P

 DQ  AQ1
 DQ  AQ1
 
hay 
O
 DQ  AQ1
 DQ, AQ1  90



Hình 8



Vì DQ // NB nên NB  AQ1 . Do đó, AQ1 đi qua trực tâm H của ABN .
Suy ra, H là điểm chung của hai tạo ảnh của MQ và MA (do MQ  DQ )
trong phép quay QO90 . Vậy M là tạo ảnh của H trong phép quay QO90
O

O

QO90 M  H
O

 DA   AB
Suy ra, QO90 MM   NN 
O

M   N

Chứng minh tƣơng tự, ta có QO90 N   P
O

P  Q
Q  M 

Vậy tứ giác M N PQ là hình vuông. (đpcm)
Bài 2 Cho góc xOy  900 . Trên tia Ox lấy các điểm A, D . Trên tia Oy lấy các
điểm B, E thỏa mãn OA  OB và OD  OE . Các đƣờng vuông góc hạ từ O và D

19


xuống AE cắt AB lần lƣợt tại K và H . Chứng minh rằng K là trung điểm đoạn
HB .
Chứng minh
Xét phép quay QO90 A  B
0

B  B
DE
QO90 K  K 

Khi đó

0

H  H

, vì K  AB nên K   BB

, vì H  AB nên H   BB (Hình 9)
B’

K’
O
H’

E

D
A

B
H

K

y

x
Hình 9
Từ AE  OK suy ra AE // OK 

 DH  EH 
 DH  EH 

Phép quay QO90  DH    EH  . Từ đó ta có 
0

Mặt khác AE  DH

20


Suy ra 3 điểm A, E, H  thẳng hàng hay H   AE .
Xét AH B có AO  OB (tính chất phép quay) và OK  // AH 
Do đó OK  là đƣờng trung bình của AH B
 K  là trung điểm của H B
Vậy K là trung điểm của HB (theo tính chất phép quay) (đpcm).
Sáng tạo bài toán
Ví dụ 1 Giả sử cho trƣớc điểm A trong mặt phẳng, B, C là hai điểm tuỳ ý.
Thực hiện phép quay QA60 B  C1
o

B1  C
 BB1  C1C
O
 BB1 , C1C  60





Suy ra 

Bằng cách đặt các điểm B, C, B1, C1 vào các vị trí thích hợp với phép
quay QA60 đƣợc thực hiện nhƣ trên ta sẽ xây dựng đƣợc nhiều bài toán :
o

Bài 1 Cho ba điểm C , A, B thẳng hàng theo thứ tự đó. Về cùng một phía của
đƣờng thẳng CB dựng các tam giác đều ABC1 và ACB1 . Gọi E , F lần lƣợt là
trung điểm của BB1, CC1 . Chứng minh rằng tam giác AEF là tam giác đều.
Chứng minh
C1

Xét phép quay QA60 B  C1
o

B1  C

Q

60o
A

B1
F

 BB1   C1C 

E

Phép quay QA60 biến trung
o

điểm E của BB1 thành trung điểm F C

A
Hình 10

21

B


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×