Tải bản đầy đủ

Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
********

BÙI THỊ THẢO

LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG
VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

Hà Nội - 2014


LỜI CẢM ƠN
Bản khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận
tình, chu đáo của TS. Nguyễn Văn Hùng. Qua đây, em xin gửi lời cảm

ơn sâu sắc đến thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình
em hoàn thành bản khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, chỉ bảo của các thầy, cô
trong khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho
em trong suốt quá trình em học tập tại trường.
Do điều kiện thời gian và khả năng bản thân có hạn nên những vấn
đề trình bày trong đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy,
em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô và các
bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Bùi Thị Thảo


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận
tình của thầy Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em.
Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô
trong khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2. Trong quá trình nghiên cứu
khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả đã nêu trong mục
tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định nội dung đề tài: “Lý thuyết điểm bất
động và ứng dụng” không có sự trùng lặp với các đề tài khác.

Sinh viên
Bùi Thị Thảo


MỤC LỤC
PHẦN 1. MỞ ĐẦU .................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài. .................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu. ............................................................................ 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ........................................................................... 2
4. Cấu trúc của khóa luận. ......................................................................... 2
PHẦN 2. NỘI DUNG CHÍNH ............................................................... 3
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................... 3
1.1. Không gian metric. ............................................................................ 3
1.2. Tôpô trong không gian metric. ........................................................... 5
1.3. Ánh xạ liên tục. ................................................................................. 6


1.4. Không gian metric đầy đủ. ................................................................ 7
1.5. Tập hợp compact. .............................................................................. 7
1.6. Không gian định chuẩn. .................................................................... 9
1.7. Tính lồi. ........................................................................................... 13
1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều............................................ 17
Chƣơng 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG. ......................... 20
2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach........................................................... 20
2.2. Định lí điểm bất động Brouwer....................................................... 23
2.3. Định lí điểm bất động Schauder. ..................................................... 29
Chƣơng 3: MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ... 32
3.1. Áp dụng giải gần đúng phương trình và hệ phương trình phi
tuyến. ....................................................................................................... 32
3.2. Áp dụng đối với phương trình vi phân thường. .............................. 48
Phần 3. KẾT LUẬN .............................................................................. 57
Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................... 58


PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm
phi tuyến trong giải tích hàm - một môn toán học vừa mang tính lý
thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi. Ngay từ đầu thế kỉ 20, các nhà
toán học trên thế giới đã quan tâm đến vấn đề này và cho tới ngày nay có
thể khẳng định rằng, lý thuyết điểm bất động đã được phát triển hết sức
sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu để được giải quyết nhiều bài
toán khác nhau do thực tế đặt ra. Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền
với tên tuổi của các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach,
Brouwer, Schauder, KyFan, Goebel, …
Sự ra đời của Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và Nguyên
lý ánh xạ co Banach (1922) đã hình thành hai hướng chính của lý thuyết
điểm bất động: sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục và sự tồn tại
điểm bất động dạng co. Các nhà toán học đã mở rộng kết quả này dựa
trên lớp các không gian tổng quát như: định lý điểm bất động Schauder
(1930) trong không gian định chuẩn, định lý Tikhonov (1935) trong
không gian lồi địa phương, sau đó mở rộng đến ánh xạ đa trị nửa liên tục
trên, mở đầu là kết quả của Kakutani (1941), tiêu biểu là KyFan (1952).
Những kết quả kinh điển và đầu tiên của lý thuyết điểm bất động có
nhiều ứng dụng trong các nghành toán học hiện đại như: chứng minh sự
tồn tại nghiệm của phương trình vi phân, phương trình và hệ phương
trình phi tuyến, phương trình tích phân, Giải tích hàm, Giải tích số,...
Với các lí do đó, em đã chọn đề tài là:
“Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng”

1


2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và thực hiện
khóa luận tốt nghiệp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số định lí điểm bất động trong không gian Banach
và không gian định chuẩn hữu hạn chiều.
Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải
bài tập về chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân, giải
gần đúng phương trình và hệ phương trình phi tuyến.
4. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận, phần nội dung chính của khóa luận
gồm 3 chương:
Chương 1: Nêu một số kiến thức lí thuyết cơ bản cần dùng trong
chương 2 và chương 3 như: không gian metric, không gian định chuẩn,
không gian metric đầy đủ, Tôpô trong không gian metric, ánh xạ liên tục,
tập hợp compact, tính lồi, không gian định chuẩn hữu hạn chiều.
Chương 2: Nêu nguyên lí ánh xạ co Banach, định lí điểm bất động
Brouwer, định lí điểm bất động Schauder, chứng minh định lí và các ví
dụ áp dụng.
Chương 3: Ứng dụng các định lí điểm bất động trong việc giải
phương trình vi phân thường, phương trình và hệ phương trình phi tuyến
thông qua bài toán tổng quát và ví dụ cụ thể.

2


PHẦN 2. NỘI DUNG CHÍNH
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi là không gian metric một tập hợp X   cùng
với một ánh xạ d từ tích Descartes X  X vào tập hợp số thực

thỏa

mãn các tiên đề sau đây:
(i)  x, y  X  d  x, y   0, d  x, y   0  x  y (tiên đề đồng nhất);
(ii)  x, y  X  d  x, y   d  y, x 

(tiên đề đối xứng);

(iii) (x, y, z  X ) d ( x, y)  d ( x, z )  d ( z, y)

(tiên đề tam giác).

Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d ( x, y) gọi là khoảng cách
giữa hai phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề
(i), (ii), (iii) gọi là hệ tiên đề metric.
Ví dụ 1.1.1: Ta kí hiệu

x

 ( x)n1

là tập tất cả các dãy số thực hoặc phức


 xn

sao cho chuỗi số dương

2

hội tụ. Với hai dãy số bất kì

n 1

x  ( xn )n1 , y  ( yn )n1 ta đặt:
d ( x, y ) 



 xn  yn

2

(1.1)

n1

Hệ thức (1.1) xác định một ánh xạ từ tích Descartes l2  l2 vào tập số
thực

.

Thật vậy, với mọi n  1,2,3,... ta có:
2

xn  yn  xn2  2  xn  yn  yn2
2

2

 xn  2  xn  yn  yn .

3


Do đó với mọi số p dương đều có:
p

p

p





 xn  yn  2   xn  2   yn  2  xn  2   yn
2

n1

2

n1

2

n 1

2

n 1

2

n 1

Suy ra
p





 xn  yn  2  xn  2   yn
2

n1

2

n1

2

n1

nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.1) hội tụ.
Dễ dàng thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn các tiên đề (i), (ii) về metric.
Với ba dãy bất kì x  ( xn )n1 , y  ( yn )n1 , z  ( zn )n1 thuộc

và với số

p dương tùy ý ta có:
1
2 2

1
2



2
x

y


n
n


  ( xn  zn  zn  yn ) 
 n1

 n1

p

p

p

1
2 2

p

1
2 2



1
2 2



1
2 2



   xn  zn     zn  yn 
 n1

 n1




   xn  zn     zn  yn 
 n1

 n1


Cho

ta được:


1
2 2



1
2 2



1
2 2




d ( x, y )    xn  yn     xn  zn     zn  yn 
 n1

 n1

 n1

 d ( x, z)  d ( z, y)

Do đó hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề (iii) về metric.
Định nghĩa 1.1.2: Cho không gian metric M  ( X , d ) , dãy điểm

( xn )  X , điểm x0  X . Dãy điểm ( xn ) được gọi là hội tụ tới điểm
trong không gian M khi n   , nếu

4


(  0) (n0 

*

) (n  n0 ) d ( xn , x0 )   , kí hiệu:

lim( xn )  x0 hay xn  x0 (n  )

n

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của một dãy điểm ( xn ) trong không
gian M .
Ví dụ 1.1.2: Sự hội tụ của một dãy điểm (

) trong không gian

là sự

hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học.
1.2. Tôpô trong không gian metric
Định nghĩa 1.2.1: Cho không gian metric M  ( X , d ), a  X , số thực

r  0 . Ta gọi:
Tập S (a, r )  x  X : d ( x, a)  r là hình cầu mở tâm
Tập S '(a, r )  x  X : d ( x, a)  r là hình cầu đóng tâm
Định nghĩa 1.2.2: Một hình cầu tâm

bán kính

(

bán kính
bán kính
) trong không

gian metric ( X , d ) là tập
S  a, r   x : d  x, a   r.

S  a, r  cũng được gọi là một

bao hàm một

– lân cận của điểm

– lân cận nào đó của điểm

và mọi tập con của

gọi là một lân cận của .

Xét một tập A bất kì trong không gian metric X và một điểm

x  X . Nếu:
(i) Có một lân cận của x nằm trọn trong A thì x được gọi là điểm
trong của tập hợp A .
(ii) Bất cứ lân cận nào của x cũng có những điểm của A lẫn những
điểm không thuộc A thì x được gọi là một điểm biên của tập A .
Định nghĩa 1.2.3: Cho không gian metric M   X , d  và tập A  X .
Tập A gọi là tập mở trong không gian A, nếu mọi điểm thuộc A đều là

5


điểm trong của A hay nói cách khác, nếu điểm x  A, thì tồn tại một
điểm lân cận của A bao hàm trong A.
Tập A gọi là tập đóng trong không gian M nếu mọi điểm không
thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x  A ,
thì tồn tại một điểm lân cận của điểm x không chứa điểm nào thuộc tập .
Định lý 1.2.1: Cho không gian M   X , d  , tập A  X và A   . Tập
đóng trong không gian
tới điểm

khi và chỉ khi mọi dãy điểm  xn   A hội tụ

thì x  A.

Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử tập A   đóng trong không gian
và dãy điểm  xn   A hội tụ tới , nhưng x  A . Khi đó tồn tại lân cận
S  x, r 

 xn   

điều này mâu thuẫn với tính chất của điểm

, vì vậy

x  A.

Điều kiện đủ: Giả sử tập A thỏa mãn điều kiện: mọi dãy điểm

 xn   A

hội tụ tới , thì



Lấy một điểm tùy ý z  A , giả sử với

1
 1
mỗi n  1, 2, 3,... Hình cầu mở S  z,  tâm z , bán kính
đều chứa
n
 n

một điểm xn  A . Hiển nhiên z là giới hạn của dãy điểm  x, xn   A
theo giả thiết z  A . Điều này mâu thuẫn với tính chất của điểm z . Vì
vậy phải tồn tại lân cận S  z, r 

A   . Do đó A là tập đóng.

1.3. Ánh xạ liên tục
Cho hai không gian metric M1  ( X , d1), M 2  ( X , d2 ) , ánh xạ f từ
không gian M1 lên không gian M 2 .
Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ

f gọi là liên tục tại x0  X , nếu

  0,   0 sao cho x  X : d1 ( x, x0 )   thì d2 ( f ( x), f ( x0 ))   .

6


Định nghĩa 1.3.2: Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A  X , nếu ánh xạ
f liên tục tại mọi điểm

 A . Khi A  X thì ánh xạ f gọi là liên tục.

Định nghĩa 1.3.3: Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập A  X nếu:
  0,   0 sao cho x, x '  A : d1 ( x, x ')   thì d2 ( f ( x), f ( x '))   .

1.4. Không gian metric đầy đủ
Định nghĩa 1.4.1. Cho không gian metric M  ( X , d ) . Dãy điểm
( xn )  X gọi là dãy điểm cơ bản (dãy Cauchy) trong M nếu:

(  0)(n0 

*

) thì (m, n  n0 ) d ( xn , xm )   .

Hay:
lim d ( xm , xn )  0.

m,n

Dễ thấy mọi dãy điểm ( xn )  X hội tụ trong M đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.4.2. Không gian metric M  ( X , d ) gọi là không gian đầy
đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.
Ví dụ 1.4.1: (i) Không gian

n

với khoảng cách Euclid là không gian

metric đầy đủ.
(ii) Không gian

 a ,b

các hàm liên tục trên đoạn

 a, b 

với

d ( x, y)  max x(t )  y(t ) là không gian metric đầy đủ.
t a ,b

1.5. Tập hợp compact
Định nghĩa 1.5.1. Cho không gian metric M  ( X , d ) . Tập K  X được
gọi là tập hợp compact trong không gian M , nếu mọi dãy vô hạn các
phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K . Tập
K gọi là tập compact tương đối trong không gian M , nếu mọi dãy vô hạn

phần tử của tập K đều chứa một dãy con hội tụ (tới một phần tử thuộc X ).

7


Định nghĩa 1.5.2. Cho không gian metric M  ( X , d ) . Không gian M
gọi là không gian compact, nếu X là tập compact trong M .
Định lý 1.5.1. ( Hausdorff) Một tập compact thì đóng và hoàn toàn bị
chặn. Ngược lại, một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong không gian
metric đủ thì compact.
Định lý 1.5.2. ( Heine – Borel) Một tập M là tập compact khi và chỉ khi
mọi tập mở G  phủ lên M : M 

 G ,

tồn tại một họ con hữu hạn:

G1 , G 2 ,, G m vẫn phủ được lên M .

M

m
j 1

G j .

Chú ý: Giao một số hữu hạn tập mở là tập mở. Hợp một họ bất kì tập mở
là tập mở. Do đó, không gian metric có cấu trúc mới: cấu trúc Tôpô.
Định lý 1.5.3. (Định lý về ánh xạ liên tục trên compact) Cho 2 không
gian metric M1  ( X , d1 ), M 2  ( X , d2 ) , và ánh xạ f ánh xạ M1 vào
M 2 . Nếu ánh xạ f liên tục trên tập compact K  X thì

1) f liên tục đều trên K .
2) f ( K ) tập compack trong không gian M 2 .
Chứng minh: 1) Giả sử ánh xạ f không liên tục đều trên tập compact
K , nghĩa là tồn tại số  0  0 , sao cho với mọi số tự nhiên n  1, 2,... đều

tìm

được

cặp

điểm

xn , x 'n  K



1
d1 ( xn , x 'n )  ,
n

nhưng

d2  f  x  , f  x '    0 Vì K là tập compact nên dãy ( xn ) chứa dãy con

( xnk ) hội tụ tới x0  K . Khi đó dãy con (

)(

) hội tụ tới x0 , điều

này suy ra từ hệ thức:
d1 ( x 'nk , x0 )  d1 ( x 'nk , xnk )  d1 ( xnk , x0 ) 

8

1
 d1 ( xnk , x0 ) .
nk


Vì ánh xạ f không liên tục trên tập compact K nên ánh xạ f liên
tục tại x0  K . Do đó:
lim f ( xnk )  lim f ( x 'nk )  f ( x0 ).

k 

k 

Điều này mâu thuẫn với tính chất của dãy ( xn ) :

       ,  k  1,2.

d2 f xnk , f x 'nk

0

Mâu thuẫn đó chứng tỏ ánh xạ f liên tục đều trên tập compact K .
2) Lấy một dãy bất kì ( yn )  f ( K ) . Tồn tại dãy ( xn ) sao cho
( yn )  f ( xn ), (n  1,2,...) . Do K là tập compact, nên dãy ( xn ) chứa dãy

con ( x 'nk ) hội tụ tới điểm x0  K . Vì ánh xạ f liên tục trên tập compact
K , nên f liên tục tại điểm

. Do đó

 

y0  f ( x0 )  lim f xnk .
k 

Điều

này

chứng

tỏ,

dãy

( yn )  f ( K )

chứa

dãy

con

( ynk )  f ( xnk ), (k  1,2,...) hội tụ tới y0  f ( K ) . Vì vậy f ( K ) là tập

compact trong M 2 .
1.6. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.6.1. Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường
phức) cùng với một ánh xạ từ tập X vào tập số thực

( thực hoặc

, kí hiệu là . và

đọc là chuẩn , thoả mãn các tiên đề sau đây:
(i) (u  X ) u  0, u  0  x   ( kí hiệu phần tử không là  );
(ii) (u  X ) (  )  u   u ;
(iii) (u, v  X ) u  v  u  v .

9


Số x được gọi là chuẩn của vecto . Ta cũng kí hiệu không gian định
chuẩn là

.

Định lý 1.6.1. Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai vectơ bất kì
u, v  X ta đặt

d (u, v)  u  v

(1.6.1)

Khi đó d là một metric trên X .
Chứng minh:
(1) d (u, v)  u  v  0 (u, v  X ) do đó tiên đề (i)
d (u, v)  0  u  v  0  u  v.

(2) d (u, v)  u  v  1(v  u)  1 v  u  v  u  d (v, u )(u, v  X ).
(3) (u, v, w  X ) d (u, w)  u  w  (u  v)  (v  w)
 u v  vw 
 d (u, v)  d (v, w) .

Nhờ định lý 1.6.1, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành
không gian metric với metric (1.6.1). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã
đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.6.2. Dãy điểm (un ) trong không gian định chuẩn

gọi là

một dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu:

   0  n0 

*

 m, n  n  u
0

m

 un   .

Hay là:
lim um  un  0 .

m,n

Định nghĩa 1.6.3. Không gian định chuẩn

được gọi là không gian

Banach, nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.

10


Nhận xét 1.6.3.
Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy.
Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy.
Ví dụ 1.6.1. Cho   a  b   khi đó, X  C  a, b là không gian
Banach thực với chuẩn
u  max u( x) .
a xb

Sự hội tụ un  u khi

tương đối với

trong

un  u  max un ( x)  u( x)  0 khi n  .
a xb

Nghĩa là, dãy  un  , n  1,2,... các hàm số liên tục un :  a, b 

liên tục

đều trên  a, b đến hàm số liên tục u :  a, b  , n  1,2,...
Thật vậy, trước hết ta chỉ ra là một chuẩn. Với u  C  a, b , ta có
u  max u( x)  0 và
a xb

u  0  max u  x   0  u  x   0, (x  a, b)  u  0
a xb

trong .
Với   , u  C  a, b

 u  max  u( x)   max u( x)   . u .
a xb

a xb

Ngoài ra, từ u( x)  v( x)  u( x)  v( x) với u, v  C  a, b , ta có:
uv  u  v .

Cuối cùng ta chỉ ra X  C  a, b là không gian Banach. Theo định nghĩa
xét dãy  un  , n  1,2,... là một dãy Cauchy trong . Khi đó
un  um  max un ( x)  um ( x)   , n, m  no ( )
a xb

11

(1.6.3)


Từ (1.6.1) ta suy ra
un ( x)  u( x) khi n   , với x   a, b

(1.6.3*)

Cho m   trong (1.6.3) ta có
max un ( x)  um ( x)   , n  n0   .
a xb

Vậy sự hội tụ un ( x)  u( x) khi n   là đều trên [
Từ các điều kiện trên ta có : u  a, b 

]
liên tục. Chứng tỏ

u  C  a, b và un  u khi n   trong X. Hay , [

] là không gian

Banach thực với chuẩn
u  max u( x) với u  X .
a xb

Mệnh đề 1.6.3. Giả sử un  u khi n   là một dãy Cauchy trong
không gian định chuẩn trên

trên trường

có một dãy con

(un ' ( x)), n '  1,2,... hội tụ, nghĩa là (un ' )  u khi n   trong .

Khi đó dãy ban đầu hội tụ đến

trong .

Hệ quả 1.6.3. Giả sử


 u j 1  u j
j 1

  với un  X trên trường

, n  1,2,... khi đó dãy

(un ), n  1,2,... là một dãy Cauchy trong X .

Định nghĩa 1.6.4 (Tính liên tục). Cho X ,Y là các không gian định
chuẩn trên trường , khi đó:
Toán tử A : M  X  Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu
với mỗi dãy (un )  M , n  1,2... sao cho
lim un  u với u  M .

n

Suy ra
lim Aun  Au.

n

12


Toán tử A được gọi là liên tục nếu u, v  M và mọi   0 cho
trước, có một số   0 , sao cho u  v   thì Au  Av   , hoặc với
u  M , lim Av  Au.
vu

Hơn nữa, nếu có thể chọn   0 trong trường hợp này sao cho kết quả
trên không phụ thuộc u  M vào thì khi đó toán tử A được gọi là liên
tục đều trên M .
Ví dụ 1.6.2. Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên trường

.

Toán tử A : M  X  Y được gọi là liên tục Lipschitz nếu có một số
sao cho
Au  Av  L u  v , u, v  M

(1.6.4)

Mỗi toán tử liên tục Lipschitz là liên tục đều.
Thật vậy, từ điều kiện (1.6.4) suy ra:
Av  Au   Với mọi

v  u   ( ) 


L

thỏa mãn.

, không phụ thuộc vào .

1.7. Tính lồi
Định nghĩa 1.7.1. Tập M trong không gian tuyến tính M được gọi là
lồi nếu u, v  M ,  : 0    1 , thì  u  1    v  M
Hàm số

f :M 

được gọi là lồi nếu tập

lồi và

f  u  1    v    f  u   1    f  v  , với u, v  M ,  : 0    1 .

Ví dụ 1.7.1: 1) Cho X là một không gian định chuẩn, x0  X , r  0 khi
đó hình cầu S ( x0 , r )  x  X : x  x0  r là lồi.
2) Cho
hàm số f : X 

là không gian định chuẩn  . Đặt f (u )  u . Khi đó,
liên tục và lồi.

13


Mệnh đề 1.7.1. Giả sử A  X ,  I là các tập lồi, với I là tập các chỉ
số bất kì, khi đó tập
A
I

A cũng là một tập lồi.

Giả sử Ai  X lồi, i  , i  1,2,..., n , khi đó tập 1 A1  ...  n An là
tập lồi.
Định nghĩa 1.7.2. Tập con L của không gian tuyến tính

trên trường

được gọi là không gian tuyến tính con của

và  ,  

nếu

ta có

 u   v  L.
Không gian tuyến tính con L của không gian định chuẩn
trường

trên

là tập đóng, và lồi.

Định nghĩa 1.7.3. Cho M là một tập con của không gian tuyến tính X
trên trường

, khi đó ta định nghĩa:

Span M : không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M .
co M : Tập lồi nhỏ nhất của x chứa M .
Cho

là một không gian định chuẩn trên trường

. Khi đó:

M : Tập đóng nhỏ nhất của X chứa M (bao đóng của M ).

coM : Tập lồi đóng nhỏ nhất của X chứa M .

int M : Tập mở lớn nhất của X chứa M .

Điểm u được gọi là điểm trong, điểm biên hay điểm ngoài của M nếu:
u  int M , u M , tương ứng.

Mệnh đề 1.7.2. Cho f : M 

là một hàm liên tục trên compact khác

rỗng M của không gian định chuẩn . Khi đó, f đạt giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất trên M .

14


Mệnh đề 1.7.3. Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng
trường

, và cho A : M  X  Y là toán tử tuyến tính liên tục trên tập

compact khác rỗng M của , khi đó

là liên tục đều trên M .

Định nghĩa 1.7.4. (Toán tử compact). Cho X ,Y là các không gian định
chuẩn trên trường

. Toán tử A : M  X  Y được gọi là compact nếu:

(i) A liên tục.
(ii) A biến các tập bị chặn thành các tập compact tương đối. Hay là:
Nếu U n  , n  1,2,... là dãy bị chặn trong

U n '  , n '  1,2,... của U n 

thì có một dãy con

sao cho dãy  Aun '  hội tụ trong .

Ví dụ 1.7.4: Xét toán tử tích phân
b

 Au  x   F  x, y, u  y   dy, x  a, b .
a

Ở đây   a  b   . Đặt hàm số F : Q 

liên tục. Tập X  C  a, b


M  u  X : u  r.

Khi đó, toán tử A : M  X là compact. Thật vậy theo mệnh đề
(1.7.3) hàm F liên tục đều trên tập compact . Chứng tỏ, với mỗi   0
có một số   0 sao cho:
F  x, y, u   F ( z, y, v)  

Với  x, y, u  ,  z, y, v  

(1.7.4)

với x  z  u  v   .

Trước hết, ta có toán tử A : M  X là liên tục. Thật vậy, nếu
thì hàm số u :  a, b 
hàm Au :  a, b 

liên tục, và u( y)  r , y  a, b . Suy ra

cũng liên tục tại u, v  M , khi đó
u  v  max u  y   v  y    .
a xb

15


Chứng tỏ
b

Au  Av  max   F  x, y, u  y    F  ( x, y, v  y   dy  (b  a) .
a xb
a

Theo (1.7.4) suy ra: A : M  X liên tục.
Ta chứng minh A compact. Giả sử tập M bị chặn ta suy ra A  M  là tập
compact tương đối, bởi các giả thiết của định lý Arze là Ascoli thỏa mãn,
tức có:
(i) A( M ) bị chặn.
(ii) A( M ) đồng liên tục.
Thật vậy, CM (i). Đặt M  max F  x, y, u  , khi đó
( x , y , z )

b

u  M  max F  x, y, u  y   dy  (b  a) M .
a xb

a

CM (ii). Cho x  z   và x, z   a, b . Khi đó theo (1.7.4) ta có:
b

 Au  x    Au  ( z )   F  x, y, u  y    F  z , y,u  y   dy  b  a   , u  M
a

Do đó A( M ) compact tương đối. Vậy toán tử A : M  X compact.
Mệnh đề 1.7.4. ( Định lí xấp xỉ đối với các toán tử compact).
Cho A : M  X  Y là một toán tử compact, ở đây
không gian Banach trên trường

, và

là các

là tập con bị chặn, khác rỗng

của . Khi đó, với mọi n  1,2,... có một dãy toán tử liên tục An : M  Y
sao cho:
Sup Au  An u 
uM

1
và dim  spanAn  M     cũng như
n

An  M   coA M  .

16


1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
Định nghĩa 1.8.1. Cho X là không gian định chuẩn N - chiều trên
trường , N  1,2,.., n . Một cơ sở e1 ,..., en  của X ta hiểu là tập hợp
các phần tử e1 ,, eN của X sao cho với u  X đều có thể biểu diễn
được dưới dạng:
u  1e1   neN .

Với 1 ,..., n 

, xác định duy nhất bởi u. Các số

,…,

được gọi là

các phần tử của u.
Định nghĩa 1.8.2. Hai chuẩn . 1 và . 2 được gọi là tương đương nếu có
các  ,   0 sao cho

 u 1  u 2   u 1 , u  X .
Mệnh đề 1.8.3. Hai chuẩn bất kì trên không gian định chuẩn hữu hạn
chiều luôn tương đương.
Mệnh đề 1.8.4. Cho  un  là một dãy trong không gian định chuẩn hữu
hạn chiều , dim X  0 , khi đó un  u trong X khi n   , nếu và chỉ
nếu dãy các thành phần tương ứng (với một cơ sở cố định) hội tụ đến các
tọa độ tương ứng của u trong X .
Hệ quả 1.8.4. Mỗi không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không
gian Banach.
Hệ quả 1.8.5. Cho M là một tập con của không gian định chuẩn hữu
hạn chiều X , khi đó:
(i)

M là compact tương đối nếu và chỉ nếu nó bị chặn.

(ii) M là compact nếu và chỉ nếu nó bị chặn và đóng.
Định nghĩa 1.8.5. Cho N  1,2,..., các điểm u0 ,..., uN trong không gian
tuyến tính

trên trường

. Được gọi là có vị trí tổng quát nếu

u1  u0 , u2  u0 ,..., uN  u0 độc lập tuyến tính.

17


Định nghĩa 1.8.6. Cho N  1,2,... và cho

là không gian tuyến tính

trong trường , cho N - đơn hình ta hiểu là tập S  cou0 ,..., u N  ở đây
u0 ,..., u N có vị trí tổng quát.

0 – đơn hình là một điểm riêng lẻ của

nghĩa là S  u0 , u0  X

1 n
điểm b 
u j được gọi là trọng tâm hình S .
N  1 j 0

Cho

= 1,2,…,các (

– 1) - đơn hình:

S0  cou1,..., uN , S1  cou0 , u2 ,..., uN ,..., S N  u0 ,..., uN 1.

đươc gọi là các  N  1 - mặt của S đối diện với các đỉnh u0 ,..., uN . Vậy,

k - mặt của S ta hiểu là bao lồi của k  1 đỉnh khác nhau của S .
Định nghĩa 1.8.7. Cho M là tập khác rỗng trong

. Ta định nghĩa

đường kính của tập M bởi:

diamM  Sup u  v ,
u ,vM

số dist  u, M   inf u  w được gọi là khoảng cách từ điểm
wM

đến tập

.

Ví dụ 1.7.5. Cho S  cou0 , u1 ,..., uN  là một N – đơn hình trong không
gian định chuẩn
(i)

trên trường

, N  1,2,... khi đó có điều sau là đúng:

Tập S lồi, compact.

(ii) S  L, L  spanu0 ,..., uN .
Định nghĩa 1.8.8. Một phép chia nhỏ bởi trọng tâm của 1 – đơn hình
s  cou0 , u1 là tập hợp của hai 1 – đơn hình S0  cob, u1 ở đây b là

trọng tâm của .
Tổng quát phép chia nhỏ bởi trọng tâm của N - đơn hình

với

trọng tâm b là tập hợp tất cả các N - đơn hình cob, v1 ,..., vN 1 ở đây

18


v1 ,..., vN 1 là các đỉnh của  N  1 - đơn hình bất kì thu được từ phép

chia nhỏ bởi trọng tâm của  N  1 - mặt của S.
Mệnh đề 1.8.8. Cho M là tập con khác rỗng, lồi và bị chặn, đóng của
không gian định chuẩn X , ở đây M có một điểm trong, khi đó, M đồng
phôi với hình cầu B  u  X : u  1 .
Mệnh đề 1.8.9. Cho M là một tập khác rỗng, lồi, compact của không
gian định chuẩn hữu hạn chiều X. Khi đó M đồng phôi với các N – đơn
hình S trong X, N  1,2,...
Định nghĩa 1.8.9. Cho toán tử tuyến tính liên tục X  X , X , Y là các
không gian định chuẩn trên trường . Ta định nghĩa chuẩn của toán tử A:
A  sup Av .
v 1

Mệnh đề 1.8.10. Cho A : X  Y là một toán tử tuyến tính X ,Y là các
không gian định chuẩn trên trường

. Khi đó 2 điều kiện sau là tương

đương:
(i) A liên tục.
(ii) Có một số c

0 sao cho Au  c u với u  X .

19


Chƣơng 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach
Định nghĩa 2.1.1. (Định nghĩa ánh xạ Lipschitz). Cho  X , d  là một
không gian metric. Một ánh xạ T : X  X được gọi là Lipschitz nếu tồn
tại số k không âm sao cho với mọi x, y  X ,
d Tx,Ty   kd  x, y 

(2.1.1)

Số k nhỏ nhất thỏa mãn (2.1.1) được gọi là hệ số Lipschitz của ánh
xạ , kí hiệu là k T  .
Định nghĩa 2.1.1. ( Định nghĩa ánh xạ co).
Giả sử X và Y là 2 không gian metric tùy ý, ánh xạ: f : X

Y được

gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số   0,1) sao cho x1 , x2  X ta đều có
d  f ( x1 ), f ( x2 )    d ( x1, x2 ).

Hiển nhiên một ánh xạ co là liên tục đều.
Định lý 2.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co Banach). Giả sử X là một không
gian metric đầy đủ và f : X  X là một ánh xạ co của X vào chính nó.
Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x  X sao cho f ( x)  x .
Chứng minh: Lấy một điểm bất kì x0  X . Đặt
x1  f ( x0 ), x2  f ( x1 ), ..., xn  f  xn1 ,... n  1 ta đều có
d  xn , xn1   d ( f  xn1  , f  xn )   d ( xn1, xn ).

Trong đó 0    1, vậy

d  xn , xn1    n d  x0 , x1 

(2.1.2)

Thành thử với mọi số nguyên dương n và p ta đều có
d  xn , xn p   d  xn , xn1    d  xn p1 , xn p  



  
n

n1

 ...  

20

n p 1

n
 d  x0 , x1   1   d ( x0 , x1 )


Vì 0    1 nên lim  n  0  lim d ( xn , xn p )  0, p 
n

n

Điều đó chứng tỏ rằng  xn  là một dãy Cauchy trong không gian metric
đầy đủ X , vậy tồn tại giới hạn hữu hạn
x  lim xn
n

Bất đẳng thức (2.1.2) có thể viết dưới dạng:
d  xn , f ( xn )   n d  x0 , x1 

Cho n   và sử dụng tính liên tục của f ta được:

  



d x, f x  0 tức là f x  x
Mặt khác nếu y X với f  y   y thì từ BĐT:

   
  
1    d  x, y   0  d  x, y   0  x  y .

d x, y  d f x , f  y    d x, y với 0    1, ta suy ra

Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.1.1. Cho   a  b   , hàm số x  t  khả vi trên đoạn  a, b
thỏa mãn các điều kiện:
x  t   a, b,0  x ' t   k  1, t  0,1, k cố định

Khi đó phương trình x  t   t có duy nhất 1 nghiệm t0   a, b .
Thật vậy, ta có  a, b là một tập con đóng của

với metric

d  u , v   u  v , u , v   a, b  .

Do đó  a, b cùng với metric của

lập thành một không gian

metric đầy. Theo định lý giá trị trung bình, với mỗi u, v   a, b , có một
điểm w   a, b sao cho
x  u   x  v   x '  w  u  v   k u  v .

21


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×