Tải bản đầy đủ

Hình học vi phân của các đường cong chính quy

èấ ặ

ậ ẩ ặ ắ
ầ èầ ặ
ểẳể

ỵ ặ è è ặ ởẩ
ỡặ

ẻ ẩ ặ



íũề ề ề ứề

ề ũề






ậ ề ũề




ầặ



è ậ èệề ẻ ề ặ
ể ề è úề


ặ á ằắẳẵ

ớặ



ẹ ề
èệ
ỉệứề
íề

ựề
é ềá ẹ ĩ ề í ỉ é ề
ụỉ ề ì ì
ỉ è
ì èệề ẻ ề ặ

ỉ ề ỉứề


ử ẹ
ỉ ử ể ềỉ ề ỉ ỉ
é ề ề í

ề ĩ ề í ỉ é ề
ụỉ ề
ề ỉ ề ỉ ỉể ề ỉ ử



ỉ í
ể ỉệểề
ể èể ềá èệ ề
ậ ễ ẹ ặ ắ
í ể
ẹ ỉ ề ỉứề ỉệểề ì ỉ ế ỉệứề
ỉ ễỉ

ặ ề ễ ề í ẹ
ề ĩ ề

é
ẹ ề
ề ỉ ề ỉ
ứề á ề
é ề ũề ẹá
á ề ũềá

ẹ ỉệểề ì ỉ
ế ỉệứề
ỉ ễ ỉ
ữề
é ề ỉ ỉ ề ữễ

ặ á ề í ắ ỉ ề ẳ ề ẹ ắẳẵ
ậ ề ũề

ể ề è



úề



ẹ ể ề

é ề ứề
ễ ề



ểề
ựề ếí
é ụỉ ế ẹ ẹ
ỉệ
ỉ ụễ ỉứẹ ỉ ề ũề
èệểề ế ỉệứề
ề ũề
á ẹ
ì
ề ỉ é ữ
ẹ ỉ ì ỉ
ỉệểề ề ể


ề ì


è ì èệề ẻ ề ặ ẹ ĩ ề
ẹ ể ề
é ề ề í ể ề ỉể ề
ề ỉệ ề
ụỉ ế


ặụ ì
ẹ ĩ ề
ể ề ỉể ề ỉệ
ề ữẹ

ặ á ề í ắ ỉ ề ẳ ề ẹ ắẳẵ
ậ ề ũề

ể ề è



úề


Å
Ð
Å Ù
½ Ã ôÒ Ø

Ù Ò

½º½ à Ò
Ò Ú
Ø Ù
Ð
º º º º º º º º º º º º
½º¾ Å Ø × ÷ Ø
Ø
Ò
Ò º º º º º º º º º º
½º¾º½ À÷ Ø
×
ÖØ × º º º º º º º º º º º
½º¾º¾ À÷ Ø

ØÖÓÒ Ñ Ø Ô Ò º º º º º
½º¾º¿ À÷ Ø
ØÖ ØÖÓÒ
Ò
Ò º º º º º
½º¾º
À÷ Ø
Ù ØÖÓÒ
Ò
Ò º º º º º
½º¿
Øù
Ú
Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¿º½ À Ñ Ú
Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¿º¾ Å Ø × Ô Ô ØÓ Ò
× Úó Ñ Ú
Ø º
½º¿º¿
Ò
Ñ Ú
Ø º º º º º º º º º
½º¿º
Ó Ñ
Ñ Ú
Ø Ñ Ø ôÒ º º º º
½º¿º
Æ ÙÝòÒ Ñ Ú Øù
Ô Ò
Ñ Ú
Ø
½º¿º
Ò Ø
Ì ÝÐÓÖ
Ú
Ñ Ú
Ø Ñ Ø

¾



Ò
ÓÒ
ùÒ ÕÙÝ

¾º½
Ø ÷Ù
ÙÒ º º º º º º º º º º
¾º¾

Ò
ÓÒ Ø Ñ × º º º º º º
¾º¿

Ò
ÓÒ
ùÒ ÕÙÝ Ú
¾º
Ìù
Ú
Ø ØÖÓÒ R3 º º º º º º º º º
¾º
ÌùÒ
Ø
Ô
Ò


Ò
¾º
Ò
ùÒ Ø
Ô
Ò º º º º º
¾º
Å Ø × ØùÒ
Ø ØÓ Ò




¾º º½
Ø Ò Ø
Ò
Ù º º
¾º º¾
Ò Ðù ¹ ûÒ º º º º º º º º
¾º º¿
Ò Ø
Ù
ݹ ÖÓ ØÓÒ º

¿

º º º º º
º º º º º
ÙÒ º
º º º º º
ÓÒ Ø
º º º º º
Ò
ÓÒ
º º º º º
º º º º º
º º º º º

º º º
º º º
º º º
º º º
º º º
º º º
º º º
º º º
º º º
º º º
º º º
Ñ Ø
ôÒ

º º º º
º º º º
º º º º
º º º º
Ñ×
º º º º
Ô Ò
º º º º
º º º º
º º º º

º
º
º
º
º
º

º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º

º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
ôÒ
º º

º
º
º
º
º
º
º
º º
º º
º º

º
º
º
º
º
º
º
º
º
º

½¼
½¼
½½
½½
½¾

½¿

½¿
½
½
¾
¿¼
¿
¾


ÃôØ ÐÙ Ò
Ì Ð ÷Ù Ø Ñ

Ó


Å



½º Ä Ó
Ò ó Ø
ÀøÒ
Ð Ñ Ò Ó

Ò òÒ
Ù Úó ØùÒ
Ø Ò ØùÒ Ú
Ò Ð Ò


øÒ º Ì Ý Ú Ó

Ô
Ò Ô Ô Ò òÒ
Ù

Ò Ù Ñ
Ò Ò Ò Ò øÒ

Ò Ù Ò ÀøÒ

Ò¸ ÀøÒ

Ò ¸ ÀøÒ
Î Ô Ò¸ ÀøÒ

Øù
¸ ÀøÒ

× ¸
Ì Ô º º º ÀøÒ
Ú Ô ÒÐ Ñ ØÒ Ò
øÒ
×
Ò


Ò
Ú Ô
Ò Ô Ô
Ô Ô ØùÒ Ú Ô Ò Ú Øù
Ô Ò
Ò Ò
×
ØÙÝôÒ ØùÒ Ú
×
ØÙÝôÒ ö Ò òÒ
Ù

Ú Ò ó
øÒ
º
Ä Ø ÙÝôØ Úó

Ò
ÓÒ ØÖÓÒ Ñ Ø Ô Ò Ú
Ò
Ò
Ò Ò
Úó

Ñ Ø
ÓÒ ØÖÓÒ
Ò
Ò Ù
Ð
óÙ
ØÖ Ø Ò
×
Ú
Ó × Ô Ø ØÖ öÒ Ò Ù
øÒ
Ú Ô Òº Î ÑÓÒ ÑÙ Ò ØøÑ
öÙ × Ù Ò Úó

Ø Ò Ò ØÖòÒ Ú
×
Ò
Ò
Ø Ý
Ò
Ò¸ Ø
ÕÙÝôØ Ò
Ò ó Ø Ò Ý ö ØÖøÒ
Ý ØÖÓÒ
ÐÙ Ò Ø Ø Ò ÷Ô
º

¾º Å
ù
Ò òÒ
Ù
Å
ù

ùÒ
ÐÙ Ò Ð ÷ Ø Ò Ð Ø ÙÝôØ Ú
Ö

Úù
Ò Ú

Ò
Ø Ô
ØôØ Ò Ø Úó Ò Ò Ú Ò ó Ð òÒ ÕÙ Ò
ôÒ
Ò
ÓÒ
Ò
ÓÒ Ø Ñ × ¸

Ò
ÓÒ
ùÒ ÕÙݸ
ÙÒ º º º ¸ Ò Ð ¹ ûÒ ¸
Ò Ø

ݹ ÖÓ ØÓÒº


¿º

Ø Ò Ú Ô Ñ Ú Ò òÒ
Ù
¿º½ Ø Ò Ò òÒ
Ùº

Ø Ò Ò òÒ
Ù Ð
Ò
ÓÒ Ø Ñ × ¸
Ò
ÓÒ
ùÒ ÕÙݸ
ÙÒ ¸ Ò Ð ¹ ûÒ ¸
Ò Ø

ݹ ÖÓ ØÓÒº

¿º¾ È Ñ Ú Ò òÒ
Ùº

È Ñ Ú Ò òÒ
Ù Ð Ð Ø ÙÝôØ Ú
Ø Ô Úó

Ò
ÓÒ Ø Ñ
× ¸

Ò
ÓÒ
ùÒ ÕÙݸ
ÙÒ ¸ Ò Ð ¹ ûÒ ¸
Ò Ø
Ù
ݹ ÖÓ ØÓÒº

º Æ ÷Ñ Ú Ò òÒ
Ù
Æ ÷Ñ Ú Ò òÒ

Ò
Ø Ô
Ò
ÓÒ Ø Ñ × ¸
¹ ûÒ ¸
Ò Ø

ºÈ

Ò Ô Ô Ò òÒ
Ù
¸ ØøÑ

º
Ã

Ù Ð ÷ Ø Ò Ð Ø ÙÝôظ
Ö

Úù
Ò
Ø ôØ Úó Ò Ò Ú Ò ó Ð òÒ ÕÙ Ò ôÒ
Ò
ÓÒ

Ò
ÓÒ
ùÒ ÕÙݸ
ÙÒ º º º ¸ Ò Ð
ݹ ÖÓ ØÓÒº

Ù ØÖ

Ø

Ð ÷Ù¸ Ô

Ò Øù
Ú Ø Ò

ÐÙ Ò

ÐÙ Ò Ó Ñ ¾
Ò
Ò ½ Ã ôÒ Ø

Ù Ò
Ò ¾

Ò
ÓÒ
ùÒ ÕÙÝ

Ô

ôÒ Ø

º


ề ẵ

ụề ỉ




ẵẵ ề



é





é
n
úá ỉự




ể En é











a b
a
ự ữ é a . b á


ự ữ é
a
2








n
2


é
n
úá ỉ
é

a
= a.a = a E é
n
ú En . ể ề

ề ề é ũề ụỉ



é



ửẹ M N ỉ
En é MN .




ỉ ũ ề ỉệểề En é
(O,
e1 ,
e2 , . . . ,
en )á O En é







n
n
á ( e1 , e2 , . . . , en ) é ẹ ỉ
ì
E .
ửẹ M E

n


(x1, x2, . . . , xn)

ỉ ũ ỉệũề
ề ỳ é OM =

xi .
ei .
ẹ ì x , x , . . . , x ỉệũề E
é

ẹỉ

1 2
n
ỉ ũ ữ ỉ
à ề ỉệũề é Ox x . . . x .




ì (O,
e1 ,
e2 , . . . ,
en ) é ỉệ

ềá ỉ
é
1

2

n

n




ei .
ej = ij =
(i, j = 1, 2, . . . , n) ỉ ứ ỉ

1 2
n

(x , x , . . . , x ), N

M, N é

ề

i=1



ữ ẹ

0 ềụ i = j
1 ềụ i = j
ì
ệỉ ì ề

1 2
n
(y , y , . . . , y ) ỉ ứ

á ềụ M
ể ề


n
i=1


ề ề

ềẹ ỉ ữỉ
ỉ En Rn
ề ỉ

(y i xi)2 .
ì
ệỉ ì ề
ỉệểề En ỉ
ỉ ử
ỉựề
ể ề

ỉệũề


ẵắ ỉ ì ữ ỉ

ẵắẵ ữ ỉ

ì
ệỉ ì







ỉ ữ ỉể
ì
ệỉ ì Oxy ĩ
ề ỉệự ẹ ỉ ửẹ ỉệũề ẹ ỉ
x yé
ỉệ

ễ ề
ể ỉệ
ề ẹ ỉ
ễ ì (x, y) èệểề
ĩ

2
ề ỉ ề
ề ề



ểà
ề ỉ ề
é ỉệ
ỉể
í ề
ề é ỉệ
à èệ
ề ẹề ề
é ỉệ
ể ề á ỉệ
ề ẹ
é ỉệ
ỉề á ửẹ


ỉệ
é
ỉể

ỉệ é ẳáẳà

ẵắắ ữ ỉ


ỉệểề ẹ ỉ ễ ề

èệểề ẹ ỉ ễ ề R2
ể ữ ỉ
ì
ệỉ ì ề
Oxy

2
P = R \ {O}
ì M é
ửẹ
P á

ì
ệỉ ì M (x, y)
ỉ ử ỉ ỉ ề ề M
ễ ì ẹ (r, ) ỉ ể

ì í



ỉ r = OM ề ỉ ụ r > 0à ể M P ềũề OM = 0



è
ỉ = ầĩ, OM ềụ y
0
ỉ = 2 ầĩ, OM ềụ
y < 0

é




ửẹ M
ể ự ữ
ễ ì (r, )
M(r, ) ể
M = (r, ) ậ r
é
ề ựề


M á

é
ề ề ỳ ìí ệ ệ ề 0 < 2



M è
ấ ệ ề ỉ

2
2

r = x +y
x = r cos


y = r sin


ề ỉ
ỉệũề


ẵắ ữ ỉ

é
ề ỉ

ỉệ ỉệểề

ể ữỉ
ì

ỉ ử
ể ề ẹ
ỉ ể

ì í é í



ỉ = ầĩ, OM1









ì
ệỉ ì



ệỉ ì ề
Oxyz ỉệểề E3 ỉ U = E3 \ {Oz}
ửẹ M (x, y, z) U ẹ ỉ
ì ẹ (r, , )
ứề
ụ M1
ỉệũề ẹ ỉ ễ ề ỉ
Oxy


ềụ y 0
ỉ = 2 ầĩ, OM ềụ y < 0


ề=z
ì (r, , ) ỉ ể ĩ
í

ửẹ M ỉ ề ề ẹ ỉ
ề ỉệũề
ì (r, , )
é ỉ
ỉệ
M

ữỉ
ì
ệỉ ì Oxyz ụỉ M (r, , ) í M = (r, , )
è ỉ í r 0 0 < 2
ề ỉ


ì
ệỉ ì ỉ
ỉệ


x = r cos
y = r sin


z = .

ẵắ ữ ỉ

 ỉệểề







ể ữỉ
ì
ệỉ ì ề
Oxyz ỉệểề E3 ỉ U = E3\ {Oz}
ỉ ử
ể ề ẹ
ửẹ M (x, y, z) U ẹ ỉ
ì ẹ (r, , )

ỉ ể

ì
ỉ r = OM é í ứề
ụ M1
M ỉệũề ẹ ỉ


Oxy ẻứ M
/ Oz ềũề M1 = Oá ể
ễ ề ỉ
OM1 = 0





= Ox, OM1
,y 0

= 2
Ox, OM1 , y < 0


= OM1 , OM
,z 0

= 2
OM1 , OM , z < 0

ì (r, , )
ĩ
ề ề ỉệũề
é ỉể

M

ữ ỉể
ì
ệỉ ì ề
Oxyz ụỉ M (r, , ) í M = (r, , )
ỉệểề ỉể
à ấ ệ ề r > 0á 0 < 2 á 2 < 2



ỉự



ẵẵ ẹ


ể ỉ ễ ẹ U Rm (m 1)
ẹ ỉ ẹ
ỉ ỉệũề U  í Rm




: U En

ề ĩ
é

n
ĩ ỉ ỉ ễ ỉ
ề E é





é
nạ
ú

n




(p)
e1 ,
e2 , ...,
en ) ỉ ứ p U á

ặụ ỉệểề E

ì (






ễ ỉ
ễá ự ữ é (p) = (1 (p) , ..., n (p))


i : U Rá p i (p) é
ẹ ỉể

ẻứ p
m ỉể
è
ụề i = (t1 , ..., tm) , p = (t1 , ..., tm)
ỉệểề Rm ềũề i é ẹ ỉ ẹ ì

ẵắ ỉ ì ễ ễ ỉể ề

ì ú ẹ








á : U En á f : U R ỉ ứ





ẹ ì
ì í









+ : U En , p
(p) + (p)á










f
: U En, p f (p) .
(p)á
, : U Rá p
(p) , (p)






(p) (p)
ề ụỉ
é ỉự




, é






. àá
: U R, p
(p)



E3
ễ ễ ỉự

ề ỉệểề
n=3ỉ é íẹ ỉ

3
E

á
ỉ ử ĩ
ề ỉ ũẹ ẹ










: U E3 á p
(p) (p)






(p) (p) é ỉự

(p) (p)
í



èũề



íẹ
ẹì
ĩ
é ễ ề
ỉệũề
ỉ ề ỉ ề ỉũề
ếí ỉ
ĩ
ề ề
















: U En á p U ặ ệ ề

v En é




x ỉ ụề ụề p ỉệũề U ềụ
> 0 ử
d (x, p) < ỉ ứ




(x) v < á ự ữ



é ũề ỉ
ỉ ẹ
ặụ lim
(x) =
(p) ỉ ứ é ũề ỉ
ỉ p ặụ
xp

é ũề ỉ
ỉệũề U
pU ỉ ứ



v = (v1, ..., vn) ỉ ề ỉ
ặụ
ể ẹ ỉ ữ ỉ
ỉệểề En ỉ ứ









é ũề ỉ

lim (x) = v ỉ ề
ề lim i (x) = vi ể á


xp

pỉ

xp





i é ũề ỉ


p

ẵẳ




ể ẹ


ỉ ẹ ỉ ụề

ự ữ J é
ể ề á ể ềá ề
ể ề
R ử
ỉệ ề
ễJ
ẹ ỉ í à

é
ể ề ỉ ề ế ỉ
R
ỉ ẹ






(t) (t0 )




=
v
: J En
ể t0 J ặụ ỉ ề ỉ lim
tt0
t t0



v ề í
ỉ ứ

é


ỉ t0 ự ữ é (t0 )

d

í
ề ụỉ t = t t0
ề ỉệũề
ụỉ ỉ ề
(t0 ) . è
dt



(t0 + t)
(t0 )
=
v.
lim
t0
t




En ỉ ứ (t0 ) ềụ ỉ ề ỉ à é
ặụ ỉệểề ữ ỉ



(t0 ) = (1 (t0 ) , ..., n (t0 )) .


ỉ ề ế ỉ
ỉ ử ề ề ỳ
ể ẹ

ể ỉ ể ếí ề ễ
(k)
(k)
ì ĩ
ề ỉ é ề
ề t0 ỉ ứ é ẹ ỉ ẹ
ỉ ỉ é ề


ì
ẹề í
ể ẹ ỉ t0 á ự ữ é (k+1) (t0 ) ỉ ứ

(k+1) (t0) = (k) (t0 )
è ề
é ễ C k ỉ t0 ềụ ỉ ề ỉ

ể ẹ
ễ 1, 2 , ..., k
ỉ é ề

t0 (k) é ũề ỉ
ỉ t0

ẵ ặ íũề ẹ ỉự
ễ ề




ể ẹ

: J En ặụ





ể =
ỉ ẹ tJ ỉ ứ



ỉ ứ
ệ ề ềụ é ề íũề ẹ






ề é ề íũề ẹ


ỉ ẹ ỉ ụề







: J En ì ể

ấ ệ ề
é ề íũề ẹ









+C C é


ự ữ é
íũề ẹ






(t) dt = + C .





èệểề
=
C é


ỉệểề E n ỉ ứ


(t) dt =




1 (t) d (t) , ...,

ẵẵ

ề ặụ é í ẹ ỉ ữ ỉ

n (t) d (t) .





ϕ : J → En
Ò ÙÝòÒ
× →

Ò º
Ì Ð Ý a, b ∈ J, a < bº Ì
Ð Øù
Ô



Ñ Ú F (t) Ð Ñ Ø Ò ÙÝòÒ

Ú
Ø

÷Ù





F (b) − F (a)

Ò

Ñ Ú
Ø ϕ ØÖòÒ Ó Ò [a, b] Ú
b

ù

÷Ù Ð





ϕ (t) dt = F (t)|t=b
t=a .

a

Ã



En

ØÖ Ò

֯

b

a

½º¿º

b





ϕ (t) dt = 

Ò Ø
Ì ÝÐÓÖ
Ó

¸Ø
b


→ (t) dt, ...,
ϕ
1
a

Ú




Ñ Ú
Ø →
ϕ : J → En

a




→ (t) dt
ϕ
n

Ñ Ú
Ø Ñ Ø ôÒ
Ú

ôÒ
Ô k + 1 Ø

t0 ¸ Ø

→′

∆t2 −
∆t −




ϕ (t0 ) +
ϕ′′ (t0 ) + ...
ϕ (t0 + ∆t) = ϕ (t0 ) +
1!
2!
−→


∆tk −−→
∆tk+1 −−
(k)
+
ϕ (t0 ) +
ϕ(k+1) (t0) + ξ (t0 , ∆t) .
k!
(k + 1)!
ÌÖÓÒ



ξ (t0 , ∆t) Ð Ñ Ø

Ñ Ú
Ø Ð òÒ Ø




lim ξ (t0 , ∆t) = 0.

∆t→0

½¾

∆t Ú

Ñ


ề ắ


ắẵ


ểề
ựề ếí
ỉ ữ


ứề
ễ ề



ểề

ẹ ỉ
ểề ú
ễ ụề


ề ỉ é á ứề
ễ ề
ửềá
ỉề ề

ỉự



á ứề
ễ ề
ửề
ề ũề


ỉựề






ểề ẹ ỉ
ểề èí ề ũềá ỉ

ề ũề


ỉựề
ỉ ễ ỉ
ể ề


ểề
ẹ ỉ
ểề ỉệểề é ề

ẹ ỉ ửẹ ẩ
ề ễ ễ

ệ ẹ ỉ


ử ề ũề


ỉựề


ề é ì
ề ễ ễ
ỉựề ễ ề
ứá

ề ẹ ỉ
ểề
ĩ ẹ ĩ ỉ ỉệểề ứề
ễ ềì
ĩ



ụề

ề ỉ ụỉ
é á ứề
ễ ề ỉể ề

 í ỉ
ề ũề
ì ề



ỉựề


ề éũề ề

ỉể ề

ểề ẹ ỉ
ểề
é
ú ỉ ề ỉ ỉ ũ ử ề ỉ
ứề
ễ ề
ửề
é
ề ũề


ẹ ỉ
ểề èí ề ũềá ẹ ỉ ỉựề






ểề ì ĩ ỉ ữề ẹ ỉ

ỉ ề ũề
ề ũề


ẹ ỉ
ểề
é ề ề í ì ỉệứề
í ú ữ
ề ũề



ểề
èệểề
é ềá ẹ
ắạắ ụề ắạ
ỉ ữ


ề ế ề ỉệ ề


ểề ỉ ẹ ì á
ề á


ỉ à
ắạ é ỉệ ề ỉ ẹ

ề áề
ể ẹ

ụề ỉ
ú


ểề
ề ỉ ụỉ


ề ũề


ẹ ỉ
ểề
ắạ ắạ ì
ỉứẹ ử ì ề ú


ểề




ắắ




ểề ỉ ẹ ì


ì ỉ
(x, y, z) ẻ ẹ
ỉ ũ é
ẹ ỉ
ự ữ R3 é
3
ựề ĩ


ỉ ễ
ểề
R

é


ểề à é ứ èệểề
ỉệ ề
ễ ề íá

ề ẹ ỉ
ú


ề ễ ễ ỉựề ễ ề
ỉ ử
ễ ề
ỉ ễ
ểề
ề ề ỳ ẹ ỉ

ỉ ề ũề
ỉ ề ế

ẹ ì

è ề ệ ề ẹ ỉ ẹ ì
ẹ ỉ ụề ì ỉ
é

ỉệ ềà
ềụ
ể ẹẹ
ễỉ ẹ
ửẹ

ề ề ỳ ắắẵ


ểề ỉ ẹ ì
é ẹ ỉ ề ĩ
: I R3 ỉệũề
ẹ ỉ ể ề ẹ á à
ề ỉ ề ỉ
R ể R3
è
ỉệểề ề ề ỳ ề í
ử ệ ề é ề ĩ ỉ ề ề
ẹ t I é ẹ ỉ ửẹ (t) = (x(t), y(t), z(t)) R3 á ỉệểề

ụề ì t

é ỉ ẹì

ẹ ì x(t), y(t), z(t) é
ểề è
ểề
é í ỉệểề ỉệ ề
ễ ỉ ề ế ỉ ử ỉ
ề éể
ỉệ ề
ễ a = ; b = +
ặụ ỉ
ử ỉ x(t) é
ể ẹ
ề ỉ
x ỉ
ửẹ t




ẹ ì y z
ề
ử ỉ
ề ề íá ỉ ứ

(x(t), y (t), z (t)) = (t) R3

é
ỉ ỉ ụễ ỉíụề ể


ề ỉ
à

ểề ỉ t è ễ ề (I) R3

é ụỉ
è ềũề ễ ề ữỉ ẹ ỉ

ểề ỉ ẹ ì á ề é ẹ ỉ ề ĩ á ề
3
ụỉ é ẹ ỉ ỉ ễ
ểề
R


ẻự

ắắẵ

ểề ỉ

ẹì




(t) = (a cos t, a sin t, bt), t R,
ụỉ ỉệểề R3 é ẹ ỉ




ú
ể 2bá ỉệũề ứề ỉệ
2
2
2
x +y = a è ẹ ì t
íé ì ể
ỉệ
Ox
ề ỉ ề
ế

ầá
ề ỉ ề ề í é ứề

ửẹ (t) éũề
ẹ ỉ ễ ề Oxy ứề ắẵ à




ẻự

ắắắ

ề ĩ : R R2

ểề ỉ ẹ ì

ụỉ

(0) = (0, 0) é
ỉ ề ỉ

(t) = (t3, t2)á t Rá é ẹ ỉ

ử ừề ứề ắắ ặ ề ỉ í ệ ề á
ề ẳ t = 0



í
(t)
(t)


ĩ

ẻự

í


ĩ



ứề ắẵ

ứề ắắ

ắắ

ề ĩ : R R2 ĩ

(t) = (t3 4t, t2 4)á t R é ẹ ỉ

ểề ỉ ẹ ì
ứề ắ à ặụ (2) = (2) = (0, 0) ỉ ứ
ề ĩ
ề é ề ĩ ẵạẵ

í
í


ĩ

ứề ắ

ứề ắ

ẻự

ắắ


ĩ


ề ĩ : R R2 ĩ

ểề ỉ ẹ ì
á ứ |t|


ẻự

(t) = (t, |t|), t Rá
ề é
ỉ t = 0 ứề ắ à



ắắ



ểề ỉ ẹ ì ễ ề ữỉ (t) = (cos t, sin t)á (t) = (cos 2t, sin 2t)á
ỉệểề
t (0 , 2 + )á > 0á
ụỉ
ề ề á
ề é
ề ỉệ ề
2
2
x + y = 1 ặ ề ỉ íá
ỉ ề ỉ


ểề ỉ ắ é




ểề ỉ ề ỉ ứề ắ à

í

(t)


(t)

ĩ

ứề ắ
è ụễ ỉ ể é ẹ ỉ ì ỉựề





ỉ ỉệểề R3

ỉ u = (u1, u2, u3) R3 ĩ

ề ỉ
|u| = (u1)2 + (u2)2 + (u3)2.
èệểề ứề
á |u| é
ể ề


ửẹ (u1, u2, u3) ụề
ầ ẳáẳáẳà
è é í


ỉ u = (u1, u2, u3) v = (v1, v2, v3) ỉệểề R3 ỉự

ề u.v ĩ

ứề ắ à
u.v = |u|.|v|. cos .


ỉựề
ỉ ì


ì ệ ề á u v é



u.v = 0 u ỉệ
ể v

0

ắ u.v = v.u

.(u.v) = u.v = u.v




Þ

Ú

Ù

θ

v cos θ

u3

Ç

Ý

v3 v1

u1

v2
u2

Ü

ÀøÒ ¾º

º u.(v + w) = u.v + u.wº
Ú Ó ÷Ø
Ø ø Øù
Ú
Ò ×
ØùÒ Ò × Ù
Ä Ý e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)º õ Ò
öÑ ØÖ
ei .ej = 1 ÒôÙ i = j Ú ei .ej = 0 ÒôÙ i = j ¸
Ý i, j = 1, 2, 3º
Ì

u = u1 .e1 + u2.e2 + e3 .e3;
Ú ×



v = v1.e1 + v2.e2 + e3 .e3,

Ò

ØùÒ

Ø¿Ú
Ø Ø Ù

u.v = u1 v1 + u2v2 + u3v3.
Ì
öÙ Ø
ØÖòÒ¸ ÒôÙ u(t) Ú v(t)¸ t ∈ I Ð

Ò
ÓÒ
u(t).v(t) Ð Ñ Ø Ñ ×
Ú¸Ú
d
(u(t).v(t)) = u′(t)v(t) + u(t)v ′(t).
dt

ÁÌ È

Ø Ô ¾º¾º½º
ÌøÑ Ñ Ø

Ú¸Ø ø

Ò
ÓÒ Ø

Ñ × α(t)
ÚôØ Ð

½

Ò ØÖ Ò x2 + y 2 = 1




(t)
í ế ề

ỉ ễ ắắắ

ề ỉệ ề ỉ ể
ú





(0) = (0, 1)


ểề ỉ ẹ ì

ế
ể (t) é ẹ ỉ

(t0) é
ửẹ ỉệũề ụỉ
ề
(t) = 0


ỉ (t0 ) é ỉệ

ỉ (t0 )


ặụ
ề ẹề ệ ề á

ỉ ễ ắắ



ểề ỉ ẹ ì (t)
ỉựề
ỉ ửề
ứ ú
0








(t) =

ỉ ễ ắắ




t I ẻ
é ỉệ

: I R3 é ẹ ỉ

ểề ỉ ẹ ì é í
ỉ v R3 é

ỉ v ẹ

ì ệ ề á
ỉ (t) é ỉệ

ỉ (0)
ề ỉệ

ỉ v
ề ẹ ề ệ ề á (t)
ể v ẹ t I

ỉ ễ ắắ


ểề ỉ
ể : I R3 é
t I
ề ẹ ề (t) é
ề ì

ể (t) ẹ t I





ẹ ì á
ỉ (t) = 0 ẹ
ẳ ềụ
ỷ ềụ (t) é ỉệ


ểề
ựề ếí



ể : I R3 é ẹ ỉ

ểề ỉ ẹ ì
ẻ ẹ t Iá

ề ỉ ề
ửẹ (t)
ỉ (t)
ềụ (t) = 0á ỉ ứ
ẹ ỉ
ề ề í

é ỉ ụễ ỉíụề ỉ t ú ế ề ỉệ ề ỉệểề
ề ũề
ứề
ễ ề
ẹ ỉ
ề é ì ỉ ề ỉ ỉ ụễ ỉíụề
ỉ ẹ
ửẹ ể á ỉ
t ỉ ứỉ
ẹ ề (t) = 0 é ẹ ỉ ửẹ


ụ ề ũề



ểề

ửẹ ứ
ặ ỉệểề ẻự


ắạắ ỉ ứ t = 0 é ẹ ỉ ửẹ ứ

ề ề ỳ ắẵ ỉ


ểề
ỉ ẹì

é
ựề ếí ềụ (t) = 0 ẹ t I


è

í
áỉ
ỷĩ ẹĩ ỉ


ểề ỉ
ử ỉ ề ỉ ữề ỉ

à



: I R3

ẹì



á
ựề ếí


ể t Iá
ửẹ t0 á




ề ề





ẹ ỉ


ểề
ựề ếí : I R3 ỉ
t

s(t) =
t0

| (t)|dt,

í

| (t)| = x2(t) + y 2 (t) + z 2 (t).
é

ỉ (t) ẻứ (t) = 0á ềũề
ề s é ẹ ỉ ẹ ì
ds
= | (t)|

t
dt
ỉ ử ĩ í ệ ỉệ ề
ễ ỉ ẹì t é
ề ỉựề ỉ ẹ ỉ ì
ds
= l = | (t)|á ể á
ỉ ề ỉ

ửẹ èệểề ỉệ ề
ễ á
dt

ề l ặ
é á ềụ | (t)| = 1á ỉ ứ
ì

t

dt = tạt0 á

t0


ỉựề ỉ ẹ ỉ ì
ửẹ
ỳ é áté
ử ề
ềá ỉ ì

ụ ữ
ử ừề


ểề ỉ
ỉ ể
ề èệểề ỉệ ề

ề á ỉ

ề ỉ ụỉ ễ
ễ ụề


ề sá ứ  ụỉ

ề ữẹ é

í ề ỉ ú ể ẹ
(s)
ề s (a, b)á ỉ



ểề ỉ ẹ ì
ể ề á à (ạs) = (s)á

ểề

ểề ỉệểề
ụỉ
ề ề ề ề
ử ừề ỉ ể
ề ề
é á

ểề é

ẹ ỉì ỉ í



ỉ ễ ắẵ

ẹ ì




ú

ửĩ ỉ

á

è ẩ

ề ẹề ệ ề

ề ỉ ụễ ĩ

2
3

ì (t) = (3t, 3t , 2t ) ỉ ể ẹ ỉ


ểề
ựề ếí ỉ ẹ

ề y = 0 z = x

ỉ ễ ắắ
ề ỉệ ỉ
ỉ ỳ ỉệ ề
ề ựề l ỉệểề ẹ ỉ ễ ề Oxy é ề
ỉ ể ỉệ
Ox ứề ẹ ỉ
íửề ề
ẹ ỉ ửẹ ỉệũề ề ỳ
é ẹ ỉ

í
éể ỉ ứề ắ à


ểề ỉ ẹ ì : R R2
ụỉ é

í
éể ỉá
ĩ


ửẹ
ựề ếí






í


í

é



èựề
ỷề





ĩ

ứề ắ

í
éể ỉ ề

ẹ ỉ ề ế í ể ề

ỉ ễ ắ

ểầ ắ é
ề ựề
ề ỉệ ề S 1 ầ á ẻ ỉ ề ề
ỉề
ề r

ửẹ
é

ỉ ụễ ỉíụề S 1 ỉ ầ

ỉ S1 ỉ
ẻỉ
èệũề ầ é í ể ề ầễ ầ ặụ ỉ ế í
r ế ề ầá ửẹ ễ ì
ệ ẹ ỉ

ểề

é
ề ĩ ĩể ỉ
2
3
ỉ y (2x z) = x à
ề ầ ề ỉệ
xá ầ ề ỉệ
y á

ẹề ệ ề
ẻụỉ
2at2 2at3
,
), t R3,
(t) = (
2
2
1+t 1+t
é ẹ ỉ
ề ĩ ĩể ỉ t = tan á ứề ắ à

ầẳáẳà é ẹ ỉ ửẹ ứ
ề ĩ ĩể ỉ
ề x = 2aá (t) (0, 2a) ể
ặụ t á ỉ ứ (t) ề ụề
t á ỉ ụễ ỉíụề

ểề ỉ ụề ề ụề
ề x = 2aá
á
ỉ ề
ề x = 2a é ẹ ỉ
ề ỉ ữẹ

ề ĩ ĩể ỉ

ỉ ễ ắ

ể : (0, ) R2 ĩ

èệ



t
(t) = (sin t, cos t + log tan )
2
íté

ỉệ
ầí
ỉ (t) ẻụỉ


ỉệ ĩ ứề ắ à ề ẹ ề ệ ề
é ẹ ỉ

ểề ỉ ẹ ì
á ỉệ ẹ ỉ ửẹ


ể ềỉ

ề ĩ



ửẹ ỉ

ắẳ



ỉ é ỉ ụễ

ửẹ

é





2
ỉ ụễ ỉíụề
ữỉ t =


í

í




é
é




ĩ



(t)







ĩ

é

S1

ứề ắ

ầí

ề ĩ ĩể ỉ

ề èệ
ỉệ ĩá


ỉ ễ ắ

ứề ắ

ửẹ ỉ
ề l

é



ửẹ

ề ỉệ
ỉệ ĩ

ỉ ụễ ỉíụề

ỉệ

ể : (1, +) R2 ĩ


3at 3at2
(t) = (
,
)
1 + t3 1 + t3

ề ẹề ệ ề
ẻ t = 0á ỉ ụễ ĩ
ỉệ
ầĩ
t +, (t) (0, 0) (t) (0, 0)
í

ểề

ữềá
t 1á ỉ ụễ ỉíụề

ểề ỉ ụề ề ỉ
ề x + y + a = 0
ĩ ề
ứề ỉ
ỉ ụỉ ể ề
ỷề
ỉ ể

ề í ì
ế
ề y=x

é ẹ ỉé
ì
ệỉ ì ỉ x3 + y3 = 3axyà
ứề ắẵẳ à

ỉ ễ ắ
ể (t) = (aebt cos t, aebt sin t), t R, a = b = constant, a > 0, b < 0á
é ẹ ỉ

ểề ỉ ẹ ì
t +á (t) ỉ ụề ề ú
ỉ ể
ầá

ề ẹề ệ ề á

ắẵ


í


ĩ

ứề ắẵẳ

ì
ệỉ ì

í




ĩ

ứề ắẵẵ

ề ĩể ề
éể

ĩể ề
ế ề ầ
á ụỉ

ứề ắẵẵ à

ề ẹ ề ệ ề á (t) (0, 0)



é

t +

t

lim

t+
t0

é



ềá

ỉ ễ ắ



| (t)|dt,
ề ỉệểề [t0, +)

ắắ

ề ĩể ề
éể


á


ỉ ề ĩ : I R3
é ẹ ỉ ề
ểề
é ễ C k ềụ

ẹì ỉ
ỉệểề
ử ỉ
(t) = (x(t), y(t), z(t))



é ễ C 0
ẹ é ũề ỉ
ụề
ễ k ặụ
ỷ é ũề ỉ
á ỉ ề ệ ề


ểề

é
ề ềụ é ề ĩ ẵạẵ ể á ề
ểề ỉệểề ẻự


ắạắ


3

ểề

é ễ C 0 è ề ệ ề
ể:I R é ẹ ỉ

ỉ ụễ ỉíụề íụ ỉ t = t0 I á ềụ
ề ĩ

(t0 + h)
(t0))
ẹ ỉ ỉệự

h 0 è
ề ề
ỉ ụễ ỉíụề
ẹ ề ỉ t = t0 ềụ ề ĩ

(t0 + h) (t0 + h)
ẹ ỉ
ỉệự

h, k 0
ề ẹề ệ ề

ỉ ụễ
(t) = (t3 , t2), t R
ẹ ỉ ỉ ụễ ỉíụề íụ ề ề
ỉíụề ẹ ề ỉ t0
é ễ C 1
ựề ếí ỉ t = t0 á

ặụ : I R3
ẹ ỉ ỉ ụễ ỉíụề ẹ ề ỉ t = t0 .


ểề


(t) =
é
é ễ C1 ề ề

ểề


ỉ ỉ ụễ ỉíụề

(t2, t2 ) t 0,
(t2, t2 ) t 0,
é ễ C 2 ẻ


ứề



ừề



ỉ ễ ắ
ể : I R3 é
ề è ễ ề ể


ểề
é í [a, b] I é ẹ ỉ ể ề
ể ề [a, b]
a = t0 < t1 < . . . < tn = b.
n
ỉỉ ề
í P é ụỉ ỉ ỉ
ễ ề
i=1 |(ti ) (ti1 )| = l(, P )á


ề ỉ
|P |
ẹ ỉ ì ễ ề ể

ĩ
ề ề ì
|P | = max(ti ti1), i = 1, 2, . . . , n.
èệểề
ứề
á l(, P ) é
ú

ẹ ỉ
ề ỉ ụễ ỉệểề
([a, b])

ỷề é (ti ) ứề ắẵắ à ể á

([a, b])
é




ề ỉ ụễ
ề ẹ ề ệ ề á > 0á ỉ ề ỉ > 0 ì ể
ể ềụ |P | < ỉ ứ
b

| | (t)|dt l(, P )| < .
a




(ti )

(tn 1)

(t0 )

(t2 )
(tn )

(t1 )

ứề ắẵắ

ỉ ễ ắ

ểề
é ễ C 0 ỉ ề ỉ
ỉ ễ

ể : I R3 é ẹ ỉ
à ậ
ề ẹ ỉ ĩ ễ ĩỷ


ề ỉ ụễ ỉệểề
ỉ ễ
ểỉ
ẹ ỉ ề ề ỳ
ễ éự




ểề

 ỉệ ề
à ẻự ì í ử

ẹề á ẹ ỉ ề ề ỳ
ỉ ứá

ẹ ỉ

ểề


ỉ ử
ề ĩ

ể : [0, 1] R2
é ễ C 0 ỉệểề ẹ ỉ ể ề

ĩ

(t) = (t, t sin ) ềụ t = 0, (0) = (0, 0)á
ẹ ỉ
t
1
2
1



ễ ề

ểề
t ề ề ỉ
1
n+1
n
n+
2
1
ú

ề ẹề ệ ề


ểề ỉệểề ể ề t 1
n
1
N
é > 2 n=1
á é
ề ềụ N
n+1

ỉ ễ ắẵẳ





ề ỉ ề ề ề ề ỉà

ẹ ì í [a, b] I

ề ẹề ệ ề á

ể : I R3 é ẹ ỉ

ểề
ỉ (a) = p, (b) = q
ẹ ỉ

ề v ỉ ứá |v| = 1á ỉ ứ
b

(p q)v =



qp
ỉv=

|q p|

a

(t)vdt

b

a

| (t)|dt.

ề ẹề ệ ề
b

|(b) (a)|



a

| (t)|dt;


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×