Tải bản đầy đủ

Dùng các biến thức vectơ vào giải các lớp bài toán chứng minh tập hợp, GTLN, GTNN trong phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
———————o0o——————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

DÙNG CÁC KIẾN THỨC VÉCTƠ VÀO GIẢI
LỚP CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TẬP HỢP
, GTLN,GTNN TRONG PHẲNG

Chuyên ngành: HÌNH HỌC

Giảng viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Văn Vạn
Sinh viên: Nguyễn Thị Giang
Lớp: K36A SPToán
HÀ NỘI, 5/2014


LỜI CẢM ƠN

Bài khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình

của Thầy Nguyễn Văn Vạn. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành
tới Thầy Nguyễn Văn Vạn người đã dành cho em sự hướng dẫn nhiệt
tình, chu đáo và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu
và thực hiện khóa luận.
Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen với
việc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khó tránh khỏi
những sai sót. Em mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của quí
thầy cô để cho bài khóa luận được tốt hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thị Giang


LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân
cùng sự hướng dẫn nhiệt tình chỉ bảo của Thầy Nguyễn Văn Vạn em
đã hoàn thành bài khóa luận của mình.
Em xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân nghiên cứu cùng với
sự hướng dẫn của Thầy Nguyễn Văn Vạn.

Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thị Giang


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một bộ phận cấu thành Toán học. Hình học luôn là môn học
khó đối với học sinh bởi đây là môn học có tính chặt chẽ tính logic và tính
trừu tượng cao hơn các ngành khác của toán học.Trong việc giải bài toán
hình học, việc lựa chọn một công cụ thích hợp là một việc làm cần thiết
giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian công sức và đạt được hiệu quả cao.
Em thấy rằng các kiến thức véctơ chính là một công cụ đắc lực giúp học
sinh giải một số bài toán hình học phẳng một cách rõ ràng ngắn gọn. Với
mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này em
chọn đề tài " Dùng các kiến thức véc tơ vào giải lớp các bài toán
chứng minh tập hợp, GTLN, GTNN trong phẳng " làm đề tài khóa


luận tốt nghiệp Đại học cho mình.

2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Các kiến thức véc tơ liên quan đến giải toán tìm tập hợp,
GTLN, GTNN (trong phẳng).
Phạm vi : Các kiến thức véc tơ liên quan đến việc giải toán tìm tập hợp,
GTLN, GTNN trong phẳng

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về các kiến thức véc tơ liên quan đến bài toán tìm tập hợp,
GTLN, GTNN.

4. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu để cung cấp kiến thức cơ bản cho việc vận dụng các kiến thức
véc tơ để giải quyết các bài toán tập hợp, GTLN, GTNN.


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu
có liên quan.

Nguyễn Thị Giang

iv

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

Nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương này nhằm trang bị những kiến thức cơ bản về véc tơ liên quan
đến các bài toán tập hợp, GTLN, GTNN.
Chương 2: Sử dụng kiến thức véc tơ để giải quyết các bài toán tập hợp.
2.1. Sử dụng tâm tỉ cự để giải quyết các bài toán tập hợp :
- Phương pháp.
- Đề xuất các dạng toán và phương pháp giải.
- Bài tập tự giải.
2.2. Dùng điều kiện đồng phương để giải toán tập hợp :
- Phương pháp.
- Đề xuất các dạng toán và phương pháp giải.
- Bài tập tự giải.

Chương 3: Kiến thức véc tơ với bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất.
3.1 Sử dụng phương pháp véc tơ :
- Các tính chất áp dụng.
- Các ví dụ.
- Bài tập tự giải.
3.2 Tâm tỉ cự với bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất :
- Đề xuất các dạng toán và phương pháp giải.
- Ví dụ.
- Bài tập tự giải.

Nguyễn Thị Giang

v

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Mục lục
Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Mở đầu

iii

1 Kiến thức chuẩn bị
1
1.1 Định nghĩa véctơ và các tính chất của nó . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Định nghĩa véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ trong phẳng . . . 4
1.2.1 Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ trên một
trục tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Biểu thức tọa độ của các phép toán véc trong phẳng 5
1.3 Tâm tỉ cự của hệ điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Một số ví dụ về tâm tỉ cự . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Các điều kiện đồng phương của hai véctơ . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Phát biểu điều kiện đồng phương của hai véctơ . . . 8
1.4.2 Phân tích một véctơ theo hai véctơ không đồng phương 8
1.5 Chứng minh các đẳng thức véc tơ . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2

Sử dụng kiến thức véc tơ để giải quyết các bài toán
hợp
2.1 Sử dụng tâm tỉ cự để giải quyết các bài toán tập hợp . .
2.1.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Bài toán tổng quát và các ví dụ . . . . . . . . .
vi

tập
11
. . 11
. . 11
. . 11


Khóa luận tốt nghiệp

2.2

2.1.3
Dùng
2.2.1
2.2.2
2.2.3

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

Bài tập đề nghị . . . . . . . . . .
điều kiện đồng phương để giải toán
Phương pháp . . . . . . . . . . .
Bài toán tổng quát và các ví dụ .
Bài tập đề nghị . . . . . . . . . .

. . . . .
tập hợp
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.
.

3 Kiến thức véc tơ với bài toán GTLN, GTNN)
3.1 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp véctơ
3.1.1 Các tính chất áp dụng . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tâm tỉ cự với bài toán tìm GTLN,GTNN . . . . . .
3.2.1 Bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận

Nguyễn Thị Giang

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

13
14
14
14
15

.
.
.
.
.
.
.

18
18
18
19
23
24
24
24
27

vii

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Định nghĩa véctơ và các tính chất của nó
Định nghĩa véctơ

Định nghĩa véctơ

Véctơ là một đoạn thẳng được qui định một chiều, chiều của véctơ
là thứ tự hai đầu mút của đoạn thẳng. Đầu mút thứ nhất được gọi là gốc
(điểm đầu), đầu mút thứ hai được gọi là ngọn (điểm cuối) của véctơ.
Đường thẳng chứa véctơ được gọi là phương của véctơ, độ dài đoạn
thẳng được gọi là độ dài của véctơ.
−→
Véctơ được kí hiệu bằng hai chữ in: AB, . . . hoặc bằng một chữ thường




a , b ,...
−→
−→


Độ dài véctơ AB được kí hiệu là | AB |, véctơ →
a là | →
a |

1.1.2

Các tính chất

Quan hệ đồng phương, không đồng phương

Hai véctơ được gọi là đồng phương nếu chúng cùng nằm trên cùng một
đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song và được kí hiệu là




a // b .

1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn




Nếu hai véctơ →
a , b nằm trên hai đường thẳng cắt nhau thì ta nói hai
véctơ đó không đồng phương.

Quan hệ cùng chiều, ngược chiều




Cho hai véctơ đồng phương →
a và b .



• Trường hợp →
a và b nằm trên hai đường thẳng song song.
Trong trường hợp này, ngọn của hai véctơ nằm về cùng một phía đối
với đường thẳng đi qua gốc của chúng, thì ta nói hai véctơ đó cùng chiều.
Nếu ngọn của chúng nằm về hai phía khác nhau với đường thẳng đi qua
gốc của chúng, thì ta nói hai véctơ đó ngược chiều.




• Trường hợp →
a và b nằm trên cùng một đường thẳng.

−c = →
Trong trường hợp này, ta xét một véctơ →
0 nằm trên đường thẳng




−c cùng chiều với
song song với đường thẳng chứa hai véctơ a và b .Nếu →





−c cùng chiều với →

a và ngược chiều với b ,hoặc →
b và ngược chiều với →
a




thì ta nói hai véctơ a và b ngược chiều nhau.






Kí hiệu hai véc tơ →
a và b cùng chiều là: →
a ↑↑ b và ngược chiều là:




a ↑↓ b .
Nguyễn Thị Giang

2

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

Quan hệ bằng nhau, đối nhau







- Hai véc tơ →
a và b được gọi là bằng nhau và được ký hiệu →
a = b , nếu
chúng cùng chiều và cùng độ dài.







- Hai véc tơ →
a và b được gọi là đối nhau và được ký hiệu→
a =−b ,
nếu chúng ngược chiều và cùng độ dài.

Tóm lược các phép toán véctơ

• Phép cộng hai véctơ:



Qui tắc tam giác: Cho hai véctơ →
a và b . Tổng của hai véctơ đó là véctơ
→ −

−c được xác định như sau: Từ một điểm A bất kì, ta dựng −
AB = →
a và

−−→ →
−→


BC = b . Véctơ AC chính là c . Qui tắc hình bình hành: Cho hai véctơ




a và b .

−−→ →
−→ −
Từ một điểm A bất kì, ta dựng AB = →
a và AD = b và dựng hình

−→ −→ −−→ − →
bình hành ABCD, thì véctơ AC = AB + AD = →
a + b.
Nguyễn Thị Giang

3

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn


− −


−c + →

• Phép trừ hai véctơ: Hiệu của hai véctơ →
a và b là →
c , nếu →
b =→
a.

−→ →
−→ →
−−→ →


Từ một điểm A bất kì, ta dựng AB = a và AC = b khi CB = c và


−c = →

−c là véc tơ hiệu.
kí hiệu→
a − b . Ta gọi →
• Phép nhân véctơ với một số thực:






Cho →
a = 0 và một số thực m = 0. Tích của →
a và m là một véc tơ b
thỏa mãn đồng thời các tính chất sau:









| b |=| m | . | →
a |. Khi đó: →
a ↑↑ b khi m > 0 và →
a ↑↓ b khi m < 0
.

1.2

Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ trong
phẳng

1.2.1

Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ trên một trục
tọa độ

• Tọa độ của một véc tơ.


Cho véc tơ →
a trên trục tọa độ Ox mà véctơ đơn vị là →
e , khi đó tồn tại




duy nhất số thực m sao cho a = m. e . Số thực m được gọi là tọa độ của



a và kí hiệu :→
a (m).



Độ dài của a là | m |⇔| →
a |=| m |
• Tọa độ của một điểm trên trục tọa độ.
−−→
Cho điểm M trên trục tọa độ Ox khi đó ta xác định được véctơ OM và
−−→
kí hiệu m là tọa độ của véctơ OM . Khi đó ta nói m là tọa độ của điểm M
và kí hiệu là M (m) hoặc M = (m).

Gỉa sử A = (a), B = (b) là hai điểm trên trục tọa độ, khi đó:

−→ −−→ −→



AB = OB − OA = b.→
e − a.→
e = (b − a).→
e
−→
Suy ra : AB .(b-a) • Biểu thức tọa độ của các phép toán véc tơ trên trục
tọa độ.
Cho a = (x1 ) và b = (x2 ).

Nguyễn Thị Giang

4

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn



−c = →

−c = (x + x ).
đặt →
a + b ⇒→
1
2






u = m. a . Khi đó u (mx1 )
1.2.2

Biểu thức tọa độ của các phép toán véc trong phẳng

• Tọa độ của một véc tơ và một điểm:

Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho véctơ →
a được phân tích một cách duy nhất

− →
− →
− →

theo cơ sở i , j ( i , j là véctơ đơn vị tương ứng trên Ox, Oy ) và giả sử





phân tích đó có dạng →
a = m. i + n. j . Cặp số thực (m, n) được gọi là

tọa độ của véctơ →
a . m được gọi là hoành độ, n được goi là tung độ của




a . Kí hiệu: a = (m, n).
Cho điểm M trong hệ tọa độ (O, i, j). Khi đó tọa độ của điểm M chính
−−→
−−→
là tọa độ của vectơ OM , kí hiệu M (m, n) với OM (m, n) hoặc M = (m,n).
• Công thức tìm tọa độ của các véc tơ theo tọa độ các đầu mút:
Cho A(x1 , y1 ) và B(x2 , y2 ) theo định nghĩa ta có:
−→
−−→








OA = x1 i + y1 j và OB = x2 i + y2 j .
−→ −−→ −→




Suy ra AB = OB − OA = (x2 − x1 ) i + (y2 − y1 ) j .
−→
Do đó:AB = (x2 − x1 , y2 − y1 )
• Biểu thức tọa độ của các phép toán véc tơ:



Cho hai vectơ →
a (x1 , y1 ) và b (x2 , y2 ) ta có:




a = b ⇔ x1 = x2 và y1 = y2 .



−c thì →
−c (x + x ; y + y ).
Nếu→
a + b =→
2
1 2
1






Nếu m. a = c thì c (mx1 ; my1 ).


Độ dài của véctơ →
a được xác định bởi:→
a = x21 + y12 .
−→
Khoảng cách giữa hai điểm A, B là độ dài của véctơ AB

1.3
1.3.1

Tâm tỉ cự của hệ điểm
Định nghĩa

Cho tập hợp n điểm A1 , A2 , ..., An (n > 1) và n số thực x1 , x2 , ....., xn
với x1 + x2 + ... + xn = 0. Bao giờ cũng dựng được duy nhất một điểm M
sao cho:

−−−→
−−−→
−−−→ →

x1 M A1 + x2 M A2 + .... + xn M An = 0
.
Nguyễn Thị Giang

5

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

Ta gọi M là tâm tỉ cự của tập hợp điểm đã cho.
Các số thực x1 , x2 , ..., xn được gọi là tỉ cự của M đối với A1 , A2 , ..., An
Chứng minh:
Giả sử M là điểm dựng được, khi đó hệ thức đã cho có thể viết lại:
−−−→
−−−→ −−−→
−−−→ −−−→
−−−→ −−−→
x1 M A1 + x2 (M A1 + A1 A2 ) + x3 (M A1 + A1 A3 ) + ... + xn (M A1 + A1 An ) =


0
(1)
−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
Hay (x1 + x2 + ... + xn ).M A1 = x2 A2 A1 + x3 A3 A1 + ... + xn An A1
Vì x1 + x2 + ... + xn = 0 do đó ta có:
−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
A1 M = k2 A1 A2 + k3 A1 A3 + ... + kn A1 An
(2)

xi
(2 ≤ i ≤ n)
x1 + x2 + ... + xn
Từ hệ thức (2) ta suy ra các dựng điểm M:
Từ điểm A1 , ta dựng:
−−−→ −−−−→
−−−→ −−−→
−−−→
−−−→
A1 B1 = k2 A1 A2 ; B1 B2 = k3 A1 A3 ; ...Bn−1 M = kn A1 An
Rõ ràng M là điểm duy nhất, vì nếu M là điểm thỏa mãn (1) ta có:
−−−→
−−−→
−−−→ →

x1 M A1 + x2 M A2 + ... + xn M An = 0
(3)
−−−→ →

Lấy (1) trừ (3)các vế tương ứng ta được: (x1 + x2 + ... + xn )M M = 0
Vì x1 + x2 + ... + xn = 0, do đó M ≡ M . Điểm M thỏa mãn điều kiện (1)
được gọi là tâm tỉ cự của tập n điểm đã cho. Nếu x1 = x2 = ... = xn = 1
thì M được gọi là trọng tâm của tập hợp điểm.
Nếu tập hợp điểm đã cho gồm 3 điểm không thẳng hàng và
x1 = x2 = x3 = 1 thì M là trọng tâm của tam giác lập bởi 3 điểm đó.
Trong đó ki =

Nếu tập hợp điểm đã cho gồm 2 điểm và
x1 = x2 thì M là trung điểm của đoạn lập bởi 2 điểm đó.

1.3.2

Một số ví dụ về tâm tỉ cự

Ví dụ 1. Cho hai điểm A, B. Dựng điểm M sao cho:

−−→
−−→ →

2M A + 3 M B = 0
Giải:

−−→ −−→ →
−−→
−→

Từ 2M A+3M B = 0 , ta suy ra 5AM = 3AB . Đẳng thức đó chứng tỏ
M là điểm thuộc đoạn AB và chia đoạn AB theo tỉ số:AM : AB = 3 : 5
Nguyễn Thị Giang

6

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

Hiển nhiên M là điểm duy nhất, vì nếu M là điểm thỏa mãn:
−−→
−−→
−−−→
−−−→






2M A + 3M B = 0 thì ta suy ra 5M M = 0 hay M M = 0 suy ra
M ≡M
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Tìm điểm M sao cho:

−−→
−→
−→ →

6M A + 2AB + 3AC = 0
Giải:
Từ giả thiết ta suy ra:
−−→
−→
−→ →

6M A + 2AB + 3AC = 0
−−→
−→
−→
⇔ 6AM = 2AB + 3AC
−−→ 1 −→ 1 −→
⇔ AM = AB + AC
3
2
Từ đẳng thức đó ta tìm M như sau:
−−→ 1 −→
−−→ 1 −→
−−→ −−→ −−→
Ta dựng AB = AB và AC = AC . Khi đó AM = AB + AC
3
2
−−→ −−→
Vậy M là đỉnh của một hình bình hành dựng trên các véctơ AB ; AC
Hiển nhiên M là điểm duy nhất không phụ thuộc vào cách rút gọn biểu
thức.
Ví dụ 3. Cho ngũ giác đều ABCDE . Dựng điểm G sao cho:

−→ −−→ −→ −−→ −−→ →

GA + GB + GC + GD + GE = 0
Giải:
Giả sử G là điểm đã dựng được, khi đó :
−→ −−→ −→ −−→
−−→
GA + GB + GC + GD = −GE
Gọi M, N là trung điểm của đoạn BC và AD , ta có:
−→ −−→
−−→ −−→ −→
−−→
GA + GD = 2GN ; GB + GC = 2GM
Gọi K là trung điểm của đoạn M N , ta có:
−−→ −−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
GM + GN = 2GK ⇒ 4GK = −GE ⇒ GK cùng phương với GE
⇒ G thuộc đoạn KE mà KE qua M N ; do đó G thuộc đường kính của
đường tròn ngoại tiếp ngũ giác mà đầu mút là E .
Lập luận tương tự G thuộc đường kính của đường tròn ngoại tiếp ngũ giác
mà đầu mút là A.
Nguyễn Thị Giang

7

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

Điều đó chứng tỏ G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều
ABCDE .

1.4

Các điều kiện đồng phương của hai véctơ

1.4.1

Phát biểu điều kiện đồng phương của hai véctơ





Cho hai véctơ →
a và b khác 0 . Điều kiện cần và đủ để hai véctơ đồng



phương là tồn tại một số thực M sao cho: b = m→
a
Hệ quả:








i) Nếu →
a và b không đồng phương và x→
a + y b = 0 thì x = y = 0.



ii) Giả sử →
a và b không đồng phương, khi đó:








x→
a+ y b = x →
a + y b = 0 thì x = y = 0.
x = x

y = y
iii) Véctơ không luôn đồng phương với mọi véctơ khác không.




iv) Giả sử trong (O, i, j) cho →
a (x1 , y1 ); b (x
2 , y2 )
x = kx


1
2


a đồng phương b ⇔ tồn tại k sao cho
y1 = ky2
1.4.2

Phân tích một véctơ theo hai véctơ không đồng phương

− −

Cho hai véctơ không đồng phương →
a và b , →
u là một véctơ bất kì. Nếu







tồn tại các số thực x và y sao cho u = x a + y b thì ta nói →
u đã được
phân tích theo hai véctơ đã cho. Cặp véctơ đã cho được gọi là cơ sở của


u .Cặp (x, y) là tồn tại và duy nhất.
Chứng minh:

−→ →
−−→
−→


Cho →
a = OA, b = OB là hai véctơ không đồng phương và →
u = OC
là một véctơ tùy ý.
−→ −−→ −−→

Kẻ CA //OB; CB //OA. Khi đó →
u = OC = OA + OB .
Nguyễn Thị Giang

8

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

−−→
−→ −

Vì OA, →
a là hai véctơ đồng phương nên tồn tại số x để OA = x→
a.
−−→


Tương tự OB = y b .




Vậy →
u = x→
a +y b .

1.5
1.5.1

Chứng minh các đẳng thức véc tơ
Định nghĩa

Một đẳng thức mà trong đó các hạng tử là véctơ được gọi là đẳng thức
véctơ. Mỗi vế của đẳng thức véctơ gọi là biểu thức véctơ.
Để chứng minh sự đúng đắn của một hoặc nhiều đẳng thức ta cần sử
dụng một vài đẳng thức quen thuộc sau:
• Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB , thì với mọi điểm M ta có:
−−→ −−→ −−→
2M I = M A + M B
Ta gọi đẳng thức này là công thức trung điểm của một đoạn thẳng.
• Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì:
−→ −−→ −→ →
−−→ −−→ −−→ −−→

GA+ GB + GC = 0 và với mọi điểm M ta có: 3M G = M A+ M B + M C .
Ta gọi đẳng thức này là công thức trọng tâm tam giác ABC

1.5.2

Các ví dụ

Ví dụ 4. Cho hai đoạn thẳng AB và CD . Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

−−→ −→ −−→ −−→ −−→
2M N = AC + BD = AD + BC
.
Giải:

Nguyễn Thị Giang

9

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

−−→ −−→ −→ −−→
−−→ −−→ −−→ −−→
Từ M N = M A + AC + CN và M N = M B + BD + DN .
−−→ −→ −−→
Suy ra 2M N = AC + BD.
−−→ −−→ −−→
Chứng minh tương tự: 2M N = AD + BC .
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Chứng
minh rằng:

−→ −→ −−→ −→
3OG = OA + OB + OC
.
Giải:

−→ −−→ −→
−→ −→ −−→ −→
−→
Ta có V P = OA+ OB+ OC = 3OG+(GA+ GB+ GC) = 3OG = V T .
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng nếu cho n điểm A1 , A2 , ..., An (n > 1)và n số
thực x1 , x2 , ....., xn với x1 + x2 + ... + xn = 0 sao cho:
−−−→
−−−→
−−−→ →

x1 Mo A1 + x2 Mo A2 + .... + xn Mo An = 0
. Thì với mọi M ta luôn có:
−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
x1 M A1 + x2 M A2 + .... + xn M An = (x1 + x2 + ... + xn )M Mo
Giải:
Thật vậy, ta có:

−−−→
−−−→
−−−→
x1 M A1 + x2 M A2 + .... + xn M An
=
+
=

−−−→
−−−→
−−−→
x1 Mo A1 + x2 Mo A2 + .... + xn Mo An
−−−→
(x1 + x2 + ... + xn )M Mo
−−−→
(x1 + x2 + ... + xn )M Mo

.
Nguyễn Thị Giang

10

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Chương 2
Sử dụng kiến thức véc tơ để giải
quyết các bài toán tập hợp
2.1
2.1.1

Sử dụng tâm tỉ cự để giải quyết các bài toán
tập hợp
Phương pháp

Nếu trong một bài toán hình học mà giả thiết hoặc kết luận của nó chứa
biểu thức dạng:
−−−→
−−−→
−−−→
x1 M A1 + x2 M A2 + ... + xn M An
(∗).
hoặc liên quan đến biểu thức dạng (∗), thì điều đó gợi cho ta dùng tâm
tỉ cự trong (∗) để rút gọn (∗) về dạng đơn giản nhất và tiến hành giải
bài toán trong trường hợp đó. Phần lớn những bài toán như tìm tập hợp
điểm, khảo sát độ dài các véctơ, khảo sát tính thẳng hàng của ba điểm...
ta thường sử dụng tâm tỉ cự để giải chúng.

2.1.2

Bài toán tổng quát và các ví dụ

Có hai bài toán tìm tập hợp các điểm thường gặp:
Dạng 1: Cho các điểm điểm A1 , A2 , ..., An và n+1 số dương x1 , x2 , ....., xn .
Tìm tập hợp điểm M sao cho:

−−−→
−−−→
−−−→
|x1 M A1 + x2 M A2 + ... + xn M An | = k
Để giải bài toán trên ta cần thực hiện các bước sau:
- Rút gọn biểu thức véctơ trong dấu độ dài về một véc tơ phụ thuộc M .
- Tìm điểm cố định có liên quan tới M .

11


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

Ví dụ 7. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Tìm tập hợp điểm M sao
cho:
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→ −−→ −−→
| M A + 2M B + 3M C + 4M D |=| 2M A − M B − M C |
.
Giải:
Nhìn vào vế trái của giả thiết ta thấy tồn tại duy nhất điểm Mo , là tâm
tỉ cự của bốn điểm đã cho với các tỉ cự tương ứng là 1,2,3,4.Ta có:

−−→
−−→
−−→
−−→
−−−→
| M A + 2M B + 3M C + 4M D |=| 10Mo M |= 10.Mo M
.
−−→ −−→ −−→
−→ −→
Vế phải: | 2M A − M B − M C |=| AB + AC| = 2AD ( D là điểm cố định)
Từ các kết quả trên suy ra 5Mo M = AD. Điều này cho thấy:
- Nếu AD = 0, thì tậpM là điểm Mo .
AD
.
- Nếu AD = 0, thì tập M là đường tròn tâm Mo , bán kính R =
5
Dạng 2:Cho các điểm điểm A1 , A2 , ..., An và n+1 số dương x1 , x2 , ....., xn .Với
điểm M thuộc đường thẳng (d) (hoặc đường tròn (O) hoặc một hình F
nào đó), ta xác định M sao cho:

−−−→
−−−→
−−−→ −−→
x1 M A1 + x2 M A2 + ... + xn M An = M N
Tìm tập hợp N khi M thay đổi trên (d) (hoặc đường tròn (O) hoặc một
hình F nào đó) Để giải bài toán trên ta cần thực hiện các bước sau:
- Rút gọn biểu thức véctơ ở vế trái về một véc tơ phụ thuộc M .
- Chỉ ra tính chất của M với N
Ví dụ 8. Cho hai điểm A, B và đường tròn (O) . Với mỗi điểm M thuộc
−−→
−−→
(O) ta xác định điểm N sao cho: M N = 2M I . Tìm tập hợp N khi M thay
đổi trên (O)
Giải:
Gọi I là trung điểm của đoạn AB , ta có:
−−→
−−→
−−→ −→
−−→
−−→
−→
M N = 2M I ⇔ M I + IN = 2M I ⇔ IM = −IN .
Nguyễn Thị Giang

12

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

Gọi O là điểm đối xứng với O qua I . Vì I và O cố định, do đó O cố định.
Hiển nhiên O N = O M = R không đổi (R là bán kính đường tròn (O)).
Tập hợp N là một đường tròn tâm O , bán kính R.

2.1.3

Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B . Tìm tập hợp điểm M sao cho:
−−→ −−→
i) | M A + M B |= k (k là số dương cho trước)
−−→
−−→
ii) | aM A + bM B |= k
(a > 0, b > 0).
Hướng dẫn: ii) Gọi M0 là tâm tỉ cự của hệ điểm A, B với tỉ cự a, b.
−−→
−−→
−−−→
Khi đó: | aM A + bM B |= |(a + b)M M0 |
Từ đó tìm được tập hơp điểm M theo M0
Bài 2: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. Tìm tập hợp điểm M sao cho:

−−→
−−→ −−→
−−→ −−→
| 3M A − 2M B + M C |=| M B − M A |
Hướng dẫn: ii) Gọi M0 là tâm tỉ cự của hệ điểm A, B, C với tỉ cự 3, -2, 1.
−−→
−−→ −−→
Khi đó: | 3M A − 2M B + M C |= 2M M0
Từ đó tìm được tập hơp điểm M theo M0
Bài 3: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. Tìm tập hợp điểm M sao cho:

−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
| aM A + bM B + cM C |=| bM A + cM B + aM C |

(a + b + c = 0)

Hướng dẫn:
Ký hiệu
M1 là điểm thỏa mãn điều kiện:

−−→
−−−→
−−→ →

aM1 A + bM1 B + cM1 C = 0
M2 là điểm thỏa mãm điều kiện:
−−→
−−−→
−−→ →

bM2 A + cM2 B + aM2 C = 0
Từ điều kiện đã cho ta suy ra M1 M = M2 M , do đó M là đường trung
trực của đoạn M1 M2 nếu M1 = M2 ,cả mật phẳng nếu M1 ≡ M2 .
Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng (d). Với mỗi điểm M thuộc
−−→ −−→
−−→
(d) ta xác định điểm N sao cho M N = M A + 2M B . Tìm tập hợp N khi
M biến thiên trên (d).
Nguyễn Thị Giang

13

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

Bài 5: Cho tứ giác ABCD và đường tròn tâm (O). Với mỗi điểm M thuộc
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→
(O) ta xác định điểm N sao cho M N = M A + M B + M C + M D. Tìm
tập hợp điểm N khi M biến thiên trên (O).
Bài 6: Cho tam giác ABC và một số thực k thuộc đoạn [0, 1]. Tìm tập hợp
−−→ −−→ −−→
−−→
điểm M sao cho 2M A− M B + M C = k BC khi k thay đổi trên đoạn [0, 1].

2.2

Dùng điều kiện đồng phương để giải toán tập
hợp

Bằng cách dùng điều kiện đồng phương của hai véctơ, ta có thể giải
được một số dạng toán hình học liên quan đến các tính chất của véctơ,
điểm trong đó có dạng toán tìm tập hợp điểm

2.2.1

Phương pháp

i) Chọn cơ sở là việc làm đầu tiên không thể thiếu được. Ta thường chọn
những cặp véctơ có độ dài xác định và góc tạo bởi chúng đã biết.
ii) Biểu thị các yếu tố cần xem xét có trong bài toán bằng véctơ (nếu các
yếu tố đó được cho bởi điểm hoặc đường thẳng hoặc đoạn thẳng... tức
là các yếu tố đang xét không phải là véc tơ)
iii) Hãy phân tích các véctơ đang xét qua cơ sở đã chọn và dùng điều kiện
đồng phương.

2.2.2

Bài toán tổng quát và các ví dụ

Ví dụ 9. Cho hai đoạn thẳng AB và CD. Trên đoạn thẳng AB ta lấy
điểm M , trên đoạn CD ta lấy điểm N sao cho AM/AB = CN/CD. Tìm
tập hợp trung điểm của đoạn thẳng M N , khi M và N thay đổi.
Giải:

−→
−−→
Ta chọn AB và CD làm cơ sở . Kí hiệu S, P, Q lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AC, M N, BD. Ta có:
−→ −−→ −−→
2SP = AM + CN
Nguyễn Thị Giang

14

(∗)
K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

−→ −→ −−→
2SQ = AB + CD
(∗∗)
−−→
−→
−−→
−−→
AM
CN
Từ
=
= m ⇒ AM = mAB và CN = mCD
AB
CD
Thay các kết quả đó vào (*) ta suy ra:
−→
−→ −−→
−→
2SP = m(AB + CD) = mSQ
Điều đó chứng tỏ P thuộc SQ.
Đảo lại với P ∈ SQ ta cần chỉ ra tồn tại M và N thuộc các đoạn AB và
−−→
−→
−−→
−−→
CD sao cho AM = mAB và CN = mCD và P là trung điểm của đoạn
MN.
−→
−→
Thật vậy, tồn tại k sao cho SP = k SQ. Nếu ta dựng các điểm M và N
−−→
−→
−−→
−−→
sao cho AM = k AB và CN = k CD, thì ta chứng minh được P là trung
điểm của M N .

2.2.3

Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho tam giác ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
−−→ −→ −−→
ABC . Chứng minh rằng: nếu H thỏa mãm điều kiện OH = OA + OB +
−→
OC , thì H là trực tâm của tam giác và tìm tập hợp trọng tâm G của tam
giác.
Hướng dẫn:

−−→ −−→ −→
−−→
Ta có AH = OB + OC = 2OM
(M là trung điểm của BC )
−−→ −−→
Suy ra AH//OM
Mà OM ⊥ BC ⇒ AH ⊥ BC hayAH là đường cao trong tam giác ABC
kẻ từ A.
−−→ −→ −→
−−→
Tương tự ta có BH = OA + OC = 2ON
( N là trung điểm của AC)
Bài 2: Cho Oxy , trên cạnh Ox ta lấy các điểm A1 và A2 .Trên Oy lấy
các điểm B1 và B2 . Gỉa sử đoạn A1 B1 cắt A2 B2 tại M và kí hiệu N, E, F
Nguyễn Thị Giang

15

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng A2 B1 ; A1 B2 ; OM
−−→
−−→ −−→
−−→
Ta đặt OA2 = pOA1 ; OB2 = q OB1 .

−−→ −−→ −−→
−−→ −−→
i) Hãy phân tích véctơ OM , ON , OE theo OA1 , OB1
ii) Tìm tập hợp điểm N

(N ∈ EF )

Hướng dẫn:

−−→
−−→
−−→
i) OM = mOA1 + (1 − m)OB1 .
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
OM = nOA2 + (1 − n)OB2 = mOA1 + (1 − m)OB1 .
⇒ np = m và (1 − n)q = 1 − m.
1−q
p(1 − q)
;n =
(∗)
p−q
p−q
−−→ 1 −−→ 1 −−→ 1 −−→ q −−→
OE = OA1 + OB2 = OA1 + OB
2
2
2
2
−−→ 1 −−→ 1 −−→ p −−→ 1 −−→
ON = OA2 + OB1 = OA1 + OB
2
2
2
2
−→ p(1 − q) −−→ q(p − 1) −−→
OF =
OA1 +
OB1
2(p − q)
2(p − q)
−→
−−→
ii) Ta lập các véctơ EF và N F
−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→
−→
EF = OF − OE; N F = OF − ON và chứng minh EF cùng phương
−−→
với N F . Sử dụng i)
⇒m=

Bài 3: Cho ABCD là hình thang (AB//CD) và M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, CD. Gọi O là giao điểm của các đường chéo của
hình thang. Chứng minh rằng O ∈ M N .
Hướng dẫn:
−−→ −−→
Ta lập các véc tơ M N , OM
−−→ −−→ −−→
−−→
−−→
M N = ON − OM và chứng minh OM cùng phương với M N .
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD và điểm M thuộc AC M ∈ AC(M =
A, C). Trên cạnh AB, BC ta lấy các điểm tương ứng P và Q sao cho
M P//BC và M Q//AB . Gọi N là giao điểm của AQ và CP .

−−→
−→
−−→
−−→
−−→
−−→
i) Đặt AM = k AC , hãy phân tích DM và DN theo cơ sở DA và DC .
Nguyễn Thị Giang

16

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

ii) Chứng minh rằng ba điểm D, M, N thẳng hàng hãy tìm tập hợp điểm
N
Hướng dẫn:
i)

−−→
−−→
−−→
ii) D, M, N thẳng hàng ⇔ DM cùng phương với DN ⇔ ∃t : DN =
−−→
tDM
và t = 1 − k + k 2 .

Nguyễn Thị Giang

17

K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×