Tải bản đầy đủ

Dạng toàn phương trong không gian euclid và unita

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

——————————o0o——————————

VŨ THỊ DƯƠNG

DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG
KHÔNG GIAN EUCLID VÀ UNITA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
Ths. PHẠM THANH TÂM

HÀ NỘI, 5/2014


Lời cảm ơn
Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành là kết quả của quá trình học tập,

tích lũy kinh nghiệm, là sự hướng dẫn chỉ đạo tận tình của Ths. Phạm
Thanh Tâm.
Em tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy. Đồng thời em xin
chân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và đặc biệt là thầy cô
giáo trong tổ Hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian
học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Vũ Thị Dương

1


Lời cam đoan
Khóa luận của em hoàn thành nhờ sự cố gắng lỗ lực của bản thân,
cùng sự chỉ bảo tận tình của Ths. Phạm Thanh Tâm, những ý kiến đóng
góp của thầy cô trong tổ, trong khoa và các bạn trong nhóm.
Em xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp đề tài này
em hoàn thành nhờ tìm hiểu và trích dẫn trung thực từ các tài liệu tham
khảo.
Sinh viên
Vũ Thị Dương

2


Lời nói đầu
Sau bốn năm đại học, bộ môn "Hình học" đã thực sự cuốn hút đối
với em mặc dù đó là bộ môn không phải dễ để tiếp cận. Các đối tượng
trong hình học là các đối tượng có tính chặt chẽ và tính trừu tượng hóa
cao. Đại số tuyến tính là một môn rất quan trọng trong Hình học, chuyên
nghiên cứu về Không gian vecto, hệ phương trình tuyến tính và các phép
biến đổi tuyến tính.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về Đại số tuyến tính, đặc
biệt là những vấn đề về dạng toàn phương áp dụng vào không gian Euclid
và không gian Unita. Dưới góc độ một sinh viên sư phạm Toán và trong
phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của Ths. Phạm
Thanh Tâm, em xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của mình về đề
tài: "DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN EUCLID VÀ UNITA."


3


Mục lục
1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Ánh xạ tuyến tính và ánh xạ đa tuyến tính. . . . .
1.1.1 Ánh xạ tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Ánh xạ đa tuyến tính. . . . . . . . . . . . .
1.2 Dạng toàn phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Ma trận của dạng song tuyến tính . . . . .
1.3 Không gian vecto Euclid. . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Tích vô hướng và không gian vecto Euclid
1.3.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao . . . . . . . . .
1.4 Không gian afin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Không gian Ơclid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Không gian vecto Unita. . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN EUCLID VÀ UNITA
2.1 Định lý cơ bản về Dạng toàn phương trong một không gian
Euclide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính cực trị của một dạng toàn phương. . . . . . . . . . . . .
2.3 Sự rút gọn đồng thời của hai dạng toàn phương. . . . . . . .
2.4 Sự rút gọn phương trình tổng quát của mặt bậc hai. . . . . .
2.5 Tính chất hình học của một mặt bậc hai. . . . . . . . . . . .
2.5.1 Tâm của một mặt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Một số mặt trọng tâm. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Các mặt hình nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Các mặt Paraboloic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Các mặt suy biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

5
5
5
5
6
6
6
6
8
8
9
9
9
10

11
11
14
22
25
28
28
29
33
35
37


Khóa luận tốt nghiệp

2.6
2.7

Sự phân loại của một mặt bậc hai từ phương trình tổng quát. 39
Dạng toàn phương Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Kết luận

Vũ Thị Dương

50

5

K36A SP Toán


Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1

Ánh xạ tuyến tính và ánh xạ đa tuyến tính.

1.1.1

Ánh xạ tuyến tính.

Định nghĩa 1.1. Cho V, W là hai không gian vecto trên trường K. Ánh
xạ f : V → W được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu:






f (→
α + β ) = f (→
α ) + f (β)


f (k →
α ) = kf (→
α)




với mọi →
α , β ∈ V và mọi k ∈ K.
Ánh xạ tuyến tính cũng còn được gọi là đồng cấu tuyến tính, hay một
cách vắn tắt là đồng cấu.
1.1.2

Ánh xạ đa tuyến tính.

Định nghĩa 1.2. Giả sử V và W là những không gian vecto trên trường
K, k là một số nguyên dương. Ta gọi ánh xạ:
ϕ : V × V × ... × V −→ W
k

là một ánh xạ tuyến tính (hay k-tuyến tính) nếu nó tuyến tính với từng
thành phần trong tích V × V × ... × V khi cố định các thành phần còn lại,
tức là:
ϕ(α1 , ..., λαi + µβi , ..., αk ) = λϕ(α1 , ..., αi , ..., αk ) + µϕ(α1 , ..., βi , ..., αk )

với mọi λ, µ ∈ K và với mọi α1 , ..., αk , βi ∈ V, i = 1, ..., k .
Khi W = K thì ϕ được gọi là một dạng k - tuyến tính trên V.
Khi k = 2 thì ϕ được gọi là một ánh xạ song tuyến tính.

6


Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 1.1. Nếu ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕk : V −→ K là ánh xạ tuyến tính thì
ϕ : V × V × ... × V → K
(α1 ,α2 ,...αk )→ϕ1 (α1 ).ϕ2 (α2 )...ϕk (αk )

là một dạng k - tuyến tính trên V.

1.2
1.2.1

Dạng toàn phương.
Định nghĩa

Định nghĩa 1.3. Giả sử V là một không gian trên trường số thực.
Ta gọi ánh xạ η : V × V → R là một dạng song tuyến tính trên V nếu nó
tuyến tính với mỗi biến khi cố định biến còn lại.
Dạng song tuyến tính η được gọi là đối xứng nếu:
∀ α, β ∈ V

η(α, β) = η(β, α),
1.2.2

Định nghĩa

Định nghĩa 1.4. Giả sử η : V × V → R là một dạng song tuyến tính đối
xứng trên V. Khi đó, ánh xạ:
H : V −→
α −→

R
H(α) = η(α, α)

gọi là dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η .
1.2.3

Ma trận của dạng song tuyến tính

Giả sử V là không gian vecto thực n-chiều và (ε) = {ε1 , ..., εn } là một cơ
sở của V, η : V × V → R là một dạng song tuyến tính trên V.
Với α = ni=1 xi εi , β = nj=1 yj εj ∈ V thì
n

η α, β = η

n

n

xi ε i ,
i=1

yj ε j
j=1

=

xi yj η (εi , εj ).
i,j=1

Đặt aij = η(εi , εj ) với i, j = 1, 2, ..., n thì
n

η α, β =

aij .xi .y j
i,j=1

nên η hoàn toàn được xác định bởi các aij .

Vũ Thị Dương

7

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.5. Ma trận A = (aij )n×n trong đó aij = η (εi , εj ) ; i, j = 1, ..., n
được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính η trên V trong cơ sở (ε) =
{ε1 , ..., εn }.
Khi η là dạng song tuyến tính đối xứng thì ma trân A = (aij )n×n cũng
được gọi là ma trân của dạng toàn phương H ứng với η .
Mệnh đề 1.1. Giả sử A = (aij )n×n là ma trận của dạng song tuyến tính η
trên không gian vecto V trong cơ sở (ε) = {ε1 , ..., εn }. Khi đó, η là một dạng
song tuyến tính đối xứng khi và chỉ khi ma trận A bằng ma trận chuyển vị
của nó: A = AT , nghĩa là A là một ma trận đối xứng.
Mệnh đề 1.2. Giả sử A và B là ma trận của dạng song tuyến tính η trên
V tương ứng trong cơ sở (ε) = {ε1 , ..., εn } và (µ) = {µ1 , ..., µn } của V, gọi C
là ma trận chuyển từ cơ sở ε sang cơ sở µ thì ta có:
B = C T AC.

Định nghĩa 1.6. Cho A = (aij )m×n là ma trận của dạng song tuyến tính
đối xứng η : V × V → R trong cơ sở (ε) = {ε1 , . . . , εn }. H là dạng toàn phương
ứng với η .
Kí hiệu các cột tọa độ của các vecto α, β trong cơ sở (ε) tương ứng bởi
 
 
x1

y1

x 
 2
x =  ,
· · ·

y 
 2
y= 
· · · 

xn

yn

và đồng nhất ma trận vuông cấp một xT Ay với phần tử duy nhất
của nó, ta có:

n
i,j=1 aij xi yj

n

aij xi yj = xT Ay.

η α, β =
i,j=1

Ta gọi đó là biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính η trong cơ sở (ε).
Cũng vậy, biểu thức
n

aij xi xj = xT Ax

H(α) =
i,j=1

gọi là biểu thức tọa độ của dạng toàn phương H trong cơ sở (ε).

Vũ Thị Dương

8

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1.3
1.3.1

Không gian vecto Euclid
Tích vô hướng và không gian vecto Euclid

Định nghĩa 1.7. Cho V là một không gian vecto trên trường số thực R.
a) Ta gọi một dạng song tuyến tính đối xứng η trên V là một tích vô
hướng trên V nếu dạng toàn phương ứng với nó là một dạng toàn phương
xác định dương.
b) Ta gọi không gian V cùng với một tích vô hướng xác định trên nó
là một không gian vecto Euclid. Người ta thường kí hiệu một không gian
vecto Euclid là E.
Định nghĩa 1.8. Cho E là một không gian vecto Euclid với tích vô
hướng của hai vecto α, β kí hiệu là α.β . Khi đó ta gọi số thực không âm

2

α.α = →
α là chuẩn (hay độ dài) của vecto α và kí hiệu là α . Vecto có
độ dài bằng 1 được gọi là vecto đơn vị.
Định nghĩa 1.9. Giả sử α, β là hai vecto khác không của không gian
vecto Euclid E được gọi là vuông góc (hay trực giao) với nhau và kí hiệu
là α⊥β nếu α.β = 0.
Như vậy α⊥β khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một trong hai vecto α, β là
π
vecto không, hoặc ϕ α, β = .
2

Mệnh đề 1.3. Cho α, β ∈ E. Khi đó, α trực giao với β khi và chỉ khi
2

α+β

= α

2

2

+ β

.

Mệnh đề 1.4. Với ∀α, β ∈ E và ∀λ ∈ R ta có:
a) α ≥ 0;
α = 0 ⇔ α = 0.
b) λα = |λ| . α .
c) α + β ≤ α + β (bất đẳng thức tam giác).
Định nghĩa 1.10. Định nghĩa:
a) Hệ vecto {e1 , . . . , ek } của không gian vecto Euclid E được gọi là một
hệ trực giao nếu các vecto của hệ đôi một vuông góc với nhau, nghĩa là
ei .ej = 0 với i = j .
b) Hệ vecto {e1 , . . . , ek } của không gian vecto Euclid E được gọi là một
hệ trực chuẩn nếu nó là một hệ vecto trực giao gồm toàn vecto đơn vị,
nghĩa là
ei .ej = δij =

Vũ Thị Dương

0

,

i=j

1

,

i=j

9

.

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

c) Một cơ sở của không gian vecto Euclid hữu hạn chiều E đồng thời là
một hệ trực chuẩn được gọi là một cơ sở trực chuẩn của E.
Mệnh đề 1.5. Mệnh đề:
a) Mỗi hệ trực giao không chứa vecto 0 của không gian vecto Euclid E
đều độc lập tuyến tính.


b) Nếu hệ {→
e1 , ..., →
ek } là một hệ vecto trực giao không chứa vecto 0 thì
hệ



e1
, ...,


e
1

1.3.2



ek


e

là một hệ trực chuẩn.

k

Ánh xạ tuyến tính trực giao

Định nghĩa 1.11. Giả sử E, E là những không gian vecto Euclid. Ta gọi
ánh xạ f : E → E là một ánh xạ tuyến tính trực giao nếu nó là một ánh
xạ tuyến tính và bảo toàn tích vô hướng, nghĩa là ta có:
f (α).f (β) = α.β,

∀α, β ∈ E

Định nghĩa 1.12. Một ma trận A ∈ M at(n × n; R) được gọi là một ma
trận trực giao nếu AT .A = En hay nói một cách khác nếu hệ vecto cột của
A là một hệ trực chuẩn trong Rn với tích vô hướng chính tắc.

1.4

Không gian afin

Định nghĩa 1.13. Cho không gian vecto V trên trường K, tập A = ∅
mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ ϕ : A × A → V. Kí hiệu
−−→
ϕ (M, N ) = M N với M, N ∈ A. Bộ ba (A, ϕ, V) gọi là không gian afin nếu
hai tiên đề sau được thỏa mãn:
i)Với mọi điểm M ∈ A và mọi vecto u ∈ V, có duy nhất điểm N ∈ A sao
−−→
cho M N = u.
−−→ −−→ −−→
ii) Với mọi ba điểm M, N, P ∈ A có M N + N P = M P .

1.5

Không gian Euclid

Định nghĩa 1.14. Không gian Euclid là không gian afin liên kết với không
gian vecto Euclid hữu hạn chiều.
Không gian Euclid sẽ được gọi là n chiều nếu không gian vecto Euclid
liên kết với nó có số chiều bằng n.
Không gian Euclid thường được kí hiệu là E.
Vũ Thị Dương

10

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1.6

Không gian vecto Unita

Định nghĩa 1.15. Cho V là một không gian vecto trên trường số phức C.
Ta gọi ánh xạ η : V × V → C là một dạng Hermite trên V nếu nó thỏa mãn
điều kiện sau đây:
a) η tuyến tính với biến thứ nhất, nghĩa là:
η α + α , β = η α, β + η α , β
η(λα, β) = λη(α, β)

với mọi α, α , β ∈ V, ∀λ ∈ C.
b)η có tính chất liên hợp đối xứng, nghĩa là η α, β = η β, α với mọi
β, α ∈ V.

Định nghĩa 1.16. Một dạng Hermite trên không gian vecto phức V được
gọi là một tích vô hướng trên V nếu nó có tính chất xác định dương:
η (α, α) ≥ 0, ∀α ∈ V
η (α, α) = 0, ∀α = 0.

Một không gian vecto phức V cùng với một tích vô hướng xác định trên
nó được gọi là không gian Unita.
Ta kí hiệu một không gian Unita bởi U. Giá trị của tích vô hướng η α, β
trên U kí hiệu là α, β và được gọi là tích vô hướng của α với vecto β .
Ví dụ 1.2. Không gian C n là một không gian Unita với tích vô hướng chính
tắc định nghĩa như sau:
α, β = x1 y¯1 + ... + xn y¯n

trong đó α = (x1 , x2 , ..., xn ) , β = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Cn .
Định nghĩa 1.17. Tự đồng cấu f : U → U của không gian Unita U được
gọi là một tự đồng cấu Unita nếu f bảo toàn tích vô hướng nghĩa là
f (α) , f (β) = α, β ,

∀α, β ∈ U.

Tương tự như phép biến đổi trưc giao trong không gian vecto Euclid,
một tự đồng cấu f : U → U là Unita nếu nó biến mỗi cơ sở trực chuẩn của
U thành một cơ sở trực chuẩn của U.
Vũ Thị Dương

11

K36A SP Toán


Chương 2

DẠNG TOÀN PHƯƠNG
TRONG KHÔNG GIAN
EUCLID VÀ UNITA
2.1

Định lý cơ bản về Dạng toàn phương trong một không
gian Euclid.

2.1.1. Chúng ta bắt đầu với các định lý dưới đây liên quan đến dạng song
tuyến tính đối xứng η trong không gian Euclid n-chiều Rn :
Định lý 2.1. Mọi song tuyến tính đối xứng dạng η (x, y) trong không gian
Euclide n chiều Rn có một cơ sở chính tắc gồm các vecto trực chuẩn.
Chứng minh. Theo giả thiết ta có toán tử f là đối xứng. Theo định lý về
toán tử đối xứng, không gian Rn có cơ sở trực giao bao gồm các vecto riêng
của toán tử f và ma trận của f là chéo trong cơ sở này. Ma trận này cũng
là ma trận của dạng song tuyến tính η (x, y), trực chuẩn hóa cơ sở trực giao
vừa tìm được ta được một cơ sở chính tắc của η (x, y) gồm các vecto trực
chuẩn.
2.1.2. Bây giờ chúng ta áp dụng kết quả này để nghiên cứu dạng toàn
phương. Cho một dạng toàn phương, η(x, x) xác định bởi:
n

η(x, x) =

aik ξi ξj

(aik = aki ),

(1)

i,k=1

Chúng ta coi các số ξ1 , ξ2 , ..., ξn là các tọa độ của vecto x trong không
gian n-chiều Euclid Rn , với một tích vô hướng được xác định theo công
thức:
12


Khóa luận tốt nghiệp

n

ξi ηi ,

(x, y) =
i=1

ở đó y = (η1 , η2 , ..., ηn ). Cơ sở
e1 = (1, 0, ..., 0) ,
e2 = (0, 1, ..., 0) ,

...................
en = (0, 0, ..., 1) .

là một cơ sở trực chuẩn trong Rn và rõ ràng
n

n

x=

ξi ei ,

ηi e i .

y=

i=1

i=1

Bây giờ xem xét dạng song tuyến tính
n

η (x, y) =

aik ξi ηk .
i,k=1

Tương ứng với các dạng toàn phương (1). Bởi định lý (2.1), dạng này
có một cơ sở trực chuẩn f1 , f2 , ..., fn . Nếu các tọa độ của vecto x và y là
τ1 , τ2 , ..., τn và θ1 , θ2 , ..., θn tương ứng trong cơ sở, thì ta có thể viết dạng
song tuyến tính η (x, y) như sau:
n

λi τi θi .

η (x, y) =
i=1

Khi đó dạng toàn phương η (x, x) là:
n

λi τi2 .

η (x, x) =

(2)

i=1

Việc chuyển đổi từ cơ sở e1 , e2 , ..., en sang cơ sở f1 , f2 , ..., fn được cho bởi
n
(j)

(j = 1, 2, ..., n),

q i ei

fj =
i=1

ở đó Q = qi(j) là một ma trận trực giao. Mối quan hệ giữa các tọa độ
τ1 , τ2 , ..., τn và ξ1 , ξ2 , ..., ξn được cho bởi hệ phương trình
n
(i)

ξj =

qj τi

(j = 1, 2, ..., n) ,

(3)

i=1

xác định bởi ma trận Q . Đây là biến đổi tọa độ đẳng cự nên chúng ta có
định lý quan trọng sau.
Vũ Thị Dương

13

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 2.2. Mọi dạng toàn phương (1) trong không gian Euclid n-chiều
Rn có thể chuyển về dạng chính tắc (2) nhờ phép biến đổi tọa độ đẳng cự
dạng (3).
2.1.3. Chúng ta đi xây dựng công thức chuyển đổi tọa độ từ dạng (3) về
dạng chính tắc (2) của dạng toàn phương (1). Bây giờ chúng ta đưa ra kết
quả có được:
a. Sử dụng dạng toàn phương (1) để xây dựng ma trận đối xứng A =
(aik ) .

b. Xác định đa thức đặc trưng ∆ (λ) = det (A − λE) và tìm các giá trị
riêng là các nghiệm của nó. Đây là đa thức có n nghiệm thực (không nhất
thiết khác nhau).
c. Trên cơ sở thông tin về nghiệm của đa thức ∆ (λ), chúng ta có thể
viết dạng toàn phương (1) trong dạng chính tắc (2). Đặc biệt, chúng ta có
thể xác định được chỉ số quán tính dương và chỉ số quán tính âm của dạng
toàn phương.
d. Thay thế nghiệm λ1 vào hệ

(n)
(2)
(1)

a1 − λ ξ1 + a1 ξ2 + · · · + a1 ξn = 0





a(1) ξ1 + a(2) − λ ξ2 + · · · + a(n) ξn = 0
2

2

2



...............................................




(2)
(n)
 (1)

an ξ1 + an ξ2 + · · · + an − λ ξn = 0

Giải hệ phương trình trên xác định hệ nghiệm cơ bản ứng với giá trị riêng
λ1 .
e. Nếu bội của nghiệm λ1 là lớn hơn 1, trực giao hóa kết quả nghiệm độc
lập tuyến tính bằng cách sử dụng phương pháp trực giao hóa Gram-Smith.


Lấy một cơ sở bất kỳ {→
e1 , ..., →
en } của không gian vecto Euclid n chiều E.




Cơ sở f1 , ..., fn xây dựng theo cách:
→



f1 = →
e1












e 2 f1 →





− 2 f1
 f2 = e2 − →
f1


......................





k−1 →






e k fi →




 fk = e k −
2

− fi ,
i=1

Vũ Thị Dương

k = 2, ..., n

fi

14

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

f. Thực hiện các phép toán cho mỗi nghiệm, cuối cùng ta có được một
hệ n vecto trực giao. Sau đó, chúng ta chuẩn hóa chúng bằng cách chia mỗi
vecto cho độ dài của nó. Khi đó hệ vecto
(1)

(1)

(1)

,

(2)

(2)

(2)

,

f1 = q1 , q2 , ..., qn
f2 = q1 , q2 , ..., qn

.....................
(n)

(n)

(n)

fn = q1 , q2 , ..., qn

tạo thành một hệ trực chuẩn.
g. Sử dụng các số qi(j) , chúng ta có thể viết biến đổi tọa độ (3).
h. Để biểu diễn các thành phần mới τ1 , τ2 , ..., τn theo các thành phần cũ
ξ1 , ξ2 , ..., ξn , chúng ta viết
n
(j)

τi =

(j = 1, 2, ..., n).

qi ξ i
i=1

Nhắc lại rằng: Một ma trận Q ∈ M at(n, R) được gọi là một ma trận trực
giao nếu QT .Q = En .

2.2

Tính cực trị của một dạng toàn phương.

2.2.1. Cho một dạng toàn phương η (x, x) trong không gian Euclid Rn ,
chúng ta kiểm tra các giá trị của η (x, x) trên mặt cầu đơn vị (x, x) = 1 của
không gian Rn , và tọa độ điểm của hình cầu đơn vị làm cho giá trị của
η (x, x) là dừng.
Nhắc lại định nghĩa của một hàm số khả vi f (x), xác định tại các điểm
trên mặt U, f (x) có một giá trị dừng tại điểm x0 ∈ U nếu đạo hàm của
hàm f (x) theo hướng bất kỳ trên mặt U triệt tiêu tại điểm x0 . Đặc biệt,
hàm f (x) là dừng tại những điểm mà nó đạt cực đại hoặc cực tiểu.
Vấn đề xác định giá trị dừng của một dạng toàn phương trên mặt cầu
đơn vị là vấn đề liên quan đến điều kiện có cực trị. Phương pháp giải quyết
vấn đề là sử dụng phương pháp Lagrange, cụ thể như sau: Chúng ta xây
dựng một cơ sở trực chuẩn trong không gian Rn và biểu thị các tọa đọ của
vecto x trong cơ sở {ξ1 , ξ2 , ..., ξn }. Trong hệ tọa độ này, dạng toàn phương
của chúng ta trở thành:
n

η (x, x) =

aik ξi ξk ,
i,k

Vũ Thị Dương

15

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

và điều kiện (x, x) = 1 thì ta có:
n

ξi2 = 1.
i=1

Xét hàm:

n

n

ξi2 .

aik ξi ξk − λ

F (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) =

i=1

i,k=1

Tính đạo hàm riêng của nó đối với từng biến ξi (i = 1, 2, ..., n) và đồng nhất
với 0 ta được:
n

aik ξk − 2λξi = 0

2

(i = 1, 2, ..., n) .

k=1

Chúng ta có hệ quen thuộc:


(a11 − λ) ξ1 + a12 ξ2 + · · · + a1n ξn = 0




a ξ + (a − λ) ξ + · · · + a ξ = 0
21 1

22

2

2n n


..........................................






an1 ξ1 + an2 ξ2 + · · · + (ann − λ)ξn = 0

để xác định các vecto riêng của toán tử đối xứng tương ứng với dạng toàn
phương η (x, x). Nó kéo theo dạng toàn phương η (x, x) có giá trị dừng tại
các vecto của mặt cầu đơn vị đó là các vecto riêng của toán tử đối xứng f .
2.2.2. Bây giờ chúng ta tính các giá trị của dạng đã cho tại điểm dừng.
Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu toán tử đối xứng f và viết dạng toàn
phương như sau:
η (x, x) = (f x, x) .

Giả sử là η (x, x) có giá trị dừng tại vecto ei . Khi đó, ta đã chỉ ra rằng ei
là một vecto riêng của toán tử f , f ei = λi ei , chúng ta có:
η (ei , ei ) = (f ei , ei ) = λi (ei , ei ) = λi .

(4)

Do đó, giá trị dừng của dạng η (x, x) tại x = ei bằng giá trị riêng tương ứng
của toán tử f đối với vecto riêng ei . Do giá trị riêng của toán tử f xác định
các hệ số chính tắc của dạng η (x, x) nên chúng ta có thể kết luận rằng các
giá trị dừng của dạng η (x, x) trùng với hệ số chính tắc của nó. Đặc biệt,
giá trị cực đại của dạng η (x, x) trên mặt cầu đơn vị bằng với hệ số chính
tắc lớn nhất của nó, và giá trị cực tiểu của dạng η (x, x) trên mặt cầu đơn
vị bằng với hệ số chính tắc nhỏ nhất của nó.
Vũ Thị Dương

16

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

2.2.3. Dạng toàn phương và dạng song tuyến tính có thể được xem xét
trên toàn bộ không gian n-chiều Rn , nhưng cũng có thể xem xét trên không
gian con k-chiều Rk ⊂ Rn . Chúng ta có thể tìm một cơ sở trực chuẩn trong
Rk . Cho dạng toàn phương η (x, x) có dạng chính tắc:
η (x, x) = λ1 ξ12 + λ2 ξ22 + · · · + λn ξn2

trong toàn bộ không gian Rn , và có dạng chính tắc
η (x, x) = µ1 τ12 + µ2 τ22 + · · · + µk τk2

khi hạn chế lên không gian con Rk . Bây giờ chúng ta có thể tìm thấy mối
quan hệ giữa các hệ số µ1 , µ2 , · · · , µk và λ1 , λ2 , · · · , λn . Để thuận tiện, chúng
ta giả sử hệ số chính tắc là sắp xếp theo thứ tự giảm dần, tức là
λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn ,

µ 1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µk .

Như chúng ta đã biết, λ1 là đạt giá trị cực đại của dạng toàn phương η (x, x)
trong mặt cầu đơn vị của không gian Rn ; tương tự, µ1 là đạt giá trị cực
đại của dạng toàn phương η (x, x) trong mặt cầu đơn vị của không gian
con Rk , do đó µ1 ≤ λ1 . Hơn thế, chúng ta cũng có µ1 ≥ λn−k+1 . Thật vậy,
cho e1 , e2 , · · · , en là cơ sở chính tắc sao cho η (x, x) có dạng (4). Xem xét
trong (n − k + 1) - chiều không gian con R có các vecto e1 , e2 , · · · , en−k+1 .
Từ k + (n − k + 1) > n và từ kết quả đã biết (hệ quả: Cho Rp và Rq là hai
không gian con tương ứng của p-chiều và q-chiều, một không gian n-chiều
Rn . Giả sử p + q > n thì giao của Rp và Rq có số chiều không nhỏ hơn
p + q − n), không gian con R và Rk có ít nhất một vecto khác không. Cho
vecto
(0)

(0)

x0 = ξ1 , · · · , ξn−k+1 , 0, · · · , 0 ,

|x0 | = 1.

Theo (4), chúng ta có
(0)

2

2

(0)

+ · · · + λn−k+1 ξn−k+1

η (x0 , x0 ) = λ1 ξ1

(0)

≥ λn−k+1 ξ1

2

(0)

+ · · · + λn−k+1 ξn−k+1

2

= λn−k+1 .

Từ µ1 là giá trị cực đại của dạng toàn phương η (x, x) trên mặt cầu đơn vị
của không gian con Rk , x0 là vecto trên mặt cầu đơn vị của Rk nên ta có:
λ1 ≥ µ1 ≥ λn−k+1 .

(5)

2.2.4. Bây giờ chúng ta đi chứng minh sự tồn tại những không gian con
k-chiều của Rn mà ở đó các dấu bằng trong (5) xảy ra.
Vũ Thị Dương

17

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Cho R là không gian con k-chiều sinh bởi {e1 , e2 , · · · , ek } của cơ sở chính
tắc của dạng η (x, x). Khi đó η (x, x) là
η (x, x) = λ1 ξ12 + λ2 ξ22 + · · · + λk ξk2

trong cơ sở e1 , e2 , · · · , ek của R . Đặc biệt,
η (e1 , e1 ) = λ1 = max η (x, x)
|x|=1
x∈R

Vì vậy
µ1 = µ1 Rk = max η (x, x)
|x|=1
x∈Rk

Cho R” là không gian con k-chiều sinh bởi {en−k+1 , en−k+2 , · · · , en } của cơ
sở chính tắc của dạng η (x, x). Khi đó η (x, x) là
2
+ · · · + λn ξn2
η (x, x) = λn−k+1 ξn−k+1

trong cơ sở {en−k+1 , en−k+2 , · · · , en } của R”. Đặc biệt,
η (en−k+1 , en−k+1 ) = λn−k+1 = max η (x, x) .
|x|=1
x∈R”

Như vậy hệ số λn−k+1 trong biểu diễn chính tắc của dạng toàn phương
η (x, x) bằng giá trị nhỏ nhất của cực đại của η (x, x) trong mặt cầu đơn vị
của tất cả k-chiều các không gian con của không gian Rn .
2.2.5. Chúng ta có thể ước tính các hệ số chính tắc khác của dạng toàn
phương η (x, x) trong không gian con Rk .
Nếu không gian con Rk cố định, thì µ2 = min η (x, x), trong khi λn−k+2 =
|x|=1
x∈Rk

min η (x, x) . Do đó chúng ta có µ2 ≥ λn−k+2 , tương tự

|x|=1
x∈Rn

µ3 ≥ λn−k+3 , µ4 ≥ λn−k+4 , · · · , µk ≥ λk .

Mặt khác λ2 = min η (x, x). Tuy nhiên, giao của mỗi không gian con (n − 1)|x|=1
x∈Rn

chiều với không gian con Rk là một không gian con có số chiều không nhỏ
hơn (n − 1) + k − n = k − 1, nên có λ2 không nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của
cực đại của η (x, x) trong mặt cầu đơn vị của tất cả các không gian con;

Vũ Thị Dương

18

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Đặc biệt λ2 ≥ µ2 với µ2 = min η (x, x), và tương tự λ3 ≥ µ3 ,...,λk ≥ µk . Do
|x|=1
x∈Rk

đó hệ số chính tắc µ1 , µ2 , · · · , µk thỏa mãn các bất đẳng thức
λ1 ≥ µ1 ≥ λn−k+1 ,
λ2 ≥ µ2 ≥ λn−k+2 ,
..

...

...............

λk ≥

µk ≥ λn .

(6)

Đặc biệt, khi k = n − 1, bất đẳng thức (6) trở thành
λ1 ≥ µ1 ≥ λ2 ,
λ2 ≥ µ2 ≥ λ3 ,
.................

(7)

λn−1 ≥ µn−1 ≥ λn .

2.2.6. Xét dạng toàn phương
n

λi ξi2

η (x, x) =
i=1

trong (n − 1)-chiều không gian con Rn−1 xác định bởi phương trình:
(α12 + α22 + · · · αn2 = 1).

α1 ξ1 + α2 ξ2 + · · · + αn ξn = 0

(8)

Giả sử tất cả các hệ số λ1 , λ2 , · · · , λn là khác nhau, chúng ta tính toán các
hệ số µ1 , µ2 , · · · , µn−1 bằng cách sử dụng phương pháp M. G. Krein. Theo
giả thiết, nhất một trong những hệ số α1 , α2 , · · · , αn là khác không. Không
mất tính tổng quát, giả sử αn = 0. Khi đó (8) có nghĩa :
n−1

ξn =

− α1n

αj ξj .
j=1

Thế biểu thức này cho ξn vào η (x, x), ta được:
2

n−1
2
η (x, x) = λ1 ξ12 + λ2 ξ22 + · · · + λn−1 ξn−1
+

λn
2
αn

αj ξj
j=1

trong không gian con của Rn , theo các biến ξ1 , ξ2 , · · · , ξn−1 . Các hệ số chính
tắc của dạng toàn phương cũng giống như giá trị dừng trên mặt cầu đơn vị
trong không gian con Rn−1 của η(x, x). Theo các biến ξ1 , ξ2 , · · · , ξn−1 hình
cầu trong Rn có phương trình:
Vũ Thị Dương

19

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

2

n−1
2
B (x, x) = ξ12 + ξ22 + · · · + ξn−1
+

1
2
αn

αj ξj

= 1.

j=1

Sử dụng phương pháp Lagrange, ta xét hàm có dạng:
2

n−1

η (x, x) − λB (x, x) =

n−1
i=1 (λi

− λ) ξi2 +

λn −λ
2
αn

αj ξj

.

j=1

Đạo hàm từng phần theo biến ξk (k = 1, 2, ..., n − 1) rồi đồng nhất bằng 0,
ta được:
λn − λ
ξk (λk − λ) +
αn2

n−1

αj ξj

(9)

αk = 0.

j=1

Các hệ số µ1 , µ2 , · · · , µn−1 là nghiệm của phương trình thu được từ việc
cho định thức D(λ) của hệ phương trình tuyến tính (9) bằng không.
Ma trận hệ số của hệ này là tổng của hai ma trận: Ma trận thứ nhất
có đường chéo là các số λk − λ(k = 1, 2, . . . , n − 1) dọc theo đường chéo, ma
trận thứ hai có dạng


α1 α1

α2 α1

···

αn−1 α1


λn − λ  α1 α2

αn2  ·

α2 α2

···

·

···

αn−1 α2 


·

α1 αn−1 α2 αn−1 · · ·



αn−1 αn−1

Sử dụng tính chất đa tuyến tính của định thức, định thức D(λ) là tổng của
định thức của ma trận đầu tiên và tất cả các định thức thu được bằng cách
thay thế một hoặc nhiều cột của định thức của ma trận đầu tiên bởi các
cột tương ứng của ma trận thứ hai và nhân với hệ số

λn − λ
. Khi mà hai
αn2

cột của ma trận tỉ lệ, chúng ta chỉ cần xem xét trường hợp một cột của
định thức của ma trận đầu tiên là thay thế bằng cột tương ứng của ma
trận thứ hai.
Đặc biệt, nếu cột thứ k của ma trận đầu tiên là được thay thế bằng cột
thứ k của ma trận thứ hai, định thức có kết quả dạng

Vũ Thị Dương

20

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

λ1 − λ
0
λn − λ
αn2

···

0

αk α1

0

···

0

λ2 − λ · · ·

0

αk α2

0

···

0

..
.

···

..
.

0

···

0

0

···

0

αk αk+1 λk+1 − λ · · ·

0

0

..
.

..
.

..
.

···

0

0

···

0

0

···

0

0

0

···

0

..
.

..
.

···

..
.

0

0

···

0

..
.

λk−1 − λ αk αk−1
αk αk

..
.

..
.

···

..
.

αk αn−1

0

···

λn−1 − λ

n

(λj − λ)
=

αk2 j=1
αn2 λk

.

−λ

Biểu thị định thức của ma trận đầu tiên bởi
n−1

(λk − λ),

F (λ) =
k=1

và cho
n

(λk − λ).

G (λ) =
k=1

Khi đó định thức trở thành:
1
λ+ 2
αn

D(λ) = F

n−1

G (λ)
k=1

αk2
.
λk − λ

(10)

Giải phương trình D(λ) = 0, chúng ta tìm được các số µ1 , µ2 , · · · , µn−1 mà
chúng ta cần. Lưu ý kết quả phụ thuộc vào bình phương của số αk chứ
không phải là bản thân αk .
2.2.7. Phương trình (10) cho phép ta xây dựng số µ1 , µ2 , · · · , µn−1 thỏa
mãn bất đẳng thức (7) của không gian con Rn−1 trong dạng η (x, x) có hệ
số chính tắc µ1 , µ2 , · · · , µn−1 . (Giả sử các số λ1 , λ2 , · · · , λn−1 là phân biệt).
Bây giờ chúng ta chỉ ra việc đếm các µ1 , µ2 , · · · , µn−1 là hoàn toàn thực hiện
được.
Chúng ta thấy (10) có thể viết dưới dạng:
D (λ)
αn2
G(λ)

Vũ Thị Dương

=

F
αn2

(λ)
+
G(λ)

n−1

k=1

21

αk2
=
λk − λ

n

k=1

αk2
.
λk − λ

(11)

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Do đó các số α12 , α22 , · · · , αn2 tỉ lệ với các hệ số thu được khi chúng ta biểu
D (λ)
bằng tổng các phân thức thực sự đơn. Bây
G(λ)
giờ giả sử chúng ta có các số µ1 , µ2 , · · · , µn−1 đáp ứng bất đẳng thức

diễn phân thức hữu tỷ

λ1 ≥ µ1 > λ2 ,
λ2 ≥ µ2 > λ3 ,

(12)

...............
λn−1 ≥ µn−1 > λn .

Cho
n−1

(µk − λ),

D1 (λ) =
k=1

và biểu diễn phân thức hữu tỷ
đơn:

D1 (λ)
thành tổng các phân thức thực sự
G(λ)

c1
c2
cn
D1 (λ)
=
+
+ ··· +
.
G(λ)
λ1 − λ λ2 − λ
λn − λ

(13)

Các hệ số c1 , c2 , · · · , cn được tính theo công thức quen thuộc
ck =

D1 (λk )
D1 (λk )
=−
,
(λ1 − λk ) · · · (λk−1 − λk ) (λk+1 − λk ) · · · (λn − λk )
G (λk )

và tất cả đều có cùng dấu.
Chúng ta chú ý những số D1 (λ1 ), D1 (λ2 ), ..., D1 (λn ) luân phiên đổi dấu, vì
theo giả thiết nghiệm của đa thức D1 (λ) đan dấu với nghiệm của đa thức
G1 (λ). Do đó số D1 (λk )/G (λk ), và do đó hệ số ck (k = 1, 2, ..., n) tất cả đều
cùng dấu. Bổ sung thêm nhân tố, chúng ta có thể giả sử ck đều là dương
và thêm tối đa với 1. Sau đó chúng ta có thể xác định các số α1 , α2 , ..., αn
bởi công thức:
(14)
α12 = c1 ,
α22 = c2 , . . . , αn2 = cn ,
trong đó mỗi αk có thể có một trong hai dấu.
Cuối cùng chúng ta thấy không gian con Rn−1 xác định bởi phương trình
α1 ξ1 + α2 ξ2 + · · · + αn ξn = 0

là không gian con cần tìm, trong đó dạng toàn phương η (x, x) có hệ số chính
tắc µ1 , µ2 , ..., µn−1 . Thực tế như đã chứng minh, đa thức D(λ) có nghiệm là
hệ số chính tắc của η (x, x) trong không gian con Rn−1 được cho bởi công
thức (10) hoặc tương đương công thức (11). So sánh (11) với (13) và sử
dụng (14), chúng ta tìm được đa thức D(λ) chỉ khác một thừa số với đa
Vũ Thị Dương

22

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

thức D1 (λ) đã xây dựng. Nhưng khi đó nghiệm của D(λ) trùng với các số
µ1 , µ2 , ..., µn−1 .
Nhận xét. Có thể chỉ ra các số α1 , ..., αn phụ thuộc trong các số λ1 , ..., λn ,
µ1 , µ2 , ..., µn−1 . Trên thực tế, chúng ta có thể giải quyết vấn đề nếu các số
λ1 , ..., λn , µ1 , µ2 , ..., µn−1 thỏa mãn các bất đẳng thức (7) thay vì bất đẳng
thức (12) hoặc nếu các số λ1 , ..., λn là không khác nhau.

2.3

Sự rút gọn đồng thời của hai dạng toàn phương.

2.3.1. Cho hai dạng toàn phương η (x, x) và η (x, x) xác định trong không
gian afin n-chiều Rn tìm cơ sở của Rn sao cho η (x, x) và η (x, x) có cùng
dạng chính tắc? (Tức là, tổng của bình phương các tọa độ của x với hệ số
bất định)
Ví dụ trong phẳng (n = 2) dưới đây cho thấy vấn đề này không phải chỉ
có một cách giải quyết. Xét hai dạng:
η (x, x) = ξ12 − ξ22 ,
η (x, x) = ξ1 ξ2 .

Tìm một cơ sở chính tắc chung cho hai dạng cũng giống như tìm một cặp
vecto liên hợp chung cho Hyperbol η (x, x) = 1 và η (x, x) = 1. Vì đây đều
là những Hyperbol nên như chúng ta biết từ hình học giải tích các hướng
liên hợp của Hyperbol là đối xứng qua tiệm cận của nó. Vì vậy nếu ta gọi
ϕ1 và ϕ2 tương ứng là các góc cực với hướng liên hợp. Khi đó:
ϕ1 + ϕ2 =

Π
2

đối với Hyperbol thứ nhất và thỏa mãn:
ϕ1 + ϕ2 = 0

đối với Hyperbol thứ hai (cả hai đều thỏa mãn là bội của số nguyên Π).
Đây là một điều vô lý, do đó trong trường hợp này không tồn tại cặp vecto
liên hợp.
Từ đây ta thấy việc rút gọn đồng thời hai dạng toàn phương là không
thực hiện được, giả sử ta bổ sung thêm là dạng η (x, x) là xác định dương.
Tức là, cho η (x, x) > 0 với x = 0. Trong trường hợp này, sự tồn tại của
giải pháp này có thể được chứng minh như sau: Cho η (x, y) là dạng song
tuyến tính đối xứng tương với dạng toàn phương η (x, x), và chúng ta giới
thiệu một metric Euclide trong không gian afin Rn như sau:
Vũ Thị Dương

23

K36A SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

(x, y) = η (x, y) .

Thực tế cho η (x, y) đối xứng và xác định dương đảm bảo cho (x, y) thỏa
mãn các tiên đề về vô hướng. Khi đó tồn tại một cơ sở trực chuẩn (đối với
các metric này) trong đó η (x, x) có dạng chính tắc:
η (x, x) = λ1 ξ12 + λ2 ξ22 + · · · + λn ξn2 ,

(15)

trong đó ξ1 , ξ2 , ..., ξn là các tọa độ của vecto x trong cơ sở tìm được. Trong
cơ sở đó, dạng toàn phương thứ hai η (x, x) trở thành:
η (x, x) = (x, x) = η12 + η22 + · · · + ηn2 .

Do đó, khẳng định lại một lần nữa là có tồn tại một cơ sở mà trong đó cả
η (x, x) và η (x, x) có dạng chính tắc.
2.3.2. Xây dựng các tọa độ của vecto e1 , ..., en thành cơ sở chính tắc đồng
thời cho hai dạng toàn phương, chúng ta sử dụng các tính chất về cực trị
của dạng toàn phương.
Như trong phần (2.2.1), các vecto e1 , ..., en của cơ sở phải thỏa mãn điều
kiện:
(x, x) = η (x, x) = 1

cho η (x, x) có giá trị dừng. Giả sử η (x, x) và η (x, x) được cho bởi:
n

η (x, x) =

aik ξi ξk ,
i,k=1
n

η (x, x) =

bik ξi ξk
i,k=1

trong cơ sở đầu. Sử dụng phương pháp Lagrange, chúng ta có các hàm
n

n

aik ξi ξk − µ

F (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) =
i,k=1

bik ξi ξk ,
i,k=1

và đạo hàm riêng lần lượt theo các biến ξi và đồng nhất bằng 0 ta được:
n

n

aik ξk − µ
k=1

bik ξk = 0

(i = 1, 2, ..., n).

(16)

k=1

Ta có hệ các phương trình sau


(a11 − µb11 ) ξ1 + (a12 − µb12 ) ξ2 + · · · + (a1n − µb1n ) ξn = 0




(a − µb ) ξ + (a − µb ) ξ + · · · + (a − µb ) ξ = 0
21

21

1

22

22

2

2n

2n

n

(17)


.........................................................................................






(an1 − µbn1 ) ξ1 + (an2 − µbn2 ) ξ2 + · · · + (ann − µbnn ) ξn = 0

Vũ Thị Dương

24

K36A SP Toán


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×