Tải bản đầy đủ

Chuỗi fourier và ứng dụng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

LÊ MAI ANH

CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Giải tích

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. BÙI KIÊN CƢỜNG

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Bùi
Kiên Cƣờng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ tận tình cho
em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

Em cũng trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Giải tích và
toàn thể các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý, giúp đỡ em
trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này.
Do trình độ chuyên môn còn hạn chế và eo hẹp về thời gian nên
nội dung khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính
mong nhận được sự phê bình góp ý của quý thầy cô và các bạn để nội
dung khóa luận này của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Lê Mai Anh


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan nội dung khóa luận này hoàn toàn là kết quả
nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Bùi Kiên
Cường, không trùng với bất cứ kết quả nghiên cứu của ai khác. Trong
qúa trình nghiên cứu và thực hiện đề tài em có tham khảo một số tài liệu
(đã nêu trong phần tài liệu tham khảo).
Em xin chịu mọi trách nhiệm về lời cam đoan của mình.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Lê Mai Anh


MỤC LỤC
Lời cảm ơn .................................................................................................
Lời cam đoan ..............................................................................................
Mở đầu ................................................................................................... 1
Chƣơng I. Một số kiến thức chuẩn bị ................................................. 3
1.1. Chuỗi số .......................................................................................... 3
1.1.1. Định nghĩa .............................................................................. 3
1.1.2. Phần dư của chuỗi hội tụ ........................................................ 3
1.1.3. Điều kiện để một chuỗi hội tụ ................................................ 4
1.1.4. Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ ………………………… 4
1.2. Dãy hàm ......................................................................................... 5
1.2.1. Định nghĩa ............................................................................... 5
1.2.2. Sự hội tụ đều của dãy hàm ..................................................... 5
1.3. Chuỗi hàm .................................................................................... 5
1.3.1. Định nghĩa .............................................................................. 5


1.3.2. Sự hội tụ đều của chuỗi hàm .................................................. 6
1.3.3. Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm ...................................... 6
1.3.4. Tính chất của tổng chuỗi hàm ................................................ 8
1.4. Không gian các hàm khả tổng ........................................................ 9
1.4.1. Không gian L1   ,   ............................................................. 9
1.4.2. Không gian L2   ,   ............................................................ 9
1.5. Hệ trực giao, hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert ................... 10
1.5.1. Vectơ trực giao, hệ trực giao .................................................. 10
1.5.2. Hệ trực chuẩn ......................................................................... 11
1.5.3. Tính đầy đủ của một hệ trực chuẩn ........................................ 11
Chƣơng II. Chuỗi Fourier ................................................................... 12
2.1. Hệ hàm lượng giác trực giao .......................................................... 12


2.2. Chuỗi lượng giác ............................................................................ 12
2.3. Chuỗi Fourier ................................................................................. 13
2.4. Sự hội tụ của chuỗi Fourier ............................................................ 13
2.4.1. Bổ đề Riemann ....................................................................... 13
2.4.2. Hàm liên tục từng khúc, hàm khả vi từng khúc ..................... 15
2.5. Một số điều kiện hội tụ đều của chuỗi Fourier ............................ 17
2.6. Chuỗi Fourier dưới dạng phức, đồng nhất thức Parseval ............. 18
2.7. Khai triển hàm thành chuỗi Fourier .............................................. 20
2.7.1. Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn trong khoảng   ,   ..20
2.7.2. Khai triển một hàm không tuần hoàn trong khoảng   ,   ..23
2.7.3. Thác triển chẵn, thác triển lẻ .................................................. 24
2.7.4. Khai triển một hàm xác định trong khoảng  a, b ................. 29
2.7.5. Khai triển Fourier trong đoạn  l , l  bất kỳ ............................ 30
Chƣơng III: Một số ứng dụng của chuỗi Fourier ............................. 32
3.1. Bất đẳng thức đẳng chu ................................................................ 32
3.1.1. Đường cong, chiều dài, diện tích ........................................... 33
3.1.2. Phát biểu và chứng minh bất đẳng thức đẳng chu ................. 35
3.2. Định lí phân phối đều Weyl ........................................................... 37
3.2.1. Các số thực modul theo số nguyên ........................................ 37
3.2.2. Nội dung định lí ..................................................................... 39
3.3. Hàm liên tục nhưng không khả vi tại bất kì điểm nào ................... 43
3.4. Phương trình nhiệt trên đường tròn ................................................ 45
Kết Luận ................................................................................................ 51
Tài liệu tham khảo ............................................................................... 52


I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu chuỗi Fourier bắt nguồn từ các ngành của Vật lý
như lí thuyết dao động và lý thuyết truyền nhiệt. Nhà toán học người
Pháp Joseph Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo
các công trình trước đó, đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình
truyền nhiệt. Chính bản thân chuỗi Fourier đã chứa đựng các nội dung
hết sức đa dạng và phong phú, nó có rất nhiều ứng dụng trong khoa học
và kĩ thuật, đặc biệt là trong Toán học và Vật lý. Nhiều kết quả của nó là
cả những công trình nghiên cứu lớn của các nhà toán học, đôi khi những
kết quả ấy được phát triển thành lý thuyết có ứng dụng rộng rãi trong
thực tiễn.
Để có thể hiểu sâu sắc hơn, nắm vững một số kiến thức quan trọng
và ứng dụng của chuỗi Fourier và bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu
khoa học em đã chọn đề tài: “Chuỗi Fourier và ứng dụng" để thực hiện
khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và
tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm đặc biệt về chuỗi Fourier và một số
ứng dụng của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về chuỗi Fourier và một số ứng dụng.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Các khái niệm và kết quả về chuỗi Fourier và một số ứng dụng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

1


Phương pháp giải tích Fourier
6. Cấu trúc
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội
dung khóa luận gồm có 3 chương
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị
Chương II: Chuỗi Fourier
Chương III: Một số ứng dụng của chuỗi Fourier
7. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận là một tài liệu tổng quan về lý thuyết chuỗi Fourier và
một số ứng dụng của nó trong nghiên cứu nghiệm của một số lớp
phương trình. Cụ thể là các yếu tố hình học như phép trực giao, cơ sở
Hilbert và phép đẳng cấu,… trong không gian Hilbert.

2


Khóa luận tốt nghiệp

II. NỘI DUNG
Chƣơng 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Chuỗi số
1.1.1. Định nghĩa
Cho dãy số a1, a2 ,... an ,...
Lập dãy số mới

A1  a1
A2  a1  a2

…..
n

An  a1  a2  ...  an   ak
k 1



Ký hiệu hình thức

n

a
k 1

 lim An  lim  ak và gọi

k

n

n

k 1



a
k 1

là một

k

chuỗi số.
Nếu dãy  An  hội tụ và lim An  A thì ta nói chuỗi số
n



và có tổng bằng A và viết

a
k 1

k



a
k 1

k

hội tụ

A

Nếu dãy  An  không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số



a
k 1

k

phân kỳ.
n

Ta gọi an là số hạng của chuỗi số, An   ak là tổng riêng thứ n
k 1

còn dãy  An  là tổng riêng của chuỗi số.

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp
1.1.2. Phần dƣ của chuỗi hội tụ


Cho chuỗi hội tụ

a

Ta gọi rn 





 a  a

k n1

(1.1)

k

k 1

k

là phần dư thứ n của chuỗi (1.1).

n k

k 1



n

k 1

k 1

Giả sử A   ak và An   ak , khi đó rn  A  An , ta suy ra lim rn  0.
n

1.1.3. Điều kiện để một chuỗi hội tụ


Định lý 1.1(điều kiện cần) Nếu chuỗi

a

hội tụ thì lim an  0.

k

k 1

n

1.1.4. Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ


Cho chuỗi số

a
k 1

(1.2)

k

n

có dãy tổng riêng An   ak . Theo nguyên lý Cauchy để chuỗi (1.2) hội
k 1

tụ điều kiện cần và đủ là   0 cho trước n0  n0 ( ) n0 

*

sao cho

n  n0 , p  0 thì An p  An   .

Điều này có nghĩa là an1  an2  ...  an p   .
Vậy ta có:
Định lý 1.2


a

Điều kiện cần và đủ để chuỗi

k

k 1

sao cho n  n0 , p 

*

hội tụ là   0, n0  n0 ( )

ta đều có an1  an2  ...  an p   .


Từ định lí này ta suy ra chuỗi

a
n 1

một số   0 để với mọi n

*

n

phân kỳ khi và chỉ khi tồn tại

tồn tại một số p0 nguyên dương sao cho

An p0  An   0 .

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

4


Khóa luận tốt nghiệp
1.2. Dãy hàm
1.2.1. Định nghĩa
Cho U 
Ánh xạ

f:

. A là tập tất cả các hàm số xác định trên U .

A
n  un ( x)  A

u1 ( x), u2 ( x),..., un ( x),...

 n  1, 2 , .. .được

gọi là dãy hàm số xác định

trên U .
Kí hiệu: un ( x) , n  1,2,...
1.2.2. Sự hội tụ đều của dãy hàm
Định nghĩa:
Giả sử un ( x) là một dãy hàm xác định trên U 

. Ta nói dãy

hàm số un ( x) , n  1,2,... hội tụ đều tới hàm u( x) trên tập U nếu với
mọi   0 cho trước tồn tại một số tự nhiên n0  n0 ( ) chỉ phụ thuộc vào

 sao cho
n  n0 , x U thì un ( x)  u ( x)   .

Định lí 1.3 Dãy hàm un ( x) hội tụ đều tới hàm u( x) trên tập U khi và
chỉ khi

limsup un ( x)  u( x)  0.
n

A

1.3. Chuỗi hàm
1.3.1. Định nghĩa
Cho dãy hàm un ( x) cùng các định trên một tập U 

. Chuỗi

hàm là tổng hình thức


u1 ( x)  u2 ( x)  ...  un ( x)  ...   un ( x).
n1

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

5

(1.3)


Khóa luận tốt nghiệp


 u ( x ) hội tụ thì ta nói x

Nếu tại x0 U chuỗi số

n 1

n

0

0

là điểm hội tụ



của chuỗi hàm (1.3), nếu

 u ( x ) phân kỳ thì ta nói chuỗi hàm (1.3)
n 1

n

0

phân kỳ tại x0 .
Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của một chuỗi hàm được gọi là
miền hội tụ của chuỗi hàm đó. Giả sử A là miền hội tụ của chuỗi hàm
(1.3), khi đó với x  A chuỗi



u ( x) có tổng là S ( x) .
n 1

n



S ( x)   un ( x) x  A.

Như vậy

n1

Ta gọi S ( x) là tổng của chuỗi hàm.
1.3.2. Sự hội tụ đều của chuỗi hàm
Định nghĩa:


u ( x) được gọi là hội tụ đều tới tổng

Chuỗi hàm

k

k 1

nếu   0 cho trước đều n0  n0 ( ) 

S ( x) trên U

không phụ thuộc vào x sao

cho khi n  n0 thì
Sn ( x)  S ( x)   với x U .

1.3.3. Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm
Định lý 1.4 (điều kiện cần và đủ Cauchy)


Chuỗi hàm

u ( x) hội tụ đều trên tập U
k 1

k

trước đều n0  n0 ( ) 

khi và chỉ khi   0 cho

(không phụ thuộc vào x )sao cho khi n  n0 và
nm

 u ( x)  

với mọi m nguyên dương đều xảy ra

k  n 1

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

6

k

với x U .


Khóa luận tốt nghiệp
Định lí 1.5 (dấu hiệu Weierstrass)


Cho chuỗi hàm

u ( x) gồm các hàm u
n 1

n

n

xác định trên tập U . Giả

thiết tồn tại một dãy số dương Cn  sao cho
i)

un ( x)  Cn x U , n 

*

,



ii) Chuỗi số

C

n

n 1

hội tụ.


Khi đó chuỗi hàm

u ( x) hội tụ đều trên U .
n 1

n

Định lí 1.6 (dấu hiệu Dirichlet)
Cho hai dãy hàm an  , bn  cùng xác định trên tập U . Giả thiết:


i) Dãy tổng riêng An ( x) của chuỗi hàm

 a ( x) bị chặn đều trên U
n 1

n



nghĩa là tồn tại một số M  0 sao cho

An ( x) 

n

 a ( x)  M
k 1

k

n , x U

ii) Dãy hàm bn  đơn điệu, có nghĩa là với mỗi x U dãy bn ( x) là dãy
số đơn điệu và dãy hàm bn  hội tụ đều trên U đến 0.


Khi đó chuỗi hàm

 a ( x)b ( x) hội tụ đều trên U .
n1

n

n

Định lí 1.7 (dấu hiệu Abel)
Cho hai dãy hàm an  và bn  cùng xác định trên tập U . Giả thiết:


i) Chuỗi hàm

 a ( x) hội tụ đều trên U .
n 1

n

ii) Dãy hàm bn  đơn điệu với mọi x và bị chặn đều có nghĩa là với
mọi x U dãy số bn ( x) là dãy đơn điệu và M  0 sao cho

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

7


Khóa luận tốt nghiệp

bn ( x)  M , n 

*

, x U .



Khi đó chuỗi

 a ( x)b ( x) hội tụ đều trên U .
n

n1

n

1.3.4. Tính chất của tổng chuỗi hàm
Định lí 1.8 (tính liên tục)


Cho chuỗi hàm

u ( x) . Giả thiết rằng:
n 1

i)

n

un là các hàm liên tục trên U với n  1,2,...


ii) Chuỗi hàm

u ( x) hội tụ đều trên U
n 1

n

đến tổng S ( x) , khi đó S là

một hàm liên tục trên U .
Định lí 1.9 (định lí Dini)
Giả sử rằng:


i) Chuỗi hàm

u ( x) hội tụ trên  a, b đến tổng S ( x) .
n 1

n

ii) un  n  1,2,... là các hàm liên tục trên  a, b và un ( x)  0 (hoặc
un ( x)  0 ) với x   a, b, n  1,2,...

iii) S là hàm liên tục trên  a, b .


Khi đó chuỗi hàm

u ( x) hội tụ đều trên a, b.
n 1

n

Định lí 1.10 (tích phân từng số hạng)


Cho chuỗi hàm

u ( x) . Giả sử rằng:
n 1

i)

n

un là các hàm khả tích trên  a, b n  1,2,...


ii) Chuỗi hàm

u ( x) hội tụ đều trên  a, b và có tổng là S ( x) .
n 1

n

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

8


Khóa luận tốt nghiệp
Khi đó
1) S là hàm khả tích trên  a, b .
2)



b

a



S ( x)dx    un ( x)dx.
n1

b

a

1.4. Không gian các hàm khả tổng
1.4.1. Không gian L1   ,  
Định nghĩa: Tập L1   ,   gồm các hàm đo được Lesbesgue trên đoạn


  ,  và tích phân 

f ( x) d    .

Trong L1   ,   ta đưa vào một chuẩn bằng công thức:

f 





f ( x) d  và quy ước f  g khi và chỉ khi f ( x)  g ( x)

hầu khắp nơi trên đoạn   ,   . Khi đó L1   ,   cùng với chuẩn trên
xác định một không gian định chuẩn.
Trong L1   ,   ta đưa vào một khoảng cách bằng công thức:

 ( f , g )  f  g . Khi đó L1   ,  cùng với khoảng cách này tạo
thành một không gian metric với quy ước f  g khi và chỉ khi

f ( x)  g ( x) hầu khắp nơi trên   ,   .
Sự hội tụ theo nghĩa này của một dãy các hàm khả tích được gọi là
sự hội tụ trung bình.
Định lí 1.11: Không gian C   ,   trù mật khắp nơi trong không gian
L1   ,   .

1.4.2. Không gian L2   ,  
Định nghĩa: Tập L2   ,   gồm tất cả các hàm có bình phương khả
tổng trên đoạn   ,   tức là các hàm f đo được Lesbesgue trên đoạn


  ,  mà 

f ( x) d    .
2

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp
Trong L2   ,   ta đưa vào một chuẩn bằng công thức:

f 







f ( x) d 
2



1
2

và quy ước f  g khi và chỉ khi f ( x)  g ( x) hầu

khắp nơi trên đoạn   ,   . Khi đó L2   ,   cùng với chuẩn trên xác
định một không gian định chuẩn.
Khoảng cách giữa hai phần tử f , g trong L2   ,   được định
nghĩa:

( f , g)  f  g 









f ( x)  g ( x) d  .
2

L2   ,   cùng với khoảng cách này tạo thành một không gian metric

với quy ước f  g khi và chỉ khi f ( x)  g ( x) hầu khắp nơi trên đoạn

  ,  .
Sự hội tụ trong L2   ,   của dãy các hàm khả tổng được gọi là sự
hội tụ trung bình phương.
Trong L2   ,   ta trang bị một tích vô hướng giữa hai phần tử f


và g bằng  f , g    f ( x) g ( x)d .


L2   ,   cùng với tích vô hướng trên tạo thành một không gian Hilbert.

1.5. Hệ trực giao, hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
1.5.1. Vectơ trực giao, hệ trực giao
Hai vectơ x và y trong không gian Hilbert H được gọi là trực
giao nếu  x, y   0 , ta viết x  y . Kí hiệu x là tập hợp các vectơ trong

H trực giao với x . Tương tự, cho tập A  H , A chỉ tập hợp các vectơ
trong H vuông góc với mọi vectơ trong A .

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

10


Khóa luận tốt nghiệp
Họ vectơ  v A trong không gian Hilbert H , với A là tập “chỉ
số” bất kì, được gọi là hệ trực giao nếu hệ này không chứa vectơ 0  H
và v  v ,  ,   A và    .
1.5.2. Hệ trực chuẩn
Họ vectơ  v A được gọi là hệ trực chuẩn nếu nó là hệ trực giao
và   A, v  1 .
Cho một hệ trực chuẩn  v A . Với mỗi vectơ x  H , ta đặt
x( )  ( x, v )   A ,

thì x( ),   A , được gọi là các hệ số Fourier của x ứng với hệ trực
chuẩn  v A .
1.5.3. Tính đầy đủ của một hệ trực giao, trực chuẩn.
Một hệ trực chuẩn  v A được gọi là đầy đủ (hay cơ sở đầy đủ)
nghĩa là với mọi x trong H , ta có đẳng thức Parseval sau

 x( )


2

 x.

A

Hệ trực giao

v



1

v



A

 v A

được gọi là đầy đủ nếu hệ trực chuẩn

là đầy đủ.

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp

Chƣơng 2: CHUỖI FOURIER
2.1. Hệ hàm lƣợng giác trực giao
Định nghĩa: Giả sử n n1 là dãy các hàm khả tích trên  a, b khi đó:


Nếu

  ( x)
b

a

n

m

( x)dx  0 n, m  , n  m thì ta nói n  là hệ hàm

trực giao trên đoạn  a, b .
Xét hệ hàm lượng giác trên   ,  

1,cos x,sin x,cos2x,sin2x,...cos nx,sin nx,...
Dễ dàng kiểm tra được rằng:

0
cos
kx
cos
nxdx






  sin kx cos nxdx  0


nếu k  n
nếu k  n

0
sin
kx
sin
nxdx








nếu k  n

nếu k  n

, k , n

Như vậy hệ hàm lượng giác là hệ hàm trực giao trên   ,   .
2.2. Chuỗi lƣợng giác
Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng

a0 
   an cos nx  bn sin nx 
2 n1

(2.1)

trong đó a0 , an , bn (n  1,2,...) là những số thực.
Nếu chuỗi (2.1) hội tụ và có tổng là f ( x) thì f là một hàm tuần
hoàn chu kỳ 2 . Vì thế ta chỉ cần xét chuỗi hàm lượng giác trên một
đoạn có độ dài bằng 2 , chẳng hạn trên   ,   .

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

12


Khóa luận tốt nghiệp

2.3. Chuỗi Fourier
Định nghĩa: Cho hàm f  L1[   ,  ] , nghĩa là f khả tích Lesbesgue trên

[ , ] , ta định nghĩa chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác sau
a0 
  (an cos nx bn sin nx).
2 n1

(2.2)

trong đó

a0 
an 
bn 

1


1


1





  f ( x)dx , n  1,2,...




  f ( x)cos nxdx , n  1,2,...


(2.3)



  f ( x)sin nxdx , n  1,2,...


được gọi là hệ số Fourier của hàm f ( x) .
Kí hiệu là

f ~

a0 
  (an cos nx bn sin nx).
2 n1

Nếu f là hàm tuần hoàn chu kì 2 , ta định nghĩa chuỗi Fourier
của f tương tự như trên, trong đó các hệ số an , bn được tính trên một
đoạn tùy ý  a, a  2  .
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kì 2l , bằng phép đổi biến t   x / l , ta
đưa về trường hợp tuần hoàn chu kì 2 .
Do f  L1[   ,  ] nên các tích phân trong (2.3) tồn tại.
2.4. Sự hội tụ của chuỗi Fourier
2.4.1. Bổ đề Riemann
Giả sử g là hàm khả tích trên đoạn  a, b . Khi đó
i)

lim



b

p  a

g (t )sin ptdt  0,

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

13


Khóa luận tốt nghiệp

ii) lim



b

p  a

g (t )cos ptdt  0.

Chứng minh:
i) Cho trước   0 . Giả sử T là một phân hoạch đoạn  a, b với các
điểm chia a  t0  t1  ...  tn  b
Đặt

mi  inf  g ; M i  sup g ; ti  ti  ti 1 ;
ti 1 ,ti 

ti 1 ,ti 

i  M i  mi



b

a



ti

i 1

ti 1

n

ti

i 1

ti 1



g (t )sin ptdt 
n

i  1,2,..., n

g (t )sin ptdt 
n

   g (t )  m sin ptdt   m 
i

ti

i t
i 1

n 1

n

n

i 1

i 1

sin ptdt  i ti   mi

1

p

 
1
2
Theo giả thiết g là hàm khả tích trên đoạn  a, b nên   0 đối
với phân hoạch T mà d (T )   thì ta có



1  2 .

Cố định  đã chọn và cố định phân hoạch T sao cho d (T )   ta
n

chọn p đủ lớn để sao cho

 2  2 m
i 1

i

1 
 .
p 2

Vậy với mọi   0 tồn tại một số tự nhiên p sao cho p  p0





a g (t )sin ptdt  1   2  2  2  
b

hay

lim



b

p a

g (t )sin ptdt  0.

Trường hợp ii) chứng minh tương tự.

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp
2.4.2. Hàm liên tục từng khúc, hàm khả vi từng khúc.
Cho hàm f xác định trên đoạn  a, b . Nếu ta có thể chia đoạn

 a, b thành hữu hạn đoạn  ai , bi   i  1,2,..., k  bởi các điểm chia
a  a1  b1  ...  ak  bk  b

sao cho trên mỗi khoảng  ai , bi  hàm f liên tục và tồn tại các giới hạn
hữu hạn lim0 f ( x)  f (ai  0), lim0 f ( x)  f (bi  0), i  1,2,..., k thì ta
xai

xbi

nói f liên tục từng khúc trên đoạn  a, b .
Nếu f liên tục từng khúc trên đoạn  a, b và f có đạo hàm f 
cũng liên tục từng khúc trên đoạn  a, b thì ta nói f khả vi từng khúc
trên đoạn  a, b .
Định lí 2.1 Nếu f là hàm xác định trên toàn trục số, tuần hoàn với chu
kỳ 2 và trơn từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn bất kỳ thì chuỗi Fourier
tương ứng với f hội tụ tại mọi điểm x0 và có tổng

S ( x0 ) 

f ( x0  0)  f ( x0  0)
2

Đặc biệt nếu f liên tục tại x0 thì S ( x0 )  f ( x0 ) .
Chứng minh:
Trước hết ta chứng minh

lim
n

Thật vậy do:

1



 0

1





0

f ( x0  t )
1
f ( x0  0)
sin(n  )tdt 
t
2
2
2sin
2

1
sin(n  )t
n
2 dt  1   1  cos kt  dt  1 ,


t
 0  2 k 1
2

2sin
2

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

15


Khóa luận tốt nghiệp
Khi đó:

1









0

1

1
sin(n  )t
2 dt  f ( x0  0) 
f ( x0  t )
t
2
2sin
2





0

f ( x0  t )  f ( x0  0)
1
1 
1
sin(n  )tdt   g (t )sin(n  )tdt.
t
2
 0
2
2sin
2

trong đó:

t
f ( x0  t )  f ( x0  0) [f ( x0  t )  f ( x0  0)] 2
g (t ) 

t
t
t
2sin
sin
2
2

0  t  t0 ,

Vì f là hàm khả vi từng khúc nên g là hàm liên tục từng khúc và do đó

g khả tích trên 0,  . Áp dụng bổ đề Riemann
lim
n

1





0

1
g (t )sin(n  )tdt  0
2

hay

lim
n

Tương tự lim
n

1



 0

1





0

f ( x0  t )
1
sin(n  )tdt  f ( x0  0).
t
2
2sin
2

f ( x0  t )
1
sin(n  )tdt  f ( x0  0).
t
2
2sin
2

Như vậy

S ( x0 ) 



1



 0

f ( x0  t )  f ( x0  t )
1
sin(n  )tdt
t
2
2sin
2

f ( x0  0)  f ( x0  0)
.
2

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp
Điều kiện Dirichlet : Giả sử f ( x) là hàm tuần hoàn với chu kì 2 , thỏa
mãn một trong hai điều kiện sau trên   ,  
i)

f ( x) liên tục từng khúc và có đạo hàm f ( x) liên tục từng khúc,

ii) f ( x) đơn điệu từng khúc và bị chặn.
Khi đó chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm, chuỗi này có tổng
bằng f ( x) tại những điểm liên tục của nó và bằng

f (c  0)  f (c  0)
2

tại những điểm gián đoạn của nó.
Điều kiện Lipschitz : Cho hàm số f ( x) tuần hoàn với chu kì 2 và

b  b2  4ac
f ( x)  L1   ,  
. Hàm f ( x) được gọi là thỏa mãn điều
2a
kiện Lipschitz bậc   0 tại điểm x0 nếu tồn tại một hằng số c và số
dương r thỏa mãn :

f ( x)  f ( x0 )  c x  x0



x : x  x

0

 r .

Nếu điều kiện này đúng với tất cả các giá trị x0 với cùng một hằng số c
thì hàm số f ( x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều.
2.5. Một số điều kiện hội tụ đều của chuỗi Fourier
Ta đã xác định một số điều kiện để chuỗi Fourier của một hàm

f ( x) nào đó hội tụ điểm. Trong phần này ta tiếp tục nghiên cứu một vài
điều kiện để chuỗi Fourier của hàm f ( x) hội tụ đều.
Định lí 2.2 Nếu hàm f ( x) tuần hoàn với chu kì 2 , liên tục tuyệt đối và
có đạo hàm thuộc không gian L2   ,   thì chuỗi Fourier của nó hội tụ
đều tới f ( x) trên toàn trục số.

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

17


Khóa luận tốt nghiệp
Định lí 2.3 Nếu trên tập bất kì E    ,  mà hàm khả tổng f ( x) bị
chặn và điều kiện Dini được thỏa mãn đều trên E , tức là:

  0,   0 sao cho tích phân





f ( x  t )  f ( x)
dt   , x  E
t

thì chuỗi Fourier của f ( x) hội tụ đều trên E tới hàm đó.
Định lí 2.4 Cho hàm f ( x)  L1   ,   thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc

  0 đều trong  a, b  . Khi đó tổng riêng của chuỗi Fourier của hàm
f ( x) hội tụ đều về hàm f ( x) trong đoạn  c, d  bất kì mà c, d    a, b .
Định lí 2.5 Cho f  L1   ,   . Giả sử rằng f bị chặn, thỏa mãn điều
kiện Dirichlet trên   ,   , f liên tục trên khoảng  u, v     ,  . Khi
đó chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên mọi đoạn bất kì

 a, b    u , v  .
2.6. Chuỗi Fourier dƣới dạng phức, đồng nhất thức Parseval
Cho f  L2   ,  , hệ

 2 

1/2

einx



n

là một hệ trực chuẩn đầy

đủ trong không gian L2   ,   . Đặt

cn 

1
2



  f ( x )e




inx

dx , n  .

einx
Ta nói chuỗi  cn
là chuỗi Fourier của f ứng với hệ trực chuẩn
2
n

 2 

1/2

einx n 

và mối quan hệ này được kí hiệu bởi

f ~  cn
n

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

18

einx
.
2

,


Khóa luận tốt nghiệp
Nếu giới hạn sau đây tồn tại

eikx
lim  ck
,
n
2
 n k  n
thì ta nói chuỗi Fourier của f ứng với hệ trực chuẩn
hội tụ và giá trị hội tụ cũng được kí hiệu là



 2 

1/2

einx



n



einx
cn
.
2

n

Trong trường hợp chuỗi Fourier của f (ứng với hệ trực chuẩn đã cho)
hội tụ, ta có thể viết chuỗi đó dưới dạng sau

einx
1 
 in ( x  x )
c

f
(
x
)e
dx


n

2 n 2 
n


1




f
(
x
)cos
n
(
x

x
)
dx

i
f ( x )sin n( x  x )dx




2 n 
1 
1 



f
(
x
)
dx

f ( x )cos n( x  x )dx.




2
 n1



Do

  f ( x )cos n  x  x  dx






là hàm chẵn theo biến n, đồng thời



  f ( x )sin n  x  x  dx












là hàm lẻ theo biến n, từ đó suy ra

einx
a0 1  
cn
    f ( x )  cos nx cos nx  sin nx sin nx  dx

2 2  n1 
n
a0 
    an cos nx  bn sin nx .
2 n1
trong đó

1



an 

f ( x )cos nx dx ,


bn 

1











f ( x )sin nx dx .


Lê Mai Anh K36A – Sp Toán







19






Khóa luận tốt nghiệp
Nếu f  L2   ,  thì ta có đồng nhất thức Parseval sau

 cn  lim
2

n

n



ck  
2

 n k n





2

f ( x) dx

hay

 cn n1,2,..

2

 f 2.

2.7. Khai triển hàm thành chuỗi Fourier
2.7.1. Khai triển Fourier của một hàm tuần hoàn trong đoạn   ,   .
Giả sử f là hàm xác định và khả vi từng khúc trong đoạn   ,   .
Đặt

a0 
bn 

1


1








f ( x)dx,

an 

1





  f ( x)cos nxdx,




  f ( x)sin nxdx,  n  1,2,... ,


Và lập chuỗi:

a0 
   an cos nx  bn sin nx 
2 n1

(2.4)

thì chuỗi này là chuỗi Fourier của hàm f * tuần hoàn với chu kỳ 2 mà
trong đoạn   ,   thì f * trùng với f , tức là:

x   ,  .

f * ( x)  f ( x)

Hàm f * có tính chất đó được gọi là thác triển tuần hoàn của hàm

f ( x) trên toàn khoảng  ,   .
Chuỗi (2.4) sẽ hội tụ trong đoạn   ,   về hàm f ( x) tại những
điểm liên tục của hàm số đó, còn lại những điểm gián đoạn loại 1, thì
chuỗi có tổng:

S ( x0 ) 

1
 f ( x0  0)  f ( x0  0)
2

Lê Mai Anh K36A – Sp Toán

20


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×